第1章　整式の整理と展開

単項式と多項式

$3x^2$ や $-5ab$ のように、数と文字をかけ算だけでつないだ式を単項式といいます。単項式の数の部分を係数、かけ合わせた文字の個数を次数と呼びます。

単項式をいくつか足し合わせた式、たとえば $2x^2$${}- 3x$${}+ 7$ を多項式といい、足し合わされたひとつひとつの単項式（$2x^2$，$-3x$，$7$）を項といいます。単項式と多項式をまとめて整式と呼びます。

公式1：単項式・多項式の次数と係数

• 単項式の次数＝かけ合わされている文字の個数。係数＝文字以外の数の部分。 $\displaystyle -4x^2y$$\displaystyle {}\longrightarrow\quad \text{係数 }$$\displaystyle {}-4,$$\displaystyle \ \ \text{次数 } 3\ (x, x, y \text{ の3個})$
• 多項式の次数＝各項の次数のうち最も高いもの。次数が $n$ の整式を $n$ 次式という。
• 文字を含まない項を定数項という。
• 特定の文字に着目するときは、その文字だけを文字とみなし、ほかの文字は数と同じように扱う。 $\displaystyle -4x^2y \ \text{を } x \text{ に着目してみると}$$\displaystyle \text{係数 }$$\displaystyle {}-4y,$$\displaystyle \ \ \text{次数 } 2$

「どの文字に着目するか」で次数も係数も変わる、というのがこの章の最初のポイントです。$ax^2$ という式は、$x$ についてみれば「係数 $a$ の2次式」、$a$ についてみれば「係数 $x^2$ の1次式」です。数学では、方程式の未知数だけを文字とみなし、ほかは定数として扱う場面がとても多いので、この見方に早めに慣れておきましょう。

写真の「ピント」に似ています。同じ景色でも、手前の花にピントを合わせれば花が主役になり、背景の山はぼやけた「背景」になります。$x$ にピントを合わせれば $x$ が主役、$a$ や $y$ は背景の数、ということです。

単項式の次数は文字の個数、係数は数の部分で、特定の文字に着目すると、ほかの文字は係数の側に入るということです。

例題1：次数と係数を読み取る

単項式 $-4a^2bx^3$ について、次の場合の係数と次数を求めなさい。

(1) すべての文字に着目したとき　　(2) $x$ に着目したとき

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【解答】

(1) 文字は $a,$$a,$$b,$$x,$$x,$$x$ の6個なので、係数は $\underline{-4}$、次数は $\underline{6}$ です。

(2) $x$ だけを文字とみなすと、$-4a^2b$ は数の扱いになります。

$\displaystyle -4a^2bx^3$$\displaystyle {}= (-4a^2b)\,x^3$

係数は $\underline{-4a^2b}$、次数は $\underline{3}$ です。

整式の整理と加法・減法

$3x$ と $5x$ のように、文字の部分がまったく同じ項を同類項といいます。同類項は、係数どうしを足して1つにまとめられます（分配法則 $3x$${}+ 5x$${}= (3+5)x$）。

公式2：整式の整理

1. 同類項をまとめる：$3x^2$${}- 2x$${}+ 5$${}+ x^2$${}+ 4x$${}= 4x^2$${}+ 2x$${}+ 5$
2. 降べきの順に並べる：次数の高い項から順に並べる（低い順は昇べきの順）。
3. 特定の文字について整理する：着目する文字の次数ごとに項をまとめ、ほかの文字の部分はかっこでくくって係数とみる。 $\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ 2xy$$\displaystyle {}- 3x$$\displaystyle {}+ y^2$$\displaystyle {}+ 4y$$\displaystyle {}=\; x^2$$\displaystyle {}+ (2y - 3)x$$\displaystyle {}+ (y^2 + 4y)$

整式 $A$，$B$ の和 $A$${}+ B$ や差 $A$${}- B$ は、同類項どうしを計算する。差のときは $B$ のすべての項の符号を変えて足す。

同類項をまとめる作業は、貯金箱の小銭を数えるのに似ています。10円玉、100円玉、1円玉がごちゃまぜに入っていたら、まず種類ごとに山を分けて、それぞれの枚数を数えますね。$x^2$ の山、$x$ の山、数だけの山、と分けて数えるのが「同類項をまとめる」ことです。$x^2$ と $x$ は、10円玉と100円玉が別物なのと同じで、決して1つにまとめられません。

