第7章　回転・対称移動・拡大

回転を行列で書く

原点まわりに角 $\theta$ だけ回す。図形の移動として、いちばんなじみのある操作でしょう。これを一次変換として書くには、第 6 章 公式4 のとおり、基本ベクトル 2 本の行き先だけを調べればよいことになります。

$\vec{e_1}$${}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は、原点から右へ長さ $1$ のベクトルです。これを $\theta$ 回すと、長さは $1$ のままで、向きが $x$ 軸から $\theta$ になります。単位円の定義そのままで、行き先は $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ です。

$\vec{e_2}$${}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は真上を向いていて、$x$ 軸とのなす角が $90^\circ$ です。$\theta$ 回すと角は $\theta$${}+ 90^\circ$ になるので、行き先は $(\cos(\theta + 90^\circ),\ \sin(\theta + 90^\circ))$。三角関数の公式でこれは $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$ です。

あとは 2 本を横に並べるだけです。

公式1：回転を表す行列

原点まわりに角 $\theta$ だけ回転する一次変換を $f$ とすると、$f$ を表す行列は

$\displaystyle R(\theta)$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

である（第 1 列が $f(\vec{e_1})$、第 2 列が $f(\vec{e_2})$）。したがって点 $(x,\ y)$ の像 $(x',\ y')$ は

$\displaystyle \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix},$$\displaystyle \begin{cases} x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases}$

$\theta$ は反時計まわりを正とする。この章では回転を表す行列を $R(\theta)$ と書く。

下の連立の形に見覚えがあるかもしれません。三角比と三角関数の第 9 章 j18 で、加法定理を使って導いた回転の公式そのものです。あのときは $x$，$y$ をいったん極形式に直し、加法定理で展開して整理する、という手順が必要でした。ここでは「$\vec{e_1}$ と $\vec{e_2}$ の行き先を並べる」だけで同じ式が出ました。行列という器を用意したことで、導出が 2 行で終わったわけです。

第 6 章でゴムシートの例えを使いました。回転は、そのシートを伸ばしも縮めもせず、原点に刺した画びょうを軸にくるりと向きだけ変える操作です。手元の地図を傾けて持つのに近い。地図の上の建物どうしの距離や角度は何も変わらず、ただ北の向きが斜めになります。

回転を表す行列は、$\vec{e_1}$ が $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ へ、$\vec{e_2}$ が $(-\sin\theta,\ \cos\theta)$ へ移ることから、その 2 本を列として並べれば作れるということです。

例題1：回転の行列と点の像

原点まわりに $60^\circ$ 回転する一次変換を $f$ とする。次の問いに答えなさい。

(1) $f$ を表す行列を求めなさい。

(2) $f$ による点 $(2,\ 0)$ の像を求めなさい。

(3) $f$ による点 $(1,\ \sqrt{3})$ の像を求めなさい。

---

【解答】

(1) $\cos 60^\circ$${}= \dfrac{1}{2}$，$\sin 60^\circ$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を公式1 に入れます。

$\displaystyle R(60^\circ)$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}}$

(2)

$\displaystyle \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (1,\ \sqrt{3})}$

(3)

$\displaystyle \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (-1,\ \sqrt{3})}$

答えの意味を確かめておきます。(2) の点 $(2,\ 0)$ は原点からの距離 $2$、向きは $0^\circ$。像 $(1,\ \sqrt{3})$ は距離が $\sqrt{1 + 3}$${}= 2$ で変わらず、向きは $60^\circ$ です。(3) の点 $(1,\ \sqrt{3})$ は距離 $2$・向き $60^\circ$ で、像 $(-1,\ \sqrt{3})$ は距離 $2$・向き $120^\circ$。どちらも距離はそのまま、向きが $60^\circ$ 増える。回転の答えは、この 2 点を見れば検算できます。

回して、また回す

$30^\circ$ 回してから、続けて $60^\circ$ 回せば、合わせて $90^\circ$ 回ったことになります。当たり前の事実ですが、行列の側ではどう見えるでしょうか。$R(\alpha)$ と $R(\beta)$ の積を計算してみます。

$\displaystyle R(\alpha)R(\beta)$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$

$(1,\ 1)$ 成分は $\cos\alpha\cos\beta$${}- \sin\alpha\sin\beta$。加法定理そのもので、$\cos(\alpha + \beta)$ です。$(2,\ 1)$ 成分は $\sin\alpha\cos\beta$${}+ \cos\alpha\sin\beta$${}= \sin(\alpha + \beta)$。残りの 2 つも同じように整理できて、結果は

