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第14章　2級 図形と方程式

—— 図形と方程式 第1〜5章の「点の座標・直線の方程式・点と直線の距離・円の方程式・円と直線」を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「図形と方程式」のうち、点・直線・円の類題です。2点間の距離と内分・外分、直線の平行と垂直、点と直線の距離、円の決定、円と直線・2円の位置関係、接線と弦の長さから、対称移動による最短経路、3直線に接する円、放物線と円が接する条件、オイラー線の証明までを20問にまとめました。軌跡と領域（第6〜8章）は15章で扱います。2次（数理技能）では、位置関係を「中心と直線の距離」と「半径」の比べ方で書くこと、座標の置き方を最初に宣言すること、答えの点が条件（線分の上にあるか・外部にあるか）を満たすかを最後に確かめることを練習します。問9では三角関数の加法定理を、問15・問18では二次関数（平方完成・解の配置）を、問16では数と式の分野で学ぶ解と係数の関係を使います。

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出題のポイント

この章で使う道具（図形と方程式 第1〜5章）
  • 2点 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1)，B(x2, y2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2) の距離は AB\mathrm{AB}=(x2−x1)2+(y2−y1)2{}= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}。線分 AB を m:nm : n に内分する点は (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n)\left(\dfrac{nx_1 + mx_2}{m + n},\ \dfrac{ny_1 + my_2}{m + n}\right)，外分する点は nn を −n-n に変えた式です。
  • 直線：点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) を通り傾き mm なら yy−y1{}- y_1=m(x−x1){}= m(x - x_1)。傾き m1m_1，m2m_2 の2直線は、平行   ⟺  m1\iff m_1=m2{}= m_2，垂直   ⟺  m1m2\iff m_1 m_2=−1{}= -1。
  • 点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) と直線 axax+by{}+ by+c{}+ c=0{}= 0 の距離は dd=∣ax1+by1+c∣a2+b2{}= \dfrac{\lvert ax_1 + by_1 + c \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2}}。
  • 円：中心 (a, b)(a,\ b)，半径 rr なら (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2=r2{}= r^2。x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 は平方完成して中心と半径を読みます。
  • 円と直線：中心と直線の距離を dd とすると、dd<r{}< r で2点、dd=r{}= r で接する、dd>r{}> r で共有点なし。円 x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 上の点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) における接線は x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=r2{}= r^2。
  • 2円：中心間の距離を dd，半径を r1r_1，r2r_2 とすると、∣r1−r2∣\lvert r_1 - r_2 \rvert<d{}< d<r1{}< r_1+r2{}+ r_2 で2点で交わり、dd=r1{}= r_1+r2{}+ r_2 で外接、dd=∣r1−r2∣{}= \lvert r_1 - r_2 \rvert で内接します。

この章の問題は、「点・直線・円を式で表す力」と、「位置関係を中心と直線の距離・中心間の距離と半径の比べ方に置きかえる力」の2本柱です。式を立てたら、答えの点が条件を満たしているかを図に戻って確かめます。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

2点 A(−2, 5)\mathrm{A}(-2,\ 5)，B(6, −3)\mathrm{B}(6,\ -3) があります。

(1) 線分 AB の長さを求めなさい。

(2) 線分 AB を 3:13 : 1 に内分する点 P と、1:31 : 3 に外分する点 Q の座標を求めなさい。

(3) 原点 O と (2) の P，Q を頂点とする三角形 OPQ の重心 G の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

(1) 828\sqrt{2}　(2) P(4, −1)\mathrm{P}(4,\ -1)，Q(−6, 9)\mathrm{Q}(-6,\ 9)　(3) G(−23, 83)\mathrm{G}\left(-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{8}{3}\right)

解説

(1) AB\mathrm{AB}=(6+2)2+(−3−5)2{}= \sqrt{(6 + 2)^2 + (-3 - 5)^2}=64+64{}= \sqrt{64 + 64}=82‾{}= \underline{8\sqrt{2}} です。

(2) 3:13 : 1 に内分する点 P の座標 (x, y)(x,\ y) は、近い B の係数が大きくなるように

x\displaystyle x=1⋅(−2)+3⋅63+1\displaystyle {}= \frac{1 \cdot (-2) + 3 \cdot 6}{3 + 1}=4,\displaystyle {}= 4,y\displaystyle y=1⋅5+3⋅(−3)3+1\displaystyle {}= \frac{1 \cdot 5 + 3 \cdot (-3)}{3 + 1}=−1\displaystyle {}= -1

よって P(4, −1)‾\underline{\mathrm{P}(4,\ -1)} です。1:31 : 3 に外分する点 Q の座標 (x, y)(x,\ y) は、内分の式の 33 を −3-3 に変えて

x\displaystyle x=−3⋅(−2)+1⋅61−3\displaystyle {}= \frac{-3 \cdot (-2) + 1 \cdot 6}{1 - 3}=−6,\displaystyle {}= -6,y\displaystyle y=−3⋅5+1⋅(−3)1−3\displaystyle {}= \frac{-3 \cdot 5 + 1 \cdot (-3)}{1 - 3}=9\displaystyle {}= 9

よって Q(−6, 9)‾\underline{\mathrm{Q}(-6,\ 9)} です。

比が 1:31 : 3（前が小さい）なので、Q は A の外側（B と反対側）にあります。実際、B から A へは xx が 88 減り yy が 88 増え、A から Q へはその半分（xx が 44 減り yy が 44 増える）だけ同じ向きに進んでいます。

(3) G(0+4−63, 0−1+93)\mathrm{G}\left(\dfrac{0 + 4 - 6}{3},\ \dfrac{0 - 1 + 9}{3}\right)=(−23, 83)‾{}= \underline{\left(-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{8}{3}\right)} です。

自己採点：
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問2　★

2点 A(−1, 4)\mathrm{A}(-1,\ 4)，B(3, −2)\mathrm{B}(3,\ -2) を通る直線を ℓ\ell とします。ℓ\ell の方程式と、点 C(2, −1)\mathrm{C}(2,\ -1) を通り ℓ\ell に平行な直線、垂直な直線の方程式を、それぞれ一般形で求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

ℓ:3x\ell : 3x+2y{}+ 2y−5{}- 5=0{}= 0，平行な直線 3x3x+2y{}+ 2y−4{}- 4=0{}= 0，垂直な直線 2x2x−3y{}- 3y−7{}- 7=0{}= 0

解説

ℓ\ell の傾きは −2−43−(−1)\dfrac{-2 - 4}{3 - (-1)}=−32{}= -\dfrac{3}{2} なので

y\displaystyle y−4\displaystyle {}- 4=−32(x+1)\displaystyle {}= -\frac{3}{2}(x + 1)⟹2y\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 2y−8\displaystyle {}- 8=−3x\displaystyle {}= -3x−3\displaystyle {}- 3⟹3x‾\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}+2y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2y}−5=0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5 = 0}

平行な直線は傾きが同じ −32-\dfrac{3}{2} なので、3x3x+2y{}+ 2y+c{}+ c=0{}= 0 の形です。C を通るので 66−2{}- 2+c{}+ c=0{}= 0 より cc=−4{}= -4 で、3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}+2y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2y}−4=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 4 = 0} です。

