目次／図形と方程式／数学II

第6章　軌跡と方程式

—— 条件を満たす点をすべて集めると、どんな図形になるか ——

この章では、ある条件を満たしながら動く点が描く図形「軌跡」を、座標を使って求めます。手順は「動く点を $(x,\ y)$ とおく → 条件を $x$，$y$ の式で書く → 整理して図形を読み取る → 除外点がないか確かめる」の 4 段階で統一します。2 点から等距離の点、距離の比が一定の点（アポロニウスの円）、別の図形の上を動く点につられて動く点、文字 $t$ で位置が決まる点を順に扱い、最後に、式の上では円なのに 1 点だけ届かない「除外点」の見つけ方を学びます。

問題マップ記録を読み込み中…

基1 基2 基3 基4 基5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

未回答 25× 0○ 01か月定着 0

軌跡とその求め方

ある条件を満たしながら点 P が動くとき、P が描く図形を、その条件を満たす点の軌跡といいます。言いかえると、軌跡は「条件を満たす点をすべて集めた図形」です。

これまでの章にも、軌跡はすでに顔を出していました。第1章と第2章では「2 点から等距離にある点」を式で表すと一次式になり（垂直二等分線）、第4章 j12 では「 $\angle \mathrm{APB}$ ${}= 90^\circ$ となる点」が円になりました。円そのものも「定点からの距離が一定の点の軌跡」です。この章では、こうした求め方を 1 つの手順にまとめます。

座標を使うと、軌跡は次の流れで求められます。

動く点を $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおきます。
条件を $x$ ， $y$ の式で書きます。
式を整理して、どんな図形の方程式かを読み取ります。
その図形の点がすべて条件を満たすか（除外する点がないか）を確かめます。

大切なのは手順4です。手順2・3で「条件を満たす点は、この図形の上にある」ことがわかります。しかし軌跡と言い切るには、逆に「この図形の上の点は、どれも条件を満たす」ことも必要です。式の変形がすべて「 $\iff$ （同値）」でつながっていれば逆も自動的に成り立ちますが、途中で 2 乗したり、割り算をしたり、文字の範囲が限られていたりすると、図形の一部が条件を満たさないことがあります。

公式1：軌跡の求め方

条件 $C$ を満たす点 P の軌跡は、次の手順で求める。

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおく。
条件 $C$ を $x$ ， $y$ の式で表す。
式を整理し、図形 $F$ の方程式にする。
逆に、 $F$ 上のすべての点が条件 $C$ を満たすかを確かめ、満たさない点があれば除く。

「条件 $C$ を満たす点はすべて $F$ 上にある」と「 $F$ 上の点はすべて条件 $C$ を満たす」の両方が成り立つとき、 $F$ が求める軌跡である。

距離の条件は、第1章と同じく根号を外して 2 乗の形で立式します。距離は $0$ 以上なので、 $\mathrm{PA}$ ${}= \mathrm{PB}$ ${}\iff \mathrm{PA}^2$ ${}= \mathrm{PB}^2$ で、2 乗しても同値のままです。

教室で先生が「4 月生まれの人は立ってください」と言ったとします。うまくいったと言えるのは、「立っている人は全員 4 月生まれ（余計な人がいない）」と「4 月生まれの人は全員立っている（漏れがない）」の 2 つがそろったときです。軌跡を求めるのも同じで、手順3までで「余計な人がいない」ことが、手順4で「漏れがない」ことが確かめられます。

軌跡を求めるには、動く点を $(x,\ y)$ とおいて条件を式にし、整理した図形の点が 1 つ残らず条件を満たすかを最後に確かめるということです。

例題1：2 点からの距離についての軌跡

2 点 $\mathrm{A}(-3,\ 2)$ ， $\mathrm{B}(1,\ -4)$ について、次の条件を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

(1) $\mathrm{PA}$ ${}= \mathrm{PB}$

(2) $\mathrm{PA}^2$ ${}- \mathrm{PB}^2$ ${}= 20$

【解答】

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle \mathrm{PA}^2

です。2 つの差を計算すると、 $x^2$ ， $y^2$ が消えて一次式になります。

\displaystyle \mathrm{PA}^2

(1) $\mathrm{PA}$ ${}= \mathrm{PB}$ ${}\iff \mathrm{PA}^2$ ${}= \mathrm{PB}^2$ なので、条件は $8x$ ${}- 12y$ ${}- 4$ ${}= 0$ 、つまり $2x$ ${}- 3y$ ${}- 1$ ${}= 0$ です。変形はすべて同値なので、この直線上の点はどれも条件を満たします。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{直線}\ 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 3y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 1 = 0}$ です。

AB の中点 $(-1,\ -1)$ を代入すると $-2$ ${}+ 3$ ${}- 1$ ${}= 0$ で、この直線は中点を通ります。AB の傾き $-\dfrac{3}{2}$ と直線の傾き $\dfrac{2}{3}$ の積は $-1$ なので、線分 AB の垂直二等分線です。

(2) 条件は $8x$ ${}- 12y$ ${}- 4$ ${}= 20$ 、つまり $2x$ ${}- 3y$ ${}- 6$ ${}= 0$ です。これも同値変形なので、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{直線}\ 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 3y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 6 = 0}$ です。

