第6章　準2級 場合の数・確率

$184$ 個

$4$，$6$，$10$ の倍数の集合を $A$，$B$，$C$ とします。2つずつの共通部分は、積ではなく最小公倍数 $12$，$20$，$30$ の倍数、3つの共通部分は $60$ の倍数です。

• $n(A)$${}= 125$，$n(B)$${}= 83$（$500 \div 6$${}= 83$ 余り $2$），$n(C)$${}= 50$
• $n(A \cap B)$${}= 41$（$500 \div 12$${}= 41$ 余り $8$），$n(A \cap C)$${}= 25$，$n(B \cap C)$${}= 16$（$500 \div 30$${}= 16$ 余り $20$）
• $n(A \cap B \cap C)$${}= 8$（$500 \div 60$${}= 8$ 余り $20$）

個数 $24$ 個，総和 $1860$

$600$${}= 2^3 \times 3 \times 5^2$ です。約数は $2^a \times 3^b \times 5^c$（$0$${}\leqq a$${}\leqq 3$，$0$${}\leqq b$${}\leqq 1$，$0$${}\leqq c$${}\leqq 2$）の形なので、

• 個数：$(3 + 1)(1 + 1)(2 + 1)$${}= 24$
• 総和：$1$${}+ 2$${}+ 4$${}+ 8$${}= 15$，$1$${}+ 3$${}= 4$，$1$${}+ 5$${}+ 25$${}= 31$ の積で、$15 \times 4 \times 31$${}= 1860$

よって $\underline{\text{個数 } 24 \text{ 個，総和 } 1860}$ です。

$12$ 通り

円順列なので、先生の席を固定して考えます。先生の両隣の2席に $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ を座らせる方法は $2$ 通り、残りの $3$ 席に残りの生徒 $3$ 人を座らせる方法は $3!$${}= 6$ 通りです。

$52$ 通り

$\mathrm{A}$ を先に選んでおき、残りの $8$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は ${}_8\mathrm{C}_3$${}= 56$ 通りです。

このうち女子を1人も含まないのは、$\mathrm{A}$ 以外の男子 $4$ 人から $3$ 人を選ぶ ${}_4\mathrm{C}_3$${}= 4$ 通りです。

(1) $420$ 通り　(2) $60$ 通り

$7$ 文字は $\mathrm{T}$ が $3$ 個、$\mathrm{O}$ が $2$ 個、$\mathrm{R}$，$\mathrm{I}$ が $1$ 個ずつです。

(1) $\dfrac{7!}{3!\,2!}$${}= \dfrac{5040}{12}$${}= \underline{420 \text{ 通り}}$

(2) 両端に $\mathrm{T}$ を置くと、間の $5$ か所に $\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{I}$ を並べることになるので $\dfrac{5!}{2!}$${}= \underline{60 \text{ 通り}}$

$\dfrac{7}{18}$

目の出方は $36$ 通りで、これらは同様に確からしいです。$\dfrac{a}{b}$ が整数になるのは $b$ が $a$ の約数のときなので、$a$ ごとに $b$ の個数（$a$ の約数の個数）を数えます。

合計 $14$ 通りなので、確率は $\dfrac{14}{36}$${}= \underline{\dfrac{7}{18}}$ です。

$\dfrac{17}{27}$

手の出し方は $3^5$${}= 243$ 通りで、これらは同様に確からしいです。あいこの余事象は「ちょうど2種類の手が出る（勝負が決まる）」ことです。

2種類の手の選び方は ${}_3\mathrm{C}_2$${}= 3$ 通り、その2種類だけで出す $2^5$ 通りから「全員が同じ手」の $2$ 通りを除いて $30$ 通りなので、勝負が決まる出し方は $3 \times 30$${}= 90$ 通りです。

$\dfrac{80}{243}$

1回の試行で $3$ の倍数の目（$3$，$6$）が出る確率は $\dfrac{1}{3}$ です。反復試行の確率より

(1) $280$ 通り　(2) $70$ 通り

(1) まず組に $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ と名前をつけて分けると

実際は組に区別がないので、3つの組の名前の入れかえ $3!$${}= 6$ 通りずつを同じものとみなします。人数が同じ組が3つあるので $3!$ で割って

(2) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の組の残り1人を、ほかの $7$ 人から選ぶ方法は $7$ 通りです。残りの $6$ 人を $3$ 人ずつ区別のない2組に分ける方法は $\dfrac{{}_6\mathrm{C}_3}{2!}$${}= 10$ 通りです。

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の組は「$\mathrm{A}$ を含む組」として他の2組と区別できるので、この組の分だけ割る必要はありません。

(1) $45$ 通り　(2) $18$ 通り

東へ1区画進むことを $\to$、北へ1区画進むことを $\uparrow$ と書くと、最短の道順は $\to$ と $\uparrow$ の並べ方で決まります。

