第7章　双曲線

双曲線の定義

第6章のまとめで、距離の条件で決まる図形を表にしました。最後に残ったのが、2点からの距離の差が一定になる点の集まりです。

公式1：双曲線の定義

平面上の異なる2点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ と、$0$${}< 2a$${}< \mathrm{FF'}$ を満たす定数 $2a$ がある。$\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ からの距離の差が $2a$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を双曲線という。すなわち

$\displaystyle |\mathrm{PF} - \mathrm{PF'}|$$\displaystyle {}= 2a$

を満たす点 $\mathrm{P}$ の集まりである。

• 2点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ を双曲線の焦点、線分 $\mathrm{FF'}$ の中点を双曲線の中心という。
• 直線 $\mathrm{FF'}$ と双曲線の2つの交点を双曲線の頂点、2つの頂点を結ぶ線分を主軸という。

差には「$\mathrm{PF}$ のほうが長い」場合と「$\mathrm{PF'}$ のほうが長い」場合があるので、絶対値をつけています。$\mathrm{PF'}$${}- \mathrm{PF}$${}= 2a$ を満たす点は $\mathrm{F}$ に近い側に、$\mathrm{PF}$${}- \mathrm{PF'}$${}= 2a$ を満たす点は $\mathrm{F'}$ に近い側に集まり、双曲線は2つの部分に分かれます。それぞれを双曲線の枝と呼びます。

条件 $2a$${}< \mathrm{FF'}$ の意味は、楕円のときと逆向きです。三角形の2辺の差は残りの1辺より短いので、どんな点 $\mathrm{P}$ でも $|\mathrm{PF} - \mathrm{PF'}|$${}\leqq \mathrm{FF'}$ です。$2a$${}= \mathrm{FF'}$ だと、条件を満たすのは、直線 $\mathrm{FF'}$ のうち $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ からそれぞれ外へのびる2本の半直線の上の点だけになり、$2a$${}> \mathrm{FF'}$ だと条件を満たす点はありません。また $2a$${}= 0$ なら、条件は $\mathrm{PF}$${}= \mathrm{PF'}$ で、第4章の垂直二等分線です。

主軸の長さは $2a$ です。$\mathrm{F}$ の側の頂点を $\mathrm{A}$、$\mathrm{F'}$ の側の頂点を $\mathrm{A'}$ とすると、図形は線分 $\mathrm{FF'}$ の垂直二等分線に関して対称なので $\mathrm{AF}$${}= \mathrm{A'F'}$ です。直線上には $\mathrm{F'}$，$\mathrm{A'}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{F}$ の順に点が並ぶので、$\mathrm{AF'}$${}- \mathrm{AF}$${}= \mathrm{AA'}$${}+ \mathrm{A'F'}$${}- \mathrm{AF}$${}= \mathrm{AA'}$ で、これが $2a$ に等しくなります。

第4章では、2つの駅のどちらが近いかの境界線が垂直二等分線だと例えました。今度は「A 駅まで歩くと、B 駅まで歩くよりちょうど 400 m 長くかかる地点」を地図に打っていきます。差が 0 なら境界線はまっすぐでしたが、差をつけると、点の並びは B 駅のほうへ曲がって B 駅を抱えこむような曲線になります。これが双曲線の片方の枝です。「B 駅のほうが 400 m 遠い地点」を集めると、A 駅を抱えこむ、もう一方の枝ができます。

双曲線とは、2つの焦点からの距離の差が一定（主軸の長さ $2a$）になる点の集まりで、どちらの焦点が近いかによって2つの枝に分かれるということです。

例題1：定義から双曲線の方程式を求める

2点 $\mathrm{F}(3,\ 0)$，$\mathrm{F'}(-3,\ 0)$ からの距離の差が $4$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡の方程式を求めなさい。

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【解答】

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とし、$\mathrm{PF}$${}= \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$，$\mathrm{PF'}$${}= \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}$ と書きます。条件は $\mathrm{PF'}$${}- \mathrm{PF}$${}= \pm 4$、つまり

$\displaystyle \mathrm{PF'}$$\displaystyle {}= \mathrm{PF}$$\displaystyle {}\pm 4$$\displaystyle \cdots\textcircled{1}$

です（複号同順。以下も同じ）。右辺が $0$ 以上のとき、両辺を2乗すると $\mathrm{PF'}^2$${}= \mathrm{PF}^2$${}\pm 8\,\mathrm{PF}$${}+ 16$ です。$\mathrm{PF'}^2$${}- \mathrm{PF}^2$${}= (x + 3)^2$${}- (x - 3)^2$${}= 12x$ なので

$\displaystyle 12x$$\displaystyle {}- 16$$\displaystyle {}= \pm 8\,\mathrm{PF}$$\displaystyle {}\iff 3x$$\displaystyle {}- 4$$\displaystyle {}= \pm 2\,\mathrm{PF}$$\displaystyle \cdots\textcircled{2}$

