目次 ／ 数検対策（準2級・2級・準1級） ／ 数検準1級

第25章　準1級 微分法

—— 微分積分 第11〜13章の「いろいろな関数の微分とその応用」を、数検準1級の出題形式で ——

数検準1級の「微分法」の類題です。積・商・合成関数の微分、三角関数・指数関数・対数関数の導関数、対数微分法、高次導関数、陰関数と媒介変数表示の微分から、増減・凹凸・漸近線、方程式や不等式への応用、速度・加速度、時間に対する変化率、近似式までを20問にまとめました。2次（数理技能）では、増減表と端の極限を答案に書くこと、不等式を「差の関数の最小値」で示すこと、平均値の定理の $c$ の範囲からはさみうちに持ちこむことを練習します。積分法は第26章で扱います。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（微分積分 第11〜13章）
  • 積 (fg)′(fg)'=f′g{}= f'g+fg′{}+ fg'，商 (fg)′\left(\dfrac{f}{g}\right)'=f′g−fg′g2{}= \dfrac{f'g - fg'}{g^2}，合成関数 dydx\dfrac{dy}{dx}=dydu⋅dudx{}= \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}。根号は (  )12(\ \ )^{\frac{1}{2}} の形に直してから微分します。
  • (sin⁡x)′(\sin x)'=cos⁡x{}= \cos x，(cos⁡x)′(\cos x)'=−sin⁡x{}= -\sin x，(tan⁡x)′(\tan x)'=1cos⁡2x{}= \dfrac{1}{\cos^2 x}，(ex)′(e^x)'=ex{}= e^x，(ax)′(a^x)'=axlog⁡a{}= a^x\log a，(log⁡∣x∣)′(\log|x|)'=1x{}= \dfrac{1}{x}，(log⁡ax)′(\log_a x)'=1xlog⁡a{}= \dfrac{1}{x\log a}。xsin⁡xx^{\sin x} のように底にも指数にも xx があるときは、両辺の自然対数をとってから微分します（対数微分法）。
  • 陰関数は yy を xx の関数とみて両辺を微分し、y2y^2 なら 2y⋅y′2y \cdot y' とします。媒介変数表示なら dydx\dfrac{dy}{dx}=dy/dtdx/dt{}= \dfrac{dy/dt}{dx/dt}。
  • y′′y'' の符号で凹凸を調べ、符号が変わる点が変曲点です。漸近線は、式を「直線 ＋ 00 に近づく部分」に分けて見つけます。
  • 平均値の定理 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}=f′(c){}= f'(c)，aa<c{}< c<b{}< b。直線上の速度 vv=dxdt{}= \dfrac{dx}{dt}，平面上の速さ (dxdt)2+(dydt)2\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}。近似式 f(a+h)f(a + h)≒f(a){}\fallingdotseq f(a)+f′(a)h{}+ f'(a)h。

この章の問題は、「公式どおりに正しく微分する計算力」と、「増減表・端の極限・差の関数で、答案の筋を通す記述力」の2本柱です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

yy=x2+12x−1{}= \dfrac{x^2 + 1}{2x - 1} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2(x2−x−1)(2x−1)2{}= \dfrac{2(x^2 - x - 1)}{(2x - 1)^2}

解説

商の微分法で、分子は「分子の微分 × 分母 − 分子 × 分母の微分」です。

y′\displaystyle y'=2x(2x−1)−(x2+1)⋅2(2x−1)2\displaystyle {}= \frac{2x(2x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 2}{(2x - 1)^2}=4x2−2x−2x2−2(2x−1)2\displaystyle {}= \frac{4x^2 - 2x - 2x^2 - 2}{(2x - 1)^2}=2(x2−x−1)(2x−1)2‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2(x^2 - x - 1)}{(2x - 1)^2}}

分母の微分が 22 なので、(x2+1)(x^2 + 1) に 22 を掛けるのを忘れないようにします。

自己採点：
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問2　★

xx>0{}> 0 のとき、yy=x2log⁡x{}= x^2\log x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=x(2log⁡x+1){}= x(2\log x + 1)

解説

積の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=2x⋅log⁡x\displaystyle {}= 2x \cdot \log x+x2⋅1x\displaystyle {}+ x^2 \cdot \frac{1}{x}=2xlog⁡x\displaystyle {}= 2x\log x+x\displaystyle {}+ x=x(2log⁡x+1)‾\displaystyle {}= \underline{x(2\log x + 1)}
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問3　★

yy=e−2xsin⁡x{}= e^{-2x}\sin x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=e−2x(cos⁡x−2sin⁡x){}= e^{-2x}(\cos x - 2\sin x)

