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第13章　2級 三角関数

—— 三角比と三角関数 第5〜12章の「弧度法・三角関数の性質とグラフ・方程式と不等式・加法定理・2倍角と半角・合成・積和と和積」を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「三角関数」の類題です。弧度法と扇形、一般角の三角関数の値、グラフの周期と平行移動、方程式・不等式、加法定理・2倍角・合成・積和と和積の計算から、置きかえによる最大・最小、解の個数、三角形の角の関係までを20問にまとめました。2次（数理技能）では、$t = \sin\theta + \cos\theta$ のように置きかえたら $t$ の範囲を最初に書くこと、合成したら「かたまり」の角の範囲を書いてから単位円で読むこと、$t$ の値1つに $\theta$ がいくつ対応するかを数えることを練習します。問13では数と式の分野で学ぶ解と係数の関係を、問19では相加平均と相乗平均の関係を使います。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（三角比と三角関数 第5〜12章）
  • 弧度法：180∘180^\circ=π{}= \pi。半径 rr、中心角 θ\theta の扇形は、弧の長さ ll=rθ{}= r\theta，面積 SS=12r2θ{}= \dfrac{1}{2}r^2\theta=12rl{}= \dfrac{1}{2}rl。
  • 一般角：θ\theta+2nπ{}+ 2n\pi は θ\theta と同じ動径。−θ-\theta，π\pi±θ{}\pm \theta，π2\dfrac{\pi}{2}±θ{}\pm \theta の公式で、鋭角の値に直します。
  • グラフ：yy=asin⁡(bθ+c){}= a\sin(b\theta + c)+k{}+ k は、周期 2πb\dfrac{2\pi}{b}，最大値 ∣a∣\lvert a \rvert+k{}+ k，最小値 −∣a∣-\lvert a \rvert+k{}+ k。bθb\theta+c{}+ c=b(θ+cb){}= b\left(\theta + \dfrac{c}{b}\right) とくくって平行移動の量を読みます。
  • 加法定理：sin⁡(α±β)\sin(\alpha \pm \beta)=sin⁡αcos⁡β{}= \sin\alpha\cos\beta±cos⁡αsin⁡β{}\pm \cos\alpha\sin\beta，cos⁡(α±β)\cos(\alpha \pm \beta)=cos⁡αcos⁡β{}= \cos\alpha\cos\beta∓sin⁡αsin⁡β{}\mp \sin\alpha\sin\beta，tan⁡(α±β)\tan(\alpha \pm \beta)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β{}= \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}。
  • 2倍角・半角：sin⁡2θ\sin 2\theta=2sin⁡θcos⁡θ{}= 2\sin\theta\cos\theta，cos⁡2θ\cos 2\theta=1{}= 1−2sin⁡2θ{}- 2\sin^2\theta=2cos⁡2θ{}= 2\cos^2\theta−1{}- 1，sin⁡2θ\sin^2\theta=1−cos⁡2θ2{}= \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}，cos⁡2θ\cos^2\theta=1+cos⁡2θ2{}= \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}。
  • 合成：asin⁡θa\sin\theta+bcos⁡θ{}+ b\cos\theta=a2+b2sin⁡(θ+α){}= \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)（点 (a, b)(a,\ b) の偏角が α\alpha）。
  • 積和・和積：sin⁡A\sin A+sin⁡B{}+ \sin B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2{}= 2\sin\dfrac{A + B}{2}\cos\dfrac{A - B}{2} などの4本と、その逆向きの積和の公式。

この章の問題は、「公式で式を1つの三角関数にまとめる力」と、「まとめたかたまりの角・置きかえた文字の範囲を書き落とさずに、単位円や2次関数のグラフで答えを読む力」の2本柱です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

(1) 225∘225^\circ と −72∘-72^\circ をそれぞれラジアンで表しなさい。

(2) 半径 1010、面積 15π15\pi の扇形の中心角 θ\theta と弧の長さ ll を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 54π\dfrac{5}{4}\pi，−25π-\dfrac{2}{5}\pi　(2) θ\theta=310π{}= \dfrac{3}{10}\pi，ll=3π{}= 3\pi

解説

(1) 1∘1^\circ=π180{}= \dfrac{\pi}{180} を掛けます。

225×π180\displaystyle 225 \times \frac{\pi}{180}=54π‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{4}\pi},−72×π180\displaystyle -72 \times \frac{\pi}{180}=−25π‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{2}{5}\pi}

(2) SS=12r2θ{}= \dfrac{1}{2}r^2\theta に rr=10{}= 10，SS=15π{}= 15\pi を代入すると 15π15\pi=50θ{}= 50\theta なので θ=310π‾\underline{\theta = \dfrac{3}{10}\pi} です。弧の長さは

l\displaystyle l=rθ\displaystyle {}= r\theta=10×310π\displaystyle {}= 10 \times \frac{3}{10}\pi=3π‾\displaystyle {}= \underline{3\pi}

（SS=12rl{}= \dfrac{1}{2}rl から ll=2Sr{}= \dfrac{2S}{r}=3π{}= 3\pi と出してもかまいません。）

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問2　★

sin⁡196π\sin\dfrac{19}{6}\pi+cos⁡(−103π){}+ \cos\left(-\dfrac{10}{3}\pi\right)+tan⁡234π{}+ \tan\dfrac{23}{4}\pi の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−2-2

解説

2π2\pi の整数倍を引いて、00 以上 2π2\pi 未満（または −π2-\dfrac{\pi}{2} から π2\dfrac{\pi}{2}）の角に直します。