$\displaystyle R(\alpha)R(\beta)$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\ \sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta) \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= R(\alpha + \beta)$

角が足し算になりました。加法定理が、行列の積の中に隠れていたわけです。

公式2：回転を表す行列の性質

$\displaystyle R(\alpha)R(\beta)$$\displaystyle {}= R(\beta)R(\alpha)$$\displaystyle {}= R(\alpha + \beta)$$\displaystyle R(\theta)^n$$\displaystyle {}= R(n\theta)$$\displaystyle (n \ \text{は自然数}),$$\displaystyle R(\theta)^{-1}$$\displaystyle {}= R(-\theta),$$\displaystyle R(0^\circ)$$\displaystyle {}= E$

また、行列式は

$\displaystyle \Delta$$\displaystyle {}= \cos^2\theta$$\displaystyle {}+ \sin^2\theta$$\displaystyle {}= 1$

で、$\theta$ によらず $1$ である。とくに $R(\theta)$ は常に正則で、逆行列は $-\theta$ の回転を表す。

$R(\theta)^n$${}= R(n\theta)$ は、$R(\alpha)R(\beta)$${}= R(\alpha + \beta)$ を繰り返し使えば出ます。$R(\theta)^{-1}$${}= R(-\theta)$ は $R(\theta)R(-\theta)$${}= R(0^\circ)$${}= E$ からすぐです。

ここで 2 つ、注意があります。

ひとつめ。第 2 章でくどいほど述べたとおり、行列の積は一般に交換できません。ところが回転どうしは、角の足し算が交換できるおかげで $R(\alpha)R(\beta)$${}= R(\beta)R(\alpha)$ が成り立ちます。回転は行列の世界では例外的に仲のよい仲間なのです。この先に出てくる対称移動や伸縮とは、順番を入れかえると結果が変わります（実践 j16）。

ふたつめ。「$R(\alpha)R(\beta)$ が $\alpha$ 回してから $\beta$ 回すことにあたる」という意味づけのほうは、まだきちんと証明していません。ここでは積を計算した結果が $R(\alpha + \beta)$ になった、という計算事実だけを使っています。移動を続けて行うことが行列の積にあたる、という一般の話は第 8 章で扱います。

ダイヤル錠のイメージが近いでしょう。$30$ 目盛り回してから $60$ 目盛り回すのは、$90$ 目盛り回すのと同じ。そして戻すときは同じ数だけ逆向きに回す。これが $R(\theta)^{-1}$${}= R(-\theta)$ です。

回転を表す行列は、かけると角が足され、$n$ 乗すると角が $n$ 倍になり、逆行列は逆向きの回転になるということです。

例題2：回転の積と $n$ 乗

$R$${}= R(45^\circ)$ とする。次の問いに答えなさい。

(1) $R^2$ を求めなさい。

(2) $R^6$ を求めなさい。

(3) 第 2 章 j13 で、$A$${}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ が $A^4$${}= E$ をみたすことを確かめた。この $A$ がどんな一次変換を表すか答え、$A^4$${}= E$ の理由を回転の言葉で説明しなさい。

---

【解答】

(1) 公式2 より角が足されるだけです。

$\displaystyle R^2$$\displaystyle {}= R(90^\circ)$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$

(2) $R^6$${}= R(45^\circ \times 6)$${}= R(270^\circ)$ です。$\cos 270^\circ$${}= 0$，$\sin 270^\circ$${}= -1$ なので

$\displaystyle R^6$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$

(3) $A$${}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ を公式1 と見比べます。$\cos\theta$${}= 0$，$\sin\theta$${}= -1$ なので $\theta$${}= -90^\circ$。つまり $A$ は原点まわりに $-90^\circ$（時計まわりに $90^\circ$）回転する一次変換を表す行列です。

$-90^\circ$ の回転を 4 回続ければ $-360^\circ$、つまり 1 周して元に戻ります。$A^4$${}= R(-360^\circ)$${}= E$ はそのことを言っていたのです。

第 2 章では、この行列を「$4$ 回かけると $E$ に戻る不思議な行列」として、成分を 4 回かけ算して確かめました。正体が回転だと分かれば、計算せずとも $A^{2026}$ の答えが見えます。$2026$${}= 4 \times 506$${}+ 2$ なので $A^{2026}$${}= A^2$${}= R(-180^\circ)$${}= -E$ です。(2) の $R^6$ が $A$ と同じ行列になったのも、$270^\circ$ の回転と $-90^\circ$ の回転が同じ動きだからです。

