第2章　因数分解

因数分解とは

第1章では $(x + 2)(x + 3)$ を展開して $x^2$${}+ 5x$${}+ 6$ にしました。この章では、その矢印を逆向きにたどります。

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ 5x$$\displaystyle {}+ 6 \;\xrightarrow{\ \text{因数分解}\ }\; (x + 2)(x + 3)$

整式をいくつかの整式の積の形に書き直すことを因数分解といい、かけ合わされているひとつひとつの式（$x$${}+ 2$ や $x$${}+ 3$）を因数といいます。数の $12$${}= 2^2 \times 3$ を素因数分解するのと同じ発想を、文字の式でおこなうわけです。

公式1：共通因数でくくる

$\displaystyle ma$$\displaystyle {}+ mb$$\displaystyle {}- mc$$\displaystyle {}= m(a + b - c)$

• すべての項に共通する因数（共通因数）を、かっこの外にくくり出す。数の部分は各係数の最大公約数、文字は各項に共通する最も低い次数でくくる。
• 共通しているのが式のかたまりでも、そのままくくれる。 $\displaystyle (a - b)x$$\displaystyle {}+ (a - b)y$$\displaystyle {}= (a - b)(x + y)$
• 因数分解は、それ以上分解できないところまで続ける。特に断りがなければ、係数は有理数の範囲で考える。

分配法則 $m(a + b)$${}= ma$${}+ mb$ を右から左へ読んだものが、共通因数のくくり出しです。因数分解の問題を見たら、どんな公式よりも先に「全部の項に共通なものはないか」を確かめる習慣をつけてください。これを忘れると、あとの公式がうまく当てはまらなくなります。

言葉にも同じ操作があります。「りんごジャム、いちごジャム、ももジャム」を「りんご・いちご・もものジャム」と言いかえるとき、共通する「ジャム」を1回だけ外に出していますね。どの項にも付いている部分を外に出し、残りをかっこにまとめるのが、共通因数でくくるということです。

因数分解は展開の逆で、その第一歩は「すべての項に共通する因数をかっこの外に出す」ことだということです。

例題1：共通因数でくくる

次の式を因数分解した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ 6a^2b$$\displaystyle {}- 9ab^2$$\displaystyle \text{(2)}\ (a - b)x$$\displaystyle {}+ (b - a)y$

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【解答】

(1) 係数 $6$ と $9$ の最大公約数は $3$、文字は $a$ と $b$ が1個ずつ共通しています。

$\displaystyle 6a^2b$$\displaystyle {}- 9ab^2$$\displaystyle {}= 3ab \cdot 2a$$\displaystyle {}- 3ab \cdot 3b$$\displaystyle {}= \underline{3ab(2a - 3b)}$

(2) $b$${}- a$${}= -(a - b)$ と符号を入れかえると、$a$${}- b$ が共通因数として現れます。

$\displaystyle (a - b)x$$\displaystyle {}- (a - b)y$$\displaystyle {}= \underline{(a - b)(x - y)}$

$a$${}- b$ と $b$${}- a$ は「符号だけが違うかたまり」です。見逃さないようにしましょう。

乗法公式を逆に使う

第1章の公式4（2次の乗法公式）の (1)〜(4) を、右辺から左辺へ読むと、そのまま因数分解の公式になります。

公式2：2次式の因数分解

$\displaystyle \text{(1)}\ a^2$$\displaystyle {}+ 2ab$$\displaystyle {}+ b^2$$\displaystyle {}= (a + b)^2$$\displaystyle \text{(2)}\ a^2$$\displaystyle {}- 2ab$$\displaystyle {}+ b^2$$\displaystyle {}= (a - b)^2$$\displaystyle \text{(3)}\ a^2$$\displaystyle {}- b^2$$\displaystyle {}= (a + b)(a - b)$$\displaystyle \text{(4)}\ x^2$$\displaystyle {}+ (a + b)x$$\displaystyle {}+ ab$$\displaystyle {}= (x + a)(x + b)$