解説

(e−2x)′(e^{-2x})'=e−2x⋅(−2x)′{}= e^{-2x} \cdot (-2x)'=−2e−2x{}= -2e^{-2x} です（合成関数の微分法）。積の微分法より

y′\displaystyle y'=−2e−2xsin⁡x\displaystyle {}= -2e^{-2x}\sin x+e−2xcos⁡x\displaystyle {}+ e^{-2x}\cos x=e−2x(cos⁡x−2sin⁡x)‾\displaystyle {}= \underline{e^{-2x}(\cos x - 2\sin x)}
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問4　★

yy=1x2+4{}= \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=−x(x2+4)x2+4{}= -\dfrac{x}{(x^2 + 4)\sqrt{x^2 + 4}}

解説

yy=(x2+4)−12{}= (x^2 + 4)^{-\frac{1}{2}} と指数の形に直して、合成関数の微分法を使います。

y′\displaystyle y'=−12(x2+4)−32⋅2x\displaystyle {}= -\frac{1}{2}(x^2 + 4)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x=−x(x2+4)32\displaystyle {}= -\frac{x}{(x^2 + 4)^{\frac{3}{2}}}=−x(x2+4)x2+4‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{x}{(x^2 + 4)\sqrt{x^2 + 4}}}
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問5　★

00<x{}< x<π2{}< \dfrac{\pi}{2} のとき、yy=log⁡(cos⁡x){}= \log(\cos x) の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=−tan⁡x{}= -\tan x

解説

「中身の微分 ÷ 中身」です。00<x{}< x<π2{}< \dfrac{\pi}{2} では cos⁡x\cos x>0{}> 0 なので、真数は正です。

y′\displaystyle y'=(cos⁡x)′cos⁡x\displaystyle {}= \frac{(\cos x)'}{\cos x}=−sin⁡xcos⁡x\displaystyle {}= \frac{-\sin x}{\cos x}=−tan⁡x‾\displaystyle {}= \underline{-\tan x}
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問6　★

yy=log⁡2(x2+3){}= \log_2(x^2 + 3) の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2x(x2+3)log⁡2{}= \dfrac{2x}{(x^2 + 3)\log 2}

解説

底の変換公式で yy=log⁡(x2+3)log⁡2{}= \dfrac{\log(x^2 + 3)}{\log 2} と自然対数に直します。log⁡2\log 2 は定数なので

y′\displaystyle y'=1log⁡2⋅2xx2+3\displaystyle {}= \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 3}=2x(x2+3)log⁡2‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2x}{(x^2 + 3)\log 2}}

底が ee でない対数では、最後に log⁡(底)\log(\text{底}) で割る分が残ります。

自己採点：
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問7　★

媒介変数 tt を用いて xx=t2{}= t^2，yy=t3{}= t^3−3t{}- 3t と表された曲線について、tt=2{}= 2 に対応する点における接線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

yy=94x{}= \dfrac{9}{4}x−7{}- 7

解説

dxdt\dfrac{dx}{dt}=2t{}= 2t，dydt\dfrac{dy}{dt}=3t2{}= 3t^2−3{}- 3 なので

dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=3t2−32t\displaystyle {}= \frac{3t^2 - 3}{2t}

tt=2{}= 2 のとき、点は (4, 2)(4,\ 2)，傾きは 12−34\dfrac{12 - 3}{4}=94{}= \dfrac{9}{4} です。

y\displaystyle y−2\displaystyle {}- 2=94(x−4)\displaystyle {}= \frac{9}{4}(x - 4)より\displaystyle \text{より}y=94x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = \frac{9}{4}x}−7‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 7}
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問8　★

1次の近似式を用いて、27.543\sqrt[3]{27.54} の近似値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

3.023.02

解説

f(x)f(x)=x3{}= \sqrt[3]{x}=x13{}= x^{\frac{1}{3}} とすると、f′(x)f'(x)=13x−23{}= \dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} なので f′(27)f'(27)=13⋅19{}= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{9}=127{}= \dfrac{1}{27} です。aa=27{}= 27，hh=0.54{}= 0.54 として

27.543\displaystyle \sqrt[3]{27.54}≒f(27)\displaystyle {}\fallingdotseq f(27)+f′(27)⋅0.54\displaystyle {}+ f'(27) \cdot 0.54=3\displaystyle {}= 3+0.5427\displaystyle {}+ \frac{0.54}{27}=3.02‾\displaystyle {}= \underline{3.02}

近くにある「きれいな値」2727=33{}= 3^3 を基準にとるのがこつです。

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問9　★★

曲線 x3x^3+y3{}+ y^3=9{}= 9 について、yy≠0{}\neq 0 のとき dydx\dfrac{dy}{dx} を xx，yy で表しなさい。また、この曲線上の点 (1, 2)(1,\ 2) における接線の方程式を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

dydx\dfrac{dy}{dx}=−x2y2{}= -\dfrac{x^2}{y^2}，接線 yy=−14x{}= -\dfrac{1}{4}x+94{}+ \dfrac{9}{4}

