第1章　行列とその和・差・実数倍

行列とは何か

クラスの座席表を思い浮かべてください。「前から 2 番目、左から 3 番目」と言えば、席は 1 つに決まります。名前を書き並べただけの名簿と違い、座席表ではどの位置にあるかそのものが情報になっています。

数についても同じことをします。数を長方形に並べ、全体を 1 つのかたまりとして扱う。これが行列です。たとえば

$\displaystyle A$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

のように、大きなかっこでくくって書きます。中に並んだ 1 つ 1 つの数を成分といいます。

並びの呼び方は 2 通りあります。横の並びが行、縦の並びが列です。上の $A$ は横の並びが 2 本、縦の並びが 3 本なので、2 行 3 列の行列、または $2 \times 3$ 行列といいます。この「2 × 3」を行列の型と呼びます（$2 \times 3$${}= 6$ という計算をしているわけではありません。「2 かける 3 型」と読みます）。

行と列はよく取り違えます。「行」は文章を書くときの一行目・二行目と同じで横、「列」は右側の部品が縦棒（りっとう）なので縦、と覚えておくと間違えにくくなります。

公式1：行列・型・成分

• 数を長方形に並べたものを行列、並んでいる 1 つ 1 つの数を成分という。
• 横の並びを行（上から第 1 行、第 2 行、…）、縦の並びを列（左から第 1 列、第 2 列、…）という。
• 行が $m$ 本、列が $n$ 本の行列を $m \times n$ 行列（$m$ 行 $n$ 列の行列）といい、$m \times n$ をその行列の型という。
• 第 $i$ 行と第 $j$ 列が交わる位置の成分を $(i,\ j)$ 成分といい、$a_{ij}$ と書く。

$\displaystyle A$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$

• 行の数と列の数が等しい $n \times n$ 行列を $n$ 次の正方行列という。とくに $2 \times 2$ 行列を 2 次の正方行列という。
• 成分がすべて $0$ の行列を零行列といい、$O$ と書く。
• $1 \times n$ 行列（1 行だけ）を行ベクトル、$m \times 1$ 行列（1 列だけ）を列ベクトルという。

行列は $A$，$B$ のような大文字で表します。

この分野で主役になるのは 2 次の正方行列です。第 1 章と第 2 章では、型の違いに慣れるために $1 \times 2$ や $2 \times 3$ といった行列も計算に出しますが、第 3 章から先はほとんど $2 \times 2$ だと思ってかまいません。

なお、零行列 $O$ と原点 $O$ は同じ文字を使います。紛らわしい場面では「零行列 $O$」「原点 $O$」と言葉を添えて区別します。

行列とは数を長方形に並べて 1 つのかたまりとして扱うもので、横の並びが行、縦の並びが列、その交点の位置で成分を $(i,\ j)$ 成分と呼ぶということです。

例題1：行列の型と成分

次の行列 $A$ について、あとの問いに答えなさい。

$\displaystyle A$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}$

(1) $A$ の型を答えなさい。

(2) $A$ の $(2,\ 3)$ 成分を求めなさい。

(3) $A$ の第 1 列の成分をすべて求めなさい。

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【解答】

(1) 横の並び（行）が 2 本、縦の並び（列）が 3 本あります。

$$\underline{2 \times 3 \ \text{行列}}$$

(2) $(2,\ 3)$ 成分は「第 2 行と第 3 列が交わる位置」です。第 2 行は $2$，$-5$，$1$ の並びで、そのうち左から 3 番目なので

$$\underline{1}$$

(3) 第 1 列はいちばん左の縦の並びです。

$$\underline{4 \ \text{と} \ 2}$$

番号は「行が先、列があと」です。$(2,\ 3)$ 成分と $(3,\ 2)$ 成分は違うもの（この $A$ には第 3 行が無いので、$(3,\ 2)$ 成分はそもそも存在しません）。