• $\mathrm{A}$${}\to \mathrm{P}$：$\to$ 2個と $\uparrow$ 1個で ${}_3\mathrm{C}_1$${}= 3$ 通り
• $\mathrm{P}$${}\to \mathrm{B}$：$\to$ 4個と $\uparrow$ 2個で ${}_6\mathrm{C}_2$${}= 15$ 通り
• $\mathrm{P}$${}\to \mathrm{Q}$：$\to$ 2個と $\uparrow$ 1個で ${}_3\mathrm{C}_1$${}= 3$ 通り
• $\mathrm{Q}$${}\to \mathrm{B}$：$\to$ 2個と $\uparrow$ 1個で ${}_3\mathrm{C}_1$${}= 3$ 通り

(1) 積の法則より $3 \times 15$${}= \underline{45 \text{ 通り}}$

(2) $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ をどちらも通る道順は $3 \times 3 \times 3$${}= 27$ 通りです。(1) からこれを除いて

(1) $1440$ 通り　(2) $144$ 通り

(1) 先に男子 $4$ 人を並べます（$4!$${}= 24$ 通り）。

女子が隣り合わないためには、両端を含む $5$ か所のすき間 $\wedge$ に、女子を1人ずつ入れればよいです。$5$ か所から $3$ か所を選んで女子 $3$ 人を並べる方法は ${}_5\mathrm{P}_3$${}= 60$ 通りです。

(2) 両端が男子なので、女子が入れるのは男子と男子の間の $3$ か所だけです。この $3$ か所に女子 $3$ 人を1人ずつ並べる方法は $3!$${}= 6$ 通りなので

(1) $\dfrac{23}{24}$　(2) $\dfrac{17}{24}$

3人の結果は互いに影響しないので、それぞれの確率をかけて計算できます。解けない確率は $\mathrm{A}$ が $\dfrac{1}{3}$、$\mathrm{B}$ が $\dfrac{1}{4}$、$\mathrm{C}$ が $\dfrac{1}{2}$ です。

(1) 余事象は「3人とも解けない」で、その確率は $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2}$${}= \dfrac{1}{24}$ です。よって $1$${}- \dfrac{1}{24}$${}= \underline{\dfrac{23}{24}}$

(2) 「3人とも解ける」「ちょうど2人が解ける」の場合に分けます。これらは互いに排反なので足せます。

• 3人とも：$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}$${}= \dfrac{6}{24}$
• $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ だけ：$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}$${}= \dfrac{6}{24}$
• $\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$ だけ：$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2}$${}= \dfrac{2}{24}$
• $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ だけ：$\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}$${}= \dfrac{3}{24}$

(1) $\dfrac{1}{4}$　(2) $\dfrac{5}{48}$

ちょうど $n$ 試合目で $\mathrm{A}$ が優勝するのは、「$n$${}- 1$ 試合目までに $\mathrm{A}$ がちょうど $1$ 勝、$\mathrm{B}$ が $1$ 勝以下」で、「$n$ 試合目に $\mathrm{A}$ が勝つ」ときです。以下、勝ちを ○、負けを ×、引き分けを △ と書きます。

(1) 2試合目までの結果は、○ 1回と × 1回（並び方 $2$ 通り）か、○ 1回と △ 1回（$2$ 通り）です。

3試合目に $\mathrm{A}$ が勝つので $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}$${}= \underline{\dfrac{1}{4}}$

(2) 3試合目までの結果は、次の2つの場合で、これらは互いに排反です。

• ○ 1回、× 1回、△ 1回：並び方 $3!$${}= 6$ 通りで $6 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{6}$${}= \dfrac{1}{6}$
• ○ 1回、△ 2回：並び方 $3$ 通りで $3 \times \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^2$${}= \dfrac{1}{24}$

合わせて $\dfrac{4}{24}$${}+ \dfrac{1}{24}$${}= \dfrac{5}{24}$ です。4試合目に $\mathrm{A}$ が勝つので

(1) $\dfrac{2}{5}$　(2) $\dfrac{2}{5}$

電車通学で運動部の生徒は $120 \times 0.4$${}= 48$ 人です。運動部の生徒を $x$ 人とすると $0.6x$${}= 48$ より $x$${}= 80$ です。これで表が埋まります。

(1) $\dfrac{80}{200}$${}= \underline{\dfrac{2}{5}}$

(2) 電車でない行の計 $80$ 人のうち、運動部は $32$ 人なので $\dfrac{32}{80}$${}= \underline{\dfrac{2}{5}}$