降べきの順は、整列のときの「背の順」です。並び方を決めておくと、答えどうしを比べたり、項の書き忘れに気づいたりしやすくなります。

整式の整理とは、同類項を種類ごとにまとめ、次数の高い順（降べきの順）に並べ直すことだということです。

例題2：整理と引き算

(1) 整式 $3x^2$${}+ xy$${}- 2x$${}- y^2$${}+ 5y$${}- x^2$${}- 3$ を、$x$ について降べきの順に整理した式を求めなさい。

(2) $A$${}= 3x^2$${}- 2x$${}+ 5$，$B$${}= x^2$${}- 4x$${}- 1$ のとき、$A$${}- B$ を求めなさい。

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【解答】

(1) $x^2$ の項、$x$ の項、$x$ を含まない項に分けます。

$\displaystyle (3x^2 - x^2)$$\displaystyle {}+ (xy - 2x)$$\displaystyle {}+ (-y^2 + 5y - 3)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}2x^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ (y - 2)x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}- y^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ 5y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}- 3}$

$x$ についての定数項は $-y^2$${}+ 5y$${}- 3$ です。

(2) $B$ にかっこをつけてから、符号を変えてはずします。

$\displaystyle A$$\displaystyle {}- B$$\displaystyle {}= (3x^2 - 2x + 5)$$\displaystyle {}- (x^2 - 4x - 1)$$\displaystyle {}= 3x^2$$\displaystyle {}- 2x$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}- x^2$$\displaystyle {}+ 4x$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}2x^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 2x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 6}$

$-(-1)$${}= +1$ のように、後ろの項の符号の変え忘れがいちばん多いミスです。

指数法則と単項式の乗法

$x$ を3回かけた $x \times x \times x$ を $x^3$ と書き、右上の小さな数を指数といいます。指数どうしの計算には、次の3つのルールがあります。

公式3：指数法則

$m$，$n$ を正の整数とするとき

$\displaystyle \text{(1)}\ a^m \times a^n$$\displaystyle {}= a^{m+n}$$\displaystyle \text{(2)}\ (a^m)^n$$\displaystyle {}= a^{mn}$$\displaystyle \text{(3)}\ (ab)^n$$\displaystyle {}= a^n b^n$

単項式どうしのかけ算は、係数どうし・同じ文字どうしをそれぞれかける。

3つとも、「$a$ を全部で何回かけているか」を数えているだけです。$a^2 \times a^3$ は $(a \times a) \times (a \times a \times a)$ で、$a$ が $2$${}+ 3$${}= 5$ 回。$(a^2)^3$ は $a^2$ のかたまりが3つで、$a$ が $2 \times 3$${}= 6$ 回。

レシピにたとえると、「卵2個を使う料理を3回作る」なら卵は $2 \times 3$${}= 6$ 個、「卵2個の料理と卵3個の料理を1回ずつ」なら $2$${}+ 3$${}= 5$ 個。足すのか、かけるのかは、何回かけているかを数えれば迷いません。$a^2 \times a^3$${}= a^6$ としてしまうのは、よくある勘違いです。

指数法則は「同じ文字を何回かけているか」を数えるルールで、かけ算なら指数を足し、累乗の累乗なら指数をかけるということです。

例題3：指数法則を使った計算

次の計算の結果を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ a^3 \times a^5$$\displaystyle \text{(2)}\ (x^2)^4$$\displaystyle \text{(3)}\ (-3x^2y)^2 \times 2xy^3$

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【解答】

(1) $a^3 \times a^5$${}= a^{3+5}$${}= \underline{a^8}$

(2) $(x^2)^4$${}= x^{2 \times 4}$${}= \underline{x^8}$

(3) まず累乗を計算します。$(-3)^2$${}= 9$，$(x^2)^2$${}= x^4$ なので

$\displaystyle (-3x^2y)^2 \times 2xy^3$$\displaystyle {}= 9x^4y^2 \times 2xy^3$$\displaystyle {}= (9 \times 2)\,x^{4+1}\,y^{2+3}$$\displaystyle {}= \underline{18x^5y^5}$