です。② の複号を両方まとめると $(3x - 4)^2$${}= 4\,\mathrm{PF}^2$ と同じことなので、2乗して

$\displaystyle 9x^2$$\displaystyle {}- 24x$$\displaystyle {}+ 16$$\displaystyle {}= 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$$\displaystyle {}\iff 5x^2$$\displaystyle {}- 4y^2$$\displaystyle {}= 20$

です。両辺を $20$ で割って

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{4}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- \frac{y^2}{5} = 1}$

です。

（逆の確認）この曲線上では $\dfrac{x^2}{4}$${}\geqq 1$ より $x$${}\geqq 2$ または $x$${}\leqq -2$ です。$x$${}\geqq 2$ なら $3x$${}- 4$${}> 0$ なので ② は複号の $+$ で成り立ち、① の右辺 $\mathrm{PF}$${}+ 4$ は正です。$x$${}\leqq -2$ なら ② は複号の $-$ で、$\mathrm{PF}$${}= \dfrac{4 - 3x}{2}$${}\geqq 5$ なので ① の右辺 $\mathrm{PF}$${}- 4$ も正です。どちらの場合も変形を逆にたどれるので、この曲線上の点はすべて条件を満たします。

（確かめ）頂点 $(2,\ 0)$ では $\mathrm{PF}$${}= 1$，$\mathrm{PF'}$${}= 5$ で、差は $4$ です。

双曲線の標準形

例題1 の計算を文字で行います。$c$${}> a$${}> 0$ として、焦点を $\mathrm{F}(c,\ 0)$，$\mathrm{F'}(-c,\ 0)$、距離の差を $2a$ とします。$\mathrm{PF'}^2$${}- \mathrm{PF}^2$${}= 4cx$ を使って同じように2回2乗すると

$\displaystyle (cx - a^2)^2$$\displaystyle {}= a^2\,\mathrm{PF}^2$$\displaystyle {}\Longrightarrow\quad (c^2 - a^2)x^2$$\displaystyle {}- a^2y^2$$\displaystyle {}= a^2(c^2 - a^2)$

となります。今度は $c$${}> a$ なので $c^2$${}- a^2$${}> 0$ です。$b$${}= \sqrt{c^2 - a^2}$（$b$${}> 0$）とおくと、$b^2x^2$${}- a^2y^2$${}= a^2b^2$ で、両辺を $a^2b^2$ で割って次の式が得られます。

公式2：双曲線の標準形（焦点が x 軸上）

$a$${}> 0$，$b$${}> 0$ とする。双曲線

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}$$\displaystyle {}- \frac{y^2}{b^2}$$\displaystyle {}= 1$

について

• 焦点は $\mathrm{F}\left(\sqrt{a^2 + b^2},\ 0\right)$，$\mathrm{F'}\left(-\sqrt{a^2 + b^2},\ 0\right)$
• 双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は $2a$
• 中心は原点、頂点は $(\pm a,\ 0)$、主軸の長さは $2a$

である。これを双曲線の標準形という。以下、$c$${}= \sqrt{a^2 + b^2}$ と書くことが多い。

楕円との違いを3つ確かめておきます。

1. 楕円では $c^2$${}= a^2$${}- b^2$ でしたが、双曲線では $c^2$${}= a^2$${}+ b^2$ です。
2. 楕円の式では $a$${}> b$ と決めましたが、双曲線では $a$ と $b$ の大小に決まりはありません。焦点の位置を決めるのは、分母の大小ではなく符号です（公式4 で確かめます）。
3. $y$ 軸との交点はありません。$x$${}= 0$ とすると $-\dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ となり、これを満たす実数 $y$ はないからです。$\dfrac{x^2}{a^2}$${}= 1$${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$${}\geqq 1$ なので、曲線は $x$${}\geqq a$ の部分（右の枝）と $x$${}\leqq -a$ の部分（左の枝）に分かれます。

式の $x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に取りかえても変わらないので、双曲線も $x$ 軸・$y$ 軸・原点に関して対称です。

$c^2$${}= a^2$${}+ b^2$ は、4 点 $(\pm a,\ \pm b)$ を頂点とする長方形で見ると覚えやすくなります。この長方形の中心から角までの長さ（対角線の半分）が $\sqrt{a^2 + b^2}$${}= c$ です。楕円では $c$ が直角三角形のいちばん短い辺でしたが、双曲線では $c$ が斜辺になります。

家の壁の骨組みに、四角い枠の対角に斜めの木材を渡す「筋交い（すじかい）」があります。筋交いは、枠の縦の辺よりも横の辺よりも長くなります。横 $2a$・縦 $2b$ の枠の筋交いの半分の長さが、双曲線の焦点までの距離 $c$ です。焦点は頂点より外側、つまりいつも曲線の「内側」に入りこんだ位置にあります。

