第6章　方程式・不等式への応用

方程式 $x^3$${}- 6x^2$${}+ 9x$${}- 2$${}= 0$ の異なる実数解の個数を求めなさい。

【解答】

$f(x)$${}= x^3$${}- 6x^2$${}+ 9x$${}- 2$ とおくと

極大値 $2$${}> 0$，極小値 $-2$${}< 0$ なので、グラフは $x$ 軸と3点で交わります。

※ 3つの解は $x$${}< 1$，$1$${}< x$${}< 3$，$x$${}> 3$ に1つずつあります。解の値そのものは求めなくても、個数と大まかな位置はわかります。

方程式 $x^3$${}- 3x^2$${}- a$${}= 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって分類して求めなさい。

【解答】

方程式を $x^3$${}- 3x^2$${}= a$ と変形し、$f(x)$${}= x^3$${}- 3x^2$ のグラフと直線 $y$${}= a$ の共有点を数えます。

図のように直線 $y$${}= a$ を上下に動かすと

※ 境目の値 $a$${}= -4,$$\ 0$ は、直線がグラフの山や谷に接するときです。ここでは共有点が1つ減ることを忘れずに、別の場合として書きます。

$x$${}\geqq 0$ のとき、不等式 $x^3$${}+ 16$${}\geqq 12x$ が成り立つことを示しなさい。また、等号が成り立つときの $x$ の値を求めなさい。

【解答】

$F(x)$${}= (x^3 + 16)$${}- 12x$${}= x^3$${}- 12x$${}+ 16$ とおきます。

$x$${}\geqq 0$ で $F'(x)$${}= 0$ となるのは $x$${}= 2$ です。

$x$${}\geqq 0$ における $F(x)$ の最小値は $F(2)$${}= 8$${}- 24$${}+ 16$${}= 0$ です。したがって $x$${}\geqq 0$ のとき $F(x)$${}\geqq 0$，すなわち

等号が成り立つのは $\underline{x = 2}$ のときです。

※ 実は $F(x)$${}= (x - 2)^2(x + 4)$ と因数分解できますが、因数分解が見つからなくても、増減表なら同じ手順で証明できます。

$x$${}\geqq 0$ のすべての $x$ について、不等式 $2x^3$${}- 3x^2$${}+ a$${}\geqq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

【解答】

$F(x)$${}= 2x^3$${}- 3x^2$${}+ a$ とおくと

$x$${}\geqq 0$ での最小値は $F(1)$${}= 2$${}- 3$${}+ a$${}= a$${}- 1$ です。これが $0$ 以上であればよいので

※ 端の値 $F(0)$${}= a$ は $a$${}- 1$ より大きいので、最小値にはなりません。範囲に端があるときは、このように端の値との比較も確かめます。

曲線 $y$${}= x^3$${}- 3x$ に、点 $\mathrm{A}(2,\ a)$ から引ける接線の本数を、定数 $a$ の値によって分類して求めなさい。

【解答】

$y'$${}= 3x^2$${}- 3$ なので、点 $(t,\ t^3 - 3t)$ における接線は

これが点 $\mathrm{A}(2,\ a)$ を通るので

$g(t)$${}= -2t^3$${}+ 6t^2$${}- 6$ とおき、$g(t)$${}= a$ の異なる実数解の個数を調べます。

直線 $y$${}= a$ と $y$${}= g(t)$ のグラフの共有点の個数が接線の本数なので

※ 3次関数のグラフで、異なる2点 $x$${}= s,$$\ t$ で同じ直線に接することはありません。もしそうなら、「3次式 $-$ 直線の式」が $(x - s)^2$ と $(x - t)^2$ の両方で割り切れ、4次以上になってしまうからです（第3章 厳密定義の「接する ⇔ $(x - a)^2$ で割り切れる」）。$a$${}= 2$ のとき点 A は曲線上にありますが、それでも A での接線（$t$${}= 2$）のほかに、もう1本（$t$${}= -1$）引けます。