(1) の直線と平行なので、この直線も AB に垂直です。 $\mathrm{PA}^2$ ${}- \mathrm{PB}^2$ の値を変えると、AB に垂直な直線が平行に移動していきます。

アポロニウスの円

2 点 A，B からの距離の比が一定の点の軌跡を考えます。比が $1 : 1$ なら垂直二等分線でした。比が $1 : 1$ でないときは、円になります。この円をアポロニウスの円といいます（図形の性質第1章で作図の面から扱いました）。

$\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= m : n$ は、 $n\,\mathrm{PA}$ ${}= m\,\mathrm{PB}$ と書けます。両辺とも $0$ 以上なので、2 乗して $n^2\,\mathrm{PA}^2$ ${}= m^2\,\mathrm{PB}^2$ としても同値です。 $m$ ${}\neq n$ なら、両辺の $x^2$ ， $y^2$ の係数が違うので、移項しても $x^2$ ， $y^2$ が残り、円の一般形になります。

公式2：アポロニウスの円

2 点 A，B と、異なる正の数 $m$ ， $n$ について、 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= m : n$ を満たす点 P の軌跡は円である。この円は、線分 AB を $m : n$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする。

$m$ ${}= n$ のときは、線分 AB の垂直二等分線になる。

直径の両端が内分点と外分点になるのは、直線 AB 上で比が $m : n$ になる点がちょうどその 2 つだからです（図形の性質第1章）。この性質は、答えの検算に使えます。

2 台のスピーカー A，B から同じ音量で音楽が流れている広場を考えます。音の強さは、スピーカーからの距離の 2 乗に反比例して弱まるとします（※実際には反射などで変わる）。A の音が B の音のちょうど 9 倍の強さで聞こえる場所を集めると、 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= 1 : 3$ の点の集まりになり、B を囲むような円になります。この円より内側では B の音が相対的に強く、外側では A の音が相対的に強くなります。

2 点からの距離の比が $m : n$ （ $m$ ${}\neq n$ ）で一定の点の軌跡は、AB の内分点と外分点を直径の両端とする円になるということです。

例題2：距離の比が一定の点の軌跡

2 点 $\mathrm{A}(0,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(8,\ 0)$ に対して、 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= 3 : 1$ を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

【解答】

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおきます。 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= 3 : 1$ より $\mathrm{PA}$ ${}= 3\,\mathrm{PB}$ で、両辺とも $0$ 以上なので

\displaystyle \mathrm{PA}^2

と同値です。展開して整理すると

\displaystyle 8x^2

平方完成すると $(x - 9)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 81$ ${}- 72$ ${}= 9$ です。変形はすべて同値なので、この円上の点はどれも条件を満たします。

よって、軌跡は $\underline{\text{中心}\ (9,\ 0)，\text{半径}\ 3\ \text{の円}}$ です。

確かめ　AB を $3 : 1$ に内分する点は $\left(\dfrac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{3 + 1},\ 0\right)$ ${}= (6,\ 0)$ 、外分する点は $\left(\dfrac{-1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{3 - 1},\ 0\right)$ ${}= (12,\ 0)$ です。この 2 点の中点は $(9,\ 0)$ 、距離の半分は $3$ で、求めた円と一致します。

円は B を囲み、A は円の外にあります。距離の比で「近い」と決められた B の側に円ができる、と覚えておくと図が描きやすくなります。

動く点につられて動く点の軌跡

点 Q が円などの図形の上を動き、それに合わせて別の点 P が動く、という問題があります。たとえば、定点 A と Q を結ぶ線分の中点を P とする場合です。

このときは、動く点 Q の座標を $(s,\ t)$ のように別の文字でおき、次のように進めます。

P の座標 $(x,\ y)$ を $s$ ， $t$ で表す。
それを逆に解いて、 $s$ ， $t$ を $x$ ， $y$ で表す。
Q が図形の上にあるという $s$ ， $t$ の式に代入する。

$s$ ， $t$ は、P と Q をつなぐための「つなぎの文字」で、最後には消えます。Q が図形全体を動けば P も対応する図形全体を動くので、中点や内分点のように $s$ ， $t$ が $x$ ， $y$ でただ 1 通りに表せる場合は、除外点は出ません。

公式3：つなぎの文字を消去する

点 Q が図形 $G$ 上を動くとき、Q に対応して動く点 P の軌跡は

$\mathrm{Q}(s,\ t)$ ， $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおき、 $x$ ， $y$ を $s$ ， $t$ で表す。
$s$ ， $t$ を $x$ ， $y$ の式で表す。
Q が $G$ 上にある条件（ $s$ ， $t$ の式）に代入して、 $x$ ， $y$ の関係式を得る。

特に、定点 A と Q を結ぶ線分の中点 P の軌跡は、 $G$ を A を中心に $\dfrac{1}{2}$ に縮めた図形になる。

公園の真ん中に飼い主が立ち止まり、リードでつないだ犬が、飼い主から離れた円形の花壇のまわりをぐるぐる走っている場面を想像してください。リードのちょうど真ん中に鈴を付けておくと、鈴も円を描きます。その円は、花壇の円を飼い主のほうへ半分の大きさに縮めたものです。犬の位置（ $s$ ， $t$ ）がわかれば鈴の位置が決まり、鈴の位置がわかれば犬の位置も逆算できる、というのが公式3の手順です。

