目次 ／ 図形と方程式 ／ 数学II

第4章　円の方程式

—— 中心からの距離が一定、という条件を 1 本の式にする ——

第3章までは、直線を方程式で表してきました。この章では、直線の次に基本的な図形である円を方程式で表します。「中心からの距離が半径に等しい」という条件を第1章の 2 点間の距離の公式で書くと、円の方程式ができあがります。展開した形（一般形）から中心と半径を読み取る方法、3 点を通る円や座標軸に接する円の求め方を学び、最後に、点の座標を円の式に代入した値で、点が円の内側・外側のどちらにあるかを判定します。

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円の方程式（標準形）

円は、平面上で「ある点からの距離が一定である点」をすべて集めた図形です。基準の点を中心、一定の距離を半径といいます。この条件を、第1章の 2 点間の距離の公式で式にします。

中心を C(a, b)\mathrm{C}(a,\ b)、半径を rr（rr>0{}> 0）とします。点 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) がこの円の上にあるのは CP\mathrm{CP}=r{}= r のときです。CP\mathrm{CP} も rr も 00 以上なので、両辺を 2 乗した CP2\mathrm{CP}^2=r2{}= r^2 と同じことで

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2+(y−b)2\displaystyle {}+ (y - b)^2=r2\displaystyle {}= r^2

となります。第1章で等距離の条件を「PA2\mathrm{PA}^2=PB2{}= \mathrm{PB}^2」と根号を外して書いたのと同じ考え方です。あのときは両辺の x2x^2，y2y^2 が消えて一次式（直線）になりましたが、今度は片方の辺が定数 r2r^2 なので、x2x^2，y2y^2 が残ります。

x y O a x b y C(a, b) P(x, y) x − a y − b r (x − a)² + (y − b)² = r²

とくに、中心が原点なら x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 です。三角比と三角関数で使った単位円は、x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 と表せます。

円の中でも、2 点 A，B を直径の両端とする円はよく出てきます。中心は線分 AB の中点、半径は AB2\dfrac{\mathrm{AB}}{2} です。図形の性質 第4章で学んだように、直径に対する円周角は 90∘90^\circ なので、この円は「∠APB\angle\mathrm{APB}=90∘{}= 90^\circ となる点 P の集まり（に A，B を加えたもの）」でもあります。第3章 公式1の垂直条件を使うと、次の形にも書けます。

公式1：円の方程式（標準形）

中心 (a, b)(a,\ b)、半径 rr の円の方程式は

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2+(y−b)2\displaystyle {}+ (y - b)^2=r2\displaystyle {}= r^2

中心が原点のときは x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 です。

2 点 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1)，B(x2, y2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2) を直径の両端とする円は、中心が AB の中点、半径が AB2\dfrac{\mathrm{AB}}{2} の円で、その方程式は次のようにも書けます。

(x−x1)(x−x2)\displaystyle (x - x_1)(x - x_2)+(y−y1)(y−y2)\displaystyle {}+ (y - y_1)(y - y_2)=0\displaystyle {}= 0

2 つ目の式は、P が A，B と異なり、PA，PB がどちらも縦の直線でないとき、傾きの積が −1-1 という条件

y−y1x−x1⋅y−y2x−x2\displaystyle \frac{y - y_1}{x - x_1} \cdot \frac{y - y_2}{x - x_2}=−1\displaystyle {}= -1

の分母を払ったものです。A，B 自身もこの式を満たします。縦の直線が混じる場合も含めて正しいことは、厳密定義の定理5で確かめます。

池に小石を投げ入れると、落ちた点から波紋が広がります。水面を伝わる速さはどの向きにも同じなので、ある瞬間の波の輪は、落ちた点から同じ距離にある点をつないだ形、つまり円になります。落ちた点が中心で、それまでに進んだ距離が半径です。式 (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2=r2{}= r^2 は、「落ちた点 (a, b)(a,\ b) から、横と縦にどれだけずれているかを三平方の定理でまとめたら、進んだ距離 rr になる」という、波の輪の上にいるための条件を書いたものです。

中心 (a, b)(a,\ b)、半径 rr の円は、「中心までの距離の 2 乗が r2r^2」という条件をそのまま書いた (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2=r2{}= r^2 で表せるということです。

例題1：円の方程式を求める

次の円の方程式を求めなさい。

(1) 中心が点 (2, −3)(2,\ -3)、半径が 44 の円

(2) 中心が点 (−1, 2)(-1,\ 2) で、点 (3, 5)(3,\ 5) を通る円

(3) 2 点 A(−2, 3)\mathrm{A}(-2,\ 3)，B(4, −1)\mathrm{B}(4,\ -1) を直径の両端とする円

【解答】

(1) 公式1に aa=2{}= 2，bb=−3{}= -3，rr=4{}= 4 を代入して (x−2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 2)^2}+(y+3)2=16‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 3)^2 = 16}

yy−(−3){}- (-3)=y{}= y+3{}+ 3 となるので、中心の座標と式の中の符号が逆に見えることに注意しましょう。

(2) 半径は、中心と点 (3, 5)(3,\ 5) の距離です。

r2\displaystyle r^2=(3+1)2\displaystyle {}= (3 + 1)^2+(5−2)2\displaystyle {}+ (5 - 2)^2=16\displaystyle {}= 16+9\displaystyle {}+ 9=25\displaystyle {}= 25

よって (x+1)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x + 1)^2}+(y−2)2=25‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 2)^2 = 25} です。rr=5{}= 5 を求めてから 2 乗しなくても、r2r^2 がわかれば式は書けます。

(3) 中心は AB の中点で、(−2+42, 3−12)\left(\dfrac{-2 + 4}{2},\ \dfrac{3 - 1}{2}\right)=(1, 1){}= (1,\ 1) です。半径の 2 乗は、中心と A の距離の 2 乗で

r2\displaystyle r^2=(−2−1)2\displaystyle {}= (-2 - 1)^2+(3−1)2\displaystyle {}+ (3 - 1)^2=9\displaystyle {}= 9+4\displaystyle {}+ 4=13\displaystyle {}= 13

よって (x−1)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 1)^2}+(y−1)2=13‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 1)^2 = 13} です。

公式1の後半の形を使うと

(x+2)(x−4)\displaystyle (x + 2)(x - 4)+(y−3)(y+1)\displaystyle {}+ (y - 3)(y + 1)=0\displaystyle {}= 0⟹x2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−2x\displaystyle {}- 2x−2y\displaystyle {}- 2y−11\displaystyle {}- 11=0\displaystyle {}= 0

となります。(x−1)2(x - 1)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=11{}= 11+1{}+ 1+1{}+ 1=13{}= 13 と変形すると、同じ円であることが確かめられます。

一般形と、円になる条件

公式1の式を展開すると

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−2ax\displaystyle {}- 2ax−2by\displaystyle {}- 2by+(a2+b2−r2)\displaystyle {}+ (a^2 + b^2 - r^2)=0\displaystyle {}= 0

です。−2a-2a=l{}= l，−2b-2b=m{}= m，a2a^2+b2{}+ b^2−r2{}- r^2=n{}= n とおくと、円の方程式は

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2+lx\displaystyle {}+ lx+my\displaystyle {}+ my+n\displaystyle {}+ n=0\displaystyle {}= 0

の形になります。これを円の方程式の一般形といいます。一般形は「x2x^2 と y2y^2 の係数が等しく、xyxy の項がない」2 次式です。

逆に、一般形の式が与えられたら、xx と yy それぞれについて平方完成（二次関数 第2章）して、公式1の形に戻します。

(x+l2)2\displaystyle \left(x + \frac{l}{2}\right)^2+(y+m2)2\displaystyle {}+ \left(y + \frac{m}{2}\right)^2=l2+m2−4n4\displaystyle {}= \frac{l^2 + m^2 - 4n}{4}

右辺は 2 乗の和なので、00 以上でなければ点が存在しません。右辺の符号で、表す図形が 3 通りに分かれます。

公式2：円の方程式（一般形）

円の方程式は

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2+lx\displaystyle {}+ lx+my\displaystyle {}+ my+n\displaystyle {}+ n=0\displaystyle {}= 0

の形に表せます。逆に、この形の方程式は、平方完成すると

(x+l2)2\displaystyle \left(x + \frac{l}{2}\right)^2+(y+m2)2\displaystyle {}+ \left(y + \frac{m}{2}\right)^2=l2+m2−4n4\displaystyle {}= \frac{l^2 + m^2 - 4n}{4}

となり、次のように分かれます。

  • l2l^2+m2{}+ m^2−4n{}- 4n>0{}> 0 のとき：中心 (−l2, −m2)\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)、半径 l2+m2−4n2\dfrac{\sqrt{l^2 + m^2 - 4n}}{2} の円
  • l2l^2+m2{}+ m^2−4n{}- 4n=0{}= 0 のとき：1 点 (−l2, −m2)\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right) だけ
  • l2l^2+m2{}+ m^2−4n{}- 4n<0{}< 0 のとき：表す図形はない

x2x^2 と y2y^2 の係数が 11 でないときは、はじめに両辺をその係数で割ってそろえます。

引っ越しの荷物にたとえると、標準形は「中心 (2, −3)(2,\ -3)・半径 44」とラベルの貼られた段ボール箱で、一般形はラベルがはがれてしまった箱です。外から見ても中身はわかりませんが、ふたを開けて整理する（平方完成する）と、何が入っているかがわかります。ただ、開けてみたら小さな部品が 1 つ転がっているだけ（1 点）だったり、空っぽ（図形なし）だったりすることもあります。一般形の式を見たら、「円だと決めつけずに、まず開けて確かめる」ことが大切です。

一般形 x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 は、平方完成して右辺が正なら円で、右辺の値から中心と半径が読み取れるということです。

例題2：一般形の表す図形

次の方程式はどのような図形を表すか、それぞれ求めなさい。

(1) x2x^2+y2{}+ y^2+6x{}+ 6x−2y{}- 2y−15{}- 15=0{}= 0

(2) x2x^2+y2{}+ y^2−2x{}- 2x+4y{}+ 4y+5{}+ 5=0{}= 0

(3) x2x^2+y2{}+ y^2+4x{}+ 4x−2y{}- 2y+7{}+ 7=0{}= 0

【解答】

(1) xx と yy それぞれで平方完成します。

(x2+6x+9)\displaystyle (x^2 + 6x + 9)+(y2−2y+1)\displaystyle {}+ (y^2 - 2y + 1)=15\displaystyle {}= 15+9\displaystyle {}+ 9+1\displaystyle {}+ 1⟹(x+3)2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad (x + 3)^2+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2=25\displaystyle {}= 25

よって、中心 (−3, 1)、半径 5 の円‾\underline{\text{中心}\ (-3,\ 1)\text{、半径}\ 5\ \text{の円}} です。

(2) 同じように変形すると

(x−1)2\displaystyle (x - 1)^2+(y+2)2\displaystyle {}+ (y + 2)^2=−5\displaystyle {}= -5+1\displaystyle {}+ 1+4\displaystyle {}+ 4=0\displaystyle {}= 0

2 乗の和が 00 になるのは xx−1{}- 1=0{}= 0 かつ yy+2{}+ 2=0{}= 0 のときだけなので、点 (1, −2)‾\underline{\text{点}\ (1,\ -2)} を表します。

(3) 同じように変形すると

(x+2)2\displaystyle (x + 2)^2+(y−1)2\displaystyle {}+ (y - 1)^2=−7\displaystyle {}= -7+4\displaystyle {}+ 4+1\displaystyle {}+ 1=−2\displaystyle {}= -2

左辺は 00 以上なので、この等式を満たす (x, y)(x,\ y) はありません。表す図形はない‾\underline{\text{表す図形はない}} です。

公式2の l2l^2+m2{}+ m^2−4n{}- 4n で確かめると、(1) は 3636+4{}+ 4+60{}+ 60=100{}= 100>0{}> 0、(2) は 44+16{}+ 16−20{}- 20=0{}= 0、(3) は 1616+4{}+ 4−28{}- 28=−8{}= -8<0{}< 0 で、結果と合っています。

3 点を通る円

図形の性質 第2章で学んだように、一直線上にない 3 点を通る円はただ 1 つあり、その中心は 3 点を頂点とする三角形の外心です。この円の方程式を求める方法は 2 つあります。

