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第27章　準1級 行列と一次変換

—— 行列と一次変換 第1〜9章を、数検準1級の出題形式で ——

数検準1級の「行列と一次変換」の類題です。行列の計算・逆行列・行列式・連立一次方程式・ケーリー・ハミルトンの定理と $A^n$・一次変換の像と原像・回転と拡大・合成変換と逆変換・図形の像までを20問にまとめました。行列は現行課程の教科書にはありませんが（旧数学C）、数検準1級の出題範囲なので、この分野の第1〜9章の道具だけで解ける形にしてあります。2次（数理技能）では、逆行列をかけるときに「左からか右からか」を書き分けること、$\Delta = 0$ の場合を落とさないことが部分点の分かれ目です。問6では加法定理（三角比と三角関数 第9章）、問9と問19では無限等比級数と数列の極限（微分積分 第10章）、問14では複素数平面（複素数平面と二次曲線 第1〜2章）、問16では合成関数（いろいろな関数 第6章）、問20では数学的帰納法（数列 第8章）も使います。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（行列と一次変換 第1〜9章）
  • 行列式 Δ\Delta=ad{}= ad−bc{}- bc（det⁡A\det A とも書きます）。Δ\Delta≠0{}\neq 0 のとき AA は正則で、逆行列は A−1\displaystyle A^{-1}=1Δ(d−b−ca)\displaystyle {}= \frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} 性質は det⁡(AB)\det(AB)=det⁡Adet⁡B{}= \det A \det B，det⁡(kA)\det(kA)=k2det⁡A{}= k^2 \det A，det⁡(A−1)\det(A^{-1})=1det⁡A{}= \dfrac{1}{\det A} の3本です。
  • 行列の方程式は、逆行列をどちら側からかけるかで答えが変わります。AXAX=B{}= B なら XX=A−1B{}= A^{-1}B、XAXA=B{}= B なら XX=BA−1{}= BA^{-1}。行列に割り算はありません。
  • ケーリー・ハミルトンの定理：A2A^2−(a+d)A{}- (a+d)A+ΔE{}+ \Delta E=O{}= O。AnA^n は、この式で次数を下げて AnA^n=pA{}= pA+qE{}+ qE の形を目指します。
  • 一次変換 ff を表す行列が AA のとき、点 (x, y)(x,\ y) の像は A(xy)A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}、逆に像から移る前の点（原像）を求めるには A−1A^{-1} をかけます。
  • 回転は R(θ)R(\theta)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ){}= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}。(a−bba)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} は rr=a2+b2{}= \sqrt{a^2+b^2} として rR(θ)rR(\theta) と書けます（回転して rr 倍）。
  • 合成変換 g∘fg \circ f（先に ff、後から gg）を表す行列は BABA。後からはたらくほうを左に書きます。逆変換 f−1f^{-1} を表す行列は A−1A^{-1}。
  • 図形の像：直線は直線（または 1 点）に移り、面積は ∣Δ∣|\Delta| 倍になります。曲線の像の方程式は、x′x' ，y′y' を xx，yy で表した式をそのまま代入するか、A−1A^{-1} で xx，yy を x′x'，y′y' に直して代入します。

この章は「Δ\Delta を見る」「どちら側からかけるかを書く」の2つに尽きます。Δ\Delta は逆行列の有無・解の個数・面積の倍率をまとめて教えてくれる数で、掛ける側の指定は行列ならではの作法です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

AA=(2−131){}= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}，BB=(14−20){}= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} のとき、2A2A−3B{}- 3B と ABAB を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

2A2A−3B{}- 3B=(1−14122){}= \begin{pmatrix} 1 & -14 \\ 12 & 2 \end{pmatrix}，ABAB=(48112){}= \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 12 \end{pmatrix}

解説

和・差・実数倍は成分ごとに計算します。

2A\displaystyle 2A−3B\displaystyle {}- 3B=(4−262)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}−(312−60)\displaystyle {}- \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -6 & 0 \end{pmatrix}=(1−14122)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 1 & -14 \\ 12 & 2 \end{pmatrix}}

積は「左は横、右は縦」です。ABAB の (1, 1)(1,\ 1) 成分なら、AA の第 1 行 (2, −1)(2,\ -1) と BB の第 1 列 (1, −2)(1,\ -2) の内積をとります。

  • (1, 1)(1,\ 1) 成分：2⋅12\cdot1+(−1)⋅(−2){}+ (-1)\cdot(-2)=4{}= 4
  • (1, 2)(1,\ 2) 成分：2⋅42\cdot4+(−1)⋅0{}+ (-1)\cdot0=8{}= 8
  • (2, 1)(2,\ 1) 成分：3⋅13\cdot1+1⋅(−2){}+ 1\cdot(-2)=1{}= 1
  • (2, 2)(2,\ 2) 成分：3⋅43\cdot4+1⋅0{}+ 1\cdot0=12{}= 12
AB\displaystyle AB=(48112)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 12 \end{pmatrix}}

ちなみに BABA=(143−42){}= \begin{pmatrix} 14 & 3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} で、ABAB とは一致しません。行列の積では交換法則が成り立たないので、問われた順序どおりに掛けます。

自己採点：
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問2　★

AA=(4712){}= \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}，BB=(3521){}= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} のとき、XAXA=B{}= B をみたす行列 XX を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

XX=(1−13−10){}= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -10 \end{pmatrix}

解説

Δ\Delta=4⋅2{}= 4\cdot2−7⋅1{}- 7\cdot1=1{}= 1≠0{}\neq 0 なので AA は正則で

A−1\displaystyle A^{-1}=11(2−7−14)\displaystyle {}= \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}=(2−7−14)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}

XAXA=B{}= B の両辺に右から A−1A^{-1} をかけると X(AA−1)X(AA^{-1})=BA−1{}= BA^{-1}、つまり XX=BA−1{}= BA^{-1} です。

X\displaystyle X=(3521)(2−7−14)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}=(1−13−10)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -10 \end{pmatrix}}

AXAX=B{}= B（XX=A−1B{}= A^{-1}B）と混同しないでください。左からかけるか右からかけるかで答えが変わります。確かめ：XAXA=(3521){}= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=B{}= B です。

自己採点：
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問3　★

連立方程式 {3x+4y=55x+7y=9\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 5x + 7y = 9 \end{cases} の解を、係数行列の逆行列を使って求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=−1,{}= -1,yy=2{}= 2