解説

yy を xx の関数とみて、両辺を xx で微分します。y3y^3 は合成関数の微分法で 3y2⋅dydx3y^2 \cdot \dfrac{dy}{dx} になります。

3x2\displaystyle 3x^2+3y2dydx\displaystyle {}+ 3y^2\frac{dy}{dx}=0\displaystyle {}= 0

yy≠0{}\neq 0 のとき

dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}=−x2y2\displaystyle {}= -\frac{x^2}{y^2}

点 (1, 2)(1,\ 2) は 11+8{}+ 8=9{}= 9 を満たすので曲線上にあり、そこでの傾きは −14-\dfrac{1}{4} です。接線は

y\displaystyle y−2\displaystyle {}- 2=−14(x−1)\displaystyle {}= -\frac{1}{4}(x - 1)より\displaystyle \text{より}y=−14x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}y = -\frac{1}{4}x}+94‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{9}{4}}

答案では「点が曲線上にあること」を一言確かめておくと丁寧です。

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問10　★★

xx>0{}> 0 のとき、yy=xsin⁡x{}= x^{\sin x} の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=xsin⁡x(cos⁡xlog⁡x+sin⁡xx){}= x^{\sin x}\left(\cos x\log x + \dfrac{\sin x}{x}\right)

解説

底にも指数にも xx があるので、(xn)′(x^n)'=nxn−1{}= nx^{n-1} も (ax)′(a^x)'=axlog⁡a{}= a^x\log a も使えません。xx>0{}> 0 より yy>0{}> 0 なので、両辺の自然対数をとります。

log⁡y\displaystyle \log y=sin⁡x⋅log⁡x\displaystyle {}= \sin x \cdot \log x

両辺を xx で微分します（左辺は合成関数の微分法で y′y\dfrac{y'}{y}）。

y′y\displaystyle \frac{y'}{y}=cos⁡xlog⁡x\displaystyle {}= \cos x\log x+sin⁡x⋅1x\displaystyle {}+ \sin x \cdot \frac{1}{x}

両辺に yy=xsin⁡x{}= x^{\sin x} を掛けて

y′=xsin⁡x(cos⁡xlog⁡x+sin⁡xx)‾\underline{y' = x^{\sin x}\left(\cos x\log x + \frac{\sin x}{x}\right)}
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問11　★★

0!0!=1{}= 1 とする。xx>−1{}> -1 で定義された関数 yy=log⁡(1+x){}= \log(1 + x) の第 nn 次導関数 y(n)y^{(n)} を求め、それが正しいことを数学的帰納法で示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

y(n)y^{(n)}=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n{}= \dfrac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n}

解説

何回か微分して規則を見つけます。

y′\displaystyle y'=11+x,\displaystyle {}= \frac{1}{1 + x},y′′\displaystyle y''=−1(1+x)2,\displaystyle {}= -\frac{1}{(1 + x)^2},y′′′\displaystyle y'''=2(1+x)3,\displaystyle {}= \frac{2}{(1 + x)^3},y(4)\displaystyle y^{(4)}=−2⋅3(1+x)4\displaystyle {}= -\frac{2 \cdot 3}{(1 + x)^4}

符号が交互に変わり、分子は (n−1)!(n - 1)! になっているので、y(n)y^{(n)}=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n{}= \dfrac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n} …① と予想できます。

[1] nn=1{}= 1 のとき、①の右辺は 1⋅0!1+x\dfrac{1 \cdot 0!}{1 + x}=11+x{}= \dfrac{1}{1 + x} で、y′y' に一致します。

[2] nn=k{}= k のとき①が成り立つと仮定すると、y(k)y^{(k)}=(−1)k−1(k−1)! (1+x)−k{}= (-1)^{k-1}(k - 1)!\,(1 + x)^{-k} です。これを微分して

y(k+1)\displaystyle y^{(k+1)}=(−1)k−1(k−1)!\displaystyle {}= (-1)^{k-1}(k - 1)!⋅(−k)(1+x)−k−1\displaystyle \qquad {}\cdot (-k)(1 + x)^{-k-1}=(−1)kk!(1+x)k+1\displaystyle {}= \frac{(-1)^k k!}{(1 + x)^{k+1}}

これは①で nn=k{}= k+1{}+ 1 としたものです。

[1]，[2] より、すべての自然数 nn について

y(n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n‾\underline{y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n - 1)!}{(1 + x)^n}}

微分するたびに、指数の −k-k が前に出て符号と階乗を1つずつ進めるのが、帰納法の中心です。

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問12　★★

関数 f(x)f(x)=(x2−3)e−x{}= (x^2 - 3)e^{-x} の極値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=−1{}= -1 で極小値 −2e-2e，xx=3{}= 3 で極大値 6e3\dfrac{6}{e^3}