行列の相等

2 つの行列が「等しい」とはどういうことか、先に決めておきます。座席表でいえば、同じ大きさの表で、同じ席に同じ名前が入っているとき、2 枚は同じ表です。

公式2：行列の相等

2 つの行列 $A$，$B$ が等しいとは、次の 2 つがどちらも成り立つことをいい、$A$${}= B$ と書く。

1. $A$ と $B$ の型が同じである
2. 対応する位置の成分がすべて等しい

すなわち、$2 \times 2$ の場合は

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\iff a$$\displaystyle {}= p,$$\displaystyle b$$\displaystyle {}= q,$$\displaystyle c$$\displaystyle {}= r,$$\displaystyle d$$\displaystyle {}= s$

型が違えば、たとえ並んでいる数が同じでも等しくありません。$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ は別の行列です。

この決め方の便利なところは、行列の等式 1 本が、成分の等式の連立に置きかわることです。$2 \times 2$ なら 4 本の式が一度に手に入ります。未知の文字を含む行列の問題は、ここから連立方程式に持ちこんで解きます。

行列が等しいとは型が同じで全成分が一致することなので、行列の等式 1 本は成分の等式の連立と同じ意味だということです。

例題2：相等から文字の値を求める

次の等式を満たす実数 $x$，$y$ の値を求めなさい。

$\displaystyle \begin{pmatrix} x + y & 3 \\ 2 & x - y \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

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【解答】

型はどちらも $2 \times 2$ です。対応する成分を比べると

$\displaystyle x$$\displaystyle {}+ y$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle 3$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle 2$$\displaystyle {}= 2,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}- y$$\displaystyle {}= 1$

$3$${}= 3$ と $2$${}= 2$ はいつでも成り立つので、残る 2 本を連立させます。辺々を足して $2x$${}= 6$、よって $x$${}= 3$。これを $x$${}+ y$${}= 5$ に代入して $y$${}= 2$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 3,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad y = 2}$

行列の和と差

同じ書式の売上表が 2 枚、4 月分と 5 月分があるとします。2 か月の合計を出すには、同じマスどうしを足しますね。行列の足し算も、まったく同じ考え方です。

公式3：行列の和と差

同じ型の 2 つの行列に対して、和と差を対応する成分どうしの和・差で定める。

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$\displaystyle {}+ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} a + p & b + q \\ c + r & d + s \end{pmatrix}$$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$\displaystyle {}- \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} a - p & b - q \\ c - r & d - s \end{pmatrix}$

型が違う 2 つの行列の和・差は定めない（計算できない）。

「型が違うと計算できない」は、はじめは窮屈に感じるかもしれません。しかし、書式の違う 2 枚の表を重ねようとしても、どのマスとどのマスを足せばよいか決まりません。同じ型どうしでなければ足せないのは、決まりというより、自然にそうなるということです。

なお、和と差の結果は、もとの行列と同じ型になります。$2 \times 3$ どうしを足せば $2 \times 3$ です。

行列の和・差は同じ位置の成分どうしを足し引きするだけで、型が違う行列は足せないということです。

例題3：和と差の計算

次の計算をしなさい。

(1) $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$${}+ \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$${}- \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$${}+ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

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【解答】

(1) 同じ位置どうしを足します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 + (-3) & -1 + 5 \\ 3 + 1 & 4 + (-2) \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}}$

(2) 同じ位置どうしを引きます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 - (-3) & -1 - 5 \\ 3 - 1 & 4 - (-2) \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}}$

(3) どちらも $2 \times 3$ 行列なので計算できます。

$$\underline{\begin{pmatrix} 3 & -3 & -1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}}$$

行列の実数倍

レシピの分量を 2 倍にするときは、材料を 1 つ残らず 2 倍にします。値札を一律 2 割引きにするときは、どの商品も $0.8$ 倍。行列の実数倍も、全成分を同じ数でかけるだけです。