解説

AA=(3457){}= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} とすると、連立方程式は A(xy)A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=(59){}= \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix} と 1 本に書けます。Δ\Delta=3⋅7{}= 3\cdot7−4⋅5{}- 4\cdot5=1{}= 1≠0{}\neq 0 なので

A−1\displaystyle A^{-1}=(7−4−53)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}

両辺に左から A−1A^{-1} をかけて

(xy)\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=(7−4−53)(59)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix}=(35−36−25+27)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 35 - 36 \\ -25 + 27 \end{pmatrix}=(−12)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} x=−1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = -1,} y=2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = 2}

クラメルの公式でも同じです。Δx\Delta_x=∣5497∣{}= \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 9 & 7 \end{vmatrix}=−1{}= -1，Δy\Delta_y=∣3559∣{}= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{vmatrix}=2{}= 2 を Δ\Delta=1{}= 1 で割ります。

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問4　★

AA=(2314){}= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} について、ケーリー・ハミルトンの定理を使って A−1A^{-1} を AA と EE で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

A−1A^{-1}=−15A{}= -\dfrac{1}{5}A+65E{}+ \dfrac{6}{5}E（成分では (45−35−1525)\begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}）

解説

対角和は 22+4{}+ 4=6{}= 6、Δ\Delta=2⋅4{}= 2\cdot4−3⋅1{}- 3\cdot1=5{}= 5 なので、ケーリー・ハミルトンの定理より

A2\displaystyle A^2−6A\displaystyle {}- 6A+5E\displaystyle {}+ 5E=O\displaystyle {}= O

Δ\Delta=5{}= 5≠0{}\neq 0 なので A−1A^{-1} が存在します。両辺に A−1A^{-1} をかけると AA−6E{}- 6E+5A−1{}+ 5A^{-1}=O{}= O なので

A−1=−15A‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}A^{-1} = -\frac{1}{5}A}+65E‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{6}{5}E}

成分で書くと −15(2314)-\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}+(650065){}+ \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & 0 \\ 0 & \frac{6}{5} \end{pmatrix}=(45−35−1525){}= \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} となり、逆行列の公式 15(4−3−12)\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} と一致します。

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問5　★

行列 AA=(1235){}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} で表される一次変換を ff とする。点 (−1, 3)(-1,\ 3) の像と、ff によって点 (4, 7)(4,\ 7) に移る点を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

像は (5, 12)(5,\ 12)，移る前の点（原像）は (−6, 5)(-6,\ 5)

解説

像は行列を左からかけるだけです。

(1235)(−13)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}=(−1+6−3+15)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -1 + 6 \\ -3 + 15 \end{pmatrix}=(512)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}}

原像は逆にたどります。Δ\Delta=1⋅5{}= 1\cdot5−2⋅3{}- 2\cdot3=−1{}= -1≠0{}\neq 0 なので

A−1\displaystyle A^{-1}=1−1(5−2−31)\displaystyle {}= \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}=(−523−1)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} (−523−1)(47)\displaystyle \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}=(−20+1412−7)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -20 + 14 \\ 12 - 7 \end{pmatrix}=(−65)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix}}

確かめ：A(−65)A\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix}=(−6+10−18+25){}= \begin{pmatrix} -6+10 \\ -18+25 \end{pmatrix}=(47){}= \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} です。Δ\Delta≠0{}\neq 0 なので原像はただ 1 つに決まります。

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問6　★

原点のまわりに θ\theta だけ回転する一次変換を表す行列を R(θ)R(\theta) とする。R(45∘)R(30∘)R(45^\circ)R(30^\circ)=R(75∘){}= R(75^\circ) であることを使って、cos⁡75∘\cos 75^\circ と sin⁡75∘\sin 75^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡75∘\cos 75^\circ=6−24{}= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}，sin⁡75∘\sin 75^\circ=6+24{}= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

解説

左辺を成分で計算します。

R(45∘)R(30∘)\displaystyle R(45^\circ)R(30^\circ)=(22−222222)(32−121232)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} \\ \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}

(1, 1)(1,\ 1) 成分は 22⋅32\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}−22⋅12{}- \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=6−24{}= \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}、(2, 1)(2,\ 1) 成分は 22⋅32\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+22⋅12{}+ \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=6+24{}= \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} です。

右辺は R(75∘)R(75^\circ)=(cos⁡75∘−sin⁡75∘sin⁡75∘cos⁡75∘){}= \begin{pmatrix} \cos75^\circ & -\sin75^\circ \\ \sin75^\circ & \cos75^\circ \end{pmatrix} なので、成分を比べて

cos⁡75∘=6−24,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\cos75^\circ = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4},}sin⁡75∘=6+24‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\quad \sin75^\circ = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}}

「30∘30^\circ 回してから 45∘45^\circ 回せば 75∘75^\circ 回したことになる」という当たり前の事実が、そのまま加法定理になっています。

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問7　★

2次の正方行列 AA，BB が det⁡A\det A=3{}= 3，det⁡B\det B=−2{}= -2 をみたすとき、det⁡(2A)\det(2A)，det⁡(A3)\det(A^3)，det⁡(A−1B)\det(A^{-1}B) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

det⁡(2A)\det(2A)=12{}= 12，det⁡(A3)\det(A^3)=27{}= 27，det⁡(A−1B)\det(A^{-1}B)=−23{}= -\dfrac{2}{3}

解説

2次の正方行列では、実数倍は行と列の両方にきくので det⁡(kA)\det(kA)=k2det⁡A{}= k^2\det A です。

det⁡(2A)\displaystyle \det(2A)=22⋅3\displaystyle {}= 2^2 \cdot 3=12‾\displaystyle {}= \underline{12}

det⁡(AB)\det(AB)=det⁡Adet⁡B{}= \det A \det B を繰り返して

det⁡(A3)\displaystyle \det(A^3)=33\displaystyle {}= 3^3=27‾\displaystyle {}= \underline{27}

det⁡(A−1)\det(A^{-1})=1det⁡A{}= \dfrac{1}{\det A}（AA−1AA^{-1}=E{}= E の行列式をとると det⁡A⋅det⁡(A−1)\det A \cdot \det(A^{-1})=1{}= 1）なので

det⁡(A−1B)\displaystyle \det(A^{-1}B)=13⋅(−2)\displaystyle {}= \frac{1}{3}\cdot(-2)=−23‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{2}{3}}

det⁡(2A)\det(2A)=2det⁡A{}= 2\det A=6{}= 6 としないよう注意してください。成分が 4 つとも 2 倍になるので、Δ\Delta=ad{}= ad−bc{}- bc は 44 倍です。

