第1章　準2級 数と式

$x^2$${}- 4xy$${}+ 4y^2$${}+ 2x$${}- 4y$${}- 3$

共通のかたまり $x$${}- 2y$ を $A$ とおくと、$(A + 3)(A - 1)$${}= A^2$${}+ 2A$${}- 3$ です。

$(2x + 3y)(3x - 2y)$

$x^2$ の係数 $6$${}= 2 \times 3$、$y^2$ の係数 $-6$${}= 3 \times (-2)$ としてたすき掛けをすると、$2 \times (-2)$${}+ 3 \times 3$${}= 5$ で $xy$ の係数に一致します。

$(x + 3y - 2)(x - 2y + 3)$

$x$ について整理すると、定数項（$x$ を含まない部分）は $-6y^2$${}+ 13y$${}- 6$${}= -(6y^2 - 13y + 6)$${}= -(2y - 3)(3y - 2)$${}= (3y - 2)(-2y + 3)$ です。

和が $(3y - 2)$${}+ (-2y + 3)$${}= y$${}+ 1$ で、$x$ の係数に一致します。

$\dfrac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

$(1 + \sqrt{2})$${}+ \sqrt{3}$ とみて、分母と分子に $(1 + \sqrt{2})$${}- \sqrt{3}$ を掛けます。分母は $(1 + \sqrt{2})^2$${}- 3$${}= 2\sqrt{2}$ です。

1回目の有理化で分母に $\sqrt{2}$ が残るので、もう一度有理化します。

$\sqrt{5}$${}- \sqrt{3}$

$\sqrt{60}$${}= 2\sqrt{15}$ として、「和が $8$、積が $15$」の2数 $5$，$3$ を探します。

$\sqrt{5}$${}> \sqrt{3}$ なので、大きいほうを前に書きます（逆にすると負の数になってしまいます）。

$x$${}\leqq -3,$$\dfrac{5}{3}$${}\leqq x$

$|A|$${}\geqq 7$ は「$A$${}\leqq -7$ または $A$${}\geqq 7$」です。

$3x$${}+ 2$${}\leqq -7$ より $x$${}\leqq -3$、$3x$${}+ 2$${}\geqq 7$ より $x$${}\geqq \dfrac{5}{3}$。

$\overline{A \cup B}$${}= \{2,\ 4,\ 8,\ 10,\ 14\}$，$A \cap \overline{B}$${}= \{6,\ 12\}$

$A$${}= \{3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15\}$，$B$${}= \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15\}$ です。

ド・モルガンの法則より $\overline{A \cup B}$${}= \overline{A} \cap \overline{B}$ で、これは「$3$ の倍数でない偶数」の集合です。

$A \cap \overline{B}$ は「$3$ の倍数である偶数」、つまり $6$ の倍数です。

必要条件であるが十分条件ではない

$x^2$${}= 2x$ を解くと $x(x - 2)$${}= 0$ より $x$${}= 0,$$\ 2$ です。

• 「$x$${}= 2$${}\Rightarrow x^2$${}= 2x$」は真です。
• 「$x^2$${}= 2x$${}\Rightarrow x$${}= 2$」は偽です（反例 $x$${}= 0$）。

矢印の先にある $x^2$${}= 2x$ は、$x$${}= 2$ であるための 必要条件であるが十分条件ではない となります。

$x^2$${}- xy$${}+ y^2$${}= 22$，$x^3$${}+ y^3$${}= 44\sqrt{7}$

まず有理化します。

よって $x$${}+ y$${}= 2\sqrt{7}$，$xy$${}= 7$${}- 5$${}= 2$ です。

$x^3$${}+ y^3$${}= (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ なので

前半の結果をそのまま使えるのが、この順に問われている理由です。

$a$${}= 2$，$b$${}= \dfrac{\sqrt{7} - 1}{2}$，$b^2$${}+ b$${}= \dfrac{3}{2}$

有理化すると

$4$${}< 7$${}< 9$ より $2$${}< \sqrt{7}$${}< 3$ なので、$5$${}< 3$${}+ \sqrt{7}$${}< 6$，つまり $\dfrac{5}{2}$${}< \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}$${}< 3$ です。

$b^2$${}= \dfrac{8 - 2\sqrt{7}}{4}$${}= \dfrac{4 - \sqrt{7}}{2}$ なので

別解：$2b$${}+ 1$${}= \sqrt{7}$ の両辺を2乗すると $4b^2$${}+ 4b$${}+ 1$${}= 7$，よって $b^2$${}+ b$${}= \dfrac{3}{2}$ です。