  • sin⁡196π\sin\dfrac{19}{6}\pi=sin⁡(76π+2π){}= \sin\left(\dfrac{7}{6}\pi + 2\pi\right)=sin⁡76π{}= \sin\dfrac{7}{6}\pi=−12{}= -\dfrac{1}{2}
  • cos⁡(−103π)\cos\left(-\dfrac{10}{3}\pi\right)=cos⁡103π{}= \cos\dfrac{10}{3}\pi=cos⁡(43π+2π){}= \cos\left(\dfrac{4}{3}\pi + 2\pi\right)=cos⁡43π{}= \cos\dfrac{4}{3}\pi=−12{}= -\dfrac{1}{2}
  • tan⁡234π\tan\dfrac{23}{4}\pi=tan⁡(−π4+6π){}= \tan\left(-\dfrac{\pi}{4} + 6\pi\right)=tan⁡(−π4){}= \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=−1{}= -1

よって −12-\dfrac{1}{2}−12{}- \dfrac{1}{2}−1{}- 1=−2‾{}= \underline{-2} です。

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問3　★

32π\dfrac{3}{2}\pi<θ{}< \theta<2π{}< 2\pi で sin⁡θ\sin\theta=−23{}= -\dfrac{2}{3} のとき、cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta および 11−sin⁡θ\dfrac{1}{1 - \sin\theta}+11+sin⁡θ{}+ \dfrac{1}{1 + \sin\theta} の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡θ\cos\theta=53{}= \dfrac{\sqrt{5}}{3}，tan⁡θ\tan\theta=−255{}= -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}，185\dfrac{18}{5}

解説

θ\theta の動径は第4象限にあるので cos⁡θ\cos\theta>0{}> 0 です。

cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1−49\displaystyle {}- \frac{4}{9}=59\displaystyle {}= \frac{5}{9}cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=53‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{5}}{3}}

tan⁡θ\tan\theta=sin⁡θcos⁡θ{}= \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=−23⋅35{}= -\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{5}}=−255‾{}= \underline{-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}} です。

最後の式は通分すると

(1+sin⁡θ)+(1−sin⁡θ)1−sin⁡2θ\displaystyle \frac{(1 + \sin\theta) + (1 - \sin\theta)}{1 - \sin^2\theta}=2cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{2}{\cos^2\theta}=2×95\displaystyle {}= 2 \times \frac{9}{5}=185‾\displaystyle {}= \underline{\frac{18}{5}}
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問4　★

関数 yy=4sin⁡(3θ−π2){}= 4\sin\left(3\theta - \dfrac{\pi}{2}\right)−1{}- 1 の周期、最大値、最小値を求めなさい。また、このグラフは yy=4sin⁡3θ{}= 4\sin 3\theta−1{}- 1 のグラフを θ\theta 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

周期 23π\dfrac{2}{3}\pi，最大値 33，最小値 −5-5，θ\theta 軸方向に π6\dfrac{\pi}{6}

解説

sin⁡\sin の中の θ\theta の係数が 33 なので、周期は 2π3\dfrac{2\pi}{3}=23π‾{}= \underline{\dfrac{2}{3}\pi} です。

−1-1≦sin⁡(3θ−π2){}\leqq \sin\left(3\theta - \dfrac{\pi}{2}\right)≦1{}\leqq 1 より −4-4−1{}- 1≦y{}\leqq y≦4{}\leqq 4−1{}- 1 なので、最大値 3，最小値 ‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}\text{最大値 } 3，\text{最小値 }}−5‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}{}-5} です。

33 でくくると

3θ\displaystyle 3\theta−π2\displaystyle {}- \frac{\pi}{2}=3(θ−π6)\displaystyle {}= 3\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)

θ\theta を θ\theta−π6{}- \dfrac{\pi}{6} に置きかえた形なので、θ 軸方向に π6‾\underline{\theta \text{ 軸方向に } \dfrac{\pi}{6}} だけ平行移動したグラフです（π2\dfrac{\pi}{2} ではありません）。

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問5　★

00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi のとき、方程式 2sin⁡2θ2\sin^2\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta−1{}- 1=0{}= 0 の解を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

θ\theta=π3,{}= \dfrac{\pi}{3}, π,\ \pi, 53π\ \dfrac{5}{3}\pi

解説

sin⁡2θ\sin^2\theta=1{}= 1−cos⁡2θ{}- \cos^2\theta で cos⁡θ\cos\theta だけの式にします。

2(1−cos⁡2θ)\displaystyle 2(1 - \cos^2\theta)−cos⁡θ\displaystyle {}- \cos\theta−1\displaystyle {}- 1=0\displaystyle {}= 02cos⁡2θ\displaystyle 2\cos^2\theta+cos⁡θ\displaystyle {}+ \cos\theta−1\displaystyle {}- 1=0\displaystyle {}= 0 (2cos⁡θ−1)(cos⁡θ+1)\displaystyle (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)=0\displaystyle {}= 0

cos⁡θ\cos\theta=12{}= \dfrac{1}{2} より θ\theta=π3,{}= \dfrac{\pi}{3}, 53π\ \dfrac{5}{3}\pi，cos⁡θ\cos\theta=−1{}= -1 より θ\theta=π{}= \pi です。

よって θ=π3,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\theta = \dfrac{\pi}{3},} π,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \pi,} 53π‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \dfrac{5}{3}\pi} です。

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問6　★

00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi のとき、不等式 −1-1≦tan⁡θ{}\leqq \tan\theta<3{}< \sqrt{3} を満たす θ\theta の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

00≦θ{}\leqq \theta<π3{}< \dfrac{\pi}{3}，34π\dfrac{3}{4}\pi≦θ{}\leqq \theta<43π{}< \dfrac{4}{3}\pi，74π\dfrac{7}{4}\pi≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi

解説

tan⁡θ\tan\theta は周期 π\pi なので、まず 00≦θ{}\leqq \theta<π{}< \pi で考えます（θ\theta=π2{}= \dfrac{\pi}{2} は定義されないので除きます）。

