第6章　確率の加法定理と余事象

$A \cap B$${}= \{2\}$，$A \cup B$${}= \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6\}$（$A$${}= \{2,\ 4,\ 6\}$，$B$${}= \{1,\ 2,\ 3\}$）

$\underline{\dfrac{1}{2}}$（「赤玉」と「白玉」は互いに排反なので $\dfrac{2}{10}$${}+ \dfrac{3}{10}$${}= \dfrac{5}{10}$）

$\underline{\dfrac{15}{16}}$（余事象「4枚とも裏」は $2^4$${}= 16$ 通りのうち $1$ 通りなので $1$${}- \dfrac{1}{16}$）

$\underline{\dfrac{5}{12}}$（$\dfrac{4}{12}$${}+ \dfrac{3}{12}$${}- \dfrac{2}{12}$）

$\underline{\dfrac{17}{25}}$（$3$ の倍数は $50 \div 3$${}= 16$ 余り $2$ より $16$ 個なので $1$${}- \dfrac{16}{50}$${}= \dfrac{34}{50}$）

(1) $\dfrac{1}{3}$　(2) $\dfrac{2}{3}$

カードの引き方は $120$ 通りで、これらは同様に確からしいです。「$4$ の倍数」の事象を $A$、「$6$ の倍数」の事象を $B$ とします。

(1) $120 \div 4$${}= 30$ より $n(A)$${}= 30$、$120 \div 6$${}= 20$ より $n(B)$${}= 20$ です。$A \cap B$ は $4$ と $6$ の最小公倍数 $12$ の倍数なので、$120 \div 12$${}= 10$ より $n(A \cap B)$${}= 10$ です。

$A \cap B$ を $4 \times 6$${}= 24$ の倍数としないように注意します。$12$ は $4$ の倍数でも $6$ の倍数でもあります。

(2) 求める事象は $\overline{A} \cap \overline{B}$ で、その余事象は $A \cup B$ です。

(1) $\dfrac{19}{66}$　(2) $\dfrac{47}{66}$

$12$ 個の玉をすべて区別すると、取り出し方は ${}_{12}\mathrm{C}_2$${}= 66$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 「$2$ 個とも赤」「$2$ 個とも白」「$2$ 個とも青」の3つの事象は、どの2つも同時には起こらないので互いに排反です。それぞれの取り出し方は

なので、加法定理より

(2) 「異なる色」は「同じ色」の余事象なので

直接数えると、赤白 $4 \times 5$${}= 20$、白青 $5 \times 3$${}= 15$、赤青 $4 \times 3$${}= 12$ で $47$ 通りとなり、一致します。

(1) $\dfrac{11}{36}$　(2) $\dfrac{11}{12}$

目の出方は $6 \times 6$${}= 36$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 余事象は「どちらのさいころも $1$ 以外の目」で、その出方は $5 \times 5$${}= 25$ 通りです。

「大が $1$」の $6$ 通りと「小が $1$」の $6$ 通りを足して $12$ 通りとすると、$(1,\ 1)$ を2回数えてしまいます。公式3 で $\dfrac{6}{36}$${}+ \dfrac{6}{36}$${}- \dfrac{1}{36}$${}= \dfrac{11}{36}$ としても同じ答えです。

(2) 余事象は「和が $3$ 以下」です。和が $2$ になるのは $(1,\ 1)$、和が $3$ になるのは $(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$ で、合わせて $3$ 通りです。

(1) $A \cap B$${}= \{6\}$，$A \cup B$${}= \{2,\ 3,\ 4,\ 6\}$　(2) $A$ と $C$，$B$ と $C$　(3) $\dfrac{2}{3}$

事象を集合で表すと

です。

(1) 両方に入っている目は $6$ だけなので $A \cap B$${}= \underline{\{6\}}$、少なくとも一方に入っている目を並べて $A \cup B$${}= \underline{\{2,\ 3,\ 4,\ 6\}}$ です。