$\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ は、焦点 $(\pm c,\ 0)$、頂点 $(\pm a,\ 0)$、距離の差 $2a$ の双曲線で、$c^2$${}= a^2$${}+ b^2$ が $a$，$b$，$c$ をつなぐということです。

例題2：標準形と焦点・頂点

(1) 双曲線 $9x^2$${}- 16y^2$${}= 144$ の焦点と頂点の座標を求めなさい。

(2) 2点 $(5,\ 0)$，$(-5,\ 0)$ を焦点とし、点 $\left(4\sqrt{2},\ 3\right)$ を通る双曲線の方程式を求めなさい。

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【解答】

(1) 両辺を $144$ で割ると $\dfrac{x^2}{16}$${}- \dfrac{y^2}{9}$${}= 1$ です。$a$${}= 4$，$b$${}= 3$ で、$c$${}= \sqrt{16 + 9}$${}= 5$ です。よって $\underline{\text{焦点 } (5,\ 0)\text{，}(-5,\ 0)}$，$\underline{\text{頂点 } (4,\ 0)\text{，}(-4,\ 0)}$ です。

(2) 方程式を $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ とおき、$A$${}= a^2$ とすると、$c$${}= 5$ より $b^2$${}= 25$${}- A$（$0$${}< A$${}< 25$）です。点 $\left(4\sqrt{2},\ 3\right)$ を代入して

$\displaystyle \frac{32}{A}$$\displaystyle {}- \frac{9}{25 - A}$$\displaystyle {}= 1$

分母を払うと $32(25 - A)$${}- 9A$${}= A(25 - A)$、整理して

$\displaystyle A^2$$\displaystyle {}- 66A$$\displaystyle {}+ 800$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\iff (A - 16)(A - 50)$$\displaystyle {}= 0$

です。$0$${}< A$${}< 25$ なので $A$${}= 16$、$b^2$${}= 9$ です。よって

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{16}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- \frac{y^2}{9} = 1}$

です。$A$${}= 50$ は $b^2$${}= -25$ となるので捨てます。

（確かめ）2つの焦点までの距離は $\sqrt{\left(4\sqrt{2} - 5\right)^2 + 9}$${}= \sqrt{66 - 40\sqrt{2}}$${}= 5\sqrt{2}$${}- 4$ と $\sqrt{\left(4\sqrt{2} + 5\right)^2 + 9}$${}= 5\sqrt{2}$${}+ 4$ で、差は $8$${}= 2a$ です（$\left(5\sqrt{2} - 4\right)^2$${}= 66$${}- 40\sqrt{2}$ です）。

漸近線

双曲線の式を $y$ について解くと、$y$${}= \pm\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$ です。$x$ が大きくなると、$\sqrt{x^2 - a^2}$ は $x$ とほとんど同じ大きさになります。実際、$x$${}> a$ のとき

$\displaystyle x$$\displaystyle {}- \sqrt{x^2 - a^2}$$\displaystyle {}= \frac{x^2 - (x^2 - a^2)}{x + \sqrt{x^2 - a^2}}$$\displaystyle {}= \frac{a^2}{x + \sqrt{x^2 - a^2}}$

で、右辺は $x$ を大きくするといくらでも $0$ に近づきます。つまり、第1象限の部分 $y$${}= \dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$ は、直線 $y$${}= \dfrac{b}{a}x$ のすぐ下を、差を縮めながら進みます。

公式3：漸近線

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ は、原点から遠ざかるにつれて、2直線

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{b}{a}x,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= -\frac{b}{a}x$

にいくらでも近づく。この2直線を双曲線の漸近線という。漸近線の式は、標準形の右辺の $1$ を $0$ に変えた $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 0$ をまとめて表すことができる。

$\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 0$ は $\left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right)\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right)$${}= 0$ と因数分解でき、2直線 $y$${}= \pm\dfrac{b}{a}x$ を表します。漸近線は、公式2 のところで考えた長方形（4 点 $(\pm a,\ \pm b)$ が頂点）の対角線を延ばした直線です。双曲線をかくときは、次の順に進めると形が整います。

1. 長方形をかき、対角線を延ばして漸近線を引く。
2. 頂点 $(\pm a,\ 0)$ を打つ（長方形の左右の辺の中点）。
3. 頂点から、漸近線に近づくように両側へ曲線をのばす。

飛行機の窓から地上を見下ろす場面を思い浮かべてください。離陸して高度が上がるほど、見える範囲は広がり、細かな曲がり具合は見えなくなります。双曲線も、原点から遠く離れて広い範囲を見渡すと、頂点付近の丸みは点のように小さくなり、2本の漸近線が交わった「×」の形とほとんど区別がつかなくなります。ただし、どれほど遠くまで行っても、曲線が漸近線に触れることはありません（厳密定義のページで確かめます）。

