目次／複素数平面と二次曲線／数学C

第8章　二次曲線の平行移動と直線

—— 中心を動かした式と、曲線に「接する」直線 ——

第5〜7章では、頂点や中心が原点にある放物線・楕円・双曲線を学びました。この章では、まず曲線を**平行移動**して、中心や頂点が原点にない二次曲線の式を扱います。$x^2 + 4y^2 - 6x + 16y + 9 = 0$ のような式も、平方完成すれば、どの曲線をどれだけ動かしたものかが分かります。後半では、二次曲線と直線の共有点を2次方程式の判別式で調べ、曲線に**接する**直線（接線）の方程式を求めます。傾きが決まった接線、曲線の外の点から引いた接線、直線が切り取る弦の中点と長さも学びます。

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基1 基2 基3 基4 基5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

未回答 25× 0○ 01か月定着 0

曲線の平行移動

二次関数第2章では、放物線 $y$ ${}= ax^2$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると $y$ ${}- q$ ${}= a(x - p)^2$ になることを学びました。同じ考え方は、 $y$ ${}= f(x)$ の形に書けない楕円や双曲線にもそのまま使えます。

公式1：曲線の平行移動

方程式 $F(x,\ y)$ ${}= 0$ が表す曲線を、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の方程式は

\displaystyle F(x - p,\ y - q)

である。つまり、 $x$ を $x$ ${}- p$ に、 $y$ を $y$ ${}- q$ に置きかえればよい。

理由を確かめます。移動したあとの曲線上に点 $\mathrm{Q}(x,\ y)$ があるとします。 $\mathrm{Q}$ は、もとの曲線上の点を $(p,\ q)$ だけずらしてきた点なので、ずらす前の位置 $(x - p,\ y - q)$ はもとの曲線上にあります。したがって $F(x - p,\ y - q)$ ${}= 0$ です。逆に $F(x - p,\ y - q)$ ${}= 0$ なら、点 $(x - p,\ y - q)$ はもとの曲線上にあり、それを $(p,\ q)$ だけずらした点が $(x,\ y)$ です。

「右へ $p$ 動かすのに、式では $-p$ 」という符号の向きに注意してください。合唱の伴奏者が、楽譜より 2 音高く移調して弾く場面を考えます。いま鍵盤で押すべき音を知るには、「この音の 2 音下は、楽譜では何の音か」と逆向きにたどります。平行移動した曲線の式も、「この点を $(p,\ q)$ だけ戻した点は、もとの曲線に乗っているか」を調べる式なのです。

見方を変えると、新しい座標 $X$ ${}= x$ ${}- p$ ， $Y$ ${}= y$ ${}- q$ を使えば、動かした曲線はもとの式 $F(X,\ Y)$ ${}= 0$ で表されます。二次関数第2章の小話で紹介した「座標軸を頂点まで動かすと $Y$ ${}= aX^2$ になる」は、このことを言っていました。

曲線を $(p,\ q)$ だけ平行移動した式は、もとの式の $x$ を $x$ ${}- p$ に、 $y$ を $y$ ${}- q$ に置きかえれば得られるということです。

例題1：曲線を平行移動した方程式

(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{7}$ ${}= 1$ を、 $x$ 軸方向に $-1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動した曲線の方程式を求め、分母を払って展開した形で表しなさい。

(2) 曲線 $xy$ ${}= 6$ を、 $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した曲線の方程式を求めなさい。また、移動したあとの曲線の漸近線を求めなさい。

【解答】

(1) $x$ を $x$ ${}- (-1)$ ${}= x$ ${}+ 1$ に、 $y$ を $y$ ${}- 2$ に置きかえて

\displaystyle \frac{(x + 1)^2}{16}

です。両辺に $112$ をかけると $7(x + 1)^2$ ${}+ 16(y - 2)^2$ ${}= 112$ で、展開して整理すると

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0585em}7x^2}

です。

(2) $x$ を $x$ ${}- 2$ に、 $y$ を $y$ ${}- (-3)$ ${}= y$ ${}+ 3$ に置きかえて

\underline{(x - 2)(y + 3) = 6}

です。展開すると $xy$ ${}+ 3x$ ${}- 2y$ ${}- 12$ ${}= 0$ です。

第7章公式5 で見たとおり、 $xy$ ${}= 6$ は $x$ 軸と $y$ 軸を漸近線とする双曲線です。漸近線も一緒に $(2,\ -3)$ だけ動くので、移動したあとの漸近線は $\underline{\text{直線 } x = 2 \text{ と直線 } y = -3}$ です。

（確かめ） $(x - 2)(y + 3)$ ${}= 6$ を $y$ について解くと $y$ ${}= \dfrac{6}{x - 2}$ ${}- 3$ です。 $x$ が $2$ に近づくと $\dfrac{6}{x - 2}$ の絶対値はいくらでも大きくなり、 $x$ の絶対値を大きくすると $y$ は $-3$ に近づきます。

平行移動した二次曲線

曲線を平行移動しても、形や大きさは変わりません。焦点・頂点・中心といった「曲線に付いている点」も、準線・漸近線・軸といった「曲線に付いている直線」も、曲線と一緒に同じだけ動きます。

公式2：平行移動した二次曲線

標準形の二次曲線を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、中心（放物線は頂点）は $(p,\ q)$ に移り、焦点・準線・漸近線も同じだけ平行移動する。

楕円 $\dfrac{(x - p)^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{(y - q)^2}{b^2}$ ${}= 1$ （ $a$ ${}> b$ ${}> 0$ ）：中心 $(p,\ q)$ ，焦点 $(p \pm c,\ q)$ （ $c$ ${}= \sqrt{a^2 - b^2}$ ）
双曲線 $\dfrac{(x - p)^2}{a^2}$ ${}- \dfrac{(y - q)^2}{b^2}$ ${}= 1$ ：中心 $(p,\ q)$ ，焦点 $(p \pm c,\ q)$ （ $c$ ${}= \sqrt{a^2 + b^2}$ ），漸近線 $y$ ${}- q$ ${}= \pm\dfrac{b}{a}(x - p)$
放物線 $(y - q)^2$ ${}= 4c(x - p)$ （ $c$ ${}\neq 0$ ）：頂点 $(p,\ q)$ ，焦点 $(p + c,\ q)$ ，準線 $x$ ${}= p$ ${}- c$

放物線の式では、第5章の $y^2$ ${}= 4px$ の $p$ を、移動量の $p$ と区別するために $c$ と書きました。どの曲線でも、 $c$ は中心（放物線は頂点）から焦点までの距離です。 $b$ ${}> a$ の楕円、右辺が $-1$ の双曲線、 $(x - p)^2$ ${}= 4c(y - q)$ の放物線も、第5〜7章の読み取り方で焦点の軸を決めてから、中心の分だけずらせば同じように扱えます。

ドールハウスを、棚の上の段から下の段へ丸ごと移す場面を思い浮かべてください。家の中の家具の並びも間隔も変わらず、変わるのは家全体の置き場所だけです。二次曲線の平行移動も同じで、中心から焦点までの距離 $c$ 、長軸の長さ、漸近線の傾きなどは変わらず、中心の座標だけが変わります。

平行移動した二次曲線は、まず中心（頂点）の位置を読み、そこを原点とみて標準形のときと同じように焦点・準線・漸近線を求めればよいということです。

例題2：平行移動した二次曲線の焦点

(1) 双曲線 $\dfrac{(x - 1)^2}{9}$ ${}- \dfrac{(y + 2)^2}{16}$ ${}= 1$ の中心・焦点・頂点の座標と、漸近線の方程式を求めなさい。

(2) 点 $(3,\ 1)$ を焦点とし、直線 $x$ ${}= -1$ を準線とする放物線の方程式を求めなさい。

(3) 2点 $(-1,\ 2)$ ， $(-1,\ -4)$ を焦点とし、長軸の長さが $10$ である楕円の方程式を求めなさい。

【解答】

(1) 双曲線 $\dfrac{x^2}{9}$ ${}- \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ を $(1,\ -2)$ だけ平行移動したものです。もとの双曲線は、 $c$ ${}= \sqrt{9 + 16}$ ${}= 5$ で、焦点 $(\pm 5,\ 0)$ ，頂点 $(\pm 3,\ 0)$ ，漸近線 $y$ ${}= \pm\dfrac{4}{3}x$ です。これらを $(1,\ -2)$ だけずらして $\underline{\text{中心 } (1,\ -2)}$ ， $\underline{\text{焦点 } (6,\ -2)\text{，}(-4,\ -2)}$ ， $\underline{\text{頂点 } (4,\ -2)\text{，}(-2,\ -2)}$ ，

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\text{漸近線 } y}

です。漸近線を整理すると $y$ ${}= \dfrac{4}{3}x$ ${}- \dfrac{10}{3}$ と $y$ ${}= -\dfrac{4}{3}x$ ${}- \dfrac{2}{3}$ です。

(2) 頂点は、焦点から準線に下ろした垂線の中点です。焦点 $(3,\ 1)$ から準線 $x$ ${}= -1$ に下ろした垂線の足は $(-1,\ 1)$ なので、頂点は $(1,\ 1)$ です。頂点から焦点までの距離は $c$ ${}= 3$ ${}- 1$ ${}= 2$ で、焦点は頂点の右側にあります。よって

\underline{(y - 1)^2 = 8(x - 1)}

です。（確かめ）焦点は $(1 + 2,\ 1)$ ${}= (3,\ 1)$ 、準線は $x$ ${}= 1$ ${}- 2$ ${}= -1$ です。

(3) 中心は2つの焦点の中点 $(-1,\ -1)$ で、焦点は中心から $y$ 軸方向に $3$ ずつ離れています。長軸は $y$ 軸に平行で、長軸の長さの半分は $5$ です。短軸の長さの半分は $\sqrt{5^2 - 3^2}$ ${}= 4$ なので

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{(x + 1)^2}{16}}

です。 $y^2$ の側の分母のほうが大きいので、たしかに長軸は縦向きです。

一般形から曲線を見分ける

例題1 (1) のように、平行移動した式を展開すると、 $x^2$ ， $y^2$ ， $x$ ， $y$ の項と定数項が並んだ形になります。逆に、この形の式が与えられたら、平方完成で元の姿を取り戻せます。

公式3：一般形から曲線を見分ける

$A$ ， $C$ の少なくとも一方が $0$ でない方程式

\displaystyle Ax^2

は、 $x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成すると、標準形を平行移動した形に直せる。この方程式が曲線を表すとき、その種類は次のとおりである。

$AC$ ${}> 0$ （ $x^2$ と $y^2$ の係数が同符号）…… 楕円（ $A$ ${}= C$ なら円）
$AC$ ${}< 0$ （ $x^2$ と $y^2$ の係数が異符号）…… 双曲線
$AC$ ${}= 0$ （ $x^2$ と $y^2$ の一方だけがある）…… 放物線

ただし、係数によっては、1点や2本の直線を表したり、何も表さなかったりする。

例外の例を挙げておきます。 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}+ 2x$ ${}+ 1$ ${}= 0$ は $(x + 1)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 0$ で、点 $(-1,\ 0)$ だけを表します。 $x^2$ ${}- y^2$ ${}= 0$ は2直線 $y$ ${}= \pm x$ 、 $x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 3$ ${}= 0$ は2直線 $x$ ${}= 1$ ， $x$ ${}= 3$ です。平方完成したあとで、右辺の符号や、1次の項が残っているかを確かめてから答えましょう（すべての場合の分類は、厳密定義のページで扱います）。

一般形は、いわば変装した姿です。帽子とめがねで顔が隠れていても、背の高さや歩き方（ $x^2$ ， $y^2$ の係数の符号）を見れば、楕円か双曲線か放物線かの見当はつきます。平方完成は、帽子とめがねを外す作業にあたります。外してみると、どこに住んでいるか（中心や頂点）と、どれくらいの大きさか（分母）がはっきりします。

$Ax^2$ ${}+ Cy^2$ ${}+ Dx$ ${}+ Ey$ ${}+ F$ ${}= 0$ は、 $x$ ， $y$ ごとに平方完成すると標準形の平行移動になり、 $x^2$ と $y^2$ の係数の符号の組み合わせで曲線の種類の見当がつくということです。

例題3：一般形の方程式が表す曲線

次の方程式はどのような曲線を表すか求めなさい。また、その中心（放物線は頂点）と焦点の座標を求めなさい。

(1) $x^2$ ${}+ 4y^2$ ${}- 6x$ ${}+ 16y$ ${}+ 9$ ${}= 0$

(2) $9x^2$ ${}- 4y^2$ ${}+ 18x$ ${}+ 16y$ ${}+ 29$ ${}= 0$

(3) $y^2$ ${}+ 4x$ ${}- 2y$ ${}- 7$ ${}= 0$

【解答】

(1) $x^2$ ${}- 6x$ ${}= (x - 3)^2$ ${}- 9$ ， $4y^2$ ${}+ 16y$ ${}= 4(y + 2)^2$ ${}- 16$ なので、方程式は

\displaystyle (x - 3)^2

です。楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ を $(3,\ -2)$ だけ平行移動したもので、 $c$ ${}= \sqrt{16 - 4}$ ${}= 2\sqrt{3}$ です。よって $\underline{\text{楕円}}$ ， $\underline{\text{中心 } (3,\ -2)}$ ， $\underline{\text{焦点 } \left(3 + 2\sqrt{3},\ -2\right)}$ ， $\underline{\left(3 - 2\sqrt{3},\ -2\right)}$ です。

(2) $9x^2$ ${}+ 18x$ ${}= 9(x + 1)^2$ ${}- 9$ ， $-4y^2$ ${}+ 16y$ ${}= -4(y - 2)^2$ ${}+ 16$ なので

\displaystyle 9(x + 1)^2

です。右辺が $-1$ なので、焦点は中心を通り $y$ 軸に平行な直線上にあり、中心からの距離は $\sqrt{4 + 9}$ ${}= \sqrt{13}$ です。よって $\underline{\text{双曲線}}$ ， $\underline{\text{中心 } (-1,\ 2)}$ ， $\underline{\text{焦点 } \left(-1,\ 2 + \sqrt{13}\right)}$ ， $\underline{\left(-1,\ 2 - \sqrt{13}\right)}$ です。

(3) $y^2$ ${}- 2y$ ${}= (y - 1)^2$ ${}- 1$ なので

\displaystyle (y - 1)^2

です。放物線 $y^2$ ${}= -4x$ を $(2,\ 1)$ だけ平行移動したものです。 $y^2$ ${}= -4x$ は $c$ ${}= -1$ で、焦点 $(-1,\ 0)$ ，準線 $x$ ${}= 1$ なので $\underline{\text{放物線}}$ ， $\underline{\text{頂点 } (2,\ 1)}$ ， $\underline{\text{焦点 } (1,\ 1)}$ です。準線は $x$ ${}= 3$ で、放物線は左に開いています。