係数の符号は、$-3$ を2回かけるので正になります。

展開と2次の乗法公式

$(a + b)(c + d)$ のように、整式の積をかっこのない和の形に書き直すことを展開といいます。基本は分配法則です。

$\displaystyle (a + b)(c + d)$$\displaystyle {}= ac$$\displaystyle {}+ ad$$\displaystyle {}+ bc$$\displaystyle {}+ bd$

前のかっこの各項を、後ろのかっこのすべての項にかけていきます。よく出てくる形は、結果を公式として覚えておくと速く正確に計算できます。

公式4：2次の乗法公式

$\displaystyle \text{(1)}\ (a + b)^2$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}+ 2ab$$\displaystyle {}+ b^2$$\displaystyle \text{(2)}\ (a - b)^2$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}- 2ab$$\displaystyle {}+ b^2$$\displaystyle \text{(3)}\ (a + b)(a - b)$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}- b^2$$\displaystyle \text{(4)}\ (x + a)(x + b)$$\displaystyle {}= x^2$$\displaystyle {}+ (a + b)x$$\displaystyle {}+ ab$$\displaystyle \text{(5)}\ (ax + b)(cx + d)$$\displaystyle {}= acx^2$$\displaystyle {}+ (ad + bc)x$$\displaystyle {}+ bd$

(1) の $(a + b)^2$ は、1辺が $a$${}+ b$ の正方形の面積です。この正方形を縦横に切ると、$a^2$ の正方形、$ab$ の長方形2枚、$b^2$ の正方形の4枚に分かれます。

真ん中の $2ab$ を忘れて $(a + b)^2$${}= a^2$${}+ b^2$ としてしまうミスは、この図の長方形2枚を落としたことにあたります。床にタイルを敷き詰めるとき、角の大小2枚の正方形だけでは床が埋まらない、と思い出してください。

(3) は「和と差の積は2乗の差」。真ん中の項 $ab$ と $-ab$ が打ち消し合うため、とても短い形になります。(5) は (4) を一般にしたもので、$x$ の係数 $ad$${}+ bc$ は「外側どうしの積＋内側どうしの積」と覚えると便利です。

展開の基本は分配法則で、よく出る形は乗法公式として結果を覚えておけば、真ん中の項の書き落としも防げるということです。

例題4：乗法公式で展開する

次の式を展開した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ (3x + 2y)^2$$\displaystyle \text{(2)}\ (2a + 5)(2a - 5)$$\displaystyle \text{(3)}\ (x - 4)(x + 7)$$\displaystyle \text{(4)}\ (2x + 3)(4x - 1)$

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【解答】

(1) 公式 (1) で $a$${}\to 3x$，$b$${}\to 2y$ とします。

$\displaystyle (3x)^2$$\displaystyle {}+ 2 \cdot 3x \cdot 2y$$\displaystyle {}+ (2y)^2$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}9x^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}+ 12xy}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}+ 4y^2}$

(2) 公式 (3) より $(2a)^2$${}- 5^2$${}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}4a^2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 25}$

(3) 公式 (4) で、足して $-4$${}+ 7$${}= 3$、かけて $-4 \times 7$${}= -28$ なので $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}x^2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 3x}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 28}$

(4) 公式 (5) で、外側どうし $2x \cdot (-1)$${}= -2x$、内側どうし $3 \cdot 4x$${}= 12x$ より

$\displaystyle 8x^2$$\displaystyle {}+ (-2 + 12)x$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}8x^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 10x}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 3}$

3次の乗法公式

2乗の次は3乗です。$(a + b)^3$${}= (a + b)^2(a + b)$ を分配法則で展開すると、次の公式が得られます。

公式5：3次の乗法公式

$\displaystyle \text{(1)}\ (a + b)^3$$\displaystyle {}= a^3$$\displaystyle {}+ 3a^2b$$\displaystyle {}+ 3ab^2$$\displaystyle {}+ b^3$$\displaystyle \text{(2)}\ (a - b)^3$$\displaystyle {}= a^3$$\displaystyle {}- 3a^2b$$\displaystyle {}+ 3ab^2$$\displaystyle {}- b^3$$\displaystyle \text{(3)}\ (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$\displaystyle {}= a^3$$\displaystyle {}+ b^3$$\displaystyle \text{(4)}\ (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$\displaystyle {}= a^3$$\displaystyle {}- b^3$

