第28章　準1級 いろいろな曲線

焦点 $\left(2 + \sqrt{5},\ -3\right)$，$\left(2 - \sqrt{5},\ -3\right)$，長軸の長さ $6$，短軸の長さ $4$

$x$，$y$ それぞれで平方完成します。

これは楕円 $\dfrac{x^2}{9}$${}+ \dfrac{y^2}{4}$${}= 1$ を $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したものです。もとの楕円は $a$${}= 3$，$b$${}= 2$，$c$${}= \sqrt{9 - 4}$${}= \sqrt{5}$ で、焦点は $\left(\pm\sqrt{5},\ 0\right)$ です。

平行移動して、焦点は $\underline{\left(2 + \sqrt{5},\ -3\right)}$，$\underline{\left(2 - \sqrt{5},\ -3\right)}$，長軸の長さは $2a$${}= \underline{6}$，短軸の長さは $2b$${}= \underline{4}$ です。

$(x - 1)^2$${}= -12(y - 1)$

頂点は、焦点から準線に下ろした垂線の中点なので $(1,\ 1)$ です。頂点から焦点までの距離は $3$ で、焦点は頂点の下側にあるので、放物線は下に開きます。

頂点が原点のときの式は $x^2$${}= 4 \cdot (-3)\,y$${}= -12y$ です。これを $x$ 軸方向に $1$，$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動して

（確かめ：$x$${}= 7$ のとき $y$${}= -2$ で、点 $(7,\ -2)$ から焦点までの距離 $6$ と、準線までの距離 $4$${}- (-2)$${}= 6$ が等しくなります。）

$x^2$${}- \dfrac{y^2}{9}$${}= -1$，頂点 $(0,\ 3)$，$(0,\ -3)$

焦点が $y$ 軸上にあるので、求める双曲線を $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= -1$（$a$${}> 0$，$b$${}> 0$）とおきます。漸近線は $y$${}= \pm\dfrac{b}{a}x$，焦点は $\left(0,\ \pm\sqrt{a^2 + b^2}\right)$ なので

$b$${}= 3a$ を代入して $10a^2$${}= 10$，$a$${}= 1$，$b$${}= 3$ です。

頂点は $y$ 軸上の $(0,\ \pm b)$ なので $\underline{(0,\ 3)，(0,\ -3)}$ です。

(1) $x$${}+ y$${}= 4$　(2) $y$${}= x$${}+ 4$，$y$${}= x$${}- 4$

(1) 点 $(3,\ 1)$ における接線は、置きかえの公式から

(2) $y$${}= x$${}+ k$ を楕円の式に代入して分母を払うと

接する条件は判別式が $0$ になることです。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}y = x}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}+ 4，\ y = x}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 4}$ です（公式 $k$${}= \pm\sqrt{a^2m^2 + b^2}$${}= \pm\sqrt{12 + 4}$ でも出ます）。

円 $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$${}+ y^2$${}= \dfrac{1}{4}$ の、原点を除く部分

$y$${}= tx$ に注意して $x^2$${}+ y^2$ を計算します。

よって $x^2$${}- x$${}+ y^2$${}= 0$，すなわち $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$${}+ y^2$${}= \dfrac{1}{4}$ です。

動く範囲を確かめます。$x$${}= \dfrac{1}{1 + t^2}$${}> 0$ なので原点は通りません。逆に、この円上で $x$${}> 0$ の点 $(x,\ y)$ に対して $t$${}= \dfrac{y}{x}$ とおくと、$\dfrac{1}{1 + t^2}$${}= \dfrac{x^2}{x^2 + y^2}$${}= \dfrac{x^2}{x}$${}= x$ となり、その点を通ります。

よって描く図形は $\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.6040em}\text{円 } \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2}$$\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.6040em}{}+ y^2 = \dfrac{1}{4}}$ の、$\underline{\text{原点を除く部分}}$ です。

(1) $xy$${}= 3$　(2) $(x - 1)^2$${}+ (y - 1)^2$${}= 2$

(1) $\sin 2\theta$${}= 2\sin\theta\cos\theta$ なので

(2) 両辺に $r$ をかけると $r^2$${}= 2r\cos\theta$${}+ 2r\sin\theta$，すなわち

$r$ をかけると極（原点）が加わる心配がありますが、もとの曲線も $\theta$${}= \dfrac{3}{4}\pi$ のとき $r$${}= 0$ となって極を通るので、同じ図形です。

$\dfrac{(x - 1)^2}{9}$${}+ \dfrac{y^2}{8}$${}= 1$（楕円）

分母を払うと $3r$${}- r\cos\theta$${}= 8$，すなわち $3r$${}= x$${}+ 8$ です。両辺を2乗して

よって

（逆の確認）この楕円上では $-2$${}\leqq x$${}\leqq 4$ なので $x$${}+ 8$${}> 0$ で、$3r$${}= x$${}+ 8$ の $r$ は正になり、2乗する前の式にもどれます。中心 $(1,\ 0)$，$c$${}= \sqrt{9 - 8}$${}= 1$ で、焦点は $(0,\ 0)$ と $(2,\ 0)$ です。極が焦点になっていて、離心率 $e$${}= \dfrac{1}{3}$ の楕円です。