二次曲線と直線の共有点

図形と方程式第5章では、円と直線の共有点を、2つの方程式から1文字を消去した2次方程式の判別式で調べました。二次曲線でも同じ方法が使えます。ただし、円にはなかった注意点が1つあります。

公式4：二次曲線と直線の共有点

二次曲線と直線の方程式から $y$ （または $x$ ）を消去した方程式について

(i) 2次方程式になるとき、その判別式を $D$ とすると

$D > 0$	$D = 0$	$D < 0$
異なる2点で交わる	1点で接する	共有点をもたない

(ii) 2次の項が消えて1次以下の方程式になるとき、共有点は1個以下であり、共有点が1個でも直線は曲線に接していない（曲線を横切っている）。

(ii) が起こるのは、放物線の軸に平行な直線と、双曲線の漸近線に平行な直線だけで、楕円では起こらない。

(i) で $D$ ${}= 0$ となるとき、直線は曲線に接するといい、この直線を接線、ただ1つの共有点を接点といいます。二次関数第6章で「 $y$ 軸に平行でない直線が重解をもつこと」を接するの意味にしたのと同じ決め方です。

(ii) の例は、すでに登場しています。放物線 $y$ ${}= x^2$ と直線 $x$ ${}= 1$ は、点 $(1,\ 1)$ だけを共有しますが、直線は放物線を縦に突き抜けています。第7章実践問16 の、漸近線に平行な直線も同じです。代入して1次方程式になったら、「共有点は1個（または0個）、ただし接してはいない」と読みます。一方、楕円は閉じた曲線なので、どの向きの直線を代入しても2次の項は消えません。二次関数のときと違って、 $y$ 軸に平行な直線 $x$ ${}= a$ も楕円の接線になりえます。

楕円形の競技場を真上から見て、空に一本の飛行機雲がまっすぐ伸びているところを想像してください。飛行機雲が競技場の上を横切れば、外周の線と2か所で交わります。外周の線をかすめるだけなら1か所、競技場から離れた空にあれば交わりません。判別式は、この3つの場合を計算だけで見分ける道具です。

二次曲線と直線の共有点は、消去してできる2次方程式の判別式で調べ、 $D$ ${}= 0$ のとき「接する」と決めますが、2次の項が消える場合は共有点が1個でも接していないということです。

例題4：楕円と直線の共有点

(1) 楕円 $x^2$ ${}+ 4y^2$ ${}= 20$ と直線 $x$ ${}+ 2y$ ${}= 6$ の共有点の座標を求めなさい。

(2) $k$ を実数の定数とします。楕円 $x^2$ ${}+ 2y^2$ ${}= 6$ と直線 $y$ ${}= x$ ${}+ k$ の共有点の個数を、 $k$ の値で場合分けして求めなさい。

【解答】

(1) 直線の式から $x$ ${}= 6$ ${}- 2y$ として、楕円の式に代入すると

\displaystyle (6 - 2y)^2

です。 $y$ ${}= 1$ のとき $x$ ${}= 4$ 、 $y$ ${}= 2$ のとき $x$ ${}= 2$ なので、共有点は $\underline{(4,\ 1)\text{，}(2,\ 2)}$ です。

（確かめ） $16$ ${}+ 4$ ${}= 20$ ， $4$ ${}+ 16$ ${}= 20$ で、どちらも楕円上にあります。

(2) $y$ ${}= x$ ${}+ k$ を代入すると

\displaystyle x^2

です。 $x^2$ の係数は $3$ で $0$ にならないので、判別式で調べます。

\displaystyle \frac{D}{4}

よって、共有点の個数は次のとおりです。

$-3$ ${}< k$ ${}< 3$ のとき $\underline{2 \text{ 個}}$
$k$ ${}= \pm 3$ のとき $\underline{1 \text{ 個}}$
$k$ ${}< -3,$ $3$ ${}< k$ のとき $\underline{0 \text{ 個}}$

$k$ ${}= 3$ のとき、方程式は $3x^2$ ${}+ 12x$ ${}+ 12$ ${}= 0$ 、つまり $3(x + 2)^2$ ${}= 0$ で、直線 $y$ ${}= x$ ${}+ 3$ は点 $(-2,\ 1)$ で楕円に接します。

接線の方程式

例題4 (2) では、直線 $y$ ${}= x$ ${}+ 3$ が楕円 $x^2$ ${}+ 2y^2$ ${}= 6$ の点 $(-2,\ 1)$ で接していました。この接線の式 $y$ ${}= x$ ${}+ 3$ を $-2x$ ${}+ 2y$ ${}= 6$ と書き直すと、楕円の式 $x \cdot x$ ${}+ 2y \cdot y$ ${}= 6$ の片方の $x$ を $-2$ に、片方の $y$ を $1$ に置きかえた形になっています。これは偶然ではありません。

公式5：接線の方程式

曲線上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線の方程式は、次のとおりである。

① 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ …… $\dfrac{x_1x}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y_1y}{b^2}$ ${}= 1$

② 双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}- \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= \pm 1$ …… $\dfrac{x_1x}{a^2}$ ${}- \dfrac{y_1y}{b^2}$ ${}= \pm 1$ （複号同順）

③ 放物線 $y^2$ ${}= 4px$ …… $y_1y$ ${}= 2p(x + x_1)$ 、放物線 $x^2$ ${}= 4py$ …… $x_1x$ ${}= 2p(y + y_1)$

どれも、曲線の式で $x^2$ ${}\to x_1x$ ， $y^2$ ${}\to y_1y$ ， $x$ ${}\to \dfrac{x + x_1}{2}$ ， $y$ ${}\to \dfrac{y + y_1}{2}$ と置きかえた形である。平行移動した曲線では、 $(x - p)^2$ ${}\to (x_1 - p)(x - p)$ ， $(y - q)^2$ ${}\to (y_1 - q)(y - q)$ と置きかえる。

楕円の場合を確かめます。 $u(x,\ y)$ ${}= \dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ と書くと、どんな $x$ ， $y$ についても

\displaystyle \frac{(x - x_1)^2}{a^2}

が成り立ちます（左辺を展開すると右辺になります）。点 $(x,\ y)$ が楕円と直線 $\dfrac{x_1x}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y_1y}{b^2}$ ${}= 1$ の両方に乗っていれば、右辺は $1$ ${}- 2$ ${}+ 1$ ${}= 0$ です。左辺が $0$ になるのは $x$ ${}= x_1$ ， $y$ ${}= y_1$ のときだけなので、この直線と楕円の共有点は $(x_1,\ y_1)$ の1点だけです。楕円では公式4 の (ii) が起こらないので、消去した2次方程式は重解をもち、この直線は接線です。双曲線・放物線も、(ii) の場合にならないことを含めて、同じように確かめられます（厳密定義のページ）。

置きかえの規則は、図形と方程式第5章で学んだ円の接線 $x_1x$ ${}+ y_1y$ ${}= r^2$ と同じ形です。とくに、楕円の頂点 $(a,\ 0)$ では接線が $x$ ${}= a$ になり、放物線 $y^2$ ${}= 4px$ の頂点（原点）では $0 \cdot y$ ${}= 2p(x + 0)$ から接線 $x$ ${}= 0$ が出てきます。 $y$ 軸に平行な接線も、この公式ならそのまま求められます。

二人三脚を思い浮かべてください。 $x^2$ ${}= x \cdot x$ は、同じ $x$ が2人で肩を組んだ形です。接線の式では、2人のうち片方だけを接点の座標 $x_1$ という決まった人に交代させます。交代するのはいつも片方だけで、2人とも入れかえるわけではありません。1次の項 $x$ のように1人で走っている項は、「 $x$ と $x_1$ の平均」という二人組に組み直してから、同じように片方を交代させます。

二次曲線上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線は、曲線の式の2次の項を「片方だけ $x_1$ ， $y_1$ に置きかえ」、1次の項を平均に置きかえれば得られるということです。

例題5：曲線上の点における接線

次の曲線上の点における接線の方程式を求めなさい。

(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{8}$ ${}+ \dfrac{y^2}{2}$ ${}= 1$ 上の点 $(2,\ 1)$

(2) 双曲線 $\dfrac{x^2}{3}$ ${}- y^2$ ${}= 1$ 上の点 $\left(3,\ \sqrt{2}\right)$

(3) 放物線 $y^2$ ${}= 12x$ 上の点 $(3,\ 6)$

(4) 楕円 $\dfrac{(x - 2)^2}{6}$ ${}+ \dfrac{(y + 1)^2}{3}$ ${}= 1$ 上の点 $(0,\ 0)$

【解答】

(1) $\dfrac{2x}{8}$ ${}+ \dfrac{1 \cdot y}{2}$ ${}= 1$ より、 $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2y = 4}$ です。

(2) $\dfrac{3x}{3}$ ${}- \sqrt{2}\,y$ ${}= 1$ より、 $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1017em}{}- \sqrt{2}\,y = 1}$ です。

(3) $y^2$ ${}= 4 \cdot 3x$ なので $p$ ${}= 3$ です。 $6y$ ${}= 2 \cdot 3(x + 3)$ より、 $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}y = x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}+ 3}$ です。

(4) まず、点 $(0,\ 0)$ が楕円上にあることを確かめます。 $\dfrac{4}{6}$ ${}+ \dfrac{1}{3}$ ${}= 1$ です。 $(x - 2)^2$ ${}\to (0 - 2)(x - 2)$ ， $(y + 1)^2$ ${}\to (0 + 1)(y + 1)$ と置きかえて

\displaystyle \frac{-2(x - 2)}{6}

です。

（確かめ）(3) で $y$ ${}= x$ ${}+ 3$ を $y^2$ ${}= 12x$ に代入すると $(x + 3)^2$ ${}= 12x$ 、つまり $(x - 3)^2$ ${}= 0$ で、たしかに $x$ ${}= 3$ の重解です。

傾きが決まった接線と、外の点から引いた接線

接点ではなく、接線の傾きや、接線が通る点が分かっているときは、公式4 の判別式か公式5 のどちらかを使います。

公式6：傾きが決まった接線と、外の点から引いた接線

① 傾きが $m$ の接線は、次のとおりである。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ …… $y$ ${}= mx$ ${}\pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}- \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ …… $a^2m^2$ ${}> b^2$ のとき $y$ ${}= mx$ ${}\pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ （ $a^2m^2$ ${}\leqq b^2$ のとき、傾き $m$ の接線はない）
放物線 $y^2$ ${}= 4px$ …… $m$ ${}\neq 0$ のとき $y$ ${}= mx$ ${}+ \dfrac{p}{m}$

② 曲線の外の点 $\mathrm{A}(s,\ t)$ から引いた接線は、接点を $(x_1,\ y_1)$ とおき、「接点が曲線上にある」「公式5 の接線が $\mathrm{A}$ を通る」の2式を連立して求める。

①の楕円の式を導きます。 $y$ ${}= mx$ ${}+ k$ を $b^2x^2$ ${}+ a^2y^2$ ${}= a^2b^2$ に代入して整理すると

\displaystyle (b^2 + a^2m^2)x^2

です。 $x^2$ の係数は正なので、判別式で調べられます。

\displaystyle \frac{D}{4}

$D$ ${}= 0$ となるのは $k^2$ ${}= a^2m^2$ ${}+ b^2$ のときです。双曲線では同じ計算で $x^2$ の係数が $b^2$ ${}- a^2m^2$ 、条件が $k^2$ ${}= a^2m^2$ ${}- b^2$ になります。 $a^2m^2$ ${}= b^2$ のときは傾きが漸近線と同じで、公式4 の (ii) にあたるので接線にはなりません。 $a^2m^2$ ${}< b^2$ のときは $k^2$ ${}< 0$ となって、条件を満たす $k$ がありません。放物線では $D$ ${}= 0$ の条件が $k$ ${}= \dfrac{p}{m}$ になります。

床をモップがけするとき、モップの柄の向きを変えずに、床に置いた楕円形のラグの上を滑らせていく様子を思い浮かべてください。向き（傾き $m$ ）を固定して平行に動かしていくと、モップの先がラグの縁に最初に触れる位置と、ラグから最後に離れる位置が1か所ずつあります。この2本が、傾き $m$ の2本の接線 $y$ ${}= mx$ ${}\pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ です。

②で接点を文字でおくのには理由があります。接線を $y$ ${}- t$ ${}= m(x - s)$ とおく方法では、 $y$ 軸に平行な接線 $x$ ${}= s$ を見落としやすくなります。接点を $(x_1,\ y_1)$ とおけば、公式5 が縦の接線も含めて答えてくれます。机の上に、真上から見ると楕円の形をした柱の置物を立て、卓上ライトを低い位置から当ててみます。机にのびる影の両側の縁は、真上から見ると、ライトから楕円へ引いた2本の接線に沿っています。影の縁を決めているのは、置物の側面で光がかすめる点、つまり接点です。

傾きが決まった接線は $y$ ${}= mx$ ${}+ k$ とおいて $D$ ${}= 0$ から $k$ を決め、外の点から引く接線は接点を $(x_1,\ y_1)$ とおいて公式5 と連立すれば、縦の接線も落とさずに求められるということです。

例題6：傾きが決まった接線

(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ に接し、傾きが $1$ である直線の方程式と、その接点の座標を求めなさい。

(2) 双曲線 $\dfrac{x^2}{9}$ ${}- \dfrac{y^2}{5}$ ${}= 1$ に接し、傾きが $1$ である直線の方程式を求めなさい。また、この双曲線に接し、傾きが $\dfrac{1}{2}$ である直線はあるか確かめなさい。

【解答】

(1) $a^2$ ${}= 16$ ， $b^2$ ${}= 9$ ， $m$ ${}= 1$ なので、 $\sqrt{16 + 9}$ ${}= 5$ より、接線は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 5,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 5}$ です。

接点は、 $y$ ${}= x$ ${}+ 5$ を楕円の式 $9x^2$ ${}+ 16y^2$ ${}= 144$ に代入して求めます。

\displaystyle 9x^2

より $x$ ${}= -\dfrac{16}{5}$ 、 $y$ ${}= \dfrac{9}{5}$ です。 $y$ ${}= x$ ${}- 5$ の接点は、原点に関して対称な点です。よって、接点は $\underline{\left(-\dfrac{16}{5},\ \dfrac{9}{5}\right)\text{，}\left(\dfrac{16}{5},\ -\dfrac{9}{5}\right)}$ です。

（確かめ）点 $\left(-\dfrac{16}{5},\ \dfrac{9}{5}\right)$ における接線は、公式5 より $-\dfrac{16}{5} \cdot \dfrac{x}{16}$ ${}+ \dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{y}{9}$ ${}= 1$ 、つまり $-x$ ${}+ y$ ${}= 5$ で、 $y$ ${}= x$ ${}+ 5$ に一致します。