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問8　★

AA=(1203){}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} のとき、自然数 nn に対して AnA^n を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

AnA^n=(13n−103n){}= \begin{pmatrix} 1 & 3^n - 1 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}

解説

まず何乗かして規則を予想します。

A2\displaystyle A^2=(1809),\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix},A3\displaystyle A^3=(126027)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 26 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}

右上は 2,2, 8,\ 8, 26\ 26、右下は 3,3, 9,\ 9, 27\ 27。右上は右下より 11 だけ小さいので、AnA^n=(13n−103n){}= \begin{pmatrix} 1 & 3^n - 1 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} と予想できます。

数学的帰納法で示します。nn=1{}= 1 のときは (1203)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} で成り立ちます。nn=k{}= k で成り立つとすると

Ak+1\displaystyle A^{k+1}=(13k−103k)(1203)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 3^k - 1 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=(12+3(3k−1)03k+1)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 2 + 3(3^k - 1) \\ 0 & 3^{k+1} \end{pmatrix}=(13k+1−103k+1)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 3^{k+1} - 1 \\ 0 & 3^{k+1} \end{pmatrix}

となり nn=k{}= k+1{}+1 でも成り立ちます。よって

An=(13n−103n)‾\underline{A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3^n - 1 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}}

（証明終）

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問9　★★

ある地域には動画サービス A と B の 2 つだけがあり、住民は必ずどちらか一方を使っている。毎月はじめに、A の利用者の 20%20\% が B に移り、B の利用者の 30%30\% が A に移る。nn か月後に A を使っている人の割合を xnx_n、B を使っている人の割合を yny_n とする（xnx_n+yn{}+ y_n=1{}= 1）。はじめは全員が A を使っていたとして、次の (1)，(2) を求めなさい。

(1) (xnyn)\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A(xn−1yn−1){}= A\begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix} となる行列 AA と、xnx_n を nn の式で表したもの

(2) lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n

上の (1)，(2) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) AA=(4531015710){}= \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{1}{5} & \frac{7}{10} \end{pmatrix}，xnx_n=35{}= \dfrac{3}{5}+25(12)n{}+ \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n　(2) 35\dfrac{3}{5}

解説

(1) A に残るのは A の利用者の 80%80\%、B から移ってくるのは B の利用者の 30%30\% なので

xn\displaystyle x_n=45xn−1\displaystyle {}= \frac{4}{5}x_{n-1}+310yn−1,\displaystyle {}+ \frac{3}{10}y_{n-1},yn\displaystyle y_n=15xn−1\displaystyle {}= \frac{1}{5}x_{n-1}+710yn−1\displaystyle {}+ \frac{7}{10}y_{n-1} A\displaystyle A=(4531015710)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} \frac{4}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{1}{5} & \frac{7}{10} \end{pmatrix}}

yn−1y_{n-1}=1{}= 1−xn−1{}- x_{n-1} を代入して 1 文字にします。

xn\displaystyle x_n=45xn−1\displaystyle {}= \frac{4}{5}x_{n-1}+310(1−xn−1)\displaystyle {}+ \frac{3}{10}(1 - x_{n-1})=12xn−1\displaystyle {}= \frac{1}{2}x_{n-1}+310\displaystyle {}+ \frac{3}{10}

pp=12p{}= \frac{1}{2}p+310{}+ \frac{3}{10} をみたす pp は pp=35{}= \frac{3}{5} なので、両辺から 35\frac{3}{5} を引くと

xn\displaystyle x_n−35\displaystyle {}- \frac{3}{5}=12(xn−1−35)\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(x_{n-1} - \frac{3}{5}\right)

x0x_0=1{}= 1 より x0x_0−35{}- \frac{3}{5}=25{}= \frac{2}{5} なので

xn=35‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4543em}x_n = \frac{3}{5}}+25(12)n‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4543em}{}+ \frac{2}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^n}

（AA の対角和は 32\frac{3}{2}、Δ\Delta=2850{}= \frac{28}{50}−350{}- \frac{3}{50}=12{}= \frac{1}{2} なので、AA が背負う 2 次方程式は x2x^2−32x{}- \frac{3}{2}x+12{}+ \frac{1}{2}=0{}= 0、その解 11 と 12\frac{1}{2} が上の「落ち着き先」と「公比」の正体です。AnA^n=pA{}= pA+qE{}+ qE に 2 解を代入して解いても同じ式が出ます。）

(2) (12)n\left(\frac{1}{2}\right)^n→0{}\to 0 なので

lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=35‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{5}}

最初の割合が何であっても 35\frac{3}{5} に近づきます。確かめ：x1x_1=35{}= \frac{3}{5}+25⋅12{}+ \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=45{}= \frac{4}{5} で、1 か月後に A が 80%80\% という条件に合っています。

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問10　★★

一次変換 ff が行列 AA=(111−1){}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} で表されている。ff によって次の (1)，(2) がどのような曲線に移るか、その方程式を求めなさい。

(1) 双曲線 x2x^2−y2{}- y^2=4{}= 4

(2) 円 x2x^2+y2{}+ y^2=2{}= 2

上の (1)，(2) の像の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 双曲線 xyxy=4{}= 4　(2) 円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4

解説

点 (x, y)(x,\ y) の像を (x′, y′)(x',\ y') とすると

(x′y′)\displaystyle \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=(111−1)(xy)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=(x+yx−y)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} x + y \\ x - y \end{pmatrix}

Δ\Delta=1⋅(−1){}= 1\cdot(-1)−1⋅1{}- 1\cdot1=−2{}= -2≠0{}\neq 0 なので、ff は平面全体を平面全体にうつし、曲線の像も曲線全体になります。

(1) 積をとると和と差の積の形が現れます。

x′y′\displaystyle x'y'=(x+y)(x−y)\displaystyle {}= (x + y)(x - y)=x2\displaystyle {}= x^2−y2\displaystyle {}- y^2=4\displaystyle {}= 4

よって像は xy=4‾\underline{xy = 4} です（座標軸を漸近線とする直角双曲線）。

(2) 平方の和をとります。

x′2\displaystyle x'^2+y′2\displaystyle {}+ y'^2=(x+y)2\displaystyle {}= (x+y)^2+(x−y)2\displaystyle {}+ (x-y)^2=2(x2+y2)\displaystyle {}= 2(x^2 + y^2)=2⋅2\displaystyle {}= 2 \cdot 2=4\displaystyle {}= 4

