目次 ／ 三角比と三角関数 ／ 数学II

第6章　三角関数の定義と性質

—— 単位円の点の座標を「実数 θ の関数」として読み直す ——

第5章の終わりで、単位円上の点 P を「一般角 θ の動径と単位円の交点」と読み直し、「どんな実数 θ にも P が 1 つ決まる」ことを確かめました。この章では、その P の x 座標・y 座標を cos θ・sin θ と呼び直して、sin・cos・tan を「すべての実数で定義された関数」＝三角関数にします。第2章で 0° から 180° に広げたときと同じく、「もとの範囲では前の定義と一致する」ことを確認してから先へ進みます。象限ごとの符号、相互関係、そして第5章の j20 で出した「原点対称・x 軸対称・y 軸対称」を sin・cos の公式に書き直し、新しく「直線 y = x 対称（π/2 − θ）」を加えます。最後に「θ を動かすと sin θ がどう動くか」を単位円で追いかけて、第7章のグラフにつなぎます。

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単位円の点を「実数 θ の関数」として読む

第5章の最後で確かめたことを、もう一度書きます。始線 OA\mathrm{OA} を一般角 θ\theta だけ回した動径は、θ\theta がどんな実数でも単位円とただ 1 点で交わります。その交点を P\mathrm{P} とすると、どんな実数 θ\theta に対しても点 P\mathrm{P} が 1 つ決まる——つまり「θ\theta を入れると P\mathrm{P} の座標が出てくる」対応は、実数全体で定義された関数です。この座標に、第2章と同じ名前を付けます。

x y A(1, 0) O P(cos θ, sin θ) cos θ sin θ θ 第1象限 sin + cos + tan + 第2象限 sin + cos − tan − 第3象限 sin − cos − tan + 第4象限 sin − cos + tan −
公式1：三角関数の定義

一般角 θ\theta の動径と単位円の交点を P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とするとき

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=y,\displaystyle {}= y,cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=x,\displaystyle {}= x,tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=yx\displaystyle {}= \frac{y}{x}(x≠0)\displaystyle (x \neq 0)

と定める。こうして実数 θ\theta に値を対応させる sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta を三角関数という。

  • 00≦θ{}\leqq \theta≦π{}\leqq \pi のとき、点 P\mathrm{P} は第2章の「A\mathrm{A} から反時計回りに θ\theta 進んだ点」とまったく同じ点です。したがって、この範囲では第2章の三角比と同じ値になります（定義の拡張——もとの範囲で一致することを確認してから、同じ記号を使います）。
  • xx=0{}= 0 になるのは P\mathrm{P} が (0, 1)(0,\ 1) か (0, −1)(0,\ -1) のとき、つまり θ\theta=π2{}= \dfrac{\pi}{2}+nπ{}+ n\pi（nn は整数）のときです。このとき tan⁡θ\tan\theta は定義しません。
  • P\mathrm{P} は単位円上にあるので、つねに −1-1≦sin⁡θ{}\leqq \sin\theta≦1{}\leqq 1，−1-1≦cos⁡θ{}\leqq \cos\theta≦1{}\leqq 1 です。

時計の秒針を思い浮かべてください。秒針の先端の「高さ」と「中心から見た左右の位置」は、針が何周してきたかに関係なく、今どこを指しているかだけで決まります。一般角 θ\theta の「何周したか」の部分は動径の位置に影響しないので、sin⁡θ\sin\theta・cos⁡θ\cos\theta も「今の位置」だけで決まる——第5章の「時計の針は今どこを指しているかだけ読む」を、そのまま座標に翻訳したのが公式1です。

三角関数とは「一般角 θ\theta の動径と単位円の交点の yy 座標・xx 座標・その比」であり、実数全体で定義された関数（tan⁡\tan だけは π2\dfrac{\pi}{2}+nπ{}+ n\pi を除く）だということです。

例題1：定義から三角関数の値を求める

次の角 θ\theta について、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

(1) θ\displaystyle \text{(1)}\ \theta=54π\displaystyle {}= \frac{5}{4}\pi(2) θ\displaystyle \text{(2)}\ \theta=−π3\displaystyle {}= -\frac{\pi}{3}(3) θ\displaystyle \text{(3)}\ \theta=3π\displaystyle {}= 3\pi

【解答】

(1) 54π\dfrac{5}{4}\pi=π{}= \pi+π4{}+ \dfrac{\pi}{4} なので、動径は第3象限にあり、xx 軸の負の部分と π4\dfrac{\pi}{4} の角をなします。P\mathrm{P} から xx 軸に下ろした垂線で直角三角形を作ると、斜辺 11、角 π4\dfrac{\pi}{4} なので 2 辺の長さはどちらも 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}。第3象限なので xx，yy ともに負です。

P(−22, −22)\displaystyle \mathrm{P}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)⟹sin⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta=−22‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=−22‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=1‾\displaystyle {}= \underline{1}

(2) −π3-\dfrac{\pi}{3} の動径は、π3\dfrac{\pi}{3} の動径を xx 軸で折り返した位置（第4象限）にあります。大きさは π3\dfrac{\pi}{3} の三角定規で読み、yy 座標だけ負にします。

P(12, −32)\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)⟹sin⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta=−32‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{2}},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=12‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=−3‾\displaystyle {}= \underline{-\sqrt{3}}

(3) 3π3\pi=π{}= \pi+2π{}+ 2\pi なので、動径は π\pi と同じ位置、P(−1, 0)\mathrm{P}(-1,\ 0) です。

sin⁡3π\displaystyle \sin 3\pi=0‾,\displaystyle {}= \underline{0},cos⁡3π\displaystyle \cos 3\pi=−1‾,\displaystyle {}= \underline{-1},tan⁡3π\displaystyle \tan 3\pi=0‾\displaystyle {}= \underline{0}

第2章と同じ「三角定規で大きさ・位置で符号」の 2 段階です。違うのは、P\mathrm{P} が xx 軸の下（第3・第4象限）にも来るので、sin⁡\sin も負になりうることです。

象限と符号

第2章では「cos⁡\cos と tan⁡\tan は鈍角で負」でした。動径が下半分にも来る今は、sin⁡\sin の符号も加わって 4 通りになります。

公式2：各象限での三角関数の符号
動径の位置第1象限第2象限第3象限第4象限
sin⁡θ\sin\theta（yy 座標）++++−-−-
cos⁡θ\cos\theta（xx 座標）++−-−-++
tan⁡θ\tan\theta（y÷xy \div x）++−-++−-
  • sin⁡\sin は「上半分で正」、cos⁡\cos は「右半分で正」、tan⁡\tan は「2 つの符号が同じ象限（第1・第3）で正」です。
  • 動径が座標軸の上にあるとき（θ\theta=0,{}= 0, π2,\ \dfrac{\pi}{2}, π,\ \pi, 32π,\ \dfrac{3}{2}\pi, …\ \ldots）は、sin⁡\sin か cos⁡\cos のどちらかが 00 になります。

地図の方角で考えると覚えやすくなります。原点を自分の家、xx 軸の正の向きを東、yy 軸の正の向きを北とすると、cos⁡θ\cos\theta は「東西のどちらにどれだけ」、sin⁡θ\sin\theta は「南北のどちらにどれだけ」です。第2象限は北西なので「北＝sin⁡\sin は正、西＝cos⁡\cos は負」、第3象限は南西なので両方とも負、第4象限は南東なので「南＝sin⁡\sin が負、東＝cos⁡\cos が正」。tan⁡\tan は 2 つの比なので、東西と南北の符号が同じ（北東・南西）で正です。

三角関数の符号は動径のある象限で決まり、sin⁡\sin は上半分、cos⁡\cos は右半分、tan⁡\tan は第1・第3象限で正になるということです。

例題2：符号から象限を、象限から符号を決める

(1) θ\theta=53π{}= \dfrac{5}{3}\pi のとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の符号を求めなさい。

(2) sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta>0{}> 0 かつ sin⁡θ\sin\theta<0{}< 0 のとき、θ\theta の動径は第何象限にあるか答えなさい。

【解答】

(1) 53π\dfrac{5}{3}\pi は 32π\dfrac{3}{2}\pi と 2π2\pi の間なので、動径は第4象限にあります。公式2より

sin⁡θ<0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\sin\theta < 0,}cos⁡θ>0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad \cos\theta > 0,}tan⁡θ<0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad \tan\theta < 0}

(2) sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta>0{}> 0 より sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta は同符号。sin⁡θ\sin\theta<0{}< 0 なので cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 でもあります。両方とも負になるのは第3象限です。

第3象限‾\underline{\text{第3象限}}

「積が正 ⇒ 同符号」と読み替えてから表を見る、という順番です。

相互関係は一般角でも変わらない

第1章で三平方の定理から、第2章で円の方程式から導いた相互関係の式は、θ\theta がどんな実数でも同じ形で成り立ちます。理由は変わりません——点 P(cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta) は単位円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 の上にあるからです。