1 つ目は、一般形 x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 に 3 点の座標を代入する方法です。未知数が ll，mm，nn の 3 つ、式が 3 本の連立方程式になります。どの式にも nn が同じ形（係数 11）で入っているので、2 本ずつ引くと nn がすぐ消えます。

2 つ目は、外心を先に求める方法です。外心は各辺の垂直二等分線の交点なので、第3章 例題1 (2) の方法で 2 本の垂直二等分線を作り、交点を求めます。半径は、外心と 1 つの頂点の距離です。

公式3：3 点を通る円

一直線上にない 3 点を通る円は、次のどちらかで求めます。

  1. 円の方程式を x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 とおき、3 点の座標を代入して ll，mm，nn の連立方程式を解く。
  2. 2 辺の垂直二等分線の交点として中心（外心）を求め、中心と 1 点の距離を半径にする。

3 点が一直線上にあるときは、3 点を通る円はありません。

遺跡から出てきた土器のかけらを思い浮かべてください。器の縁の一部しか残っていなくても、縁の上の 3 点さえわかれば、もとの器の口の大きさ（円の中心と半径）を割り出せます。かけらが小さくても、3 点が一直線に並んでいなければ円はただ 1 つに決まるからです。発掘の現場では、縁のかけらを同心円の描かれた図に当てて口径を読み取ることがあるそうですが、していることは同じです。

3 点を通る円は、一般形に 3 点を代入して連立方程式を解くか、垂直二等分線の交点で中心を求めれば得られるということです。

例題3：3 点を通る円

3 点 A(0, 5)\mathrm{A}(0,\ 5)，B(2, 1)\mathrm{B}(2,\ 1)，C(−4, 1)\mathrm{C}(-4,\ 1) を通る円の方程式を求めなさい。また、その円の中心と半径を求めなさい。

【解答】

求める円を x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 とおきます。3 点の座標を代入して

A:25+5m+n=0⋯(i)B:5+2l+m+n=0⋯(ii)C:17−4l+m+n=0⋯(iii)\begin{aligned} \mathrm{A}:&\quad 25 + 5m + n = 0 &&\cdots (\mathrm{i})\\ \mathrm{B}:&\quad 5 + 2l + m + n = 0 &&\cdots (\mathrm{ii})\\ \mathrm{C}:&\quad 17 - 4l + m + n = 0 &&\cdots (\mathrm{iii}) \end{aligned}

(ii)−(iii) より −12-12+6l{}+ 6l=0{}= 0 で ll=2{}= 2 です。(i)−(ii) より 2020−2l{}- 2l+4m{}+ 4m=0{}= 0 で、ll=2{}= 2 を入れると mm=−4{}= -4 です。(i) より nn=−25{}= -25−5m{}- 5m=−5{}= -5 です。

よって、円の方程式は x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}x^2}+y2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2}+2x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 2x}−4y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4y}−5=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 5 = 0} です。平方完成すると (x+1)2(x + 1)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=10{}= 10 なので、中心 (−1, 2)、半径 10‾\underline{\text{中心}\ (-1,\ 2)\text{、半径}\ \sqrt{10}} です。

別解（外心を求める）　B と C は yy 座標がどちらも 11 なので、辺 BC は横の線分で、その垂直二等分線は縦の直線 xx=2−42{}= \dfrac{2 - 4}{2}=−1{}= -1 です。

辺 AB の中点は (1, 3)(1,\ 3)、AB の傾きは 1−52−0\dfrac{1 - 5}{2 - 0}=−2{}= -2 なので、AB の垂直二等分線は傾き 12\dfrac{1}{2} で yy−3{}- 3=12(x−1){}= \dfrac{1}{2}(x - 1) です。xx=−1{}= -1 を代入すると yy=2{}= 2 となり、中心は (−1, 2)(-1,\ 2) です。半径の 2 乗は (0+1)2(0 + 1)^2+(5−2)2{}+ (5 - 2)^2=10{}= 10 で、同じ円が得られます。

x y O A(0, 5) B(2, 1) C(−4, 1) (−1, 2) √10 x = −1 AB の垂直二等分線 y = x/2 + 5/2

この例題のように、2 点の xx 座標か yy 座標がそろっているときは、垂直二等分線がすぐ書けるので、別解のほうが速く済みます。3 点がばらばらの位置にあるときは、代入する方法が確実です。

座標軸に接する円

円と直線がただ 1 点を共有するとき、円と直線は接するといい、その点を接点といいます。円と直線の関係は第5章でくわしく調べますが、座標軸に接する円はよく使うので、ここで扱います。

中心 (a, b)(a,\ b)、半径 rr の円が xx 軸に接する条件を考えます。xx 軸との共有点は、円の式に yy=0{}= 0 を代入した

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2=r2\displaystyle {}= r^2−b2\displaystyle {}- b^2

の解です。右辺が正なら解は 2 つ、00 なら 1 つ、負ならありません。したがって、xx 軸に接するのは r2r^2=b2{}= b^2、つまり rr=∣b∣{}= \lvert b \rvert のときで、接点は (a, 0)(a,\ 0) です。∣b∣\lvert b \rvert は、中心 (a, b)(a,\ b) と xx 軸の距離そのもの（第3章 公式5で直線 yy=0{}= 0 との距離）なので、「中心と xx 軸の距離が半径に等しい」と言いかえられます。

公式4：座標軸に接する円

中心 (a, b)(a,\ b)、半径 rr の円について

x 軸に接する\displaystyle x \text{ 軸に接する}  ⟺  r\displaystyle {}\iff r=∣b∣,\displaystyle {}= \lvert b \rvert,y 軸に接する\displaystyle y \text{ 軸に接する}  ⟺  r\displaystyle {}\iff r=∣a∣\displaystyle {}= \lvert a \rvert

xx 軸と yy 軸の両方に接する円は、rr=∣a∣{}= \lvert a \rvert=∣b∣{}= \lvert b \rvert で、中心が第1象限にあれば (x−r)2(x - r)^2+(y−r)2{}+ (y - r)^2=r2{}= r^2 と表せます。

丸いお掃除ロボットが部屋の角まで進んで、2 つの壁にぴったりくっついた場面を考えます。ロボットの中心は、どちらの壁からもちょうど半径の分だけ離れています。部屋の角を原点、2 つの壁を座標軸にすると、中心は (r, r)(r,\ r) です。壁から中心までの距離が半径より小さいと、ロボットは壁にめり込んでしまいます。

円が座標軸に接するのは、中心と軸の距離（中心の座標の絶対値）が半径に等しいときだということです。

例題4：座標軸に接する円

次の円の方程式を求めなさい。

(1) 中心が点 (−3, 2)(-3,\ 2) で、xx 軸に接する円

(2) 2 点 (1, 1)(1,\ 1)，(2, 2)(2,\ 2) を通り、xx 軸に接する円

【解答】

(1) 中心と xx 軸の距離は ∣2∣\lvert 2 \rvert=2{}= 2 なので、半径は 22 です。(x+3)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x + 3)^2}+(y−2)2=4‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 2)^2 = 4}

(2) 円が xx 軸に接すると、円全体は xx 軸の上側か下側の一方にあります。通る 2 点は xx 軸より上にあるので、中心も上にあり、中心の yy 座標は半径 rr に等しくなります。そこで、円の方程式を

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2+(y−r)2\displaystyle {}+ (y - r)^2=r2\displaystyle {}= r^2(r>0)\displaystyle (r > 0)

とおきます。2 点を代入して展開すると、r2r^2 が両辺から消えます。点 (1, 1)(1,\ 1) からは

(1−a)2\displaystyle (1 - a)^2+1\displaystyle {}+ 1−2r\displaystyle {}- 2r=0\displaystyle {}= 0⟹a2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad a^2−2a\displaystyle {}- 2a+2\displaystyle {}+ 2=2r\displaystyle {}= 2r⋯(i)\displaystyle \cdots (\mathrm{i})

点 (2, 2)(2,\ 2) からは

(2−a)2\displaystyle (2 - a)^2+4\displaystyle {}+ 4−4r\displaystyle {}- 4r=0\displaystyle {}= 0⟹a2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad a^2−4a\displaystyle {}- 4a+8\displaystyle {}+ 8=4r\displaystyle {}= 4r⋯(ii)\displaystyle \cdots (\mathrm{ii})

(i) を 2 倍して (ii) を引くと a2a^2−4{}- 4=0{}= 0 で、aa=−2,{}= -2, 2\ 2 です。

aa=2{}= 2 のとき、(i) より 2r2r=2{}= 2 で rr=1{}= 1。aa=−2{}= -2 のとき、(i) より 2r2r=10{}= 10 で rr=5{}= 5。どちらも rr>0{}> 0 を満たします。

よって (x−2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 2)^2}+(y−1)2=1,‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 1)^2 = 1,}(x+2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\quad (x + 2)^2}+(y−5)2=25‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 5)^2 = 25} の 2 つです。

条件を満たす円が 2 つあるのは、小さな円が 2 点のすぐ下で xx 軸に接し、大きな円が左側から大回りして xx 軸に接するからです。答えを 1 つ見つけて満足せず、方程式の解をすべて調べましょう。

点と円の位置関係

中心 C、半径 rr の円と点 P の位置関係は、CP\mathrm{CP} と rr を比べれば決まります。CP\mathrm{CP}<r{}< r なら P は円の内部、CP\mathrm{CP}=r{}= r なら円周上、CP\mathrm{CP}>r{}> r なら円の外部にあります。

ここで、円の式の左辺に P の座標を代入してみます。円を (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2−r2{}- r^2=0{}= 0 と書くと、P(x0, y0)\mathrm{P}(x_0,\ y_0) を代入した値は

(x0−a)2\displaystyle (x_0 - a)^2+(y0−b)2\displaystyle {}+ (y_0 - b)^2−r2\displaystyle {}- r^2=CP2\displaystyle {}= \mathrm{CP}^2−r2\displaystyle {}- r^2

です。この値の符号を見れば、平方完成しなくても位置関係がわかります。一般形 x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n は同じ式を展開しただけなので、そのまま代入してかまいません。第3章で、点の座標を直線の式に代入した値が「直線からの離れ具合」を表したのと似ています。

この CP2\mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 は、図形の性質 第5章の厳密定義で「点 P の円に関する方べき」と呼んだ量です。座標を使うと、方べきは「円の式に代入するだけ」で求められます。

円周上の点 Q と P の距離 PQ\mathrm{PQ} は、Q が直線 CP 上にあるときに最大・最小になります。P が円の外部にあれば、最大は CP\mathrm{CP}+r{}+ r、最小は CP\mathrm{CP}−r{}- r です（厳密定義の定理6）。

公式5：点と円の位置関係

円 x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0（中心 C、半径 rr）と点 P(x0, y0)\mathrm{P}(x_0,\ y_0) について、pp=x02{}= x_0^2+y02{}+ y_0^2+lx0{}+ lx_0+my0{}+ my_0+n{}+ n とおくと、pp=CP2{}= \mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 であり

p\displaystyle p<0\displaystyle {}< 0  ⟺  P は円の内部,\displaystyle {}\iff \text{P は円の内部},p\displaystyle p=0\displaystyle {}= 0  ⟺  P は円周上,\displaystyle {}\iff \text{P は円周上},p\displaystyle p>0\displaystyle {}> 0  ⟺  P は円の外部\displaystyle {}\iff \text{P は円の外部}

円周上の点 Q について、PQ\mathrm{PQ} の最大値は CP\mathrm{CP}+r{}+ r、最小値は ∣CP−r∣\lvert \mathrm{CP} - r \rvert です（どちらも Q が直線 CP 上にあるとき。P が中心のときは PQ はつねに rr）。

花火大会では、打ち上げ場所から半径何メートルかが立入禁止区域になります。ある地点が区域の中かどうかは、打ち上げ場所までの距離と、決められた半径を比べれば判定できます。pp=CP2{}= \mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 は、その差を 2 乗の形で表したもので、負なら「区域の中なので入れない」、正なら「区域の外なので見物できる」です。区域の外にいる人が、区域の境界線まで歩くときにいちばん近いのは、打ち上げ場所へまっすぐ向かって境界にぶつかる点です。

点の座標を円の式の左辺に代入した値は CP2\mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 で、その符号で点が円の内部・周上・外部のどれにあるかがわかるということです。