垂直な直線の傾き mm は −32m-\dfrac{3}{2}m=−1{}= -1 より mm=23{}= \dfrac{2}{3} です。

y\displaystyle y+1\displaystyle {}+ 1=23(x−2)\displaystyle {}= \frac{2}{3}(x - 2)⟹3y\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 3y+3\displaystyle {}+ 3=2x\displaystyle {}= 2x−4\displaystyle {}- 4⟹2x‾\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}2x}−3y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 3y}−7=0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 7 = 0}
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問3　★

3点 A(2, 3)\mathrm{A}(2,\ 3)，B(−3, −1)\mathrm{B}(-3,\ -1)，C(4, −2)\mathrm{C}(4,\ -2) について、直線 BC の方程式、点 A と直線 BC の距離、三角形 ABC の面積を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

直線 BC：xx+7y{}+ 7y+10{}+ 10=0{}= 0，距離 33210\dfrac{33\sqrt{2}}{10}，面積 332\dfrac{33}{2}

解説

直線 BC の傾きは −2−(−1)4−(−3)\dfrac{-2 - (-1)}{4 - (-3)}=−17{}= -\dfrac{1}{7} なので

y\displaystyle y+1\displaystyle {}+ 1=−17(x+3)\displaystyle {}= -\frac{1}{7}(x + 3)⟹x‾\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x}+7y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 7y}+10=0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 10 = 0}

（C を代入すると 44−14{}- 14+10{}+ 10=0{}= 0 で、確かに通ります。）

A と直線 BC の距離は

d\displaystyle d=∣2+7⋅3+10∣12+72\displaystyle {}= \frac{\lvert 2 + 7 \cdot 3 + 10 \rvert}{\sqrt{1^2 + 7^2}}=3350\displaystyle {}= \frac{33}{\sqrt{50}}=3352\displaystyle {}= \frac{33}{5\sqrt{2}}=33210‾\displaystyle {}= \underline{\frac{33\sqrt{2}}{10}}

底辺 BC\mathrm{BC}=72+(−1)2{}= \sqrt{7^2 + (-1)^2}=52{}= 5\sqrt{2} なので、面積は

12⋅52⋅3352\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{33}{5\sqrt{2}}=332‾\displaystyle {}= \underline{\frac{33}{2}}
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問4　★

(1) 円 x2x^2+y2{}+ y^2+6x{}+ 6x−4y{}- 4y−12{}- 12=0{}= 0 の中心の座標と半径を求めなさい。

(2) 3点 A(0, 2)\mathrm{A}(0,\ 2)，B(4, 0)\mathrm{B}(4,\ 0)，C(6, 4)\mathrm{C}(6,\ 4) を通る円の方程式を求め、その中心の座標と半径を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 中心 (−3, 2)(-3,\ 2)，半径 55　(2) x2x^2+y2{}+ y^2−6x{}- 6x−6y{}- 6y+8{}+ 8=0{}= 0，中心 (3, 3)(3,\ 3)，半径 10\sqrt{10}

解説

(1) xx，yy それぞれで平方完成します。

(x+3)2\displaystyle (x + 3)^2−9\displaystyle {}- 9+(y−2)2\displaystyle {}+ (y - 2)^2−4\displaystyle {}- 4−12\displaystyle {}- 12=0\displaystyle {}= 0⟹(x+3)2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (x + 3)^2+(y−2)2\displaystyle {}+ (y - 2)^2=25\displaystyle {}= 25

よって 中心 (−3, 2)，半径 5‾\underline{\text{中心 } (-3,\ 2)，\text{半径 } 5} です。

(2) 求める円を x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 とおき、3点を代入します。

A\displaystyle \mathrm{A}:4\displaystyle : 4+2m\displaystyle {}+ 2m+n\displaystyle {}+ n=0\displaystyle {}= 0B\displaystyle \mathrm{B}:16\displaystyle : 16+4l\displaystyle {}+ 4l+n\displaystyle {}+ n=0\displaystyle {}= 0C\displaystyle \mathrm{C}:52\displaystyle : 52+6l\displaystyle {}+ 6l+4m\displaystyle {}+ 4m+n\displaystyle {}+ n=0\displaystyle {}= 0

A の式から nn=−2m{}= -2m−4{}- 4。これを B，C の式に代入すると 2l2l−m{}- m=−6{}= -6，3l3l+m{}+ m=−24{}= -24 となり、辺々を加えて 5l5l=−30{}= -30 です。よって ll=−6{}= -6，mm=−6{}= -6，nn=8{}= 8 で

x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}x^2}+y2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}+ y^2}−6x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}- 6x}−6y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}- 6y}+8=0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}+ 8 = 0}⟹(x−3)2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (x - 3)^2+(y−3)2\displaystyle {}+ (y - 3)^2=10\displaystyle {}= 10

中心は (3, 3)‾\underline{(3,\ 3)}，半径は 10‾\underline{\sqrt{10}} です。（中心から3点までの距離はどれも 9+1\sqrt{9 + 1}=10{}= \sqrt{10} で、確かめられます。）

自己採点：
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問5　★

円 (x−1)2(x - 1)^2+(y+2)2{}+ (y + 2)^2=9{}= 9 と直線 3x3x+4y{}+ 4y+k{}+ k=0{}= 0 について、次の問いに答えなさい。

(1) 円と直線が接するときの定数 kk の値と、そのときの接点の座標を求めなさい。

(2) 円と直線が異なる2点で交わるような kk の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) kk=−10{}= -10 のとき接点 (145, 25)\left(\dfrac{14}{5},\ \dfrac{2}{5}\right)，kk=20{}= 20 のとき接点 (−45, −225)\left(-\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{22}{5}\right)　(2) −10-10<k{}< k<20{}< 20

解説

中心 (1, −2)(1,\ -2) と直線の距離は

d\displaystyle d=∣3⋅1+4⋅(−2)+k∣32+42\displaystyle {}= \frac{\lvert 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + k \rvert}{\sqrt{3^2 + 4^2}}=∣k−5∣5\displaystyle {}= \frac{\lvert k - 5 \rvert}{5}

(1) dd=3{}= 3 より ∣k−5∣\lvert k - 5 \rvert=15{}= 15 なので k=−10,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}k = -10,} 20‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}\ 20} です。

接点は、中心から直線に下ろした垂線の足です。直線の法線の向きは (3, 4)(3,\ 4) なので、垂線上の点を (1+3t, −2+4t)(1 + 3t,\ -2 + 4t) とおいて直線の式に代入します。

3(1+3t)\displaystyle 3(1 + 3t)+4(−2+4t)\displaystyle {}+ 4(-2 + 4t)+k\displaystyle {}+ k=0\displaystyle {}= 0⟹25t\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 25t=5\displaystyle {}= 5−k\displaystyle {}- k
  • kk=−10{}= -10 のとき tt=35{}= \dfrac{3}{5} で、接点は (145, 25)‾\underline{\left(\dfrac{14}{5},\ \dfrac{2}{5}\right)}
  • kk=20{}= 20 のとき tt=−35{}= -\dfrac{3}{5} で、接点は (−45, −225)‾\underline{\left(-\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{22}{5}\right)}

