第4章　無理関数と方程式・不等式

無理方程式——2 乗して、最後に確かめる

$\sqrt{x + 2}$${}= x$ のように、根号の中に未知数を含む方程式を無理方程式といいます。根号を外すには、両辺を 2 乗します。

$\displaystyle \sqrt{x + 2}$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}\longrightarrow\quad x$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= x^2$

2 乗した式を解くと、$x^2$${}- x$${}- 2$${}= 0$ より $x$${}= 2,$${}\ -1$ です。ところが $x$${}= -1$ をもとの式に代入すると、左辺は $\sqrt{1}$${}= 1$，右辺は $-1$ で、成り立ちません。

原因は 2 乗にあります。$1$${}\neq -1$ なのに、2 乗すると $1^2$${}= (-1)^2$ となって区別がつかなくなります。2 乗は「符号の違い」を消してしまう操作なので、もとの式を満たさない値まで解の候補に入ってくるのです。第2章では分母を払ったときに無縁解が出ましたが、無理方程式では2 乗したときに無縁解が出る、というわけです。

そこで、2 乗する前に「右辺は $0$ 以上でなければならない」という条件を書いておきます。$\sqrt{x + 2}$ は $0$ 以上の値しかとらないので、それと等しい右辺 $x$ も $0$ 以上のはずだからです。

公式1：無理方程式の解き方

$\displaystyle \sqrt{A}$$\displaystyle {}= B$$\displaystyle {}\iff A$$\displaystyle {}= B^2 \ \text{かつ}\ B$$\displaystyle {}\geqq 0$

1. 根号だけを片方の辺に残し、もう一方の辺が $0$ 以上という条件を書く
2. 両辺を 2 乗して、整式の方程式を解く
3. 1. の条件を満たす解だけを残す（もとの式に代入して確かめてもよい）

根号の中が $0$ 以上という条件（$A$${}\geqq 0$）は、書かなくてかまいません。$A$${}= B^2$ なら、$A$ は自動的に $0$ 以上になるからです。根号が 2 つあるときは、根号を 1 つずつ左右に分けてから 2 乗し、残った根号をもう一度 2 乗します。

落とし物センターに「黒い傘をなくしました」と問い合わせると、係の人は黒い傘をいくつも出してきます。色だけで探すと、他人の傘まで候補に入るからです。最後に、持ち手に貼った名前シールを確かめて、ようやく自分の傘が決まります。2 乗は「色だけで探す」段階、$B$${}\geqq 0$ の確認が「名前シールを見る」段階にあたります。

無理方程式は、根号を片側に残して「反対側が $0$ 以上」という条件を書いてから 2 乗し、その条件で解を選べばよいということです。

例題1：無理方程式

次の方程式の解を求めなさい。

(1) $\sqrt{x + 2}$${}= x$

(2) $\sqrt{2x + 7}$${}= x$${}+ 2$

---

【解答】

(1) 右辺が $0$ 以上なので $x$${}\geqq 0$。両辺を 2 乗すると

$\displaystyle x$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= x^2,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle (x - 2)(x + 1)$$\displaystyle {}= 0$

$x$${}= 2,$${}\ -1$ のうち、$x$${}\geqq 0$ を満たすのは $x$${}= 2$ だけです。よって $\underline{x = 2}$

(2) 右辺が $0$ 以上なので $x$${}\geqq -2$。両辺を 2 乗すると

$\displaystyle 2x$$\displaystyle {}+ 7$$\displaystyle {}= (x + 2)^2,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ 2x$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle (x + 3)(x - 1)$$\displaystyle {}= 0$

$x$${}= -3,$$\ 1$ のうち、$x$${}\geqq -2$ を満たすのは $x$${}= 1$ です。よって $\underline{x = 1}$

確かめ：$x$${}= 1$ のとき、左辺 $= \sqrt{9}$${}= 3$，右辺 $= 1$${}+ 2$${}= 3$ で一致します。$x$${}= -3$ では左辺 $= 1$，右辺 $= -1$ となり、成り立ちません。

