第23章　準1級 分数関数・無理関数

漸近線 $x$${}= 3,$$y$${}= -2$，値域 $-3$${}\leqq y$${}< -2$

$-2x$${}+ 7$${}= -2(x - 3)$${}+ 1$ なので

漸近線は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 3,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = -2}$ です。

分子の $1$ が正なので、$x$${}< 3$ の範囲でグラフは右下がりです。$x$${}\leqq 2$ では、右端の $x$${}= 2$ で最小値 $y$${}= -1$${}- 2$${}= -3$ をとります。左へ行くと $\dfrac{1}{x - 3}$ は負のまま $0$ に近づくので、$y$ は $-2$ に近づきますが $-2$ にはなりません。

漸近線の側の端には等号が付きません。

$(-5,\ 1)$，$(-3,\ -1)$，$(-1,\ 5)$，$(1,\ 3)$

$2x$${}+ 7$${}= 2(x + 2)$${}+ 3$ なので $y$${}= 2$${}+ \dfrac{3}{x + 2}$ です。$x$ が整数のとき、$y$ が整数になるのは $\dfrac{3}{x + 2}$ が整数のとき、つまり $x$${}+ 2$ が $3$ の約数のときです。

それぞれ $y$${}= 2$${}- 1,$$\ 2$${}- 3,$$\ 2$${}+ 3,$$\ 2$${}+ 1$ なので

帯分数の形に直すと、分子から $x$ が消えて「分母が何の約数か」だけの問題になります。

$x$${}= -3$

$x$${}\neq \pm 2$ として、両辺に $x^2$${}- 4$${}= (x - 2)(x + 2)$ を掛けます。

$x$${}= -3,$$\ 2$ のうち、$x$${}= 2$ は分母を $0$ にする無縁解なので除きます。

確かめ：左辺 $= -\dfrac{3}{5}$${}+ 3$${}= \dfrac{12}{5}$，右辺 $= \dfrac{12}{5}$ です。

$x$${}< 1,$$x$${}= 3$

移項して通分します。

よって $\dfrac{(x - 3)^2}{x - 1}$${}\leqq 0$ です。$x$${}= 3$ のとき左辺は $0$ で成り立ちます。$x$${}\neq 3$ のとき $(x - 3)^2$${}> 0$ なので、$x$${}- 1$${}< 0$ が条件です。

グラフで見ると、$y$${}= \dfrac{x - 5}{x - 1}$${}= 1$${}- \dfrac{4}{x - 1}$ と直線 $y$${}= x$${}- 4$ は点 $(3,\ -1)$ で接しています。接点では曲線が直線の下に回りこまないので、$x$${}= 3$ が1点だけ解に入ります。

$x$${}= 0$

$\sqrt{2x + 9}$${}= 3$${}- x$ と変形します。右辺が $0$ 以上なので $x$${}\leqq 3$。両辺を2乗すると

$x$${}\leqq 3$ をみたすのは $x$${}= 0$ です。

確かめ：$0$${}+ \sqrt{9}$${}= 3$。$x$${}= 8$ は $x$${}- \sqrt{2x + 9}$${}= 3$ のほうの解（無縁解）です。

$x$${}> 9$

$t$${}= \sqrt{x}$ とおくと $t$${}\geqq 0$ で、$x$${}= t^2$ です。

$t$${}\geqq 0$ より $t$${}+ 1$${}> 0$ なので、$t$${}> 3$。つまり $\sqrt{x}$${}> 3$ で

（別解）右辺が正でなければ成り立たないので $x$${}> 3$。このとき両辺を2乗して $4x$${}< x^2$${}- 6x$${}+ 9$，$(x - 1)(x - 9)$${}> 0$ から $x$${}> 9$ です。

$(-3,\ -2)$

$-\sqrt{x + 7}$${}= x$${}+ 1$，つまり $\sqrt{x + 7}$${}= -x$${}- 1$ を解きます。右辺が $0$ 以上なので $x$${}\leqq -1$。両辺を2乗すると

$x$${}\leqq -1$ より $x$${}= -3$，$y$${}= -3$${}+ 1$${}= -2$ です。

$x$${}= 2$ は、放物線の上半分 $y$${}= \sqrt{x + 7}$ と直線の共有点 $(2,\ 3)$ です。

$(4,\ 2)$

$x$${}\geqq 0$ で $\sqrt{x}$${}= \dfrac{10}{x + 1}$ を解きます。$t$${}= \sqrt{x}$（$t$${}\geqq 0$）とおき、両辺に $t^2$${}+ 1$${}> 0$ を掛けると

$t^2$${}+ 2t$${}+ 5$${}= (t + 1)^2$${}+ 4$${}> 0$ なので $t$${}= 2$。$x$${}= 4$，$y$${}= 2$ です。

$y$${}= \sqrt{x}$ は右上がり、$y$${}= \dfrac{10}{x + 1}$ は $x$${}\geqq 0$ で右下がりなので、共有点が1つだけなのはグラフからも分かります。

$-1$${}< x$${}\leqq \dfrac{3 - \sqrt{13}}{2},$$2$${}< x$${}\leqq \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}$

移項して通分する　$x$${}\neq 2,$${}\ -1$ です。$1$ を左辺に移して通分すると、分子は $(x + 1)$${}+ (x - 2)$${}- (x - 2)(x + 1)$${}= -x^2$${}+ 3x$${}+ 1$ なので

$-1$ を掛けて $\dfrac{x^2 - 3x - 1}{(x - 2)(x + 1)}$${}\leqq 0$。$x^2$${}- 3x$${}- 1$${}= 0$ の解を $\alpha$${}= \dfrac{3 - \sqrt{13}}{2}$，$\beta$${}= \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}$ とおくと、不等式は