解説

積の微分法より

f′(x)\displaystyle f'(x)=2xe−x\displaystyle {}= 2xe^{-x}−(x2−3)e−x\displaystyle {}- (x^2 - 3)e^{-x}=−(x2−2x−3)e−x\displaystyle {}= -(x^2 - 2x - 3)e^{-x}=−(x+1)(x−3)e−x\displaystyle {}= -(x + 1)(x - 3)e^{-x}

e−xe^{-x}>0{}> 0 なので、符号は −(x+1)(x−3)-(x + 1)(x - 3) で決まります。

xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots33⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-00++00−-
f(x)f(x)↘\searrow極小↗\nearrow極大↘\searrow

f(−1)f(-1)=(1−3)e1{}= (1 - 3)e^{1}=−2e{}= -2e，f(3)f(3)=(9−3)e−3{}= (9 - 3)e^{-3}=6e3{}= \dfrac{6}{e^3} です。

x=−1 で極小値‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = -1\ \text{で極小値}} −2e,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}\ -2e,}x=3 で極大値 6e3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad x = 3\ \text{で極大値}\ \frac{6}{e^3}}

−(x+1)(x−3)-(x + 1)(x - 3) の先頭のマイナスを落とすと、増減が全部逆になります。

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問13　★★

曲線 yy=xe−x22{}= xe^{-\frac{x^2}{2}} の凹凸を調べ、変曲点の座標を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx<−3{}< -\sqrt{3}，00<x{}< x<3{}< \sqrt{3} で上に凸、−3-\sqrt{3}<x{}< x<0{}< 0，xx>3{}> \sqrt{3} で下に凸。変曲点は (−3, −3ee)\left(-\sqrt{3},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{e\sqrt{e}}\right)，(0, 0)(0,\ 0)，(3, 3ee)\left(\sqrt{3},\ \dfrac{\sqrt{3}}{e\sqrt{e}}\right)

解説

(e−x22)′\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)'=−xe−x22{}= -xe^{-\frac{x^2}{2}} です。積の微分法より

y′\displaystyle y'=e−x22\displaystyle {}= e^{-\frac{x^2}{2}}+x⋅(−xe−x22)\displaystyle {}+ x \cdot \left(-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right)=(1−x2)e−x22\displaystyle {}= (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}

もう一度微分して

y′′\displaystyle y''=−2xe−x22\displaystyle {}= -2xe^{-\frac{x^2}{2}}+(1−x2)(−xe−x22)\displaystyle {}+ (1 - x^2)\left(-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right)=(x3−3x)e−x22\displaystyle {}= (x^3 - 3x)e^{-\frac{x^2}{2}}=x(x+3)(x−3)e−x22\displaystyle {}= x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})e^{-\frac{x^2}{2}}
xx⋯\cdots−3-\sqrt{3}⋯\cdots00⋯\cdots3\sqrt{3}⋯\cdots
y′′y''−-00++00−-00++
凹凸上に凸変曲点下に凸変曲点上に凸変曲点下に凸

xx=±3{}= \pm\sqrt{3} のとき yy=±3 e−32{}= \pm\sqrt{3}\,e^{-\frac{3}{2}}=±3ee{}= \pm\dfrac{\sqrt{3}}{e\sqrt{e}}（複号同順）です。

  • 上に凸：xx<−3{}< -\sqrt{3}，00<x{}< x<3{}< \sqrt{3}
  • 下に凸：−3-\sqrt{3}<x{}< x<0{}< 0，xx>3{}> \sqrt{3}
変曲点 (−3, −3ee),‾\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\text{変曲点}\ \left(-\sqrt{3},\ -\frac{\sqrt{3}}{e\sqrt{e}}\right),} (0, 0),‾\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\ (0,\ 0),} (3, 3ee)‾\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\ \left(\sqrt{3},\ \frac{\sqrt{3}}{e\sqrt{e}}\right)}

f(−x)f(-x)=−f(x){}= -f(x) なので、グラフは原点に関して対称です。変曲点が原点対称に並んでいることで検算できます。

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問14　★★

関数 yy=x2−2x+3x−1{}= \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} のグラフの漸近線と、この関数の極値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

漸近線 xx=1{}= 1，yy=x{}= x−1{}- 1。xx=1{}= 1−2{}- \sqrt{2} で極大値 −22-2\sqrt{2}，xx=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} で極小値 222\sqrt{2}

解説

漸近線　分子を分母で割ると x2x^2−2x{}- 2x+3{}+ 3=(x−1)2{}= (x - 1)^2+2{}+ 2 なので

y\displaystyle y=x\displaystyle {}= x−1\displaystyle {}- 1+2x−1\displaystyle {}+ \frac{2}{x - 1}

lim⁡x→1+0y\displaystyle \lim_{x \to 1 + 0}y=∞\displaystyle {}= \infty，lim⁡x→1−0y\displaystyle \lim_{x \to 1 - 0}y=−∞\displaystyle {}= -\infty より、直線 xx=1{}= 1 は漸近線です。また xx→±∞{}\to \pm\infty のとき yy−(x−1){}- (x - 1)=2x−1{}= \dfrac{2}{x - 1}→0{}\to 0 なので、直線 yy=x{}= x−1{}- 1 も漸近線です。