(2) $a^2m^2$ ${}= 9$ ${}> 5$ ${}= b^2$ なので、傾き $1$ の接線はあります。 $\sqrt{9 - 5}$ ${}= 2$ より、 $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 2,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 2}$ です。

傾きが $\dfrac{1}{2}$ のときは $a^2m^2$ ${}= \dfrac{9}{4}$ ${}< 5$ なので、 $\underline{\text{傾き } \dfrac{1}{2} \text{ の接線はない}}$ です。漸近線の傾きは $\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ （約 $\pm 0.75$ ）で、双曲線の接線の傾きは、いつもこれより急になります。

例題7：外の点から引いた接線

点 $\mathrm{A}(2,\ 3)$ から楕円 $\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ \dfrac{y^2}{3}$ ${}= 1$ に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めなさい。

【解答】

接点を $(x_1,\ y_1)$ とすると、接線は $\dfrac{x_1x}{4}$ ${}+ \dfrac{y_1y}{3}$ ${}= 1$ です。これが $\mathrm{A}(2,\ 3)$ を通るので

\displaystyle \frac{x_1}{2}

です。また、接点は楕円上にあるので

\displaystyle \frac{x_1^2}{4}

です。① より $x_1$ ${}= 2$ ${}- 2y_1$ を ② に代入すると

\displaystyle (1 - y_1)^2

です。

$y_1$ ${}= 0$ のとき $x_1$ ${}= 2$ で、接線は $\dfrac{2x}{4}$ ${}= 1$ 、つまり $x$ ${}= 2$ です。
$y_1$ ${}= \dfrac{3}{2}$ のとき $x_1$ ${}= -1$ で、接線は $-\dfrac{x}{4}$ ${}+ \dfrac{y}{2}$ ${}= 1$ 、つまり $x$ ${}- 2y$ ${}+ 4$ ${}= 0$ です。

よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.35em]{0em}{1.2000em}\text{接線 } x = 2 \text{（接点 } (2,\ 0)\text{），} x}

です。

接線を $y$ ${}- 3$ ${}= m(x - 2)$ とおいて公式6 ① を使うと、 $(3 - 2m)^2$ ${}= 4m^2$ ${}+ 3$ から $m$ ${}= \dfrac{1}{2}$ の1本しか出てきません。 $x$ ${}= 2$ は傾きをもたないので、この方法では見落とします。

弦の中点と長さ

曲線と直線が2点 $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ で交わるとき、線分 $\mathrm{PQ}$ を弦といいます。弦の中点や長さは、交点の座標を1つずつ求めなくても、解と係数の関係（数と式第11章公式7）で求められます。

公式7：弦の中点と長さ

直線 $y$ ${}= mx$ ${}+ k$ と二次曲線の方程式から $y$ を消去した2次方程式を $Ax^2$ ${}+ Bx$ ${}+ C$ ${}= 0$ とし、その2つの実数解を $\alpha$ ， $\beta$ とする。弦 $\mathrm{PQ}$ （ $\mathrm{P}(\alpha,\ m\alpha + k)$ ， $\mathrm{Q}(\beta,\ m\beta + k)$ ）について

① 中点の $x$ 座標は $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$ ${}= -\dfrac{B}{2A}$ で、 $y$ 座標は直線の式から求まる。

② $\mathrm{PQ}$ ${}= \sqrt{1 + m^2}\,|\beta - \alpha|$ 、ここで $(\beta - \alpha)^2$ ${}= (\alpha + \beta)^2$ ${}- 4\alpha\beta$ である。

③ 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ の弦の中点を $\mathrm{M}(x_0,\ y_0)$ とすると、弦の傾き $m$ について $b^2x_0$ ${}+ a^2my_0$ ${}= 0$ が成り立つ。

② は、 $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標の差が $\beta$ ${}- \alpha$ 、 $y$ 座標の差が $m(\beta - \alpha)$ なので、三平方の定理から $\mathrm{PQ}$ ${}= \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + m^2(\beta - \alpha)^2}$ となることから分かります。

③ は、 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ ， $\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$ がどちらも楕円上にあることを使います。2つの式を引くと

\displaystyle \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{a^2}

です。 $x_1$ ${}+ x_2$ ${}= 2x_0$ ， $y_1$ ${}+ y_2$ ${}= 2y_0$ ， $y_1$ ${}- y_2$ ${}= m(x_1 - x_2)$ を代入し、 $x_1$ ${}- x_2$ ${}\neq 0$ で割って $b^2$ ではらうと $b^2x_0$ ${}+ a^2my_0$ ${}= 0$ です。 $y_0$ ${}\neq 0$ なら $m$ ${}= -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$ で、中点から弦の傾きが決まります。

厚さの違う2冊の本の、平均の厚さを知りたいとします。1冊ずつ定規を当てなくても、2冊を重ねて測り、2で割れば平均が出ます。弦の中点も同じで、交点の $x$ 座標 $\alpha$ ， $\beta$ を1つずつ求めなくても、和 $\alpha$ ${}+ \beta$ が係数から分かれば、真ん中の位置が決まります。

弦の中点と長さは、交点の $x$ 座標の和と積（解と係数の関係）だけで求められ、楕円では中点の位置から弦の傾きも決まるということです。

例題8：弦の中点と長さ

楕円 $x^2$ ${}+ 4y^2$ ${}= 16$ について、次のものを求めなさい。

(1) 直線 $y$ ${}= x$ ${}+ 1$ がこの楕円から切り取る弦の長さと、弦の中点の座標

(2) 点 $(1,\ 1)$ を中点とする弦を含む直線の方程式

【解答】

(1) $y$ ${}= x$ ${}+ 1$ を代入すると

\displaystyle x^2

です。判別式は $64$ ${}+ 240$ ${}> 0$ なので、2点で交わります。2つの解を $\alpha$ ， $\beta$ とすると $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= -\dfrac{8}{5}$ ， $\alpha\beta$ ${}= -\dfrac{12}{5}$ なので

\displaystyle (\beta - \alpha)^2

です。傾きは $1$ なので、弦の長さは $\sqrt{2} \cdot \dfrac{4\sqrt{19}}{5}$ ${}= \underline{\dfrac{4\sqrt{38}}{5}}$ です。

中点の $x$ 座標は $-\dfrac{4}{5}$ 、 $y$ 座標は $-\dfrac{4}{5}$ ${}+ 1$ ${}= \dfrac{1}{5}$ で、中点は $\underline{\left(-\dfrac{4}{5},\ \dfrac{1}{5}\right)}$ です。

(2) 楕円は $\dfrac{x^2}{16}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ で、 $a^2$ ${}= 16$ ， $b^2$ ${}= 4$ です。 $\dfrac{1}{16}$ ${}+ \dfrac{1}{4}$ ${}< 1$ なので、点 $(1,\ 1)$ は楕円の内部にあります。この点を中点とする弦の傾きを $m$ とすると、公式7 ③ より

\displaystyle 4 \cdot 1

です。 $y$ 軸に平行な弦 $x$ ${}= 1$ の中点は $(1,\ 0)$ なので、条件に合いません。よって、求める直線は $y$ ${}- 1$ ${}= -\dfrac{1}{4}(x - 1)$ 、つまり $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 4y = 5}$ です。

（確かめ） $x$ ${}= 5$ ${}- 4y$ を代入すると $20y^2$ ${}- 40y$ ${}+ 9$ ${}= 0$ で、判別式は正、2つの解の和は $2$ です。中点の $y$ 座標は $1$ 、 $x$ 座標は $5$ ${}- 4$ ${}= 1$ で、たしかに $(1,\ 1)$ です。

この章のまとめ

知りたいこと	使う道具
平行移動した曲線の式	$x \to x - p$ ， $y \to y - q$ （公式1）
一般形が表す曲線	$x$ ， $y$ ごとに平方完成（公式3）
直線との共有点・位置関係	消去して判別式。2次の項が消えたら接していない（公式4）
曲線上の点での接線	片方ずつ置きかえ（公式5）
傾きが決まった接線	$y = mx + k$ とおいて $D = 0$ （公式6 ①）
外の点から引いた接線	接点を $(x_1,\ y_1)$ とおく（公式6 ②）
弦の中点・長さ	解と係数の関係（公式7）

第6章実践問19 では、直線 $\mathrm{AF'}$ （ $\mathrm{A}(1,\ 2)$ ， $\mathrm{F'}(-3,\ 0)$ ）と楕円 $\dfrac{x^2}{25}$ ${}+ \dfrac{y^2}{16}$ ${}= 1$ の交点の座標を、この章に回していました。直線 $y$ ${}= \dfrac{x + 3}{2}$ を代入すると $89x^2$ ${}+ 150x$ ${}- 1375$ ${}= 0$ となり、交点の $x$ 座標は $\dfrac{-75 \pm 160\sqrt{5}}{89}$ と求まります。

次の第9章では、曲線上の点の $x$ 座標と $y$ 座標を、角などの別の変数で表す媒介変数表示と、原点からの距離と向きで点を表す極座標を学びます。楕円上の点を $(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ と書けるようになると、この章の接線や最大・最小の問題が、三角関数で見通しよく扱えるようになります。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

楕円 $\dfrac{(x - 2)^2}{9}$ ${}+ \dfrac{(y + 1)^2}{5}$ ${}= 1$ の中心と焦点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

中心 $(2,\ -1)$ ，焦点 $(4,\ -1)$ ， $(0,\ -1)$ （ $c$ ${}= \sqrt{9 - 5}$ ${}= 2$ だけ中心から左右にずれる）

自己採点：

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問2

放物線 $(y - 3)^2$ ${}= 4(x + 1)$ の頂点と焦点の座標、準線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

頂点 $(-1,\ 3)$ ，焦点 $(0,\ 3)$ ，準線 $x$ ${}= -2$ （ $y^2$ ${}= 4x$ を $(-1,\ 3)$ だけ平行移動したもの）

自己採点：

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問3

方程式 $x^2$ ${}+ 4y^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= 0$ はどのような曲線を表すか求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

楕円 $\dfrac{(x - 1)^2}{4}$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ （中心 $(1,\ 0)$ 。 $(x - 1)^2$ ${}+ 4y^2$ ${}= 4$ と平方完成する）

自己採点：

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問4

楕円 $\dfrac{x^2}{12}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ 上の点 $(3,\ 1)$ における接線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}+ y$ ${}= 4$ （ $\dfrac{3x}{12}$ ${}+ \dfrac{1 \cdot y}{4}$ ${}= 1$ の両辺を $4$ 倍する）

自己採点：

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問5

放物線 $y^2$ ${}= 4x$ と直線 $y$ ${}= x$ ${}+ 1$ の共有点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$(1,\ 2)$ （ $(x + 1)^2$ ${}= 4x$ より $(x - 1)^2$ ${}= 0$ で重解。直線は点 $(1,\ 2)$ で放物線に接する）

自己採点：

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) 双曲線 $\dfrac{(x + 2)^2}{16}$ ${}- \dfrac{(y - 1)^2}{9}$ ${}= 1$ の中心・焦点・頂点の座標と、漸近線の方程式

(2) 放物線 $(x - 1)^2$ ${}= -8(y - 2)$ の頂点・焦点の座標と、準線の方程式

(3) 楕円 $\dfrac{(x - 3)^2}{5}$ ${}+ \dfrac{(y + 2)^2}{9}$ ${}= 1$ の中心・焦点の座標と、長軸・短軸の長さ

上の (1)〜(3) を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) 中心 $(-2,\ 1)$ ，焦点 $(3,\ 1)$ ， $(-7,\ 1)$ ，頂点 $(2,\ 1)$ ， $(-6,\ 1)$ ，漸近線 $y$ ${}- 1$ ${}= \pm\dfrac{3}{4}(x + 2)$ 　(2) 頂点 $(1,\ 2)$ ，焦点 $(1,\ 0)$ ，準線 $y$ ${}= 4$ 　(3) 中心 $(3,\ -2)$ ，焦点 $(3,\ 0)$ ， $(3,\ -4)$ ，長軸の長さ $6$ ，短軸の長さ $2\sqrt{5}$

解説

どれも、標準形の曲線を平行移動したものです。原点にある場合の値を求めてから、中心（頂点）の分だけずらします。

(1) $\dfrac{x^2}{16}$ ${}- \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ を $(-2,\ 1)$ だけ平行移動したものです。もとの双曲線は $c$ ${}= \sqrt{16 + 9}$ ${}= 5$ で、焦点 $(\pm 5,\ 0)$ ，頂点 $(\pm 4,\ 0)$ ，漸近線 $y$ ${}= \pm\dfrac{3}{4}x$ です。 $(-2,\ 1)$ だけずらして $\underline{\text{中心 } (-2,\ 1)}$ ， $\underline{\text{焦点 } (3,\ 1)\text{，}(-7,\ 1)}$ ， $\underline{\text{頂点 } (2,\ 1)\text{，}(-6,\ 1)}$ です。漸近線は $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 1 = \pm\dfrac{3}{4}(x + 2)}$ です。

(2) $x^2$ ${}= -8y$ を $(1,\ 2)$ だけ平行移動したものです。 $x^2$ ${}= 4py$ で $p$ ${}= -2$ なので、もとの放物線は焦点 $(0,\ -2)$ ，準線 $y$ ${}= 2$ で、下に開いています。 $(1,\ 2)$ だけずらして $\underline{\text{頂点 } (1,\ 2)}$ ， $\underline{\text{焦点 } (1,\ 0)}$ ， $\underline{\text{準線 } y = 4}$ です。

(3) $\dfrac{x^2}{5}$ ${}+ \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ を $(3,\ -2)$ だけ平行移動したものです。 $y^2$ の分母のほうが大きいので、長軸は $y$ 軸方向で、焦点は中心から上下に $\sqrt{9 - 5}$ ${}= 2$ ずつ離れています。よって $\underline{\text{中心 } (3,\ -2)}$ ， $\underline{\text{焦点 } (3,\ 0)\text{，}(3,\ -4)}$ です。

長軸の長さは $2 \cdot 3$ ${}= \underline{6}$ ，短軸の長さは $\underline{2\sqrt{5}}$ です。平行移動しても、軸の長さは変わりません。

自己採点：

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問2　★

(1) 2点 $(1,\ 3)$ ， $(7,\ 3)$ を焦点とし、長軸の長さが $10$ である楕円

(2) 点 $(2,\ -1)$ を焦点とし、直線 $x$ ${}= -4$ を準線とする放物線

(3) 2点 $(-1,\ 0)$ ， $(-1,\ 6)$ を焦点とし、焦点からの距離の差が $4$ である双曲線

上の (1)〜(3) の曲線の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $\dfrac{(x - 4)^2}{25}$ ${}+ \dfrac{(y - 3)^2}{16}$ ${}= 1$ 　(2) $(y + 1)^2$ ${}= 12(x + 1)$ 　(3) $\dfrac{(x + 1)^2}{5}$ ${}- \dfrac{(y - 3)^2}{4}$ ${}= -1$