例題5：点と円の位置関係、距離の最大・最小

円 x2x^2+y2{}+ y^2−6x{}- 6x+4y{}+ 4y+4{}+ 4=0{}= 0 について、次の問いに答えなさい。

(1) 3 点 A(1, 0)\mathrm{A}(1,\ 0)，B(6, 2)\mathrm{B}(6,\ 2)，D(3, 1)\mathrm{D}(3,\ 1) が、円の内部・円周上・円の外部のどこにあるかを、それぞれ求めなさい。

(2) 円周上を点 Q が動くとき、線分 BQ の長さの最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの Q の座標を求めなさい。

【解答】

(1) 左辺に代入します。

A:\displaystyle \mathrm{A}:1\displaystyle \quad 1+0\displaystyle {}+ 0−6\displaystyle {}- 6+0\displaystyle {}+ 0+4\displaystyle {}+ 4=−1\displaystyle {}= -1<0\displaystyle {}< 0B:\displaystyle \mathrm{B}:36\displaystyle \quad 36+4\displaystyle {}+ 4−36\displaystyle {}- 36+8\displaystyle {}+ 8+4\displaystyle {}+ 4=16\displaystyle {}= 16>0\displaystyle {}> 0D:\displaystyle \mathrm{D}:9\displaystyle \quad 9+1\displaystyle {}+ 1−18\displaystyle {}- 18+4\displaystyle {}+ 4+4\displaystyle {}+ 4=0\displaystyle {}= 0

よって、A は 円の内部‾\underline{\text{円の内部}}、B は 円の外部‾\underline{\text{円の外部}}、D は 円周上‾\underline{\text{円周上}} にあります。

(2) 平方完成すると (x−3)2(x - 3)^2+(y+2)2{}+ (y + 2)^2=9{}= 9 なので、中心は C(3, −2)\mathrm{C}(3,\ -2)、半径は 33 です。

CB\displaystyle \mathrm{CB}=(6−3)2+(2+2)2\displaystyle {}= \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 + 2)^2}=5\displaystyle {}= 5

B は円の外部にあるので、公式5より、最大値は 55+3{}+ 3=8‾{}= \underline{8}、最小値は 55−3{}- 3=2‾{}= \underline{2} です。

Q は直線 CB 上にあります。C から B へ向かう向きに 11 だけ進むと、xx 座標は 35\dfrac{3}{5}、yy 座標は 45\dfrac{4}{5} 増えるので、半径 33 だけ進んだ点と戻った点は

(3+95, −2+125)\displaystyle \left(3 + \frac{9}{5},\ -2 + \frac{12}{5}\right)=(245, 25),\displaystyle {}= \left(\frac{24}{5},\ \frac{2}{5}\right),(3−95, −2−125)\displaystyle \left(3 - \frac{9}{5},\ -2 - \frac{12}{5}\right)=(65, −225)\displaystyle {}= \left(\frac{6}{5},\ -\frac{22}{5}\right)

です。B に近いのは前者なので、最小のとき Q(245, 25)‾\underline{\mathrm{Q}\left(\dfrac{24}{5},\ \dfrac{2}{5}\right)}、最大のとき Q(65, −225)‾\underline{\mathrm{Q}\left(\dfrac{6}{5},\ -\dfrac{22}{5}\right)} です。

(1) で B に代入した値 1616 は、CB2\mathrm{CB}^2−r2{}- r^2=25{}= 25−9{}- 9 と一致しています。

x y O C(3, −2) A（内部） B（外部） D（円周上） Q（最小） 2 Q（最大） CB = 5，r = 3 最小 5 − 3 = 2，最大 5 + 3 = 8

この章では、円を標準形と一般形で表し、3 点を通る円・座標軸に接する円を求め、点と円の位置関係を代入した値で判定しました。第5章では、円と直線の位置関係を「中心と直線の距離」と「判別式」の 2 通りで調べ、円の接線の方程式を求めます。この章の公式4（座標軸に接する円）は、その特別な場合にあたります。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

中心が点 (1, −2)(1,\ -2)、半径が 33 の円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(x−1)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 1)^2}+(y+2)2=9‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 2)^2 = 9}

自己採点：
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問2

円 (x+3)2(x + 3)^2+(y−4)2{}+ (y - 4)^2=7{}= 7 の中心の座標と半径を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

中心 (−3, 4)‾\underline{(-3,\ 4)}、半径 7‾\underline{\sqrt{7}}（xx+3{}+ 3=x{}= x−(−3){}- (-3)）

自己採点：
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問3

円 x2x^2+y2{}+ y^2−6x{}- 6x+2y{}+ 2y+6{}+ 6=0{}= 0 の中心の座標と半径を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

中心 (3, −1)‾\underline{(3,\ -1)}、半径 2‾\underline{2}（(x−3)2(x - 3)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=9{}= 9+1{}+ 1−6{}- 6=4{}= 4）

自己採点：
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問4

原点を中心とし、点 (2, −1)(2,\ -1) を通る円の方程式を求めなさい。

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答え

x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}x^2}+y2=5‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2 = 5}（r2r^2=22{}= 2^2+(−1)2{}+ (-1)^2）

自己採点：
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問5

点 (1, 2)(1,\ 2) は、円 x2x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x+6y{}+ 6y−3{}- 3=0{}= 0 の内部・円周上・外部のどこにあるかを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

外部‾\underline{\text{外部}}（代入すると 11+4{}+ 4−4{}- 4+12{}+ 12−3{}- 3=10{}= 10>0{}> 0）

自己採点：
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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) 中心が点 (−2, 5)(-2,\ 5)、半径が 232\sqrt{3} の円

(2) 中心が点 (3, 1)(3,\ 1) で、原点を通る円

(3) 中心が点 (−1, −4)(-1,\ -4) で、yy 軸に接する円

上の (1)〜(3) の円の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) (x+2)2(x + 2)^2+(y−5)2{}+ (y - 5)^2=12{}= 12　(2) (x−3)2(x - 3)^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=10{}= 10　(3) (x+1)2(x + 1)^2+(y+4)2{}+ (y + 4)^2=1{}= 1

解説

公式1を使います。

(1) r2r^2=(23)2{}= (2\sqrt{3})^2=12{}= 12 なので (x+2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x + 2)^2}+(y−5)2=12‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 5)^2 = 12} です。右辺を 232\sqrt{3} のままにしないよう注意しましょう。

(2) 半径は中心と原点の距離で、r2r^2=32{}= 3^2+12{}+ 1^2=10{}= 10 です。よって (x−3)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 3)^2}+(y−1)2=10‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 1)^2 = 10}

(3) 公式4より、yy 軸に接する円の半径は、中心の xx 座標の絶対値 ∣−1∣\lvert -1 \rvert=1{}= 1 です。よって (x+1)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x + 1)^2}+(y+4)2=1‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 4)^2 = 1}

(3) の円は xx=−1{}= -1 の縦の直線をはさんで左右に半径 11 だけ広がるので、−2-2≦x{}\leqq x≦0{}\leqq 0 の範囲にあり、yy 軸とは点 (0, −4)(0,\ -4) だけを共有します。

自己採点：
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問2　★

(1) x2x^2+y2{}+ y^2+8x{}+ 8x−10y{}- 10y+5{}+ 5=0{}= 0

(2) 2x22x^2+2y2{}+ 2y^2−6x{}- 6x+4y{}+ 4y−3{}- 3=0{}= 0

(3) x2x^2+y2{}+ y^2−2y{}- 2y=0{}= 0

上の (1)〜(3) の円の中心の座標と半径を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 中心 (−4, 5)(-4,\ 5)、半径 66　(2) 中心 (32, −1)\left(\dfrac{3}{2},\ -1\right)、半径 192\dfrac{\sqrt{19}}{2}　(3) 中心 (0, 1)(0,\ 1)、半径 11

解説

xx と yy それぞれで平方完成します（公式2）。

(1) (x2+8x+16)(x^2 + 8x + 16)+(y2−10y+25){}+ (y^2 - 10y + 25)=−5{}= -5+16{}+ 16+25{}+ 25 より

(x+4)2\displaystyle (x + 4)^2+(y−5)2\displaystyle {}+ (y - 5)^2=36\displaystyle {}= 36

中心 (−4, 5)、半径 6‾\underline{\text{中心}\ (-4,\ 5)\text{、半径}\ 6} です。

(2) まず両辺を 22 で割って、x2x^2，y2y^2 の係数を 11 にします。

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−3x\displaystyle {}- 3x+2y\displaystyle {}+ 2y−32\displaystyle {}- \frac{3}{2}=0\displaystyle {}= 0

x2x^2−3x{}- 3x=(x−32)2{}= \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2−94{}- \dfrac{9}{4}，y2y^2+2y{}+ 2y=(y+1)2{}= (y + 1)^2−1{}- 1 なので

(x−32)2\displaystyle \left(x - \frac{3}{2}\right)^2+(y+1)2\displaystyle {}+ (y + 1)^2=32\displaystyle {}= \frac{3}{2}+94\displaystyle {}+ \frac{9}{4}+1\displaystyle {}+ 1=194\displaystyle {}= \frac{19}{4}

中心 (32, −1)、半径 192‾\underline{\text{中心}\ \left(\dfrac{3}{2},\ -1\right)\text{、半径}\ \dfrac{\sqrt{19}}{2}} です。

(3) x2x^2+(y−1)2{}+ (y - 1)^2=1{}= 1 より、中心 (0, 1)、半径 1‾\underline{\text{中心}\ (0,\ 1)\text{、半径}\ 1} です。定数項が 00 なので、この円は原点を通ります。

自己採点：
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問3　★

2 点 A(−3, 2)\mathrm{A}(-3,\ 2)，B(5, −4)\mathrm{B}(5,\ -4) を直径の両端とする円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(x−1)2(x - 1)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=25{}= 25

解説

中心は AB の中点で、(−3+52, 2−42)\left(\dfrac{-3 + 5}{2},\ \dfrac{2 - 4}{2}\right)=(1, −1){}= (1,\ -1) です。

半径は AB2\dfrac{\mathrm{AB}}{2} で

AB\displaystyle \mathrm{AB}=(5+3)2+(−4−2)2\displaystyle {}= \sqrt{(5 + 3)^2 + (-4 - 2)^2}=100\displaystyle {}= \sqrt{100}=10\displaystyle {}= 10

より半径は 55 です。よって (x−1)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 1)^2}+(y+1)2=25‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 1)^2 = 25}

公式1の後半の形で書くと (x+3)(x−5)(x + 3)(x - 5)+(y−2)(y+4){}+ (y - 2)(y + 4)=0{}= 0、展開して x2x^2+y2{}+ y^2−2x{}- 2x+2y{}+ 2y−23{}- 23=0{}= 0 です。平方完成すると (x−1)2(x - 1)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=23{}= 23+1{}+ 1+1{}+ 1=25{}= 25 となり、一致します。

自己採点：
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問4　★

3 点 (5, 3)(5,\ 3)，(−2, 2)(-2,\ 2)，(6, −4)(6,\ -4) を通る円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

x2x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x+2y{}+ 2y−20{}- 20=0{}= 0

解説

求める円を x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 とおき、3 点を代入します。

34+5l+3m+n=0⋯(i)8−2l+2m+n=0⋯(ii)52+6l−4m+n=0⋯(iii)\begin{aligned} 34 + 5l + 3m + n &= 0 &&\cdots (\mathrm{i})\\ 8 - 2l + 2m + n &= 0 &&\cdots (\mathrm{ii})\\ 52 + 6l - 4m + n &= 0 &&\cdots (\mathrm{iii}) \end{aligned}

(i)−(ii) より 2626+7l{}+ 7l+m{}+ m=0{}= 0、(iii)−(ii) より 4444+8l{}+ 8l−6m{}- 6m=0{}= 0、つまり 2222+4l{}+ 4l−3m{}- 3m=0{}= 0 です。

1 つ目から mm=−7l{}= -7l−26{}- 26 を 2 つ目に代入すると 2222+4l{}+ 4l+21l{}+ 21l+78{}+ 78=0{}= 0 で ll=−4{}= -4、mm=2{}= 2 です。(ii) より nn=−8{}= -8+2l{}+ 2l−2m{}- 2m=−20{}= -20 です。

よって x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}x^2}+y2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2}−4x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4x}+2y‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 2y}−20=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 20 = 0} です。

平方完成すると (x−2)2(x - 2)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=25{}= 25 で、中心 (2, −1)(2,\ -1)、半径 55 です。3 点はどれも中心から「横 33・縦 44」または「横 44・縦 33」だけ離れていて、距離 55 になっていることが確かめられます。