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ は、遠くで2直線 $y$${}= \pm\dfrac{b}{a}x$ に近づき、この漸近線は右辺の $1$ を $0$ にした式で表せるということです。

例題3：漸近線

(1) 双曲線 $\dfrac{x^2}{16}$${}- \dfrac{y^2}{9}$${}= 1$ の漸近線の方程式を求めなさい。

(2) 2点 $(5,\ 0)$，$(-5,\ 0)$ を焦点とし、2直線 $y$${}= \pm 2x$ を漸近線とする双曲線の方程式を求めなさい。

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【解答】

(1) $\dfrac{x^2}{16}$${}- \dfrac{y^2}{9}$${}= 0$ より $y^2$${}= \dfrac{9}{16}x^2$ なので、$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = \dfrac{3}{4}x,}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ y = -\dfrac{3}{4}x}$ です。

(2) 焦点が $x$ 軸上なので $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ とおけます。漸近線の傾きから $\dfrac{b}{a}$${}= 2$、つまり $b$${}= 2a$ です。$c$${}= 5$ より $a^2$${}+ b^2$${}= 25$ で、$a^2$${}+ 4a^2$${}= 25$ から $a^2$${}= 5$、$b^2$${}= 20$ です。よって

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{5}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- \frac{y^2}{20} = 1}$

です。（確かめ）漸近線は $y^2$${}= \dfrac{20}{5}x^2$${}= 4x^2$ で $y$${}= \pm 2x$、焦点は $\left(\pm\sqrt{5 + 20},\ 0\right)$${}= (\pm 5,\ 0)$ です。

焦点が y 軸上にある双曲線

右辺の $1$ を $-1$ に変えると、$x$ と $y$ の役割が入れかわります。

公式4：焦点が y 軸上にある双曲線

$a$${}> 0$，$b$${}> 0$ とする。双曲線

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}$$\displaystyle {}- \frac{y^2}{b^2}$$\displaystyle {}= -1$

の焦点は $\left(0,\ \sqrt{a^2 + b^2}\right)$，$\left(0,\ -\sqrt{a^2 + b^2}\right)$ で、双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は $2b$ である。頂点は $(0,\ \pm b)$、主軸は $y$ 軸上にあってその長さは $2b$、漸近線は $y$${}= \pm\dfrac{b}{a}x$ である。

この式は $\dfrac{y^2}{b^2}$${}- \dfrac{x^2}{a^2}$${}= 1$ と書いても同じです。公式2 の $x$ と $y$（$a$ と $b$）を入れかえた形なので、焦点も頂点も $y$ 軸上に移ります。$\dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$${}+ \dfrac{x^2}{a^2}$${}\geqq 1$ なので、曲線は $y$${}\geqq b$ の部分（上の枝）と $y$${}\leqq -b$ の部分（下の枝）に分かれます。

公式2・公式4 をまとめると、標準形の双曲線は次の手順で読み取れます。

1. $x^2$ の項と $y^2$ の項の差の形にして、右辺を $1$ にそろえる。
2. 符号が $+$ の項の文字の座標軸の上に、焦点と頂点がある。
3. 中心から焦点までの距離は $\sqrt{(\text{分母}) + (\text{分母})}$。漸近線は、右辺を $0$ にした式。

$\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ と $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= -1$ は、漸近線が同じです。2本の道路が X 字形に交わって、土地を東・西・南・北の4つの区画に分けているところを想像してください。右辺が $1$ の双曲線は東と西の区画に、右辺が $-1$ の双曲線は北と南の区画に建っています。道路（漸近線）は共通で、どちらの区画を使うかだけが違います。この2つの双曲線は、たがいに共役な双曲線と呼ばれます。

右辺を $1$ にそろえたとき、符号が $+$ の項の軸の上に焦点と頂点があり、右辺が $\pm 1$ の2つの双曲線は漸近線を共有するということです。

例題4：焦点が y 軸上にある双曲線

(1) 双曲線 $4x^2$${}- 9y^2$${}= -36$ の焦点と頂点の座標、漸近線の方程式を求めなさい。

(2) 2点 $(0,\ 3)$，$(0,\ -3)$ を焦点とし、2直線 $y$${}= \pm\sqrt{2}\,x$ を漸近線とする双曲線の方程式を求めなさい。