(2) 共通部分を調べます。

共通部分が空集合になる組が互いに排反なので、$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}A \text{ と } C,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ \ B \text{ と } C}$ です。$A$ と $B$ は $6$ の目が出たときに同時に起こるので、排反ではありません。

(3) 目の出方は $6$ 通りで、これらは同様に確からしいです。$n(A \cup B)$${}= 4$ なので

$C$ は $A \cup B$ の余事象 $\overline{A} \cap \overline{B}$ になっていて、$P(C)$${}= \dfrac{2}{6}$${}= 1$${}- \dfrac{2}{3}$ と確かめられます。

(1) $\dfrac{37}{42}$　(2) $\dfrac{16}{21}$

$9$ 枚から $3$ 枚を引く方法は ${}_9\mathrm{C}_3$${}= 84$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 余事象は「$3$ 枚とも奇数」です。奇数のカードは $1$，$3$，$5$，$7$，$9$ の $5$ 枚なので、その引き方は ${}_5\mathrm{C}_3$${}= 10$ 通りです。

(2) 余事象は「$3$ 枚とも $6$ 以下」です。$6$ 以下のカードは $6$ 枚なので、その引き方は ${}_6\mathrm{C}_3$${}= 20$ 通りです。

(1) $\dfrac{1}{6}$　(2) $\dfrac{1}{3}$　(3) $\dfrac{1}{3}$

(1) $P(A \cup B)$${}= P(A)$${}+ P(B)$${}- P(A \cap B)$ を $P(A \cap B)$ について解くと

(2) ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B}$${}= \overline{A \cup B}$ なので

(3) $A$ は、互いに排反な $A \cap B$（$A$ と $B$ がともに起こる）と $A \cap \overline{B}$（$A$ だけが起こる）に分けられます。加法定理より $P(A)$${}= P(A \cap B)$${}+ P(A \cap \overline{B})$ なので

確かめ：ベン図の4つの部分 $A \cap \overline{B}$，$A \cap B$，$\overline{A} \cap B$，$\overline{A} \cap \overline{B}$ の確率は $\dfrac{2}{6}$，$\dfrac{1}{6}$，$\dfrac{1}{6}$，$\dfrac{2}{6}$ で、合計は $1$ です。

(1) $\dfrac{6}{7}$　(2) $\dfrac{5}{7}$

$7$ 人から $3$ 人を選ぶ方法は ${}_7\mathrm{C}_3$${}= 35$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 余事象は「$3$ 人とも男子」または「$3$ 人とも女子」で、この2つは互いに排反です。

よって求める確率は $1$${}- \dfrac{1}{7}$${}= \underline{\dfrac{6}{7}}$ です。

(2) 「$\mathrm{a}$ が選ばれる」事象を $A$、「$\mathrm{b}$ が選ばれる」事象を $B$ とします。$A$ は $\mathrm{a}$ 以外の $6$ 人から残り $2$ 人を選ぶので ${}_6\mathrm{C}_2$${}= 15$ 通り、$B$ も同じく $15$ 通りです。$A \cap B$ は $\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$ 以外の $5$ 人から残り $1$ 人を選ぶので $5$ 通りです。

余事象「$\mathrm{a}$ も $\mathrm{b}$ も選ばれない」は ${}_5\mathrm{C}_3$${}= 10$ 通りなので、$1$${}- \dfrac{10}{35}$${}= \dfrac{5}{7}$ としても求められます。

(1) $\dfrac{13}{16}$　(2) $\dfrac{15}{16}$

5枚の硬貨を区別すると、表裏の出方は $2^5$${}= 32$ 通りで、これらは同様に確からしいです。

(1) 余事象は「表が $0$ 枚または $1$ 枚」です。表が $0$ 枚は $1$ 通り、表が $1$ 枚はどの硬貨が表かで $5$ 通りで、この2つは互いに排反なので