解説

まず中心（放物線は頂点）を求め、そこから焦点までの距離 $c$ を読みます。

(1) 中心は焦点の中点 $(4,\ 3)$ 、 $c$ ${}= 3$ です。長軸は $x$ 軸に平行で、その長さの半分は $5$ 、短軸の長さの半分は $\sqrt{25 - 9}$ ${}= 4$ です。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{(x - 4)^2}{25}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}+ \dfrac{(y - 3)^2}{16} = 1}$ です。

(2) 焦点 $(2,\ -1)$ から準線 $x$ ${}= -4$ に下ろした垂線の足は $(-4,\ -1)$ で、頂点はその中点 $(-1,\ -1)$ です。頂点から焦点までの距離は $c$ ${}= 2$ ${}- (-1)$ ${}= 3$ で、焦点は右側にあります。よって $\underline{(y + 1)^2 = 12(x + 1)}$ です。

(3) 中心は焦点の中点 $(-1,\ 3)$ で、焦点は中心から上下に $c$ ${}= 3$ ずつ離れています。焦点が $y$ 軸に平行な直線上にあるので、 $\dfrac{(x + 1)^2}{a^2}$ ${}- \dfrac{(y - 3)^2}{b^2}$ ${}= -1$ とおけます。このとき距離の差は $2b$ なので $b$ ${}= 2$ 、 $a^2$ ${}= c^2$ ${}- b^2$ ${}= 9$ ${}- 4$ ${}= 5$ です。よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\dfrac{(x + 1)^2}{5}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- \dfrac{(y - 3)^2}{4} = -1}$ です。

（確かめ）(3) の上の頂点 $(-1,\ 5)$ から2つの焦点までの距離は $1$ と $5$ で、差は $4$ です。(2) では、原点にある $y^2$ ${}= 12x$ の焦点 $(3,\ 0)$ ，準線 $x$ ${}= -3$ を $(-1,\ -1)$ だけずらすと、焦点 $(2,\ -1)$ ，準線 $x$ ${}= -4$ になります。

自己採点：

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問3　★

(1) $4x^2$ ${}+ 9y^2$ ${}+ 16x$ ${}- 18y$ ${}- 11$ ${}= 0$ 　(2) $x^2$ ${}- y^2$ ${}- 4x$ ${}- 6y$ ${}- 9$ ${}= 0$ 　(3) $x^2$ ${}+ 6x$ ${}+ 8y$ ${}+ 1$ ${}= 0$

上の (1)〜(3) の方程式がどのような曲線を表すかを答え、その中心（放物線は頂点）と焦点の座標を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

(1) 楕円 $\dfrac{(x + 2)^2}{9}$ ${}+ \dfrac{(y - 1)^2}{4}$ ${}= 1$ ，中心 $(-2,\ 1)$ ，焦点 $\left(-2 + \sqrt{5},\ 1\right)$ ， $\left(-2 - \sqrt{5},\ 1\right)$ 　(2) 双曲線 $\dfrac{(x - 2)^2}{4}$ ${}- \dfrac{(y + 3)^2}{4}$ ${}= 1$ ，中心 $(2,\ -3)$ ，焦点 $\left(2 + 2\sqrt{2},\ -3\right)$ ， $\left(2 - 2\sqrt{2},\ -3\right)$ 　(3) 放物線 $(x + 3)^2$ ${}= -8(y - 1)$ ，頂点 $(-3,\ 1)$ ，焦点 $(-3,\ -1)$

解説

$x$ と $y$ について、それぞれ平方完成します。

(1) $4x^2$ ${}+ 16x$ ${}= 4(x + 2)^2$ ${}- 16$ ， $9y^2$ ${}- 18y$ ${}= 9(y - 1)^2$ ${}- 9$ なので

\displaystyle 4(x + 2)^2

$x^2$ ， $y^2$ の係数が同符号なので楕円で、 $c$ ${}= \sqrt{9 - 4}$ ${}= \sqrt{5}$ です。 $\underline{\text{中心 } (-2,\ 1)}$ ， $\underline{\text{焦点 } \left(-2 \pm \sqrt{5},\ 1\right)}$ です。

(2) $x^2$ ${}- 4x$ ${}= (x - 2)^2$ ${}- 4$ ， $-y^2$ ${}- 6y$ ${}= -(y + 3)^2$ ${}+ 9$ なので

\displaystyle (x - 2)^2

係数が異符号なので双曲線です。 $a$ ${}= b$ ${}= 2$ の直角双曲線で、 $c$ ${}= \sqrt{4 + 4}$ ${}= 2\sqrt{2}$ です。 $\underline{\text{中心 } (2,\ -3)}$ ， $\underline{\text{焦点 } \left(2 \pm 2\sqrt{2},\ -3\right)}$ です。漸近線は $y$ ${}+ 3$ ${}= \pm(x - 2)$ です。

(3) $y^2$ の項がないので、放物線の見当がつきます。 $x^2$ ${}+ 6x$ ${}= (x + 3)^2$ ${}- 9$ なので

\displaystyle (x + 3)^2

です。 $x^2$ ${}= -8y$ （ $p$ ${}= -2$ 、焦点 $(0,\ -2)$ ）を $(-3,\ 1)$ だけ平行移動したものなので、 $\underline{\text{頂点 } (-3,\ 1)\text{，焦点 } (-3,\ -1)}$ です。準線は $y$ ${}= 3$ で、下に開いた放物線です。

（確かめ）(1) の焦点は $\left(-2 \pm \sqrt{5},\ 1\right)$ と書いてもよく、2つの焦点の中点が中心 $(-2,\ 1)$ になっています。

自己採点：

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問4　★

(1) 楕円 $4x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 8$ と直線 $y$ ${}= 2x$ ${}- 2$

(2) 放物線 $y^2$ ${}= 4x$ と直線 $2x$ ${}- y$ ${}- 4$ ${}= 0$

(3) 双曲線 $x^2$ ${}- y^2$ ${}= 3$ と直線 $x$ ${}+ y$ ${}= 3$

上の (1)〜(3) の曲線と直線の共有点の座標を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2},\ -1 + \sqrt{3}\right)$ ， $\left(\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2},\ -1 - \sqrt{3}\right)$ 　(2) $(4,\ 4)$ ， $(1,\ -2)$ 　(3) $(2,\ 1)$

解説

(1) $y$ ${}= 2x$ ${}- 2$ を代入すると

\displaystyle 4x^2

より $x$ ${}= \dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ です。 $y$ ${}= 2x$ ${}- 2$ ${}= -1$ ${}\pm \sqrt{3}$ （複号同順）なので、共有点は $\underline{\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2},\ -1 + \sqrt{3}\right)}$ ， $\underline{\left(\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2},\ -1 - \sqrt{3}\right)}$ です。

（確かめ） $4x^2$ ${}= (1 \pm \sqrt{3})^2$ ${}= 4$ ${}\pm 2\sqrt{3}$ ， $y^2$ ${}= (-1 \pm \sqrt{3})^2$ ${}= 4$ ${}\mp 2\sqrt{3}$ で、和は $8$ です。

(2) 放物線の式に $y^2$ があるので、 $x$ を消去すると計算が楽です。直線の式から $x$ ${}= \dfrac{y + 4}{2}$ で、代入すると

\displaystyle y^2

です。 $y$ ${}= 4$ のとき $x$ ${}= 4$ 、 $y$ ${}= -2$ のとき $x$ ${}= 1$ なので、共有点は $\underline{(4,\ 4)\text{，}(1,\ -2)}$ です。

(3) $y$ ${}= 3$ ${}- x$ を代入すると

\displaystyle x^2

で、 $x^2$ の項が消えて $x$ ${}= 2$ だけが決まります。共有点は $\underline{(2,\ 1)}$ の1個です。

直線 $x$ ${}+ y$ ${}= 3$ は漸近線 $y$ ${}= -x$ に平行なので、公式4 の (ii) にあたります。共有点は1個ですが、直線は双曲線に接しておらず、点 $(2,\ 1)$ で右の枝を横切っています。 $x^2$ ${}- y^2$ ${}= (x + y)(x - y)$ と因数分解して、 $x$ ${}+ y$ ${}= 3$ から $x$ ${}- y$ ${}= 1$ を出す方法でも解けます。

自己採点：

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問5　★

$k$ を実数の定数とします。双曲線 $x^2$ ${}- 4y^2$ ${}= 4$ と直線 $y$ ${}= x$ ${}+ k$ の共有点の個数を、 $k$ の値で場合分けして求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$k$ ${}< -\sqrt{3},$ $\sqrt{3}$ ${}< k$ のとき $2$ 個， $k$ ${}= \pm\sqrt{3}$ のとき $1$ 個， $-\sqrt{3}$ ${}< k$ ${}< \sqrt{3}$ のとき $0$ 個

解説

$y$ ${}= x$ ${}+ k$ を代入すると

\displaystyle x^2

です。直線の傾き $1$ は漸近線の傾き $\pm\dfrac{1}{2}$ と違うので、 $x^2$ の係数は $0$ になりません。判別式は

\displaystyle \frac{D}{4}

です。よって、共有点の個数は次のとおりです。

$k$ ${}< -\sqrt{3},$ $\sqrt{3}$ ${}< k$ のとき $\underline{2 \text{ 個}}$
$k$ ${}= \pm\sqrt{3}$ のとき $\underline{1 \text{ 個}}$
$-\sqrt{3}$ ${}< k$ ${}< \sqrt{3}$ のとき $\underline{0 \text{ 個}}$

楕円とは逆に、 $|k|$ が大きいほど交わります。 $k$ ${}= 0$ の直線 $y$ ${}= x$ は中心を通りますが、傾きが漸近線より急なので、2つの枝の間（外部）を通りぬけて、どちらの枝にも届きません。 $k$ ${}= \pm\sqrt{3}$ は、公式6 ① の $\sqrt{a^2m^2 - b^2}$ ${}= \sqrt{4 - 1}$ と一致します。

自己採点：

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問6　★

(1) 双曲線 $\dfrac{x^2}{8}$ ${}- \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ 上の点 $(4,\ 2)$

(2) 放物線 $x^2$ ${}= 6y$ 上の点 $(6,\ 6)$

(3) 楕円 $2x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 6$ 上の点 $(1,\ -2)$

上の (1)〜(3) の点における接線の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $x$ ${}- y$ ${}= 2$ 　(2) $y$ ${}= 2x$ ${}- 6$ 　(3) $x$ ${}- y$ ${}= 3$

解説

$x^2$ ${}\to x_1x$ ， $y^2$ ${}\to y_1y$ ， $x$ ${}\to \dfrac{x + x_1}{2}$ ， $y$ ${}\to \dfrac{y + y_1}{2}$ と置きかえます。

(1) $\dfrac{4x}{8}$ ${}- \dfrac{2y}{4}$ ${}= 1$ より $\dfrac{x}{2}$ ${}- \dfrac{y}{2}$ ${}= 1$ 、つまり $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}- y = 2}$ です。

(2) $x^2$ ${}= 6y$ の $6y$ を $6 \cdot \dfrac{y + 6}{2}$ に置きかえて、 $6x$ ${}= 3(y + 6)$ 、つまり $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 6}$ です（公式5 ③ で $4p$ ${}= 6$ 、 $2p$ ${}= 3$ としても同じです）。

(3) 式が $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ の形でなくても、置きかえの規則はそのまま使えます。 $2 \cdot 1 \cdot x$ ${}+ (-2) \cdot y$ ${}= 6$ より $2x$ ${}- 2y$ ${}= 6$ 、つまり $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}- y = 3}$ です。

（確かめ）(3) で $y$ ${}= x$ ${}- 3$ を代入すると $2x^2$ ${}+ (x - 3)^2$ ${}= 6$ 、つまり $3(x - 1)^2$ ${}= 0$ で、 $x$ ${}= 1$ の重解です。(2) で $y$ ${}= 2x$ ${}- 6$ を代入すると $x^2$ ${}= 12x$ ${}- 36$ 、つまり $(x - 6)^2$ ${}= 0$ です。

自己採点：

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問7　★

(1) 双曲線 $\dfrac{(x + 1)^2}{2}$ ${}- (y - 1)^2$ ${}= 1$ 上の点 $(1,\ 2)$

(2) 放物線 $x^2$ ${}- 4x$ ${}- 4y$ ${}= 0$ 上の点 $(6,\ 3)$

上の (1)(2) の点における接線の方程式を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $y$ ${}= x$ ${}+ 1$ 　(2) $y$ ${}= 2x$ ${}- 9$

解説

平行移動した曲線では、 $(x - p)^2$ ${}\to (x_1 - p)(x - p)$ のように、かっこごと片方を置きかえます。

(1) $x_1$ ${}+ 1$ ${}= 2$ ， $y_1$ ${}- 1$ ${}= 1$ なので

\displaystyle \frac{2(x + 1)}{2}

です。

(2) 平方完成すると $(x - 2)^2$ ${}= 4(y + 1)$ で、放物線 $x^2$ ${}= 4y$ を $(2,\ -1)$ だけ平行移動したものです。 $x^2$ ${}= 4py$ の接線 $x_1x$ ${}= 2p(y + y_1)$ を、 $x$ ${}\to x$ ${}- 2$ ， $y$ ${}\to y$ ${}+ 1$ として使います。 $x_1$ ${}- 2$ ${}= 4$ ， $y_1$ ${}+ 1$ ${}= 4$ ， $p$ ${}= 1$ なので

\displaystyle 4(x - 2)

です。

（確かめ）(1) で $y$ ${}- 1$ ${}= x$ を代入すると $\dfrac{(x + 1)^2}{2}$ ${}- x^2$ ${}= 1$ 、つまり $-(x - 1)^2$ ${}= 0$ で重解です。(2) で $y$ ${}= 2x$ ${}- 9$ を代入すると $x^2$ ${}- 4x$ ${}- 8x$ ${}+ 36$ ${}= (x - 6)^2$ ${}= 0$ です。

自己採点：

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問8　★

(1) 放物線 $y^2$ ${}= 8x$ に接し、傾きが $2$ である直線

(2) 楕円 $\dfrac{x^2}{2}$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ に接し、直線 $y$ ${}= 2x$ に平行な直線

上の (1)(2) の直線の方程式と、その接点の座標を、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $y$ ${}= 2x$ ${}+ 1$ ，接点 $\left(\dfrac{1}{2},\ 2\right)$ 　(2) $y$ ${}= 2x$ ${}+ 3$ （接点 $\left(-\dfrac{4}{3},\ \dfrac{1}{3}\right)$ ）， $y$ ${}= 2x$ ${}- 3$ （接点 $\left(\dfrac{4}{3},\ -\dfrac{1}{3}\right)$ ）