よって像は x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}x^2}+y2=4‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2 = 4}、原点を中心とする半径 22 の円です。

半径 2\sqrt2 の円（面積 2π2\pi）が半径 22 の円（面積 4π4\pi）に移っており、面積はちょうど ∣Δ∣|\Delta|=2{}= 2 倍です。確かめ：点 (2, 0)(\sqrt2,\ 0) の像は (2, 2)(\sqrt2,\ \sqrt2) で、たしかに x2x^2+y2{}+y^2=4{}= 4 上にあります。

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問11　★★

AA=(1−234){}= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} とする。自然数 nn に対して AnA^n=pnA{}= p_nA+qnE{}+ q_nE（pnp_n，qnq_n は実数）と表せることを用いて、次の (1)，(2) を求めなさい。

(1) pn+1p_{n+1}，qn+1q_{n+1} を pnp_n，qnq_n で表した式

(2) A4A^4

上の (1)，(2) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) pn+1p_{n+1}=5pn{}= 5p_n+qn{}+ q_n，qn+1q_{n+1}=−10pn{}= -10p_n　(2) A4A^4=(−125−5075−50){}= \begin{pmatrix} -125 & -50 \\ 75 & -50 \end{pmatrix}

解説

対角和は 11+4{}+ 4=5{}= 5、Δ\Delta=1⋅4{}= 1\cdot4−(−2)⋅3{}- (-2)\cdot3=10{}= 10 なので、ケーリー・ハミルトンの定理より

A2\displaystyle A^2=5A\displaystyle {}= 5A−10E\displaystyle {}- 10E(∗)\displaystyle (\ast)

（x2x^2−5x{}- 5x+10{}+ 10=0{}= 0 は判別式が 2525−40{}- 40<0{}< 0 で実数解をもたないので、2 解を代入する方法は使えません。そこで漸化式を立てます。）

(1) AnA^n=pnA{}= p_nA+qnE{}+ q_nE の両辺に左から AA をかけ、(∗)(\ast) で次数を下げます。

An+1\displaystyle A^{n+1}=pnA2\displaystyle {}= p_nA^2+qnA\displaystyle {}+ q_nA=pn(5A−10E)\displaystyle {}= p_n(5A - 10E)+qnA\displaystyle {}+ q_nA=(5pn+qn)A\displaystyle {}= (5p_n + q_n)A−10pnE\displaystyle {}- 10p_nE

EE と AA は 1 次独立（AA は kEkE の形ではない）なので、係数を比べて

pn+1=5pn‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2083em]{0em}{0.8528em}p_{n+1} = 5p_n}+qn,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2083em]{0em}{0.8528em}{}+ q_n,}qn+1=−10pn‾\displaystyle \underline{\rule[-0.2083em]{0em}{0.8528em}\qquad q_{n+1} = -10p_n}

(2) A1A^1=A{}= A より p1p_1=1,{}= 1,q1q_1=0{}= 0。順に計算します。

p2\displaystyle p_2=5,\displaystyle {}= 5, q2\displaystyle \ q_2=−10\displaystyle {}= -10p3\displaystyle p_3=25\displaystyle {}= 25−10\displaystyle {}- 10=15,\displaystyle {}= 15, q3\displaystyle \ q_3=−50\displaystyle {}= -50p4\displaystyle p_4=75\displaystyle {}= 75−50\displaystyle {}- 50=25,\displaystyle {}= 25, q4\displaystyle \ q_4=−150\displaystyle {}= -150 A4\displaystyle A^4=25A\displaystyle {}= 25A−150E\displaystyle {}- 150E=(25−5075100)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 25 & -50 \\ 75 & 100 \end{pmatrix}−(15000150)\displaystyle {}- \begin{pmatrix} 150 & 0 \\ 0 & 150 \end{pmatrix}=(−125−5075−50)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -125 & -50 \\ 75 & -50 \end{pmatrix}}

確かめ：A2A^2=(−5−101510){}= \begin{pmatrix} -5 & -10 \\ 15 & 10 \end{pmatrix} なので (A2)2(A^2)^2=(−125−5075−50){}= \begin{pmatrix} -125 & -50 \\ 75 & -50 \end{pmatrix} で一致します。

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問12　★★

銅と亜鉛だけからできた合金が 2 種類ある。合金 X は重さの 60%60\% が銅で 40%40\% が亜鉛、合金 Y は重さの 30%30\% が銅で 70%70\% が亜鉛である。この 2 種類をとかして混ぜ、新しい合金を作る。次の (1)，(2) を求めなさい。

(1) 銅 4848 g、亜鉛 5252 g からなる合金を作るときに使う X，Y の重さ

(2) 銅 pp g、亜鉛 qq g（pp>0{}> 0，qq>0{}> 0）からなる合金が作れるための pp，qq の条件（X，Y の一方だけを使う場合も含める）

上の (1)，(2) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) X を 6060 g、Y を 4040 g　(2) 23p\dfrac{2}{3}p≦q{}\leqq q≦73p{}\leqq \dfrac{7}{3}p

解説

X を xx g、Y を yy g 使うとすると、銅と亜鉛の重さについて

{0.6x+0.3y=p0.4x+0.7y=q\displaystyle \begin{cases} 0.6x + 0.3y = p \\ 0.4x + 0.7y = q \end{cases}  ⟺  M(xy)\displaystyle {}\iff M\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=(pq),\displaystyle {}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix},M\displaystyle M=(0.60.30.40.7)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{pmatrix}

Δ\Delta=0.6⋅0.7{}= 0.6\cdot0.7−0.3⋅0.4{}- 0.3\cdot0.4=0.3{}= 0.3≠0{}\neq 0 なので、xx，yy はただ 1 組に決まります。

M−1\displaystyle M^{-1}=10.3(0.7−0.3−0.40.6)\displaystyle {}= \frac{1}{0.3}\begin{pmatrix} 0.7 & -0.3 \\ -0.4 & 0.6 \end{pmatrix}

