目次／数検対策（準2級・2級・準1級）／数検2級

第18章　2級増減・最大最小・方程式への応用

—— 微分積分第4〜6章の範囲を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「微分の応用」の類題です。増減表で極値を求める問題、区間での最大値・最小値、置きかえを使う最大・最小、方程式の実数解の個数、不等式の証明、点から引ける接線の本数までを20問にまとめました。2次（数理技能）の問題では、増減表を書いて何を比べたかを示す答案の書き方も練習します。

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（微分積分第4〜6章）

$f'(x)$ の符号が $x$ ${}= a$ の前後で正から負なら $x$ ${}= a$ で極大、負から正なら極小。結果は増減表にまとめます。
閉区間の最大値・最小値は、極値と区間の両端の値を比べて決めます。
方程式 $f(x)$ ${}= a$ の異なる実数解の個数は、 $y$ ${}= f(x)$ のグラフと直線 $y$ ${}= a$ の共有点の個数です（定数の分離）。
不等式 $f(x)$ ${}\geqq g(x)$ の証明は、差 $h(x)$ ${}= f(x)$ ${}- g(x)$ の最小値が $0$ 以上であることを示します。
3次関数の曲線に点から引ける接線の本数は、接点の $x$ 座標 $t$ の方程式の実数解の個数と同じです。

1次（計算技能）：答えだけを出す問題です。極値は「どの $x$ で」「極大か極小か」「値はいくつか」の3点をそろえて答えます。閉区間では、区間の端の値を計算し忘れると最大値・最小値を取り違えます。
2次（数理技能）：増減表が答案の中心です。「 $f'(x)$ ${}= 0$ となる $x$ 」「増減表」「何と何を比べたか」を順に書けば、途中で計算を誤っても部分点につながります。
係数を決める問題では、 $f'(a)$ ${}= 0$ は極値をとるための必要条件にすぎません。求めた値で増減表を書き、本当に極値になるかを確かめる一文を入れましょう。
$\sin\theta$ や $2^x$ を $t$ とおいたときは、 $t$ の範囲を先に書きます。範囲を書かずに微分すると、区間の外にある極値を答えてしまいます。

この章の問題は、どれも「増減表を書いて、比べるべき値を比べる」ことに行き着きます。極値だけで決まるのか、区間の端や直線 $y$ ${}= a$ の高さとも比べるのかを見分けることが、得点の分かれ目です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 3x^2$ ${}- 24x$ ${}+ 4$ が増加する区間と減少する区間を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}\leqq -2,$ $4$ ${}\leqq x$ で増加， $-2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 4$ で減少

解説

$f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}- 6x$ ${}- 24$ ${}= 3(x + 2)(x - 4)$ 。 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= -2,$ $\ 4$ です。 $y$ ${}= f'(x)$ は下に凸の放物線なので、 $-2$ ${}< x$ ${}< 4$ で負、それ以外で正になります。

\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}x \leqq -2,}

自己採点：

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問2　★

関数 $f(x)$ ${}= 2x^3$ ${}+ 3x^2$ ${}- 36x$ ${}+ 10$ の極値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= -3$ で極大値 $91$ ， $x$ ${}= 2$ で極小値 $-34$

解説

$f'(x)$ ${}= 6x^2$ ${}+ 6x$ ${}- 36$ ${}= 6(x + 3)(x - 2)$ なので、 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= -3,$ $\ 2$ です。

\displaystyle f(-3)

$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大 $91$	$\searrow$	極小 $-34$	$\nearrow$

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = -3\ \text{で極大値}\ 91,}

自己採点：

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問3　★

関数 $f(x)$ ${}= -x^3$ ${}+ 6x^2$ ${}- 5$ の極値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= 0$ で極小値 $-5$ ， $x$ ${}= 4$ で極大値 $27$

解説

$f'(x)$ ${}= -3x^2$ ${}+ 12x$ ${}= -3x(x - 4)$ なので、 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= 0,$ $\ 4$ です。 $x^3$ の係数が負なので、 $f'(x)$ は $0$ ${}< x$ ${}< 4$ で正、それ以外で負になります。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	極小 $-5$	$\nearrow$	極大 $27$	$\searrow$