公式3：相互関係（一般角）
(1) sin⁡2θ\displaystyle \text{(1)}\ \sin^2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1(2) tan⁡θ\displaystyle \text{(2)}\ \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(3) 1\displaystyle \text{(3)}\ 1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}
  • (1) はすべての実数 θ\theta で成り立ちます。(2)，(3) は tan⁡θ\tan\theta が定義される θ\theta（cos⁡θ\cos\theta≠0{}\neq 0）で成り立ちます。
  • 1 つの値から残りを求めるとき、cos⁡θ\cos\theta=±⋯{}= \pm\sqrt{\cdots} の符号は動径の象限で決めます。象限が分からなければ、2 組の答えになります（第2章の例題4と同じ考え方）。

電車はどれだけ走ってもレールから降りません。単位円がレール、点 P\mathrm{P} が電車です。θ\theta が増えても減っても、1 周しても逆走しても、P\mathrm{P} の座標はつねにレールの式 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 を満たす——それが (1) です。座標の値は刻々と変わるのに、この 1 本の関係だけは決して崩れません。

相互関係の 3 つの式は、P\mathrm{P} が単位円から離れないという事実そのものなので、角の範囲を実数全体に広げても同じ形で使えるということです。

例題3：象限を使って符号を決める

θ\theta の動径が第4象限にあり、cos⁡θ\cos\theta=13{}= \dfrac{1}{3} のとき、sin⁡θ\sin\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

【解答】

公式3(1) より

sin⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta=1\displaystyle {}= 1−cos⁡2θ\displaystyle {}- \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1−19\displaystyle {}- \frac{1}{9}=89\displaystyle {}= \frac{8}{9}

第4象限では sin⁡θ\sin\theta<0{}< 0 なので

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=−223‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}

公式3(2) より

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=−223÷13\displaystyle {}= -\frac{2\sqrt{2}}{3} \div \frac{1}{3}=−22‾\displaystyle {}= \underline{-2\sqrt{2}}

第2章までは「sin⁡\sin は負にならない」と決めつけられましたが、今は sin⁡\sin の符号も象限で確かめます。「第4象限 ⇒ sin⁡\sin が負」を最初に書いてから計算を始めると、符号の付け忘れが減ります。

θ + 2nπ・−θ・θ + π・π − θ の公式——j20 の 3 つの図を式にする

第5章の j20 で、角 θ\theta の点 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) に対して

でした。公式1で xx=cos⁡θ{}= \cos\theta，yy=sin⁡θ{}= \sin\theta と呼び直せば、この 3 つの図がそのまま公式になります。さらに、θ\theta+2nπ{}+ 2n\pi の動径は θ\theta の動径と同じ位置なので、点も同じです。

x y O P(cos θ, sin θ) θ T(−cos θ, sin θ) π − θ：y 軸対称 R(cos θ, −sin θ) −θ：x 軸対称 Q(−cos θ, −sin θ) θ + π：原点対称
公式4：θ + 2nπ・−θ・θ + π・π − θ の三角関数

nn を整数とする。

角sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan図の意味
θ+2nπ\theta + 2n\pisin⁡θ\sin\thetacos⁡θ\cos\thetatan⁡θ\tan\theta同じ動径（nn 周の差）
−θ-\theta−sin⁡θ-\sin\thetacos⁡θ\cos\theta−tan⁡θ-\tan\thetaxx 軸対称
θ+π\theta + \pi−sin⁡θ-\sin\theta−cos⁡θ-\cos\thetatan⁡θ\tan\theta原点対称（半周）
π−θ\pi - \thetasin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ-\cos\theta−tan⁡θ-\tan\thetayy 軸対称
  • tan⁡\tan の行は「sin⁡\sin の符号 ÷ cos⁡\cos の符号」で決まります。原点対称では両方に負がつくので tan⁡\tan は変わりません。
  • π\pi−θ{}- \theta の行は、第2章の 180∘−θ180^\circ - \theta の公式そのものです（一般角でも成り立ちます）。
  • θ\theta−π{}- \pi は θ\theta+π{}+ \pi と 2π2\pi 違いなので、同じ公式が使えます。

紙に単位円と点 P\mathrm{P} を描き、折り紙のように扱ってみてください。xx 軸で谷折りすると P\mathrm{P} は R\mathrm{R} に重なり（高さだけ反転＝−θ-\theta）、yy 軸で折ると T\mathrm{T} に重なり（左右だけ反転＝π\pi−θ{}- \theta）、紙を机の上で半回転させると Q\mathrm{Q} に来ます（両方反転＝θ\theta+π{}+ \pi）。第2章の「鏡」は yy 軸で折ることだけでしたが、今は折る線が 2 本と、回す操作が 1 つに増えました。表を丸暗記するより、「どの線で折ったか」を思い出すほうが確実です。

−θ-\theta は xx 軸対称、θ\theta+π{}+ \pi は原点対称、π\pi−θ{}- \theta は yy 軸対称なので、符号だけが変わり、θ\theta+2nπ{}+ 2n\pi は同じ動径なので何も変わらないということです。

例題4：公式4で 0 から π/2 の角に直す

次の値を求めなさい。

(1) sin⁡76π\displaystyle \text{(1)}\ \sin\frac{7}{6}\pi(2) cos⁡(−π4)\displaystyle \text{(2)}\ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)(3) tan⁡56π\displaystyle \text{(3)}\ \tan\frac{5}{6}\pi(4) sin⁡256π\displaystyle \text{(4)}\ \sin\frac{25}{6}\pi

【解答】

(1) 76π\dfrac{7}{6}\pi=π{}= \pi+π6{}+ \dfrac{\pi}{6} なので、原点対称の行より

sin⁡76π\displaystyle \sin\frac{7}{6}\pi=sin⁡(π+π6)\displaystyle {}= \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right)=−sin⁡π6\displaystyle {}= -\sin\frac{\pi}{6}=−12‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}}

(2) xx 軸対称の行より、cos⁡\cos は変わりません。

cos⁡(−π4)\displaystyle \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=cos⁡π4\displaystyle {}= \cos\frac{\pi}{4}=22‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}

(3) 56π\dfrac{5}{6}\pi=π{}= \pi−π6{}- \dfrac{\pi}{6} なので、yy 軸対称の行より

tan⁡56π\displaystyle \tan\frac{5}{6}\pi=tan⁡(π−π6)\displaystyle {}= \tan\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)=−tan⁡π6\displaystyle {}= -\tan\frac{\pi}{6}=−33‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{3}}

(4) 256π\dfrac{25}{6}\pi=π6{}= \dfrac{\pi}{6}+4π{}+ 4\pi=π6{}= \dfrac{\pi}{6}+2π×2{}+ 2\pi \times 2 なので

sin⁡256π\displaystyle \sin\frac{25}{6}\pi=sin⁡π6\displaystyle {}= \sin\frac{\pi}{6}=12‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}}

どの公式を使っても、最後は 00 から π2\dfrac{\pi}{2} までの角（三角定規の角）の値に帰着します。まず 2π2\pi を足し引きして 00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi に入れ、次に π\pi±{}\pm や −- の形に分解する、という順で進めます。

π/2 − θ・π/2 + θ の公式——直線 y = x で折る

公式4の 3 つの対称は、xx 軸・yy 軸・原点でした。もう 1 本、大事な折り線があります。直線 yy=x{}= x です。第1章の 90∘−θ90^\circ - \theta の公式（sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わる）は、この折り線の話でした。第5章では触れていないので、ここで初めて扱います。

x y O y = x P(cos θ, sin θ) P′(sin θ, cos θ) θ π/2 − θ 直線 y = x で折ると x 座標と y 座標が入れ替わる

角 π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta の動径は、yy 軸の正の部分（角 π2\dfrac{\pi}{2}）から時計回りに θ\theta 戻った位置です。角 θ\theta の動径が xx 軸から反時計回りに θ\theta 進んだ位置なので、2 本の動径は xx 軸と yy 軸のちょうど真ん中の直線 yy=x{}= x について対称です。直線 yy=x{}= x で折り返すと、点の xx 座標と yy 座標が入れ替わります。

公式5：π/2 − θ・π/2 + θ の三角関数
角sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan図の意味
π2−θ\dfrac{\pi}{2} - \thetacos⁡θ\cos\thetasin⁡θ\sin\theta1tan⁡θ\dfrac{1}{\tan\theta}直線 y=xy = x 対称（座標の入れ替え）
π2+θ\dfrac{\pi}{2} + \thetacos⁡θ\cos\theta−sin⁡θ-\sin\theta−1tan⁡θ-\dfrac{1}{\tan\theta}y=xy = x で折ってから yy 軸で折る
  • π2\dfrac{\pi}{2}+θ{}+ \theta=π{}= \pi−(π2−θ){}- \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) なので、2 行目は 1 行目に公式4の yy 軸対称を重ねたものです。sin⁡(π2+θ)\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)=sin⁡(π2−θ){}= \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)=cos⁡θ{}= \cos\theta，cos⁡(π2+θ)\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)=−cos⁡(π2−θ){}= -\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)=−sin⁡θ{}= -\sin\theta。
  • π2\dfrac{\pi}{2} が絡む公式では sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わる。π\pi が絡む公式（公式4）では入れ替わらない。これが 2 つの公式の見分け方です。
  • tan⁡\tan の行は θ\theta≠nπ2{}\neq \dfrac{n\pi}{2} のときに意味を持ちます。