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【解答】

(1) 両辺を $36$ で割ると $\dfrac{x^2}{9}$${}- \dfrac{y^2}{4}$${}= -1$ です。右辺が $-1$ なので焦点は $y$ 軸上にあり、$a$${}= 3$，$b$${}= 2$，$c$${}= \sqrt{9 + 4}$${}= \sqrt{13}$ です。漸近線は $\dfrac{x^2}{9}$${}- \dfrac{y^2}{4}$${}= 0$ から求めます。よって $\underline{\text{焦点 } \left(0,\ \sqrt{13}\right)\text{，}\left(0,\ -\sqrt{13}\right)}$，$\underline{\text{頂点 } (0,\ 2)\text{，}(0,\ -2)}$，$\underline{\text{漸近線 } y = \pm\dfrac{2}{3}x}$ です。$y^2$ の分母 $4$ は $x^2$ の分母 $9$ より小さいのに、焦点は $y$ 軸上にあります。楕円と違って、分母の大小では決まりません。

(2) 方程式は $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= -1$ とおけます。漸近線の傾きから $\dfrac{b}{a}$${}= \sqrt{2}$、つまり $b^2$${}= 2a^2$ です。$a^2$${}+ b^2$${}= 9$ より $3a^2$${}= 9$ で、$a^2$${}= 3$，$b^2$${}= 6$ です。よって

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{x^2}{3}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- \frac{y^2}{6} = -1}$

です。（確かめ）上の頂点 $\left(0,\ \sqrt{6}\right)$ から2つの焦点までの距離は $3$${}- \sqrt{6}$ と $3$${}+ \sqrt{6}$ で、差は $2\sqrt{6}$${}= 2b$ です。

直角双曲線と反比例のグラフ

$a$${}= b$ のとき、双曲線 $x^2$${}- y^2$${}= a^2$ の漸近線は $y$${}= x$ と $y$${}= -x$ で、たがいに垂直です。このように、2本の漸近線が垂直に交わる双曲線を直角双曲線といいます。

中学で学んだ反比例のグラフ $y$${}= \dfrac{k}{x}$ も「双曲線」と呼ばれていました。$x$ 軸と $y$ 軸にどこまでも近づき、2つの部分に分かれる形は、たしかに漸近線が垂直な双曲線に見えます。第2章で学んだ回転を使うと、これが本当に双曲線であることを確かめられます。

公式5：直角双曲線と反比例のグラフ

① 双曲線 $x^2$${}- y^2$${}= a^2$（$a$${}> 0$）は、漸近線 $y$${}= \pm x$ がたがいに垂直な直角双曲線で、焦点は $\left(\pm\sqrt{2}\,a,\ 0\right)$ である。

② $k$${}> 0$ のとき、曲線 $xy$${}= k$（反比例のグラフ $y$${}= \dfrac{k}{x}$）は、直角双曲線 $x^2$${}- y^2$${}= 2k$ を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転したものである。焦点は $\left(\sqrt{2k},\ \sqrt{2k}\right)$，$\left(-\sqrt{2k},\ -\sqrt{2k}\right)$、頂点は $\left(\sqrt{k},\ \sqrt{k}\right)$，$\left(-\sqrt{k},\ -\sqrt{k}\right)$、焦点からの距離の差は $2\sqrt{2k}$、漸近線は $x$ 軸と $y$ 軸である。

②を確かめます。座標平面の点 $(X,\ Y)$ を複素数 $X$${}+ Yi$ とみます。原点のまわりに $\dfrac{\pi}{4}$ 回転するには、$\cos\dfrac{\pi}{4}$${}+ i\sin\dfrac{\pi}{4}$${}= \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}$ をかければよいので（第2章 公式5）、移った先を $x$${}+ yi$ とすると

$\displaystyle x$$\displaystyle {}+ yi$$\displaystyle {}= (X + Yi) \cdot \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}+ \frac{X + Y}{\sqrt{2}}\,i$

です。したがって

$\displaystyle xy$$\displaystyle {}= \frac{X - Y}{\sqrt{2}} \cdot \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \frac{X^2 - Y^2}{2}$

となり、$X^2$${}- Y^2$${}= 2k$ のとき、またそのときに限り $xy$${}= k$ です（逆向きの回転 $-\dfrac{\pi}{4}$ を考えれば、$xy$${}= k$ の点はすべて $X^2$${}- Y^2$${}= 2k$ の点から移ってきたものと分かります）。

$x^2$${}- y^2$${}= 2k$ の焦点は $\left(\pm 2\sqrt{k},\ 0\right)$、頂点は $\left(\pm\sqrt{2k},\ 0\right)$ です。これを $\dfrac{\pi}{4}$ 回転すると、点 $(r,\ 0)$ は $\left(\dfrac{r}{\sqrt{2}},\ \dfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ に移るので、焦点は $\left(\pm\sqrt{2k},\ \pm\sqrt{2k}\right)$、頂点は $\left(\pm\sqrt{k},\ \pm\sqrt{k}\right)$（どちらも複号同順）です。回転しても距離は変わらないので、距離の差 $2\sqrt{2k}$ もそのまま受けつがれます。漸近線 $y$${}= \pm x$ は、$\dfrac{\pi}{4}$ 回転してそれぞれ $y$ 軸と $x$ 軸になります。