$14$

$\dfrac{dx}{dt}$${}= 6t$，$\dfrac{dy}{dt}$${}= 6t^2$ なので、$t$${}\geqq 0$ で

よって長さは

(1) 楕円 $\dfrac{4u^2}{9}$${}+ \dfrac{4v^2}{25}$${}= 1$（焦点 $2i$，$-2i$）　(2) $5$

(1) $z$${}= 2(\cos\theta + i\sin\theta)$（$0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$）とおくと、$\dfrac{1}{z}$${}= \dfrac{1}{2}(\cos\theta - i\sin\theta)$ なので

$u$${}= \dfrac{3}{2}\cos\theta$，$v$${}= \dfrac{5}{2}\sin\theta$ から $\cos^2\theta$${}+ \sin^2\theta$${}= 1$ を使って $\theta$ を消去すると

$\theta$ が $0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$ を動くと、点 $(u,\ v)$ はこの楕円全体を1周します。長軸は虚軸上にあり、$c$${}= \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{9}{4}}$${}= 2$ です。

焦点は点 $\underline{2i}$ と点 $\underline{-2i}$ です。

(2) $|w - 2i|$${}+ |w + 2i|$ は、楕円上の点 $w$ から2つの焦点までの距離の和なので、長軸の長さ $2 \times \dfrac{5}{2}$${}= \underline{5}$ です。

放物線 $v$${}= \dfrac{1}{2}u^2$${}- \dfrac{1}{2}$，焦点は原点 $(0,\ 0)$（$w$${}= 0$），準線 $v$${}= -1$

$z$${}= t$${}+ (t + 1)i$（$t$ は実数）とおくと

$u$${}= -2t$${}- 1$ より $t$${}= -\dfrac{u + 1}{2}$，$t$${}+ 1$${}= \dfrac{1 - u}{2}$ です。

$t$ がすべての実数を動くと $u$ もすべての実数を動くので、点 $w$ は放物線全体を描きます。

これは $u^2$${}= 4 \cdot \dfrac{1}{2}\,v$ を $v$ 軸方向に $-\dfrac{1}{2}$ 平行移動したものです。もとの焦点 $\left(0,\ \dfrac{1}{2}\right)$，準線 $v$${}= -\dfrac{1}{2}$ も同じだけ移るので

焦点は $\underline{(0,\ 0)}$（$w$${}= 0$），準線は $\underline{v = -1}$ です。

（確かめ：$|w|$${}= |z|^2$${}= t^2$${}+ (t + 1)^2$${}= 2t^2$${}+ 2t$${}+ 1$ と、準線までの距離 $v$${}+ 1$${}= 2t^2$${}+ 2t$${}+ 1$ が一致します。）

(1) $\dfrac{5}{4}$（一定）　(2) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

(1) 原点を極とする極座標で $\mathrm{P}(r_1\cos\theta,\ r_1\sin\theta)$（$r_1$${}= \mathrm{OP}$${}> 0$）とおきます。$\mathrm{OP}$${}\perp \mathrm{OQ}$ なので、Q の $x$ 座標は $r_2\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$${}= -r_2\sin\theta$，$y$ 座標は $r_2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$${}= r_2\cos\theta$ で、$\mathrm{Q}(-r_2\sin\theta,\ r_2\cos\theta)$（$r_2$${}= \mathrm{OQ}$${}> 0$）とおけます（$\theta$${}- \dfrac{\pi}{2}$ の向きでも、下の式で $\sin$ と $\cos$ の2乗は同じになります）。

楕円の式に代入すると

よって

となり、$\theta$ によらず一定です。

(2) $\mathrm{O}$ から直線 $\mathrm{PQ}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とします。直角三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積を2通りに表すと $\mathrm{OH} \cdot \mathrm{PQ}$${}= \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}$ です。$\mathrm{PQ}^2$${}= \mathrm{OP}^2$${}+ \mathrm{OQ}^2$ なので

よって $\mathrm{OH}$${}= \dfrac{2}{\sqrt{5}}$${}= \underline{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$ です（直線 $\mathrm{PQ}$ は、つねに円 $x^2$${}+ y^2$${}= \dfrac{4}{5}$ に接します）。

$(x,\ y)$${}= \left(\pm\dfrac{3\sqrt{10}}{5},\ \pm\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)$（複号同順）のとき最大値 $5$，$(x,\ y)$${}= \left(\pm\dfrac{\sqrt{10}}{5},\ \mp\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\right)$（複号同順）のとき最小値 $-5$

$x$${}= 2\cos\theta$，$y$${}= \sin\theta$（$0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$）とおきます。2倍角の公式から