(1) pp=48{}= 48，qq=52{}= 52 を代入します。

(xy)\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=10.3(0.7⋅48−0.3⋅52−0.4⋅48+0.6⋅52)\displaystyle {}= \frac{1}{0.3}\begin{pmatrix} 0.7\cdot48 - 0.3\cdot52 \\ -0.4\cdot48 + 0.6\cdot52 \end{pmatrix}=10.3(1812)\displaystyle {}= \frac{1}{0.3}\begin{pmatrix} 18 \\ 12 \end{pmatrix}=(6040)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 60 \\ 40 \end{pmatrix} X を 60 g，Y を 40 g‾\underline{\text{X を } 60 \ \text{g，Y を } 40 \ \text{g}}

確かめ：銅は 0.6⋅600.6\cdot60+0.3⋅40{}+ 0.3\cdot40=48{}= 48 g、亜鉛は 0.4⋅600.4\cdot60+0.7⋅40{}+ 0.7\cdot40=52{}= 52 g です。

(2) 一般の pp，qq では

x\displaystyle x=7p−3q3,\displaystyle {}= \frac{7p - 3q}{3},y\displaystyle y=6q−4p3\displaystyle {}= \frac{6q - 4p}{3}

実際に作れるのは xx≧0{}\geqq 0 かつ yy≧0{}\geqq 0 のときだけです（負の重さは使えません）。

7p\displaystyle 7p−3q\displaystyle {}- 3q≧0 かつ 6q\displaystyle {}\geqq 0 \ \text{かつ}\ 6q−4p\displaystyle {}- 4p≧0\displaystyle {}\geqq 0  ⟺  23p\displaystyle {}\iff \frac{2}{3}p≦q\displaystyle {}\leqq q≦73p\displaystyle {}\leqq \frac{7}{3}p 23p≦q≦73p‾\underline{\frac{2}{3}p \leqq q \leqq \frac{7}{3}p}

等号は、X だけを使うとき（qq=23p{}= \frac{2}{3}p）と Y だけを使うとき（qq=73p{}= \frac{7}{3}p）にあたります。連立方程式が解けても、解が問題の条件に合うかを最後に吟味するのが文章題の作法です。

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問13　★★

2次の正方行列 AA，BB について、det⁡(A+B)\det(A + B)=det⁡A{}= \det A+det⁡B{}+ \det B は一般には成り立たない。このことを具体例で示し、さらに det⁡A\det A≠0{}\neq 0 で BB=kA{}= kA（kk は実数）であるとき、この等式が成り立つような kk をすべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

例：AA=B{}= B=E{}= E のとき左辺 =4= 4、右辺 =2= 2 で一致しない。kk=0{}= 0

解説

反例　AA=B{}= B=E{}= E とすると AA+B{}+ B=2E{}= 2E なので

det⁡(A+B)\displaystyle \det(A + B)=det⁡(2E)\displaystyle {}= \det(2E)=22⋅1\displaystyle {}= 2^2 \cdot 1=4,\displaystyle {}= 4,det⁡A\displaystyle \det A+det⁡B\displaystyle {}+ \det B=1\displaystyle {}= 1+1\displaystyle {}+ 1=2\displaystyle {}= 2

両者は一致しません。よって等式は一般には成り立ちません。（実数倍が det⁡(kA)\det(kA)=k2det⁡A{}= k^2\det A と 2 乗できくことが、成り立たない理由そのものです。）

BB=kA{}= kA のとき　AA+B{}+ B=(1+k)A{}= (1 + k)A なので

det⁡(A+B)\displaystyle \det(A + B)=(1+k)2det⁡A\displaystyle {}= (1 + k)^2 \det A

一方

det⁡A\displaystyle \det A+det⁡B\displaystyle {}+ \det B=det⁡A\displaystyle {}= \det A+k2det⁡A\displaystyle {}+ k^2\det A=(1+k2)det⁡A\displaystyle {}= (1 + k^2)\det A

det⁡A\det A≠0{}\neq 0 なので、両辺を det⁡A\det A で割って

(1+k)2\displaystyle (1 + k)^2=1\displaystyle {}= 1+k2\displaystyle {}+ k^2  ⟺  1\displaystyle {}\iff 1+2k\displaystyle {}+ 2k+k2\displaystyle {}+ k^2=1\displaystyle {}= 1+k2\displaystyle {}+ k^2  ⟺  2k\displaystyle {}\iff 2k=0\displaystyle {}= 0 k=0‾\underline{k = 0}

つまり BB=O{}= O のときだけです（このとき両辺とも det⁡A\det A）。（証明終）

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問14　★★

AA=(1−331){}= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} とする。AA を rR(θ)rR(\theta)（rr>0{}> 0，0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta<360∘{}< 360^\circ，R(θ)R(\theta) は原点のまわりの θ\theta 回転を表す行列）の形に表し、A6A^6 を求めなさい。また、その結果が複素数 (1+3 i)6(1 + \sqrt{3}\,i)^6 の値と対応していることを確かめなさい。

つまずいたときは：
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答え

AA=2R(60∘){}= 2R(60^\circ)，A6A^6=64E{}= 64E。(1+3 i)6(1 + \sqrt{3}\,i)^6=64{}= 64 で、実数 6464 に対応する行列が 64E64E

解説

(a−bba)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} の形なので、rr=12+(3)2{}= \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2}=2{}= 2 でくくります。

A\displaystyle A=2(12−323212)\displaystyle {}= 2\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac{\sqrt3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}=2R(60∘)‾\displaystyle {}= \underline{2R(60^\circ)}

rErE の形の行列（原点中心の rr 倍の拡大）はどんな行列とも交換可能なので、nn 乗はそのまま分けられます。

A6\displaystyle A^6=26R(60∘)6\displaystyle {}= 2^6 R(60^\circ)^6=64 R(360∘)\displaystyle {}= 64\,R(360^\circ)=64E‾\displaystyle {}= \underline{64E}

（R(θ)nR(\theta)^n=R(nθ){}= R(n\theta) は、回転を nn 回続けることが nθn\theta 回転になるということです。）

複素数との対応　複素数 aa+bi{}+ bi に行列 (a−bba)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} を対応させると、和も積も対応が保たれます。AA に対応するのは 11+3 i{}+ \sqrt3\,i=2(cos⁡60∘+isin⁡60∘){}= 2\left(\cos60^\circ + i\sin60^\circ\right) で、ド・モアブルの定理より

(1+3 i)6\displaystyle (1 + \sqrt3\,i)^6=26(cos⁡360∘+isin⁡360∘)\displaystyle {}= 2^6\left(\cos360^\circ + i\sin360^\circ\right)=64\displaystyle {}= 64