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問5　★

方程式 x2x^2+y2{}+ y^2+2x{}+ 2x−6y{}- 6y+k{}+ k=0{}= 0 について、次の問いに答えなさい。

(1) この方程式が円を表すような、定数 kk の値の範囲を求めなさい。

(2) この方程式が半径 22 の円を表すときの kk の値と、そのときの円の中心の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) kk<10{}< 10　(2) kk=6{}= 6、中心 (−1, 3)(-1,\ 3)

解説

平方完成すると

(x+1)2\displaystyle (x + 1)^2+(y−3)2\displaystyle {}+ (y - 3)^2=10\displaystyle {}= 10−k\displaystyle {}- k

(1) 円を表すのは右辺が正のときなので、1010−k{}- k>0{}> 0 より k<10‾\underline{k < 10} です。kk=10{}= 10 なら点 (−1, 3)(-1,\ 3) だけ、kk>10{}> 10 なら図形を表しません。

(2) 半径が 22 なので 1010−k{}- k=4{}= 4 で k=6‾\underline{k = 6}、中心は (−1, 3)‾\underline{(-1,\ 3)} です。kk=6{}= 6 は (1) の範囲に入っています。

自己採点：
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問6　★

円 x2x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x+2y{}+ 2y−5{}- 5=0{}= 0 について、3 点 P(5, 0)\mathrm{P}(5,\ 0)，Q(4, 1)\mathrm{Q}(4,\ 1)，R(−1, 2)\mathrm{R}(-1,\ 2) が、円の内部・円周上・円の外部のどこにあるかを、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

P は円周上、Q は円の内部、R は円の外部

解説

公式5を使い、左辺に座標を代入します。

P:\displaystyle \mathrm{P}:25\displaystyle \quad 25+0\displaystyle {}+ 0−20\displaystyle {}- 20+0\displaystyle {}+ 0−5\displaystyle {}- 5=0\displaystyle {}= 0Q:\displaystyle \mathrm{Q}:16\displaystyle \quad 16+1\displaystyle {}+ 1−16\displaystyle {}- 16+2\displaystyle {}+ 2−5\displaystyle {}- 5=−2\displaystyle {}= -2<0\displaystyle {}< 0R:\displaystyle \mathrm{R}:1\displaystyle \quad 1+4\displaystyle {}+ 4+4\displaystyle {}+ 4+4\displaystyle {}+ 4−5\displaystyle {}- 5=8\displaystyle {}= 8>0\displaystyle {}> 0

よって P は 円周上‾\underline{\text{円周上}}、Q は 円の内部‾\underline{\text{円の内部}}、R は 円の外部‾\underline{\text{円の外部}} にあります。

円は (x−2)2(x - 2)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=10{}= 10 なので、中心 C(2, −1)\mathrm{C}(2,\ -1) からの距離の 2 乗は CP2\mathrm{CP}^2=10{}= 10，CQ2\mathrm{CQ}^2=8{}= 8，CR2\mathrm{CR}^2=18{}= 18 です。代入した値 00，−2-2，88 は、どれも「中心からの距離の 2 乗 −10- 10」になっています。

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問7　★

(1) 中心が点 (3, −2)(3,\ -2) で、xx 軸に接する円

(2) 中心が第2象限にあり、xx 軸と yy 軸の両方に接する、半径 44 の円

上の (1)，(2) の円の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) (x−3)2(x - 3)^2+(y+2)2{}+ (y + 2)^2=4{}= 4　(2) (x+4)2(x + 4)^2+(y−4)2{}+ (y - 4)^2=16{}= 16

解説

公式4を使います。

(1) 中心と xx 軸の距離は ∣−2∣\lvert -2 \rvert=2{}= 2 なので、半径は 22 です。(x−3)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 3)^2}+(y+2)2=4‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 2)^2 = 4}

(2) 両方の軸に接するので、中心 (a, b)(a,\ b) は ∣a∣\lvert a \rvert=∣b∣{}= \lvert b \rvert=4{}= 4 を満たします。第2象限は xx<0{}< 0，yy>0{}> 0 なので、中心は (−4, 4)(-4,\ 4) です。(x+4)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x + 4)^2}+(y−4)2=16‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 4)^2 = 16}

(2) の接点は、xx 軸とは (−4, 0)(-4,\ 0)、yy 軸とは (0, 4)(0,\ 4) です。

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問8　★

円 x2x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x+2y{}+ 2y−4{}- 4=0{}= 0 の周上を点 Q が動くとき、点 P(7, 11)\mathrm{P}(7,\ 11) と Q の距離の最大値と最小値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

最大値 1616、最小値 1010

解説

平方完成すると (x−2)2(x - 2)^2+(y+1)2{}+ (y + 1)^2=9{}= 9 で、中心 C(2, −1)\mathrm{C}(2,\ -1)、半径 33 です。

CP\displaystyle \mathrm{CP}=(7−2)2+(11+1)2\displaystyle {}= \sqrt{(7 - 2)^2 + (11 + 1)^2}=25+144\displaystyle {}= \sqrt{25 + 144}=13\displaystyle {}= 13

1313>3{}> 3 なので P は円の外部にあります。公式5より、最大値は 1313+3{}+ 3=16‾{}= \underline{16}、最小値は 1313−3{}- 3=10‾{}= \underline{10} です。

どちらも Q が直線 CP 上にあるときで、最小は C と P のあいだ、最大は C をはさんで P と反対側の点です。

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問9　★★

中心が直線 yy=x{}= x+1{}+ 1 上にあり、2 点 A(−1, 4)\mathrm{A}(-1,\ 4)，B(5, 4)\mathrm{B}(5,\ 4) を通る円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(x−2)2(x - 2)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=10{}= 10

解説

中心は直線 yy=x{}= x+1{}+ 1 上にあるので、C(t, t+1)\mathrm{C}(t,\ t + 1) とおきます。CA2\mathrm{CA}^2=CB2{}= \mathrm{CB}^2 より

(t+1)2\displaystyle (t + 1)^2+(t−3)2\displaystyle {}+ (t - 3)^2=(t−5)2\displaystyle {}= (t - 5)^2+(t−3)2\displaystyle {}+ (t - 3)^2

両辺の (t−3)2(t - 3)^2 を消すと (t+1)2(t + 1)^2=(t−5)2{}= (t - 5)^2 で、展開すると t2t^2 も消えて 12t12t=24{}= 24、tt=2{}= 2 です。

中心は (2, 3)(2,\ 3)、半径の 2 乗は CA2\mathrm{CA}^2=9{}= 9+1{}+ 1=10{}= 10 なので、(x−2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 2)^2}+(y−3)2=10‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 3)^2 = 10} です。B についても CB2\mathrm{CB}^2=9{}= 9+1{}+ 1=10{}= 10 で、たしかに通ります。

別解　中心は線分 AB の垂直二等分線上にもあります。A と B は yy 座標が等しいので、AB の垂直二等分線は縦の直線 xx=−1+52{}= \dfrac{-1 + 5}{2}=2{}= 2 です。これと yy=x{}= x+1{}+ 1 の交点は (2, 3)(2,\ 3) で、同じ中心が得られます。「2 点から等距離」を式にしても図形で考えても、中心は 2 本の直線の交点として決まります。

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問10　★★

点 (4, 2)(4,\ 2) を通り、xx 軸と yy 軸の両方に接する円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(x−2)2(x - 2)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=4{}= 4 と (x−10)2(x - 10)^2+(y−10)2{}+ (y - 10)^2=100{}= 100 の 2 つ

解説

両方の軸に接する円は、4 つの象限のどれか 1 つの中に入ります。点 (4, 2)(4,\ 2) は第1象限にあるので、円も第1象限にあり、公式4より半径を rr とすると中心は (r, r)(r,\ r) です。

(x−r)2\displaystyle (x - r)^2+(y−r)2\displaystyle {}+ (y - r)^2=r2\displaystyle {}= r^2

に (4, 2)(4,\ 2) を代入して

(4−r)2\displaystyle (4 - r)^2+(2−r)2\displaystyle {}+ (2 - r)^2=r2\displaystyle {}= r^2⟹r2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad r^2−12r\displaystyle {}- 12r+20\displaystyle {}+ 20=0\displaystyle {}= 0⟹(r−2)(r−10)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad (r - 2)(r - 10)=0\displaystyle {}= 0

rr=2,{}= 2, 10\ 10 で、どちらも正です。

よって (x−2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 2)^2}+(y−2)2=4,‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 2)^2 = 4,}(x−10)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\quad (x - 10)^2}+(y−10)2=100‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 10)^2 = 100} の 2 つです。

大きいほうの円でも、(4−10)2(4 - 10)^2+(2−10)2{}+ (2 - 10)^2=36{}= 36+64{}+ 64=100{}= 100 で、たしかに点 (4, 2)(4,\ 2) を通ります。点が原点に近い側の弧の上にあるので、小さい円からも大きい円からも見つかるのです。

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問11　★★

3 点 O(0, 0)\mathrm{O}(0,\ 0)，A(8, 0)\mathrm{A}(8,\ 0)，B(2, 6)\mathrm{B}(2,\ 6) を頂点とする三角形 OAB について、次の問いに答えなさい。

(1) 三角形 OAB の外接円の方程式を求め、その中心の座標と半径を求めなさい。

(2) (1) の円周上の点のうち、O から最も遠い点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) x2x^2+y2{}+ y^2−8x{}- 8x−4y{}- 4y=0{}= 0、中心 (4, 2)(4,\ 2)、半径 252\sqrt{5}　(2) (8, 4)(8,\ 4)

解説

(1) 外接円は 3 頂点を通る円です。x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 とおくと、O を通るので nn=0{}= 0 です。A を代入して 6464+8l{}+ 8l=0{}= 0 より ll=−8{}= -8、B を代入して 44+36{}+ 36−16{}- 16+6m{}+ 6m=0{}= 0 より mm=−4{}= -4 です。

よって x2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}x^2}+y2‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2}−8x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 8x}−4y=0‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4y = 0} です。平方完成すると (x−4)2(x - 4)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=20{}= 20 なので、中心 (4, 2)、半径 25‾\underline{\text{中心}\ (4,\ 2)\text{、半径}\ 2\sqrt{5}} です。

(2) O は円周上にあるので、公式5より、O からの距離が最大になるのは、O と中心を通る直線上で、中心をはさんで O と反対側にある点、つまり O を一方の端とする直径のもう一方の端です。中心 (4, 2)(4,\ 2) が O とその点の中点になるので、求める点は (8, 4)‾\underline{(8,\ 4)} です。

O と (8, 4)(8,\ 4) の距離は 454\sqrt{5} で、直径 2⋅252 \cdot 2\sqrt{5} に一致します。代入しても 6464+16{}+ 16−64{}- 64−16{}- 16=0{}= 0 で、円周上にあります。

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問12　★★

2 点 A(−1, 0)\mathrm{A}(-1,\ 0)，B(3, 0)\mathrm{B}(3,\ 0) に対して、∠APB\angle\mathrm{APB}=90∘{}= 90^\circ となる点 P 全体はどのような図形か、求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

円 (x−1)2(x - 1)^2+y2{}+ y^2=4{}= 4 から 2 点 (−1, 0)(-1,\ 0)，(3, 0)(3,\ 0) を除いたもの

解説

P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とします。∠APB\angle\mathrm{APB} が考えられるのは、P が A，B と異なり、直線 AB 上にないときです。このとき、三平方の定理とその逆より

∠APB\displaystyle \angle\mathrm{APB}=90∘\displaystyle {}= 90^\circ  ⟺  PA2\displaystyle {}\iff \mathrm{PA}^2+PB2\displaystyle {}+ \mathrm{PB}^2=AB2\displaystyle {}= \mathrm{AB}^2

です。PA2\mathrm{PA}^2=(x+1)2{}= (x + 1)^2+y2{}+ y^2，PB2\mathrm{PB}^2=(x−3)2{}= (x - 3)^2+y2{}+ y^2，AB2\mathrm{AB}^2=16{}= 16 を代入すると

2x2\displaystyle 2x^2−4x\displaystyle {}- 4x+10\displaystyle {}+ 10+2y2\displaystyle {}+ 2y^2=16\displaystyle {}= 16⟹x2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad x^2−2x\displaystyle {}- 2x+y2\displaystyle {}+ y^2=3\displaystyle {}= 3⟹(x−1)2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad (x - 1)^2+y2\displaystyle {}+ y^2=4\displaystyle {}= 4