極値

y′\displaystyle y'=1\displaystyle {}= 1−2(x−1)2\displaystyle {}- \frac{2}{(x - 1)^2}=(x−1)2−2(x−1)2\displaystyle {}= \frac{(x - 1)^2 - 2}{(x - 1)^2}

y′y'=0{}= 0 とすると xx−1{}- 1=±2{}= \pm\sqrt{2}，つまり xx=1{}= 1±2{}\pm \sqrt{2} です。

xx⋯\cdots1−21 - \sqrt{2}⋯\cdots(1)(1)⋯\cdots1+21 + \sqrt{2}⋯\cdots
y′y'++00−-−-00++
yy↗\nearrow極大↘\searrow↘\searrow極小↗\nearrow

xx=1{}= 1−2{}- \sqrt{2} のとき yy=−2{}= -\sqrt{2}+2−2{}+ \dfrac{2}{-\sqrt{2}}=−22{}= -2\sqrt{2}，xx=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} のとき yy=2{}= \sqrt{2}+22{}+ \dfrac{2}{\sqrt{2}}=22{}= 2\sqrt{2} です。

漸近線 x=1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}\text{漸近線}\ x = 1,} y=x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}\ y = x}−1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}{}- 1,}x=1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}\quad x = 1}−2 で極大値‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}{}- \sqrt{2}\ \text{で極大値}} −22,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}{}\ -2\sqrt{2},}  x=1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}\ \ x = 1}+2 で極小値 22‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1505em}{}+ \sqrt{2}\ \text{で極小値}\ 2\sqrt{2}}

極大値が極小値より小さくなっていますが、間に xx=1{}= 1 の切れ目があるので矛盾ではありません。

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問15　★★

座標平面上を動く点 P の時刻 t (t>0)t\ (t > 0) における座標が xx=cos⁡t{}= \cos t+tsin⁡t{}+ t\sin t，yy=sin⁡t{}= \sin t−tcos⁡t{}- t\cos t で表されるとき、時刻 tt における P の速さと加速度の大きさを、それぞれ tt の式で求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

速さ tt，加速度の大きさ t2+1\sqrt{t^2 + 1}

解説

速度　積の微分法で

dxdt\displaystyle \frac{dx}{dt}=−sin⁡t\displaystyle {}= -\sin t+(sin⁡t+tcos⁡t)\displaystyle {}+ (\sin t + t\cos t)=tcos⁡t,\displaystyle {}= t\cos t,dydt\displaystyle \frac{dy}{dt}=cos⁡t\displaystyle {}= \cos t−(cos⁡t−tsin⁡t)\displaystyle {}- (\cos t - t\sin t)=tsin⁡t\displaystyle {}= t\sin t

速さは、tt>0{}> 0 に注意して

∣v⃗∣\displaystyle |\vec{v}|=t2cos⁡2t+t2sin⁡2t\displaystyle {}= \sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin^2 t}=t2\displaystyle {}= \sqrt{t^2}=t\displaystyle {}= t

加速度　もう一度微分して

d2xdt2\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=cos⁡t\displaystyle {}= \cos t−tsin⁡t,\displaystyle {}- t\sin t,d2ydt2\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=sin⁡t\displaystyle {}= \sin t+tcos⁡t\displaystyle {}+ t\cos t ∣α⃗∣2\displaystyle |\vec{\alpha}|^2=(cos⁡t−tsin⁡t)2\displaystyle {}= (\cos t - t\sin t)^2+(sin⁡t+tcos⁡t)2\displaystyle {}+ (\sin t + t\cos t)^2=(cos⁡2t+sin⁡2t)\displaystyle {}= (\cos^2 t + \sin^2 t)+t2(sin⁡2t+cos⁡2t)\displaystyle {}+ t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)=1\displaystyle {}= 1+t2\displaystyle {}+ t^2

（−2tsin⁡tcos⁡t-2t\sin t\cos t と +2tsin⁡tcos⁡t+2t\sin t\cos t が打ち消し合います。）

速さ t,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.2567em}\text{速さ}\ t,}加速度の大きさ t2+1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.2567em}\quad \text{加速度の大きさ}\ \sqrt{t^2 + 1}}

この曲線は、半径 11 の円に巻きつけた糸をぴんと張ったままほどいていくときの、糸の先の軌跡です。速さが時刻に比例して増えていきます。

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問16　★★

底面の半径が 3 cm3\ \mathrm{cm}，高さが 6 cm6\ \mathrm{cm} の直円錐の形をした容器を、頂点を下にして軸が鉛直になるように置きます。この容器に毎秒 2π cm32\pi\ \mathrm{cm}^3 の割合で水を注ぐとき、水の深さが 4 cm4\ \mathrm{cm} になった瞬間の、水面の高さが上がる速さと、水面の面積が増える速さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