$R(\theta)^{-1}$${}= R(-\theta)$ は、第 6 章 公式6 の原像をさがすときにそのまま使えます。「回したあとの位置」が分かっていて「回す前の位置」を知りたいのなら、逆向きに回せばよい。ビデオの巻き戻しと同じ発想です。

例題3：逆向きに回して原像を求める

原点まわりに $30^\circ$ 回転する一次変換 $f$ によって点 $(\sqrt{3},\ 1)$ に移る点を求めなさい。

---

【解答】

求める点を $\vec{p}$ とすると $R(30^\circ)\vec{p}$${}= \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$ です。両辺に左から $R(30^\circ)^{-1}$${}= R(-30^\circ)$ をかけます。

$\displaystyle R(-30^\circ)$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \cos(-30^\circ) & -\sin(-30^\circ) \\ \sin(-30^\circ) & \cos(-30^\circ) \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[4pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$\displaystyle \vec{p}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[4pt] -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} \\[4pt] -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (2,\ 0)}$

第 6 章の例題6 では逆行列の公式 $\dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ を使いましたが、回転なら $\theta$ の符号を変えるだけで済みます。$\Delta$${}= 1$ なので分数も出てきません。

検算は向きと距離で。点 $(2,\ 0)$ は距離 $2$・向き $0^\circ$、像 $(\sqrt{3},\ 1)$ は距離 $\sqrt{3 + 1}$${}= 2$・向き $30^\circ$ です。

直線に関する対称移動

次は、原点を通る 1 本の直線を鏡に見立てて、平面を裏返す操作です。直線を $\ell$ とし、$\ell$ が $x$ 軸となす角を $\theta$ とします。つまり $\ell$ は $y$${}= x\tan\theta$ です（$\theta$${}= 90^\circ$ のときは $y$ 軸）。

ここでも調べるのは基本ベクトル 2 本の行き先だけ。折り紙を思い出してください。$\ell$ を折り目として紙を折ると、$\vec{e_1}$ は折り目の向こう側に写ります。このとき、折り目までの角と同じ角だけ、折り目の向こう側へ回る。$\vec{e_1}$ の向きは $0^\circ$ で、折り目までの角は $\theta$。だから像の向きは $\theta$ をさらに $\theta$ 越えて $2\theta$ になります。長さは $1$ のままですから、行き先は $(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$ です。

$\vec{e_2}$ の向きは $90^\circ$ で、折り目までの角は $\theta$${}- 90^\circ$。像の向きは $2\theta$${}- 90^\circ$ になり、行き先は $(\cos(2\theta - 90^\circ),\ \sin(2\theta - 90^\circ))$${}= (\sin 2\theta,\ -\cos 2\theta)$ です。並べます。

公式3：直線に関する対称移動を表す行列

原点を通り、$x$ 軸とのなす角が $\theta$ である直線 $\ell$（$y$${}= x\tan\theta$）に関する対称移動を表す行列は

$\displaystyle S(\theta)$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$

である。現れるのは $2\theta$ であることに注意する。行列式は

$\displaystyle \Delta$$\displaystyle {}= -\cos^2 2\theta$$\displaystyle {}- \sin^2 2\theta$$\displaystyle {}= -1$

で、常に $-1$ である。代表的な場合は次のとおり。

$\ell$	$\theta$	行列
$x$ 軸	$0^\circ$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
直線 $y = x$	$45^\circ$	$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$y$ 軸	$90^\circ$	$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
直線 $y = -x$	$-45^\circ$	$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$2\theta$ が出てくるところが、この公式の山場です。$\ell$ をなす角が $30^\circ$ なら、$\vec{e_1}$ は $30^\circ$ ではなく $60^\circ$ の向きへ移ります。折り目の手前で $\theta$、先でもう $\theta$ 進むからです。$\ell$ の傾きが与えられているときは、まず $\tan\theta$ から $\theta$ を読み、$2\theta$ に直してから行列を書く、という順番を守ってください。