$f(4)$ ${}= -64$ ${}+ 96$ ${}- 5$ ${}= 27$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = 0\ \text{で極小値}}

係数が負の3次関数は、「減少→増加→減少」の順になります。左にあるほうを極大と決めつけないようにしましょう。

自己採点：

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問4　★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 9x^2$ ${}+ 24x$ （ $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 5$ ）の最大値と最小値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= 2,$ $\ 5$ で最大値 $20$ ， $x$ ${}= 0$ で最小値 $0$

解説

$f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}- 18x$ ${}+ 24$ ${}= 3(x - 2)(x - 4)$ なので、 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= 2,$ $\ 4$ で、どちらも区間の中にあります。

\displaystyle f(0)

$x$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$4$	$\cdots$	$5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	極大 $20$	$\searrow$	極小 $16$	$\nearrow$	$20$

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = 2,}

右端の値が極大値と同じ $20$ になるので、最大値をとる $x$ は2つです。極小値 $16$ は最小値ではありません。

自己採点：

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問5　★

方程式 $x^3$ ${}+ 3x^2$ ${}- 2$ ${}= 0$ の異なる実数解の個数を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$3$ 個

解説

$f(x)$ ${}= x^3$ ${}+ 3x^2$ ${}- 2$ とおくと、 $f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}+ 6x$ ${}= 3x(x + 2)$ です。

\displaystyle \text{極大値}\ f(-2)

極大値が正、極小値が負なので、 $y$ ${}= f(x)$ のグラフは $x$ 軸と3回交わります。よって $\underline{3\ \text{個}}$ 。

自己採点：

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問6　★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}+ ax^2$ ${}- 9x$ ${}+ 1$ が $x$ ${}= -1$ で極値をとるように、定数 $a$ の値を定めなさい。また、そのときの $x$ ${}= -1$ における極値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= -3$ ，極大値 $6$

解説

$f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}+ 2ax$ ${}- 9$ なので、 $f'(-1)$ ${}= 3$ ${}- 2a$ ${}- 9$ ${}= 0$ より $a$ ${}= -3$ です。

このとき $f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}- 6x$ ${}- 9$ ${}= 3(x + 1)(x - 3)$ で、 $x$ ${}= -1$ の前後で符号が正から負に変わるので、確かに極大になります。

\displaystyle f(-1)

自己採点：

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問7　★

関数 $f(x)$ ${}= x^4$ ${}- 8x^2$ ${}+ 3$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= \pm 2$ で最小値 $-13$

解説

$f'(x)$ ${}= 4x^3$ ${}- 16x$ ${}= 4x(x + 2)(x - 2)$ なので、 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= -2,$ $\ 0,$ $\ 2$ です。

$x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小 $-13$	$\nearrow$	極大 $3$	$\searrow$	極小 $-13$	$\nearrow$

$f(\pm 2)$ ${}= 16$ ${}- 32$ ${}+ 3$ ${}= -13$ です。2つの極小値が等しいので、どちらも最小値になります。

\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}x = \pm 2\ \text{で最小値}}

自己採点：

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問8　★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 3x^2$ ${}+ k$ の極小値が $-2$ であるとき、定数 $k$ の値を求めなさい。また、極大値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$k$ ${}= 2$ ，極大値 $2$

解説

$f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}- 6x$ ${}= 3x(x - 2)$ より、 $x$ ${}= 0$ で極大、 $x$ ${}= 2$ で極小になります。

\displaystyle f(2)

極大値は $f(0)$ ${}= k$ ${}= 2$ です。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8888em}k = 2,}

自己採点：

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問9　★★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}+ 3ax^2$ ${}+ 3(a + 2)x$ が極値をもたないような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$-1$ ${}\leqq a$ ${}\leqq 2$

解説

$f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}+ 6ax$ ${}+ 3(a + 2)$ ${}= 3\{x^2 + 2ax + (a + 2)\}$ です。