水面の高さ：毎秒 12 cm\dfrac{1}{2}\ \mathrm{cm}，水面の面積：毎秒 π cm2\pi\ \mathrm{cm}^2

解説

tt 秒後の水の深さを hh，水面の半径を rr，水の体積を VV，水面の面積を SS とします。水の部分は容器と相似な円錐なので r:hr : h=3:6{}= 3 : 6，つまり rr=h2{}= \dfrac{h}{2} です。

V\displaystyle V=13π(h2)2h\displaystyle {}= \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{2}\right)^2 h=π12h3,\displaystyle {}= \frac{\pi}{12}h^3,S\displaystyle S=π(h2)2\displaystyle {}= \pi\left(\frac{h}{2}\right)^2=π4h2\displaystyle {}= \frac{\pi}{4}h^2

高さ　VV を tt で微分します（合成関数の微分法）。

dVdt\displaystyle \frac{dV}{dt}=π4h2⋅dhdt\displaystyle {}= \frac{\pi}{4}h^2 \cdot \frac{dh}{dt}

dVdt\dfrac{dV}{dt}=2π{}= 2\pi，hh=4{}= 4 を代入すると 2π2\pi=4π⋅dhdt{}= 4\pi \cdot \dfrac{dh}{dt} より、dhdt\dfrac{dh}{dt}=12{}= \dfrac{1}{2} です。

面積

dSdt\displaystyle \frac{dS}{dt}=π2h⋅dhdt\displaystyle {}= \frac{\pi}{2}h \cdot \frac{dh}{dt}=π2⋅4⋅12\displaystyle {}= \frac{\pi}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}=π\displaystyle {}= \pi 水面の高さ：毎秒 12 cm,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\text{水面の高さ：毎秒}\ \frac{1}{2}\ \mathrm{cm},}水面の面積：毎秒 π cm2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \text{水面の面積：毎秒}\ \pi\ \mathrm{cm}^2}

hh が決まれば rr も決まるので、VV と SS を hh だけの式にしてから tt で微分します。

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問17　★★★

kk を定数とするとき、方程式 xlog⁡xx\log x=k{}= k の実数解の個数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

kk<−1e{}< -\dfrac{1}{e} のとき0個、kk=−1e{}= -\dfrac{1}{e} のとき1個、−1e-\dfrac{1}{e}<k{}< k<0{}< 0 のとき2個、kk≧0{}\geqq 0 のとき1個

解説

真数条件より xx>0{}> 0 です。f(x)f(x)=xlog⁡x (x>0){}= x\log x\ (x > 0) とおき、曲線 yy=f(x){}= f(x) と直線 yy=k{}= k の共有点の個数を調べます。

f′(x)\displaystyle f'(x)=log⁡x\displaystyle {}= \log x+x⋅1x\displaystyle {}+ x \cdot \frac{1}{x}=log⁡x\displaystyle {}= \log x+1\displaystyle {}+ 1

f′(x)f'(x)=0{}= 0 とすると log⁡x\log x=−1{}= -1，xx=1e{}= \dfrac{1}{e} です。

xx(0)(0)⋯\cdots1e\dfrac{1}{e}⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-00++
f(x)f(x)↘\searrow極小 −1e-\dfrac{1}{e}↗\nearrow

端での様子を調べます。

  • xx→+0{}\to +0：lim⁡x→+0xlog⁡x\displaystyle \lim_{x \to +0}x\log x=0\displaystyle {}= 0（xx=1s{}= \dfrac{1}{s} とおくと −log⁡ss-\dfrac{\log s}{s}，ss→∞{}\to \infty で 00）。00<x{}< x<1{}< 1 では log⁡x\log x<0{}< 0 なので f(x)f(x)<0{}< 0 で、f(x)f(x) は下から 00 に近づき、00 にはなりません。
  • xx→∞{}\to \infty：xx→∞{}\to \infty，log⁡x\log x→∞{}\to \infty なので f(x)f(x)→∞{}\to \infty
  • f(1)f(1)=0{}= 0 なので、xx>1e{}> \dfrac{1}{e} の部分で曲線は xx=1{}= 1 で xx 軸を横切ります。