(4) は「かけて定数項、足して $x$ の係数」になる2数 $a$，$b$ を見つける。

(1)(2) は、両端の項が $(\ \ )^2$ の形になっていて、真ん中の項が「両端のもとの数どうしの積の2倍」になっているかを確かめます。(3) は2乗どうしの引き算を見たら即座に使えるもので、登場回数がいちばん多い公式です。

(4) の2数探しは、クイズに似ています。「2人の年齢をかけると $12$、足すと $7$。何歳と何歳？」と聞かれたら、かけて $12$ になる組（$1$ と $12$，$2$ と $6$，$3$ と $4$）を書き出して、足して $7$ になるものを選びますね。答えは $3$ と $4$。足し算の組は無数にありますが、かけ算の組は限られるので、かけ算の側から候補を挙げるのが近道です。定数項が負なら2数は異符号、正なら同符号、と符号から絞りこむこともできます。

2次の乗法公式を逆に読めば因数分解の公式になり、$x^2$${}+ px$${}+ q$ は「かけて $q$、足して $p$」の2数を、かけ算の組から探せばよいということです。

例題2：公式で因数分解する

次の式を因数分解した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ 4x^2$$\displaystyle {}+ 12x$$\displaystyle {}+ 9$$\displaystyle \text{(2)}\ 25x^2$$\displaystyle {}- 49y^2$$\displaystyle \text{(3)}\ x^2$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}- 12$

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【解答】

(1) $4x^2$${}= (2x)^2$，$9$${}= 3^2$ で、真ん中は $2 \cdot 2x \cdot 3$${}= 12x$ です。公式 (1) より $\underline{(2x + 3)^2}$

(2) $(5x)^2$${}- (7y)^2$ なので、公式 (3) より $\underline{(5x + 7y)(5x - 7y)}$

(3) かけて $-12$、足して $-1$ の2数を探します。かけて $-12$ になる組のうち、$3$ と $-4$ が $3$${}+ (-4)$${}= -1$ を満たします。

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}- 12$$\displaystyle {}= \underline{(x + 3)(x - 4)}$

たすき掛け

$x^2$ の係数が $1$ でない2次式、たとえば $3x^2$${}+ 7x$${}+ 2$ は、公式2の (4) では分解できません。第1章の公式4 (5) を逆に使います。

公式3：たすき掛け

$\displaystyle acx^2$$\displaystyle {}+ (ad + bc)x$$\displaystyle {}+ bd$$\displaystyle {}= (ax + b)(cx + d)$

1. $x^2$ の係数を $a \times c$ に、定数項を $b \times d$ に分ける組を考える。
2. 左の列に $a$，$c$、右の列に $b$，$d$ を並べ、斜めにかけた $ad$ と $bc$ を足す。
3. その和が $x$ の係数に一致する組を見つけたら、横に読んで $(ax + b)(cx + d)$ とする。

$3x^2$${}+ 7x$${}+ 2$ なら、$3$${}= 1 \times 3$，$2$${}= 2 \times 1$ と分けて並べ、斜めにかけます。

和が $7$ で一致したので、上の段を横に読んで $x$${}+ 2$、下の段を読んで $3x$${}+ 1$、つまり $3x^2$${}+ 7x$${}+ 2$${}= (x + 2)(3x + 1)$ です。

たすき掛けは、数字を合わせるダイヤル錠に似ています。正解の番号を一発で当てる公式はありませんが、試す組の数は限られていて、合う組に出会えばカチッと開きます。候補を減らすコツは2つあります。定数項の符号で2数の符号を決めること。そして、もとの式に共通因数がないのなら、$ax$${}+ b$ の $a$ と $b$ が共通の約数をもつ組（たとえば $2x$${}+ 4$ になる組）は最初から除いてよいことです。