$f(x)$ が極値をもたないのは、 $f'(x)$ の符号が変わる点がないとき、つまり2次方程式 $x^2$ ${}+ 2ax$ ${}+ (a + 2)$ ${}= 0$ の判別式 $D$ が $D$ ${}\leqq 0$ のときです。

\displaystyle \frac{D}{4}

\underline{-1 \leqq a \leqq 2}

$D$ ${}= 0$ のときは $f'(x)$ ${}= 3(x + a)^2$ ${}\geqq 0$ となり、 $f'(x)$ ${}= 0$ の点はあっても符号は変わりません。極値にならないので、等号を含めます。

自己採点：

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問10　★★

関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}+ ax^2$ ${}+ bx$ ${}+ 1$ が $x$ ${}= 1$ で極小値 $-4$ をとるように、定数 $a,$ $\ b$ の値を定めなさい。また、このとき $f(x)$ の極大値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}= 3,$ $b$ ${}= -9$ ，極大値 $28$

解説

$f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}+ 2ax$ ${}+ b$ です。 $x$ ${}= 1$ で極値 $-4$ をとるので

\displaystyle f'(1)

2つめから $a$ ${}+ b$ ${}= -6$ 。1つめの $2a$ ${}+ b$ ${}= -3$ から引くと $a$ ${}= 3$ ，よって $b$ ${}= -9$ 。

逆に、このとき $f(x)$ ${}= x^3$ ${}+ 3x^2$ ${}- 9x$ ${}+ 1$ ， $f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}+ 6x$ ${}- 9$ ${}= 3(x + 3)(x - 1)$ です。

$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大 $28$	$\searrow$	極小 $-4$	$\nearrow$

$x$ ${}= 1$ で確かに極小値 $-4$ をとります。極大値は $f(-3)$ ${}= -27$ ${}+ 27$ ${}+ 27$ ${}+ 1$ ${}= 28$ 。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 3,}

$f'(1)$ ${}= 0$ は極値をとるための必要条件なので、「逆に」と書いて増減表で確かめる部分が2次の採点ポイントです。

自己採点：

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問11　★★

関数 $f(x)$ ${}= -2x^3$ ${}+ 3x^2$ ${}+ 12x$ （ $-2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 3$ ）の最大値と最小値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$x$ ${}= 2$ で最大値 $20$ ， $x$ ${}= -1$ で最小値 $-7$

解説

$f'(x)$ ${}= -6x^2$ ${}+ 6x$ ${}+ 12$ ${}= -6(x + 1)(x - 2)$ なので、 $f'(x)$ ${}= 0$ となるのは $x$ ${}= -1,$ $\ 2$ です。

\displaystyle f(-2)

$x$	$-2$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$3$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$4$	$\searrow$	極小 $-7$	$\nearrow$	極大 $20$	$\searrow$	$9$

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = 2\ \text{で最大値}\ 20,}

自己採点：

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問12　★★

$0$ ${}\leqq \theta$ ${}< 2\pi$ のとき、関数 $y$ ${}= 2\sin^3\theta$ ${}+ 3\cos^2\theta$ の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの $\theta$ の値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$\theta$ ${}= 0,$ $\ \pi$ で最大値 $3$ ， $\theta$ ${}= \dfrac{3}{2}\pi$ で最小値 $-2$

解説

$\cos^2\theta$ ${}= 1$ ${}- \sin^2\theta$ なので、 $\sin\theta$ ${}= t$ とおくと

\displaystyle y

$t$ の範囲は、 $0$ ${}\leqq \theta$ ${}< 2\pi$ で $\sin\theta$ がとる値の範囲です。 $y'$ ${}= 6t^2$ ${}- 6t$ ${}= 6t(t - 1)$ より

$t$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$y'$		$+$	$0$	$-$
$y$	$-2$	$\nearrow$	極大 $3$	$\searrow$	$2$

最大値は $t$ ${}= 0$ のときの $3$ で、 $\sin\theta$ ${}= 0$ より $\theta$ ${}= 0,$ $\ \pi$ 。最小値は $t$ ${}= -1$ のときの $-2$ で、 $\sin\theta$ ${}= -1$ より $\theta$ ${}= \dfrac{3}{2}\pi$ 。