別の点につられて動く点の軌跡は、動かす側の座標を $s$ ， $t$ とおき、 $s$ ， $t$ を $x$ ， $y$ で表して、もとの図形の式に代入すれば求められるということです。

例題3：円上の点と定点を結ぶ線分の中点

点 Q が円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 36$ 上を動くとき、点 $\mathrm{A}(6,\ 4)$ と Q を結ぶ線分 AQ の中点 P の軌跡を求めなさい。

【解答】

$\mathrm{Q}(s,\ t)$ ， $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおきます。Q は円上にあるので

\displaystyle s^2

P は AQ の中点なので

\displaystyle x

です。これを $s$ ， $t$ について解くと $s$ ${}= 2x$ ${}- 6$ ， $t$ ${}= 2y$ ${}- 4$ で、(i) に代入すると

\displaystyle (2x - 6)^2

となります。

逆に、この円上の点 $(x,\ y)$ に対して $s$ ${}= 2x$ ${}- 6$ ， $t$ ${}= 2y$ ${}- 4$ とおくと、Q $(s,\ t)$ は (i) を満たし、AQ の中点が $(x,\ y)$ になります。

よって、軌跡は $\underline{\text{中心}\ (3,\ 2)，\text{半径}\ 3\ \text{の円}}$ です。

中心 $(3,\ 2)$ は A ともとの円の中心 O を結ぶ線分の中点で、半径はもとの円の半径 $6$ の半分です。公式3の最後に書いたとおり、もとの円を A を中心に $\dfrac{1}{2}$ に縮めた円になっています。

媒介変数で表された点の軌跡

点の座標が、実数 $t$ を使って $(t,\ t^2 - 4t + 3)$ のように表されることがあります。この $t$ のように、点の位置を決めるための補助の文字を媒介変数（パラメータ）といいます。 $t$ の値を 1 つ決めると点が 1 つ決まり、 $t$ を動かすと点が動きます。

このときの軌跡は、 $x$ ${}= f(t)$ ， $y$ ${}= g(t)$ の 2 式から $t$ を消去して求めます。二次関数第2章 j18 で、放物線の頂点の軌跡を求めたのと同じ方法です。

ここで注意が必要なのは、 $t$ の動く範囲です。 $x$ ${}= t$ のように $x$ が $t$ そのものなら、 $t$ の範囲がそのまま $x$ の範囲になります。 $t$ が限られた範囲しか動かなければ、軌跡も図形の一部だけになります。

公式4：媒介変数の消去

点 P の座標が、 $t$ を媒介変数として $x$ ${}= f(t)$ ， $y$ ${}= g(t)$ と表されるとき、P の軌跡は

2 式から $t$ を消去して、 $x$ ， $y$ の関係式を作る。
$t$ の動く範囲から、 $x$ （または $y$ ）の動く範囲を求め、図形のその部分に限る。

雪が積もった朝の公園を思い浮かべてください。夜のうちに猫が歩いた足跡が残っていても、「何時何分にどこを通ったか」は雪からは読み取れません。残っているのは「通った場所」だけです。媒介変数 $t$ （時刻）を消去して、 $x$ と $y$ の関係だけを取り出すのは、足跡から道筋だけを読むことにあたります。そして、猫が歩いた時間が限られていれば、足跡も途中で途切れています。これが $t$ の範囲による制限です。

媒介変数 $t$ で表された点の軌跡は、 $t$ を消去して $x$ ， $y$ の式を作り、 $t$ の動く範囲から $x$ の範囲を決めて図形を切り取るということです。

例題4：放物線の頂点の軌跡

$t$ を実数とします。放物線 $y$ ${}= x^2$ ${}- 2tx$ ${}+ 2t^2$ ${}- 4t$ ${}+ 3$ について、次の場合の頂点 P の軌跡を求めなさい。

(1) $t$ が実数全体を動くとき

(2) $t$ が $0$ ${}< t$ ${}< 3$ の範囲を動くとき

【解答】

平方完成すると

\displaystyle y

なので、頂点は $\mathrm{P}(t,\ t^2 - 4t + 3)$ です。 $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle x

1 つ目の式から $t$ ${}= x$ で、2 つ目の式に代入すると $y$ ${}= x^2$ ${}- 4x$ ${}+ 3$ です。

(1) $t$ が実数全体を動くと、 $x$ ${}= t$ も実数全体を動きます。よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{放物線}\ y = x^2}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 3}$ です。

(2) $0$ ${}< t$ ${}< 3$ なので $0$ ${}< x$ ${}< 3$ です。よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{放物線}\ y = x^2}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 4x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 3\ \text{の}\ 0 < x < 3\ \text{の部分}}$ です。

(2) の軌跡は、放物線上の点 $(0,\ 3)$ と $(3,\ 0)$ の間の部分で、両端の点は含みません（ $t$ ${}= 0$ ， $3$ は範囲に入らないので）。

除外点の見つけ方

軌跡の式が円や直線になっても、そのすべての点に実際に届くとは限りません。公式1の手順4を省くと、届かない点を軌跡に含めてしまいます。

除外点がよく現れるのは、次のような場合です。

条件の中に「三角形ができる」「2 点が異なる」などの前提が隠れている（第4章 j12 の $\angle \mathrm{APB}$ ${}= 90^\circ$ では、P は A，B と異なる）。
文字 $m$ を含む直線 $y$ ${}= mx$ や $y$ ${}- q$ ${}= m(x - p)$ を使っていて、縦の直線が表せない（第2章公式5）。
$t$ を消去するときに、 $t$ ${}= \dfrac{y}{x}$ のような割り算をしている。