正方形の折り紙を対角線で折ると、タテの長さとヨコの長さが入れ替わります。単位円を描いた紙を直線 yy=x{}= x（対角線）で折るのも同じで、P\mathrm{P} の「高さ」が折り返した点の「横の位置」になります。公式4の折り線（xx 軸・yy 軸）は符号を変えるだけでしたが、対角線で折ると役割そのものが入れ替わる——だから sin⁡\sin が cos⁡\cos になります。

π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta は直線 yy=x{}= x 対称なので sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わり、π2\dfrac{\pi}{2}+θ{}+ \theta はそれに yy 軸対称を重ねたものなので cos⁡\cos に負がつくということです。

例題5：π/2 が絡む公式を使う

(1) sin⁡23π\sin\dfrac{2}{3}\pi を、23π\dfrac{2}{3}\pi=π2{}= \dfrac{\pi}{2}+π6{}+ \dfrac{\pi}{6} と見て公式5で求めなさい。

(2) cos⁡56π\cos\dfrac{5}{6}\pi を、56π\dfrac{5}{6}\pi=π2{}= \dfrac{\pi}{2}+π3{}+ \dfrac{\pi}{3} と見て公式5で求めなさい。

(3) tan⁡(π2−θ)tan⁡θ\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\tan\theta を簡単にしなさい。ただし θ\theta≠nπ2{}\neq \dfrac{n\pi}{2}（nn は整数）とします。

【解答】

(1) 公式5の 2 行目より

sin⁡23π\displaystyle \sin\frac{2}{3}\pi=sin⁡(π2+π6)\displaystyle {}= \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)=cos⁡π6\displaystyle {}= \cos\frac{\pi}{6}=32‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}

(2) 同じく 2 行目の cos⁡\cos より

cos⁡56π\displaystyle \cos\frac{5}{6}\pi=cos⁡(π2+π3)\displaystyle {}= \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)=−sin⁡π3\displaystyle {}= -\sin\frac{\pi}{3}=−32‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{2}}

(3) 公式5の 1 行目より tan⁡(π2−θ)\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)=1tan⁡θ{}= \dfrac{1}{\tan\theta} なので

tan⁡(π2−θ)tan⁡θ\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\tan\theta=1tan⁡θ⋅tan⁡θ\displaystyle {}= \frac{1}{\tan\theta} \cdot \tan\theta=1‾\displaystyle {}= \underline{1}

(1) は 23π\dfrac{2}{3}\pi=π{}= \pi−π3{}- \dfrac{\pi}{3} と見て公式4で sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3}=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} としても同じ値です。どちらの分解でも答えは一致します——公式が「正しく作られている」ことの小さな確認になっています。

第7章へ——θ を動かすと sin θ はどう動くか

第1章で「θ\theta が増えると sin⁡θ\sin\theta は増える」と書きました。あれは角を鋭角に限っていたからで、一般角ではそうなりません。点 P\mathrm{P} を単位円の上で反時計回りに動かして、yy 座標（sin⁡θ\sin\theta）を追いかけてみます。

そして θ\theta=2π{}= 2\pi で P\mathrm{P} は出発点に戻り、以後は同じことの繰り返しです（公式4の θ\theta+2nπ{}+ 2n\pi）。この「2π2\pi ごとに同じ値に戻る」性質を周期といい、第7章で正確に定義します。sin⁡θ\sin\theta は 11 と −1-1 の間を行ったり来たりする——第2章の小話で「観覧車のゴンドラの影は一直線上を往復する」と書いたのは、この動きのことでした。

θ\theta も sin⁡θ\sin\theta も実数なので、横軸に θ\theta、縦軸に sin⁡θ\sin\theta をとれば、ふつうの関数と同じようにグラフが描けます。上の 4 段階の増減をつなげると、なめらかな波の形になるはずです。第7章では、その波（サインカーブ）と cos⁡\cos・tan⁡\tan のグラフを描き、公式5の「sin⁡(θ+π2)\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)=cos⁡θ{}= \cos\theta」が「sin⁡\sin のグラフを横に π2\dfrac{\pi}{2} ずらすと cos⁡\cos のグラフになる」という意味だったことを確かめます。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

sin⁡76π\sin\dfrac{7}{6}\pi の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−12‾\underline{-\dfrac{1}{2}}（76π\dfrac{7}{6}\pi=π{}= \pi+π6{}+ \dfrac{\pi}{6}、第3象限）

自己採点：
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問2

cos⁡(−π3)\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

12‾\underline{\dfrac{1}{2}}（cos⁡(−θ)\cos(-\theta)=cos⁡θ{}= \cos\theta）

自己採点：
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問3

tan⁡54π\tan\dfrac{5}{4}\pi の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

1‾\underline{1}（54π\dfrac{5}{4}\pi=π{}= \pi+π4{}+ \dfrac{\pi}{4}、tan⁡(θ+π)\tan(\theta + \pi)=tan⁡θ{}= \tan\theta）

自己採点：
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問4

θ\theta の動径が第3象限にあるとき、cos⁡θ\cos\theta の符号を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡θ<0‾\underline{\cos\theta < 0}（第3象限では xx 座標が負）

自己採点：
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問5

sin⁡(θ+π)\sin(\theta + \pi) を sin⁡θ\sin\theta で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

−sin⁡θ‾\underline{-\sin\theta}（原点対称）

自己採点：
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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

θ\theta=43π{}= \dfrac{4}{3}\pi のとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

sin⁡θ\sin\theta=−32,{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2},cos⁡θ\cos\theta=−12,{}= -\dfrac{1}{2},tan⁡θ\tan\theta=3{}= \sqrt{3}

解説

43π\dfrac{4}{3}\pi=π{}= \pi+π3{}+ \dfrac{\pi}{3} なので、動径は第3象限にあり、xx 軸の負の部分と π3\dfrac{\pi}{3} の角をなします。大きさは π3\dfrac{\pi}{3} の三角定規、符号は第3象限なので xx，yy ともに負です。

P(−12, −32)\mathrm{P}\left(-\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=−32‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{2}},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=−12‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=−32−12\displaystyle {}= \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=3‾\displaystyle {}= \underline{\sqrt{3}}

tan⁡\tan は負÷負で正です。第3象限で tan⁡\tan が正になるのは、公式2の表の通りです。

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問2　★

θ\theta=−π6{}= -\dfrac{\pi}{6} のとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=−12,{}= -\dfrac{1}{2},cos⁡θ\cos\theta=32,{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2},tan⁡θ\tan\theta=−33{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}

解説

−π6-\dfrac{\pi}{6} の動径は、π6\dfrac{\pi}{6} の動径を xx 軸で折り返した位置（第4象限）です。公式4の xx 軸対称の行より

sin⁡(−π6)\displaystyle \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=−sin⁡π6\displaystyle {}= -\sin\frac{\pi}{6}=−12‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}},cos⁡(−π6)\displaystyle \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=cos⁡π6\displaystyle {}= \cos\frac{\pi}{6}=32‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}} tan⁡(−π6)\displaystyle \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=−tan⁡π6\displaystyle {}= -\tan\frac{\pi}{6}=−33‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{3}}

負の角では yy 座標だけが反転します。cos⁡\cos はそのままです。

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問3　★

θ\theta=114π{}= \dfrac{11}{4}\pi のとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=22,{}= \dfrac{\sqrt{2}}{2},cos⁡θ\cos\theta=−22,{}= -\dfrac{\sqrt{2}}{2},tan⁡θ\tan\theta=−1{}= -1

解説

まず 2π2\pi を引いて 00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi に入れます。

114π\displaystyle \frac{11}{4}\pi=34π\displaystyle {}= \frac{3}{4}\pi+2π\displaystyle {}+ 2\pi

よって動径は 34π\dfrac{3}{4}\pi=π{}= \pi−π4{}- \dfrac{\pi}{4} の位置（第2象限）にあります。yy 軸対称の行より

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=sin⁡π4\displaystyle {}= \sin\frac{\pi}{4}=22‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{2}}{2}},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=−cos⁡π4\displaystyle {}= -\cos\frac{\pi}{4}=−22‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=−tan⁡π4\displaystyle {}= -\tan\frac{\pi}{4}=−1‾\displaystyle {}= \underline{-1}

「2π2\pi を足し引きする → π\pi±{}\pm の形に分解する」の 2 段階です。

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問4　★

θ\theta=32π{}= \dfrac{3}{2}\pi のとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta の値を求めなさい。また、tan⁡θ\tan\theta が定義されるかどうかを確かめなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=−1,{}= -1,cos⁡θ\cos\theta=0{}= 0，tan⁡θ\tan\theta は定義しない

解説

32π\dfrac{3}{2}\pi の動径は yy 軸の負の部分にあり、単位円との交点は P(0, −1)\mathrm{P}(0,\ -1) です。

sin⁡32π\displaystyle \sin\frac{3}{2}\pi=−1‾,\displaystyle {}= \underline{-1},cos⁡32π\displaystyle \cos\frac{3}{2}\pi=0‾\displaystyle {}= \underline{0}

xx=0{}= 0 なので tan⁡32π\tan\dfrac{3}{2}\pi=yx{}= \dfrac{y}{x} は 00 で割ることになり、定義しません。tan⁡\tan が定義されないのは θ\theta=π2{}= \dfrac{\pi}{2}+nπ{}+ n\pi のときで、32π\dfrac{3}{2}\pi は nn=1{}= 1 の場合です。