$x^2$ の係数が $1$ でない2次式は、係数と定数項をそれぞれ2数の積に分けて並べ、斜めの積の和が $x$ の係数に合う組を探せばよいということです。

例題3：たすき掛けで因数分解する

次の式を因数分解した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ 3x^2$$\displaystyle {}+ 7x$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle \text{(2)}\ 6x^2$$\displaystyle {}- 7x$$\displaystyle {}- 3$

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【解答】

(1) 図のとおり、$\underline{(x + 2)(3x + 1)}$ です。

(2) $6$${}= 1 \times 6$${}= 2 \times 3$、$-3$${}= 1 \times (-3)$${}= (-1) \times 3$ などの組を試します。$2$，$3$ と $-3$，$1$ を並べると

$$\begin{array}{ccc|c} 2 & & -3 & -9 \\ 3 & & 1 & 2 \\ \hline & & & -7 \end{array}$$

斜めの積 $3 \times (-3)$${}= -9$ と $2 \times 1$${}= 2$ の和が $-7$ で一致します。

$\displaystyle 6x^2$$\displaystyle {}- 7x$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}= \underline{(2x - 3)(3x + 1)}$

検算として展開すると、$6x^2$${}+ 2x$${}- 9x$${}- 3$${}= 6x^2$${}- 7x$${}- 3$ で、もとの式に戻ります。

3次式の因数分解

第1章の公式5（3次の乗法公式）も、逆に読むと因数分解の公式になります。

公式4：3次式の因数分解

$\displaystyle \text{(1)}\ a^3$$\displaystyle {}+ b^3$$\displaystyle {}= (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$\displaystyle \text{(2)}\ a^3$$\displaystyle {}- b^3$$\displaystyle {}= (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$\displaystyle \text{(3)}\ a^3$$\displaystyle {}+ 3a^2b$$\displaystyle {}+ 3ab^2$$\displaystyle {}+ b^3$$\displaystyle {}= (a + b)^3$$\displaystyle \text{(4)}\ a^3$$\displaystyle {}- 3a^2b$$\displaystyle {}+ 3ab^2$$\displaystyle {}- b^3$$\displaystyle {}= (a - b)^3$

(1)(2) の符号は「1つめのかっこはもとの式と同じ、$ab$ の前は逆、$b^2$ の前はいつもプラス」。

(1)(2) の2つめのかっこ $a^2$${}\mp ab$${}+ b^2$ は、有理数の範囲ではこれ以上分解できません。$(a \pm b)^2$ と見間違えて、さらに分解しようとしないよう注意してください。

3次式の公式を使うには、$8$ や $27$ を見た瞬間に「$2^3$」「$3^3$」と気づけることが大切です。九九を覚えていると「$56$」を見て「$7 \times 8$」がすぐ浮かぶように、立方数 $1,$$8,$$27,$$64,$$125,$$216$ を「3乗の九九」として覚えておくと、公式の出番に気づく速さがまるで違ってきます。

$a^3$${}\pm b^3$ は符号を「同じ・逆・プラス」と並べた2つのかっこに分かれ、係数 $1,$$3,$$3,$$1$ の式は $(a \pm b)^3$ にまとまるということです。

例題4：3次式を因数分解する

次の式を因数分解した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ x^3$$\displaystyle {}+ 64$$\displaystyle \text{(2)}\ 27a^3$$\displaystyle {}- b^3$$\displaystyle \text{(3)}\ x^3$$\displaystyle {}+ 9x^2$$\displaystyle {}+ 27x$$\displaystyle {}+ 27$

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【解答】

(1) $64$${}= 4^3$ なので、公式 (1) で $a$${}\to x$，$b$${}\to 4$ とします。

$\displaystyle x^3$$\displaystyle {}+ 4^3$$\displaystyle {}= \underline{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}$

(2) $27a^3$${}= (3a)^3$ なので、公式 (2) で $a$${}\to 3a$ とします。

$\displaystyle (3a)^3$$\displaystyle {}- b^3$$\displaystyle {}= \underline{(3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)}$