実数 6464 に対応する行列は (640064)\begin{pmatrix} 64 & 0 \\ 0 & 64 \end{pmatrix}=64E{}= 64E で、A6A^6 と一致します。回転を表す行列と複素数の積は、同じことを別の言葉で書いたものです。

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問15　★★

AA=(5332){}= \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}，BB=(1213){}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}，CC=(5120){}= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} のとき、AXBAXB=C{}= C をみたす行列 XX を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

XX=(10−6−127){}= \begin{pmatrix} 10 & -6 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}

解説

det⁡A\det A=5⋅2{}= 5\cdot2−3⋅3{}- 3\cdot3=1{}= 1，det⁡B\det B=1⋅3{}= 1\cdot3−2⋅1{}- 2\cdot1=1{}= 1 なので、AA，BB はともに正則です。

A−1\displaystyle A^{-1}=(2−3−35),\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix},B−1\displaystyle B^{-1}=(3−2−11)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

AXBAXB=C{}= C の両辺に、左から A−1A^{-1}、右から B−1B^{-1} をかけます。AA と BB は XX をはさんで両側にいるので、片側ずつ外す必要があります。

A−1(AXB)B−1\displaystyle A^{-1}(AXB)B^{-1}=A−1CB−1\displaystyle {}= A^{-1}CB^{-1}  ⟺  X\displaystyle {}\iff X=A−1CB−1\displaystyle {}= A^{-1}CB^{-1}

左から順に計算します。

A−1C\displaystyle A^{-1}C=(2−3−35)(5120)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}=(42−5−3)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & -3 \end{pmatrix} X\displaystyle X=(42−5−3)(3−2−11)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=(10−6−127)‾\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 10 & -6 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}}

確かめ：AXAX=(14−96−4){}= \begin{pmatrix} 14 & -9 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}、(AX)B(AX)B=(5120){}= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}=C{}= C です。A−1A^{-1} を右からかけたり B−1B^{-1} を左からかけたりすると、XX を取り出せません。

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問16　★★

f(x)f(x)=3x+1x+3{}= \dfrac{3x + 1}{x + 3} とし、ff を nn 回合成した関数を fnf_n とする。一次分数関数 ax+bcx+d\dfrac{ax + b}{cx + d} の合成は、係数を並べた行列 (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} の積に対応することが知られている。AA=(3113){}= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} として AnA^n を求め、fn(x)f_n(x) を nn の式で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

AnA^n=12(4n+2n4n−2n4n−2n4n+2n){}= \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n \\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}，fn(x)f_n(x)=(2n+1)x+(2n−1)(2n−1)x+(2n+1){}= \dfrac{(2^n + 1)x + (2^n - 1)}{(2^n - 1)x + (2^n + 1)}

解説

対角和は 66、Δ\Delta=9{}= 9−1{}- 1=8{}= 8 なので、AA が背負う 2 次方程式は

x2\displaystyle x^2−6x\displaystyle {}- 6x+8\displaystyle {}+ 8=0\displaystyle {}= 0  ⟺  (x−2)(x−4)\displaystyle {}\iff (x - 2)(x - 4)=0\displaystyle {}= 0

解が相異なる 2 つ 2,2, 4\ 4 なので、AnA^n=pA{}= pA+qE{}+ qE とおいて 2 解を代入する方法が使えます（AnA^n−pA{}- pA−qE{}- qE=O{}= O の左辺は、AA を xx に置きかえた多項式 xnx^n−px{}- px−q{}- q が x2x^2−6x{}- 6x+8{}+ 8 で割り切れることと同じなので、xx=2,{}= 2, 4\ 4 を代入できます）。

{2n=2p+q4n=4p+q\displaystyle \begin{cases} 2^n = 2p + q \\ 4^n = 4p + q \end{cases}⟹p\displaystyle {}\Longrightarrow p=4n−2n2,\displaystyle {}= \frac{4^n - 2^n}{2},q\displaystyle q=2n\displaystyle {}= 2^n−2p\displaystyle {}- 2p=2⋅2n\displaystyle {}= 2\cdot2^n−4n\displaystyle {}- 4^n An\displaystyle A^n=pA\displaystyle {}= pA+qE\displaystyle {}+ qE=(3p+qpp3p+q)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3p + q & p \\ p & 3p + q \end{pmatrix}

3p3p+q{}+ q=3(4n−2n)2{}= \dfrac{3(4^n - 2^n)}{2}+2⋅2n{}+ 2\cdot2^n−4n{}- 4^n=4n+2n2{}= \dfrac{4^n + 2^n}{2} なので

An=12(4n+2n4n−2n4n−2n4n+2n)‾\underline{A^n = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n \\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}}

この成分を一次分数関数の係数に戻します。分母・分子を 2n2\dfrac{2^n}{2} で割ると（一次分数関数は係数を同じ数で割っても同じ関数です）

fn(x)=(2n+1)x+(2n−1)(2n−1)x+(2n+1)‾\underline{f_n(x) = \frac{(2^n + 1)x + (2^n - 1)}{(2^n - 1)x + (2^n + 1)}}

確かめ：nn=1{}= 1 で 3x+1x+3\dfrac{3x + 1}{x + 3} に戻ります。nn=2{}= 2 なら 5x+33x+5\dfrac{5x + 3}{3x + 5} で、これは f(f(x))f(f(x)) を直接計算した結果と一致します。nn→∞{}\to \infty では係数の比が 1:11 : 1 に近づき、fn(x)f_n(x)→1{}\to 1（xx>−1{}> -1 のとき）です。

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問17　★★★

A2A^2=(76910){}= \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} をみたす 2 次の実正方行列 AA をすべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

AA=±(1232){}= \pm\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}，AA=±15(116914){}= \pm\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 9 & 14 \end{pmatrix} の 4 つ

解説

成分を 44 文字とおくと 4 次の連立になって手に負えません。ケーリー・ハミルトンの定理を使うと、A2A^2 が AA の 1 次式で書けることを逆に利用できます。