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問5　★

(1) sin⁡θ\sin\theta<0{}< 0 かつ tan⁡θ\tan\theta>0{}> 0

(2) cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 かつ tan⁡θ\tan\theta<0{}< 0

上の (1)，(2) それぞれについて、条件を満たす θ\theta の動径がある象限を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 第3象限　(2) 第2象限

解説

公式2の表を使います。

(1) tan⁡θ\tan\theta>0{}> 0 なのは第1象限か第3象限。そのうち sin⁡θ\sin\theta<0{}< 0 なのは第3象限です。

(2) cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 なのは第2象限か第3象限。そのうち tan⁡θ\tan\theta<0{}< 0 なのは第2象限です。

(1) 第3象限,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\text{(1) 第3象限},}(2) 第2象限‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\qquad \text{(2) 第2象限}}

2 つの条件で象限を 1 つに絞る問題です。tan⁡\tan の符号は「sin⁡\sin と cos⁡\cos の符号が同じか違うか」と読み替えると速いです。

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問6　★

θ\theta の動径が第3象限にあり、sin⁡θ\sin\theta=−35{}= -\dfrac{3}{5} のとき、cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡θ\cos\theta=−45,{}= -\dfrac{4}{5},tan⁡θ\tan\theta=34{}= \dfrac{3}{4}

解説

公式3(1) より

cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1−sin⁡2θ\displaystyle {}- \sin^2\theta=1\displaystyle {}= 1−925\displaystyle {}- \frac{9}{25}=1625\displaystyle {}= \frac{16}{25}

第3象限では cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 なので

cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=−45‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{4}{5}} tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=−35−45\displaystyle {}= \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=34‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{4}}

第1章・第2章と同じ 3:4:53 : 4 : 5 の数値ですが、第3象限なので sin⁡\sin も cos⁡\cos も負、tan⁡\tan だけ正です。

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問7　★

(1) sin⁡56π\displaystyle \text{(1)}\ \sin\frac{5}{6}\pi(2) cos⁡76π\displaystyle \text{(2)}\ \cos\frac{7}{6}\pi(3) tan⁡(−π4)\displaystyle \text{(3)}\ \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)

上の 3 つを、00 より大きく π2\dfrac{\pi}{2} より小さい角の三角関数で表しなさい。また、その値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) sin⁡π6\sin\dfrac{\pi}{6}=12{}= \dfrac{1}{2}　(2) −cos⁡π6-\cos\dfrac{\pi}{6}=−32{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}　(3) −tan⁡π4-\tan\dfrac{\pi}{4}=−1{}= -1

解説

(1) 56π\dfrac{5}{6}\pi=π{}= \pi−π6{}- \dfrac{\pi}{6} なので、yy 軸対称の行より

sin⁡56π\displaystyle \sin\frac{5}{6}\pi=sin⁡(π−π6)\displaystyle {}= \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)=sin⁡π6=12‾\displaystyle {}= \underline{\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}}

(2) 76π\dfrac{7}{6}\pi=π{}= \pi+π6{}+ \dfrac{\pi}{6} なので、原点対称の行より

cos⁡76π\displaystyle \cos\frac{7}{6}\pi=cos⁡(π+π6)\displaystyle {}= \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right)=−cos⁡π6=−32‾\displaystyle {}= \underline{-\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}}

(3) xx 軸対称の行より

tan⁡(−π4)\displaystyle \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=−tan⁡π4=−1‾\displaystyle {}= \underline{-\tan\frac{\pi}{4} = -1}

公式4を使えば、どんな角の三角関数も 00 から π2\dfrac{\pi}{2} の角の値に直せます。

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問8　★

cos⁡(π2−θ)\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)−sin⁡(π−θ)\displaystyle {}- \sin(\pi - \theta)+sin⁡(π2+θ)\displaystyle {}+ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)−cos⁡(θ+π)\displaystyle {}- \cos(\theta + \pi)

上の式を簡単にして、cos⁡θ\cos\theta で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

2cos⁡θ2\cos\theta

解説

1 項ずつ公式で書き直します。

cos⁡(π2−θ)\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)=sin⁡θ,\displaystyle {}= \sin\theta,sin⁡(π−θ)\displaystyle \sin(\pi - \theta)=sin⁡θ\displaystyle {}= \sin\theta sin⁡(π2+θ)\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)=cos⁡θ,\displaystyle {}= \cos\theta,cos⁡(θ+π)\displaystyle \cos(\theta + \pi)=−cos⁡θ\displaystyle {}= -\cos\theta

したがって

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta−sin⁡θ\displaystyle {}- \sin\theta+cos⁡θ\displaystyle {}+ \cos\theta−(−cos⁡θ)\displaystyle {}- (-\cos\theta)=2cos⁡θ‾\displaystyle {}= \underline{2\cos\theta}

π2\dfrac{\pi}{2} が絡む 2 つは sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わり、π\pi が絡む 2 つは入れ替わらない——この見分けが要点です。

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問9　★★

θ\theta の動径が第2象限にあり、cos⁡θ\cos\theta=−513{}= -\dfrac{5}{13} のとき、sin⁡θ\sin\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=1213,{}= \dfrac{12}{13},tan⁡θ\tan\theta=−125{}= -\dfrac{12}{5}

解説
sin⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta=1\displaystyle {}= 1−cos⁡2θ\displaystyle {}- \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1−25169\displaystyle {}- \frac{25}{169}=144169\displaystyle {}= \frac{144}{169}

第2象限では sin⁡θ\sin\theta>0{}> 0 なので

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=1213‾\displaystyle {}= \underline{\frac{12}{13}} tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=1213÷(−513)\displaystyle {}= \frac{12}{13} \div \left(-\frac{5}{13}\right)=−125‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{12}{5}}

5:12:135 : 12 : 13 の直角三角形です。第2象限なので cos⁡\cos と tan⁡\tan が負、sin⁡\sin は正です。

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問10　★★

tan⁡θ\tan\theta=2{}= 2 のとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(sin⁡θ, cos⁡θ)(\sin\theta,\ \cos\theta)=(255, 55),{}= \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\ \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right), (−255, −55)\ \left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\ -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)

解説

公式3(3) より

1cos⁡2θ\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta}=1\displaystyle {}= 1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \tan^2\theta=1\displaystyle {}= 1+4\displaystyle {}+ 4=5\displaystyle {}= 5⟹cos⁡2θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \cos^2\theta=15\displaystyle {}= \frac{1}{5}

tan⁡θ\tan\theta>0{}> 0 なので、動径は第1象限か第3象限にあります。象限が指定されていないので、cos⁡θ\cos\theta は正・負の両方がありえます。

cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=±15\displaystyle {}= \pm\frac{1}{\sqrt{5}}=±55\displaystyle {}= \pm\frac{\sqrt{5}}{5}

sin⁡θ\sin\theta=tan⁡θcos⁡θ{}= \tan\theta\cos\theta=2cos⁡θ{}= 2\cos\theta なので、cos⁡θ\cos\theta と同じ符号になります。

(sin⁡θ, cos⁡θ)=(255, 55),‾\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}(\sin\theta,\ \cos\theta) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5},\ \frac{\sqrt{5}}{5}\right),} (−255, −55)‾\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\ \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\ -\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}

前者が第1象限、後者が第3象限です。tan⁡\tan の値だけでは象限が 1 つに決まらないので、答えは 2 組になります（第2章の例題4と同じ状況）。

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問11　★★

sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=12{}= \dfrac{1}{2} のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta と sin⁡3θ\sin^3\theta+cos⁡3θ{}+ \cos^3\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta=−38,{}= -\dfrac{3}{8},sin⁡3θ\sin^3\theta+cos⁡3θ{}+ \cos^3\theta=1116{}= \dfrac{11}{16}

解説

両辺を 2 乗して sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 を使います。

(sin⁡θ+cos⁡θ)2\displaystyle (\sin\theta + \cos\theta)^2=sin⁡2θ\displaystyle {}= \sin^2\theta+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta=14\displaystyle {}= \frac{1}{4} sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \sin\theta\cos\theta=−38‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{3}{8}}

3 乗の和は、a3a^3+b3{}+ b^3=(a+b)3{}= (a + b)^3−3ab(a+b){}- 3ab(a + b) を使って

sin⁡3θ\displaystyle \sin^3\theta+cos⁡3θ\displaystyle {}+ \cos^3\theta=(12)3\displaystyle {}= \left(\frac{1}{2}\right)^3−3⋅(−38)⋅12\displaystyle {}- 3 \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) \cdot \frac{1}{2}=18\displaystyle {}= \frac{1}{8}+916\displaystyle {}+ \frac{9}{16}=1116‾\displaystyle {}= \underline{\frac{11}{16}}

sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta<0{}< 0 なので、動径は第2象限か第4象限にあります。「和を 2 乗すると積が出る」のは、sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 があるからです。

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問12　★★

sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta=13{}= \dfrac{1}{3} のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta と tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta} の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta=49,{}= \dfrac{4}{9},tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta}=94{}= \dfrac{9}{4}