(3) $27$${}= 3^3$ で、$9x^2$${}= 3 \cdot x^2 \cdot 3$，$27x$${}= 3 \cdot x \cdot 3^2$ となっているので、公式 (3) の形です。

$\displaystyle x^3$$\displaystyle {}+ 9x^2$$\displaystyle {}+ 27x$$\displaystyle {}+ 27$$\displaystyle {}= \underline{(x + 3)^3}$

置き換えと複2次式

同じかたまりが何度も出てくる式や、$x^4$ と $x^2$ だけでできた式は、ひと工夫すると公式の形に持ちこめます。

公式5：置き換えと複2次式

• 置き換え：共通するかたまりを1つの文字とおいて因数分解し、最後にもとに戻す。 $\displaystyle (x + y)^2$$\displaystyle {}+ 3(x + y)$$\displaystyle {}+ 2 \;\xrightarrow{\ x + y = A\ }\; A^2$$\displaystyle {}+ 3A$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= (A + 1)(A + 2)$
• 複2次式（$x^4$${}+ px^2$${}+ q$ の形）：
  1. $x^2$${}= X$ とおいて、$X$ の2次式として因数分解する。
  2. 1. でうまくいかないときは、項を足し引きして $A^2$${}- B^2$（平方の差）の形を作る。
• 置き換えたあとの因数が、さらに分解できないか必ず確かめる。

置き換えは、長い名前の友達をあだ名で呼ぶのに似ています。「たなかたろうさんとたなかたろうさんのお兄さん」と言うより「タロとタロ兄」のほうがずっと話しやすいですね。$x$${}+ y$ や $x^2$${}+ x$ といった長いかたまりにあだ名 $A$ をつけると、式の骨組みが見えて、知っている公式が使えるようになります。話が終わったら本名に戻すことを忘れずに。

複2次式の 2. は、$x^4$${}+ x^2$${}+ 1$ のように $X^2$${}+ X$${}+ 1$ が分解できない場合の手です。$x^4$${}+ 2x^2$${}+ 1$${}= (x^2 + 1)^2$ になることを利用して、$x^2$ を足して引き、平方の差を作ります。

共通のかたまりは1文字に置き換え、複2次式は $x^2$${}= X$ とおくか、足して引いて平方の差を作れば、公式が使える形になるということです。

例題5：置き換えと複2次式

次の式を因数分解した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ (x^2 + x)^2$$\displaystyle {}- 8(x^2 + x)$$\displaystyle {}+ 12$$\displaystyle \text{(2)}\ x^4$$\displaystyle {}- 5x^2$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle \text{(3)}\ x^4$$\displaystyle {}+ x^2$$\displaystyle {}+ 1$

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【解答】

(1) $x^2$${}+ x$${}= A$ とおくと、$A^2$${}- 8A$${}+ 12$${}= (A - 2)(A - 6)$。もとに戻して、それぞれをさらに分解します。

$\displaystyle (x^2 + x - 2)(x^2 + x - 6)$$\displaystyle {}= \underline{(x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)}$

(2) $x^2$${}= X$ とおくと、$X^2$${}- 5X$${}+ 4$${}= (X - 1)(X - 4)$ です。

$\displaystyle (x^2 - 1)(x^2 - 4)$$\displaystyle {}= \underline{(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)}$

(3) $X^2$${}+ X$${}+ 1$ は分解できないので、$x^2$ を足して引きます。

$\displaystyle x^4$$\displaystyle {}+ x^2$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= (x^4 + 2x^2 + 1)$$\displaystyle {}- x^2$$\displaystyle {}= (x^2 + 1)^2$$\displaystyle {}- x^2$$\displaystyle {}= \underline{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)}$

第1章の実践問題 j17 で展開した $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$${}= x^4$${}+ x^2$${}+ 1$ を、逆にたどったことになります。