（どちらも中心から ∣t∣×5\lvert t \rvert \times 5=3{}= 3 だけ離れていて、半径と一致します。）

(2) dd<3{}< 3 より ∣k−5∣\lvert k - 5 \rvert<15{}< 15，つまり −15-15<k{}< k−5{}- 5<15{}< 15 なので −10<k<20‾\underline{-10 < k < 20} です。

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問6　★

点 (7, 1)(7,\ 1) から円 x2x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25 に引いた2本の接線の方程式と、それぞれの接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

3x3x+4y{}+ 4y=25{}= 25（接点 (3, 4)(3,\ 4)），4x4x−3y{}- 3y=25{}= 25（接点 (4, −3)(4,\ -3)）

解説

接点を (x1, y1)(x_1,\ y_1) とすると、接線は x1xx_1 x+y1y{}+ y_1 y=25{}= 25 です。これが点 (7, 1)(7,\ 1) を通り、接点は円周上にあるので

7x1\displaystyle 7x_1+y1\displaystyle {}+ y_1=25,\displaystyle {}= 25,x12\displaystyle x_1^2+y12\displaystyle {}+ y_1^2=25\displaystyle {}= 25

1つ目から y1y_1=25{}= 25−7x1{}- 7x_1 を2つ目に代入します。

x12\displaystyle x_1^2+(25−7x1)2\displaystyle {}+ (25 - 7x_1)^2=25\displaystyle {}= 25⟹50x12\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 50x_1^2−350x1\displaystyle {}- 350x_1+600\displaystyle {}+ 600=0\displaystyle {}= 0⟹(x1−3)(x1−4)\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (x_1 - 3)(x_1 - 4)=0\displaystyle {}= 0
  • x1x_1=3{}= 3 のとき y1y_1=4{}= 4 で、接線は 3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}+4y=25‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 4y = 25}（接点 (3, 4)‾\underline{(3,\ 4)}）
  • x1x_1=4{}= 4 のとき y1y_1=−3{}= -3 で、接線は 4x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}4x}−3y=25‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 3y = 25}（接点 (4, −3)‾\underline{(4,\ -3)}）

2本の傾きは −34-\dfrac{3}{4} と 43\dfrac{4}{3} で、この2本はたまたま直交しています（点 (7, 1)(7,\ 1) は原点から 50\sqrt{50}=52{}= 5\sqrt{2} の距離にあるためです）。

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問7　★

直線 xx−2y{}- 2y+1{}+ 1=0{}= 0 が円 x2x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x+2y{}+ 2y−20{}- 20=0{}= 0 から切り取る弦の長さと、その弦の中点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

弦の長さ 454\sqrt{5}，中点 (1, 1)(1,\ 1)

解説

平方完成すると (x−2)2(x - 2)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=25{}= 25 で、中心 (2, −1)(2,\ -1)，半径 55 です。中心と直線の距離は

d\displaystyle d=∣2−2⋅(−1)+1∣1+4\displaystyle {}= \frac{\lvert 2 - 2 \cdot (-1) + 1 \rvert}{\sqrt{1 + 4}}=55\displaystyle {}= \frac{5}{\sqrt{5}}=5\displaystyle {}= \sqrt{5}

中心から弦に下ろした垂線は弦を2等分するので、三平方の定理より弦の長さは

252−(5)2\displaystyle 2\sqrt{5^2 - (\sqrt{5})^2}=220\displaystyle {}= 2\sqrt{20}=45‾\displaystyle {}= \underline{4\sqrt{5}}

弦の中点は、中心から直線に下ろした垂線の足です。法線の向き (1, −2)(1,\ -2) を使って (2+t, −1−2t)(2 + t,\ -1 - 2t) とおき、直線の式に代入すると

(2+t)\displaystyle (2 + t)−2(−1−2t)\displaystyle {}- 2(-1 - 2t)+1\displaystyle {}+ 1=0\displaystyle {}= 0⟹5t\displaystyle {}\Longrightarrow\quad 5t+5\displaystyle {}+ 5=0\displaystyle {}= 0⟹t\displaystyle {}\Longrightarrow\quad t=−1\displaystyle {}= -1

よって中点は (1, 1)‾\underline{(1,\ 1)} です。

（確かめ：xx=2y{}= 2y−1{}- 1 を円の式に代入すると y2y^2−2y{}- 2y−3{}- 3=0{}= 0 で、交点は (5, 3)(5,\ 3)，(−3, −1)(-3,\ -1)。距離は 64+16\sqrt{64 + 16}=45{}= 4\sqrt{5}，中点は (1, 1)(1,\ 1) で一致します。）

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問8　★

円 x2x^2+y2{}+ y^2−6x{}- 6x+4y{}+ 4y+4{}+ 4=0{}= 0 が xx 軸から切り取る線分の長さを求めなさい。また、この円と yy 軸の共有点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

線分の長さ 252\sqrt{5}，yy 軸との共有点 (0, −2)(0,\ -2)（yy 軸に接する）

解説

xx 軸との交点は yy=0{}= 0 とおいて

x2\displaystyle x^2−6x\displaystyle {}- 6x+4\displaystyle {}+ 4=0\displaystyle {}= 0⟹x\displaystyle {}\Longrightarrow\quad x=3\displaystyle {}= 3±5\displaystyle {}\pm \sqrt{5}

切り取る線分の長さは (3+5)(3 + \sqrt{5})−(3−5){}- (3 - \sqrt{5})=25‾{}= \underline{2\sqrt{5}} です。

yy 軸との共有点は xx=0{}= 0 とおいて

y2\displaystyle y^2+4y\displaystyle {}+ 4y+4\displaystyle {}+ 4=0\displaystyle {}= 0⟹(y+2)2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (y + 2)^2=0\displaystyle {}= 0⟹y\displaystyle {}\Longrightarrow\quad y=−2 (重解)\displaystyle {}= -2 \ (\text{重解})

共有点は (0, −2)‾\underline{(0,\ -2)} の1点だけで、円は yy 軸に接しています。平方完成した (x−3)2(x - 3)^2+(y+2)2{}+ (y + 2)^2=9{}= 9 を見ると、中心 (3, −2)(3,\ -2) から yy 軸までの距離 33 が半径 33 と等しいことからも分かります。

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問9　★★

点 A(2, 1)\mathrm{A}(2,\ 1) を通り、直線 ℓ:x\ell : x−2y{}- 2y+4{}+ 4=0{}= 0 と 45∘45^\circ の角をなす直線の方程式を、すべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

yy=3x{}= 3x−5{}- 5，xx+3y{}+ 3y−5{}- 5=0{}= 0

解説

ℓ\ell の傾きは 12\dfrac{1}{2} です。ℓ\ell が xx 軸の正の向きとなす角を α\alpha とすると tan⁡α\tan\alpha=12{}= \dfrac{1}{2} です。