解説

両辺を 2 乗します。

(sin⁡θ−cos⁡θ)2\displaystyle (\sin\theta - \cos\theta)^2=1\displaystyle {}= 1−2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}- 2\sin\theta\cos\theta=19\displaystyle {}= \frac{1}{9}⟹sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta\cos\theta=49‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{9}}

tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta} は sin⁡\sin・cos⁡\cos に直して通分します。

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta+1tan⁡θ\displaystyle {}+ \frac{1}{\tan\theta}=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}+cos⁡θsin⁡θ\displaystyle {}+ \frac{\cos\theta}{\sin\theta}=sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=1sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}=94‾\displaystyle {}= \underline{\frac{9}{4}}

tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta}=1sin⁡θcos⁡θ{}= \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} は、この先も何度も使う変形です。

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問13　★★

sin⁡(π+θ)cos⁡(π2−θ)\displaystyle \sin(\pi + \theta)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)+cos⁡(π−θ)sin⁡(π2+θ)\displaystyle {}+ \cos(\pi - \theta)\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)

上の式の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−1-1

解説

各因数を書き直します。

sin⁡(π+θ)\displaystyle \sin(\pi + \theta)=−sin⁡θ,\displaystyle {}= -\sin\theta,cos⁡(π2−θ)\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)=sin⁡θ\displaystyle {}= \sin\theta cos⁡(π−θ)\displaystyle \cos(\pi - \theta)=−cos⁡θ,\displaystyle {}= -\cos\theta,sin⁡(π2+θ)\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)=cos⁡θ\displaystyle {}= \cos\theta

したがって

(−sin⁡θ)(sin⁡θ)\displaystyle (-\sin\theta)(\sin\theta)+(−cos⁡θ)(cos⁡θ)\displaystyle {}+ (-\cos\theta)(\cos\theta)=−sin⁡2θ\displaystyle {}= -\sin^2\theta−cos⁡2θ\displaystyle {}- \cos^2\theta=−(sin⁡2θ+cos⁡2θ)\displaystyle {}= -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)=−1‾\displaystyle {}= \underline{-1}

公式で書き直したあと、相互関係で 1 つの数にまとまる問題です。θ\theta によらず値が決まります。

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問14　★★

sin⁡(−76π)\sin\left(-\dfrac{7}{6}\pi\right)+cos⁡133π{}+ \cos\dfrac{13}{3}\pi+tan⁡(−54π){}+ \tan\left(-\dfrac{5}{4}\pi\right) の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

00

解説

3 つとも、2π2\pi を足し引きして 00≦θ{}\leqq \theta<2π{}< 2\pi に入れてから公式4を使います。

−76π\displaystyle -\frac{7}{6}\pi+2π\displaystyle {}+ 2\pi=56π\displaystyle {}= \frac{5}{6}\pi=π\displaystyle {}= \pi−π6\displaystyle {}- \frac{\pi}{6}⟹sin⁡(−76π)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right)=sin⁡56π\displaystyle {}= \sin\frac{5}{6}\pi=sin⁡π6\displaystyle {}= \sin\frac{\pi}{6}=12\displaystyle {}= \frac{1}{2} 133π\displaystyle \frac{13}{3}\pi−4π\displaystyle {}- 4\pi=π3\displaystyle {}= \frac{\pi}{3}⟹cos⁡133π\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \cos\frac{13}{3}\pi=cos⁡π3\displaystyle {}= \cos\frac{\pi}{3}=12\displaystyle {}= \frac{1}{2} −54π\displaystyle -\frac{5}{4}\pi+2π\displaystyle {}+ 2\pi=34π\displaystyle {}= \frac{3}{4}\pi=π\displaystyle {}= \pi−π4\displaystyle {}- \frac{\pi}{4}⟹tan⁡(−54π)\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \tan\left(-\frac{5}{4}\pi\right)=tan⁡34π\displaystyle {}= \tan\frac{3}{4}\pi=−tan⁡π4\displaystyle {}= -\tan\frac{\pi}{4}=−1\displaystyle {}= -1 12\displaystyle \frac{1}{2}+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}+(−1)\displaystyle {}+ (-1)=0‾\displaystyle {}= \underline{0}

負の角は −θ-\theta の公式で処理しても構いません。sin⁡(−76π)\sin\left(-\dfrac{7}{6}\pi\right)=−sin⁡76π{}= -\sin\dfrac{7}{6}\pi=−(−12){}= -\left(-\dfrac{1}{2}\right)=12{}= \dfrac{1}{2} で同じ値です。

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問15　★★

θ\theta の動径が第3象限にあるとき、sin⁡(θ+π2)\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)，cos⁡(π−θ)\cos(\pi - \theta)，tan⁡(θ+π)\tan(\theta + \pi) の符号をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡(θ+π2)\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)<0,{}< 0,cos⁡(π−θ)\cos(\pi - \theta)>0,{}> 0,tan⁡(θ+π)\tan(\theta + \pi)>0{}> 0

解説

まず公式で θ\theta の三角関数に直し、次に第3象限の符号（sin⁡\sin<0{}< 0，cos⁡\cos<0{}< 0，tan⁡\tan>0{}> 0）を当てはめます。

sin⁡(θ+π2)\displaystyle \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)=cos⁡θ\displaystyle {}= \cos\theta<0\displaystyle {}< 0 cos⁡(π−θ)\displaystyle \cos(\pi - \theta)=−cos⁡θ\displaystyle {}= -\cos\theta>0\displaystyle {}> 0 tan⁡(θ+π)\displaystyle \tan(\theta + \pi)=tan⁡θ\displaystyle {}= \tan\theta>0\displaystyle {}> 0 sin⁡(θ+π2)<0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.8360em}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) < 0,}cos⁡(π−θ)>0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.8360em}\qquad \cos(\pi - \theta) > 0,}tan⁡(θ+π)>0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.8360em}\qquad \tan(\theta + \pi) > 0}

図で確かめるなら、第3象限の動径を π2\dfrac{\pi}{2} 回すと第4象限（sin⁡\sin が負）、yy 軸で折ると第4象限（cos⁡\cos が正）、半周回すと第1象限（tan⁡\tan が正）です。

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問16　★★

sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta≠0{}\neq 0 のとき、次の等式が成り立つことを示しなさい。

11+tan⁡2θ\displaystyle \frac{1}{1 + \tan^2\theta}+tan⁡2θ1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \frac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}=1\displaystyle {}= 1

また、11+tan⁡2θ\dfrac{1}{1 + \tan^2\theta} と tan⁡2θ1+tan⁡2θ\dfrac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} をそれぞれ sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

11+tan⁡2θ\dfrac{1}{1 + \tan^2\theta}=cos⁡2θ,{}= \cos^2\theta,tan⁡2θ1+tan⁡2θ\dfrac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}=sin⁡2θ{}= \sin^2\theta（和は cos⁡2θ\cos^2\theta+sin⁡2θ{}+ \sin^2\theta=1{}= 1）

解説

公式3(3) より 11+tan⁡2θ{}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ{}= \dfrac{1}{\cos^2\theta} なので

11+tan⁡2θ\displaystyle \frac{1}{1 + \tan^2\theta}=cos⁡2θ\displaystyle {}= \cos^2\theta tan⁡2θ1+tan⁡2θ\displaystyle \frac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}=tan⁡2θcos⁡2θ\displaystyle {}= \tan^2\theta\cos^2\theta=sin⁡2θcos⁡2θ⋅cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \cdot \cos^2\theta=sin⁡2θ\displaystyle {}= \sin^2\theta

したがって

11+tan⁡2θ\displaystyle \frac{1}{1 + \tan^2\theta}+tan⁡2θ1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \frac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}=cos⁡2θ\displaystyle {}= \cos^2\theta+sin⁡2θ\displaystyle {}+ \sin^2\theta=1\displaystyle {}= 1

（証明終）

11+tan⁡2θ=cos⁡2θ,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.7924em]{0em}{2.2885em}\frac{1}{1 + \tan^2\theta} = \cos^2\theta,}tan⁡2θ1+tan⁡2θ=sin⁡2θ‾\displaystyle \underline{\rule[-0.7924em]{0em}{2.2885em}\qquad \frac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \sin^2\theta}

tan⁡\tan だけで書かれた式は、11+tan⁡2θ{}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ{}= \dfrac{1}{\cos^2\theta} で cos⁡\cos に戻すのが定石です。

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問17　★★★

sin⁡2π8\sin^2\dfrac{\pi}{8}+sin⁡238π{}+ \sin^2\dfrac{3}{8}\pi+sin⁡258π{}+ \sin^2\dfrac{5}{8}\pi+sin⁡278π{}+ \sin^2\dfrac{7}{8}\pi の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

22

解説

π8\dfrac{\pi}{8} の値は三角定規では出ません。そこで 4 つの角を π8\dfrac{\pi}{8} の三角関数にそろえることを考えます。

38π\displaystyle \frac{3}{8}\pi=π2\displaystyle {}= \frac{\pi}{2}−π8\displaystyle {}- \frac{\pi}{8}⟹sin⁡38π\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\frac{3}{8}\pi=cos⁡π8\displaystyle {}= \cos\frac{\pi}{8} 58π\displaystyle \frac{5}{8}\pi=π\displaystyle {}= \pi−38π\displaystyle {}- \frac{3}{8}\pi⟹sin⁡58π\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\frac{5}{8}\pi=sin⁡38π\displaystyle {}= \sin\frac{3}{8}\pi=cos⁡π8\displaystyle {}= \cos\frac{\pi}{8} 78π\displaystyle \frac{7}{8}\pi=π\displaystyle {}= \pi−π8\displaystyle {}- \frac{\pi}{8}⟹sin⁡78π\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\frac{7}{8}\pi=sin⁡π8\displaystyle {}= \sin\frac{\pi}{8}