無縁解の正体——2 乗した式は放物線をまるごと見ている

無縁解がどこから来たのかは、グラフで見るとはっきりします。

方程式 $\sqrt{x + 2}$${}= x$ の解は、第2章 公式2 と同じく、$y$${}= \sqrt{x + 2}$ と直線 $y$${}= x$ の共有点の $x$ 座標です。一方、2 乗した $x$${}+ 2$${}= x^2$ は、「放物線 $y^2$${}= x$${}+ 2$ と直線 $y$${}= x$ の共有点」を探す式になっています。第3章 公式5 で見たように、$y$${}= \sqrt{x + 2}$ は放物線 $y^2$${}= x$${}+ 2$ の上半分だけでした。2 乗した式は、下半分 $y$${}= -\sqrt{x + 2}$ との交点まで拾ってしまいます。

図の白丸 $(-1,\ -1)$ が、無縁解 $x$${}= -1$ の正体です。

公式2：2 乗した方程式と無縁解

$\displaystyle A$$\displaystyle {}= B^2$$\displaystyle {}\iff \sqrt{A}$$\displaystyle {}= B \ \text{または}\ \sqrt{A}$$\displaystyle {}= -B$

2 乗した方程式 $A$${}= B^2$ の解は、$\sqrt{A}$${}= B$ の解と $-\sqrt{A}$${}= B$ の解を合わせたものである。$B$${}\geqq 0$ を満たす解が $\sqrt{A}$${}= B$ の解、$B$${}\leqq 0$ を満たす解が $-\sqrt{A}$${}= B$ の解になる。

グラフでいえば、$y$${}= \sqrt{A}$ が放物線の上半分、$y$${}= -\sqrt{A}$ が下半分で、2 乗した方程式は両方との交点を一度に求めています。無縁解は「間違った答え」ではなく、「下半分の方程式の答え」です。

二段ベッドの部屋で「このベッドで寝ている人」を数えると、上の段の人も下の段の人も数えてしまいます。自分が知りたいのが上の段の人だけなら、最後に「上の段かどうか」を確かめる必要があります。2 乗した方程式は二段ベッド全体を見ていて、$B$${}\geqq 0$ という条件が「上の段」を選ぶ目じるしです。

2 乗した方程式は放物線の上半分と下半分の両方との交点を求めていて、無縁解とは下半分との交点のことだということです。

例題2：上半分と下半分の方程式

次の方程式の解を求めなさい。

(1) $\sqrt{4 - x}$${}= x$${}- 2$

(2) $-\sqrt{4 - x}$${}= x$${}- 2$

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【解答】

(1) と (2) は、2 乗するとどちらも同じ方程式になります。

$\displaystyle 4$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}= (x - 2)^2,$$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}- 3x$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle x(x - 3)$$\displaystyle {}= 0$

より、候補は $x$${}= 0,$$\ 3$ です。

(1) 右辺が $0$ 以上なので $x$${}\geqq 2$。これを満たすのは $x$${}= 3$ で、$\underline{x = 3}$

確かめ：左辺 $= \sqrt{1}$${}= 1$，右辺 $= 1$。

(2) 左辺は $0$ 以下なので、右辺も $x$${}- 2$${}\leqq 0$，すなわち $x$${}\leqq 2$。これを満たすのは $x$${}= 0$ で、$\underline{x = 0}$

確かめ：左辺 $= -\sqrt{4}$${}= -2$，右辺 $= -2$。

(1) の無縁解 $x$${}= 0$ は、(2) のちゃんとした解になっています。公式2 のとおり、2 乗した方程式の 2 つの解が、上半分と下半分に 1 つずつ分かれたわけです。

無理不等式をグラフで解く——区切りは共有点と端点

$\sqrt{x + 2}$${}> x$ のように、根号の中に未知数を含む不等式を無理不等式といいます。第2章と同じく、この不等式の解は「$y$${}= \sqrt{x + 2}$ のグラフが直線 $y$${}= x$ より上にある $x$ の範囲」です。

図1で読みとります。無理関数のグラフには漸近線がない代わりに、端点 $(-2,\ 0)$ があり、$x$${}< -2$ ではグラフそのものがありません。上下が入れかわりうるのは、共有点の $x$${}= 2$ だけです。