ℓ\ell と 45∘45^\circ の角をなす直線が xx 軸の正の向きとなす角は、α\alpha+45∘{}+ 45^\circ か α\alpha−45∘{}- 45^\circ です。0∘0^\circ<α{}< \alpha<45∘{}< 45^\circ なので、どちらも ±90∘\pm 90^\circ にはならず、傾きが存在します。加法定理より

tan⁡(α+45∘)\displaystyle \tan(\alpha + 45^\circ)=tan⁡α+11−tan⁡α\displaystyle {}= \frac{\tan\alpha + 1}{1 - \tan\alpha}=12+11−12\displaystyle {}= \frac{\frac{1}{2} + 1}{1 - \frac{1}{2}}=3\displaystyle {}= 3 tan⁡(α−45∘)\displaystyle \tan(\alpha - 45^\circ)=tan⁡α−11+tan⁡α\displaystyle {}= \frac{\tan\alpha - 1}{1 + \tan\alpha}=12−11+12\displaystyle {}= \frac{\frac{1}{2} - 1}{1 + \frac{1}{2}}=−13\displaystyle {}= -\frac{1}{3}

点 A を通るので、求める直線は

  • 傾き 33：yy−1{}- 1=3(x−2){}= 3(x - 2) より y=3x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = 3x}−5‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5}
  • 傾き −13-\dfrac{1}{3}：yy−1{}- 1=−13(x−2){}= -\dfrac{1}{3}(x - 2) より x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x}+3y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3y}−5=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5 = 0}

（求めた2本は傾きの積が −1-1 で、互いに垂直です。ある直線と 45∘45^\circ をなす2本は、いつも直交します。）

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問10　★★

点 A(6, 2)\mathrm{A}(6,\ 2) があります。点 P は直線 ℓ:x\ell : x−2y{}- 2y=0{}= 0 上を、点 Q は xx 軸上を動きます。三角形 APQ の周の長さ AP\mathrm{AP}+PQ{}+ \mathrm{PQ}+QA{}+ \mathrm{QA} の最小値と、そのときの点 P，Q の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

最小値 424\sqrt{2}，P(163, 83)\mathrm{P}\left(\dfrac{16}{3},\ \dfrac{8}{3}\right)，Q(407, 0)\mathrm{Q}\left(\dfrac{40}{7},\ 0\right)

解説

A を xx 軸に関して対称移動した点を A1\mathrm{A}_1，直線 ℓ\ell に関して対称移動した点を A2\mathrm{A}_2 とします。QA\mathrm{QA}=QA1{}= \mathrm{QA}_1，AP\mathrm{AP}=A2P{}= \mathrm{A}_2\mathrm{P} なので

AP\displaystyle \mathrm{AP}+PQ\displaystyle {}+ \mathrm{PQ}+QA\displaystyle {}+ \mathrm{QA}=A2P\displaystyle {}= \mathrm{A}_2\mathrm{P}+PQ\displaystyle {}+ \mathrm{PQ}+QA1\displaystyle {}+ \mathrm{QA}_1≧A1A2\displaystyle {}\geqq \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2

で、等号は A1\mathrm{A}_1，Q，P，A2\mathrm{A}_2 がこの順に一直線上に並ぶときに成り立ちます。

対称な点：A1(6, −2)\mathrm{A}_1(6,\ -2) です。A2(p, q)\mathrm{A}_2(p,\ q) は、線分 AA2\mathrm{AA}_2 が ℓ\ell に垂直で、中点が ℓ\ell 上にあることから

q−2p−6⋅12\displaystyle \frac{q - 2}{p - 6} \cdot \frac{1}{2}=−1,\displaystyle {}= -1,p+62\displaystyle \frac{p + 6}{2}−2⋅q+22\displaystyle {}- 2 \cdot \frac{q + 2}{2}=0\displaystyle {}= 0

1つ目は 2p2p+q{}+ q=14{}= 14，2つ目は pp−2q{}- 2q=−2{}= -2 で、解くと pp=265{}= \dfrac{26}{5}，qq=185{}= \dfrac{18}{5} です。

最小値：

265\dfrac{26}{5}−6{}- 6=−45{}= -\dfrac{4}{5}，185\dfrac{18}{5}+2{}+ 2=285{}= \dfrac{28}{5} なので

A1A2\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{A}_2=(−45)2+(285)2\displaystyle {}= \sqrt{\left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{28}{5}\right)^2}=16+7845\displaystyle {}= \frac{\sqrt{16 + 784}}{5}=2025\displaystyle {}= \frac{20\sqrt{2}}{5}=42‾\displaystyle {}= \underline{4\sqrt{2}}

P，Q の位置：直線 A1A2\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2 上の点を (6−u, −2+7u)(6 - u,\ -2 + 7u) と表します（uu=0{}= 0 で A1\mathrm{A}_1，uu=45{}= \dfrac{4}{5} で A2\mathrm{A}_2）。

  • xx 軸との交点：−2-2+7u{}+ 7u=0{}= 0 より uu=27{}= \dfrac{2}{7} で、Q(407, 0)\mathrm{Q}\left(\dfrac{40}{7},\ 0\right)
  • ℓ\ell との交点：66−u{}- u=2(−2+7u){}= 2(-2 + 7u) より uu=23{}= \dfrac{2}{3} で、P(163, 83)\mathrm{P}\left(\dfrac{16}{3},\ \dfrac{8}{3}\right)

00<27{}< \dfrac{2}{7}<23{}< \dfrac{2}{3}<45{}< \dfrac{4}{5} なので、A1\mathrm{A}_1，Q，P，A2\mathrm{A}_2 の順に並んでいて、等号が成り立ちます。（A が xx 軸と ℓ\ell にはさまれた部分 00<y{}< y<x2{}< \dfrac{x}{2} にあるので、この順になります。）

よって最小値は 42‾\underline{4\sqrt{2}}，そのとき P(163, 83)，Q(407, 0)‾\underline{\mathrm{P}\left(\dfrac{16}{3},\ \dfrac{8}{3}\right)，\mathrm{Q}\left(\dfrac{40}{7},\ 0\right)} です。

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問11　★★

2円 C1:x2C_1 : x^2+y2{}+ y^2=25{}= 25，C2:x2C_2 : x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x−2y{}- 2y−15{}- 15=0{}= 0 について、次の問いに答えなさい。

(1) 2円が異なる2点で交わることを示し、2つの交点を通る直線の方程式と、共通弦の長さを求めなさい。

(2) 2円の2つの交点を通り、中心が直線 yy=x{}= x−2{}- 2 上にある円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 直線 2x2x+y{}+ y−5{}- 5=0{}= 0，共通弦の長さ 454\sqrt{5}　(2) (x−4)2(x - 4)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=25{}= 25

解説

(1) C2C_2 は (x−2)2(x - 2)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=20{}= 20 で、中心 (2, 1)(2,\ 1)，半径 252\sqrt{5} です。C1C_1 は中心 (0, 0)(0,\ 0)，半径 55。中心間の距離は dd=5{}= \sqrt{5} で

5\displaystyle 5−25\displaystyle {}- 2\sqrt{5}<5\displaystyle {}< \sqrt{5}<5\displaystyle {}< 5+25\displaystyle {}+ 2\sqrt{5}

（左の不等式は 55<35{}< 3\sqrt{5}，つまり 2525<45{}< 45 と同じ）が成り立つので、2円は異なる2点で交わります。

2つの式を引き算すると x2x^2，y2y^2 が消えて

(x2+y2−25)\displaystyle (x^2 + y^2 - 25)−(x2+y2−4x−2y−15)\displaystyle {}- (x^2 + y^2 - 4x - 2y - 15)=0\displaystyle {}= 0⟹2x‾\displaystyle {}\Longrightarrow\quad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}2x}+y‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ y}−5=0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5 = 0}