したがって

sin⁡2π8\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{8}+cos⁡2π8\displaystyle {}+ \cos^2\frac{\pi}{8}+cos⁡2π8\displaystyle {}+ \cos^2\frac{\pi}{8}+sin⁡2π8\displaystyle {}+ \sin^2\frac{\pi}{8}=2(sin⁡2π8+cos⁡2π8)\displaystyle {}= 2\left(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}\right)=2‾\displaystyle {}= \underline{2}

値が分からない角でも、π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta で sin⁡\sin を cos⁡\cos に変え、π\pi−θ{}- \theta で sin⁡\sin をそろえれば、相互関係で消えます。「足して π2\dfrac{\pi}{2} になる組を探す」のがこの型の要点です。

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問18　★★★

32π\dfrac{3}{2}\pi−θ{}- \theta=π{}= \pi+(π2−θ){}+ \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) であることを用いて、次の等式が成り立つことを示しなさい。ただし tan⁡\tan については θ\theta≠nπ2{}\neq \dfrac{n\pi}{2}（nn は整数）とします。

sin⁡(32π−θ)\displaystyle \sin\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)=−cos⁡θ,\displaystyle {}= -\cos\theta,cos⁡(32π−θ)\displaystyle \cos\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)=−sin⁡θ,\displaystyle {}= -\sin\theta,tan⁡(32π−θ)\displaystyle \tan\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)=1tan⁡θ\displaystyle {}= \frac{1}{\tan\theta}

また、この等式を用いて cos⁡43π\cos\dfrac{4}{3}\pi の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

（証明）cos⁡43π\cos\dfrac{4}{3}\pi=−12{}= -\dfrac{1}{2}

解説

α\alpha=π2{}= \dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta とおくと 32π\dfrac{3}{2}\pi−θ{}- \theta=π{}= \pi+α{}+ \alpha です。公式4の原点対称の行と公式5の 1 行目を順に使います。

sin⁡(32π−θ)\displaystyle \sin\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)=sin⁡(π+α)\displaystyle {}= \sin(\pi + \alpha)=−sin⁡α\displaystyle {}= -\sin\alpha=−sin⁡(π2−θ)\displaystyle {}= -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)=−cos⁡θ\displaystyle {}= -\cos\theta cos⁡(32π−θ)\displaystyle \cos\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)=cos⁡(π+α)\displaystyle {}= \cos(\pi + \alpha)=−cos⁡α\displaystyle {}= -\cos\alpha=−cos⁡(π2−θ)\displaystyle {}= -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)=−sin⁡θ\displaystyle {}= -\sin\theta tan⁡(32π−θ)\displaystyle \tan\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)=−cos⁡θ−sin⁡θ\displaystyle {}= \frac{-\cos\theta}{-\sin\theta}=cos⁡θsin⁡θ\displaystyle {}= \frac{\cos\theta}{\sin\theta}=1tan⁡θ\displaystyle {}= \frac{1}{\tan\theta}

（証明終）

43π\dfrac{4}{3}\pi=32π{}= \dfrac{3}{2}\pi−π6{}- \dfrac{\pi}{6} なので

cos⁡43π\displaystyle \cos\frac{4}{3}\pi=cos⁡(32π−π6)\displaystyle {}= \cos\left(\frac{3}{2}\pi - \frac{\pi}{6}\right)=−sin⁡π6\displaystyle {}= -\sin\frac{\pi}{6}=−12‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}}

43π\dfrac{4}{3}\pi=π{}= \pi+π3{}+ \dfrac{\pi}{3} と見て −cos⁡π3-\cos\dfrac{\pi}{3}=−12{}= -\dfrac{1}{2} としても同じです。公式4と公式5を組み合わせると、32π\dfrac{3}{2}\pi±θ{}\pm \theta のような公式も自分で作れます。表を増やして暗記する必要はありません。

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問19　★★★

π4\dfrac{\pi}{4}<θ{}< \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} で sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta=14{}= \dfrac{1}{4} のとき、sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta と sin⁡3θ\sin^3\theta−cos⁡3θ{}- \cos^3\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta=22,{}= \dfrac{\sqrt{2}}{2},sin⁡3θ\sin^3\theta−cos⁡3θ{}- \cos^3\theta=528{}= \dfrac{5\sqrt{2}}{8}

解説

差を 2 乗して積を使います。

(sin⁡θ−cos⁡θ)2\displaystyle (\sin\theta - \cos\theta)^2=1\displaystyle {}= 1−2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}- 2\sin\theta\cos\theta=1\displaystyle {}= 1−12\displaystyle {}- \frac{1}{2}=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}

よって sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta=±22{}= \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2} です。符号を決めるには、π4\dfrac{\pi}{4}<θ{}< \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} で sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta のどちらが大きいかを調べます。

公式5より cos⁡θ\cos\theta=sin⁡(π2−θ){}= \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) で、π4\dfrac{\pi}{4}<θ{}< \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} のとき 00<π2{}< \dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta<π4{}< \dfrac{\pi}{4}<θ{}< \theta です。00 から π2\dfrac{\pi}{2} の範囲では角が大きいほど sin⁡\sin は大きい（第1章）ので

cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=sin⁡(π2−θ)\displaystyle {}= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)<sin⁡θ\displaystyle {}< \sin\theta⟹sin⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta−cos⁡θ\displaystyle {}- \cos\theta>0\displaystyle {}> 0 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta−cos⁡θ\displaystyle {}- \cos\theta=22‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}

3 乗の差は a3a^3−b3{}- b^3=(a−b)(a2+ab+b2){}= (a - b)(a^2 + ab + b^2) より

sin⁡3θ\displaystyle \sin^3\theta−cos⁡3θ\displaystyle {}- \cos^3\theta=(sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle {}= (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)=22⋅54\displaystyle {}= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4}=528‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5\sqrt{2}}{8}}

θ\theta=π4{}= \dfrac{\pi}{4} で sin⁡θ\sin\theta=cos⁡θ{}= \cos\theta になり、それより大きい角では sin⁡\sin が cos⁡\cos を追い越す——単位円で P\mathrm{P} が直線 yy=x{}= x より上にあるのが π4\dfrac{\pi}{4}<θ{}< \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} の範囲です。

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問20　★★★

単位円上で、角 θ\theta の動径と単位円の交点を P(cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta)、角 θ\theta+π2{}+ \dfrac{\pi}{2} の動径と単位円の交点を Q\mathrm{Q} とします。

(1) Q\mathrm{Q} の座標を cos⁡θ\cos\theta，sin⁡θ\sin\theta で表しなさい。

(2) θ\theta=0,{}= 0, π6,\ \dfrac{\pi}{6}, π3,\ \dfrac{\pi}{3}, π2\ \dfrac{\pi}{2} のそれぞれについて、sin⁡(θ+π2)\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) と cos⁡θ\cos\theta の値を求め、等しいことを確かめなさい。

(3) sin⁡(θ+52π)\sin\left(\theta + \dfrac{5}{2}\pi\right) を cos⁡θ\cos\theta で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) Q(−sin⁡θ, cos⁡θ)\mathrm{Q}(-\sin\theta,\ \cos\theta)　(2) 順に 1,1, 32,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 12,\ \dfrac{1}{2}, 0\ 0（両者一致）　(3) cos⁡θ\cos\theta

解説

(1) 公式5の 2 行目より

cos⁡(θ+π2)\displaystyle \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)=−sin⁡θ,\displaystyle {}= -\sin\theta,sin⁡(θ+π2)\displaystyle \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)=cos⁡θ\displaystyle {}= \cos\theta

なので

Q(−sin⁡θ, cos⁡θ)‾\underline{\mathrm{Q}(-\sin\theta,\ \cos\theta)}

図で言えば、P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) を原点のまわりに反時計回りに π2\dfrac{\pi}{2} 回した点が (−y, x)(-y,\ x) です。「xx 座標と yy 座標を入れ替えて、新しい xx 座標に負をつける」が四分の一回転の座標の動きです。

(2) sin⁡(θ+π2)\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) は角 θ\theta+π2{}+ \dfrac{\pi}{2} の sin⁡\sin を直接読み、cos⁡θ\cos\theta は角 θ\theta の cos⁡\cos を読みます。

θ\theta00π6\dfrac{\pi}{6}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
θ+π2\theta + \dfrac{\pi}{2}π2\dfrac{\pi}{2}23π\dfrac{2}{3}\pi56π\dfrac{5}{6}\piπ\pi
sin⁡(θ+π2)\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}12\dfrac{1}{2}00
cos⁡θ\cos\theta1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}12\dfrac{1}{2}00
4 つとも一致する‾\underline{\text{4 つとも一致する}}