たとえば花壇の面積を $12\ \mathrm{m^2}$ と決めて、縦と横の長さを変えていくと、（縦）$\times$（横）$= 12$ の組は反比例のグラフの上に並びます。横を長くすれば縦はいくらでも短くできますが、$0$ にはなりません。この「どこまでも座標軸に近づくが触れない」性質が、座標軸を漸近線とする双曲線の姿です。

漸近線が垂直な双曲線を直角双曲線といい、反比例のグラフ $xy$${}= k$ は直角双曲線 $x^2$${}- y^2$${}= 2k$ を $\dfrac{\pi}{4}$ 回転した双曲線だということです。

例題5：直角双曲線と反比例のグラフ

(1) 直角双曲線 $x^2$${}- y^2$${}= 8$ の焦点の座標を求めなさい。

(2) 曲線 $xy$${}= 4$ の焦点と頂点の座標を求めなさい。また、曲線上の点 $\mathrm{P}(1,\ 4)$ について、2つの焦点からの距離の差が $2\sqrt{2k}$ になっていることを確かめなさい。

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【解答】

(1) $a^2$${}= b^2$${}= 8$ なので $c$${}= \sqrt{8 + 8}$${}= 4$ で、$\underline{\text{焦点 } (4,\ 0)\text{，}(-4,\ 0)}$ です。公式5 ① の $\sqrt{2}\,a$${}= \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}$${}= 4$ と一致します。

(2) 公式5 ② で $k$${}= 4$ です。$\sqrt{2k}$${}= 2\sqrt{2}$，$\sqrt{k}$${}= 2$ なので $\underline{\text{焦点 } \left(2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}\right)}$，$\underline{\left(-2\sqrt{2},\ -2\sqrt{2}\right)}$，$\underline{\text{頂点 } (2,\ 2)\text{，}(-2,\ -2)}$ です。これは (1) の双曲線を $\dfrac{\pi}{4}$ 回転したものです。

焦点を $\mathrm{F}\left(2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}\right)$，$\mathrm{F'}\left(-2\sqrt{2},\ -2\sqrt{2}\right)$ とすると

$\displaystyle \mathrm{PF}^2$$\displaystyle {}= \left(1 - 2\sqrt{2}\right)^2$$\displaystyle {}+ \left(4 - 2\sqrt{2}\right)^2$$\displaystyle {}= \left(9 - 4\sqrt{2}\right)$$\displaystyle {}+ \left(24 - 16\sqrt{2}\right)$$\displaystyle {}= 33$$\displaystyle {}- 20\sqrt{2}$

です。$\left(5 - 2\sqrt{2}\right)^2$${}= 33$${}- 20\sqrt{2}$ なので $\mathrm{PF}$${}= 5$${}- 2\sqrt{2}$ です。同様に $\mathrm{PF'}^2$${}= 33$${}+ 20\sqrt{2}$ で $\mathrm{PF'}$${}= 5$${}+ 2\sqrt{2}$ です。よって

$\displaystyle \mathrm{PF'}$$\displaystyle {}- \mathrm{PF}$$\displaystyle {}= 4\sqrt{2}$$\displaystyle {}= 2\sqrt{2 \cdot 4}$

となり、たしかに $2\sqrt{2k}$ に一致します。

焦点までの距離と離心率

楕円と同じ方法で、焦点までの距離を $x$ 座標で表します。双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ 上の点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ について、やはり

$\displaystyle \mathrm{PF'}^2$$\displaystyle {}- \mathrm{PF}^2$$\displaystyle {}= 4cx_1$

です。右の枝（$x_1$${}\geqq a$）の点は $\mathrm{F}$ に近いので $\mathrm{PF'}$${}- \mathrm{PF}$${}= 2a$ で、左辺を因数分解すると $\mathrm{PF'}$${}+ \mathrm{PF}$${}= \dfrac{4cx_1}{2a}$${}= \dfrac{2c}{a}x_1$ です。今度は差が分かっていて和が求まり、そこから2つの距離が決まります。左の枝（$x_1$${}\leqq -a$）では $\mathrm{PF}$${}- \mathrm{PF'}$${}= 2a$ で、同じ計算になります。

公式6：焦点までの距離と離心率

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}$${}- \dfrac{y^2}{b^2}$${}= 1$ の焦点を $\mathrm{F}(c,\ 0)$，$\mathrm{F'}(-c,\ 0)$（$c$${}= \sqrt{a^2 + b^2}$）とし、$e$${}= \dfrac{c}{a}$ とおく。$e$ をこの双曲線の離心率という（$e$${}> 1$）。