解説

(1) $y$ ${}= 2x$ ${}+ k$ を代入すると $(2x + k)^2$ ${}= 8x$ 、つまり

\displaystyle 4x^2

です。 $\dfrac{D}{4}$ ${}= (2k - 4)^2$ ${}- 4k^2$ ${}= 16$ ${}- 16k$ ${}= 0$ より $k$ ${}= 1$ で、接線は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 1}$ です。このとき方程式は $4x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 1$ ${}= (2x - 1)^2$ ${}= 0$ なので、接点は $\underline{\left(\dfrac{1}{2},\ 2\right)}$ です。公式6 ① の $k$ ${}= \dfrac{p}{m}$ ${}= \dfrac{2}{2}$ とも一致します。

(2) 傾きは $2$ です。 $a^2$ ${}= 2$ ， $b^2$ ${}= 1$ なので、 $\sqrt{2 \cdot 4 + 1}$ ${}= 3$ より、接線は $y$ ${}= 2x$ ${}\pm 3$ です。 $y$ ${}= 2x$ ${}+ 3$ を $x^2$ ${}+ 2y^2$ ${}= 2$ に代入すると

\displaystyle x^2

で、接点は $\left(-\dfrac{4}{3},\ \dfrac{1}{3}\right)$ です。 $y$ ${}= 2x$ ${}- 3$ の接点は、原点に関して対称な $\left(\dfrac{4}{3},\ -\dfrac{1}{3}\right)$ です。よって、接線は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3}$ （接点 $\underline{\left(-\dfrac{4}{3},\ \dfrac{1}{3}\right)}$ ）， $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 3}$ （接点 $\underline{\left(\dfrac{4}{3},\ -\dfrac{1}{3}\right)}$ ）です。（確かめ）点 $\left(-\dfrac{4}{3},\ \dfrac{1}{3}\right)$ における接線は、公式5 より $-\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{x}{2}$ ${}+ \dfrac{1}{3}y$ ${}= 1$ 、つまり $y$ ${}= 2x$ ${}+ 3$ です。

自己採点：

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問9　★★

点 $\mathrm{A}(-2,\ 1)$ から放物線 $y^2$ ${}= 4x$ に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$y$ ${}= \dfrac{1}{2}x$ ${}+ 2$ （接点 $(4,\ 4)$ ）， $y$ ${}= -x$ ${}- 1$ （接点 $(1,\ -2)$ ）

解説

接点を $(x_1,\ y_1)$ とすると、接線は $y_1y$ ${}= 2(x + x_1)$ です。これが $\mathrm{A}(-2,\ 1)$ を通るので

\displaystyle y_1

です。接点は放物線上にあるので $y_1^2$ ${}= 4x_1$ $\cdots\textcircled{2}$ です。① を ② に代入すると

\displaystyle 4(x_1 - 2)^2

です。

$x_1$ ${}= 4$ のとき $y_1$ ${}= 4$ で、接線は $4y$ ${}= 2(x + 4)$ 、つまり $y$ ${}= \dfrac{1}{2}x$ ${}+ 2$ です。
$x_1$ ${}= 1$ のとき $y_1$ ${}= -2$ で、接線は $-2y$ ${}= 2(x + 1)$ 、つまり $y$ ${}= -x$ ${}- 1$ です。

よって

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = \frac{1}{2}x}

です。 $\mathrm{A}$ を通る縦の直線 $x$ ${}= -2$ は放物線と交わらないので、接線はこの2本だけです。

（確かめ）どちらの直線も $\mathrm{A}$ を通ります（ $-1$ ${}+ 2$ ${}= 1$ ， $2$ ${}- 1$ ${}= 1$ ）。2つの接点 $(4,\ 4)$ ， $(1,\ -2)$ を結ぶ直線は $y$ ${}= 2x$ ${}- 4$ で、実践問4 (2) の直線です。この直線は、接線の式 $y_1y$ ${}= 2(x + x_1)$ の $(x_1,\ y_1)$ に $\mathrm{A}$ の座標を入れた $y$ ${}= 2(x - 2)$ と一致しています（厳密定義のページの「極線」）。

自己採点：

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問10　★★

点 $\mathrm{A}(1,\ 2)$ から双曲線 $x^2$ ${}- y^2$ ${}= 1$ に引いた接線の方程式を、すべて求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= 1$ ， $5x$ ${}- 4y$ ${}+ 3$ ${}= 0$

解説

接点を $(x_1,\ y_1)$ とすると、接線は $x_1x$ ${}- y_1y$ ${}= 1$ です。これが $\mathrm{A}(1,\ 2)$ を通るので $x_1$ ${}- 2y_1$ ${}= 1$ 、つまり $x_1$ ${}= 1$ ${}+ 2y_1$ です。接点は双曲線上にあるので $x_1^2$ ${}- y_1^2$ ${}= 1$ で、代入すると

\displaystyle (1 + 2y_1)^2

です。

$y_1$ ${}= 0$ のとき $x_1$ ${}= 1$ で、接線は $x$ ${}= 1$ です（右の頂点 $(1,\ 0)$ における接線）。
$y_1$ ${}= -\dfrac{4}{3}$ のとき $x_1$ ${}= -\dfrac{5}{3}$ で、接線は $-\dfrac{5}{3}x$ ${}+ \dfrac{4}{3}y$ ${}= 1$ 、つまり $5x$ ${}- 4y$ ${}+ 3$ ${}= 0$ です（左の枝の点 $\left(-\dfrac{5}{3},\ -\dfrac{4}{3}\right)$ における接線）。

よって、接線は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 1,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\quad 5x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 4y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 3 = 0}$ です。

（確かめ） $\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2$ ${}- \left(-\dfrac{4}{3}\right)^2$ ${}= \dfrac{25 - 16}{9}$ ${}= 1$ で、接点は双曲線上にあります。 $5 \cdot 1$ ${}- 4 \cdot 2$ ${}+ 3$ ${}= 0$ なので、この接線は $\mathrm{A}$ を通ります。

接線を $y$ ${}- 2$ ${}= m(x - 1)$ とおくと、公式6 ① の条件 $(2 - m)^2$ ${}= m^2$ ${}- 1$ から $m$ ${}= \dfrac{5}{4}$ の1本しか出てこず、 $x$ ${}= 1$ を見落とします。

自己採点：

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問11　★★

$m$ を実数の定数とします。楕円 $\dfrac{(x - 3)^2}{3}$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ と直線 $y$ ${}= mx$ の共有点の個数を、 $m$ の値で場合分けして求めなさい。また、直線が楕円に接するときの接点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ ${}< m$ ${}< \dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $2$ 個， $m$ ${}= \pm\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $1$ 個， $m$ ${}< -\dfrac{\sqrt{6}}{6},$ $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ ${}< m$ のとき $0$ 個。接点は $m$ ${}= \dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $\left(2,\ \dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)$ ， $m$ ${}= -\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $\left(2,\ -\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)$

解説

$y$ ${}= mx$ を代入して分母を払うと

\displaystyle (x - 3)^2

です。 $x^2$ の係数 $1$ ${}+ 3m^2$ は正なので、判別式で調べます。

\displaystyle \frac{D}{4}

$D$ ${}> 0$ ${}\iff m^2$ ${}< \dfrac{1}{6}$ ${}\iff -\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ ${}< m$ ${}< \dfrac{\sqrt{6}}{6}$ なので、共有点の個数は次のとおりです。

$-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ ${}< m$ ${}< \dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $\underline{2 \text{ 個}}$
$m$ ${}= \pm\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $\underline{1 \text{ 個}}$
$m$ ${}< -\dfrac{\sqrt{6}}{6},$ $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ ${}< m$ のとき $\underline{0 \text{ 個}}$

接するとき（ $m^2$ ${}= \dfrac{1}{6}$ ）、重解は $x$ ${}= \dfrac{3}{1 + 3m^2}$ ${}= \dfrac{3}{1 + \frac{1}{2}}$ ${}= 2$ で、 $y$ ${}= 2m$ です。よって、接点は $m$ ${}= \dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $\underline{\left(2,\ \dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)}$ ， $m$ ${}= -\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ のとき $\underline{\left(2,\ -\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)}$ です。（確かめ） $\dfrac{(2 - 3)^2}{3}$ ${}+ \dfrac{6}{9}$ ${}= \dfrac{1}{3}$ ${}+ \dfrac{2}{3}$ ${}= 1$ で、接点は楕円上にあります。

原点から、中心 $(3,\ 0)$ の楕円に2本の接線が引けて、その傾きが $\pm\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ だということです。公式6 ② の方法（接点を $(x_1,\ y_1)$ とおく）で求めても同じ結果になります。

自己採点：

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問12　★★

双曲線 $2x^2$ ${}- y^2$ ${}= 2$ と直線 $y$ ${}= x$ ${}+ 2$ の2つの交点を $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ とします。線分 $\mathrm{PQ}$ の長さと、線分 $\mathrm{PQ}$ の中点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\mathrm{PQ}$ ${}= 4\sqrt{5}$ ，中点 $(2,\ 4)$

解説

$y$ ${}= x$ ${}+ 2$ を代入すると

\displaystyle 2x^2

です。判別式は $16$ ${}+ 24$ ${}> 0$ なので、たしかに2点で交わります。2つの解を $\alpha$ ， $\beta$ とすると、 $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= 4$ ， $\alpha\beta$ ${}= -6$ です。

\displaystyle (\beta - \alpha)^2

なので $|\beta - \alpha|$ ${}= 2\sqrt{10}$ です。直線の傾きは $1$ なので

\displaystyle \mathrm{PQ}

です。中点の $x$ 座標は $\dfrac{\alpha + \beta}{2}$ ${}= 2$ 、 $y$ 座標は $2$ ${}+ 2$ ${}= 4$ で、 $\underline{\text{中点 } (2,\ 4)}$ です。

$\alpha\beta$ ${}= -6$ ${}< 0$ なので、 $\mathrm{P}$ ， $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は異符号です。双曲線 $x^2$ ${}- \dfrac{y^2}{2}$ ${}= 1$ の点は $x$ ${}\geqq 1$ （右の枝）か $x$ ${}\leqq -1$ （左の枝）にあるので、 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ は別々の枝の上にあります（ $x$ ${}= 2$ ${}\pm \sqrt{10}$ ）。中点 $(2,\ 4)$ は、2つの枝にはさまれた部分にあります。

自己採点：

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問13　★★

楕円 $x^2$ ${}+ 2y^2$ ${}= 8$ の弦で、点 $\mathrm{M}(2,\ 1)$ を中点とするものがあります。

(1) この弦を含む直線の方程式を求めなさい。

(2) この弦の長さを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $x$ ${}+ y$ ${}= 3$ 　(2) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

解説

(1) 楕円は $\dfrac{x^2}{8}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ で、 $a^2$ ${}= 8$ ， $b^2$ ${}= 4$ です。 $\dfrac{4}{8}$ ${}+ \dfrac{1}{4}$ ${}< 1$ なので、 $\mathrm{M}$ は楕円の内部にあります。

$y$ 軸に平行な弦 $x$ ${}= 2$ の中点は $(2,\ 0)$ なので、条件に合いません。弦の傾きを $m$ とすると、公式7 ③ より

\displaystyle 4 \cdot 2

です。直線は $y$ ${}- 1$ ${}= -(x - 2)$ 、つまり $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8388em}{}+ y = 3}$ です。

公式7 ③ を使わずに、直線を $y$ ${}- 1$ ${}= m(x - 2)$ とおいて代入し、「2つの解の和 $= 4$ 」から $m$ を決めることもできます。

(2) $y$ ${}= 3$ ${}- x$ を代入すると

\displaystyle x^2

です。2つの解の和は $4$ で、中点の $x$ 座標が $2$ になることが確かめられます。積は $\dfrac{10}{3}$ なので

\displaystyle (\beta - \alpha)^2

です。傾きは $-1$ なので、弦の長さは $\sqrt{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ ${}= \dfrac{2\sqrt{12}}{3}$ ${}= \underline{\dfrac{4\sqrt{3}}{3}}$ です。

自己採点：

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問14　★★

$k$ を実数の定数とします。楕円 $x^2$ ${}+ 4y^2$ ${}= 4$ と直線 $y$ ${}= x$ ${}+ k$ が異なる2点で交わるとき、その2点を結ぶ線分の中点の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

直線 $x$ ${}+ 4y$ ${}= 0$ の $-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ ${}< x$ ${}< \dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ の部分

解説

$y$ ${}= x$ ${}+ k$ を代入すると

\displaystyle x^2

です。異なる2点で交わる条件は

\displaystyle \frac{D}{4}

です。中点を $(X,\ Y)$ とすると、解と係数の関係より

\displaystyle X

です。 $k$ ${}= 5Y$ を $X$ の式に代入すると $X$ ${}= -4Y$ 、つまり $X$ ${}+ 4Y$ ${}= 0$ です。また $k$ ${}= -\dfrac{5X}{4}$ なので、 $-\sqrt{5}$ ${}< k$ ${}< \sqrt{5}$ は $-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ ${}< X$ ${}< \dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ と同じです。よって、軌跡は

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\text{直線 } x}

です。

両端の $x$ ${}= \pm\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ は、 $k$ ${}= \mp\sqrt{5}$ で直線が楕円に接するときの接点 $\left(\pm\dfrac{4\sqrt{5}}{5},\ \mp\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$ （複号同順）で、弦にならないので除きます。傾き $1$ の平行な弦の中点は、どれも楕円の中心を通る1本の直線上に並びます（公式7 ③ の $b^2x_0$ ${}+ a^2my_0$ ${}= 0$ が、 $x_0$ ${}+ 4y_0$ ${}= 0$ になっています）。

自己採点：

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問15　★★

楕円 $x^2$ ${}+ 3y^2$ ${}= 12$ 上の点 $\mathrm{P}$ と、直線 $\ell : x$ ${}+ y$ ${}= 8$ の距離の最小値と最大値を求めなさい。また、それぞれのときの $\mathrm{P}$ の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

最小値 $2\sqrt{2}$ （ $\mathrm{P}(3,\ 1)$ ），最大値 $6\sqrt{2}$ （ $\mathrm{P}(-3,\ -1)$ ）

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ を通り、 $\ell$ に平行な直線は $x$ ${}+ y$ ${}= s$ （ $s$ ${}= x$ ${}+ y$ ）です。この直線は楕円と点 $\mathrm{P}$ を共有するので、 $y$ ${}= s$ ${}- x$ を代入した

\displaystyle x^2

は実数解をもちます。よって

\displaystyle \frac{D}{4}

です。つまり、楕円上の点では $-4$ ${}\leqq x$ ${}+ y$ ${}\leqq 4$ で、 $s$ ${}= \pm 4$ のときが傾き $-1$ の接線 $x$ ${}+ y$ ${}= \pm 4$ です（公式6 ① の $\sqrt{12 \cdot 1 + 4}$ ${}= 4$ と一致）。