2つの交点はどちらもこの式を満たすので、これが交点を通る直線です。原点との距離は 55\dfrac{5}{\sqrt{5}}=5{}= \sqrt{5} なので、共通弦の長さは

225−5\displaystyle 2\sqrt{25 - 5}=45‾\displaystyle {}= \underline{4\sqrt{5}}

(2) 2つの交点を通る円は、kk を定数として

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−25\displaystyle {}- 25+k(2x+y−5)\displaystyle {}+ k(2x + y - 5)=0\displaystyle {}= 0

と表せます（交点の座標はどちらの式も 00 にするからです）。平方完成すると中心は (−k, −k2)\left(-k,\ -\dfrac{k}{2}\right) です。これが yy=x{}= x−2{}- 2 上にあるので

−k2\displaystyle -\frac{k}{2}=−k\displaystyle {}= -k−2\displaystyle {}- 2⟹k\displaystyle {}\Longrightarrow\quad k=−4\displaystyle {}= -4

代入すると x2x^2+y2{}+ y^2−8x{}- 8x−4y{}- 4y−5{}- 5=0{}= 0，つまり (x−4)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 4)^2}+(y−2)2=25‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 2)^2 = 25} です。

（確かめ：交点は yy=5{}= 5−2x{}- 2x を C1C_1 に代入して (0, 5)(0,\ 5)，(4, −3)(4,\ -3)。どちらも中心 (4, 2)(4,\ 2) から距離 55 です。）

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問12　★★

xx 軸に接し、2点 (1, 2)(1,\ 2)，(2, 1)(2,\ 1) を通る円の方程式を、すべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(x−1)2(x - 1)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=1{}= 1，(x−5)2(x - 5)^2+(y−5)2{}+ (y - 5)^2=25{}= 25

解説

円が xx 軸に接し、xx 軸より上の点を通るので、円は xx 軸の上側にあります。中心を (a, b)(a,\ b)（bb>0{}> 0）とすると、半径は bb で、円は

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2+(y−b)2\displaystyle {}+ (y - b)^2=b2\displaystyle {}= b^2

2点を代入して整理します（b2b^2 が両辺で消えます）。

(1, 2)\displaystyle (1,\ 2):(1−a)2\displaystyle : (1 - a)^2+4\displaystyle {}+ 4−4b\displaystyle {}- 4b=0\displaystyle {}= 0(2, 1)\displaystyle (2,\ 1):(2−a)2\displaystyle : (2 - a)^2+1\displaystyle {}+ 1−2b\displaystyle {}- 2b=0\displaystyle {}= 0

2つ目から 2b2b=(2−a)2{}= (2 - a)^2+1{}+ 1。1つ目の 4b4b をこの2倍で置きかえると

(1−a)2\displaystyle (1 - a)^2+4\displaystyle {}+ 4−2(2−a)2\displaystyle {}- 2(2 - a)^2−2\displaystyle {}- 2=0\displaystyle {}= 0⟹−a2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad -a^2+6a\displaystyle {}+ 6a−5\displaystyle {}- 5=0\displaystyle {}= 0⟹(a−1)(a−5)\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (a - 1)(a - 5)=0\displaystyle {}= 0
  • aa=1{}= 1 のとき bb=1+12{}= \dfrac{1 + 1}{2}=1{}= 1
  • aa=5{}= 5 のとき bb=9+12{}= \dfrac{9 + 1}{2}=5{}= 5

どちらも bb>0{}> 0 を満たすので、求める円は

(x−1)2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(x - 1)^2}+(y−1)2=1，(x−5)2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 1)^2 = 1，\quad (x - 5)^2}+(y−5)2=25‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 5)^2 = 25}

（確かめ：(5, 5)(5,\ 5) から (1, 2)(1,\ 2)，(2, 1)(2,\ 1) までの距離はどちらも 16+9\sqrt{16 + 9}=5{}= 5 です。）

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問13　★★

rr を正の定数とし、2円 C1:x2C_1 : x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2，C2:(x−4)2C_2 : (x - 4)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=4{}= 4 を考えます。2円が共有点をもつような rr の値の範囲を求めなさい。また、2円が接するときの rr の値と接点の座標を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

33≦r{}\leqq r≦7{}\leqq 7。rr=3{}= 3（外接）のとき接点 (125, 95)\left(\dfrac{12}{5},\ \dfrac{9}{5}\right)，rr=7{}= 7（内接）のとき接点 (285, 215)\left(\dfrac{28}{5},\ \dfrac{21}{5}\right)

解説

中心間の距離は dd=42+32{}= \sqrt{4^2 + 3^2}=5{}= 5 です。2円が共有点をもつ条件は

∣r−2∣\displaystyle \lvert r - 2 \rvert≦5\displaystyle {}\leqq 5≦r\displaystyle {}\leqq r+2\displaystyle {}+ 2

右の不等式から rr≧3{}\geqq 3。左の不等式から −5-5≦r{}\leqq r−2{}- 2≦5{}\leqq 5，つまり −3-3≦r{}\leqq r≦7{}\leqq 7。rr>0{}> 0 と合わせて 3≦r≦7‾\underline{3 \leqq r \leqq 7} です。

接するのは、範囲の両端で等号が成り立つときです。接点は2つの中心を通る直線 yy=34x{}= \dfrac{3}{4}x 上にあり、原点からの向きは (45, 35)\left(\dfrac{4}{5},\ \dfrac{3}{5}\right) です。

  • rr=3{}= 3（dd=r{}= r+2{}+ 2，外接）：接点は原点から距離 33 の点で (125, 95)‾\underline{\left(\dfrac{12}{5},\ \dfrac{9}{5}\right)}。C2C_2 の中心からの距離は (85)2+(65)2\sqrt{\left(\dfrac{8}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{6}{5}\right)^2}=2{}= 2 で、確かに C2C_2 上にあります。
  • rr=7{}= 7（dd=r{}= r−2{}- 2，C2C_2 が C1C_1 に内接）：接点は原点から距離 77 の点で (285, 215)‾\underline{\left(\dfrac{28}{5},\ \dfrac{21}{5}\right)}。C2C_2 の中心からの距離も (85)2+(65)2\sqrt{\left(\dfrac{8}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{6}{5}\right)^2}=2{}= 2 です。
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問14　★★

3直線 xx=0{}= 0，yy=0{}= 0，3x3x+4y{}+ 4y−12{}- 12=0{}= 0 のすべてに接する円の方程式を、すべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(x−1)2(x - 1)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=1{}= 1，(x+2)2(x + 2)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=4{}= 4，(x−3)2(x - 3)^2+(y+3)2{}+ (y + 3)^2=9{}= 9，(x−6)2(x - 6)^2+(y−6)2{}+ (y - 6)^2=36{}= 36

解説

中心を (p, q)(p,\ q)，半径を rr（rr>0{}> 0）とします。yy 軸，xx 軸に接するので ∣p∣\lvert p \rvert=r{}= r，∣q∣\lvert q \rvert=r{}= r。3本目の直線に接するので