(3) 52π\dfrac{5}{2}\pi=π2{}= \dfrac{\pi}{2}+2π{}+ 2\pi なので、公式4の θ\theta+2nπ{}+ 2n\pi の行と公式5より

sin⁡(θ+52π)\displaystyle \sin\left(\theta + \frac{5}{2}\pi\right)=sin⁡(θ+π2+2π)\displaystyle {}= \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2} + 2\pi\right)=sin⁡(θ+π2)\displaystyle {}= \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)=cos⁡θ‾\displaystyle {}= \underline{\cos\theta}

(2) の表は「sin⁡\sin の値の表を π2\dfrac{\pi}{2} だけ先に読むと cos⁡\cos の値の表になる」ことを示しています。第7章でグラフを描くと、これは「sin⁡θ\sin\theta のグラフを左に π2\dfrac{\pi}{2} ずらすと cos⁡θ\cos\theta のグラフに重なる」という形で現れます。(3) は、そのずらし方が 2π2\pi の整数倍だけ余分に動かしても変わらない（周期 2π2\pi）ことの確認です。

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数学小話コーナー

sin を「関数」にしたのはオイラー

sin⁡\sin という記号は、この章でようやく「実数 θ\theta を入れると値が出てくる関数」になりました。けれども歴史の上では、sin⁡\sin はずっと「三角形の辺の比」や「円の弦の長さ」として扱われていました。プトレマイオスの弦の表（第2章の小話）も、インドやアラビアの数学者たちの正弦表も、角の値ごとに長さを並べた表であって、関数という見方はまだありませんでした。

「三角関数は実数の関数だ」と正面から書いたのは、18 世紀スイスの数学者レオンハルト・オイラーだとされています。1748 年の『無限解析入門』で、オイラーは sin⁡\sin・cos⁡\cos を三角形から切り離し、「変数 zz に対して sin⁡z\sin z という量が定まる」と扱いました。単位円（半径 11）を基準にとって sin⁡\sin を長さでなく数として扱ったのも、この本の流儀です。ここでの「関数」は、いま私たちが使っている「入力に出力を対応させる規則」という意味そのものでした（※「関数」という言葉の由来や、オイラー以前の先駆者については諸説あり）。

豆知識

sin⁡\sin，cos⁡\cos，tan⁡\tan という 3 文字の略記が広く定着したのもオイラーの影響が大きいと言われています。彼は f(x)f(x) という関数の書き方、円周率の π\pi、自然対数の底 ee、虚数単位 ii など、今の数学の記号をいくつも定着させました。この章の「単位円の座標を (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) と呼ぶ」という見方は、300 年近く前にオイラーが選んだ書き方をなぞっているわけです。

方位角は「北から時計回り」——数学の角とのずれ

この章では、角を「xx 軸の正の向き（東）から反時計回り」に測りました。ところが船や飛行機、登山の地図、スマートフォンのコンパスが使う方位角は「北から時計回り」に測ります。北が 0∘0^\circ、東が 90∘90^\circ、南が 180∘180^\circ、西が 270∘270^\circ——ラジアンなら東が π2\dfrac{\pi}{2}、南が π\pi、西が 32π\dfrac{3}{2}\pi です。

数学の角 θ\theta と方位角 φ\varphi の関係は、図を描けばすぐ分かります。数学の角は東から反時計回り、方位角は北から時計回り。2 つの測り方は「直線 yy=x{}= x で折り返した関係」にあり、θ\theta=π2{}= \dfrac{\pi}{2}−φ{}- \varphi です。北（φ\varphi=0{}= 0）は数学の π2\dfrac{\pi}{2}、東（φ\varphi=π2{}= \dfrac{\pi}{2}）は数学の 00。ちょうど公式5の π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta が登場します。方位角 φ\varphi の向きに距離 dd だけ進んだときの「東向きの移動量」は dcos⁡θd\cos\theta=dcos⁡(π2−φ){}= d\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right)=dsin⁡φ{}= d\sin\varphi、「北向きの移動量」は dsin⁡θd\sin\theta=dcos⁡φ{}= d\cos\varphi。航海の計算では sin⁡\sin と cos⁡\cos の役割が数学の教科書と入れ替わって見えますが、それは測り始めの向きと回る向きが違うだけです。

豆知識

なぜ方位角は北から時計回りなのでしょう。北を基準にするのは方位磁針が北を指すから、時計回りなのは北半球で太陽が東→南→西と時計回りに動くから、というのが素直な説明です。第2章の小話で「太陽の 1 日の動き」を cos⁡\cos の符号の説明に使いましたが、あの動きが方位角の回る向きも決めていたことになります（※歴史的な経緯は諸説あり）。数学が反時計回りを正にしたのは、座標平面で xx 軸から yy 軸へ回す向きを正とした約束の結果で、こちらは「自然」というより「決めごと」です。

偶関数・奇関数——名前は x² と x³ から

公式4の −θ-\theta の行を見ると、cos⁡(−θ)\cos(-\theta)=cos⁡θ{}= \cos\theta は「符号が変わらない」、sin⁡(−θ)\sin(-\theta)=−sin⁡θ{}= -\sin\theta は「符号だけが反転する」でした。この 2 つの性質には名前があります。f(−x)f(-x)=f(x){}= f(x) を満たす関数を偶関数、f(−x)f(-x)=−f(x){}= -f(x) を満たす関数を奇関数といい、cos⁡\cos は偶関数、sin⁡\sin と tan⁡\tan は奇関数です。

「偶」「奇」の名は、x2x^2，x4x^4 のような偶数乗が (−x)2(-x)^2=x2{}= x^2 を満たし、xx，x3x^3 のような奇数乗が (−x)3(-x)^3=−x3{}= -x^3 を満たすことから来ています。cos⁡\cos は偶数乗の仲間、sin⁡\sin は奇数乗の仲間、というわけです。これは単なる名前の話ではありません。大学の数学では cos⁡θ\cos\theta=1{}= 1−θ22{}- \dfrac{\theta^2}{2}+θ424{}+ \dfrac{\theta^4}{24}−⋯{}- \cdots，sin⁡θ\sin\theta=θ{}= \theta−θ36{}- \dfrac{\theta^3}{6}+θ5120{}+ \dfrac{\theta^5}{120}−⋯{}- \cdots と、cos⁡\cos が本当に偶数乗だけ、sin⁡\sin が本当に奇数乗だけの無限の和で書けることが分かります（第5章の「sin⁡θ\sin\theta≈θ{}\approx \theta」は、この和の最初の項だけを取ったものです）。名前は偶然ではなく、正体を言い当てていたのです（※このような無限和の議論は高校の範囲外）。

豆知識

第7章でグラフを描くと、偶関数のグラフは yy 軸について対称、奇関数のグラフは原点について対称になります。cos⁡\cos のグラフが yy 軸で折り返せて、sin⁡\sin のグラフが原点で半回転させると重なるのは、この章の xx 軸対称の公式そのものです。ところで、電卓のなかった時代の三角関数表は、00 から π4\dfrac{\pi}{4}（45∘45^\circ）までしか載っていませんでした。π4\dfrac{\pi}{4} から π2\dfrac{\pi}{2} は π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta で sin⁡\sin と cos⁡\cos を入れ替え、π2\dfrac{\pi}{2} から π\pi は π\pi−θ{}- \theta で、それ以降は θ\theta+π{}+ \pi と −θ-\theta で全部が π4\dfrac{\pi}{4} 以下に帰着する——この章の公式4・公式5は、表を 8 分の 1 に圧縮する道具でもありました。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では「一般角 θ\theta の動径と単位円の交点の座標が (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)」という理解と、公式4・公式5が使えれば十分ですが、「第2章の定義と本当に同じものなの？」「対称の公式はまとめて証明できないの？」「sin⁡\sin は増えたり減ったりするのに関数と言えるの？」が気になる人のために、根拠を紹介します。

定義1：三角関数

座標平面上で、原点 O\mathrm{O} を中心とする単位円と、xx 軸の正の部分との交点を A(1, 0)\mathrm{A}(1,\ 0) とする。一般角 θ\theta の動径（始線 OA\mathrm{OA} を θ\theta だけ回転した半直線）と単位円の交点を P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とし、

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=y,\displaystyle {}= y,cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=x\displaystyle {}= x

と定める。sin⁡\sin，cos⁡\cos は実数全体を定義域とする関数である。さらに xx≠0{}\neq 0、すなわち θ\theta≠π2{}\neq \dfrac{\pi}{2}+nπ{}+ n\pi（nn は整数）のとき

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=yx\displaystyle {}= \frac{y}{x}=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

と定める。tan⁡\tan の定義域は θ\theta≠π2{}\neq \dfrac{\pi}{2}+nπ{}+ n\pi を満たす実数全体である。

この定義が「関数」として意味を持つのは、どんな実数 θ\theta に対しても点 P\mathrm{P} がただ 1 つ決まるからです（第5章の定義1：回転の量 θ\theta を決めれば動径は 1 本に決まり、半直線と円は 1 点で交わる）。θ\theta と θ\theta+2π{}+ 2\pi は別の一般角ですが同じ動径を与えるので、同じ P\mathrm{P}、同じ値になります。異なる入力が同じ出力を持つことは、関数であることを妨げません。