行列式が $-1$ という事実も覚えておく価値があります。回転は $\Delta$${}= 1$、対称移動は $\Delta$${}= -1$。この符号の違いが「裏返したか、裏返していないか」を表しています。理由は第 9 章で面積と結びつけますが、判別にはいま使えます。$\Delta$ の符号を見れば、回転と対称移動を見分けられるのです。

なお、$\ell$ 自身の上にある点は動きません。折り目の上の点は、折っても位置が変わらないからです。$\ell$ の上にない点で、動かないのは原点だけです。

原点を通り $x$ 軸と $\theta$ をなす直線に関する対称移動の行列は $2\theta$ で書かれ、行列式は必ず $-1$ になるということです。

例題4：直線に関する対称移動

直線 $\ell : y$${}= \sqrt{3}\,x$ に関する対称移動を表す一次変換を $g$ とする。次の問いに答えなさい。

(1) $g$ を表す行列を求めなさい。

(2) $g$ による点 $(2,\ 0)$ の像を求めなさい。

(3) $g$ による点 $(1,\ \sqrt{3})$ の像を求めなさい。

---

【解答】

(1) 傾きが $\sqrt{3}$ なので $\tan\theta$${}= \sqrt{3}$、つまり $\theta$${}= 60^\circ$ です。公式3 に使うのは $2\theta$${}= 120^\circ$ で、$\cos 120^\circ$${}= -\dfrac{1}{2}$，$\sin 120^\circ$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

$\displaystyle S(60^\circ)$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}}$

(2)

$\displaystyle \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (-1,\ \sqrt{3})}$

距離は $2$ のまま、向きは $0^\circ$ から $120^\circ$ へ。たしかに $2\theta$ だけ回っています。

(3)

$\displaystyle \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (1,\ \sqrt{3})}$

もとの点と同じになりました。ミスではありません。$\sqrt{3}$${}= \sqrt{3} \times 1$ なので点 $(1,\ \sqrt{3})$ は $\ell$ の上にあり、折り目の上の点は動かないのでした。

例題1 (3) では、同じ点 $(1,\ \sqrt{3})$ が $60^\circ$ 回転で $(-1,\ \sqrt{3})$ に移りました。いっぽう例題4 (2) では、点 $(2,\ 0)$ が対称移動で $(-1,\ \sqrt{3})$ に移っています。行き先が同じでも、平面全体の動かし方はまるで違う。1 点の像だけでは変換を特定できないという第 6 章の教えを、具体例で見ていることになります。

拡大・縮小と、軸方向の伸縮

いちばん単純な一次変換は、平面をそのままの形で大きくしたり小さくしたりする操作です。点 $(x,\ y)$ を $(kx,\ ky)$ に移すのですから、行列は $kE$ です。第 2 章で $kE$ を「数の化身」と呼びましたが、変換として見れば倍率 $k$ の拡大でした。

公式4：拡大・縮小、軸方向の伸縮、せん断

• $kE$${}= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$：原点を中心とする $k$ 倍の拡大（相似変換）
• $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$：$x$ 軸方向に $a$ 倍、$y$ 軸方向に $b$ 倍
• $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$：$x$ 軸を動かさず、高さ $y$ に比例して横へずらす（せん断）

いずれも第 6 章 公式4 のとおり、各列が $\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$ の行き先である。$k$${}< 0$ の $kE$ は、$|k|$ 倍の拡大と原点に関する対称移動（$= 180^\circ$ 回転）を合わせたものになる。

拡大はコピー機の倍率そのものです。A4 の原稿を A3 に引き伸ばすときの $141\%$ が、$k$${}= 1.41$ にあたります。全体が同じ割合で大きくなるので、形は変わりません。

$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ のほうは、$a$${}\neq b$ だと形が変わります。$4:3$ の映像を $16:9$ の画面いっぱいに無理に広げたときの、横に伸びた顔を思い出してください。$x$ 軸方向だけ伸ばすので、円は楕円になります。

せん断は、トランプの束を上から横へ押したときの形です。一番下のカードは動かず、上へ行くほど大きくずれる。文字の斜体（イタリック）も、まっすぐな字にせん断をかけたものです。第 2 章 例題7 で $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の $n$ 乗を計算して $\begin{pmatrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ になりましたが、あれは「同じせん断を $n$ 回かければ、ずれも $n$ 倍になる」という当たり前の事実だったのです。

$kE$ は形を変えない拡大、対角成分が違う $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ は軸方向だけの伸縮、$\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は片側をずらすせん断だということです。