$\mathrm{P}$ と $\ell$ の距離は、点と直線の距離の公式（図形と方程式第3章）より

\displaystyle d

です（ $s$ ${}\leqq 4$ なので $x$ ${}+ y$ ${}- 8$ ${}< 0$ ）。 $-4$ ${}\leqq s$ ${}\leqq 4$ より、 $d$ は $s$ ${}= 4$ で最小値 $\dfrac{4}{\sqrt{2}}$ ${}= 2\sqrt{2}$ 、 $s$ ${}= -4$ で最大値 $\dfrac{12}{\sqrt{2}}$ ${}= 6\sqrt{2}$ をとります。

$s$ ${}= 4$ のとき、方程式は $4x^2$ ${}- 24x$ ${}+ 36$ ${}= 4(x - 3)^2$ ${}= 0$ で、 $x$ ${}= 3$ ， $y$ ${}= 1$ です。 $s$ ${}= -4$ のときは、原点に関して対称な $(-3,\ -1)$ です。よって $\underline{\text{最小値 } 2\sqrt{2}\ (\mathrm{P}(3,\ 1))}$ ， $\underline{\text{最大値 } 6\sqrt{2}\ (\mathrm{P}(-3,\ -1))}$ です。 $\ell$ に平行な接線のうち、 $\ell$ に近いほうの接点で距離が最小、遠いほうの接点で最大になります。

自己採点：

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問16　★★

複素数平面上で、 $z$ ${}= x$ ${}+ yi$ （ $x$ ， $y$ は実数）が等式 $|z - 1 - 2i|$ ${}+ |z + 5 - 2i|$ ${}= 10$ を満たしながら動きます。複素数平面の点 $x$ ${}+ yi$ を座標平面の点 $(x,\ y)$ とみて、次のことを行いなさい。

(1) 点 $(x,\ y)$ が描く図形の方程式を求めなさい。

(2) (1) の図形上の点 $\left(1,\ \dfrac{26}{5}\right)$ における接線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) 楕円 $\dfrac{(x + 2)^2}{25}$ ${}+ \dfrac{(y - 2)^2}{16}$ ${}= 1$ 　(2) $3x$ ${}+ 5y$ ${}= 29$

解説

(1) $|z - (1 + 2i)|$ は点 $(x,\ y)$ と点 $(1,\ 2)$ の距離、 $|z - (-5 + 2i)|$ は点 $(-5,\ 2)$ との距離です。2点 $(1,\ 2)$ ， $(-5,\ 2)$ からの距離の和が $10$ なので、これらを焦点とする楕円です（2点間の距離 $6$ ${}< 10$ ）。

中心は中点 $(-2,\ 2)$ 、中心から焦点までの距離は $3$ 、長軸の長さの半分は $5$ で、短軸の長さの半分は $\sqrt{25 - 9}$ ${}= 4$ です。長軸は $x$ 軸に平行なので

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{(x + 2)^2}{25}}

です。

(2) $x_1$ ${}+ 2$ ${}= 3$ ， $y_1$ ${}- 2$ ${}= \dfrac{16}{5}$ なので、接線は

\displaystyle \frac{3(x + 2)}{25}

です。両辺を $25$ 倍して $3x$ ${}+ 6$ ${}+ 5y$ ${}- 10$ ${}= 25$ 、つまり $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}3x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}+ 5y = 29}$ です。

（確かめ） $\dfrac{9}{25}$ ${}+ \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{256}{25}$ ${}= \dfrac{9 + 16}{25}$ ${}= 1$ で、点は楕円上にあります。また $3$ ${}+ 26$ ${}= 29$ です。

点 $\left(1,\ \dfrac{26}{5}\right)$ は焦点 $(1,\ 2)$ の真上にあります。この接線と、長軸を含む直線 $y$ ${}= 2$ の交点は $x$ ${}= \dfrac{19}{3}$ で、中心から $\dfrac{25}{3}$ の位置です。離心率は $e$ ${}= \dfrac{3}{5}$ なので $\dfrac{25}{3}$ ${}= \dfrac{5}{e}$ で、第6章の厳密定義のページで扱った準線の上にあります。

自己採点：

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問17　★★★

楕円 $\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ 上の第1象限の点 $\mathrm{P}$ における接線が、 $x$ 軸， $y$ 軸と交わる点を、それぞれ $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ とします。原点を $\mathrm{O}$ として、 $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積の最小値と、そのときの $\mathrm{P}$ の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

最小値 $2$ ， $\mathrm{P}\left(\sqrt{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

解説

$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ （ $x_1$ ${}> 0$ ， $y_1$ ${}> 0$ ）とすると、接線は

\displaystyle \frac{x_1x}{4}

です。 $y$ ${}= 0$ とすると $x$ ${}= \dfrac{4}{x_1}$ 、 $x$ ${}= 0$ とすると $y$ ${}= \dfrac{1}{y_1}$ なので、 $\mathrm{A}\left(\dfrac{4}{x_1},\ 0\right)$ ， $\mathrm{B}\left(0,\ \dfrac{1}{y_1}\right)$ です。面積は

\displaystyle S

です。 $S$ を最小にするには、 $x_1y_1$ を最大にすればよいです。

$\dfrac{x_1^2}{4}$ ${}> 0$ ， $y_1^2$ ${}> 0$ なので、相加平均と相乗平均の大小関係（数と式第10章）より

\displaystyle 1

です。等号は $\dfrac{x_1^2}{4}$ ${}= y_1^2$ ${}= \dfrac{1}{2}$ のとき、つまり $x_1$ ${}= \sqrt{2}$ ， $y_1$ ${}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ のときに成り立ちます。よって $x_1y_1$ の最大値は $1$ で、 $S$ ${}\geqq 2$ です。

\underline{\text{最小値 } 2\text{，} \mathrm{P}\left(\sqrt{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}

（確かめ）このとき接線は $\dfrac{\sqrt{2}}{4}x$ ${}+ \dfrac{\sqrt{2}}{2}y$ ${}= 1$ で、 $\mathrm{A}\left(2\sqrt{2},\ 0\right)$ ， $\mathrm{B}\left(0,\ \sqrt{2}\right)$ 、面積は $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ ${}= 2$ です。

$\mathrm{P}$ が頂点 $(2,\ 0)$ や $(0,\ 1)$ に近づくと、接線はほとんど縦や横になり、三角形はいくらでも大きくなります。面積が最小になるのは、その中間で $\dfrac{x_1}{2}$ ${}= y_1$ となる点です。

自己採点：

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問18　★★★

双曲線 $\dfrac{x^2}{4}$ ${}- \dfrac{y^2}{9}$ ${}= 1$ 上の点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ における接線が、2本の漸近線と交わる点を $\mathrm{Q}$ ， $\mathrm{R}$ とし、原点を $\mathrm{O}$ とします。

(1) $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{QR}$ の中点であることを示しなさい。

(2) $\triangle\mathrm{OQR}$ の面積は $\mathrm{P}$ の位置によらず一定であることを示し、その値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) 証明は解説のとおり　(2) $\triangle\mathrm{OQR}$ ${}= 6$ （一定）

解説

接線は $\dfrac{x_1x}{4}$ ${}- \dfrac{y_1y}{9}$ ${}= 1$ 、両辺を $36$ 倍して $9x_1x$ ${}- 4y_1y$ ${}= 36$ です。漸近線は $y$ ${}= \dfrac{3}{2}x$ と $y$ ${}= -\dfrac{3}{2}x$ です。

$\mathrm{P}$ は双曲線上にあるので $9x_1^2$ ${}- 4y_1^2$ ${}= 36$ 、つまり

\displaystyle (3x_1 - 2y_1)(3x_1 + 2y_1)

です。とくに $3x_1$ ${}- 2y_1$ ${}\neq 0$ ， $3x_1$ ${}+ 2y_1$ ${}\neq 0$ です。

接線と $y$ ${}= \dfrac{3}{2}x$ の交点を $\mathrm{Q}$ とします。代入すると $9x_1x$ ${}- 6y_1x$ ${}= 36$ 、つまり $3x(3x_1 - 2y_1)$ ${}= 36$ なので

\mathrm{Q}\left(\frac{12}{3x_1 - 2y_1},\ \frac{18}{3x_1 - 2y_1}\right)

です。同様に、 $y$ ${}= -\dfrac{3}{2}x$ との交点 $\mathrm{R}$ は $3x(3x_1 + 2y_1)$ ${}= 36$ から

\mathrm{R}\left(\frac{12}{3x_1 + 2y_1},\ -\frac{18}{3x_1 + 2y_1}\right)

です。

(1) ① を使って通分すると

\displaystyle \frac{12}{3x_1 - 2y_1}

です。よって $\mathrm{Q}$ ， $\mathrm{R}$ の中点は $(x_1,\ y_1)$ 、つまり $\mathrm{P}$ です。（証明終）

(2) 原点と2点 $(x_2,\ y_2)$ ， $(x_3,\ y_3)$ を頂点とする三角形の面積は $\dfrac{1}{2}|x_2y_3 - x_3y_2|$ です（図形と方程式第3章）。これを使うと

\displaystyle \triangle\mathrm{OQR}

で、 $\mathrm{P}$ の位置によりません。よって $\underline{\triangle\mathrm{OQR} = 6}$ （一定）です。

$6$ は $ab$ ${}= 2 \cdot 3$ に等しく、4 点 $(\pm 2,\ \pm 3)$ を頂点とする長方形の面積 $24$ の $\dfrac{1}{4}$ です。 $\mathrm{P}$ が頂点 $(2,\ 0)$ のときは、接線 $x$ ${}= 2$ と漸近線の交点が $(2,\ \pm 3)$ で、面積は $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2$ ${}= 6$ となり、たしかに一致します。

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問19　★★★

楕円 $\dfrac{x^2}{5}$ ${}+ \dfrac{y^2}{4}$ ${}= 1$ の外の点 $\mathrm{P}$ から、この楕円に引いた2本の接線がたがいに垂直になるとき、点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$

解説

$\mathrm{P}(X,\ Y)$ とし、 $X^2$ ${}= 5$ かどうかで分けます。

$X^2$ ${}\neq 5$ のとき　 $\mathrm{P}$ を通る縦の直線 $x$ ${}= X$ は接線ではない（楕円の縦の接線は $x$ ${}= \pm\sqrt{5}$ だけ）ので、接線は $y$ ${}= m(x - X)$ ${}+ Y$ と書けます。公式6 ① より、これが接線になる条件は

\displaystyle (Y - mX)^2

です。① の実数解 $m$ が、 $\mathrm{P}$ から引いた接線の傾きです。2本の接線が垂直になるのは、① が異なる2つの実数解 $m_1$ ， $m_2$ をもち、 $m_1m_2$ ${}= -1$ となるときです。

解と係数の関係より $m_1m_2$ ${}= \dfrac{Y^2 - 4}{X^2 - 5}$ なので、 $m_1m_2$ ${}= -1$ から $Y^2$ ${}- 4$ ${}= -(X^2 - 5)$ 、つまり

\displaystyle X^2

が必要です。逆に $X^2$ ${}+ Y^2$ ${}= 9$ （ $X^2$ ${}\neq 5$ ）のとき、① の判別式は

\displaystyle \frac{D}{4}

です（ $X^2$ ${}\leqq 9$ ）。よって ① は異なる2つの実数解をもち、その積は $\dfrac{9 - X^2 - 4}{X^2 - 5}$ ${}= -1$ です。

$X^2$ ${}= 5$ のとき　 $x$ ${}= X$ は接線です（頂点 $\left(\pm\sqrt{5},\ 0\right)$ における接線）。① は $-2XYm$ ${}+ Y^2$ ${}- 4$ ${}= 0$ という1次以下の式になり、傾きをもつ接線は1本以下です。したがって、垂直な2本の接線は「 $x$ ${}= X$ 」と「傾き $0$ の接線 $y$ ${}= \pm 2$ 」の組しかなく、 $\mathrm{P}$ は $\left(\pm\sqrt{5},\ \pm 2\right)$ （複号任意）です。これらも $X^2$ ${}+ Y^2$ ${}= 5$ ${}+ 4$ ${}= 9$ を満たします。

以上より、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{円 } x^2}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2 = 9}$ です。この円の点はすべて楕円の外部にあります（楕円上の点の原点からの距離は $\sqrt{5}$ 以下）。

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ では、同じ計算で円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= a^2$ ${}+ b^2$ になり、この円を楕円の準円といいます。4 点 $(\pm a,\ \pm b)$ を頂点とする長方形は、各辺が楕円の接線で、その頂点は準円の上にあります。放物線では、垂直な2本の接線の交点は準線の上に並びます（図形と方程式第6章実践問18）。

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問20　★★★

$k$ を実数の定数とし、方程式 $x^2$ ${}+ ky^2$ ${}+ 2x$ ${}- 4ky$ ${}+ 5k$ ${}= 0$ $\cdots\textcircled{1}$ を考えます。

(1) ① が表す図形を、 $k$ の値で場合分けして求めなさい。

(2) $k$ ${}= -1$ のとき、① が表す図形の焦点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

(1) $k$ ${}> 1$ のとき何も表さない， $k$ ${}= 1$ のとき点 $(-1,\ 2)$ ， $0$ ${}< k$ ${}< 1$ のとき中心 $(-1,\ 2)$ の楕円， $k$ ${}= 0$ のとき 2直線 $x$ ${}= 0$ ， $x$ ${}= -2$ ， $k$ ${}< 0$ のとき中心 $(-1,\ 2)$ の双曲線　(2) $(1,\ 2)$ ， $(-3,\ 2)$

解説

(1) $x^2$ ${}+ 2x$ ${}= (x + 1)^2$ ${}- 1$ ， $k(y^2 - 4y)$ ${}= k(y - 2)^2$ ${}- 4k$ なので、① は

\displaystyle (x + 1)^2

と同じです。 $k$ の符号と右辺の符号で分けます。

$k$ ${}> 1$ のとき：左辺は $0$ 以上、右辺は負なので、② を満たす点はありません。① は何も表しません。
$k$ ${}= 1$ のとき： $(x + 1)^2$ ${}+ (y - 2)^2$ ${}= 0$ で、 $x$ ${}= -1$ ， $y$ ${}= 2$ に限ります。① は点 $(-1,\ 2)$ を表します。
$0$ ${}< k$ ${}< 1$ のとき：右辺は正なので、両辺を $1$ ${}- k$ で割って

\displaystyle \frac{(x + 1)^2}{1 - k}

2つの分母はどちらも正なので、中心 $(-1,\ 2)$ の楕円です。 $\dfrac{1 - k}{k}$ ${}> 1$ ${}- k$ （ $0$ ${}< k$ ${}< 1$ ）なので、長軸は $y$ 軸に平行です。