電車通学の行でも $\dfrac{48}{120}$${}= \dfrac{2}{5}$ です。この学校では、通学方法を知っても運動部である確率は変わりません。

(1) $\dfrac{13}{500}$　(2) $\dfrac{9}{13}$

取り出した製品が工場 $\mathrm{A}$ の製品である事象を $A$、不良品である事象を $E$ とします。$P(A)$${}= \dfrac{3}{5}$，$P_A(E)$${}= \dfrac{3}{100}$，$P(\overline{A})$${}= \dfrac{2}{5}$，$P_{\overline{A}}(E)$${}= \dfrac{2}{100}$ です。

(1) 乗法定理より

2つは排反なので $P(E)$${}= \dfrac{9}{500}$${}+ \dfrac{4}{500}$${}= \underline{\dfrac{13}{500}}$

(2) 求める確率は $P_E(A)$ です。

不良品にたどりつく道（$9$ と $4$）の合計が分母になります。

$4$ 個

途中でやめても、5個すべてを取り出したと考えて玉の並び方を数えます。赤玉の位置の選び方は ${}_5\mathrm{C}_2$${}= 10$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

$X$${}= k$ となるのは、2個目の赤玉が $k$ 番目にあり、1個目の赤玉が $1$ 〜 $k$${}- 1$ 番目のどこかにあるときなので $k$${}- 1$ 通りです。$X$ のとりうる値は $2$，$3$，$4$，$5$ です。

分子の合計は $1$${}+ 2$${}+ 3$${}+ 4$${}= 10$ です。

(1) $\dfrac{1}{4}$　(2) $\dfrac{55}{216}$

$\mathrm{P}$ は4つ進むと $\mathrm{A}$ に戻るので、$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ にあるのは、出た目の和が $4$ の倍数のときです。

(1) 目の出方は $36$ 通りで、同様に確からしいです。和が $4$，$8$，$12$ になる出方は

• 和 $4$：$(1, 3)$，$(2, 2)$，$(3, 1)$ の $3$ 通り
• 和 $8$：$(2, 6)$，$(3, 5)$，$(4, 4)$，$(5, 3)$，$(6, 2)$ の $5$ 通り
• 和 $12$：$(6, 6)$ の $1$ 通り

合計 $9$ 通りなので $\dfrac{9}{36}$${}= \underline{\dfrac{1}{4}}$

(2) 目の出方は $216$ 通りです。3回の和は $3$ 〜 $18$ なので、和が $4$，$8$，$12$，$16$ の場合を数えます。$x$${}+ y$${}+ z$${}= s$（$1$${}\leqq x,$$\ y,$$\ z$${}\leqq 6$）の解の個数を、1回目の目 $x$ で分けて数えると

• 和 $4$：$(1, 1, 2)$ の並べかえで $3$ 通り
• 和 $8$：$x$${}= 1$ のとき $y$${}+ z$${}= 7$ で $6$ 通り、$x$${}= 2$ で $5$ 通り、$x$${}= 3$ で $4$ 通り、$x$${}= 4$ で $3$ 通り、$x$${}= 5$ で $2$ 通り、$x$${}= 6$ で $1$ 通り、合計 $21$ 通り
• 和 $12$：$y$${}+ z$${}= 12$${}- x$ で、$x$${}= 1$ から順に $2,$$\ 3,$$\ 4,$$\ 5,$$\ 6,$$\ 5$ 通り、合計 $25$ 通り
• 和 $16$：$(4, 6, 6)$，$(5, 5, 6)$ の並べかえで $3$${}+ 3$${}= 6$ 通り

合計 $3$${}+ 21$${}+ 25$${}+ 6$${}= 55$ 通りなので $\underline{\dfrac{55}{216}}$

別解：2回目までに $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ にある確率を出し、3回目にちょうど $\mathrm{A}$ に着く目の出方を数えても求められます。

(1) $\dfrac{175}{1296}$　(2) $\dfrac{25}{648}$

目の出方は $6^4$${}= 1296$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 「最大値が $4$」は「すべて $4$ 以下」から「すべて $3$ 以下」を除いたものです。

(2) 4回とも $2$ 以上 $4$ 以下で、$2$ と $4$ がどちらも少なくとも1回出る場合です。目がすべて $\{2,\ 3,\ 4\}$ に入る出方 $3^4$${}= 81$ 通りを全体とし、

• $2$ が1回も出ない事象 $A$：すべて $\{3,\ 4\}$ で $2^4$${}= 16$ 通り
• $4$ が1回も出ない事象 $B$：すべて $\{2,\ 3\}$ で $2^4$${}= 16$ 通り
• $A \cap B$：すべて $3$ で $1$ 通り

とすると、$n(A \cup B)$${}= 16$${}+ 16$${}- 1$${}= 31$ です。求める出方は $81$${}- 31$${}= 50$ 通りなので

(1) $\dfrac{11}{25}$　(2) $\dfrac{5}{11}$

袋 $\mathrm{A}$ から $2$ 個を取り出す方法は ${}_5\mathrm{C}_2$${}= 10$ 通りで、同様に確からしいです。移す玉の色で場合を分けます。