AA の対角和を tt、det⁡A\det A=d{}= d とおくと

A2\displaystyle A^2=tA\displaystyle {}= tA−dE\displaystyle {}- dE(∗)\displaystyle (\ast)

dd を求める　(∗)(\ast) の前に、行列式をとります。det⁡(A2)\det(A^2)=(det⁡A)2{}= (\det A)^2 なので

d2\displaystyle d^2=det⁡(76910)\displaystyle {}= \det\begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix}=70\displaystyle {}= 70−54\displaystyle {}- 54=16\displaystyle {}= 16  ⟺  d\displaystyle {}\iff d=±4\displaystyle {}= \pm4

tt を求める　(∗)(\ast) の両辺の対角和をとります。AA の対角和は tt、EE の対角和は 22 なので

7\displaystyle 7+10\displaystyle {}+ 10=t⋅t\displaystyle {}= t\cdot t−2d\displaystyle {}- 2d  ⟺  t2\displaystyle {}\iff t^2=17\displaystyle {}= 17+2d\displaystyle {}+ 2d
  • dd=4{}= 4 のとき t2t^2=25{}= 25 より tt=±5{}= \pm5
  • dd=−4{}= -4 のとき t2t^2=9{}= 9 より tt=±3{}= \pm3

tt=0{}= 0 になりえないことの確認　もし tt=0{}= 0 なら (∗)(\ast) は A2A^2=−dE{}= -dE となり、A2A^2 は対角成分が等しく他が 00 の行列になります。(76910)\begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} はその形ではないので不適です（上で得た tt はすべて 00 でないので、矛盾はありません）。

AA を求める　tt≠0{}\neq 0 なので (∗)(\ast) から

A\displaystyle A=1t(A2+dE)\displaystyle {}= \frac{1}{t}\left(A^2 + dE\right)
  • tt=3,{}= 3,dd=−4{}= -4：AA=13(3696){}= \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}=(1232){}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
  • tt=−3,{}= -3,dd=−4{}= -4：AA=−(1232){}= -\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
  • tt=5,{}= 5,dd=4{}= 4：AA=15(116914){}= \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 9 & 14 \end{pmatrix}
  • tt=−5,{}= -5,dd=4{}= 4：AA=−15(116914){}= -\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 9 & 14 \end{pmatrix}

逆の確認　上の 4 つは「AA が存在すればこの形」という必要条件から出したので、実際に 2 乗して確かめます。(1232)2\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^2=(76910){}= \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix}、125(116914)2\dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 9 & 14 \end{pmatrix}^2=125(175150225250){}= \dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} 175 & 150 \\ 225 & 250 \end{pmatrix}=(76910){}= \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix}。符号を変えたものも 2 乗すれば同じです。また、それぞれ対角和と行列式が想定どおり（3,3, −4{}\ -4 と 5,5, 4\ 4）であることも確かめられます。

A=±(1232),‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}A = \pm\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix},}A=±15(116914)‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\quad A = \pm\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 9 & 14 \end{pmatrix}}

数の世界で 4\sqrt{4}=±2{}= \pm2 が 2 つなのに対し、行列の「平方根」は 4 つありました。

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問18　★★★

2 次の正方行列 AA が逆行列をもち、AA+A−1{}+ A^{-1}=E{}= E をみたすとき、A3A^3 と A2026A^{2026} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

A3A^3=−E{}= -E，A2026A^{2026}=−A{}= -A

解説

与えられた式の両辺に左から AA をかけます（AA−1AA^{-1}=E{}= E を使うため）。

A2\displaystyle A^2+E\displaystyle {}+ E=A\displaystyle {}= A  ⟺  A2\displaystyle {}\iff A^2=A\displaystyle {}= A−E\displaystyle {}- E(∗)\displaystyle (\ast)

(∗)(\ast) の両辺に AA をかけ、もう一度 (∗)(\ast) で次数を下げます。

A3\displaystyle A^3=A2\displaystyle {}= A^2−A\displaystyle {}- A=(A−E)\displaystyle {}= (A - E)−A\displaystyle {}- A=−E‾\displaystyle {}= \underline{-E}

ここから周期が見えます。

A6\displaystyle A^6=(A3)2\displaystyle {}= (A^3)^2=(−E)2\displaystyle {}= (-E)^2=E\displaystyle {}= E

つまり 66 乗すると単位行列に戻ります。20262026 を 66 で割ると

2026\displaystyle 2026=6⋅337\displaystyle {}= 6 \cdot 337+4\displaystyle {}+ 4

なので

A2026\displaystyle A^{2026}=(A6)337A4\displaystyle {}= (A^6)^{337}A^4=A4\displaystyle {}= A^4=A3⋅A\displaystyle {}= A^3 \cdot A=−A\displaystyle {}= -A A2026=−A‾\underline{A^{2026} = -A}

補足：(∗)(\ast) とケーリー・ハミルトンの定理 A2A^2−(a+d)A{}- (a+d)A+ΔE{}+ \Delta E=O{}= O を見比べると、対角和が 11、Δ\Delta=1{}= 1 です。Δ\Delta=1{}= 1 で対角和が 2cos⁡θ2\cos\theta=1{}= 1、つまり AA は 60∘60^\circ 回転を表す行列（と同じはたらきをする行列）です。66 回で一周するので A6A^6=E{}= E、33 回で半回転なので A3A^3=−E{}= -E というわけです。

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問19　★★★

一次変換 ff が行列 AA=(0−12120){}= \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} で表されている。点 P0(1, 0)\mathrm{P}_0(1,\ 0) から始めて、Pn\mathrm{P}_n=f(Pn−1){}= f(\mathrm{P}_{n-1})（nn=1,{}= 1, 2,\ 2, 3,\ 3, ⋯\ \cdots）で点列 P0,\mathrm{P}_0, P1,\ \mathrm{P}_1, P2,\ \mathrm{P}_2, ⋯\ \cdots を定める。折れ線の長さの総和 ∑n=1∞Pn−1Pn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

5\sqrt{5}

解説

AA を rR(θ)rR(\theta) の形に直します。(0−110)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=R(90∘){}= R(90^\circ) なので

A\displaystyle A=12R(90∘)\displaystyle {}= \frac{1}{2}R(90^\circ)

つまり ff は「原点のまわりに 90∘90^\circ 回して、原点からの距離を 12\dfrac{1}{2} にする」変換です。よって

OPn\displaystyle \mathrm{OP}_n=(12)nOP0\displaystyle {}= \left(\frac{1}{2}\right)^n \mathrm{OP}_0=(12)n,\displaystyle {}= \left(\frac{1}{2}\right)^n,∠Pn−1OPn\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-1}\mathrm{OP}_n=90∘\displaystyle {}= 90^\circ