$k$ ${}= 0$ のとき： $(x + 1)^2$ ${}= 1$ で $x$ ${}+ 1$ ${}= \pm 1$ なので、① は2直線 $x$ ${}= 0$ ， $x$ ${}= -2$ を表します。
$k$ ${}< 0$ のとき：右辺 $1$ ${}- k$ は正で、 $k(y - 2)^2$ ${}= -(-k)(y - 2)^2$ なので

\displaystyle \frac{(x + 1)^2}{1 - k}

2つの分母はどちらも正なので、中心 $(-1,\ 2)$ の双曲線です。焦点は直線 $y$ ${}= 2$ 上にあります。

まとめると、次のとおりです。

$k$ ${}> 1$ のとき $\underline{\text{何も表さない}}$
$k$ ${}= 1$ のとき $\underline{\text{点 } (-1,\ 2)}$
$0$ ${}< k$ ${}< 1$ のとき $\underline{\text{中心 } (-1,\ 2) \text{ の楕円}}$
$k$ ${}= 0$ のとき $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\text{2直線 } x = 0,}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ x = -2}$
$k$ ${}< 0$ のとき $\underline{\text{中心 } (-1,\ 2) \text{ の双曲線}}$

(2) $k$ ${}= -1$ のとき、② は $(x + 1)^2$ ${}- (y - 2)^2$ ${}= 2$ 、つまり $\dfrac{(x + 1)^2}{2}$ ${}- \dfrac{(y - 2)^2}{2}$ ${}= 1$ です。中心から焦点までの距離は $\sqrt{2 + 2}$ ${}= 2$ なので、焦点は $\underline{(1,\ 2)\text{，}(-3,\ 2)}$ です。

$x^2$ の係数が正のまま、 $y^2$ の係数 $k$ を正から $0$ 、負へと動かすと、楕円が2直線を境に双曲線へ変わります。公式3 の「係数の符号で見当がつく」の例外（点・2直線・何も表さない）も、この1つの式の中に現れています。

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数学小話コーナー

地球から火星へ――2つの円に「接する」楕円の軌道

探査機を火星へ送るとき、いちばん燃料が少なくて済む道すじの1つに、ホーマン軌道があります。1925年、ドイツの技術者ヴァルター・ホーマンが、著書『天体への到達可能性』で計算してみせた方法です。ロケットがまだ実用になる前に、紙の上で惑星間の旅を設計していたことになります。

2つの円に接する楕円

話を簡単にするため、地球と火星の軌道を、太陽を中心とする円とみなします。太陽からの距離は、地球が $1$ 天文単位（約 $1$ 億 $5000$ 万 km）、火星が約 $1.52$ 天文単位です。

ホーマン軌道は、太陽を焦点の1つとし、地球の軌道には外側から、火星の軌道には内側から接する楕円です。太陽を原点、出発点を $(1,\ 0)$ とすると、楕円の長軸の長さは $1$ ${}+ 1.52$ ${}= 2.52$ で、 $a$ ${}= 1.26$ です。太陽（焦点）は中心から $c$ ${}= 1.26$ ${}- 1$ ${}= 0.26$ だけずれているので、楕円の中心は $(-0.26,\ 0)$ にあり、 $b^2$ ${}= a^2$ ${}- c^2$ ${}= 1 \times 1.52$ です。この楕円の方程式は、この章で学んだ平行移動の形

\displaystyle \frac{(x + 0.26)^2}{1.26^2}

になります。太陽は楕円の中心ではなく、焦点にあるのです。

出発点 $(1,\ 0)$ における接線は、公式5 で求めると $x$ ${}= 1$ で、地球の軌道（円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ ）の接線と同じです。2つの曲線はここで接していて、探査機は地球の進む向きのまま、少しだけ速さを上げれば楕円の軌道に乗り移れます。火星側の点 $(-1.52,\ 0)$ でも、同じように接線が一致します。

片道およそ8か月半

ケプラーの第3法則によると、公転周期（年）の2乗は、長軸の長さの半分（天文単位）の3乗に比例します。ホーマン軌道の周期は $1.26^{\frac{3}{2}}$ ${}\fallingdotseq 1.41$ 年で、火星までは楕円の半周なので、片道は約 $0.71$ 年、およそ $8$ か月半です。

ただし、探査機が到着したとき、火星がちょうどそこにいなければなりません。地球と火星の位置関係がちょうどよくなるのは、約 $2$ 年 $2$ か月に1度です。火星探査機の打ち上げが数年おきにまとまって行われるのは、この「打ち上げの窓」に合わせているためです。

豆知識

実際の探査機は、惑星の軌道が完全な円ではないことや、到着を早めたい事情などに合わせて、ホーマン軌道を少し変えた道すじを飛びます。それでも、「出発する軌道と到着する軌道に接する楕円」という考え方は、人工衛星を低い軌道から静止軌道へ移すときなど、今も宇宙飛行の基本になっています。

16歳のパスカルと「神秘の六角形」

確率の小話でおなじみのブレーズ・パスカルは、16歳のときに、二次曲線についての発見を1枚の印刷物にまとめて発表しています。1640年の『円錐曲線試論』です。父エティエンヌに連れられて、パリの数学者たちの集まりに出入りしていた少年は、射影幾何学の先駆者デザルグの仕事に強い影響を受けていました。

六角形の対辺の交点は一直線に並ぶ

パスカルが見つけたのは、次の定理です。

二次曲線（円・楕円・放物線・双曲線）の上に6点 $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ ， $\mathrm{C}$ ， $\mathrm{D}$ ， $\mathrm{E}$ ， $\mathrm{F}$ をとり、この順に結んで六角形をつくる。向かい合う辺の組 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{DE}$ 、 $\mathrm{BC}$ と $\mathrm{EF}$ 、 $\mathrm{CD}$ と $\mathrm{FA}$ をそれぞれ延ばした交点の3つは、一直線上にある（対辺が平行になる場合は除く）。

六角形がへこんでいても、辺どうしが交差するような「星形」の六角形でもかまいません。曲線がどの種類でも、6点をどう選んでも、3つの交点は必ず一直線に並びます。パスカル自身がこの図形を「神秘の六角形」と呼んだと伝えられています（※）。16歳の若さに驚いたデカルトが、父親の仕事ではないかと疑ったという話も残っています（※諸説あり）。

接線で考えると：ブリアンションの定理

それから160年以上たった1806年、フランスのエコール・ポリテクニーク（理工科学校）の学生ブリアンションが、パスカルの定理と「対になる」定理を発表しました。

二次曲線に接する6本の直線で六角形をつくると、向かい合う頂点どうしを結ぶ3本の対角線は、1点で交わる。

点を直線に、「一直線上にある」を「1点で交わる」に取りかえた形です。ブリアンションは、厳密定義のページで扱う極線（点と直線を1対1に対応させるしくみ）を使って、パスカルの定理をこの形に移しかえました。点の定理と接線の定理がペアになるこの性質は、のちに射影幾何学の「双対性」として大きく育っていきます。

豆知識

二次曲線の方程式 $Ax^2$ ${}+ Bxy$ ${}+ Cy^2$ ${}+ Dx$ ${}+ Ey$ ${}+ F$ ${}= 0$ は、全体を何倍しても同じ曲線を表すので、実質的に決められる数は $5$ 個です。そのため、一直線上に3点が並ぶことのない5点を与えると、それを通る二次曲線はただ1つに決まります。パスカルの定理を使うと、5点から6点目以降を定規だけで次々に作図できます。また、6点を六角形の頂点としてつなぐ順番は $60$ 通りあり、そこから $60$ 本の「パスカル線」が生まれます。19世紀の数学者たちは、この60本の直線が交わる様子を調べ上げました。

スマートフォンのカメラと「非球面レンズ」

スマートフォンのカメラには、厚さ数ミリの中に、何枚ものプラスチックのレンズが重ねて入っています。その多くは、表面が球の一部ではない非球面レンズです。

球面では光が1点に集まらない

虫めがねのような、表面が球の一部になっているレンズ（球面レンズ）は、作りやすい反面、レンズの中心付近を通った光と、ふち近くを通った光とで、集まる位置が少しずれてしまいます。これを球面収差といい、写真のにじみの原因になります。表面の形を球から少しずらして、光がきちんと1点に集まるように設計したのが、非球面レンズです。

頂点を原点に置いた二次曲線

レンズの設計では、表面の断面の形を、頂点を原点に置いた二次曲線で表すのが基本です。第6章の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{b^2}$ ${}= 1$ を $x$ 軸方向に $-a$ だけ平行移動すると、右の頂点 $(a,\ 0)$ が原点に来て

\displaystyle \frac{(x + a)^2}{a^2}

となります。この楕円は $x$ ${}\leqq 0$ の側にあるので、向きをそろえて $x$ を $-x$ に置きかえ、 $R$ ${}= \dfrac{b^2}{a}$ ，離心率 $e$ （ $\dfrac{b^2}{a^2}$ ${}= 1$ ${}- e^2$ ）で書き直すと

\displaystyle y^2

です。同じ計算を放物線・双曲線で行っても、まったく同じ形の式になります。

$e$	曲線
$e = 0$	円（球面）
$0 < e < 1$	楕円
$e = 1$	放物線 $y^2 = 2Rx$
$e > 1$	双曲線

$R$ は頂点付近での「丸みの半径」にあたり、レンズの基本的な強さを決めます。レンズ設計の世界では、 $-e^2$ をコーニック定数と呼び、この1つの数で、球・楕円・放物線・双曲線を切りかえます。実際のレンズでは、さらに $x^4$ ， $x^6$ ，… の小さな補正項を加えて、形を細かく整えています。

豆知識

めがねのレンズにも、非球面のものがあります。度の強いレンズを球面で作ると、厚くなったり、ふち近くで景色がゆがんで見えたりします。非球面にすると、同じ度数でも薄く平らに作れ、ゆがみも抑えられます。二次曲線を少しずらすだけの工夫が、毎日の見え方を支えています。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。本文では、一般形の方程式を平方完成して曲線を見分け、判別式で「接する」を判定し、接線の公式を使いました。ここでは、 $x$ ， $y$ の2次方程式が表す図形をもれなく分類し、「接する」をどの向きの直線にも使える形で定義します。そのうえで、曲線上の各点で接線がただ1本であることと公式5 の形を証明し、円の極線を楕円・双曲線へ広げ、平行な弦の中点が並ぶ直線を調べます。

2次方程式が表す図形

定義1：二次曲線の方程式

$A$ ， $C$ の少なくとも一方が $0$ でない実数の定数 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ に対して、方程式

\displaystyle G(x,\ y)

を満たす点 $(x,\ y)$ 全体の集合を、この方程式の表す図形という。

$xy$ の項を含む方程式は、ここでは扱いません（最後に触れます）。方程式の両辺に $-1$ をかけても図形は変わらないので、必要なら $A$ や $C$ の符号をそろえてかまいません。

定理1：図形の分類

定義1 の方程式が表す図形は、次のいずれかである。

(1) $AC$ ${}> 0$ のとき：楕円（円を含む）、1点、空集合のいずれか。

(2) $AC$ ${}< 0$ のとき：双曲線、または1点で交わる2直線。

(3) $AC$ ${}= 0$ のとき：放物線、平行な2直線、1直線、空集合のいずれか。

証明　(1)(2) では $A$ ${}\neq 0$ ， $C$ ${}\neq 0$ なので、平方完成して

\displaystyle A\left(x + \frac{D}{2A}\right)^2

と書ける。 $X$ ${}= x$ ${}+ \dfrac{D}{2A}$ ， $Y$ ${}= y$ ${}+ \dfrac{E}{2C}$ とおくと、図形は $AX^2$ ${}+ CY^2$ ${}= K$ の平行移動である（公式1）。

(1) 必要なら両辺に $-1$ をかけて $A$ ${}> 0$ ， $C$ ${}> 0$ とする。 $K$ ${}> 0$ なら $\dfrac{X^2}{K/A}$ ${}+ \dfrac{Y^2}{K/C}$ ${}= 1$ は楕円（ $A$ ${}= C$ のとき円）である。 $K$ ${}= 0$ なら $AX^2$ ${}+ CY^2$ ${}= 0$ は $X$ ${}= Y$ ${}= 0$ に限るので1点、 $K$ ${}< 0$ なら左辺が $0$ 以上で右辺が負なので空集合である。

(2) 必要なら両辺に $-1$ をかけて $A$ ${}> 0$ ${}> C$ とする。 $K$ ${}\neq 0$ なら $\dfrac{X^2}{K/A}$ ${}- \dfrac{Y^2}{K/(-C)}$ ${}= 1$ で、 $K$ ${}> 0$ なら分母はともに正、 $K$ ${}< 0$ なら両辺に $-1$ をかけた形の分母がともに正になり、いずれも双曲線である。 $K$ ${}= 0$ なら

\displaystyle AX^2

より、原点（ $X$ ${}= Y$ ${}= 0$ の点）で交わる2直線である。

(3) $C$ ${}= 0$ （ $A$ ${}\neq 0$ ）の場合を示す（ $A$ ${}= 0$ の場合は $x$ と $y$ を入れかえればよい）。平方完成して

\displaystyle A\left(x + \frac{D}{2A}\right)^2

となる。 $E$ ${}\neq 0$ なら $\left(x + \dfrac{D}{2A}\right)^2$ ${}= -\dfrac{E}{A}\left(y - y_0\right)$ （ $y_0$ は定数）の形で、放物線 $X^2$ ${}= 4pY$ （ $4p$ ${}= -\dfrac{E}{A}$ ${}\neq 0$ ）の平行移動である。 $E$ ${}= 0$ なら $\left(x + \dfrac{D}{2A}\right)^2$ ${}= L$ （ $L$ は定数）で、 $L$ ${}> 0$ なら平行な2直線 $x$ ${}= -\dfrac{D}{2A}$ ${}\pm \sqrt{L}$ 、 $L$ ${}= 0$ なら1直線、 $L$ ${}< 0$ なら空集合である。（証明終）

本文の公式3 で「曲線を表すとき」と断ったのは、この定理の「1点・直線・空集合」の場合を除くためです。楕円・双曲線・放物線になる場合を、退化していない二次曲線と呼ぶことがあります。以下、二次曲線といえば、定理1 のうち楕円・双曲線・放物線のことを指します。

「接する」の定義

本文の公式4 では、直線の式を $y$ ${}= mx$ ${}+ k$ とおいて $y$ を消去しました。この方法は $y$ 軸に平行な直線を別に扱う必要があります。そこで、直線を向きのベクトルで表して、どの向きの直線にも同じ定義が使えるようにします。

点 $(x_0,\ y_0)$ を通り、向きが $(l,\ n)$ ${}\neq (0,\ 0)$ の直線上の点は $(x_0 + tl,\ y_0 + tn)$ （ $t$ は実数）と書けます（ベクトル第6章）。これを $G$ に代入すると