割り算をしたときは、割った式が $0$ になる場合を別に調べると、除外点が見つかります。

公式5：除外点の確かめ方

軌跡の方程式が得られたら、次の点を調べる。

図形を成り立たせる前提（三角形ができる、2 点が異なるなど）に反する点
途中で割り算をした場合、割った式が $0$ となる点
文字の範囲（媒介変数の範囲、 $m$ で表せない縦の直線など）のために、実際には現れない点

これらを除いたものが、求める軌跡である。

学校の行事で集合写真を撮ると、写真には参加者全員が写っているはずなのに、シャッターを押した人だけは写っていません。式の上では円全体が軌跡に見えても、「その図形をつくり出している仕組みの側にいる点」だけが抜け落ちることがあります。例題5の原点は、まさにその撮影者の位置です。

軌跡の方程式を得たら、前提に反する点・割った式が $0$ になる点・文字の範囲で届かない点を調べ、それを除いて答えるということです。

例題5：2 直線の交点の軌跡

$m$ を実数とします。2 直線

\displaystyle \ell : mx

の交点を P とするとき、 $m$ が実数全体を動くときの P の軌跡を求めなさい。

【解答】

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと、 $x$ ， $y$ は

\displaystyle mx

を満たします。 $m$ を消去します。

$x$ ${}\neq 0$ のとき　(i) より $m$ ${}= \dfrac{y}{x}$ で、(ii) に代入して $x$ 倍すると

\displaystyle x^2

$x$ ${}= 0$ のとき　(i) より $y$ ${}= 0$ で、(ii) に代入すると $0$ ${}+ 0$ ${}- 2$ ${}= 0$ となり、成り立ちません。つまり、 $x$ ${}= 0$ となる交点はありません。

以上より、P は円 $(x - 1)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ 上の、 $x$ ${}\neq 0$ の点です。この円で $x$ ${}= 0$ となるのは原点 $(0,\ 0)$ だけです。

逆に、円上の原点以外の点 $(x,\ y)$ に対して $m$ ${}= \dfrac{y}{x}$ とおくと、(i) が成り立ち、 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 2x$ から (ii) も成り立ちます。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\text{円}\ (x - 1)^2}$ $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ y^2 = 1\ \text{から原点を除いたもの}}$ です。

図形的な見方　 $\ell$ はいつも原点 O を通り、 $n$ はいつも点 $\mathrm{A}(2,\ 0)$ を通ります。一般形の係数から $m \cdot 1$ ${}+ (-1) \cdot m$ ${}= 0$ なので、 $\ell$ と $n$ は垂直です（第3章公式2）。よって $\angle \mathrm{OPA}$ ${}= 90^\circ$ となり、P は OA を直径とする円の上にあります。

原点が除かれるのは、 $\ell$ が縦の直線 $x$ ${}= 0$ になれないからです。 $m$ をどんなに大きくしても、 $\ell$ は $y$ 軸に近づくだけで、一致はしません。一方、点 $\mathrm{A}(2,\ 0)$ は $m$ ${}= 0$ のときの交点として、ちゃんと軌跡に含まれます。

この章では、軌跡を「条件を式にする → 整理 → 除外点の確認」の手順で求めました。第7章では、等式ではなく不等式を満たす点の集まり（領域）を扱います。直線や円が、今度は平面を分ける境界線として登場します。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

2 点 $\mathrm{A}(1,\ 2)$ ， $\mathrm{B}(5,\ -2)$ から等距離にある点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{直線}\ x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 3 = 0}$ （ $\mathrm{PA}^2$ ${}= \mathrm{PB}^2$ を展開して $8x$ ${}- 8y$ ${}- 24$ ${}= 0$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

問2

点 $\mathrm{A}(2,\ -1)$ からの距離が $3$ である点 P の軌跡を求めなさい。

答えを見る

答え

$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\text{円}\ (x - 2)^2}$ $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 1)^2 = 9}$ （中心 A、半径 $3$ の円）

自己採点：

記録を読み込み中…

問3

2 点 $\mathrm{O}(0,\ 0)$ ， $\mathrm{A}(6,\ 0)$ に対して、 $\mathrm{PO} : \mathrm{PA}$ ${}= 1 : 2$ を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$\underline{\text{中心}\ (-2,\ 0)，\text{半径}\ 4\ \text{の円}}$ （ $4(x^2 + y^2)$ ${}= (x - 6)^2$ ${}+ y^2$ から $x^2$ ${}+ y^2$ ${}+ 4x$ ${}- 12$ ${}= 0$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

問4

点 Q が直線 $y$ ${}= 2x$ ${}+ 1$ 上を動くとき、原点 O と Q を結ぶ線分 OQ の中点 P の軌跡を求めなさい。

答えを見る

答え

$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{直線}\ 4x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 2y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}+ 1 = 0}$ （ $\mathrm{Q}(2x,\ 2y)$ を代入して $2y$ ${}= 4x$ ${}+ 1$ ）