  • 00≦θ{}\leqq \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} では tan⁡θ\tan\theta≧0{}\geqq 0 で増加し、tan⁡θ\tan\theta<3{}< \sqrt{3} となるのは 00≦θ{}\leqq \theta<π3{}< \dfrac{\pi}{3}
  • π2\dfrac{\pi}{2}<θ{}< \theta<π{}< \pi では tan⁡θ\tan\theta<0{}< 0 で増加し、tan⁡θ\tan\theta≧−1{}\geqq -1 となるのは 34π\dfrac{3}{4}\pi≦θ{}\leqq \theta<π{}< \pi

これに π\pi を足した範囲 π\pi≦θ{}\leqq \theta<43π{}< \dfrac{4}{3}\pi，74π\dfrac{7}{4}\pi≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi も解です。34π\dfrac{3}{4}\pi≦θ{}\leqq \theta<π{}< \pi と π\pi≦θ{}\leqq \theta<43π{}< \dfrac{4}{3}\pi はつながるので

0≦θ<π3,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}0 \leqq \theta < \frac{\pi}{3},}34π≦θ<43π,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \frac{3}{4}\pi \leqq \theta < \frac{4}{3}\pi,}74π≦θ<2π‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \frac{7}{4}\pi \leqq \theta < 2\pi}
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問7　★

π2\dfrac{\pi}{2}<α{}< \alpha<π{}< \pi，00<β{}< \beta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} で、tan⁡α\tan\alpha=−2{}= -2，tan⁡β\tan\beta=13{}= \dfrac{1}{3} のとき、tan⁡(α−β)\tan(\alpha - \beta)，sin⁡2α\sin 2\alpha，cos⁡2α\cos 2\alpha の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

tan⁡(α−β)\tan(\alpha - \beta)=−7{}= -7，sin⁡2α\sin 2\alpha=−45{}= -\dfrac{4}{5}，cos⁡2α\cos 2\alpha=−35{}= -\dfrac{3}{5}

解説
tan⁡(α−β)\displaystyle \tan(\alpha - \beta)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle {}= \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}=−2−131−23\displaystyle {}= \frac{-2 - \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{3}}=−7313\displaystyle {}= \frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}}=−7‾\displaystyle {}= \underline{-7}

α\alpha の動径は第2象限なので cos⁡α\cos\alpha<0{}< 0 です。11+tan⁡2α{}+ \tan^2\alpha=1cos⁡2α{}= \dfrac{1}{\cos^2\alpha} より cos⁡2α\cos^2\alpha=15{}= \dfrac{1}{5}，cos⁡α\cos\alpha=−15{}= -\dfrac{1}{\sqrt{5}}，sin⁡α\sin\alpha=tan⁡αcos⁡α{}= \tan\alpha\cos\alpha=25{}= \dfrac{2}{\sqrt{5}} です。

sin⁡2α\displaystyle \sin 2\alpha=2⋅25⋅(−15)\displaystyle {}= 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=−45‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{4}{5}},cos⁡2α\displaystyle \cos 2\alpha=15\displaystyle {}= \frac{1}{5}−45\displaystyle {}- \frac{4}{5}=−35‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{3}{5}}
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問8　★

(1) sin⁡165∘+sin⁡75∘\sin 165^\circ + \sin 75^\circ

(2) cos⁡165∘sin⁡75∘\cos 165^\circ \sin 75^\circ

上の各式の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}　(2) −2+34-\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}

解説

(1) 和は和積の公式で積にします。165∘+75∘2\dfrac{165^\circ + 75^\circ}{2}=120∘{}= 120^\circ，165∘−75∘2\dfrac{165^\circ - 75^\circ}{2}=45∘{}= 45^\circ なので

sin⁡165∘+sin⁡75∘\displaystyle \sin 165^\circ + \sin 75^\circ=2sin⁡120∘cos⁡45∘\displaystyle {}= 2\sin 120^\circ\cos 45^\circ=2⋅32⋅22\displaystyle {}= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=62‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{6}}{2}}

(2) 積は次の積和の公式で和にします。

cos⁡αsin⁡β\displaystyle \cos\alpha\sin\beta=12{sin⁡(α+β)\displaystyle {}= \frac{1}{2}\bigl\{\sin(\alpha + \beta)−sin⁡(α−β)}\displaystyle {}\qquad - \sin(\alpha - \beta)\bigr\} cos⁡165∘sin⁡75∘\displaystyle \cos 165^\circ \sin 75^\circ=12(sin⁡240∘−sin⁡90∘)\displaystyle {}= \frac{1}{2}(\sin 240^\circ - \sin 90^\circ)=12(−32−1)\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)=−2+34‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}
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問9　★★

00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi のとき、不等式 cos⁡2θ\cos 2\theta+3sin⁡θ{}+ 3\sin\theta−2{}- 2>0{}> 0 を満たす θ\theta の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

π6\dfrac{\pi}{6}<θ{}< \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}<θ{}< \theta<56π{}< \dfrac{5}{6}\pi

解説

cos⁡2θ\cos 2\theta=1{}= 1−2sin⁡2θ{}- 2\sin^2\theta を使って sin⁡θ\sin\theta だけの式にします。

1\displaystyle 1−2sin⁡2θ\displaystyle {}- 2\sin^2\theta+3sin⁡θ\displaystyle {}+ 3\sin\theta−2\displaystyle {}- 2>0\displaystyle {}> 02sin⁡2θ\displaystyle 2\sin^2\theta−3sin⁡θ\displaystyle {}- 3\sin\theta+1\displaystyle {}+ 1<0\displaystyle {}< 0 (2sin⁡θ−1)(sin⁡θ−1)\displaystyle (2\sin\theta - 1)(\sin\theta - 1)<0\displaystyle {}< 012\displaystyle \frac{1}{2}<sin⁡θ\displaystyle {}< \sin\theta<1\displaystyle {}< 1