これは AB を直径とする円（中心 (1, 0)(1,\ 0)、半径 22）です。この円と直線 AB（xx 軸）の共有点は A，B だけなので、除く点は A，B の 2 つです。

よって、求める図形は 円 (x−1)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\text{円}\ (x - 1)^2}+y2=4 から 2 点 (−1, 0),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ y^2 = 4\ \text{から 2 点}\ (-1,\ 0),} (3, 0) を除いたもの‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\ (3,\ 0)\ \text{を除いたもの}} です。

傾きの積 −1-1 で立式すると、PA や PB が縦になる xx=−1{}= -1，xx=3{}= 3 の場合を別に調べる必要があります。三平方の定理で立式すれば、その場合分けが要りません。条件を満たす点全体を求める問題は、第6章「軌跡と方程式」でくわしく扱います。

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問13　★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2−2x{}- 2x−4y{}- 4y+1{}+ 1=0{}= 0 を、直線 xx−y{}- y−3{}- 3=0{}= 0 に関して対称移動した円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(x−5)2(x - 5)^2+(y+2)2{}+ (y + 2)^2=4{}= 4

解説

平方完成すると (x−1)2(x - 1)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=4{}= 4 で、中心 (1, 2)(1,\ 2)、半径 22 です。対称移動しても半径は変わらないので、中心を移せば十分です。

中心 (1, 2)(1,\ 2) と直線 xx−y{}- y−3{}- 3=0{}= 0 に関して対称な点を (p, q)(p,\ q) とします（第3章 公式3）。直線の傾きは 11 なので、2 点を結ぶ直線の傾きは −1-1 で

q−2p−1\displaystyle \frac{q - 2}{p - 1}=−1\displaystyle {}= -1⟹p\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad p+q\displaystyle {}+ q=3\displaystyle {}= 3⋯(i)\displaystyle \cdots (\mathrm{i})

中点 (p+12, q+22)\left(\dfrac{p + 1}{2},\ \dfrac{q + 2}{2}\right) が直線上にあるので

p+12\displaystyle \frac{p + 1}{2}−q+22\displaystyle {}- \frac{q + 2}{2}−3\displaystyle {}- 3=0\displaystyle {}= 0⟹p\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad p−q\displaystyle {}- q=7\displaystyle {}= 7⋯(ii)\displaystyle \cdots (\mathrm{ii})

(i)，(ii) より pp=5{}= 5，qq=−2{}= -2 です。よって (x−5)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 5)^2}+(y+2)2=4‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 2)^2 = 4}

もとの中心と直線の距離は ∣1−2−3∣2\dfrac{\lvert 1 - 2 - 3 \rvert}{\sqrt{2}}=22{}= 2\sqrt{2} で、半径 22 より大きいので、もとの円と移した円は直線をはさんで離れています。

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問14　★★

方程式 x2x^2+y2{}+ y^2−2ax{}- 2ax+2ay{}+ 2ay+3a2{}+ 3a^2−4a{}- 4a=0{}= 0 について、次の問いに答えなさい。

(1) この方程式が円を表すような、定数 aa の値の範囲を求めなさい。

(2) 円の半径が最大になるときの aa の値と、そのときの円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 00<a{}< a<4{}< 4　(2) aa=2{}= 2、(x−2)2(x - 2)^2+(y+2)2{}+ (y + 2)^2=4{}= 4

解説

平方完成すると

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2+(y+a)2\displaystyle {}+ (y + a)^2=a2\displaystyle {}= a^2+a2\displaystyle {}+ a^2−3a2\displaystyle {}- 3a^2+4a\displaystyle {}+ 4a=−a2\displaystyle {}= -a^2+4a\displaystyle {}+ 4a

(1) 円を表す条件は −a2-a^2+4a{}+ 4a>0{}> 0、つまり a(a−4)a(a - 4)<0{}< 0 で、0<a<4‾\underline{0 < a < 4} です。

(2) 半径の 2 乗は

r2\displaystyle r^2=−a2\displaystyle {}= -a^2+4a\displaystyle {}+ 4a=−(a−2)2\displaystyle {}= -(a - 2)^2+4\displaystyle {}+ 4

で、00<a{}< a<4{}< 4 の範囲では aa=2{}= 2 のとき最大値 44 をとります。rr>0{}> 0 なので、r2r^2 が最大のとき rr も最大です。

よって a=2‾\underline{a = 2} のときで、円は (x−2)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 2)^2}+(y+2)2=4‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 2)^2 = 4} です。

中心 (a, −a)(a,\ -a) は、aa が変わると直線 yy=−x{}= -x 上を動きます。円が「大きくなってから、また小さくなる」ようすを、半径の 2 乗の二次関数で調べたことになります。

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問15　★★

円 x2x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x−6y{}- 6y+k{}+ k=0{}= 0 が xx 軸に接するとき、定数 kk の値を求めなさい。また、そのとき、この円が yy 軸から切り取る線分の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

kk=4{}= 4、線分の長さ 252\sqrt{5}

解説

平方完成すると (x−2)2(x - 2)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=13{}= 13−k{}- k で、中心は (2, 3)(2,\ 3) です。

公式4より、xx 軸に接するのは半径が ∣3∣\lvert 3 \rvert=3{}= 3 のときなので、1313−k{}- k=9{}= 9 で k=4‾\underline{k = 4} です。

このとき円は x2x^2+y2{}+ y^2−4x{}- 4x−6y{}- 6y+4{}+ 4=0{}= 0 です。yy 軸との共有点は、xx=0{}= 0 を代入した

y2\displaystyle y^2−6y\displaystyle {}- 6y+4\displaystyle {}+ 4=0\displaystyle {}= 0⟹y\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad y=3\displaystyle {}= 3±5\displaystyle {}\pm \sqrt{5}

の 2 点 (0, 3−5)(0,\ 3 - \sqrt{5})，(0, 3+5)(0,\ 3 + \sqrt{5}) です。切り取る線分の長さは (3+5)(3 + \sqrt{5})−(3−5){}- (3 - \sqrt{5})=25‾{}= \underline{2\sqrt{5}} です。

中心と yy 軸の距離 22 は半径 33 より小さいので、2 点で交わるのは自然です。中心から yy 軸に下ろした垂線の足 (0, 3)(0,\ 3) は線分の中点で、三平方の定理から半分の長さは 32−22\sqrt{3^2 - 2^2}=5{}= \sqrt{5} と求めることもできます（第5章で使う考え方です）。

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問16　★★

4 点 O(0, 0)\mathrm{O}(0,\ 0)，A(6, 0)\mathrm{A}(6,\ 0)，B(0, 4)\mathrm{B}(0,\ 4)，C(a, −1)\mathrm{C}(a,\ -1) が同じ円周上にあるとき、定数 aa の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=1,{}= 1, 5\ 5

解説

O，A，B は一直線上にないので、この 3 点を通る円はただ 1 つです。4 点が同じ円周上にあるのは、C がその円の上にあるときです。

円を x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 とおくと、O を通るので nn=0{}= 0、A を通るので 3636+6l{}+ 6l=0{}= 0 より ll=−6{}= -6、B を通るので 1616+4m{}+ 4m=0{}= 0 より mm=−4{}= -4 です。円は

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−6x\displaystyle {}- 6x−4y\displaystyle {}- 4y=0\displaystyle {}= 0

C を代入して a2a^2+1{}+ 1−6a{}- 6a+4{}+ 4=0{}= 0、つまり a2a^2−6a{}- 6a+5{}+ 5=0{}= 0 で、(a−1)(a−5)(a - 1)(a - 5)=0{}= 0 より a=1,‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}a = 1,} 5‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 5} です。

C は (1, −1)(1,\ -1) または (5, −1)(5,\ -1) で、どちらも O，A，B とは異なる点です。円の中心は (3, 2)(3,\ 2) なので、2 つの点は縦の直線 xx=3{}= 3 に関して対称な位置にあります。

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問17　★★★

円 C:x2C : x^2+y2{}+ y^2+2x{}+ 2x−6y{}- 6y+6{}+ 6=0{}= 0 の外部の点 P から CC に接線を引き、接点を T とします。

(1) P の座標が (3, 6)(3,\ 6) のとき、線分 PT の長さを求めなさい。

(2) P が xx 軸上にあり、PT\mathrm{PT}=3{}= 3 となるとき、P の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 21\sqrt{21}　(2) (1, 0)(1,\ 0)，(−3, 0)(-3,\ 0) の 2 つ

解説

平方完成すると (x+1)2(x + 1)^2+(y−3)2{}+ (y - 3)^2=4{}= 4 で、中心 A(−1, 3)\mathrm{A}(-1,\ 3)、半径 22 です。

円の接線は、接点を通る半径に垂直です（図形の性質 第5章）。三角形 APT は T が直角の直角三角形なので

PT2\displaystyle \mathrm{PT}^2=AP2\displaystyle {}= \mathrm{AP}^2−AT2\displaystyle {}- \mathrm{AT}^2=AP2\displaystyle {}= \mathrm{AP}^2−22\displaystyle {}- 2^2

公式5より、これは P の座標を円の式の左辺に代入した値に等しくなります。

(1) PT2\mathrm{PT}^2=9{}= 9+36{}+ 36+6{}+ 6−36{}- 36+6{}+ 6=21{}= 21 より、PT\mathrm{PT}=21‾{}= \underline{\sqrt{21}} です。AP2\mathrm{AP}^2−4{}- 4=(16+9){}= (16 + 9)−4{}- 4=21{}= 21 でも確かめられます。

(2) P(s, 0)\mathrm{P}(s,\ 0) とおくと、PT2\mathrm{PT}^2=s2{}= s^2+2s{}+ 2s+6{}+ 6 です。これが 99 に等しいので

s2\displaystyle s^2+2s\displaystyle {}+ 2s−3\displaystyle {}- 3=0\displaystyle {}= 0⟹(s+3)(s−1)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad (s + 3)(s - 1)=0\displaystyle {}= 0

で、ss=−3,{}= -3, 1\ 1 です。どちらも代入した値が 99>0{}> 0 なので、P は円の外部にあり、接線が引けます。

よって (1, 0),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(1,\ 0),} (−3, 0)‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (-3,\ 0)} の 2 つです。

「代入した値が正」という条件は、平方完成しなくても点が外部にあることを保証し、その値がそのまま接線の長さの 2 乗になります。図形の性質 第5章で学んだ方べきの定理では、この値が PT2\mathrm{PT}^2 にも「P を通る直線が円と交わる 2 点までの長さの積」にも等しいことを示しました（j20 で座標を使って確かめます）。

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問18　★★★

点 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) が円 (x−3)2(x - 3)^2+(y−4)2{}+ (y - 4)^2=4{}= 4 の周上を動くとき、x2x^2+y2{}+ y^2 の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの P の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

最大値 4949（P(215, 285)\mathrm{P}\left(\dfrac{21}{5},\ \dfrac{28}{5}\right)）、最小値 99（P(95, 125)\mathrm{P}\left(\dfrac{9}{5},\ \dfrac{12}{5}\right)）

解説

x2x^2+y2{}+ y^2=OP2{}= \mathrm{OP}^2 なので、原点 O と円周上の点 P の距離の最大・最小を考えます。

円の中心は C(3, 4)\mathrm{C}(3,\ 4)、半径は 22 で、OC\mathrm{OC}=5{}= 5 です。55>2{}> 2 なので O は円の外部にあり、公式5より

5\displaystyle 5−2\displaystyle {}- 2≦OP\displaystyle {}\leqq \mathrm{OP}≦5\displaystyle {}\leqq 5+2\displaystyle {}+ 2つまり\displaystyle \text{つまり}3\displaystyle 3≦OP\displaystyle {}\leqq \mathrm{OP}≦7\displaystyle {}\leqq 7

です。OP\mathrm{OP}≧0{}\geqq 0 なので、2 乗しても大小は変わらず、99≦x2{}\leqq x^2+y2{}+ y^2≦49{}\leqq 49 です。

等号が成り立つのは P が直線 OC 上にあるときです。O から C へ向かう向きに 11 進むと、xx 座標が 35\dfrac{3}{5}、yy 座標が 45\dfrac{4}{5} 増えるので、O から距離 33，77 の点は