\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\theta = 0,}

自己採点：

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問13　★★

方程式 $2x^3$ ${}- 3x^2$ ${}- 36x$ ${}- a$ ${}= 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって分類して求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}< -81,$ $44$ ${}< a$ のとき $1$ 個， $a$ ${}= -81,$ $\ 44$ のとき $2$ 個， $-81$ ${}< a$ ${}< 44$ のとき $3$ 個

解説

方程式を $2x^3$ ${}- 3x^2$ ${}- 36x$ ${}= a$ と変形します。実数解の個数は、 $f(x)$ ${}= 2x^3$ ${}- 3x^2$ ${}- 36x$ のグラフと直線 $y$ ${}= a$ の共有点の個数に等しくなります。

\displaystyle f'(x)

$x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大 $44$	$\searrow$	極小 $-81$	$\nearrow$

直線 $y$ ${}= a$ を上下に動かして共有点を数えると

\underline{ \begin{aligned} &a < -81,\ 44 < a\ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ &a = -81,\ 44\ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ &-81 < a < 44\ \text{のとき}\ 3\ \text{個} \end{aligned} }

2次の答案では「 $f(x)$ ${}= 2x^3$ ${}- 3x^2$ ${}- 36x$ のグラフと直線 $y$ ${}= a$ の共有点の個数を調べる」と、何を数えるのかを最初に書きます。

自己採点：

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問14　★★

$x$ ${}\geqq 0$ のとき、不等式 $x^3$ ${}+ 16$ ${}\geqq 12x$ が成り立つことを示しなさい。また、等号が成り立つときの $x$ の値を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

（証明は解説）等号は $x$ ${}= 2$ のとき

解説

$h(x)$ ${}= x^3$ ${}+ 16$ ${}- 12x$ とおき、 $x$ ${}\geqq 0$ で $h(x)$ ${}\geqq 0$ を示します。

$h'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}- 12$ ${}= 3(x + 2)(x - 2)$ なので、 $x$ ${}\geqq 0$ での増減は次のとおりです。

$x$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$h'(x)$		$-$	$0$	$+$
$h(x)$	$16$	$\searrow$	極小 $0$	$\nearrow$

$h(2)$ ${}= 8$ ${}+ 16$ ${}- 24$ ${}= 0$ より、 $x$ ${}\geqq 0$ における $h(x)$ の最小値は $0$ です。したがって $h(x)$ ${}\geqq 0$ ，すなわち

\displaystyle x^3

が成り立ちます。等号は $\underline{x = 2}$ のときです。

（別解： $h(x)$ ${}= (x - 2)^2(x + 4)$ と因数分解でき、 $x$ ${}\geqq 0$ では $(x - 2)^2$ ${}\geqq 0$ ， $x$ ${}+ 4$ ${}> 0$ なので $h(x)$ ${}\geqq 0$ とも示せます。）

自己採点：

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問15　★★

縦の長さが横の長さの $2$ 倍である直方体があり、 $12$ 本の辺の長さの和は $36\ \text{cm}$ である。この直方体の体積の最大値と、そのときの横の長さを求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

横 $2\ \text{cm}$ のとき最大値 $24\ \text{cm}^3$

解説

横の長さを $x\ \text{cm}$ とすると、縦は $2x\ \text{cm}$ 。高さを $h\ \text{cm}$ とすると、辺の和の条件から

\displaystyle 4(x + 2x + h)

$x$ ${}> 0$ かつ $h$ ${}> 0$ より、 $x$ の範囲は $0$ ${}< x$ ${}< 3$ です。体積を $V$ とすると

\displaystyle V

$x$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$3$
$V'$		$+$	$0$	$-$
$V$		$\nearrow$	極大 $24$	$\searrow$

$V(2)$ ${}= -48$ ${}+ 72$ ${}= 24$ です。 $0$ ${}< x$ ${}< 3$ で極大値は1つだけなので、これが最大値です。