00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi で sin⁡θ\sin\theta>12{}> \dfrac{1}{2} となるのは π6\dfrac{\pi}{6}<θ{}< \theta<56π{}< \dfrac{5}{6}\pi です。このうち sin⁡θ\sin\theta=1{}= 1 となる θ\theta=π2{}= \dfrac{\pi}{2} を除いて

π6<θ<π2,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2},}π2<θ<56π‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5}{6}\pi}
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問10　★★

00≦θ{}\leqq \theta≦π2{}\leqq \dfrac{\pi}{2} のとき、関数 yy=cos⁡2θ{}= \cos^2\theta+2sin⁡θcos⁡θ{}+ 2\sin\theta\cos\theta−sin⁡2θ{}- \sin^2\theta の最大値と最小値、およびそのときの θ\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

θ\theta=π8{}= \dfrac{\pi}{8} で最大値 2\sqrt{2}，θ\theta=π2{}= \dfrac{\pi}{2} で最小値 −1-1

解説

2倍角の公式で次数を下げます。cos⁡2θ\cos^2\theta−sin⁡2θ{}- \sin^2\theta=cos⁡2θ{}= \cos 2\theta，2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta=sin⁡2θ{}= \sin 2\theta なので

y\displaystyle y=sin⁡2θ\displaystyle {}= \sin 2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos 2\theta=2sin⁡(2θ+π4)\displaystyle {}= \sqrt{2}\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{4}\right)

00≦θ{}\leqq \theta≦π2{}\leqq \dfrac{\pi}{2} より

π4\displaystyle \frac{\pi}{4}≦2θ\displaystyle {}\leqq 2\theta+π4\displaystyle {}+ \frac{\pi}{4}≦54π\displaystyle {}\leqq \frac{5}{4}\pi

この範囲で sin⁡(2θ+π4)\sin\left(2\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) は、2θ2\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}=π2{}= \dfrac{\pi}{2} で最大値 11，2θ2\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}=54π{}= \dfrac{5}{4}\pi で最小値 −22-\dfrac{\sqrt{2}}{2} をとります。

  • 最大：2θ2\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}=π2{}= \dfrac{\pi}{2} より θ\theta=π8{}= \dfrac{\pi}{8}，yy=2{}= \sqrt{2}
  • 最小：2θ2\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}=54π{}= \dfrac{5}{4}\pi より θ\theta=π2{}= \dfrac{\pi}{2}，yy=2⋅(−22){}= \sqrt{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=−1{}= -1

よって θ=π8 で最大値 2‾\underline{\theta = \dfrac{\pi}{8} \text{ で最大値 } \sqrt{2}}，θ=π2 で最小値 ‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}\theta = \dfrac{\pi}{2} \text{ で最小値 }}−1‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}{}-1} です。

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問11　★★

00≦θ{}\leqq \theta≦π{}\leqq \pi のとき、関数 yy=sin⁡θcos⁡θ{}= \sin\theta\cos\theta+sin⁡θ{}+ \sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta について、tt=sin⁡θ{}= \sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta とおきます。tt のとりうる値の範囲を求め、yy を tt の式で表しなさい。また、yy の最大値と最小値、およびそのときの θ\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−1-1≦t{}\leqq t≦2{}\leqq \sqrt{2}，yy=12t2{}= \dfrac{1}{2}t^2+t{}+ t−12{}- \dfrac{1}{2}，θ\theta=π4{}= \dfrac{\pi}{4} で最大値 12\dfrac{1}{2}+2{}+ \sqrt{2}，θ\theta=π{}= \pi で最小値 −1-1

解説

合成すると tt=2sin⁡(θ+π4){}= \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) です。00≦θ{}\leqq \theta≦π{}\leqq \pi より π4\dfrac{\pi}{4}≦θ{}\leqq \theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}≦54π{}\leqq \dfrac{5}{4}\pi なので

−22\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}≦sin⁡(θ+π4)\displaystyle {}\leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)≦1\displaystyle {}\leqq 1−1≦t≦2‾\displaystyle \underline{-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}}

t2t^2=1{}= 1+2sin⁡θcos⁡θ{}+ 2\sin\theta\cos\theta より sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta=t2−12{}= \dfrac{t^2 - 1}{2} です。

y\displaystyle y=t2−12\displaystyle {}= \frac{t^2 - 1}{2}+t\displaystyle {}+ t=12t2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{1}{2}t^2}+t‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ t}−12‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- \frac{1}{2}}=12(t+1)2\displaystyle {}= \frac{1}{2}(t + 1)^2−1\displaystyle {}- 1

軸 tt=−1{}= -1 は区間の左端なので、−1-1≦t{}\leqq t≦2{}\leqq \sqrt{2} で yy は増加します。

  • 最小：tt=−1{}= -1 のとき yy=−1{}= -1。sin⁡(θ+π4)\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)=−22{}= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} で、範囲内では θ\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}=54π{}= \dfrac{5}{4}\pi，すなわち θ\theta=π{}= \pi
  • 最大：tt=2{}= \sqrt{2} のとき yy=12(2+1)2{}= \dfrac{1}{2}(\sqrt{2} + 1)^2−1{}- 1=12{}= \dfrac{1}{2}+2{}+ \sqrt{2}。θ\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}=π2{}= \dfrac{\pi}{2} より θ\theta=π4{}= \dfrac{\pi}{4}

よって θ=π4 で最大値 12‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\theta = \dfrac{\pi}{4} \text{ で最大値 } \dfrac{1}{2}}+2，θ=π で最小値 ‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \sqrt{2}，\theta = \pi \text{ で最小値 }}−1‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}-1} です。

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問12　★★

00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi のとき、方程式 sin⁡θ\sin\theta−sin⁡2θ{}- \sin 2\theta+sin⁡3θ{}+ \sin 3\theta=0{}= 0 の解を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

θ\theta=0,{}= 0, π3,\ \dfrac{\pi}{3}, π2,\ \dfrac{\pi}{2}, π,\ \pi, 32π,\ \dfrac{3}{2}\pi, 53π\ \dfrac{5}{3}\pi