∣3p+4q−12∣5\displaystyle \frac{\lvert 3p + 4q - 12 \rvert}{5}=r\displaystyle {}= r

pp，qq の符号で4通りに分けます。

  • pp=r{}= r，qq=r{}= r：∣7r−12∣\lvert 7r - 12 \rvert=5r{}= 5r。7r7r−12{}- 12=5r{}= 5r から rr=6{}= 6，7r7r−12{}- 12=−5r{}= -5r から rr=1{}= 1。
  • pp=−r{}= -r，qq=r{}= r：∣r−12∣\lvert r - 12 \rvert=5r{}= 5r。rr−12{}- 12=5r{}= 5r は rr=−3{}= -3 で不適、rr−12{}- 12=−5r{}= -5r から rr=2{}= 2。
  • pp=r{}= r，qq=−r{}= -r：∣−r−12∣\lvert -r - 12 \rvert=r{}= r+12{}+ 12=5r{}= 5r から rr=3{}= 3。
  • pp=−r{}= -r，qq=−r{}= -r：∣−7r−12∣\lvert -7r - 12 \rvert=7r{}= 7r+12{}+ 12=5r{}= 5r となり、rr>0{}> 0 の解はありません。

よって求める円は

(x−1)2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(x - 1)^2}+(y−1)2=1‾,\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 1)^2 = 1},(x+2)2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(x + 2)^2}+(y−2)2=4‾,\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 2)^2 = 4},(x−3)2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(x - 3)^2}+(y+3)2=9‾,\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y + 3)^2 = 9},(x−6)2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}(x - 6)^2}+(y−6)2=36‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 6)^2 = 36}

半径 11 の円は、3直線が作る直角三角形（3辺 33，44，55）の内接円で、残りの3つは三角形の外側で各辺（の延長）に接する円（傍接円）です。内接円の半径は、直角三角形の公式 3+4−52\dfrac{3 + 4 - 5}{2}=1{}= 1 とも一致します。

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問15　★★

放物線 yy=x2{}= x^2 上の点 P と、直線 2x2x−y{}- y−3{}- 3=0{}= 0 の距離の最小値と、そのときの点 P の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

最小値 255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}，P(1, 1)\mathrm{P}(1,\ 1)

解説

P(t, t2)\mathrm{P}(t,\ t^2) とおくと、P と直線の距離は

d\displaystyle d=∣2t−t2−3∣22+(−1)2\displaystyle {}= \frac{\lvert 2t - t^2 - 3 \rvert}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}=∣t2−2t+3∣5\displaystyle {}= \frac{\lvert t^2 - 2t + 3 \rvert}{\sqrt{5}}

t2t^2−2t{}- 2t+3{}+ 3=(t−1)2{}= (t - 1)^2+2{}+ 2>0{}> 0 なので、絶対値はそのまま外せます。

d\displaystyle d=(t−1)2+25\displaystyle {}= \frac{(t - 1)^2 + 2}{\sqrt{5}}

これは tt=1{}= 1 のとき最小で、最小値は 25\dfrac{2}{\sqrt{5}}=255‾{}= \underline{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}，そのとき P(1, 1)‾\underline{\mathrm{P}(1,\ 1)} です。

（t2t^2−2t{}- 2t+3{}+ 3>0{}> 0 がつねに成り立つことは、放物線と直線が共有点をもたず、放物線全体が直線の上側にあることを表しています。）

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問16　★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2=10{}= 10 と直線 yy=x{}= x+k{}+ k が異なる2点 A，B で交わり、∠AOB\angle\mathrm{AOB}=90∘{}= 90^\circ（O は原点）となるような、定数 kk の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

kk=±10{}= \pm\sqrt{10}

解説

yy=x{}= x+k{}+ k を円の式に代入すると

2x2\displaystyle 2x^2+2kx\displaystyle {}+ 2kx+k2\displaystyle {}+ k^2−10\displaystyle {}- 10=0\displaystyle {}= 0⋯(1)\displaystyle \cdots (1)

異なる2点で交わる条件は、(1) の判別式について D4\dfrac{D}{4}=k2{}= k^2−2(k2−10){}- 2(k^2 - 10)=20{}= 20−k2{}- k^2>0{}> 0，つまり −25-2\sqrt{5}<k{}< k<25{}< 2\sqrt{5} です。

A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1)，B(x2, y2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2) とします。∠AOB\angle\mathrm{AOB}=90∘{}= 90^\circ は、三平方の定理より OA2\mathrm{OA}^2+OB2{}+ \mathrm{OB}^2=AB2{}= \mathrm{AB}^2 と同じで、

AB2\displaystyle \mathrm{AB}^2=(x1−x2)2\displaystyle {}= (x_1 - x_2)^2+(y1−y2)2\displaystyle {}+ (y_1 - y_2)^2=OA2\displaystyle {}= \mathrm{OA}^2+OB2\displaystyle {}+ \mathrm{OB}^2−2(x1x2+y1y2)\displaystyle {}- 2(x_1x_2 + y_1y_2)

なので、条件は x1x2x_1x_2+y1y2{}+ y_1y_2=0{}= 0 です。(1) の解と係数の関係より x1x_1+x2{}+ x_2=−k{}= -k，x1x2x_1x_2=k2−102{}= \dfrac{k^2 - 10}{2} なので

y1y2\displaystyle y_1y_2=(x1+k)(x2+k)\displaystyle {}= (x_1 + k)(x_2 + k)=x1x2\displaystyle {}= x_1x_2+k(x1+x2)\displaystyle {}+ k(x_1 + x_2)+k2\displaystyle {}+ k^2=k2−102\displaystyle {}= \frac{k^2 - 10}{2} x1x2\displaystyle x_1x_2+y1y2\displaystyle {}+ y_1y_2=k2\displaystyle {}= k^2−10\displaystyle {}- 10=0\displaystyle {}= 0⟹k\displaystyle {}\Longrightarrow\quad k=±10\displaystyle {}= \pm\sqrt{10}

1010<20{}< 20 なので、どちらも異なる2点で交わる条件を満たします。よって k=±10‾\underline{k = \pm\sqrt{10}} です。

（別解：OA\mathrm{OA}=OB{}= \mathrm{OB}=10{}= \sqrt{10} なので、三角形 OAB は直角二等辺三角形です。O から AB までの距離は 102\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=5{}= \sqrt{5} となり、∣k∣2\dfrac{\lvert k \rvert}{\sqrt{2}}=5{}= \sqrt{5} から同じ答えが出ます。）

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問17　★★★

点 P が円 x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 の周上を動くとき、2点 A(1, 5)\mathrm{A}(1,\ 5)，B(3, −1)\mathrm{B}(3,\ -1) に対する PA2\mathrm{PA}^2+PB2{}+ \mathrm{PB}^2 の最大値と最小値を求め、そのときの点 P の座標を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

P(−2, −2)\mathrm{P}(-\sqrt{2},\ -\sqrt{2}) のとき最大値 4444+162{}+ 16\sqrt{2}，P(2, 2)\mathrm{P}(\sqrt{2},\ \sqrt{2}) のとき最小値 4444−162{}- 16\sqrt{2}

解説

P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とします。展開して x2x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 を使うと