∠Pn−1OPn\angle \mathrm{P}_{n-1}\mathrm{OP}_n が直角なので、三平方の定理から

Pn−1Pn\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n=OPn−12+OPn2\displaystyle {}= \sqrt{\mathrm{OP}_{n-1}^2 + \mathrm{OP}_n^2}=(12)2n−2+(12)2n\displaystyle {}= \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}}

(12)2n−2\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-2} でくくると

Pn−1Pn\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n=(12)n−11+14\displaystyle {}= \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\sqrt{1 + \frac{1}{4}}=52(12)n−1\displaystyle {}= \frac{\sqrt5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

これは初項 52\dfrac{\sqrt5}{2}、公比 12\dfrac{1}{2} の等比数列です。∣12∣\left|\dfrac{1}{2}\right|<1{}< 1 なので無限等比級数は収束して

∑n=1∞Pn−1Pn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n=521−12\displaystyle {}= \frac{\frac{\sqrt5}{2}}{1 - \frac{1}{2}}=5‾\displaystyle {}= \underline{\sqrt5}

点列は原点にうず巻きながら近づきます。1 周ぶん（P0\mathrm{P}_0 から P4\mathrm{P}_4 まで）の長さは 52(1+12+14+18)\dfrac{\sqrt5}{2}\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18\right)=15516{}= \dfrac{15\sqrt5}{16} で、すでに総和 5\sqrt5 の 99 割を超えています。無限に折れ曲がっても長さは有限です。

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問20　★★★

AA=(3423){}= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} とする。次の (1)，(2) を示し、(3) を求めなさい。

(1) すべての自然数 nn に対して、AnA^n=(xn4yn2ynxn){}= \begin{pmatrix} x_n & 4y_n \\ 2y_n & x_n \end{pmatrix} となる自然数 xnx_n，yny_n が存在すること

(2) その xnx_n，yny_n が xn2x_n^2−8yn2{}- 8y_n^2=1{}= 1 をみたすこと

(3) x4x_4 と y4y_4 の値

上の (1)，(2) を示し、(3) を求めなさい。

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答え

(1)(2) は解説のとおり（xn+1x_{n+1}=3xn{}= 3x_n+8yn{}+ 8y_n，yn+1y_{n+1}=xn{}= x_n+3yn{}+ 3y_n）。(3) x4x_4=577{}= 577，y4y_4=204{}= 204

解説

(1) 数学的帰納法で示します。

nn=1{}= 1 のとき、x1x_1=3{}= 3，y1y_1=1{}= 1 とすれば (3423)\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} となり成り立ちます。

nn=k{}= k のとき AkA^k=(xk4yk2ykxk){}= \begin{pmatrix} x_k & 4y_k \\ 2y_k & x_k \end{pmatrix}（xkx_k，yky_k は自然数）と書けるとすると

Ak+1\displaystyle A^{k+1}=(xk4yk2ykxk)(3423)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} x_k & 4y_k \\ 2y_k & x_k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}=(3xk+8yk4xk+12yk6yk+2xk8yk+3xk)\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3x_k + 8y_k & 4x_k + 12y_k \\ 6y_k + 2x_k & 8y_k + 3x_k \end{pmatrix}

ここで

xk+1\displaystyle x_{k+1}=3xk\displaystyle {}= 3x_k+8yk,\displaystyle {}+ 8y_k,yk+1\displaystyle y_{k+1}=xk\displaystyle {}= x_k+3yk\displaystyle {}+ 3y_k

とおくと、右上は 4xk4x_k+12yk{}+ 12y_k=4yk+1{}= 4y_{k+1}、左下は 2xk2x_k+6yk{}+ 6y_k=2yk+1{}= 2y_{k+1}、右下は 3xk3x_k+8yk{}+ 8y_k=xk+1{}= x_{k+1} となり、Ak+1A^{k+1} も同じ形になります。xkx_k，yky_k が自然数なら xk+1x_{k+1}，yk+1y_{k+1} も自然数です。よってすべての自然数 nn で成り立ちます。（証明終）

(2) det⁡A\det A=3⋅3{}= 3\cdot3−4⋅2{}- 4\cdot2=1{}= 1 です。det⁡(An)\det(A^n)=(det⁡A)n{}= (\det A)^n なので

det⁡(An)\displaystyle \det(A^n)=1n\displaystyle {}= 1^n=1\displaystyle {}= 1

一方、(1) の形から

det⁡(An)\displaystyle \det(A^n)=xn⋅xn\displaystyle {}= x_n \cdot x_n−4yn⋅2yn\displaystyle {}- 4y_n \cdot 2y_n=xn2\displaystyle {}= x_n^2−8yn2\displaystyle {}- 8y_n^2

よって

xn2\displaystyle x_n^2−8yn2\displaystyle {}- 8y_n^2=1\displaystyle {}= 1

（証明終）　行列を 1 回かけるたびに、x2x^2−8y2{}- 8y^2=1{}= 1 をみたす自然数の組が次々と作れることになります。

(3) (1) の漸化式で順に計算します。

(x1, y1)\displaystyle (x_1,\ y_1)=(3, 1)\displaystyle {}= (3,\ 1)(x2, y2)\displaystyle (x_2,\ y_2)=(3⋅3+8⋅1, 3+3⋅1)\displaystyle {}= (3\cdot3 + 8\cdot1,\ 3 + 3\cdot1)=(17, 6)\displaystyle {}= (17,\ 6)(x3, y3)\displaystyle (x_3,\ y_3)=(3⋅17+8⋅6, 17+3⋅6)\displaystyle {}= (3\cdot17 + 8\cdot6,\ 17 + 3\cdot6)=(99, 35)\displaystyle {}= (99,\ 35)(x4, y4)\displaystyle (x_4,\ y_4)=(3⋅99+8⋅35, 99+3⋅35)\displaystyle {}= (3\cdot99 + 8\cdot35,\ 99 + 3\cdot35)=(577‾, 204‾)\displaystyle {}= (\underline{577},\ \underline{204})

確かめ：5772577^2−8⋅2042{}- 8\cdot204^2=332929{}= 332929−332928{}- 332928=1{}= 1 です。577204\dfrac{577}{204}=2.8284⋯{}= 2.8284\cdots は 222\sqrt2=2.8284⋯{}= 2.8284\cdots のとても良い近似になっています。x2x^2−8y2{}- 8y^2=1{}= 1 のような方程式はペル方程式と呼ばれ、Δ\Delta=1{}= 1 の整数行列のべき乗が解を量産してくれます。

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