解説

sin⁡3θ\sin 3\theta+sin⁡θ{}+ \sin\theta を和積の公式で積にすると、sin⁡2θ\sin 2\theta が共通因数として現れます。

sin⁡3θ\displaystyle \sin 3\theta+sin⁡θ\displaystyle {}+ \sin\theta=2sin⁡3θ+θ2cos⁡3θ−θ2\displaystyle {}= 2\sin\frac{3\theta + \theta}{2}\cos\frac{3\theta - \theta}{2}=2sin⁡2θcos⁡θ\displaystyle {}= 2\sin 2\theta\cos\theta

よって方程式は

2sin⁡2θcos⁡θ\displaystyle 2\sin 2\theta\cos\theta−sin⁡2θ\displaystyle {}- \sin 2\theta=0\displaystyle {}= 0sin⁡2θ (2cos⁡θ−1)\displaystyle \sin 2\theta\,(2\cos\theta - 1)=0\displaystyle {}= 0
  • sin⁡2θ\sin 2\theta=0{}= 0：00≦2θ{}\leqq 2\theta<4π{}< 4\pi より 2θ2\theta=0,{}= 0, π,\ \pi, 2π,\ 2\pi, 3π\ 3\pi，すなわち θ\theta=0,{}= 0, π2,\ \dfrac{\pi}{2}, π,\ \pi, 32π\ \dfrac{3}{2}\pi
  • cos⁡θ\cos\theta=12{}= \dfrac{1}{2}：θ\theta=π3,{}= \dfrac{\pi}{3}, 53π\ \dfrac{5}{3}\pi

よって θ=0,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\theta = 0,} π3,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \dfrac{\pi}{3},} π2,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \dfrac{\pi}{2},} π,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \pi,} 32π,‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \dfrac{3}{2}\pi,} 53π‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \dfrac{5}{3}\pi} です。

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問13　★★

00<α{}< \alpha<π2{}< \dfrac{\pi}{2}，00<β{}< \beta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} で、tan⁡α\tan\alpha，tan⁡β\tan\beta が2次方程式 2x22x^2−6x{}- 6x+1{}+ 1=0{}= 0 の2つの解であるとき、tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta) と sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta)=6{}= 6，sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta)=63737{}= \dfrac{6\sqrt{37}}{37}

解説

解と係数の関係より

tan⁡α\displaystyle \tan\alpha+tan⁡β\displaystyle {}+ \tan\beta=3,\displaystyle {}= 3,tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan\alpha\tan\beta=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}

加法定理より

tan⁡(α+β)\displaystyle \tan(\alpha + \beta)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle {}= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}=31−12\displaystyle {}= \frac{3}{1 - \frac{1}{2}}=6‾\displaystyle {}= \underline{6}

次に α\alpha+β{}+ \beta の範囲を調べます。00<α{}< \alpha+β{}+ \beta<π{}< \pi で tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta)=6{}= 6>0{}> 0 なので、00<α{}< \alpha+β{}+ \beta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} です。よって cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta)>0{}> 0，sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta)>0{}> 0 です。

cos⁡2(α+β)\displaystyle \cos^2(\alpha + \beta)=11+62\displaystyle {}= \frac{1}{1 + 6^2}=137\displaystyle {}= \frac{1}{37}cos⁡(α+β)\displaystyle \cos(\alpha + \beta)=137\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{37}} sin⁡(α+β)\displaystyle \sin(\alpha + \beta)=tan⁡(α+β)cos⁡(α+β)\displaystyle {}= \tan(\alpha + \beta)\cos(\alpha + \beta)=637\displaystyle {}= \frac{6}{\sqrt{37}}=63737‾\displaystyle {}= \underline{\frac{6\sqrt{37}}{37}}
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問14　★★

cos⁡θ (sin⁡θ+cos⁡θ)\cos\theta\,(\sin\theta + \cos\theta)≠0{}\neq 0 のとき、次の等式が成り立つことを示しなさい。

1+sin⁡2θ−cos⁡2θ1+sin⁡2θ+cos⁡2θ\displaystyle \frac{1 + \sin 2\theta - \cos 2\theta}{1 + \sin 2\theta + \cos 2\theta}=tan⁡θ\displaystyle {}= \tan\theta

また、この等式を用いて tan⁡π8\tan\dfrac{\pi}{8} の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

（証明は解説を参照）tan⁡π8\tan\dfrac{\pi}{8}=2{}= \sqrt{2}−1{}- 1

解説

2倍角の公式 11−cos⁡2θ{}- \cos 2\theta=2sin⁡2θ{}= 2\sin^2\theta，11+cos⁡2θ{}+ \cos 2\theta=2cos⁡2θ{}= 2\cos^2\theta，sin⁡2θ\sin 2\theta=2sin⁡θcos⁡θ{}= 2\sin\theta\cos\theta で、分子・分母の「11」を消します。

(分子)\displaystyle (\text{分子})=2sin⁡2θ\displaystyle {}= 2\sin^2\theta+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta=2sin⁡θ (sin⁡θ+cos⁡θ)\displaystyle {}= 2\sin\theta\,(\sin\theta + \cos\theta) (分母)\displaystyle (\text{分母})=2cos⁡2θ\displaystyle {}= 2\cos^2\theta+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta=2cos⁡θ (sin⁡θ+cos⁡θ)\displaystyle {}= 2\cos\theta\,(\sin\theta + \cos\theta)

仮定より分母は 00 でないので、sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta で約分できて

(左辺)\displaystyle (\text{左辺})=2sin⁡θ (sin⁡θ+cos⁡θ)2cos⁡θ (sin⁡θ+cos⁡θ)\displaystyle {}= \frac{2\sin\theta\,(\sin\theta + \cos\theta)}{2\cos\theta\,(\sin\theta + \cos\theta)}=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=tan⁡θ\displaystyle {}= \tan\theta=(右辺)\displaystyle {}= (\text{右辺})