公式4：行列の実数倍

実数 $k$ と行列 $A$ に対して、$A$ のすべての成分を $k$ 倍した行列を $kA$ と書く。

$\displaystyle k\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$

とくに $1A$${}= A$，$0A$${}= O$（零行列）であり、$(-1)A$ を $-A$ と書く。また $A$${}- B$${}= A$${}+ (-B)$ である。

実数倍は型を変えません。$2 \times 3$ 行列を 3 倍しても $2 \times 3$ 行列のままです。和・差と違って、実数倍には「型が同じ」という条件がいりません。かける相手は 1 つの数だからです。

$-A$ は、$A$ のすべての成分の符号を変えた行列です。すると $A$${}+ (-A)$${}= O$ となり、数の $a$${}+ (-a)$${}= 0$ とそっくりの関係が成り立ちます。

実数倍は全成分を同じ数倍する操作で、型は変わらず、$-A$ は全成分の符号を変えた行列だということです。

例題4：実数倍を含む計算

$A$${}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$，$B$${}= \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ のとき、$3A$${}- 2B$ を求めなさい。

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【解答】

先にそれぞれを実数倍してから、差をとります。

$\displaystyle 3A$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -9 & 0 \end{pmatrix},$$\displaystyle 2B$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$$\displaystyle 3A$$\displaystyle {}- 2B$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 - 8 & 6 - (-2) \\ -9 - 4 & 0 - 10 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -5 & 8 \\ -13 & -10 \end{pmatrix}}$

成分ごとに $3 \times 1$${}- 2 \times 4$${}= -5$ のように、一気に計算してもかまいません。

計算法則と行列の方程式

和・差・実数倍は、どれも「同じ位置の成分ごとの計算」でした。成分 1 つ 1 つでは普通の数の計算をしているので、数のときに成り立っていた法則がそのまま引き継がれます。

公式5：和と実数倍の計算法則

$A$，$B$，$C$ は同じ型の行列、$k$，$l$ は実数とする。

$\displaystyle A$$\displaystyle {}+ B$$\displaystyle {}= B$$\displaystyle {}+ A$$\displaystyle (\text{交換法則}),$$\displaystyle (A + B)$$\displaystyle {}+ C$$\displaystyle {}= A$$\displaystyle {}+ (B + C)$$\displaystyle (\text{結合法則})$$\displaystyle A$$\displaystyle {}+ O$$\displaystyle {}= A,$$\displaystyle A$$\displaystyle {}+ (-A)$$\displaystyle {}= O$$\displaystyle k(A + B)$$\displaystyle {}= kA$$\displaystyle {}+ kB,$$\displaystyle (k + l)A$$\displaystyle {}= kA$$\displaystyle {}+ lA,$$\displaystyle k(lA)$$\displaystyle {}= (kl)A$

見比べてみてください。文字式の $2(x + y)$${}= 2x$${}+ 2y$ や $3x$${}+ 2x$${}= 5x$ と同じ形です。つまり、和・差・実数倍だけでできた行列の式は、$A$，$B$ を文字だと思って、かっこを外し同類項をまとめる、といういつもの手順で整理できます。

移項も同じようにできます。$X$${}+ A$${}= B$ なら、両辺に $-A$ を足して $X$${}= B$${}- A$ です。

ただし、この「数と同じに扱える」安心感は、この章かぎりのものだと心に留めておいてください。次の章で登場するかけ算では $AB$ と $BA$ が一致するとは限らず、文字式の感覚がそのままでは通じなくなります。そのときのために、いまのうちに和と実数倍で足場を固めておきましょう。

和と実数倍については行列を文字のように扱ってよく、かっこを外す・まとめる・移項するという操作がそのまま使えるということです。

例題5：行列の方程式

$A$${}= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$，$B$${}= \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$ とする。