\displaystyle g(t)

という $t$ の2次以下の式になります（ $\beta$ も定数）。共有点は、 $g(t)$ ${}= 0$ の実数解 $t$ に対応します。

定義2：接する

二次曲線 $\Gamma : G(x,\ y)$ ${}= 0$ と、上のように表した直線 $\ell$ について

$\alpha$ ${}\neq 0$ で、 $g(t)$ ${}= 0$ が重解 $t_0$ をもつとき、 $\ell$ は $\Gamma$ に点 $(x_0 + t_0l,\ y_0 + t_0n)$ で接するという。 $\ell$ を接線、この点を接点という。
$\alpha$ ${}= 0$ のとき、 $\ell$ は $\Gamma$ に接しないと定める。

同じ直線を、別の点 $(x_0',\ y_0')$ と別の向き $(l',\ n')$ ${}= \lambda(l,\ n)$ （ $\lambda$ ${}\neq 0$ ）で表しても、 $t$ が $\lambda t$ ${}+ \mu$ （ $\mu$ は定数）に置きかわるだけです。 $\alpha$ は $\lambda^2$ 倍になるだけで $0$ かどうかは変わらず、重解をもつかどうかも変わらないので、定義2 は直線の表し方によりません。

$y$ ${}= mx$ ${}+ k$ は $(x_0,\ y_0)$ ${}= (0,\ k)$ ， $(l,\ n)$ ${}= (1,\ m)$ の場合で、 $g(t)$ は本文で $y$ を消去した2次式そのものです。 $y$ 軸に平行な直線 $x$ ${}= s$ は $(s,\ 0)$ ， $(0,\ 1)$ の場合で、 $\alpha$ ${}= C$ になります。放物線 $y$ ${}= ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ c$ （ $C$ ${}= 0$ ）では、 $y$ 軸に平行な直線は $\alpha$ ${}= 0$ なので接線になりません。これは二次関数第6章の厳密定義のページの定義と一致します。

$\alpha$ ${}= Al^2$ ${}+ Cn^2$ ${}= 0$ となる向きは、曲線の種類で決まります。

楕円（ $AC$ ${}> 0$ ）： $Al^2$ ${}+ Cn^2$ は $(l,\ n)$ ${}\neq (0,\ 0)$ で $0$ にならないので、そのような向きはない。
双曲線（ $AC$ ${}< 0$ ）： $\sqrt{|A|}\,l$ ${}= \pm\sqrt{|C|}\,n$ を満たす2つの向き。これは漸近線の向きである。
放物線（ $C$ ${}= 0$ の場合）： $l$ ${}= 0$ 、つまり軸の向き。

これが、本文の公式4 (ii) の内容です。

接線はただ1本

定理2：接線の一意性と方程式

(1) $A$ ${}\neq 0$ ， $C$ ${}\neq 0$ とし、 $\Gamma : Ax^2$ ${}+ Cy^2$ ${}= 1$ が楕円または双曲線であるとする。 $\Gamma$ 上の各点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ において、 $\mathrm{P}$ で $\Gamma$ に接する直線はただ1本で、その方程式は

\displaystyle Ax_1x

である。

(2) $p$ ${}\neq 0$ とし、 $\Gamma : y^2$ ${}= 4px$ とする。 $\Gamma$ 上の各点 $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ において、 $\mathrm{P}$ で $\Gamma$ に接する直線はただ1本で、その方程式は $y_1y$ ${}= 2p(x + x_1)$ である。

証明　(1) $G(x,\ y)$ ${}= Ax^2$ ${}+ Cy^2$ ${}- 1$ とする。 $\mathrm{P}$ を通り向きが $(l,\ n)$ の直線について

\displaystyle g(t)

であり、 $G(x_1,\ y_1)$ ${}= 0$ だから $g(t)$ ${}= t\{\alpha t + 2(Ax_1l + Cy_1n)\}$ （ $\alpha$ ${}= Al^2$ ${}+ Cn^2$ ）である。 $\alpha$ ${}\neq 0$ のとき、 $g(t)$ ${}= 0$ の解は $t$ ${}= 0$ と $t$ ${}= -\dfrac{2(Ax_1l + Cy_1n)}{\alpha}$ なので、重解をもつ（このとき重解は $t$ ${}= 0$ 、接点は $\mathrm{P}$ ）のは

\displaystyle Ax_1l

のときに限る。 $\mathrm{P}$ は原点ではない（ $G(0,\ 0)$ ${}= -1$ ${}\neq 0$ ）ので $(Ax_1,\ Cy_1)$ ${}\neq (0,\ 0)$ であり、① を満たす向きは $(l,\ n)$ ${}= (Cy_1,\ -Ax_1)$ の $0$ でない実数倍に限られる。この向きについて

\displaystyle \alpha

なので、定義2 の条件 $\alpha$ ${}\neq 0$ も満たされる。よって、 $\mathrm{P}$ で接する直線はただ1本で、それは $\mathrm{P}$ を通り $(Ax_1,\ Cy_1)$ に垂直な直線

\displaystyle Ax_1(x - x_1)

である。

(2) $G(x,\ y)$ ${}= y^2$ ${}- 4px$ とすると、 $G(x_1,\ y_1)$ ${}= 0$ より $g(t)$ ${}= t\{n^2t + 2(y_1n - 2pl)\}$ である。 $\alpha$ ${}= n^2$ ${}\neq 0$ かつ重解をもつのは $y_1n$ ${}- 2pl$ ${}= 0$ のときに限り、その向きは $(l,\ n)$ ${}= (y_1,\ 2p)$ の実数倍である（ $n$ ${}= 2p$ ${}\neq 0$ ）。接線は $\mathrm{P}$ を通り $(2p,\ -y_1)$ に垂直な直線

\displaystyle 2p(x - x_1)

である（ $y_1^2$ ${}= 4px_1$ を用いた）。（証明終）

$A$ ${}= \dfrac{1}{a^2}$ ， $C$ ${}= \pm\dfrac{1}{b^2}$ とすれば (1) は公式5 ①② に、右辺が $-1$ の双曲線も $A$ ${}= -\dfrac{1}{a^2}$ ， $C$ ${}= \dfrac{1}{b^2}$ として含まれます。平行移動した曲線では、 $g(t)$ が平行移動で変わらないので、 $(x_1 - p)(x - p)$ の形の置きかえがそのまま成り立ちます。証明の中の「 $\mathrm{P}$ を通り $(Ax_1,\ Cy_1)$ に垂直」から、接点と中心を結ぶ直線と接線の関係も読み取れます。円（ $A$ ${}= C$ ）ではこのベクトルが $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の向きになり、「接線は半径に垂直」という見慣れた性質に戻ります。

極線

図形と方程式第5章の厳密定義のページでは、円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= r^2$ に対して、点 $(s,\ t)$ の極線 $sx$ ${}+ ty$ ${}= r^2$ を定めました。同じことが、楕円・双曲線でもできます。

定義3：極線

$\Gamma : Ax^2$ ${}+ Cy^2$ ${}= 1$ （ $A$ ${}\neq 0$ ， $C$ ${}\neq 0$ ）と、原点でない点 $\mathrm{Q}(s,\ t)$ に対して、直線

\displaystyle \ell_{\mathrm{Q}} : Asx

を、 $\Gamma$ に関する $\mathrm{Q}$ の極線といい、 $\mathrm{Q}$ を $\ell_{\mathrm{Q}}$ の極という。

$(As,\ Ct)$ ${}\neq (0,\ 0)$ なので、 $\ell_{\mathrm{Q}}$ はたしかに直線です。 $\mathrm{Q}$ が $\Gamma$ 上にあるとき、 $\ell_{\mathrm{Q}}$ は $\mathrm{Q}$ における接線（定理2）です。

定理3：極線の性質

(1) 点 $\mathrm{Q}$ から $\Gamma$ に2本の接線が引けて、接点が $\mathrm{T_1}$ ， $\mathrm{T_2}$ であるとき、直線 $\mathrm{T_1T_2}$ は $\mathrm{Q}$ の極線 $\ell_{\mathrm{Q}}$ である。

(2) 原点でない2点 $\mathrm{Q}$ ， $\mathrm{R}$ について、 $\mathrm{R}$ が $\ell_{\mathrm{Q}}$ 上にあることと、 $\mathrm{Q}$ が $\ell_{\mathrm{R}}$ 上にあることは同値である。

証明　(1) $\mathrm{T}_i(x_i,\ y_i)$ （ $i$ ${}= 1,$ $\ 2$ ）における接線は $Ax_ix$ ${}+ Cy_iy$ ${}= 1$ で、これが $\mathrm{Q}(s,\ t)$ を通るので $Ax_is$ ${}+ Cy_it$ ${}= 1$ である。これは $\mathrm{T}_i$ が直線 $Asx$ ${}+ Cty$ ${}= 1$ 上にあることを表す。 $\mathrm{T_1}$ ${}\neq \mathrm{T_2}$ なので、2点を通る直線 $\mathrm{T_1T_2}$ は $\ell_{\mathrm{Q}}$ に一致する。

(2) $\mathrm{Q}(s,\ t)$ ， $\mathrm{R}(s',\ t')$ とする。「 $\mathrm{R}$ が $\ell_{\mathrm{Q}}$ 上にある」は $Ass'$ ${}+ Ctt'$ ${}= 1$ 、「 $\mathrm{Q}$ が $\ell_{\mathrm{R}}$ 上にある」は $As's$ ${}+ Ct't$ ${}= 1$ で、同じ式である。（証明終）

本文の例題7 で、点 $\mathrm{A}(2,\ 3)$ の楕円 $\dfrac{x^2}{4}$ ${}+ \dfrac{y^2}{3}$ ${}= 1$ に関する極線は $\dfrac{x}{2}$ ${}+ y$ ${}= 1$ で、2つの接点 $(2,\ 0)$ ， $\left(-1,\ \dfrac{3}{2}\right)$ はたしかにこの上にあります。例題7 の ① は、この極線の式そのものでした。放物線 $y^2$ ${}= 4px$ でも、 $\mathrm{Q}(s,\ t)$ の極線を $ty$ ${}= 2p(x + s)$ と定めれば、同じ性質が成り立ちます（実践問9 の $y$ ${}= 2x$ ${}- 4$ ）。

(2) の対称性によって、「点が直線上にある」という関係を、「直線（極線）が点（極）を通る」という関係に移しかえることができます。小話2 のブリアンションは、この移しかえでパスカルの定理（6点が曲線上にある）を、接線の定理（6本の直線が曲線に接する）に変えました。

平行な弦の中点

定理4：平行な弦の中点と直径

$\Gamma : Ax^2$ ${}+ Cy^2$ ${}= 1$ （ $A$ ${}\neq 0$ ， $C$ ${}\neq 0$ ）と、向き $(l,\ n)$ （ $\alpha$ ${}= Al^2$ ${}+ Cn^2$ ${}\neq 0$ ）を考える。

(1) 向きが $(l,\ n)$ の直線が $\Gamma$ と異なる2点で交わるとき、その2点を結ぶ弦の中点は、原点を通る直線

\displaystyle d : Alx

の上にある。

(2) $d$ が $\Gamma$ と点 $\mathrm{P}$ で交わるとき、 $\mathrm{P}$ における接線は向き $(l,\ n)$ に平行である。

証明　(1) 弦の中点を $\mathrm{M}(x_0,\ y_0)$ とし、弦を含む直線を $(x_0 + tl,\ y_0 + tn)$ と表す。 $G(x,\ y)$ ${}= Ax^2$ ${}+ Cy^2$ ${}- 1$ として

\displaystyle g(t)

の2つの実数解が2つの交点に対応する。 $\mathrm{M}$ が中点であることは、2つの解の和が $0$ であることと同じなので、解と係数の関係より $Ax_0l$ ${}+ Cy_0n$ ${}= 0$ 、すなわち $\mathrm{M}$ は $d$ 上にある。

(2) $\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$ とすると、定理2 の証明より、 $\mathrm{P}$ における接線の向きは $(Ax_1,\ Cy_1)$ に垂直である。一方、 $\mathrm{P}$ は $d$ 上にあるので $Ax_1l$ ${}+ Cy_1n$ ${}= 0$ 、つまり $(l,\ n)$ も $(Ax_1,\ Cy_1)$ に垂直である。 $(Ax_1,\ Cy_1)$ ${}\neq (0,\ 0)$ なので、接線は $(l,\ n)$ に平行である。（証明終）

$d$ のように、中心を通って、平行な弦の中点を集めた直線を、その弦の向きに対する直径といいます。(1) で $(l,\ n)$ ${}= (1,\ m)$ とすると、本文の公式7 ③ $b^2x_0$ ${}+ a^2my_0$ ${}= 0$ になり、実践問14 の直線 $x$ ${}+ 4y$ ${}= 0$ もこの $d$ です。問14 で、軌跡の両端が接点になったのは (2) のためです。弦の向きに平行な接線の接点は、ちょうど直径の端にあります。

円では $d$ は弦に垂直な直径で、「弦の垂直二等分線は中心を通る」ことに戻ります。楕円では $d$ は一般に弦と垂直ではありませんが、向き $(l,\ n)$ の直径 $d$ と、 $d$ の向きに対する直径は、たがいに相手の向きの弦の中点を集めた直線になっています。このような2本の直径を、たがいに共役な直径といいます（ここでは名前の紹介にとどめます）。

xy の項を含む方程式

一般の2次方程式 $Ax^2$ ${}+ Bxy$ ${}+ Cy^2$ ${}+ Dx$ ${}+ Ey$ ${}+ F$ ${}= 0$ は、座標軸を適当な角だけ回転すると $xy$ の項が消え、定理1 の形になることが知られています。第7章公式5 で、 $xy$ ${}= k$ を $\dfrac{\pi}{4}$ 回転して $x^2$ ${}- y^2$ ${}= 2k$ に直したのは、その一例です。退化していない場合、曲線の種類は $B^2$ ${}- 4AC$ の符号で決まり、負なら楕円、 $0$ なら放物線、正なら双曲線になります（ $B$ ${}= 0$ のときは $-4AC$ の符号で、定理1 と一致します）。証明には行列の知識を使うので、ここでは紹介にとどめます。

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第8章 二次曲線の平行移動と直線

曲線の平行移動

平行移動した二次曲線

一般形から曲線を見分ける

二次曲線と直線の共有点

接線の方程式

傾きが決まった接線と、外の点から引いた接線

弦の中点と長さ

この章のまとめ

基礎確認問題（全5問）

実践問題（全20問）

数学小話コーナー

厳密定義（発展）

2次方程式が表す図形

「接する」の定義

接線はただ1本

極線

平行な弦の中点

xy の項を含む方程式

第8章　二次曲線の平行移動と直線