次に θ\theta=π8{}= \dfrac{\pi}{8} とおきます（cos⁡π8\cos\dfrac{\pi}{8}>0{}> 0，sin⁡π8\sin\dfrac{\pi}{8}+cos⁡π8{}+ \cos\dfrac{\pi}{8}>0{}> 0 で仮定を満たします）。2θ2\theta=π4{}= \dfrac{\pi}{4} なので sin⁡2θ\sin 2\theta=cos⁡2θ{}= \cos 2\theta=22{}= \dfrac{\sqrt{2}}{2} です。

tan⁡π8\displaystyle \tan\frac{\pi}{8}=1+22−221+22+22\displaystyle {}= \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}=11+2\displaystyle {}= \frac{1}{1 + \sqrt{2}}=2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}\sqrt{2}}−1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}- 1}
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問15　★★

関数 yy=2sin⁡θcos⁡θ{}= 2\sin\theta\cos\theta+3(cos⁡2θ−sin⁡2θ){}+ \sqrt{3}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) を rsin⁡(2θ+α)r\sin(2\theta + \alpha)（rr>0{}> 0，−π-\pi<α{}< \alpha≦π{}\leqq \pi）の形で表しなさい。また、00≦θ{}\leqq \theta<π{}< \pi のとき、不等式 yy≦−1{}\leqq -1 を満たす θ\theta の値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

yy=2sin⁡(2θ+π3){}= 2\sin\left(2\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)，512π\dfrac{5}{12}\pi≦θ{}\leqq \theta≦34π{}\leqq \dfrac{3}{4}\pi

解説

2倍角の公式より yy=sin⁡2θ{}= \sin 2\theta+3cos⁡2θ{}+ \sqrt{3}\cos 2\theta です。点 (1, 3)(1,\ \sqrt{3}) は原点からの距離が 22、偏角が π3\dfrac{\pi}{3} なので

y\displaystyle y=2sin⁡(2θ+π3)‾\displaystyle {}= \underline{2\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{3}\right)}

不等式は sin⁡(2θ+π3)\sin\left(2\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)≦−12{}\leqq -\dfrac{1}{2} です。00≦θ{}\leqq \theta<π{}< \pi より

π3\displaystyle \frac{\pi}{3}≦2θ\displaystyle {}\leqq 2\theta+π3\displaystyle {}+ \frac{\pi}{3}<73π\displaystyle {}< \frac{7}{3}\pi

この範囲で sin⁡x\sin x≦−12{}\leqq -\dfrac{1}{2}（xx=2θ{}= 2\theta+π3{}+ \dfrac{\pi}{3}）となるのは、単位円の下側の弧 76π\dfrac{7}{6}\pi≦x{}\leqq x≦116π{}\leqq \dfrac{11}{6}\pi です。

76π\displaystyle \frac{7}{6}\pi≦2θ\displaystyle {}\leqq 2\theta+π3\displaystyle {}+ \frac{\pi}{3}≦116π\displaystyle {}\leqq \frac{11}{6}\pi56π\displaystyle \frac{5}{6}\pi≦2θ\displaystyle {}\leqq 2\theta≦32π\displaystyle {}\leqq \frac{3}{2}\pi

よって 512π≦θ≦34π‾\underline{\dfrac{5}{12}\pi \leqq \theta \leqq \dfrac{3}{4}\pi} です。

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問16　★★

AA=π3{}= \dfrac{\pi}{3} である三角形 ABC\mathrm{ABC} について、sin⁡Bsin⁡C\sin B \sin C のとりうる値の範囲を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

00<sin⁡Bsin⁡C{}< \sin B\sin C≦34{}\leqq \dfrac{3}{4}（最大は BB=C{}= C=π3{}= \dfrac{\pi}{3} のとき）

解説

AA+B{}+ B+C{}+ C=π{}= \pi より BB+C{}+ C=23π{}= \dfrac{2}{3}\pi です。積和の公式で和にします。

sin⁡Bsin⁡C\displaystyle \sin B\sin C=−12{cos⁡(B+C)\displaystyle {}= -\frac{1}{2}\bigl\{\cos(B + C)−cos⁡(B−C)}\displaystyle {}\qquad - \cos(B - C)\bigr\}=−12{−12−cos⁡(B−C)}\displaystyle {}= -\frac{1}{2}\left\{-\frac{1}{2} - \cos(B - C)\right\}=14\displaystyle {}= \frac{1}{4}+12cos⁡(B−C)\displaystyle {}+ \frac{1}{2}\cos(B - C)

CC=23π{}= \dfrac{2}{3}\pi−B{}- B で、BB>0{}> 0，CC>0{}> 0 より 00<B{}< B<23π{}< \dfrac{2}{3}\pi なので

B\displaystyle B−C\displaystyle {}- C=2B\displaystyle {}= 2B−23π,\displaystyle {}- \frac{2}{3}\pi,−23π\displaystyle -\frac{2}{3}\pi<B\displaystyle {}< B−C\displaystyle {}- C<23π\displaystyle {}< \frac{2}{3}\pi

この範囲で −12-\dfrac{1}{2}<cos⁡(B−C){}< \cos(B - C)≦1{}\leqq 1（等号は BB−C{}- C=0{}= 0 のとき）です。よって

14\displaystyle \frac{1}{4}−14\displaystyle {}- \frac{1}{4}<sin⁡Bsin⁡C\displaystyle {}< \sin B\sin C≦14\displaystyle {}\leqq \frac{1}{4}+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}0<sin⁡Bsin⁡C≦34‾\displaystyle \underline{0 < \sin B\sin C \leqq \frac{3}{4}}