PA2\displaystyle \mathrm{PA}^2+PB2\displaystyle {}+ \mathrm{PB}^2=(x2+y2−2x−10y+26)\displaystyle {}= (x^2 + y^2 - 2x - 10y + 26)+(x2+y2−6x+2y+10)\displaystyle {}\quad + (x^2 + y^2 - 6x + 2y + 10)=2(x2+y2)\displaystyle {}= 2(x^2 + y^2)−8(x+y)\displaystyle {}- 8(x + y)+36\displaystyle {}+ 36=44\displaystyle {}= 44−8(x+y)\displaystyle {}- 8(x + y)

そこで、円周上での xx+y{}+ y のとりうる値の範囲を調べます。xx+y{}+ y=s{}= s とおくと、直線 xx+y{}+ y−s{}- s=0{}= 0 が円と共有点をもつ条件は、原点との距離が半径以下であることなので

∣s∣2\displaystyle \frac{\lvert s \rvert}{\sqrt{2}}≦2\displaystyle {}\leqq 2⟹−22\displaystyle {}\Longrightarrow\quad -2\sqrt{2}≦s\displaystyle {}\leqq s≦22\displaystyle {}\leqq 2\sqrt{2}

両端は直線が円に接するときで、接点は原点から直線に下ろした垂線の足、つまり直線 yy=x{}= x 上の点です。

  • ss=−22{}= -2\sqrt{2} のとき、接点 (−2, −2)(-\sqrt{2},\ -\sqrt{2}) で、PA2\mathrm{PA}^2+PB2{}+ \mathrm{PB}^2 は最大値 4444+162{}+ 16\sqrt{2}
  • ss=22{}= 2\sqrt{2} のとき、接点 (2, 2)(\sqrt{2},\ \sqrt{2}) で、PA2\mathrm{PA}^2+PB2{}+ \mathrm{PB}^2 は最小値 4444−162{}- 16\sqrt{2}

よって P(−2, −2)‾\underline{\mathrm{P}(-\sqrt{2},\ -\sqrt{2})} のとき最大値 44‾\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}44}+162‾\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}+ 16\sqrt{2}}，P(2, 2)‾\underline{\mathrm{P}(\sqrt{2},\ \sqrt{2})} のとき最小値 44‾\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}44}−162‾\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}- 16\sqrt{2}} です。

（別解：AB の中点 M(2, 2)\mathrm{M}(2,\ 2) について、中線定理より PA2\mathrm{PA}^2+PB2{}+ \mathrm{PB}^2=2(PM2+AM2){}= 2(\mathrm{PM}^2 + \mathrm{AM}^2)=2PM2{}= 2\mathrm{PM}^2+20{}+ 20。OM\mathrm{OM}=22{}= 2\sqrt{2}>2{}> 2 で M は円の外部にあるので、PM は 222\sqrt{2}−2{}- 2 以上 222\sqrt{2}+2{}+ 2 以下です。2(22±2)22(2\sqrt{2} \pm 2)^2+20{}+ 20=44{}= 44±162{}\pm 16\sqrt{2} となり、同じ結果が出ます。）

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問18　★★★

aa を定数とし、円 C:x2C : x^2+(y−a)2{}+ (y - a)^2=1{}= 1 と放物線 yy=x2{}= x^2 を考えます。

(1) CC と放物線が異なる2点で接するときの aa の値と、そのときの接点の座標を求めなさい。

(2) CC と放物線が異なる4点で交わるような aa の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) aa=54{}= \dfrac{5}{4}，接点 (±32, 34)\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3}{4}\right)　(2) 11<a{}< a<54{}< \dfrac{5}{4}

解説

x2x^2=y{}= y を円の式に代入して xx を消去すると

y\displaystyle y+(y−a)2\displaystyle {}+ (y - a)^2=1\displaystyle {}= 1⟹y2\displaystyle {}\Longrightarrow\quad y^2−(2a−1)y\displaystyle {}- (2a - 1)y+a2\displaystyle {}+ a^2−1\displaystyle {}- 1=0\displaystyle {}= 0⋯(1)\displaystyle \cdots (1)

放物線上の点は yy≧0{}\geqq 0 で、(1) の解 yy に対して x2x^2=y{}= y を満たす xx は、yy>0{}> 0 なら xx=±y{}= \pm\sqrt{y} の2個、yy=0{}= 0 なら xx=0{}= 0 の1個です。共有点の個数は、この対応で数えます。

(1) 図形が yy 軸に関して対称なので、異なる2点で接するのは、(1) が正の重解をもつときです（重解の yy から、左右対称な2つの接点が出ます）。判別式は

D\displaystyle D=(2a−1)2\displaystyle {}= (2a - 1)^2−4(a2−1)\displaystyle {}- 4(a^2 - 1)=5\displaystyle {}= 5−4a\displaystyle {}- 4a

DD=0{}= 0 より aa=54{}= \dfrac{5}{4}。重解は yy=2a−12{}= \dfrac{2a - 1}{2}=34{}= \dfrac{3}{4}>0{}> 0 で、条件を満たします。接点は xx=±32{}= \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2} なので

a=54，接点 (±32, 34)‾\underline{a = \frac{5}{4}，\quad \text{接点 } \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{3}{4}\right)}

(2) 異なる4点で交わるのは、(1) が異なる2つの正の解をもつときです。f(y)f(y)=y2{}= y^2−(2a−1)y{}- (2a - 1)y+a2{}+ a^2−1{}- 1 として、次の3つが必要十分です。

  • 判別式：DD=5{}= 5−4a{}- 4a>0{}> 0 より aa<54{}< \dfrac{5}{4}
  • 軸：2a−12\dfrac{2a - 1}{2}>0{}> 0 より aa>12{}> \dfrac{1}{2}
  • 端の値：f(0)f(0)=a2{}= a^2−1{}- 1>0{}> 0 より aa<−1{}< -1 または aa>1{}> 1

3つを合わせて 1<a<54‾\underline{1 < a < \dfrac{5}{4}} です。

（aa=1{}= 1 のときは (1) が y2y^2−y{}- y=0{}= 0 で yy=0,{}= 0, 1\ 1 となり、共有点は原点と (±1, 1)(\pm 1,\ 1) の3個です。範囲の端で個数が変わることが確かめられます。）

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問19　★★★

三角形 ABC の外心を K，重心を G，垂心を H とします。K と H が一致しないとき、3点 K，G，H は一直線上にあり、KG:GH\mathrm{KG} : \mathrm{GH}=1:2{}= 1 : 2 であることを、座標を使って示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

（証明）A(0, a)\mathrm{A}(0,\ a)，B(b, 0)\mathrm{B}(b,\ 0)，C(c, 0)\mathrm{C}(c,\ 0) とおくと、K(b+c2, a2+bc2a)\mathrm{K}\left(\dfrac{b + c}{2},\ \dfrac{a^2 + bc}{2a}\right)，G(b+c3, a3)\mathrm{G}\left(\dfrac{b + c}{3},\ \dfrac{a}{3}\right)，H(0, −bca)\mathrm{H}\left(0,\ -\dfrac{bc}{a}\right) となり、線分 KH を 1:21 : 2 に内分する点が G と一致する。