自己採点：

記録を読み込み中…

問5

$t$ が実数全体を動くとき、点 $\mathrm{P}(t + 1,\ 2t - 3)$ の軌跡を求めなさい。

答えを見る

答え

$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{直線}\ y = 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 5}$ （ $t$ ${}= x$ ${}- 1$ を代入）

自己採点：

記録を読み込み中…

実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

2 点 $\mathrm{A}(-1,\ 3)$ ， $\mathrm{B}(3,\ 1)$ から等距離にある点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

直線 $y$ ${}= 2x$

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおきます。 $\mathrm{PA}$ ${}= \mathrm{PB}$ ${}\iff \mathrm{PA}^2$ ${}= \mathrm{PB}^2$ なので

\displaystyle (x + 1)^2

展開すると $x^2$ ， $y^2$ が消えて

\displaystyle 2x

変形はすべて同値なので、軌跡は $\underline{\text{直線}\ y = 2x}$ です。

AB の中点 $(1,\ 2)$ はこの直線上にあり、AB の傾き $-\dfrac{1}{2}$ と傾き $2$ の積は $-1$ です。線分 AB の垂直二等分線になっています。

自己採点：

記録を読み込み中…

問2　★

2 点 $\mathrm{A}(-1,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(3,\ 0)$ に対して、 $\mathrm{PA}^2$ ${}+ \mathrm{PB}^2$ ${}= 16$ を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

中心 $(1,\ 0)$ ，半径 $2$ の円

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle (x + 1)^2

$2$ で割って整理すると $x^2$ ${}+ y^2$ ${}- 2x$ ${}- 3$ ${}= 0$ 、平方完成して $(x - 1)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 4$ です。

変形はすべて同値なので、軌跡は $\underline{\text{中心}\ (1,\ 0)，\text{半径}\ 2\ \text{の円}}$ です。

中心 $(1,\ 0)$ は AB の中点 M です。中線定理（第1章公式5） $\mathrm{PA}^2$ ${}+ \mathrm{PB}^2$ ${}= 2(\mathrm{PM}^2 + \mathrm{AM}^2)$ に $\mathrm{AM}$ ${}= 2$ を入れると $16$ ${}= 2(\mathrm{PM}^2 + 4)$ で、 $\mathrm{PM}$ ${}= 2$ となり、同じ結果が得られます。

自己採点：

記録を読み込み中…

問3　★

2 点 $\mathrm{A}(0,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(0,\ 5)$ に対して、 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= 3 : 2$ を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

中心 $(0,\ 9)$ ，半径 $6$ の円

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおきます。 $2\,\mathrm{PA}$ ${}= 3\,\mathrm{PB}$ で、両辺とも $0$ 以上なので、2 乗して

\displaystyle 4(x^2 + y^2)

と同値です。展開して整理すると

\displaystyle 5x^2

平方完成すると $x^2$ ${}+ (y - 9)^2$ ${}= 36$ です。よって、軌跡は $\underline{\text{中心}\ (0,\ 9)，\text{半径}\ 6\ \text{の円}}$ です。

確かめ　AB を $3 : 2$ に内分する点は $(0,\ 3)$ 、外分する点は $\left(0,\ \dfrac{-2 \cdot 0 + 3 \cdot 5}{3 - 2}\right)$ ${}= (0,\ 15)$ です。その中点は $(0,\ 9)$ 、距離の半分は $6$ で、公式2と一致します。

自己採点：

記録を読み込み中…

問4　★

点 Q が円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ 上を動くとき、点 $\mathrm{A}(6,\ 3)$ と Q を結ぶ線分 AQ を $2 : 1$ に内分する点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

中心 $(2,\ 1)$ ，半径 $2$ の円

解説

$\mathrm{Q}(s,\ t)$ ， $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと、 $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 9$ です。P は AQ を $2 : 1$ に内分するので

\displaystyle x

これを解くと $s$ ${}= \dfrac{3x - 6}{2}$ ， $t$ ${}= \dfrac{3y - 3}{2}$ です。 $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 9$ に代入して $4$ 倍すると

\displaystyle (3x - 6)^2

逆に、この円上の点から $s$ ， $t$ を決めると Q は円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ 上にあるので、除外点はありません。

よって、軌跡は $\underline{\text{中心}\ (2,\ 1)，\text{半径}\ 2\ \text{の円}}$ です。もとの円を A を中心に $\dfrac{2}{3}$ 倍に縮めた円で、中心は AO を $2 : 1$ に内分する点、半径は $3 \times \dfrac{2}{3}$ ${}= 2$ です。

自己採点：

記録を読み込み中…

問5　★

$t$ が $t$ ${}\geqq 0$ の範囲を動くとき、点 $\mathrm{P}(2t - 1,\ 4t^2 + 1)$ の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

放物線 $y$ ${}= x^2$ ${}+ 2x$ ${}+ 2$ の $x$ ${}\geqq -1$ の部分

解説

$x$ ${}= 2t$ ${}- 1$ ， $y$ ${}= 4t^2$ ${}+ 1$ とおきます。1 つ目の式から $t$ ${}= \dfrac{x + 1}{2}$ で、2 つ目の式に代入すると