最大値 34\dfrac{3}{4} をとるのは BB=C{}= C=π3{}= \dfrac{\pi}{3}（正三角形）のときです。

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問17　★★★

aa を定数とします。00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi のとき、関数 yy=sin⁡2θ{}= \sin 2\theta−2a(sin⁡θ+cos⁡θ){}- 2a(\sin\theta + \cos\theta) の最小値を aa を用いて表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa<−2{}< -\sqrt{2} のとき 22a2\sqrt{2}a+1{}+ 1，−2-\sqrt{2}≦a{}\leqq a≦2{}\leqq \sqrt{2} のとき −a2-a^2−1{}- 1，aa>2{}> \sqrt{2} のとき −22a-2\sqrt{2}a+1{}+ 1

解説

tt=sin⁡θ{}= \sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=2sin⁡(θ+π4){}= \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) とおきます。00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi では θ\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4} が1周するので

−2\displaystyle -\sqrt{2}≦t\displaystyle {}\leqq t≦2\displaystyle {}\leqq \sqrt{2}

t2t^2=1{}= 1+sin⁡2θ{}+ \sin 2\theta より sin⁡2θ\sin 2\theta=t2{}= t^2−1{}- 1 なので

y\displaystyle y=t2\displaystyle {}= t^2−1\displaystyle {}- 1−2at\displaystyle {}- 2at=(t−a)2\displaystyle {}= (t - a)^2−a2\displaystyle {}- a^2−1\displaystyle {}- 1

これを f(t)f(t) とします。軸 tt=a{}= a と区間 −2-\sqrt{2}≦t{}\leqq t≦2{}\leqq \sqrt{2} の位置で場合分けします。

  • aa<−2{}< -\sqrt{2} のとき：区間で f(t)f(t) は増加するので、最小値は f(−2)f(-\sqrt{2})=2{}= 2+22a{}+ 2\sqrt{2}a−1{}- 1=22a{}= 2\sqrt{2}a+1{}+ 1
  • −2-\sqrt{2}≦a{}\leqq a≦2{}\leqq \sqrt{2} のとき：軸が区間内にあるので、最小値は f(a)f(a)=−a2{}= -a^2−1{}- 1
  • aa>2{}> \sqrt{2} のとき：区間で f(t)f(t) は減少するので、最小値は f(2)f(\sqrt{2})=2{}= 2−22a{}- 2\sqrt{2}a−1{}- 1=−22a{}= -2\sqrt{2}a+1{}+ 1

よって最小値は

{22a+1(a<−2)−a2−1(−2≦a≦2)−22a+1(a>2)‾\underline{ \begin{cases} 2\sqrt{2}a + 1 \quad (a < -\sqrt{2}) \\ -a^2 - 1 \quad (-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}) \\ -2\sqrt{2}a + 1 \quad (a > \sqrt{2}) \end{cases} }

（aa=±2{}= \pm\sqrt{2} では、となりの式の値 −3-3 と一致しています。）

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問18　★★★

00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi のとき、θ\theta の方程式 2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta+sin⁡θ{}+ \sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=k{}= k が異なる4個の解をもつような定数 kk の値の範囲を求めなさい。また、異なる3個の解をもつような kk の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

4個：−54-\dfrac{5}{4}<k{}< k<1{}< 1−2{}- \sqrt{2}，3個：kk=1{}= 1−2{}- \sqrt{2}

解説

tt=sin⁡θ{}= \sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=2sin⁡(θ+π4){}= \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) とおくと、−2-\sqrt{2}≦t{}\leqq t≦2{}\leqq \sqrt{2}，2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta=t2{}= t^2−1{}- 1 です。方程式は

t2\displaystyle t^2+t\displaystyle {}+ t−1\displaystyle {}- 1=k\displaystyle {}= k

tt と θ\theta の対応：00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi のとき、θ\theta+π4{}+ \dfrac{\pi}{4} は π4\dfrac{\pi}{4} から1周します。tt の値1つに対して、−2-\sqrt{2}<t{}< t<2{}< \sqrt{2} なら θ\theta は2個、tt=±2{}= \pm\sqrt{2} なら θ\theta は1個です。

f(t)f(t)=t2{}= t^2+t{}+ t−1{}- 1=(t+12)2{}= \left(t + \dfrac{1}{2}\right)^2−54{}- \dfrac{5}{4} のグラフ（−2-\sqrt{2}≦t{}\leqq t≦2{}\leqq \sqrt{2}）と直線 yy=k{}= k の共有点を調べます。端の値は

f(−2)\displaystyle f(-\sqrt{2})=2\displaystyle {}= 2−2\displaystyle {}- \sqrt{2}−1\displaystyle {}- 1=1\displaystyle {}= 1−2,\displaystyle {}- \sqrt{2},f(2)\displaystyle f(\sqrt{2})=1\displaystyle {}= 1+2\displaystyle {}+ \sqrt{2}

で、−54-\dfrac{5}{4}<1{}< 1−2{}- \sqrt{2}<1{}< 1+2{}+ \sqrt{2} です。

  • θ\theta が4個 ⇔ −2-\sqrt{2}<t{}< t<2{}< \sqrt{2} に tt が2個。グラフの頂点より上で、左端の値より下にあるときなので −54<k<1‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}-\dfrac{5}{4} < k < 1}−2‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- \sqrt{2}}
  • kk=1{}= 1−2{}- \sqrt{2} のとき、t2t^2+t{}+ t−2{}- 2+2{}+ \sqrt{2}=0{}= 0 の解は tt=−2{}= -\sqrt{2} と tt=2{}= \sqrt{2}−1{}- 1（解の和が −1-1）です。tt=−2{}= -\sqrt{2} から θ\theta が1個、−2-\sqrt{2}<2{}< \sqrt{2}−1{}- 1<2{}< \sqrt{2} から θ\theta が2個で、合わせて3個です。