(95, 125),\displaystyle \left(\frac{9}{5},\ \frac{12}{5}\right),(215, 285)\displaystyle \left(\frac{21}{5},\ \frac{28}{5}\right)

です。どちらも C から距離 22 にあり、円周上にあります。

よって、P(215, 285)‾\underline{\mathrm{P}\left(\dfrac{21}{5},\ \dfrac{28}{5}\right)} のとき 最大値 49‾\underline{\text{最大値}\ 49}、P(95, 125)‾\underline{\mathrm{P}\left(\dfrac{9}{5},\ \dfrac{12}{5}\right)} のとき 最小値 9‾\underline{\text{最小値}\ 9} です。

O と P の距離は、O と C の距離から「C からの半径 22 分」しか増減できない、と考えると式を展開せずに済みます。x2x^2+y2{}+ y^2=k{}= k とおいて「円 x2x^2+y2{}+ y^2=k{}= k ともとの円が共有点をもつ条件」と見る方法もあり、2 円の関係は第5章で扱います。

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問19　★★★

方程式 x2x^2+y2{}+ y^2−2kx{}- 2kx−4ky{}- 4ky+10k{}+ 10k−10{}- 10=0{}= 0（kk は実数の定数）について、次の問いに答えなさい。

(1) この方程式は、kk がどんな実数でも円を表すことを示しなさい。

(2) この円は、kk の値にかかわらず 2 つの定点を通る。その 2 点の座標を求めなさい。

(3) 円の半径が最小になるときの kk の値と、そのときの円の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 平方完成すると右辺が 5(k−1)25(k - 1)^2+5{}+ 5>0{}> 0（解説を参照）　(2) (−1, 3)(-1,\ 3)，(3, 1)(3,\ 1)　(3) kk=1{}= 1、(x−1)2(x - 1)^2+(y−2)2{}+ (y - 2)^2=5{}= 5

解説

(1) 平方完成すると

(x−k)2\displaystyle (x - k)^2+(y−2k)2\displaystyle {}+ (y - 2k)^2=k2\displaystyle {}= k^2+4k2\displaystyle {}+ 4k^2−10k\displaystyle {}- 10k+10\displaystyle {}+ 10=5k2\displaystyle {}= 5k^2−10k\displaystyle {}- 10k+10\displaystyle {}+ 10

右辺は 5(k−1)25(k - 1)^2+5{}+ 5 と変形でき、どんな実数 kk に対しても 55 以上なので正です。よって、この方程式はつねに中心 (k, 2k)(k,\ 2k)、半径 5k2−10k+10\sqrt{5k^2 - 10k + 10} の円を表します。（証明終）

(2) 第2章 公式5と同じように、kk について整理します。

k(−2x−4y+10)\displaystyle k(-2x - 4y + 10)+(x2+y2−10)\displaystyle {}+ (x^2 + y^2 - 10)=0\displaystyle {}= 0

これがどんな kk でも成り立つのは

x\displaystyle x+2y\displaystyle {}+ 2y−5\displaystyle {}- 5=0\displaystyle {}= 0かつ\displaystyle \text{かつ}x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2−10\displaystyle {}- 10=0\displaystyle {}= 0

のときです。1 つ目から xx=5{}= 5−2y{}- 2y を 2 つ目に代入すると 5y25y^2−20y{}- 20y+15{}+ 15=0{}= 0、つまり (y−1)(y−3)(y - 1)(y - 3)=0{}= 0 で、yy=1{}= 1 のとき xx=3{}= 3、yy=3{}= 3 のとき xx=−1{}= -1 です。

よって、定点は (−1, 3),‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(-1,\ 3),} (3, 1)‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (3,\ 1)} の 2 つです。

(3) (1) より r2r^2=5(k−1)2{}= 5(k - 1)^2+5{}+ 5 は kk=1{}= 1 で最小値 55 をとります。よって k=1‾\underline{k = 1} のときで、円は (x−1)2‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}(x - 1)^2}+(y−2)2=5‾\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 2)^2 = 5} です。

この円の中心 (1, 2)(1,\ 2) は、2 つの定点の中点 (3−12, 1+32)\left(\dfrac{3 - 1}{2},\ \dfrac{1 + 3}{2}\right) に一致し、半径 5\sqrt{5} は 2 定点の距離 16+4\sqrt{16 + 4}=25{}= 2\sqrt{5} の半分です。つまり、最小の円は 2 定点を直径の両端とする円です。2 点を通る円のうち、2 点を結ぶ線分（弦）が直径になるときに半径が最小になる、という図形の事実と一致しています。

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問20　★★★

中心 C(a, b)\mathrm{C}(a,\ b)、半径 rr の円と、円周上にない点 P(x0, y0)\mathrm{P}(x_0,\ y_0) があります。P を通る直線がこの円と異なる 2 点 Q，R で交わるとき、PQ⋅PR\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}=∣CP2−r2∣{}= \lvert \mathrm{CP}^2 - r^2 \rvert が成り立ち、この値は直線の選び方によらないことを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

直線上の点を (x0+tcos⁡θ, y0+tsin⁡θ)(x_0 + t\cos\theta,\ y_0 + t\sin\theta) と表して円の式に代入し、解と係数の関係を使う（解説を参照）。

解説

P を通る直線が xx 軸の正の向きとなす角を θ\theta（0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta<180∘{}< 180^\circ）とします。第2章の厳密定義 定理1と同じように、この直線上の点は、実数 tt を使って

(x0+tcos⁡θ, y0+tsin⁡θ)(x_0 + t\cos\theta,\ y_0 + t\sin\theta)

と表せます。cos⁡2θ\cos^2\theta+sin⁡2θ{}+ \sin^2\theta=1{}= 1 なので、この点と P の距離は t2\sqrt{t^2}=∣t∣{}= \lvert t \rvert です。縦の直線（θ\theta=90∘{}= 90^\circ）もこの形に含まれます。

この点が円 (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2=r2{}= r^2 の上にある条件は

(x0−a+tcos⁡θ)2\displaystyle (x_0 - a + t\cos\theta)^2+(y0−b+tsin⁡θ)2\displaystyle {}+ (y_0 - b + t\sin\theta)^2=r2\displaystyle {}= r^2

で、展開して tt について整理すると

t2\displaystyle t^2+2kt\displaystyle {}+ 2kt+(x0−a)2\displaystyle {}+ (x_0 - a)^2+(y0−b)2\displaystyle {}+ (y_0 - b)^2−r2\displaystyle {}- r^2=0\displaystyle {}= 0

となります（kk=(x0−a)cos⁡θ{}= (x_0 - a)\cos\theta+(y0−b)sin⁡θ{}+ (y_0 - b)\sin\theta とおきました）。定数項は CP2\mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 です。

Q，R はこの直線と円の異なる 2 つの共有点なので、この tt の二次方程式の異なる 2 つの実数解 t1t_1，t2t_2 に対応し、PQ\mathrm{PQ}=∣t1∣{}= \lvert t_1 \rvert，PR\mathrm{PR}=∣t2∣{}= \lvert t_2 \rvert です。解と係数の関係（数と式 第11章）より t1t2t_1 t_2=CP2{}= \mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 なので

PQ⋅PR\displaystyle \mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}=∣t1t2∣\displaystyle {}= \lvert t_1 t_2 \rvert=∣CP2−r2∣\displaystyle {}= \lvert \mathrm{CP}^2 - r^2 \rvert

右辺は θ\theta を含まないので、直線の選び方によりません。（証明終）

t1t2t_1 t_2 の符号にも意味があります。P が円の外部なら t1t2t_1 t_2>0{}> 0 で、Q，R は P から見て同じ向きにあります。内部なら t1t2t_1 t_2<0{}< 0 で、P は Q と R のあいだにあります。これは図形の性質 第5章で学んだ方べきの定理で、公式5の「代入した値」が方べきそのものであることを示しています。

自己採点：
記録を読み込み中…

数学小話コーナー

外側のレーンはなぜ前から走るのか

陸上競技の 400 m 走では、選手がスタートラインに階段のようにずれて並びます。外側のレーンほど前から走り始めるので、一見すると外側の選手が得をしているように見えます。けれども、ずらさないと外側の選手のほうが長い距離を走ることになってしまいます。

標準的な 400 m トラックは、2 本の直線と、半径 36.5 m36.5\ \mathrm{m} ほどの半円 2 つでできています（※規格の細かい数値は競技団体の定めによる）。2 つの半円を合わせると円 1 周ぶんです。レーンの幅は 1.22 m1.22\ \mathrm{m} なので、トラックの中心を原点にとると、カーブの部分では内側のレーンが円 x2x^2+y2{}+ y^2=R2{}= R^2 の上を、1 つ外のレーンが円 x2x^2+y2{}+ y^2=(R+1.22)2{}= (R + 1.22)^2 の上を走ることになります。このように、中心が同じで半径だけが違う円を同心円といいます。

1 周走るあいだにカーブで走る距離の差は

2π(R+1.22)\displaystyle 2\pi(R + 1.22)−2πR\displaystyle {}- 2\pi R=2π×1.22\displaystyle {}= 2\pi \times 1.22≒7.67 (m)\displaystyle {}\fallingdotseq 7.67\ (\mathrm{m})

です。直線部分の長さはどのレーンも同じなので、外側のレーンのスタート位置を、1 つ外に行くごとに約 7.7 m7.7\ \mathrm{m} ずつ前へずらせば、全員が同じ 400 m400\ \mathrm{m} を走ることになります（※実際には、距離を測る線の位置がレーンの内側の線から少し離れた場所に決められていて、第1レーンと第2レーンの差だけは少し小さくなる）。

おもしろいのは、差の式 2π×1.222\pi \times 1.22 に RR が入っていないことです。トラックが大きくても小さくても、レーン幅が同じなら、ずらす量は変わりません。

豆知識

同じ理由で、昔からある次のパズルが解けます。「地球の赤道にぴったりロープを巻き、どこでも地面から 1 m1\ \mathrm{m} 浮くようにしたい。ロープを何メートル長くすればよいか」。地球の半径は約 6400 km6400\ \mathrm{km} もあるので、ずいぶん長いロープが必要な気がしますが、答えは 2π×12\pi \times 1≒6.28 m{}\fallingdotseq 6.28\ \mathrm{m} です。半径がテニスボールほどの球でも、答えは同じ 6.28 m6.28\ \mathrm{m} です。

マンホールのふたはなぜ丸いのか

道路のマンホールのふたは、多くが丸い形をしています。理由としてよく挙げられるのが、「どんな向きにしても穴に落ちない」ことです。

ふたは、穴のふちにある段差（受け枠）に乗っています。穴の幅がどの向きでもふたの幅より少し小さければ、ふたは落ちません。円 x2x^2+y2{}+ y^2=r2{}= r^2 は、中心を通るどの直線で切っても、円周との 2 つの交点の距離がちょうど 2r2r です。どの向きに測っても幅が同じなので、ふたを傾けても回しても、穴をすり抜けることがありません。

正方形のふたではそうはいきません。1 辺が aa の正方形の対角線は 2 a\sqrt{2}\,a で、辺より約 1.41.4 倍長いので、ふたを縦に立てて対角線の向きに回すと、辺の長さしかない穴を通り抜けてしまいます。丸いふたには、ほかにも「転がして運べる」「はめるときに向きを合わせなくてよい」という利点があります（※実際には四角いふたも使われていて、ちょうつがいや深い受け枠で落ちないようにしている）。

実は、どの向きに測っても幅が同じ図形は、円だけではありません。正三角形の各頂点を中心に、1 辺の長さを半径とする円弧を 3 本描いてできる、ふくらんだ三角形がその例です。ドイツの機械工学者ルーロー（1829〜1905）にちなんでルーローの三角形と呼ばれ、この形のふたも、理屈の上では穴に落ちません。こうした図形をまとめて定幅図形といいます。イギリスの 50 ペンス硬貨は、同じ考え方で作った七角形の定幅図形で、どの向きに入れても自動販売機で幅が同じに測られます。

円が「中心から同じ距離にある点の集まり」と定義されていることと、「どの向きにも幅が同じ」ことは深く関係していますが、幅が同じだからといって円とは限らない、というところが数学のおもしろさです。