\displaystyle y

です。 $t$ ${}\geqq 0$ より $x$ ${}= 2t$ ${}- 1$ ${}\geqq -1$ で、 $t$ が $0$ 以上の値をすべてとると、 $x$ も $-1$ 以上の値をすべてとります。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0699em}\text{放物線}\ y = x^2}$ $\underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0699em}{}+ 2x}$ $\underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0699em}{}+ 2\ \text{の}\ x \geqq -1\ \text{の部分}}$ です。 $y$ ${}= (x + 1)^2$ ${}+ 1$ なので、頂点 $(-1,\ 1)$ から右側の半分にあたります。

自己採点：

記録を読み込み中…

問6　★

2 直線 $x$ ${}+ 2y$ ${}- 3$ ${}= 0$ ， $2x$ ${}- y$ ${}+ 1$ ${}= 0$ から等距離にある点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

2 直線 $x$ ${}- 3y$ ${}+ 4$ ${}= 0$ ， $3x$ ${}+ y$ ${}- 2$ ${}= 0$

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと、点と直線の距離（第3章公式5）より、条件は

\displaystyle \frac{\lvert x + 2y - 3 \rvert}{\sqrt{5}}

です。

$+$ のとき： $-x$ ${}+ 3y$ ${}- 4$ ${}= 0$ 、つまり $x$ ${}- 3y$ ${}+ 4$ ${}= 0$
$-$ のとき： $3x$ ${}+ y$ ${}- 2$ ${}= 0$

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}2\ \text{直線}\ x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 3y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}+ 4 = 0，\ 3x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}+ y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 2 = 0}$ です。

この 2 直線は、もとの 2 直線がつくる角の二等分線です。どちらももとの 2 直線の交点 $\left(\dfrac{1}{5},\ \dfrac{7}{5}\right)$ を通り、傾き $\dfrac{1}{3}$ と $-3$ の積は $-1$ なので、互いに垂直です。

自己採点：

記録を読み込み中…

問7　★

2 点 $\mathrm{A}(-2,\ 1)$ ， $\mathrm{B}(2,\ 3)$ に対して、 $\mathrm{PA}^2$ ${}- \mathrm{PB}^2$ ${}= 8$ を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

直線 $2x$ ${}+ y$ ${}- 4$ ${}= 0$

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle \mathrm{PA}^2

です（ $x^2$ ， $y^2$ と定数の $4$ は打ち消し合い、 $1$ ${}- 9$ ${}= -8$ が残ります）。条件は $8x$ ${}+ 4y$ ${}- 8$ ${}= 8$ で、 $4$ で割って整理すると $2x$ ${}+ y$ ${}- 4$ ${}= 0$ です。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\text{直線}\ 2x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}+ y}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}- 4 = 0}$ です。

AB の傾きは $\dfrac{1}{2}$ 、この直線の傾きは $-2$ で、積が $-1$ です。例題1 (2) と同じく、AB に垂直な直線になっています。

自己採点：

記録を読み込み中…

問8　★

点 Q が放物線 $y$ ${}= x^2$ 上を動くとき、点 $\mathrm{A}(4,\ 2)$ と Q を結ぶ線分 AQ の中点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

放物線 $y$ ${}= 2x^2$ ${}- 8x$ ${}+ 9$

解説

$\mathrm{Q}(s,\ t)$ ， $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと、 $t$ ${}= s^2$ です。P は AQ の中点なので

\displaystyle x

$t$ ${}= s^2$ に代入すると

\displaystyle 2y

$s$ が実数全体を動くと $x$ も実数全体を動くので、除外点はありません。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{放物線}\ y = 2x^2}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}- 8x}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 9}$ です。頂点 $(2,\ 1)$ は、A ともとの放物線の頂点 $(0,\ 0)$ の中点になっています。

自己採点：

記録を読み込み中…

問9　★★

2 点 $\mathrm{A}(2,\ 1)$ ， $\mathrm{B}(5,\ 4)$ に対して、 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= 2 : 1$ を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

中心 $(6,\ 5)$ ，半径 $2\sqrt{2}$ の円

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおきます。 $\mathrm{PA}$ ${}= 2\,\mathrm{PB}$ ${}\iff \mathrm{PA}^2$ ${}= 4\,\mathrm{PB}^2$ なので

\displaystyle (x - 2)^2

右辺から左辺を引いて整理すると

\displaystyle 3x^2

平方完成すると $(x - 6)^2$ ${}+ (y - 5)^2$ ${}= 36$ ${}+ 25$ ${}- 53$ ${}= 8$ です。

よって、軌跡は $\underline{\text{中心}\ (6,\ 5)，\text{半径}\ 2\sqrt{2}\ \text{の円}}$ です。

確かめ　AB を $2 : 1$ に内分する点は $\left(\dfrac{2 + 10}{3},\ \dfrac{1 + 8}{3}\right)$ ${}= (4,\ 3)$ 、外分する点は $\left(\dfrac{-2 + 10}{1},\ \dfrac{-1 + 8}{1}\right)$ ${}= (8,\ 7)$ です。中点は $(6,\ 5)$ 、2 点間の距離は $\sqrt{16 + 16}$ ${}= 4\sqrt{2}$ で、その半分 $2\sqrt{2}$ が半径と一致します。中心は直線 AB（ $y$ ${}= x$ ${}- 1$ ）上の B の先にあります。

自己採点：

記録を読み込み中…

問10　★★

点 Q が円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ 上を動くとき、原点 O、点 $\mathrm{A}(3,\ 6)$ 、Q を頂点とする三角形 OAQ の重心 G の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