したがって、00<x{}< x≦1e{}\leqq \dfrac{1}{e} では f(x)f(x) は 00 未満の値から −1e-\dfrac{1}{e} まで減り、xx≧1e{}\geqq \dfrac{1}{e} では −1e-\dfrac{1}{e} から ∞\infty まで増えます。直線 yy=k{}= k との共有点を数えると

k<−1e のとき 0 個,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}k < -\frac{1}{e}\ \text{のとき}\ 0\ \text{個},}  k=−1e のとき 1 個,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \ k = -\frac{1}{e}\ \text{のとき}\ 1\ \text{個},}  −1e<k<0 のとき 2 個,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}\ \ -\frac{1}{e} < k < 0\ \text{のとき}\ 2\ \text{個},}  k≧0 のとき 1 個‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \ k \geqq 0\ \text{のとき}\ 1\ \text{個}}

kk=0{}= 0 のときに2個と数えないことが要点です。左端の 00 は「近づくだけで届かない値」なので、共有点になりません。

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問18　★★★

(1) xx>0{}> 0 のとき、次の不等式が成り立つことを示しなさい。

x\displaystyle x−x22\displaystyle {}- \frac{x^2}{2}<log⁡(1+x)\displaystyle {}< \log(1 + x)<x\displaystyle {}< x−x22\displaystyle {}- \frac{x^2}{2}+x33\displaystyle {}+ \frac{x^3}{3}

(2) (1) を用いて、小数第4位以下を切り捨てたときの log⁡1.1\log 1.1 の値を、小数第3位まで求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 証明は解説を参照　(2) 0.0950.095

解説

(1) 左側　f(x)f(x)=log⁡(1+x){}= \log(1 + x)−(x−x22){}- \left(x - \dfrac{x^2}{2}\right) とおくと

f′(x)\displaystyle f'(x)=11+x\displaystyle {}= \frac{1}{1 + x}−1\displaystyle {}- 1+x\displaystyle {}+ x=1−(1+x)+x(1+x)1+x\displaystyle {}= \frac{1 - (1 + x) + x(1 + x)}{1 + x}=x21+x\displaystyle {}= \frac{x^2}{1 + x}

xx>0{}> 0 で f′(x)f'(x)>0{}> 0 なので、f(x)f(x) は xx≧0{}\geqq 0 で増加します。f(0)f(0)=0{}= 0 だから、xx>0{}> 0 のとき f(x)f(x)>f(0){}> f(0)=0{}= 0 です。

(1) 右側　g(x)g(x)=x{}= x−x22{}- \dfrac{x^2}{2}+x33{}+ \dfrac{x^3}{3}−log⁡(1+x){}- \log(1 + x) とおくと

g′(x)\displaystyle g'(x)=1\displaystyle {}= 1−x\displaystyle {}- x+x2\displaystyle {}+ x^2−11+x\displaystyle {}- \frac{1}{1 + x}=(1−x+x2)(1+x)−11+x\displaystyle {}= \frac{(1 - x + x^2)(1 + x) - 1}{1 + x}=x31+x\displaystyle {}= \frac{x^3}{1 + x}

（(1+x)(1−x+x2)(1 + x)(1 - x + x^2)=1{}= 1+x3{}+ x^3 を使いました。）xx>0{}> 0 で g′(x)g'(x)>0{}> 0，g(0)g(0)=0{}= 0 なので、xx>0{}> 0 のとき g(x)g(x)>0{}> 0 です。

以上より、xx>0{}> 0 のとき xx−x22{}- \dfrac{x^2}{2}<log⁡(1+x){}< \log(1 + x)<x{}< x−x22{}- \dfrac{x^2}{2}+x33{}+ \dfrac{x^3}{3} が成り立ちます。

(2) (1) で xx=0.1{}= 0.1 とすると

0.1\displaystyle 0.1−0.005\displaystyle {}- 0.005<log⁡1.1\displaystyle {}< \log 1.1<0.1\displaystyle {}< 0.1−0.005\displaystyle {}- 0.005+0.0013\displaystyle {}+ \frac{0.001}{3}

0.0013\dfrac{0.001}{3}=0.000333⋯{}= 0.000333\cdots なので

0.095\displaystyle 0.095<log⁡1.1\displaystyle {}< \log 1.1<0.095333⋯\displaystyle {}< 0.095333\cdots

両端とも小数第3位までは 0.0950.095 なので

log⁡1.1\displaystyle \log 1.1=0.095‾⋯\displaystyle {}= \underline{0.095}\cdots

下からと上から同時にはさむことで、「小数第3位までは確かにこの値」と言い切れます。片側の不等式だけでは、どの桁まで正しいかがわかりません。

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問19　★★★

平均値の定理を用いて、極限 lim⁡x→∞x2(e1x−e1x+1)\displaystyle\lim_{x \to \infty}x^2\left(e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x+1}}\right) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

11

解説

xx>0{}> 0 とします。f(t)f(t)=et{}= e^t はすべての実数で微分可能なので、区間 1x+1\dfrac{1}{x + 1}≦t{}\leqq t≦1x{}\leqq \dfrac{1}{x} に平均値の定理を使うと

e1x\displaystyle e^{\frac{1}{x}}−e1x+1\displaystyle {}- e^{\frac{1}{x+1}}=ec(1x−1x+1),\displaystyle {}= e^{c}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right),1x+1\displaystyle \frac{1}{x + 1}<c\displaystyle {}< c<1x\displaystyle {}< \frac{1}{x}