$(x + 2)(x + 6)(x^2 + 8x + 10)$

定数項の和が等しくなる組 $1$${}+ 7$${}= 3$${}+ 5$${}= 8$ で掛け合わせます。

なので、与式は

$x^2$${}+ 8x$${}= A$ とおくと

$A$ を戻すと $(x^2 + 8x + 10)(x^2 + 8x + 12)$ で、$x^2$${}+ 8x$${}+ 12$${}= (x + 2)(x + 6)$ はさらに因数分解できます。

$x^2$${}+ 8x$${}+ 10$ は、積が $10$ で和が $8$ になる整数の組がないので、ここで止めます。

$x$${}< -8,$$\dfrac{4}{3}$${}< x$

中身が $0$ になる $x$${}= -1$，$3$ で区間を分けます。

(i) $x$${}< -1$ のとき　$2|x + 1|$${}= -2x$${}- 2$，$|x - 3|$${}= -x$${}+ 3$ なので

$x$${}< -1$ との共通範囲は $x$${}< -8$。

(ii) $-1$${}\leqq x$${}< 3$ のとき　$2|x + 1|$${}= 2x$${}+ 2$，$|x - 3|$${}= -x$${}+ 3$ なので

$-1$${}\leqq x$${}< 3$ との共通範囲は $\dfrac{4}{3}$${}< x$${}< 3$。

(iii) $x$${}\geqq 3$ のとき　$2x$${}+ 2$${}- (x - 3)$${}> 3$${}\iff x$${}> -2$ で、$x$${}\geqq 3$ はすべて満たします。

(i)〜(iii) を合わせて

$2$${}< a$${}\leqq 3$

$a$${}> 0$ なので、不等式は $-a$${}< x$${}- 2$${}< a$，つまり

この範囲は $x$${}= 2$ を中心に左右対称なので、含まれる整数も $2$ を中心に左右同じ数だけあります。ちょうど $5$ 個になるのは、整数 $0,$$\ 1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4$ を含み、$5$（と $-1$）を含まないときです。

$a$${}= 3$ のとき範囲は $-1$${}< x$${}< 5$ で、端の $-1$，$5$ は含まれないので $5$ 個です。$a$${}= 2$ のときは $0$${}< x$${}< 4$ で $3$ 個になってしまいます。

$0$${}< a$${}\leqq 1$

$\overline{B}$${}\subset \overline{A}$ は $A$${}\subset B$ と同じ条件です。実際、$A$${}\subset B$ なら「$B$ に入らない $x$ は $A$ にも入らない」ので $\overline{B}$${}\subset \overline{A}$、逆も同様に成り立ちます。

$a$${}> 0$ より $A$${}= \{x \mid 1 - a < x < 1 + a\}$ です。$A$${}\subset B$ となる条件は、数直線で $A$ の両端が $B$ の内側にあることなので

それぞれ $a$${}\leqq 4$，$a$${}\leqq 1$ です。$A$ の端点は $A$ に含まれないので、等号が成り立ってもかまいません（$a$${}= 1$ のとき $A$${}= \{x \mid 0 < x < 2\}$${}\subset B$）。$a$${}> 0$ と合わせて

十分条件となる範囲は $1$${}< a$${}< 3$。必要条件となる $a$ は存在しない（証明は解説）。

$p$，$q$ を満たす $x$ の集合を $P$，$Q$ とすると

十分条件　$p$${}\Rightarrow q$ が真 $\iff P$${}\subset Q$ です。$Q$ の端点は含まれないので、$P$ の端点 $1$，$3$ が $Q$ の内部にある必要があります。

（$a$${}= 1$ のとき $Q$${}= \{x \mid -1 < x < 3\}$ で、$3$${}\in P$ が $Q$ に入らないので不適です。）

必要条件　$p$ が $q$ であるための必要条件になるのは $q$${}\Rightarrow p$ が真，つまり $Q$${}\subset P$ のときです。そのためには

が必要ですが、これは $a$${}\geqq 3$ かつ $a$${}\leqq 1$ となり、満たす $a$ はありません。幅 $4$ の区間 $Q$ が幅 $2$ の区間 $P$ に収まらない、ということです。よって、必要条件となる $a$ は存在しません。

$200$ g 以上 $450$ g 以下

加える $3\%$ の食塩水を $x$ g（$x$${}> 0$）とします。混ぜたあとの食塩の量は $300 \times 0.08$${}+ 0.03x$${}= 24$${}+ 0.03x$ (g)、全体の量は $300$${}+ x$ (g) です。濃度の条件は

左側の不等式：$15$${}+ 0.05x$${}\leqq 24$${}+ 0.03x$ より $0.02x$${}\leqq 9$，$x$${}\leqq 450$。

右側の不等式：$24$${}+ 0.03x$${}\leqq 18$${}+ 0.06x$ より $6$${}\leqq 0.03x$，$x$${}\geqq 200$。