例題5：拡大・伸縮・せん断

次の一次変換を表す行列を求め、点 $(3,\ 4)$ の像を求めなさい。

(1) 原点を中心とする $3$ 倍の拡大

(2) $x$ 軸方向に $2$ 倍、$y$ 軸方向に $\dfrac{1}{2}$ 倍する変換

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ が表す変換（点 $(0,\ 1)$ の像もあわせて求めなさい）

---

【解答】

(1) $3E$${}= \underline{\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}}$ で、像は $\underline{\text{点} \ (9,\ 12)}$。原点からの向きは変わらず、距離だけ $3$ 倍になります。

(2) 行列は $\underline{\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}}$ です。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (6,\ 2)}$

横に広がり、縦につぶれました。行列式は $2 \times \dfrac{1}{2}$${}= 1$ で、伸びとつぶれがちょうど釣り合っています。

(3) 各列を読むと、$\vec{e_1}$ は $(1,\ 0)$ のまま動かず、$\vec{e_2}$${}= (0,\ 1)$ が $(2,\ 1)$ に移ります。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 + 8 \\ 4 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (11,\ 4)},$$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}$

$y$ 座標は変わらず、$x$ 座標だけが $y$ の $2$ 倍ぶん右へずれています。高さ $4$ の点は $8$ ずれ、高さ $1$ の点は $2$ ずれる。$x$ 軸上（高さ $0$）の点はまったく動きません。

回転と拡大をまとめた行列

第 3 章の厳密定義で、$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ という形の行列だけを集めると、足し算・かけ算について複素数とまったく同じようにふるまう、という話をしました。その正体をここで明かします。

$A$${}= \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$（ただし $(a,\ b)$${}\neq (0,\ 0)$）とおき、$r$${}= \sqrt{a^2 + b^2}$ とします。$\left(\dfrac{a}{r}\right)^2$${}+ \left(\dfrac{b}{r}\right)^2$${}= 1$ なので、$\cos\theta$${}= \dfrac{a}{r}$，$\sin\theta$${}= \dfrac{b}{r}$ をみたす $\theta$ が取れます。すると

$\displaystyle A$$\displaystyle {}= r\begin{pmatrix} \dfrac{a}{r} & -\dfrac{b}{r} \\[4pt] \dfrac{b}{r} & \dfrac{a}{r} \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= r\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= rR(\theta)$

公式5：回転と拡大を合わせた行列

$(a,\ b)$${}\neq (0,\ 0)$ のとき

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= rR(\theta),$$\displaystyle r$$\displaystyle {}= \sqrt{a^2 + b^2},$$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{a}{r},$$\displaystyle \sin\theta$$\displaystyle {}= \frac{b}{r}$

すなわち、この形の行列は原点まわりに $\theta$ 回転して、原点を中心に $r$ 倍に拡大する変換を表す。行列式は $\Delta$${}= a^2$${}+ b^2$${}= r^2$ である。また $kE$ と $R(\theta)$ は交換可能なので

$\displaystyle \left(rR(\theta)\right)^n$$\displaystyle {}= r^n R(n\theta)$

が成り立つ。

$\Delta$${}= r^2$ が $r$ の 2 乗になるのは、縦にも横にも $r$ 倍しているからです（面積との関係は第 9 章）。

うず巻きを思い浮かべてください。$rR(\theta)$ を何度もかけていくと、点は回りながら原点から遠ざかっていきます。$r$${}> 1$ なら外へ広がるうず、$r$${}< 1$ なら内へ吸い込まれるうず。オウムガイの殻やヒマワリの種の並びが、この形の変換を繰り返した跡だと考えられています。

$\Delta$${}= a^2$${}+ b^2$ という式は、第 3 章の厳密定義で「複素数 $a$${}+ bi$ の絶対値の 2 乗にあたる」と書いたものです。行列の言葉で言えば、$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ が複素数 $a$${}+ bi$ の化身で、その $r$ が絶対値、$\theta$ が偏角。複素数をかけることが「回転と拡大」だという話は、複素数平面と曲線の第 2 章でも出てきました。同じ事実を、いま行列の側から見ていることになります。詳しくは小話 kb3 で。

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の形の行列は、$r$${}= \sqrt{a^2 + b^2}$ 倍の拡大と $\theta$ の回転を同時に行う変換で、$n$ 乗すると倍率が $r^n$、角が $n\theta$ になるということです。