① 双曲線上の点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ について

$\displaystyle \mathrm{PF}$$\displaystyle {}= |ex_1 - a|,$$\displaystyle \mathrm{PF'}$$\displaystyle {}= |ex_1 + a|$

とくに、右の枝（$x_1$${}\geqq a$）では $\mathrm{PF}$${}= ex_1$${}- a$，$\mathrm{PF'}$${}= ex_1$${}+ a$、左の枝（$x_1$${}\leqq -a$）では $\mathrm{PF}$${}= a$${}- ex_1$，$\mathrm{PF'}$${}= -ex_1$${}- a$ である。

② 双曲線上の点と焦点 $\mathrm{F}$ の距離は、$\mathrm{P}$ が頂点 $(a,\ 0)$ のとき最小値 $c$${}- a$ をとる。

焦点が $y$ 軸上にある双曲線（公式4）の離心率は、同じく「中心から焦点までの距離 $\div$ 中心から頂点までの距離」で、$e$${}= \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$ です。

②は、右の枝では $ex_1$${}- a$ が $x_1$${}= a$ で最小値 $c$${}- a$ をとり、左の枝では $a$${}- ex_1$${}\geqq a$${}+ ea$${}= a$${}+ c$ であることから分かります。焦点 $\mathrm{F}$ にいちばん近いのは、$\mathrm{F}$ の側の頂点です。

離心率は、双曲線の開き具合を表します。漸近線の傾きは $\dfrac{b}{a}$${}= \sqrt{e^2 - 1}$ なので、$e$ が $1$ に近いほど漸近線は $x$ 軸に近く、枝は細く閉じた形になります。$e$ が大きいほど枝は大きく開き、$y$ 軸と平行な2本の直線に近い形になります。直角双曲線では $\dfrac{b}{a}$${}= 1$ なので、$e$${}= \sqrt{2}$ です。

年の差が 3 つの兄弟を思い浮かべてください。2人とも1年に1つずつ年をとるので、何年たっても差は 3 のままです。右の枝の点では、$\mathrm{PF}$ と $\mathrm{PF'}$ がどちらも $ex_1$ に比例して同じ割合で増えていき、差はいつも $2a$ に保たれます。楕円では片方が増えると片方が減りましたが、双曲線では2つの距離がそろって増えるのです。

双曲線上の点から焦点までの距離は $|ex_1 \mp a|$ と $x$ 座標で書け、離心率 $e$${}= \dfrac{c}{a}$ は $1$ より大きく、双曲線の開き具合を表すということです。

例題6：焦点までの距離

双曲線 $\dfrac{x^2}{4}$${}- \dfrac{y^2}{12}$${}= 1$ の焦点のうち、$x$ 座標が正のものを $\mathrm{F}$、負のものを $\mathrm{F'}$ とします。

(1) この双曲線の離心率を求めなさい。

(2) 双曲線上の点 $\mathrm{P}$ で、$\mathrm{PF}$${}= 6$ となるものの座標を、すべて求めなさい。

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【解答】

$a$${}= 2$，$b$${}= 2\sqrt{3}$，$c$${}= \sqrt{4 + 12}$${}= 4$ で、$\mathrm{F}(4,\ 0)$，$\mathrm{F'}(-4,\ 0)$ です。

(1) $e$${}= \dfrac{4}{2}$${}= \underline{2}$ です。

(2) $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ とします。枝ごとに調べます。

右の枝（$x_1$${}\geqq 2$）では $\mathrm{PF}$${}= 2x_1$${}- 2$ です。$2x_1$${}- 2$${}= 6$ から $x_1$${}= 4$ で、$y_1^2$${}= 12\left(\dfrac{16}{4} - 1\right)$${}= 36$ より $y_1$${}= \pm 6$ です。

左の枝（$x_1$${}\leqq -2$）では $\mathrm{PF}$${}= 2$${}- 2x_1$ です。$2$${}- 2x_1$${}= 6$ から $x_1$${}= -2$ で、$y_1^2$${}= 12(1 - 1)$${}= 0$ より $y_1$${}= 0$ です。これは左の頂点です。

よって

$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\mathrm{P}(4,\ 6),}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (4,\ -6),}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (-2,\ 0)}$

です。（確かめ）$(4,\ \pm 6)$ は $\mathrm{F}(4,\ 0)$ の真上と真下で、距離は $6$ です。$(-2,\ 0)$ と $\mathrm{F}(4,\ 0)$ の距離も $6$ です。右の枝だけを調べると、左の頂点を見落とします。