たとえば $x$${}= -2$ では曲線上が $y$${}= 0$，直線上が $y$${}= -2$ で曲線が上、$x$${}= 7$ では曲線上が $y$${}= 3$，直線上が $y$${}= 7$ で直線が上です。解は $-2$${}\leqq x$${}< 2$ と分かります（図1の緑の太線）。

公式3：無理不等式をグラフで解く

不等式 $f(x)$${}> g(x)$（$f(x)$ は無理式）の解は、$y$${}= f(x)$ のグラフが $y$${}= g(x)$ のグラフより上にある $x$ の範囲である。

• 考える範囲は $f(x)$ の定義域（端点の $x$ から片側）だけ
• 上下が入れかわりうるのは、2 つのグラフの共有点だけ
• 端点の $x$ は、そこで不等式が成り立てば解に含める

分数関数の漸近線の $x$${}= p$ はいつでも解から除きましたが、無理関数の端点の $x$ は定義域に入っているので、解に含まれることがあります。区切った範囲の中で 1 か所だけ調べれば、その範囲全体の上下が決まるのは第2章と同じです。

お店の混み具合を 2 軒で比べる場面を考えます。片方の店が 10 時開店なら、10 時より前は比べようがありません。比べ始めるのは開店の 10 時ちょうどからで、その時刻の混み具合は比べる対象に入ります。無理関数の端点は、この開店時刻にあたります。

無理不等式は、定義域の中だけを見て、共有点で区切った範囲ごとに曲線が上か下かを読めば解け、端点の $x$ は解に入ることがあるということです。

例題3：グラフを使って不等式を解く

図1を使って、次の不等式の解を求めなさい。

(1) $\sqrt{x + 2}$${}> x$

(2) $\sqrt{x + 2}$${}\leqq x$

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【解答】

定義域は $x$${}\geqq -2$，共有点の $x$ 座標は $2$ です（例題1(1)）。

(1) 曲線が直線より上にあるのは、端点から共有点の手前までです。$x$${}= -2$ では $0$${}> -2$ が成り立つので含めます。

$$\underline{-2 \leqq x < 2}$$

(2) 曲線が直線より下にあるか、共有点になる範囲なので

$$\underline{x \geqq 2}$$

(1) と (2) の解を合わせると、定義域 $x$${}\geqq -2$ 全体になります。$x$${}< -2$ はどちらの不等式でも考えられない値です。

無理不等式を式で解く——右辺の符号で場合分け

グラフで見通しが立ったら、式で解きます。ここでも、先にやってはいけない解き方を見ておきます。

$\sqrt{x + 2}$${}> x$ の両辺をいきなり 2 乗すると $x$${}+ 2$${}> x^2$，すなわち $-1$${}< x$${}< 2$ となり、例題3 の答え $-2$${}\leqq x$${}< 2$ より範囲が狭くなってしまいます。たとえば $x$${}= -1.5$ では、$\sqrt{0.5}$${}> -1.5$ は正しいのに、2 乗した $0.5$${}> 2.25$ は正しくありません。両辺を 2 乗して大小が保たれるのは、両辺が $0$ 以上のときだけだからです（第3章 厳密定義 定理2）。

そこで、右辺 $B$ の符号で場合を分けます。

• $B$${}< 0$ のとき：左辺の $\sqrt{A}$ は $0$ 以上なので、根号の中が $0$ 以上でさえあれば、$\sqrt{A}$${}> B$ はいつでも成り立ちます
• $B$${}\geqq 0$ のとき：両辺が $0$ 以上なので、2 乗して $A$${}> B^2$ と言いかえられます

$\sqrt{A}$${}< B$ のほうは、左辺が $0$ 以上なので、右辺は正でなければなりません。

公式4：無理不等式を式で解く

$\displaystyle \sqrt{A}$$\displaystyle {}> B$$\displaystyle {}\iff (B < 0\ \text{かつ}\ A \geqq 0)$$\displaystyle \qquad \text{または}\ (B \geqq 0\ \text{かつ}\ A > B^2)$$\displaystyle \sqrt{A}$$\displaystyle {}< B$$\displaystyle {}\iff A$$\displaystyle {}\geqq 0 \ \text{かつ}\ B$$\displaystyle {}> 0 \ \text{かつ}\ A$$\displaystyle {}< B^2$