文字が多い式の因数分解

文字が2つ以上ある式は、どの文字に着目するかで難しさが大きく変わります。第1章の「特定の文字について整理する」が、ここで生きてきます。

公式6：文字が多い式の因数分解

• 次数が最も低い文字について整理する。1次の文字があれば、その文字でまとめると共通因数が見えやすい。
• どの文字についても2次の式は、1つの文字について整理し、定数項（ほかの文字の式）を因数分解してから、たすき掛けをする。
• 3つの文字の3次式として、次の公式が成り立つ。 $\displaystyle a^3$$\displaystyle {}+ b^3$$\displaystyle {}+ c^3$$\displaystyle {}- 3abc$$\displaystyle {}= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2$$\displaystyle {}\qquad - ab - bc - ca)$

からまったイヤホンのコードをほどくとき、いきなり真ん中を引っぱると、かえって固く結ばれてしまいます。まず短い端を見つけて、そこから順にほどくのが早道です。式でいう「短い端」が、次数の最も低い文字です。$x$ について3次、$y$ について1次の式なら、$y$ について整理すれば1次式になり、共通因数がすぐに顔を出します。

最後の公式は、第1章の実践問題 j19 で展開した式の逆です。$a^3$${}+ b^3$${}= (a + b)^3$${}- 3ab(a + b)$ を使うと、次のように導けます。

$\displaystyle a^3$$\displaystyle {}+ b^3$$\displaystyle {}+ c^3$$\displaystyle {}- 3abc$$\displaystyle {}= (a + b)^3$$\displaystyle {}+ c^3$$\displaystyle {}- 3ab(a + b)$$\displaystyle {}- 3abc$$\displaystyle {}= \{(a + b) + c\}$$\displaystyle \qquad \times \{(a + b)^2 - (a + b)c + c^2\}$$\displaystyle {}\qquad - 3ab(a + b + c)$$\displaystyle {}= (a + b + c)(a^2 + 2ab + b^2$$\displaystyle {}\qquad - ac - bc + c^2 - 3ab)$$\displaystyle {}= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2$$\displaystyle {}\qquad - ab - bc - ca)$

3〜4行目では $a$${}+ b$ を1つのかたまりとみて、公式4の (1) を使っています。

文字が多い式は、次数が最も低い文字について整理すると、共通因数やたすき掛けの形が見えてくるということです。

例題6：文字が多い式の因数分解

次の式を因数分解した式を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ x^3$$\displaystyle {}+ x^2y$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}- y$$\displaystyle \text{(2)}\ x^2$$\displaystyle {}+ 3xy$$\displaystyle {}+ 2y^2$$\displaystyle {}+ 2x$$\displaystyle {}+ 5y$$\displaystyle {}- 3$

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【解答】

(1) $x$ について3次、$y$ について1次なので、$y$ について整理します。

$\displaystyle x^3$$\displaystyle {}+ x^2y$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}- y$$\displaystyle {}= (x^2 - 1)y$$\displaystyle {}+ (x^3 - x)$$\displaystyle {}= (x^2 - 1)y$$\displaystyle {}+ x(x^2 - 1)$$\displaystyle {}= (x^2 - 1)(x + y)$$\displaystyle {}= \underline{(x + 1)(x - 1)(x + y)}$

(2) $x$ について整理し、定数項にあたる部分を先に因数分解します。

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ (3y + 2)x$$\displaystyle {}+ (2y^2 + 5y - 3)$$\displaystyle {}= x^2$$\displaystyle {}+ (3y + 2)x$$\displaystyle {}+ (y + 3)(2y - 1)$

かけて $(y + 3)(2y - 1)$、足して $3y$${}+ 2$ になる2式は $y$${}+ 3$ と $2y$${}- 1$ です（$(y + 3)$${}+ (2y - 1)$${}= 3y$${}+ 2$）。

$$= \underline{(x + y + 3)(x + 2y - 1)}$$