定理1：0 ≦ θ ≦ π では第2章の定義と一致する

00≦θ{}\leqq \theta≦π{}\leqq \pi のとき、定義1で定めた sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta（および θ\theta≠π2{}\neq \dfrac{\pi}{2} のとき tan⁡θ\tan\theta）は、第2章の定義1（単位円上で A\mathrm{A} から反時計回りに角 θ\theta 進んだ点の座標）で定めた値に等しい。

証明　00≦θ{}\leqq \theta≦π{}\leqq \pi のとき、始線 OA\mathrm{OA} を反時計回りに θ\theta 回転した動径と単位円の交点は、A\mathrm{A} から円周に沿って反時計回りに中心角 θ\theta だけ進んだ点にほかならない（弧度法の定義から、単位円では中心角 θ\theta の弧の長さも θ\theta である）。したがって両方の定義で点 P\mathrm{P} は同一の点であり、その座標として定めた sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta も一致する。（証明終）

第2章の厳密定義ページでは、第1章の「辺の比」と第2章の「座標」が鋭角で一致することを、直角三角形を描いて確かめました。今回は「点そのものが同じ」なので証明は短くて済みます。それでも、この確認を飛ばしてはいけません。定義を広げるたびに「もとの範囲では前と同じ値になる」ことを確かめる——これが定義の拡張の作法であり、第1章・第2章・第6章の 3 つの sin⁡\sin が同じ記号を名乗ってよい根拠です。この章以降、sin⁡\sin は「三角比」ではなく「三角関数」と呼びますが、値は 1 つも変わっていません。

定理2：相互関係（一般角）

すべての実数 θ\theta について sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 が成り立つ。さらに θ\theta≠π2{}\neq \dfrac{\pi}{2}+nπ{}+ n\pi のとき

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ,\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta},1\displaystyle 1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}

が成り立つ。

証明　点 P(cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta) は単位円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 の上にあるから、第 1 式が成り立つ。第 2 式は定義1そのものである。第 3 式は、第 1 式の両辺を cos⁡2θ (≠0)\cos^2\theta\ (\neq 0) で割り、第 2 式を用いれば得られる。（証明終）

証明は第2章とまったく同じです。角の範囲を 0∘0^\circ〜180∘180^\circ から実数全体に広げても、「P\mathrm{P} が単位円上にある」という事実は変わらないからです。

定理3：対称移動・回転と三角関数の公式

θ\theta を任意の実数、nn を整数とする。角 θ\theta の動径と単位円の交点を P(cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta) とするとき、次が成り立つ。

角対応する点P\mathrm{P} との関係
θ+2nπ\theta + 2n\pi(cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)同じ点
−θ-\theta(cos⁡θ, −sin⁡θ)(\cos\theta,\ -\sin\theta)xx 軸について対称
θ+π\theta + \pi(−cos⁡θ, −sin⁡θ)(-\cos\theta,\ -\sin\theta)原点について対称
π−θ\pi - \theta(−cos⁡θ, sin⁡θ)(-\cos\theta,\ \sin\theta)yy 軸について対称
π2−θ\dfrac{\pi}{2} - \theta(sin⁡θ, cos⁡θ)(\sin\theta,\ \cos\theta)直線 y=xy = x について対称
π2+θ\dfrac{\pi}{2} + \theta(−sin⁡θ, cos⁡θ)(-\sin\theta,\ \cos\theta)原点を中心に π2\dfrac{\pi}{2} 回転

各行の点の xx 座標が cos⁡\cos、yy 座標が sin⁡\sin の公式（本文の公式4・公式5）を与える。

証明　（θ\theta+2nπ{}+ 2n\pi）第5章の公式4より、動径が一致するので点も一致する。

（−θ-\theta）反時計回りに θ\theta 回転する操作と時計回りに θ\theta 回転する操作は、xx 軸に関する対称移動で互いに移り合う（始線 OA\mathrm{OA} は xx 軸上にあるので、対称移動で動かない）。よって角 −θ-\theta の点は P\mathrm{P} を xx 軸で折り返した点 (cos⁡θ, −sin⁡θ)(\cos\theta,\ -\sin\theta) である。

（θ\theta+π{}+ \pi）角 θ\theta の動径をさらに π\pi 回転した半直線は、もとの動径と原点をはさんで反対向きである。単位円上でその方向にある点は、P\mathrm{P} と原点について対称な点 (−cos⁡θ, −sin⁡θ)(-\cos\theta,\ -\sin\theta) である。

（π\pi−θ{}- \theta）π\pi−θ{}- \theta=−θ{}= -\theta+π{}+ \pi なので、上の 2 つを続けて用いると、角 −θ-\theta の点 (cos⁡θ, −sin⁡θ)(\cos\theta,\ -\sin\theta) を原点対称に移した (−cos⁡θ, sin⁡θ)(-\cos\theta,\ \sin\theta) となる。これは P\mathrm{P} を yy 軸で折り返した点である。

（π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta）直線 yy=x{}= x に関する対称移動は、点 (a, b)(a,\ b) を (b, a)(b,\ a) に移す（線分の中点 (a+b2, a+b2)\left(\dfrac{a+b}{2},\ \dfrac{a+b}{2}\right) が直線 yy=x{}= x 上にあり、線分の傾きが −1-1 で直線と垂直だから）。この対称移動で、xx 軸の正の部分は yy 軸の正の部分に、反時計回りの回転は時計回りの回転に移る。したがって「始線から反時計回りに θ\theta」の動径は「yy 軸の正の部分から時計回りに θ\theta」、すなわち角 π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta の動径に移る。よって角 π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta の点は P\mathrm{P} を直線 yy=x{}= x で折り返した (sin⁡θ, cos⁡θ)(\sin\theta,\ \cos\theta) である。

（π2\dfrac{\pi}{2}+θ{}+ \theta）π2\dfrac{\pi}{2}+θ{}+ \theta=π{}= \pi−(π2−θ){}- \left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) なので、角 π2\dfrac{\pi}{2}−θ{}- \theta の点 (sin⁡θ, cos⁡θ)(\sin\theta,\ \cos\theta) を yy 軸で折り返して (−sin⁡θ, cos⁡θ)(-\sin\theta,\ \cos\theta)。これは P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) を (−y, x)(-y,\ x) に移す変換で、原点を中心とする π2\dfrac{\pi}{2} の回転に一致する。（証明終）

証明を見ると、6 つの公式は独立ではなく、「2nπ2n\pi 周」「xx 軸対称」「原点対称」「直線 yy=x{}= x 対称」の 4 つの基本操作の組み合わせで残りが出てきます。π\pi−θ{}- \theta は xx 軸対称と原点対称の合成、π2\dfrac{\pi}{2}+θ{}+ \theta は yy=x{}= x 対称と yy 軸対称の合成です。本文で「表を暗記するより折り線を思い出す」と書いたのは、この構造のことです。tan⁡\tan の公式は、各行の yy 座標を xx 座標で割れば得られます（xx 座標が 00 にならない範囲で）。

**補足：値域・周期・増減。**定義1から、sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta のとりうる値の範囲（値域）は、どちらも −1-1≦sin⁡θ{}\leqq \sin\theta≦1{}\leqq 1，−1-1≦cos⁡θ{}\leqq \cos\theta≦1{}\leqq 1 です。単位円上の点の座標は −1-1 から 11 の間にしかないからです。tan⁡θ\tan\theta=yx{}= \dfrac{y}{x} は、xx が 00 に近づくと限りなく大きく（または小さく）なるので、値域はすべての実数です。

定理3の 1 行目 sin⁡(θ+2π)\sin(\theta + 2\pi)=sin⁡θ{}= \sin\theta は、θ\theta を 2π2\pi ずらしても値が変わらないことを述べています。この性質を周期性といい、第7章で「f(θ+p)f(\theta + p)=f(θ){}= f(\theta) をすべての θ\theta で満たす正の数 pp のうち最小のもの」を周期と定義します。sin⁡\sin・cos⁡\cos の周期は 2π2\pi、tan⁡\tan の周期は π\pi（定理3の θ\theta+π{}+ \pi の行で tan⁡\tan が変わらないため）です。

最後に増減について。第1章では「θ\theta が増えると sin⁡θ\sin\theta は増える」と書きましたが、それは 00<θ{}< \theta<π2{}< \dfrac{\pi}{2} に限った話です。一般角では、点 P\mathrm{P} が単位円を 1 周するあいだに yy 座標は 00→1{}\to 1→0{}\to 0→−1{}\to -1→0{}\to 0 と動くので、sin⁡θ\sin\theta は [0, π2]\left[0,\ \dfrac{\pi}{2}\right] で増加、[π2, 32π]\left[\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3}{2}\pi\right] で減少、[32π, 2π]\left[\dfrac{3}{2}\pi,\ 2\pi\right] で増加し、以後これを繰り返します。「増えたり減ったりする」ことと「関数である」ことは矛盾しません。関数の条件は「入力 1 つに出力 1 つ」であって、単調に増えることではないからです。ただし、この往復のせいで「値から角を求める」逆向きの対応は 1 つに決まりません（第2章の補足で見た「sin⁡\sin の値から角が 2 つ」が、一般角では無限個になります）。第8章で三角関数の方程式を解くとき、この無限個の解を θ\theta=α{}= \alpha+2nπ{}+ 2n\pi の形で書き表すことになります。

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