(1) $2X$${}+ A$${}= B$ を満たす行列 $X$ を求めなさい。

(2) $X$${}+ Y$${}= A$，$X$${}- Y$${}= B$ を満たす行列 $X$，$Y$ を求めなさい。

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【解答】

(1) $A$ を移項して $2X$${}= B$${}- A$。

$\displaystyle B$$\displaystyle {}- A$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 5 - 1 & 4 - (-2) \\ -1 - 3 & 6 - 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$

両辺を $\dfrac{1}{2}$ 倍して

$\displaystyle X$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}}$

(2) 数の連立方程式と同じ手順です。$X$${}+ Y$${}= A$ …①、$X$${}- Y$${}= B$ …② として、辺々を足すと $Y$ が消えます。

$\displaystyle 2X$$\displaystyle {}= A$$\displaystyle {}+ B$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad X$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}$

辺々を引くと $X$ が消えます。

$\displaystyle 2Y$$\displaystyle {}= A$$\displaystyle {}- B$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad Y$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}}$

求めた $X$，$Y$ を①②に代入すると、たしかに $X$${}+ Y$${}= A$，$X$${}- Y$${}= B$ になります。行列の連立方程式も、加減法がそのまま使えるということです。

ベクトルを縦に並べる

ベクトルの分野では、成分を $\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$ と横に並べて書きました。この分野では、ベクトルの成分を縦に並べて書きます。

$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$

つまり $2 \times 1$ 行列（列ベクトル）として扱う、ということです。同じベクトルを書き方だけ変えたものなので、意味が変わるわけではありません。

なぜ書き方を変えるのか。理由は次の章で行列のかけ算を決めるときにはっきりします。行列に「点の座標」をかけて別の点へ移す、という使い方をするのですが、その計算は成分が縦に並んでいるときにきれいに書けるのです。いまは「この分野ではベクトルは縦書き」と覚えておいてください。

列ベクトルの和・差・実数倍は、行列としての計算そのものです。そして結果は、ベクトルの分野で成分ごとに計算したものと完全に一致します。

公式6：列ベクトルの計算

$\displaystyle \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}+ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix},$$\displaystyle k\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} ka_1 \\ ka_2 \end{pmatrix}$

$1$ 列だけの行列とみて計算しても、ベクトルとして成分ごとに計算しても、結果は同じである。

この分野ではベクトルを縦に並べた列ベクトルで書きますが、和・実数倍の計算はベクトルの分野で学んだものと同じだということです。

例題6：列ベクトルの計算

$\vec{a}$${}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$\vec{b}$${}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ とする。

(1) $3\vec{a}$${}- 2\vec{b}$ を求めなさい。

(2) $\vec{p}$${}= \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ を $s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ の形に表すとき、実数 $s$，$t$ の値を求めなさい。

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【解答】

(1) 成分ごとに計算します。

$\displaystyle 3\vec{a}$$\displaystyle {}- 2\vec{b}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}- \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$$\displaystyle {}= \underline{\begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix}}$

(2) 左辺を計算して成分を比べます。

$\displaystyle s\vec{a}$$\displaystyle {}+ t\vec{b}$$\displaystyle {}= \begin{pmatrix} s + 3t \\ 2s - t \end{pmatrix}$

これが $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ と等しいので

$\displaystyle s$$\displaystyle {}+ 3t$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle 2s$$\displaystyle {}- t$$\displaystyle {}= 3$

第 2 式より $t$${}= 2s$${}- 3$。第 1 式に代入して $s$${}+ 6s$${}- 9$${}= 5$、すなわち $7s$${}= 14$ なので $s$${}= 2$、$t$${}= 1$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}s = 2,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad t = 1}$

$\vec{a}$，$\vec{b}$ は平行でない（1次独立）ので、表し方はこの 1 通りしかありません。

次の章では、行列のかけ算を決めます。足し算が「同じ位置の成分どうし」というあっさりした決め方だったのに対し、かけ算は「行と列の内積」という少し込み入った決め方になります。そして $AB$ と $BA$ が違ってしまうという、数には無かった現象が起こります。