等号つき（$\geqq$，$\leqq$）のときは、$A$${}> B^2$ を $A$${}\geqq B^2$ に、$B$${}> 0$ を $B$${}\geqq 0$ に、$A$${}< B^2$ を $A$${}\leqq B^2$ に変える。

$\sqrt{A}$${}> B$ の「$B$${}\geqq 0$ かつ $A$${}> B^2$」の側に「$A$${}\geqq 0$」を書かないのは、$A$${}> B^2$${}\geqq 0$ から自動的に成り立つからです。一方、$\sqrt{A}$${}< B$ の側では $A$${}< B^2$ から $A$${}\geqq 0$ は出てこないので、定義域の条件をはっきり書きます。

身長が「マイナス $10$ cm 以上」の人なら乗れる、というアトラクションがあったとします。身長はだれでも $0$ 以上なので、この条件なら全員が乗れて、測る必要がありません。身長計の出番が来るのは、制限が「$120$ cm 以上」のように $0$ 以上のときだけです。$\sqrt{A}$${}> B$ で $B$${}< 0$ の場合が「全員乗れる」、$B$${}\geqq 0$ の場合が「身長計で測る」にあたります。

無理不等式を式で解くときは、右辺が負か $0$ 以上かで場合を分け、両辺が $0$ 以上と分かっている場合だけ 2 乗すればよいということです。

例題4：無理不等式を式で解く

次の不等式の解を求めなさい。

(1) $\sqrt{x + 2}$${}> x$

(2) $\sqrt{3 - x}$${}< x$${}- 1$

---

【解答】

(1) 公式4 で、$A$${}= x$${}+ 2$，$B$${}= x$ です。

• $x$${}< 0$ のとき：$x$${}+ 2$${}\geqq 0$ と合わせて $-2$${}\leqq x$${}< 0$
• $x$${}\geqq 0$ のとき：$x$${}+ 2$${}> x^2$ より $(x - 2)(x + 1)$${}< 0$，$-1$${}< x$${}< 2$。$x$${}\geqq 0$ と合わせて $0$${}\leqq x$${}< 2$

2 つの範囲を合わせて

$$\underline{-2 \leqq x < 2}$$

例題3(1) の、グラフで読んだ答えと一致します。

(2) 公式4 の 3 つの条件を順に書きます。

$\displaystyle 3$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}\geqq 0 \ \text{より}\ x$$\displaystyle {}\leqq 3,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}> 0 \ \text{より}\ x$$\displaystyle {}> 1$$\displaystyle 3$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}< (x - 1)^2 \ \text{より}\ x^2$$\displaystyle {}- x$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}> 0,$$\displaystyle (x - 2)(x + 1)$$\displaystyle {}> 0,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}< -1,$$\displaystyle \ 2$$\displaystyle {}< x$

3 つを同時に満たすのは

$$\underline{2 < x \leqq 3}$$

$x$${}= 2$ では両辺とも $1$ で等しいので含まず、$x$${}= 3$ では左辺 $0$，右辺 $2$ で成り立つので含みます。

共有点の個数——端点と接点が境目

最後に、文字 $k$ を含む方程式 $\sqrt{x + 1}$${}= x$${}+ k$ の実数解の個数を調べます。これは、曲線 $y$${}= \sqrt{x + 1}$ と、傾き $1$ の直線 $y$${}= x$${}+ k$ の共有点の個数です。

直線を上から下へずらしていくと、共有点は 0 個 → 1 個（接する）→ 2 個 → 端点を通る（2 個）→ 1 個と変わります。第2章 公式5 では判別式だけで個数が決まりましたが、無理関数のグラフは放物線の半分なので、直線が端点を通るときも境目になります。直線が端点より右下を通るようになると、放物線との 2 つの交点のうち片方が下半分へ移ってしまうからです。