と同じです。$3$${}< \sqrt{13}$${}< 4$ より $-\dfrac{1}{2}$${}< \alpha$${}< 0$，$3$${}< \beta$${}< \dfrac{7}{2}$ なので、$-1$${}< \alpha$${}< 2$${}< \beta$ の順に並びます。

区間ごとの符号

• $x$${}< -1$：4 つの因数 $x$${}+ 1$，$x$${}- \alpha$，$x$${}- 2$，$x$${}- \beta$ はすべて負で、積は $+$
• $-1$${}< x$${}< \alpha$：$x$${}+ 1$ だけが正で、積は $-$
• $\alpha$${}< x$${}< 2$：$x$${}+ 1$，$x$${}- \alpha$ が正、$x$${}- 2$，$x$${}- \beta$ が負で、積は $+$
• $2$${}< x$${}< \beta$：$x$${}- \beta$ だけが負で、積は $-$
• $\beta$${}< x$：4 つの因数はすべて正で、積は $+$

積が負の区間に、積が $0$ になる $x$${}= \alpha,$$\ \beta$ を加え、$x$${}= -1,$$\ 2$ は除きます。

両辺に $(x - 2)(x + 1)$ をそのまま掛けると、その符号が分からないので不等号の向きが決まりません。

$a$${}< -2$ のとき0個，$a$${}= -2,$$\ 2$ のとき1個，$-2$${}< a$${}< 2,$$2$${}< a$ のとき2個

分母を払う　$x$${}\neq -2$ として両辺に $x$${}+ 2$ を掛けると

もとの方程式の解は、$(\ast)$ の解のうち $x$${}\neq -2$ のものです。

$(\ast)$ の解を調べる

• $a$${}+ 2$${}< 0$ のとき：$(\ast)$ は実数解をもたないので、0個です。
• $a$${}+ 2$${}= 0$ のとき：$x$${}= 0$ だけで、$x$${}\neq -2$ をみたすので1個です。
• $a$${}+ 2$${}> 0$ のとき：$x$${}= \pm\sqrt{a + 2}$ の2つです。このうち $x$${}= -2$ になるのは $\sqrt{a + 2}$${}= 2$，つまり $a$${}= 2$ のときだけです。$a$${}= 2$ なら $x$${}= 2$ の1個、それ以外は2個です。

まとめると

• $a$${}< -2$ のとき $\underline{0\ \text{個}}$
• $a$${}= -2,$$\ 2$ のとき $\underline{1\ \text{個}}$
• $-2$${}< a$${}< 2,$$2$${}< a$ のとき $\underline{2\ \text{個}}$

$a$${}= 2$ のとき左辺は $\dfrac{x + 2}{x + 2}$${}= 1$（$x$${}\neq -2$）で、グラフは「点 $(-2,\ 1)$ を除いた直線 $y$${}= 1$」になります。直線 $y$${}= x$${}- 1$ との共有点は $(2,\ 1)$ だけです。判別式だけで「2個」と答えると、この場合を落とします。

$x$${}= 1,$$\ 5$

根号の中が $0$ 以上なので $x$${}\geqq 1$ です。根号を1つずつ左右に分けます。

両辺とも $0$ 以上なので、2乗しても同じ条件です。

$s$${}= \sqrt{x - 1}$（$s$${}\geqq 0$）とおくと $x$${}- 1$${}= s^2$ なので

$s$${}= 0$ から $x$${}= 1$，$s$${}= 2$ から $x$${}= 5$ です。

確かめ：$x$${}= 1$ で $2$${}- 0$${}= 2$，$x$${}= 5$ で $4$${}- 2$${}= 2$。$x$${}- 1$${}= 2\sqrt{x - 1}$ の両辺を $\sqrt{x - 1}$ で割ると、$x$${}= 1$ の解を落とします。

$a$${}= 3$，$b$${}= 3$

$y$${}= \sqrt{x + a}$ のグラフが直線 $y$${}= x$${}- b$ より上にある範囲が解です。グラフの上下が入れかわるのは、共有点（等号が成り立つ点）と、定義域の端（端点）だけです。

$a$ を決める　解の左端 $x$${}= -3$ は等号を含む（$x$${}= -3$ で不等式が成り立つ）ので、共有点ではありません。よって $x$${}= -3$ は定義域 $x$${}\geqq -a$ の端で、$-a$${}= -3$，$a$${}= 3$ です。

$b$ を決める　解の右端 $x$${}= 6$ は解に含まれず、定義域の内側にあるので、共有点です。

確かめ　$\sqrt{x + 3}$${}> x$${}- 3$ を解きます（定義域 $x$${}\geqq -3$）。

• $x$${}< 3$ のとき：右辺が負なので、$-3$${}\leqq x$${}< 3$ はすべて解です。
• $x$${}\geqq 3$ のとき：両辺を2乗して $x$${}+ 3$${}> x^2$${}- 6x$${}+ 9$，$(x - 1)(x - 6)$${}< 0$ より $1$${}< x$${}< 6$。あわせて $3$${}\leqq x$${}< 6$。

解は $-3$${}\leqq x$${}< 6$ となり、条件に合います。

$x$${}= 6$ の式を2乗して $(6 - b)^2$${}= 9$ とすると $b$${}= 9$ も出ますが、右辺 $6$${}- b$ は $0$ 以上でなければならないので不適です（実際、$b$${}= 9$ では解が $-3$${}\leqq x$${}< 13$ になります）。