豆知識

ルーローの三角形を正方形の枠の中で回すと、いつも 4 辺に触れながら回転します。この性質を使って、「ほぼ正方形の穴」をあけるドリルが考えられてきました（※角の部分はわずかに丸く残る）。円の穴しかあけられないはずの回転運動から、角のある穴が生まれるのです。

写真の中から円を見つける——ハフ変換

机の上に散らばった硬貨を写真に撮り、コンピュータに枚数を数えさせるには、画像の中から円を見つけなければなりません。けれども、写真の中の輪郭は途切れたり、ほかの物と重なったりしていて、「この点とこの点が同じ円の上にある」とは教えてもらえません。

そこで使われるのがハフ変換です。もとは 1962 年にアメリカのハフが、素粒子の飛んだ跡（写真に写った線）を見つけるために特許として出した方法で、のちに直線や円を探す一般的な方法として広まりました（※円への応用は 1970 年代に広まったとされる）。

発想の鍵は、円の方程式 (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2=r2{}= r^2 の「文字の役割の入れかえ」です。ふつうは中心 (a, b)(a,\ b) を決めて、点 (x, y)(x,\ y) を動かします。ハフ変換では逆に、輪郭の上の点 (x0, y0)(x_0,\ y_0) を固定して、「この点を通る半径 rr の円の中心になりうる点 (a, b)(a,\ b)」を考えます。それは

(a−x0)2\displaystyle (a - x_0)^2+(b−y0)2\displaystyle {}+ (b - y_0)^2=r2\displaystyle {}= r^2

で、(a, b)(a,\ b) の平面では、(x0, y0)(x_0,\ y_0) を中心とする半径 rr の円です。輪郭の点ごとにこの円を描き、円が通ったマスに 1 票ずつ入れていくと、本物の中心には票が集まります。

硬貨の半径が 55 だとわかっているとして、輪郭の 3 点 (5, 0)(5,\ 0)，(0, 5)(0,\ 5)，(−3, 4)(-3,\ 4) で試します。3 つの点から描いた「中心の候補の円」は

(a−5)2\displaystyle (a - 5)^2+b2\displaystyle {}+ b^2=25,\displaystyle {}= 25,a2\displaystyle a^2+(b−5)2\displaystyle {}+ (b - 5)^2=25,\displaystyle {}= 25,(a+3)2\displaystyle (a + 3)^2+(b−4)2\displaystyle {}+ (b - 4)^2=25\displaystyle {}= 25

です。1 つ目と 2 つ目は (0, 0)(0,\ 0) と (5, 5)(5,\ 5) で交わり、1 つ目と 3 つ目は (0, 0)(0,\ 0) と (2, 4)(2,\ 4) で、2 つ目と 3 つ目は (0, 0)(0,\ 0) と (−3, 9)(-3,\ 9) で交わります。3 本すべてが通るのは (0, 0)(0,\ 0) だけで、ここに 3 票が集まります。ほかの点は 2 票どまりなので、「中心 (0, 0)(0,\ 0)、半径 55 の円がある」と判断できるのです。輪郭の一部が欠けていても、残った点の票で中心が浮かび上がるのが、この方法の強みです。

豆知識

半径がわからないときは、aa，bb，rr の 3 つを同時に探すので、票を入れる箱が立体になり、計算の量が一気に増えます。別の方法として、輪郭から 3 点をでたらめに選んで、公式3でその 3 点を通る円を求め、ほかの点がどれだけその円に乗るかを数える、という手順をくり返すやり方もあります。1981 年にフィッシュラーとボールズが発表した RANSAC と呼ばれる方法の考え方で、「3 点で円が 1 つに決まる」ことがそのまま使われています。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、本文の公式1〜5が使えれば十分です。「一般形の係数は 1 通りに決まるの？」「3 点を通る円がただ 1 つなのはなぜ？」「直径の円の式は、縦の直線が混じっても正しいの？」が気になる人のために、根拠を紹介します。

この章では、第1〜3章の厳密定義（直交座標と 2 点間の距離、直線と一次方程式の対応、交差形による 3 点が一直線上にある条件、係数の行列式 DD≠0{}\neq 0 なら 2 直線がただ 1 点で交わること）を前提にします。三平方の定理とその逆、三角不等式（図形の性質 第1章）も使います。

円の定義と方程式

定義1：円

平面上の点 C と正の数 rr に対して、CP\mathrm{CP}=r{}= r を満たす点 P 全体の集合を、中心 C、半径 rr の円という。

また、CP\mathrm{CP}<r{}< r を満たす点 P 全体を円の内部、CP\mathrm{CP}>r{}> r を満たす点 P 全体を円の外部という。

円は「線」であって、中身の詰まった板ではありません。板のほうは、円と内部を合わせたもので、円板と呼ばれます。

定理1：円と標準形

C の座標を (a, b)(a,\ b) とする。点 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) が中心 C、半径 rr の円の上にあるための必要十分条件は

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2+(y−b)2\displaystyle {}+ (y - b)^2=r2\displaystyle {}= r^2

が成り立つことである。

証明　2 点間の距離の公式より CP2\mathrm{CP}^2=(x−a)2{}= (x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2 である。CP\mathrm{CP}≧0{}\geqq 0，rr>0{}> 0 なので

CP2\displaystyle \mathrm{CP}^2−r2\displaystyle {}- r^2=(CP−r)(CP+r)\displaystyle {}= (\mathrm{CP} - r)(\mathrm{CP} + r)

の第 2 因数は正である。よって CP\mathrm{CP}=r{}= r  ⟺  CP2{}\iff \mathrm{CP}^2=r2{}= r^2 が成り立つ。（証明終）

証明の要点は「00 以上の 2 数は、2 乗が等しければ等しい」ことです。負の数が混じると成り立たないので（(−2)2(-2)^2=22{}= 2^2）、rr>0{}> 0 と CP\mathrm{CP}≧0{}\geqq 0 を確かめてから 2 乗しています。

定理2：中心・半径・一般形はただ 1 つに決まる

集合 SS が、中心 (a, b)(a,\ b)・半径 rr の円であり、同時に中心 (a′, b′)(a',\ b')・半径 r′r' の円でもあるならば、aa=a′{}= a'，bb=b′{}= b'，rr=r′{}= r' である。

したがって、1 つの円を x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 の形で表す方法はただ 1 通りで、ll=−2a{}= -2a，mm=−2b{}= -2b，nn=a2{}= a^2+b2{}+ b^2−r2{}- r^2 である。

証明　定理1より、SS のすべての点 (x, y)(x,\ y) で

(x−a)2\displaystyle (x - a)^2+(y−b)2\displaystyle {}+ (y - b)^2−r2\displaystyle {}- r^2=0,\displaystyle {}= 0,(x−a′)2\displaystyle (x - a')^2+(y−b′)2\displaystyle {}+ (y - b')^2−r′2\displaystyle {}- {r'}^2=0\displaystyle {}= 0

がともに成り立つ。辺々引くと、SS のすべての点で

2(a′−a)x\displaystyle 2(a' - a)x+2(b′−b)y\displaystyle {}+ 2(b' - b)y+(a2+b2−r2)\displaystyle {}+ (a^2 + b^2 - r^2)−(a′2+b′2−r′2)\displaystyle {}- ({a'}^2 + {b'}^2 - {r'}^2)=0\displaystyle {}= 0⋯(∗)\displaystyle \cdots (\ast)

が成り立つ。

SS は 3 点 (a+r, b)(a + r,\ b)，(a−r, b)(a - r,\ b)，(a, b+r)(a,\ b + r) を含む。はじめの 2 点は直線 yy=b{}= b 上にあり、3 つ目は rr≠0{}\neq 0 よりこの直線上にないので、3 点は一直線上にない。

もし (a′−a, b′−b)(a' - a,\ b' - b)≠(0, 0){}\neq (0,\ 0) なら、第2章の厳密定義 定理4より (∗)(\ast) は 1 本の直線を表し、一直線上にない 3 点がその上にあることになって矛盾する。よって aa=a′{}= a'，bb=b′{}= b' である。このとき (∗)(\ast) は r′2{r'}^2−r2{}- r^2=0{}= 0 となり、rr，r′r' はともに正なので rr=r′{}= r' である。

後半について。x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 が SS を表すなら、定理3より l2l^2+m2{}+ m^2−4n{}- 4n>0{}> 0 で、SS は中心 (−l2, −m2)\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)、半径 l2+m2−4n2\dfrac{\sqrt{l^2 + m^2 - 4n}}{2} の円である。前半より、これは中心 (a, b)(a,\ b)、半径 rr に一致するので、ll=−2a{}= -2a，mm=−2b{}= -2b，nn=l2+m24{}= \dfrac{l^2 + m^2}{4}−r2{}- r^2=a2{}= a^2+b2{}+ b^2−r2{}- r^2 と決まる。（証明終）

「同じ円を表す一般形がただ 1 つ」なので、例題3のように 3 点の条件から ll，mm，nn を求めれば、答えの円が 1 通りに決まります。第2章の厳密定義では、直線の一般形は「係数を定数倍しても同じ直線」でした。円では x2x^2，y2y^2 の係数を 11 にそろえると決めたので、定数倍の自由がなくなっています。

一般形の分類

定理3：一般形の表す図形

方程式 x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 を満たす点 (x, y)(x,\ y) 全体を TT とし、Δ\Delta=l2{}= l^2+m2{}+ m^2−4n{}- 4n とおく。

(1) Δ\Delta>0{}> 0 のとき、TT は中心 (−l2, −m2)\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)、半径 Δ2\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2} の円である。

(2) Δ\Delta=0{}= 0 のとき、TT は 1 点 (−l2, −m2)\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right) だけからなる。

(3) Δ\Delta<0{}< 0 のとき、TT は空集合である。

証明　すべての xx，yy について

x2\displaystyle x^2+y2\displaystyle {}+ y^2+lx\displaystyle {}+ lx+my\displaystyle {}+ my+n\displaystyle {}+ n=(x+l2)2\displaystyle {}= \left(x + \frac{l}{2}\right)^2+(y+m2)2\displaystyle {}+ \left(y + \frac{m}{2}\right)^2−Δ4\displaystyle {}- \frac{\Delta}{4}

が成り立つ（右辺を展開すれば確かめられる）。よって、方程式は (x+l2)2\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^2+(y+m2)2{}+ \left(y + \dfrac{m}{2}\right)^2=Δ4{}= \dfrac{\Delta}{4} と同値である。

(1) Δ4\dfrac{\Delta}{4}=(Δ2)2{}= \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}\right)^2 で Δ2\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}>0{}> 0 なので、定理1より主張が成り立つ。

(2) 実数の 2 乗の和が 00 になるのは、どちらの 2 乗も 00 のときに限る。よって xx=−l2{}= -\dfrac{l}{2} かつ yy=−m2{}= -\dfrac{m}{2} である。

(3) 左辺は 00 以上、右辺は負なので、等式を満たす (x, y)(x,\ y) は存在しない。（証明終）

Δ\Delta は、二次関数で学んだ判別式と役割がよく似ています。判別式 DD の符号で二次方程式の実数解が 2 個・1 個・0 個に分かれたように、Δ\Delta の符号で、一般形の表す図形が「円・1 点・なし」に分かれます。

3 点を通る円

円と直線の共有点の個数は第5章のテーマですが、ここでは「多くても 2 個」であることだけを示しておきます。

定理4：円と直線の共有点は 2 個以下、3 点を通る円

(1) 円と直線の共有点は、多くても 2 個である。

(2) 一直線上にある異なる 3 点を通る円は存在しない。

(3) 一直線上にない 3 点を通る円は、ただ 1 つ存在する。

証明　(1) 円を (x−a)2(x - a)^2+(y−b)2{}+ (y - b)^2=r2{}= r^2 とする。第2章の厳密定義 定理1より、直線は、その上の点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) と (u, v)(u,\ v)≠(0, 0){}\neq (0,\ 0) を使って、点 (x1+tu, y1+tv)(x_1 + tu,\ y_1 + tv)（tt は実数）全体として表せる。(u, v)(u,\ v)≠(0, 0){}\neq (0,\ 0) なので、異なる tt は異なる点を与え、直線上の点と tt は 1 対 1 に対応する。この点が円の上にある条件は

(u2+v2) t2\displaystyle (u^2 + v^2)\,t^2+2{u(x1−a)+v(y1−b)} t\displaystyle {}+ 2\{u(x_1 - a) + v(y_1 - b)\}\,t+{(x1−a)2+(y1−b)2−r2}\displaystyle {}+ \{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2\}=0\displaystyle {}= 0