を満たす cc があります。1x\dfrac{1}{x}−1x+1{}- \dfrac{1}{x + 1}=1x(x+1){}= \dfrac{1}{x(x + 1)} なので

x2(e1x−e1x+1)\displaystyle x^2\left(e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x+1}}\right)=ec⋅xx+1\displaystyle {}= e^{c} \cdot \frac{x}{x + 1}

cc の行き先　xx→∞{}\to \infty のとき 1x+1\dfrac{1}{x + 1}→0{}\to 0，1x\dfrac{1}{x}→0{}\to 0 なので、はさみうちの原理より cc→0{}\to 0，したがって ece^c→e0{}\to e^0=1{}= 1 です。

また xx+1\dfrac{x}{x + 1}=11+1x{}= \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}→1{}\to 1 なので

lim⁡x→∞x2(e1x−e1x+1)\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^2\left(e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x+1}}\right)=1⋅1\displaystyle {}= 1 \cdot 1=1‾\displaystyle {}= \underline{1}

cc は xx によって変わる数です。「cc は 1x+1\dfrac{1}{x + 1} と 1x\dfrac{1}{x} の間」と範囲を書いておかないと、cc→0{}\to 0 の根拠が示せません。

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問20　★★★

aa を正の定数とする。2つの曲線 yy=log⁡x{}= \log x と yy=ax2{}= ax^2 がある。

(1) 2つの曲線が接するときの aa の値と、接点における共通の接線の方程式を求めなさい。

(2) aa が (1) で求めた値のとき、xx>0{}> 0 で ax2ax^2≧log⁡x{}\geqq \log x が成り立つことを示しなさい。また、等号が成り立つときの xx の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) aa=12e{}= \dfrac{1}{2e}，接線 yy=1ex{}= \dfrac{1}{\sqrt{e}}x−12{}- \dfrac{1}{2}　(2) 証明は解説を参照、等号は xx=e{}= \sqrt{e}

解説

(1) 2つの曲線が xx=t (t>0){}= t\ (t > 0) の点で接するとは、その点で yy 座標と接線の傾きがともに一致することです。(log⁡x)′(\log x)'=1x{}= \dfrac{1}{x}，(ax2)′(ax^2)'=2ax{}= 2ax なので

log⁡t\log t=at2{}= at^2 …①，1t\dfrac{1}{t}=2at{}= 2at …②

②より at2at^2=12{}= \dfrac{1}{2}。これを①に代入すると log⁡t\log t=12{}= \dfrac{1}{2}，つまり tt=e{}= \sqrt{e} です。すると aa=12t2{}= \dfrac{1}{2t^2}=12e{}= \dfrac{1}{2e}。

接点は (e, 12)\left(\sqrt{e},\ \dfrac{1}{2}\right)，傾きは 1e\dfrac{1}{\sqrt{e}} なので、接線は

y\displaystyle y−12\displaystyle {}- \frac{1}{2}=1e(x−e)\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{e}}\left(x - \sqrt{e}\right)より\displaystyle \text{より}y\displaystyle y=1ex\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{e}}x−12\displaystyle {}- \frac{1}{2} a=12e,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.93em]{0em}{2.2514em}a = \frac{1}{2e},}y=1ex‾\displaystyle \underline{\rule[-0.93em]{0em}{2.2514em}\quad y = \frac{1}{\sqrt{e}}x}−12‾\displaystyle \underline{\rule[-0.93em]{0em}{2.2514em}{}- \frac{1}{2}}

(2) h(x)h(x)=x22e{}= \dfrac{x^2}{2e}−log⁡x (x>0){}- \log x\ (x > 0) とおくと

h′(x)\displaystyle h'(x)=xe\displaystyle {}= \frac{x}{e}−1x\displaystyle {}- \frac{1}{x}=x2−eex\displaystyle {}= \frac{x^2 - e}{ex}=(x+e)(x−e)ex\displaystyle {}= \frac{(x + \sqrt{e})(x - \sqrt{e})}{ex}
xx(0)(0)⋯\cdotse\sqrt{e}⋯\cdots
h′(x)h'(x)−-00++
h(x)h(x)↘\searrow極小↗\nearrow

h(x)h(x) の最小値は h(e)h(\sqrt{e})=e2e{}= \dfrac{e}{2e}−12{}- \dfrac{1}{2}=0{}= 0 です。よって xx>0{}> 0 で h(x)h(x)≧0{}\geqq 0，つまり x22e\dfrac{x^2}{2e}≧log⁡x{}\geqq \log x が成り立ち、等号は x=e‾\underline{x = \sqrt{e}} のときに限ります。

(1) の「接する」は接点の1点の情報ですが、(2) で放物線がいつも yy=log⁡x{}= \log x の上側にあり、共有点が接点の1つだけであることまでわかります。

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