円 $(x - 1)^2$ ${}+ (y - 2)^2$ ${}= 1$ から、2 点 $\left(1 + \dfrac{\sqrt{5}}{5},\ 2 + \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$ ， $\left(1 - \dfrac{\sqrt{5}}{5},\ 2 - \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$ を除いたもの

解説

$\mathrm{Q}(s,\ t)$ ， $\mathrm{G}(x,\ y)$ とおくと、 $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 9$ です。重心の座標（第1章公式4）より

\displaystyle x

$s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 9$ に代入して $9$ で割ると

\displaystyle (x - 1)^2

除外点　三角形 OAQ ができるには、Q が直線 OA（ $y$ ${}= 2x$ ）上にあってはいけません（公式5の「前提に反する点」）。 $y$ ${}= 2x$ と $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ の共有点は $5x^2$ ${}= 9$ より $\mathrm{Q}$ ${}= \pm\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}},\ \dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)$ で、このときの G は

\displaystyle \left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{5}},\ 2 \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\right)

です。それ以外の Q では三角形ができ、Q と G は 1 対 1 に対応します。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\text{円}\ (x - 1)^2}$ $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y - 2)^2 = 1\ \text{から}}$ $\underline{\text{2 点を除いたもの}}$ です。除く 2 点は $\underline{\left(1 + \dfrac{\sqrt{5}}{5},\ 2 + \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)}$ ， $\underline{\left(1 - \dfrac{\sqrt{5}}{5},\ 2 - \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)}$ で、円と直線 $y$ ${}= 2x$ の共有点です。

自己採点：

記録を読み込み中…

問11　★★

$\theta$ が $0^\circ$ ${}\leqq \theta$ ${}\leqq 180^\circ$ の範囲を動くとき、点 $\mathrm{P}(2\cos\theta + 1,\ 2\sin\theta - 3)$ の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

円 $(x - 1)^2$ ${}+ (y + 3)^2$ ${}= 4$ の $y$ ${}\geqq -3$ の部分

解説

$x$ ${}= 2\cos\theta$ ${}+ 1$ ， $y$ ${}= 2\sin\theta$ ${}- 3$ とおくと

\displaystyle \cos\theta

$\sin^2\theta$ ${}+ \cos^2\theta$ ${}= 1$ に代入すると $(x - 1)^2$ ${}+ (y + 3)^2$ ${}= 4$ です。

範囲　 $0^\circ$ ${}\leqq \theta$ ${}\leqq 180^\circ$ では $\sin\theta$ ${}\geqq 0$ なので $y$ ${}\geqq -3$ です。逆に、この円上で $y$ ${}\geqq -3$ の点は、 $\cos\theta$ ${}= \dfrac{x - 1}{2}$ ， $\sin\theta$ ${}= \dfrac{y + 3}{2}$ ${}\geqq 0$ を満たす $\theta$ （ $0^\circ$ ${}\leqq \theta$ ${}\leqq 180^\circ$ ）がただ 1 つあるので、すべて現れます。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\text{円}\ (x - 1)^2}$ $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ (y + 3)^2 = 4}$ $\underline{\text{の}\ y \geqq -3\ \text{の部分}}$ です。中心 $(1,\ -3)$ を通る横線より上の半円で、両端の $(3,\ -3)$ （ $\theta$ ${}= 0^\circ$ ）と $(-1,\ -3)$ （ $\theta$ ${}= 180^\circ$ ）を含みます。

自己採点：

記録を読み込み中…

問12　★★

円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 9$ と直線 $y$ ${}= 2x$ ${}+ k$ が異なる 2 点で交わるとき、その 2 点を結ぶ線分の中点 M の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

直線 $x$ ${}+ 2y$ ${}= 0$ の $-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ ${}< x$ ${}< \dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ の部分

解説

$y$ ${}= 2x$ ${}+ k$ を円の式に代入すると

\displaystyle x^2

異なる 2 点で交わる条件は、 $(\ast)$ の判別式について

\displaystyle \frac{D}{4}

2 つの交点の $x$ 座標を $\alpha$ ， $\beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= -\dfrac{4k}{5}$ です。 $\mathrm{M}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle x

$k$ ${}= 5y$ を 1 つ目の式に代入すると $x$ ${}= -2y$ 、つまり $x$ ${}+ 2y$ ${}= 0$ です。また、 $k$ ${}= -\dfrac{5x}{2}$ なので、 $k$ の範囲は $-3\sqrt{5}$ ${}< -\dfrac{5x}{2}$ ${}< 3\sqrt{5}$ 、つまり $-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ ${}< x$ ${}< \dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ となります。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\text{直線}\ x}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}{}+ 2y = 0\ \text{の}}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}{}\ -\dfrac{6\sqrt{5}}{5} < x < \dfrac{6\sqrt{5}}{5}\ \text{の部分}}$ です。

第5章公式2のとおり、弦の中点は中心から下ろした垂線の足なので、M は原点を通り直線 $y$ ${}= 2x$ ${}+ k$ に垂直な直線 $y$ ${}= -\dfrac{1}{2}x$ 上にあります。範囲は、この直線のうち円の内部にある部分（両端を除く）です。

自己採点：

記録を読み込み中…

問13　★★

$m$ を実数とします。2 直線 $mx$ ${}- y$ ${}+ m$ ${}= 0$ ， $x$ ${}+ my$ ${}- 3$ ${}= 0$ の交点 P について、 $m$ が実数全体を動くときの P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