である。u2u^2+v2{}+ v^2>0{}> 0 なので、これは tt の二次方程式であり、実数解は多くても 2 個である。よって共有点は多くても 2 個である。

(2) (1) から直ちにわかる。

(3) 3 点を Pi(xi, yi)\mathrm{P}_i(x_i,\ y_i)（ii=1,{}= 1, 2,\ 2, 3\ 3）とし、sis_i=xi2{}= x_i^2+yi2{}+ y_i^2 とおく。

ただ 1 つであること。 3 点を通る円があれば、定理2よりその円は x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 の形にただ 1 通りに表され、

lxi\displaystyle lx_i+myi\displaystyle {}+ my_i+n\displaystyle {}+ n=−si\displaystyle {}= -s_i(i=1, 2, 3)\displaystyle (i = 1,\ 2,\ 3)

が成り立つ。ii=2,{}= 2, 3\ 3 の式から ii=1{}= 1 の式を引くと

(x2−x1) l\displaystyle (x_2 - x_1)\,l+(y2−y1) m\displaystyle {}+ (y_2 - y_1)\,m=−(s2−s1),\displaystyle {}= -(s_2 - s_1),(x3−x1) l\displaystyle (x_3 - x_1)\,l+(y3−y1) m\displaystyle {}+ (y_3 - y_1)\,m=−(s3−s1)\displaystyle {}= -(s_3 - s_1)

となる。これを ll，mm についての連立一次方程式と見ると、係数の組み合わせ

D\displaystyle D=(x2−x1)(y3−y1)\displaystyle {}= (x_2 - x_1)(y_3 - y_1)−(x3−x1)(y2−y1)\displaystyle {}- (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)

は、第2章の公式2で見た交差形そのもので、3 点が一直線上にないので DD≠0{}\neq 0 である。第3章の厳密定義 定理3より、この連立方程式の解 (l, m)(l,\ m) はただ 1 組で、nn=−s1{}= -s_1−lx1{}- lx_1−my1{}- my_1 も決まる。よって、3 点を通る円は多くても 1 つである。

存在すること。 上で求めた ll，mm，nn を使った方程式 x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 は、作り方から 3 点 P1\mathrm{P}_1，P2\mathrm{P}_2，P3\mathrm{P}_3 をすべて満たす。定理3より、この方程式の表す集合は「円・1 点・空集合」のどれかであり、異なる 3 点を含むので円である。（証明終）

図形の性質 第2章の厳密定義では、同じ事実を「2 本の垂直二等分線が平行にならないので交わり、その交点が外心になる」と図形の言葉で示しました。定理4は、それを連立方程式が解をただ 1 組もつことに置きかえた証明です。「一直線上にない」という条件が、図形では「垂直二等分線が平行でない」、式では「DD≠0{}\neq 0」として現れています。

直径の両端から決まる円

定理5：直径の円と直角

異なる 2 点 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1)，B(x2, y2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2) に対して、方程式

(x−x1)(x−x2)\displaystyle (x - x_1)(x - x_2)+(y−y1)(y−y2)\displaystyle {}+ (y - y_1)(y - y_2)=0\displaystyle {}= 0⋯(∗∗)\displaystyle \cdots (\ast\ast)

の表す図形を KK とする。

(1) KK は、線分 AB の中点 M を中心とし、半径が AB2\dfrac{\mathrm{AB}}{2} の円である。

(2) A，B と異なる点 P について、P が KK 上にあるための必要十分条件は ∠APB\angle\mathrm{APB}=90∘{}= 90^\circ である。

証明　(1) pp=x1+x22{}= \dfrac{x_1 + x_2}{2} とおくと、すべての xx について

(x−x1)(x−x2)\displaystyle (x - x_1)(x - x_2)=x2\displaystyle {}= x^2−(x1+x2)x\displaystyle {}- (x_1 + x_2)x+x1x2\displaystyle {}+ x_1x_2=(x−p)2\displaystyle {}= (x - p)^2−(x1−x22)2\displaystyle {}- \left(\frac{x_1 - x_2}{2}\right)^2

が成り立つ（(x1+x2)2(x_1 + x_2)^2−(x1−x2)2{}- (x_1 - x_2)^2=4x1x2{}= 4x_1x_2 を使う）。yy についても同様に qq=y1+y22{}= \dfrac{y_1 + y_2}{2} とおけば、(∗∗)(\ast\ast) は

(x−p)2\displaystyle (x - p)^2+(y−q)2\displaystyle {}+ (y - q)^2=(x1−x2)2+(y1−y2)24\displaystyle {}= \frac{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}{4}=(AB2)2\displaystyle {}= \left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)^2

と同値である。A\mathrm{A}≠B{}\neq \mathrm{B} より AB2\dfrac{\mathrm{AB}}{2}>0{}> 0 なので、定理1より主張が成り立つ。

(2) P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とする。まず、次の恒等式 (†)(\dagger) を示す。

PA2\displaystyle \mathrm{PA}^2+PB2\displaystyle {}+ \mathrm{PB}^2−AB2\displaystyle {}- \mathrm{AB}^2=2{(x−x1)(x−x2)\displaystyle {}= 2\bigl\{(x - x_1)(x - x_2)+(y−y1)(y−y2)}\displaystyle {}\qquad + (y - y_1)(y - y_2)\bigr\}

ξ\xi=x{}= x−x1{}- x_1，η\eta=x{}= x−x2{}- x_2 とおくと x1x_1−x2{}- x_2=η{}= \eta−ξ{}- \xi なので

ξ2\displaystyle \xi^2+η2\displaystyle {}+ \eta^2−(η−ξ)2\displaystyle {}- (\eta - \xi)^2=2ξη\displaystyle {}= 2\xi\eta

である。yy についても同じ計算をして足せば (†)(\dagger) が得られる。

P が直線 AB 上にないとき、P，A，B は三角形をなすので、三平方の定理とその逆、および (†)(\dagger) より

∠APB\displaystyle \angle\mathrm{APB}=90∘\displaystyle {}= 90^\circ  ⟺  PA2\displaystyle {}\iff \mathrm{PA}^2+PB2\displaystyle {}+ \mathrm{PB}^2=AB2\displaystyle {}= \mathrm{AB}^2  ⟺  (∗∗)\displaystyle {}\iff (\ast\ast)

である。

P が直線 AB 上にあるとき（P は A，B と異なる）、∠APB\angle\mathrm{APB} は 0∘0^\circ または 180∘180^\circ で、90∘90^\circ ではない。一方、A，B は KK と直線 AB の共有点であり、定理4 (1) より共有点はこの 2 つだけなので、P は KK 上にない。よって、この場合も両辺はともに成り立たず、同値である。（証明終）

定理5の証明では、どこでも割り算をしていません。本文の公式1では「傾きの積が −1-1」から (∗∗)(\ast\ast) を導きましたが、その方法では PA や PB が縦の直線になる場合を別に考える必要がありました。三平方の定理を使う道なら、その場合分けが要りません。

方べきと距離の最大・最小

定理6：代入した値と、円周までの距離

中心 C(a, b)\mathrm{C}(a,\ b)、半径 rr の円を x2x^2+y2{}+ y^2+lx{}+ lx+my{}+ my+n{}+ n=0{}= 0 と表し、点 P(x0, y0)\mathrm{P}(x_0,\ y_0) に対して pp=x02{}= x_0^2+y02{}+ y_0^2+lx0{}+ lx_0+my0{}+ my_0+n{}+ n とおく。

(1) pp=CP2{}= \mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 である。とくに、P が円の内部・円周上・外部にあることは、それぞれ pp<0{}< 0，pp=0{}= 0，pp>0{}> 0 と同値である。

(2) 円周上の任意の点 Q について ∣CP−r∣\lvert \mathrm{CP} - r \rvert≦PQ{}\leqq \mathrm{PQ}≦CP{}\leqq \mathrm{CP}+r{}+ r が成り立ち、両端の値をとる点 Q が円周上に存在する。

証明　(1) 定理2より ll=−2a{}= -2a，mm=−2b{}= -2b，nn=a2{}= a^2+b2{}+ b^2−r2{}- r^2 なので

p\displaystyle p=(x0−a)2\displaystyle {}= (x_0 - a)^2+(y0−b)2\displaystyle {}+ (y_0 - b)^2−r2\displaystyle {}- r^2=CP2\displaystyle {}= \mathrm{CP}^2−r2\displaystyle {}- r^2

である。CP\mathrm{CP}+r{}+ r>0{}> 0 より、pp の符号は CP\mathrm{CP}−r{}- r の符号と一致するので、定義1から後半が従う。

(2) 3 点 X，Y，Z について XZ\mathrm{XZ}≦XY{}\leqq \mathrm{XY}+YZ{}+ \mathrm{YZ}（三角不等式。3 点が一直線上にあるときや、2 点が一致するときも成り立つ）を使う。CQ\mathrm{CQ}=r{}= r なので

PQ\displaystyle \mathrm{PQ}≦PC\displaystyle {}\leqq \mathrm{PC}+CQ\displaystyle {}+ \mathrm{CQ}=CP\displaystyle {}= \mathrm{CP}+r,\displaystyle {}+ r,r\displaystyle r=CQ\displaystyle {}= \mathrm{CQ}≦CP\displaystyle {}\leqq \mathrm{CP}+PQ,\displaystyle {}+ \mathrm{PQ},CP\displaystyle \mathrm{CP}≦CQ\displaystyle {}\leqq \mathrm{CQ}+QP\displaystyle {}+ \mathrm{QP}=r\displaystyle {}= r+PQ\displaystyle {}+ \mathrm{PQ}

である。2 つ目と 3 つ目から PQ\mathrm{PQ}≧r{}\geqq r−CP{}- \mathrm{CP} かつ PQ\mathrm{PQ}≧CP{}\geqq \mathrm{CP}−r{}- r、つまり PQ\mathrm{PQ}≧∣CP−r∣{}\geqq \lvert \mathrm{CP} - r \rvert である。

両端の値をとる点を作る。P\mathrm{P}=C{}= \mathrm{C} のときは、円周上のどの点 Q でも PQ\mathrm{PQ}=r{}= r=∣0−r∣{}= \lvert 0 - r \rvert=0{}= 0+r{}+ r である。P\mathrm{P}≠C{}\neq \mathrm{C} のときは、dd=CP{}= \mathrm{CP}>0{}> 0 として

u\displaystyle u=x0−ad,\displaystyle {}= \frac{x_0 - a}{d},v\displaystyle v=y0−bd\displaystyle {}= \frac{y_0 - b}{d}

とおくと、u2u^2+v2{}+ v^2=1{}= 1 で、P(a+du, b+dv)\mathrm{P}(a + du,\ b + dv) と書ける。Q1(a+ru, b+rv)\mathrm{Q}_1(a + ru,\ b + rv)，Q2(a−ru, b−rv)\mathrm{Q}_2(a - ru,\ b - rv) はどちらも C から距離 rr にあるので円周上にあり

PQ1\displaystyle \mathrm{PQ}_1=(d−r)2(u2+v2)\displaystyle {}= \sqrt{(d - r)^2(u^2 + v^2)}=∣d−r∣,\displaystyle {}= \lvert d - r \rvert,PQ2\displaystyle \mathrm{PQ}_2=(d+r)2(u2+v2)\displaystyle {}= \sqrt{(d + r)^2(u^2 + v^2)}=d\displaystyle {}= d+r\displaystyle {}+ r

となる。（証明終）

図形の性質 第5章の厳密定義では、CP2\mathrm{CP}^2−r2{}- r^2 を「点 P の円に関する方べき」と定義しました。定理6 (1) は、座標を使えば方べきが「円の一般形に代入した値」として計算できることを示しています。実践問題 j20 では、この値が、P を通る直線と円の 2 つの交点までの距離の積（の符号つきの値）に等しいことを、解と係数の関係で確かめました。

定理6 (2) の Q1\mathrm{Q}_1，Q2\mathrm{Q}_2 の作り方は、例題5 (2) で「C から B へ向かう向きに 11 進むと、xx 座標が 35\dfrac{3}{5}、yy 座標が 45\dfrac{4}{5} 増える」と計算したことを、文字で書いたものです。(u, v)(u,\ v) は、ベクトルの言葉では C から P へ向かう単位ベクトルにあたります。

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