\underline{\text{横}\ 2\ \text{cm}\ \text{のとき最大値}\ 24\ \text{cm}^3}

（このとき縦 $4\ \text{cm}$ ，高さ $3\ \text{cm}$ です。）文章題では、文字の範囲（ここでは $0$ ${}< x$ ${}< 3$ ）を書いてから微分するのが減点を防ぐコツです。

自己採点：

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問16　★★

$-2$ ${}\leqq x$ ${}\leqq 6$ のすべての $x$ について、不等式 $x^3$ ${}- 3x^2$ ${}- 9x$ ${}\leqq a$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}\geqq 54$

解説

$f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 3x^2$ ${}- 9x$ とおくと、条件は「区間での $f(x)$ の最大値が $a$ 以下」です。

\displaystyle f'(x)

\displaystyle f(-2)

$x$	$-2$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$	$6$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-2$	$\nearrow$	極大 $5$	$\searrow$	極小 $-27$	$\nearrow$	$54$

最大値は右端の $f(6)$ ${}= 54$ です。よって $\underline{a \geqq 54}$ 。

極大値 $5$ だけを見て $a$ ${}\geqq 5$ とするのは誤りです。区間の端の値も必ず比べます。

自己採点：

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問17　★★★

点 $\mathrm{A}(1,\ a)$ から曲線 $y$ ${}= x^3$ ${}+ 3x^2$ に異なる3本の接線が引けるような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$-4$ ${}< a$ ${}< 4$

解説

接点を $(t,\ t^3 + 3t^2)$ とおきます。 $y'$ ${}= 3x^2$ ${}+ 6x$ より、接線は

\displaystyle y

これが点 $\mathrm{A}(1,\ a)$ を通るので

\displaystyle a

3次関数のグラフでは、接点が異なれば接線も異なります。したがって、接線の本数は $t$ の方程式 $-2t^3$ ${}+ 6t$ ${}= a$ の異なる実数解の個数に等しくなります。

$g(t)$ ${}= -2t^3$ ${}+ 6t$ とおくと、 $g'(t)$ ${}= -6t^2$ ${}+ 6$ ${}= -6(t + 1)(t - 1)$ です。

$t$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$g'(t)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(t)$	$\searrow$	極小 $-4$	$\nearrow$	極大 $4$	$\searrow$

$y$ ${}= g(t)$ のグラフと直線 $y$ ${}= a$ が3点で交わる条件なので

\underline{-4 < a < 4}

「接線の本数＝接点 $t$ の個数」と言いかえる一文が、この問題の要です。

自己採点：

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問18　★★★

$a$ ${}> 0$ とする。関数 $f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 6x^2$ ${}+ 9x$ （ $0$ ${}\leqq x$ ${}\leqq a$ ）の最大値を、 $a$ の値によって場合分けして求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$0$ ${}< a$ ${}< 1,$ $4$ ${}< a$ のとき $a^3$ ${}- 6a^2$ ${}+ 9a$ ， $1$ ${}\leqq a$ ${}\leqq 4$ のとき $4$

解説

$f'(x)$ ${}= 3x^2$ ${}- 12x$ ${}+ 9$ ${}= 3(x - 1)(x - 3)$ より、 $f(x)$ は $x$ ${}= 1$ で極大値 $f(1)$ ${}= 4$ ， $x$ ${}= 3$ で極小値 $f(3)$ ${}= 0$ をとります。

$x$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	極大 $4$	$\searrow$	極小 $0$	$\nearrow$

$x$ ${}> 3$ で $f(x)$ は増え続けるので、極大値と同じ値 $4$ に戻る点を求めておきます。 $f(x)$ ${}= 4$ は $x$ ${}= 1$ で接しているので、 $(x - 1)^2$ で割り切れます。

\displaystyle x^3

右端 $x$ ${}= a$ の位置で場合分けします。

$0$ ${}< a$ ${}< 1$ のとき、区間で増加するので、最大値は $f(a)$ ${}= a^3$ ${}- 6a^2$ ${}+ 9a$
$1$ ${}\leqq a$ ${}\leqq 4$ のとき、区間に $x$ ${}= 1$ を含み、 $f(a)$ ${}\leqq 4$ なので、最大値は $4$
$4$ ${}< a$ のとき、 $f(a)$ ${}> 4$ なので、最大値は $f(a)$ ${}= a^3$ ${}- 6a^2$ ${}+ 9a$