双曲線になる軌跡

第6章では、2つの接する条件を足して半径を消し、楕円を見つけました。2つの条件を引いて半径を消すと、今度は双曲線が現れます。

公式7：双曲線になる軌跡

① 円 $C$（中心 $\mathrm{F'}$、半径 $R$）の外部に点 $\mathrm{F}$ があるとする。$\mathrm{F}$ を通り、$C$ に外接する円の中心 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{PF'}$${}- \mathrm{PF}$${}= R$ を満たし、その軌跡は $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ を焦点とし、主軸の長さが $R$ の双曲線の、$\mathrm{F}$ に近いほうの枝である。

② 2つの円 $C_1$（中心 $\mathrm{F}$、半径 $r_1$）、$C_2$（中心 $\mathrm{F'}$、半径 $r_2$）がたがいに外部にあり、$r_1$${}> r_2$ とする。$C_1$，$C_2$ の両方に外接する円の中心 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{PF}$${}- \mathrm{PF'}$${}= r_1$${}- r_2$ を満たし、その軌跡は $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ を焦点とし、主軸の長さが $r_1$${}- r_2$ の双曲線の、$\mathrm{F'}$ に近いほうの枝である。

①は、求める円の半径を $r$ とすると、「$\mathrm{F}$ を通る」が $\mathrm{PF}$${}= r$、「$C$ に外接する」が $\mathrm{PF'}$${}= r$${}+ R$ です。引くと $r$ が消えて $\mathrm{PF'}$${}- \mathrm{PF}$${}= R$ になります。$\mathrm{F}$ が $C$ の外部にあるので $R$${}< \mathrm{FF'}$ で、公式1 の条件を満たしています。

②も同じで、$\mathrm{PF}$${}= r$${}+ r_1$，$\mathrm{PF'}$${}= r$${}+ r_2$ を引くと $\mathrm{PF}$${}- \mathrm{PF'}$${}= r_1$${}- r_2$ です。半径の大きい円から遠い側、つまり小さい円の側の枝になります。$r_1$${}= r_2$ なら差が $0$ で、軌跡は垂直二等分線です。

大きさの違う2つの丸い島が海に浮かんでいて、船がどちらの島の海岸線からも同じ距離だけ離れて進むとします。船から島の中心までの距離は「海岸線までの距離＋島の半径」なので、2つの中心までの距離の差は、いつも半径の差に等しくなります。船は、小さい島を抱えこむ双曲線の枝の上を進むことになります。

2つの接する条件を引いて半径を消し、「2定点からの距離の差が一定」の形になれば、その軌跡は双曲線（の枝）だということです。

例題7：2つの円に外接する円の中心の軌跡

2つの円 $C_1 : (x + 5)^2$${}+ y^2$${}= 9$，$C_2 : (x - 5)^2$${}+ y^2$${}= 1$ の両方に外接する円の中心 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めなさい。

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【解答】

$C_1$ の中心を $\mathrm{B}(-5,\ 0)$（半径 $3$）、$C_2$ の中心を $\mathrm{A}(5,\ 0)$（半径 $1$）とします。$\mathrm{AB}$${}= 10$${}> 3$${}+ 1$ なので、2円はたがいに外部にあります。求める円の半径を $r$ とすると

$\displaystyle \mathrm{PB}$$\displaystyle {}= r$$\displaystyle {}+ 3,$$\displaystyle \mathrm{PA}$$\displaystyle {}= r$$\displaystyle {}+ 1$

で、引くと $\mathrm{PB}$${}- \mathrm{PA}$${}= 2$ です。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ を焦点とし、距離の差が $2$ の双曲線の、$\mathrm{A}$ に近いほうの枝の上にあります。$a$${}= 1$，$c$${}= 5$ より $b^2$${}= 25$${}- 1$${}= 24$ で、方程式は $x^2$${}- \dfrac{y^2}{24}$${}= 1$、$\mathrm{A}$ に近いのは右の枝（$x$${}\geqq 1$）です。

逆に、右の枝の点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ をとります。$e$${}= 5$ なので、公式6 ① より $\mathrm{PA}$${}= 5x$${}- 1$，$\mathrm{PB}$${}= 5x$${}+ 1$ です。$r$${}= 5x$${}- 2$ とおくと、$x$${}\geqq 1$ より $r$${}\geqq 3$${}> 0$ で、$\mathrm{PA}$${}= r$${}+ 1$，$\mathrm{PB}$${}= r$${}+ 3$ です。よって、$\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円は $C_1$，$C_2$ の両方に外接します。したがって、軌跡は

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\text{双曲線 } x^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- \frac{y^2}{24} = 1 \text{ の } x > 0 \text{ の部分}}$

です。

この章のまとめ

（$xy$${}= k$ の行の複号は同順）

楕円と並べると、違いがはっきりします。

これで、放物線・楕円・双曲線の3つがそろいました。第5〜7章では、どれも中心（放物線は頂点）が原点にある場合だけを考えてきました。次の第8章では、曲線を平行移動して中心を原点からずらした式と、二次曲線と直線の共有点・接線を学びます。