ほかの kk では、kk=−54{}= -\dfrac{5}{4} で2個、11−2{}- \sqrt{2}<k{}< k<1{}< 1+2{}+ \sqrt{2} で2個、kk=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} で1個、それ以外は0個なので、3個になるのは k=1‾\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}k = 1}−2‾\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}- \sqrt{2}} だけです。

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問19　★★★

座標平面上に2点 A(0, 1)\mathrm{A}(0,\ 1)，B(0, 4)\mathrm{B}(0,\ 4) があり、点 P(x, 0)\mathrm{P}(x,\ 0)（xx>0{}> 0）を xx 軸の正の部分で動かします。∠APB\angle\mathrm{APB}=θ{}= \theta とするとき、tan⁡θ\tan\theta を xx の式で表しなさい。また、θ\theta が最大になるときの xx の値と、そのときの tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

tan⁡θ\tan\theta=3xx2+4{}= \dfrac{3x}{x^2 + 4}，xx=2{}= 2 のとき最大で tan⁡θ\tan\theta=34{}= \dfrac{3}{4}

解説

原点を O\mathrm{O} とし、∠OPB\angle\mathrm{OPB}=β{}= \beta，∠OPA\angle\mathrm{OPA}=α{}= \alpha とおきます。直角三角形 OPB\mathrm{OPB}，OPA\mathrm{OPA} より

tan⁡β\displaystyle \tan\beta=4x,\displaystyle {}= \frac{4}{x},tan⁡α\displaystyle \tan\alpha=1x\displaystyle {}= \frac{1}{x}

θ\theta=β{}= \beta−α{}- \alpha なので、加法定理より

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=4x−1x1+4x⋅1x\displaystyle {}= \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{x}}=3xx2+4x2\displaystyle {}= \frac{\frac{3}{x}}{\frac{x^2 + 4}{x^2}}=3xx2+4‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3x}{x^2 + 4}}

分母・分子を xx で割ると tan⁡θ\tan\theta=3x+4x{}= \dfrac{3}{x + \frac{4}{x}} です。xx>0{}> 0 なので、相加平均と相乗平均の関係より

x\displaystyle x+4x\displaystyle {}+ \frac{4}{x}≧2x⋅4x\displaystyle {}\geqq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}=4\displaystyle {}= 4

等号は xx=4x{}= \dfrac{4}{x}，すなわち xx=2{}= 2 のときです。よって tan⁡θ\tan\theta≦34{}\leqq \dfrac{3}{4} です。

00<θ{}< \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} で tan⁡θ\tan\theta は増加するので、tan⁡θ\tan\theta が最大のとき θ\theta も最大です。したがって x=2‾\underline{x = 2} のとき θ\theta は最大で，tan⁡θ=34‾\underline{\tan\theta = \dfrac{3}{4}} です。

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問20　★★★

三角形 ABC\mathrm{ABC} において、不等式 cos⁡A\cos A+cos⁡B{}+ \cos B+cos⁡C{}+ \cos C≦32{}\leqq \dfrac{3}{2} が成り立つことを示しなさい。また、等号が成り立つときの AA，BB，CC を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

（証明は解説を参照）等号は AA=B{}= B=C{}= C=π3{}= \dfrac{\pi}{3} のとき

解説

AA+B{}+ B+C{}+ C=π{}= \pi より A+B2\dfrac{A + B}{2}=π2{}= \dfrac{\pi}{2}−C2{}- \dfrac{C}{2} なので、cos⁡A+B2\cos\dfrac{A + B}{2}=sin⁡C2{}= \sin\dfrac{C}{2} です。和積の公式より

cos⁡A\displaystyle \cos A+cos⁡B\displaystyle {}+ \cos B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\displaystyle {}= 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}=2sin⁡C2cos⁡A−B2\displaystyle {}= 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}

00<C2{}< \dfrac{C}{2}<π2{}< \dfrac{\pi}{2} より sin⁡C2\sin\dfrac{C}{2}>0{}> 0，また cos⁡A−B2\cos\dfrac{A - B}{2}≦1{}\leqq 1 なので

cos⁡A\displaystyle \cos A+cos⁡B\displaystyle {}+ \cos B≦2sin⁡C2\displaystyle {}\leqq 2\sin\frac{C}{2}

等号は cos⁡A−B2\cos\dfrac{A - B}{2}=1{}= 1，すなわち AA=B{}= B のときです（−π2-\dfrac{\pi}{2}<A−B2{}< \dfrac{A - B}{2}<π2{}< \dfrac{\pi}{2} のため）。

さらに半角の公式から cos⁡C\cos C=1{}= 1−2sin⁡2C2{}- 2\sin^2\dfrac{C}{2} です。ss=sin⁡C2{}= \sin\dfrac{C}{2} とおくと

cos⁡A\displaystyle \cos A+cos⁡B\displaystyle {}+ \cos B+cos⁡C\displaystyle {}+ \cos C≦2s\displaystyle {}\leqq 2s+1\displaystyle {}+ 1−2s2\displaystyle {}- 2s^2=−2(s−12)2\displaystyle {}= -2\left(s - \frac{1}{2}\right)^2+32\displaystyle {}+ \frac{3}{2}≦32\displaystyle {}\leqq \frac{3}{2}

よって cos⁡A\cos A+cos⁡B{}+ \cos B+cos⁡C{}+ \cos C≦32{}\leqq \dfrac{3}{2} が成り立ちます。

等号は AA=B{}= B かつ ss=12{}= \dfrac{1}{2} のときです。00<C2{}< \dfrac{C}{2}<π2{}< \dfrac{\pi}{2} で sin⁡C2\sin\dfrac{C}{2}=12{}= \dfrac{1}{2} より CC=π3{}= \dfrac{\pi}{3}，すると AA=B{}= B=π3{}= \dfrac{\pi}{3} です。したがって等号は A=B=C=π3‾\underline{A = B = C = \dfrac{\pi}{3}}（正三角形）のときに成り立ちます。

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