まとめると

$0$ ${}< a$ ${}< 1$ ， $4$ ${}< a$ のとき最大値 $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}a^3}$ $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}- 6a^2}$ $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.8974em}{}+ 9a}$
$1$ ${}\leqq a$ ${}\leqq 4$ のとき最大値 $\underline{4}$

境目の $a$ ${}= 4$ を見つけるには、「極大値と同じ高さの点」を探す一手間が必要です。

自己採点：

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問19　★★★

$x$ ${}\geqq 0$ のすべての $x$ について、不等式 $x^3$ ${}- 3a^2x$ ${}+ 2$ ${}\geqq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$-1$ ${}\leqq a$ ${}\leqq 1$

解説

$g(x)$ ${}= x^3$ ${}- 3a^2x$ ${}+ 2$ とおき、 $x$ ${}\geqq 0$ における最小値が $0$ 以上となる条件を求めます。

\displaystyle g'(x)

（ $a^2$ ${}= |a|^2$ を使いました。 $a$ の符号によらず、 $x$ ${}\geqq 0$ で考えやすくなります。）

(i) $a$ ${}= 0$ のとき　 $g(x)$ ${}= x^3$ ${}+ 2$ ${}\geqq 2$ ${}> 0$ なので、つねに成り立ちます。

(ii) $a$ ${}\neq 0$ のとき　 $|a|$ ${}> 0$ で、 $x$ ${}\geqq 0$ での増減は次のとおりです。

$x$	$0$	$\cdots$	$\lvert a \rvert$	$\cdots$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$2$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

最小値は

\displaystyle g(|a|)

これが $0$ 以上となる条件は $|a|^3$ ${}\leqq 1$ ，すなわち $0$ ${}< |a|$ ${}\leqq 1$ です。

(i)，(ii) を合わせて

\underline{-1 \leqq a \leqq 1}

$a$ ${}> 0$ と決めつけて $x$ ${}= a$ で最小と書くと、 $a$ ${}< 0$ の場合を落とします。 $|a|$ を使うか、 $a$ ${}> 0$ ， $a$ ${}= 0$ ， $a$ ${}< 0$ に分けて調べましょう。

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問20　★★★

方程式 $x^3$ ${}- 3ax^2$ ${}+ 4a$ ${}= 0$ が異なる3つの実数解をもつような、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：

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答え

$a$ ${}< -1,$ $1$ ${}< a$

解説

$f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 3ax^2$ ${}+ 4a$ とおきます。この方程式は $a$ を右辺に分離しにくい形なので、 $y$ ${}= f(x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点で考えます。

異なる3つの実数解をもつ条件は、 $f(x)$ が極大値と極小値をもち、それらが異符号になることです。

\displaystyle f'(x)

極値をもつには $0$ ${}\neq 2a$ ，つまり $a$ ${}\neq 0$ が必要です。このとき極値は

\displaystyle f(0)

異符号である条件は

\displaystyle f(0) \cdot f(2a)

$a$ ${}\neq 0$ より $16a^2$ ${}> 0$ なので、 $1$ ${}- a^2$ ${}< 0$ ，すなわち $a^2$ ${}> 1$ 。

\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}a < -1,}

（検算： $a$ ${}= 2$ のとき $f(x)$ ${}= x^3$ ${}- 6x^2$ ${}+ 8$ で、 $f(0)$ ${}= 8$ ${}> 0$ ， $f(4)$ ${}= -24$ ${}< 0$ となり、3つの実数解をもちます。）

どちらが極大かは $a$ の符号で入れかわりますが、「積が負」とまとめれば場合分けせずに済みます。

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第18章 2級 増減・最大最小・方程式への応用

出題のポイント

類題（全20問）

第18章　2級増減・最大最小・方程式への応用