例題6：回転と拡大に分ける

$A$${}= \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$ について、次の問いに答えなさい。

(1) $A$ を $rR(\theta)$ の形に表しなさい。

(2) $A$ による点 $(1,\ 0)$ の像を求めなさい。

(3) $A^6$ を求めなさい。

---

【解答】

(1) $a$${}= \sqrt{3}$，$b$${}= 1$ の形なので

$\displaystyle r$$\displaystyle {}= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}$$\displaystyle {}= 2,$$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{3}}{2},$$\displaystyle \sin\theta$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \theta$$\displaystyle {}= 30^\circ$$\displaystyle A$$\displaystyle {}= \underline{2R(30^\circ)}$

念のため確かめます。$2R(30^\circ)$${}= 2\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[4pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$ で、$A$ と一致します。

(2) $(1,\ 0)$ は距離 $1$・向き $0^\circ$ なので、像は距離 $2$・向き $30^\circ$ です。

$\displaystyle A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow \quad \underline{\text{点} \ (\sqrt{3},\ 1)}$

(3) 公式5 より、倍率は $6$ 乗、角は $6$ 倍になります。

$\displaystyle A^6$$\displaystyle {}= 2^6 R(30^\circ \times 6)$$\displaystyle {}= 64R(180^\circ)$$\displaystyle {}= 64\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -64 & 0 \\ 0 & -64 \end{pmatrix}}$

第 5 章では、$A^n$ を求めるのに次数下げや数学的帰納法が必要でした。回転と拡大に分けられる形なら、角を $n$ 倍して倍率を $n$ 乗するだけで終わります。変換として読めると計算が軽くなる、その典型例です。

行列から変換を読み取る

ここまでは「こういう動きの行列を書きなさい」という向きでした。逆向き、つまり与えられた行列がどんな動きなのかを読む練習もしておきます。手順は次の 3 段です。

1. 行列式 $\Delta$ を計算する。
2. $\Delta$${}= 1$ で成分が $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ の形なら回転。$\cos\theta$，$\sin\theta$ から $\theta$ を読む。
3. $\Delta$${}= -1$ で成分が $\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$ の形なら対称移動。$2\theta$ を読んで半分にしてから $\ell$ を書く。

$\Delta$ の符号だけで回転と対称移動が仕分けられるところが便利です。回転は裏返さず（$\Delta$${}= 1$）、対称移動は裏返す（$\Delta$${}= -1$）。この 2 つが、原点からの距離を変えない一次変換のすべてであることも証明できます（実践 j19）。

例題7：行列が表す変換を答える

次の行列が表す一次変換は、原点まわりの回転か、原点を通る直線に関する対称移動のいずれかである。回転ならその角、対称移動ならその直線を求めなさい。

(1) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

---

【解答】

(1) $\Delta$${}= 0 \times 0$${}- 1 \times 1$${}= -1$ なので対称移動です。公式3 と見比べると $\cos 2\theta$${}= 0$，$\sin 2\theta$${}= 1$ より $2\theta$${}= 90^\circ$、$\theta$${}= 45^\circ$。$\tan 45^\circ$${}= 1$ なので

$$\underline{\text{直線} \ y = x \ \text{に関する対称移動}}$$

$(x,\ y)$ が $(y,\ x)$ に移る、つまり座標を入れかえる変換です。$y$${}= x$ を折り目にすれば、たしかに縦と横が入れかわります。

(2) $\Delta$${}= \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)$${}- \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$${}= \dfrac{1}{4}$${}+ \dfrac{3}{4}$${}= 1$ なので回転です。$\cos\theta$${}= -\dfrac{1}{2}$，$\sin\theta$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より

$$\underline{\text{原点まわりに} \ 120^\circ \ \text{の回転}}$$

(3) $\Delta$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)$${}- \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$${}= -\dfrac{1}{4}$${}- \dfrac{3}{4}$${}= -1$ なので対称移動です。$\cos 2\theta$${}= \dfrac{1}{2}$，$\sin 2\theta$${}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $2\theta$${}= -60^\circ$、$\theta$${}= -30^\circ$。$\tan(-30^\circ)$${}= -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ なので

$$\underline{\text{直線} \ y = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}x \ \text{に関する対称移動}}$$

$2\theta$ をそのまま $\theta$ と読んでしまい、$y$${}= -\sqrt{3}x$ と答えるのがいちばん多い誤りです。対称移動の行列に入っているのは $2\theta$。読み取ったら必ず半分にしてください。