公式5：無理関数のグラフと直線の共有点の個数

$y$${}= \sqrt{A}$ のグラフと直線 $y$${}= B$ の共有点の個数は、2 乗した 2 次方程式 $A$${}= B^2$ の実数解のうち、$B$${}\geqq 0$ を満たすものの個数に等しい。直線を平行移動しながら数えるときの境目は

• 直線がグラフに接するとき（2 乗した方程式の判別式 $D$${}= 0$）
• 直線がグラフの端点を通るとき

の 2 つである。

判別式だけで数えると、下半分との交点まで数えてしまいます。グラフを描いて、接点と端点の 2 か所で直線の位置を確かめるのが確実です。

庭の植え込みが、地面の途中から始まる坂の形に並んでいるとします。斜めに張った洗濯ロープを、同じ傾きのまま上から少しずつ下げていくと、ロープはまず植え込みの肩にかすめるように触れ、次に 2 か所で植え込みを横切ります。さらに下げて植え込みの始まりの株を越えると、横切るのは 1 か所だけになります。かすめる瞬間と、始まりの株を越える瞬間の 2 つが、数が変わる境目です。

無理関数のグラフと直線の共有点の個数は、接する位置（$D$${}= 0$）と端点を通る位置の 2 つを境目にして、直線を動かしながら数えればよいということです。

例題5：実数解の個数

$k$ を定数とします。方程式 $\sqrt{x + 1}$${}= x$${}+ k$ の異なる実数解の個数を、$k$ の値によって場合分けして求めなさい。

---

【解答】

実数解の個数は、$y$${}= \sqrt{x + 1}$ のグラフと直線 $y$${}= x$${}+ k$ の共有点の個数です（図2）。

接するとき　両辺を 2 乗すると $x$${}+ 1$${}= (x + k)^2$，すなわち

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ (2k - 1)x$$\displaystyle {}+ k^2$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle \cdots\cdots (\ast)$

判別式を $D$ とすると

$\displaystyle D$$\displaystyle {}= (2k - 1)^2$$\displaystyle {}- 4(k^2 - 1)$$\displaystyle {}= -4k$$\displaystyle {}+ 5$

$D$${}= 0$ より $k$${}= \dfrac{5}{4}$。このとき $(\ast)$ の重解は $x$${}= -\dfrac{2k - 1}{2}$${}= -\dfrac{3}{4}$ で、$x$${}+ k$${}= \dfrac{1}{2}$${}\geqq 0$ なので、たしかに上半分と接しています（接点 $\left(-\dfrac{3}{4},\ \dfrac{1}{2}\right)$）。

端点を通るとき　直線が端点 $(-1,\ 0)$ を通るのは、$0$${}= -1$${}+ k$ より $k$${}= 1$ のときです。このとき $(\ast)$ は $x^2$${}+ x$${}= 0$ で、$x$${}= 0,$${}\ -1$ はどちらも $x$${}+ 1$${}\geqq 0$ を満たすので、共有点は 2 個です。

直線を上から下へ動かすと、図2のように個数が変わります。

$\displaystyle \underline{k > \frac{5}{4} \ \text{のとき}\ 0 \text{ 個}},$$\displaystyle \underline{k = \frac{5}{4} \ \text{のとき}\ 1 \text{ 個}},$$\displaystyle \underline{1 \leqq k < \frac{5}{4} \ \text{のとき}\ 2 \text{ 個}},$$\displaystyle \underline{k < 1 \ \text{のとき}\ 1 \text{ 個}}$

$k$${}< 1$ のとき、たとえば $k$${}= \dfrac{1}{2}$ では $(\ast)$ は $x^2$${}= \dfrac{3}{4}$ で、$x$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は $x$${}+ k$${}> 0$ を満たしますが、$x$${}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は $x$${}+ k$${}< 0$ なので無縁解です。判別式は正でも、共有点は 1 個しかありません。

この章のまとめ——3 段の手順（無理関数版）

第1〜4章で、分数関数と無理関数のグラフ、それを使った方程式・不等式がそろいました。次の第5章では、$y$${}= \sqrt{x}$ と $y$${}= x^2$（$x$${}\geqq 0$）のように「$x$ と $y$ の役割を入れかえた関数」の関係を、逆関数として正面から扱います。