解説

座標の置き方：辺 BC を xx 軸に、A から直線 BC に下ろした垂線を yy 軸にとり、A(0, a)\mathrm{A}(0,\ a)，B(b, 0)\mathrm{B}(b,\ 0)，C(c, 0)\mathrm{C}(c,\ 0)（aa≠0{}\neq 0，bb≠c{}\neq c）とおきます。三角形の形は特別なものを仮定していません（bb，cc の符号は自由です）。

重心：G(b+c3, a3)\mathrm{G}\left(\dfrac{b + c}{3},\ \dfrac{a}{3}\right) です。

垂心：A を通り BC に垂直な直線は xx=0{}= 0 です。B を通り AC に垂直な直線を考えます。AC の向きは (c, −a)(c,\ -a) なので、この向きに垂直で B を通る直線は

c(x−b)\displaystyle c(x - b)−ay\displaystyle {}- a y=0\displaystyle {}= 0

xx=0{}= 0 を代入すると yy=−bca{}= -\dfrac{bc}{a} なので、H(0, −bca)\mathrm{H}\left(0,\ -\dfrac{bc}{a}\right) です。

外心：K は B，C から等距離なので、線分 BC の垂直二等分線 xx=b+c2{}= \dfrac{b + c}{2} 上にあります。K(b+c2, k)\mathrm{K}\left(\dfrac{b + c}{2},\ k\right) とおき、KA2\mathrm{KA}^2=KB2{}= \mathrm{KB}^2 から

(b+c2)2\displaystyle \left(\frac{b + c}{2}\right)^2+(k−a)2\displaystyle {}+ (k - a)^2=(c−b2)2\displaystyle {}= \left(\frac{c - b}{2}\right)^2+k2\displaystyle {}+ k^2

(b+c2)2\left(\dfrac{b + c}{2}\right)^2−(c−b2)2{}- \left(\dfrac{c - b}{2}\right)^2=bc{}= bc なので、bcbc+a2{}+ a^2−2ak{}- 2ak=0{}= 0 となり、kk=a2+bc2a{}= \dfrac{a^2 + bc}{2a} です。

線分 KH を 1:21 : 2 に内分する点を計算すると

(2⋅b+c2+03, 2⋅a2+bc2a−bca3)\displaystyle \left(\frac{2 \cdot \frac{b + c}{2} + 0}{3},\ \frac{2 \cdot \frac{a^2 + bc}{2a} - \frac{bc}{a}}{3}\right)=(b+c3, a23a)\displaystyle {}= \left(\frac{b + c}{3},\ \frac{a^2}{3a}\right)=(b+c3, a3)\displaystyle {}= \left(\frac{b + c}{3},\ \frac{a}{3}\right)

となり、G と一致します。K と H は異なる点なので、G は線分 KH 上にあって KG:GH\mathrm{KG} : \mathrm{GH}=1:2{}= 1 : 2 です。よって3点 K，G，H は一直線上にあります。（証明終）

この直線をオイラー線といいます。K と H が一致するのは正三角形のときで、そのときは G も同じ点になります。

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問20　★★★

2円 C1:x2C_1 : x^2+y2{}+ y^2=4{}= 4，C2:x2C_2 : x^2+y2{}+ y^2−8x{}- 8x−4y{}- 4y+16{}+ 16=0{}= 0 と、直線 ℓ:2x\ell : 2x+y{}+ y−5{}- 5=0{}= 0 があります。

(1) ℓ\ell 上のどの点も C1C_1，C2C_2 の外部にあり、ℓ\ell 上の点から C1C_1 に引いた接線の長さと C2C_2 に引いた接線の長さは等しいことを示しなさい。

(2) ℓ\ell 上の点 P から C1C_1 に引いた接線の長さの最小値と、そのときの点 P の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) （証明）接線の長さの2乗の差が 4(2x+y−5)4(2x + y - 5) となり、ℓ\ell 上で 00 になる。　(2) 最小値 11，P(2, 1)\mathrm{P}(2,\ 1)

解説

C2C_2 は (x−4)2(x - 4)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=4{}= 4 で、中心 (4, 2)(4,\ 2)，半径 22 です。

接線の長さ：中心 O1\mathrm{O}_1，半径 rr の円の外部の点 P から引いた接線の接点を T とすると、∠O1TP\angle\mathrm{O_1TP}=90∘{}= 90^\circ なので PT2\mathrm{PT}^2=PO12{}= \mathrm{PO_1}^2−r2{}- r^2 です。P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) なら

C1 への接線の長さの2乗\displaystyle C_1 \text{ への接線の長さの2乗}=x2\displaystyle {}= x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−4\displaystyle {}- 4C2 への接線の長さの2乗\displaystyle C_2 \text{ への接線の長さの2乗}=(x−4)2\displaystyle {}= (x - 4)^2+(y−2)2\displaystyle {}+ (y - 2)^2−4\displaystyle {}- 4=x2\displaystyle {}= x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−8x\displaystyle {}- 8x−4y\displaystyle {}- 4y+16\displaystyle {}+ 16

で、どちらも円の式の左辺に P の座標を代入した値になります。

(1) 原点と ℓ\ell の距離は 55\dfrac{5}{\sqrt{5}}=5{}= \sqrt{5}>2{}> 2，点 (4, 2)(4,\ 2) と ℓ\ell の距離は ∣8+2−5∣5\dfrac{\lvert 8 + 2 - 5 \rvert}{\sqrt{5}}=5{}= \sqrt{5}>2{}> 2 なので、ℓ\ell は C1C_1，C2C_2 のどちらとも共有点をもちません。ℓ\ell 上の点はすべて2円の外部にあります（ℓ\ell 上に円の内部の点があれば、ℓ\ell は円と交わってしまいます）。

2つの接線の長さの2乗の差は

(x2+y2−4)\displaystyle (x^2 + y^2 - 4)−(x2+y2−8x−4y+16)\displaystyle {}- (x^2 + y^2 - 8x - 4y + 16)=8x\displaystyle {}= 8x+4y\displaystyle {}+ 4y−20\displaystyle {}- 20=4(2x+y−5)\displaystyle {}= 4(2x + y - 5)

P が ℓ\ell 上にあれば 2x2x+y{}+ y−5{}- 5=0{}= 0 なので、差は 00 です。接線の長さは正なので、2つの接線の長さは等しくなります。（証明終）

(2) P(x, 5−2x)\mathrm{P}(x,\ 5 - 2x) とおくと

PT2\displaystyle \mathrm{PT}^2=x2\displaystyle {}= x^2+(5−2x)2\displaystyle {}+ (5 - 2x)^2−4\displaystyle {}- 4=5x2\displaystyle {}= 5x^2−20x\displaystyle {}- 20x+21\displaystyle {}+ 21=5(x−2)2\displaystyle {}= 5(x - 2)^2+1\displaystyle {}+ 1

これは xx=2{}= 2 のとき最小で、最小値は 11 です。よって接線の長さの最小値は 1‾\underline{1}，そのとき P(2, 1)‾\underline{\mathrm{P}(2,\ 1)} です。

（ℓ\ell は、2円への接線の長さが等しい点全体が作る直線で、2円の根軸と呼ばれます。2円の式を引き算して得られる直線と同じ形をしています。）

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