(1) の係数は $1,$$3,$$3,$$1$。(2) は (1) の $b$ を $-b$ に置きかえたもので、符号が $+,$${}-,$${}+,$${}-$ と交互になる。

(1) は、1辺 $a$${}+ b$ の立方体の積み木を、縦・横・高さそれぞれ $a$ と $b$ のところで切った姿です。切ると8個のブロックになり、$a^3$ の立方体が1個、$a^2b$ の板が3個、$ab^2$ の棒が3個、$b^3$ の小さな立方体が1個。係数 $1,$$3,$$3,$$1$ は、この8個の内訳そのものです。

(3) と (4) は、展開すると途中の項がきれいに消えて $a^3$${}\pm b^3$ だけが残る式です。2つめのかっこの中の $ab$ の符号が、1つめのかっことは逆になっていることに注意してください。次の章の因数分解では、この2つを逆向きに使います。

3乗の展開は係数 $1,$$3,$$3,$$1$ の形になり、$(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ は途中が消えて $a^3$${}\pm b^3$ になるということです。

例題5：3次の乗法公式で展開する

次の式を展開した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ (x - 2y)^3$$\displaystyle \text{(2)}\ (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$

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【解答】

(1) 公式 (2) で $a$${}\to x$，$b$${}\to 2y$ とします。

$\displaystyle (x - 2y)^3$$\displaystyle {}= x^3$$\displaystyle {}- 3 \cdot x^2 \cdot 2y$$\displaystyle {}+ 3 \cdot x \cdot (2y)^2$$\displaystyle {}- (2y)^3$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}x^3}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}- 6x^2y}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}+ 12xy^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}{}- 8y^3}$

(2) $a^2$${}- 3a$${}+ 9$${}= a^2$${}- a \cdot 3$${}+ 3^2$ なので、公式 (3) の形です。

$\displaystyle (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$$\displaystyle {}= a^3$$\displaystyle {}+ 3^3$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}a^3}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 27}$

展開の工夫

項が多い式も、ひと工夫すると乗法公式に持ち込めます。

公式6：展開の工夫

• 置き換え：共通するかたまりを1つの文字とみる。 $(a + b + c)(a + b - c)$ は $a$${}+ b$${}= A$ とおくと $(A + c)(A - c)$${}= A^2$${}- c^2$。
• 組み合わせを選ぶ：かける順番を入れかえて、公式が使えるペアを先に作る。
• 3項の2乗： $\displaystyle (a + b + c)^2$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}+ b^2$$\displaystyle {}+ c^2$$\displaystyle {}+ 2ab$$\displaystyle {}+ 2bc$$\displaystyle {}+ 2ca$

置き換えは、引っ越しで小物をまとめて段ボールに詰めるのに似ています。細かい物をひとつずつ運ぶより、箱ごと運んだほうが楽で、落とし物も減ります。箱を開ける（$A$ をもとの式に戻す）のは、運び終わってからで十分です。

3項の2乗は、「それぞれの2乗」と「2つずつ選んだ積の2倍」の合計、と読むと覚えやすくなります。$a$，$b$，$c$ から2つを選ぶ組は $ab$，$bc$，$ca$ の3組です。

複雑な展開は、共通のかたまりを1文字に置き換えたり、かける組み合わせを選んだりして、乗法公式が使える形に持ち込めばよいということです。

例題6：工夫して展開する

次の式を展開した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ (a + b + 1)(a + b - 1)$$\displaystyle \text{(2)}\ (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

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【解答】

(1) $a$${}+ b$${}= A$ とおくと

$\displaystyle (A + 1)(A - 1)$$\displaystyle {}= A^2$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= (a + b)^2$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}a^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 2ab}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ b^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 1}$

(2) 前の2つから先にかけると、和と差の積が2回続きます。

$\displaystyle (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$$\displaystyle {}= (x^2 - 1)(x^2 + 1)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}x^4}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 1}$

左から順に全部かけても答えは同じですが、組み合わせを選ぶと計算がほとんど要りません。