円 $(x - 1)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 4$ から点 $(-1,\ 0)$ を除いたもの

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle m(x + 1)

$x$ ${}\neq -1$ のとき　(i) より $m$ ${}= \dfrac{y}{x + 1}$ で、(ii) に代入して $x$ ${}+ 1$ 倍すると

\displaystyle x(x + 1)

$x$ ${}= -1$ のとき　(i) より $y$ ${}= 0$ で、(ii) は $-1$ ${}- 3$ ${}= 0$ となり成り立ちません。

円 $(x - 1)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 4$ で $x$ ${}= -1$ となる点は $(-1,\ 0)$ だけです。逆に、円上のそれ以外の点では $m$ ${}= \dfrac{y}{x + 1}$ とおけば (i)，(ii) がともに成り立ちます。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}\text{円}\ (x - 1)^2}$ $\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0641em}{}+ y^2 = 4\ \text{から}}$ $\underline{\text{点}\ (-1,\ 0)\ \text{を除いたもの}}$ です。

1 つ目の直線はいつも $\mathrm{A}(-1,\ 0)$ を、2 つ目はいつも $\mathrm{B}(3,\ 0)$ を通り、係数から $m \cdot 1$ ${}+ (-1) \cdot m$ ${}= 0$ で互いに垂直です。P は AB を直径とする円の上にあり、1 つ目の直線が縦の直線 $x$ ${}= -1$ になれないため、A だけが除かれます。B は $m$ ${}= 0$ のときの交点として含まれます。

自己採点：

記録を読み込み中…

問14　★★

$m$ を実数とします。放物線 $y$ ${}= x^2$ と直線 $y$ ${}= mx$ ${}+ 1$ の 2 つの交点を結ぶ線分の中点 M について、 $m$ が実数全体を動くときの M の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

放物線 $y$ ${}= 2x^2$ ${}+ 1$

解説

$x^2$ ${}= mx$ ${}+ 1$ 、つまり $x^2$ ${}- mx$ ${}- 1$ ${}= 0$ の判別式は $m^2$ ${}+ 4$ ${}> 0$ なので、どんな $m$ でも 2 点で交わります。

交点の $x$ 座標を $\alpha$ ， $\beta$ とすると $\alpha$ ${}+ \beta$ ${}= m$ です。 $\mathrm{M}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle x

$m$ ${}= 2x$ を代入すると $y$ ${}= 2x^2$ ${}+ 1$ です。 $m$ が実数全体を動くと、 $x$ ${}= \dfrac{m}{2}$ も実数全体を動きます。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{放物線}\ y = 2x^2}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 1}$ です。

自己採点：

記録を読み込み中…

問15　★★

3 点 $\mathrm{A}(0,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(6,\ 0)$ ， $\mathrm{C}(0,\ 3)$ に対して、 $\mathrm{PA}^2$ ${}+ \mathrm{PB}^2$ ${}+ \mathrm{PC}^2$ ${}= 45$ を満たす点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

中心 $(2,\ 1)$ ，半径 $\sqrt{5}$ の円

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle \mathrm{PA}^2

条件より $3x^2$ ${}+ 3y^2$ ${}- 12x$ ${}- 6y$ ${}= 0$ 、 $3$ で割って平方完成すると

\displaystyle (x - 2)^2

よって、軌跡は $\underline{\text{中心}\ (2,\ 1)，\text{半径}\ \sqrt{5}\ \text{の円}}$ です。

中心 $(2,\ 1)$ は三角形 ABC の重心 G です。一般に $\mathrm{PA}^2$ ${}+ \mathrm{PB}^2$ ${}+ \mathrm{PC}^2$ ${}= 3\,\mathrm{PG}^2$ ${}+ (\text{定数})$ と書けるので（第1章 j18）、この和が一定の点は G を中心とする円の上にあります。A を代入すると $0$ ${}+ 36$ ${}+ 9$ ${}= 45$ で、A もこの円の上にあります。

自己採点：

記録を読み込み中…

問16　★★

点 P から 2 円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 4$ ， $(x - 6)^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ にそれぞれ接線を引いたところ、P から接点までの長さが等しくなりました。このような点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

直線 $x$ ${}= \dfrac{13}{4}$

解説

円 $(x - a)^2$ ${}+ (y - b)^2$ ${}= r^2$ の外の点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ から引いた接線の長さを $\ell$ とすると、接線⊥半径と三平方の定理から

\displaystyle \ell^2

です（第5章 j13）。よって条件は

\displaystyle x^2

接線が引けるか　P は両方の円の外（または周上）になければなりません。 $x$ ${}= \dfrac{13}{4}$ のとき

\displaystyle x^2

なので、この直線上の点はどれも両方の円の外にあり、除外点はありません。

よって、軌跡は $\underline{\text{直線}\ x = \dfrac{13}{4}}$ です。

2 円の式を引いた直線で、中心を結ぶ $x$ 軸に垂直です。この直線を 2 円の根軸といいます（厳密定義定理6）。

自己採点：

記録を読み込み中…

問17　★★★

放物線 $y$ ${}= x^2$ 上に、原点 O と異なる 2 点 A，B を $\angle \mathrm{AOB}$ ${}= 90^\circ$ となるようにとります。A，B が動くとき、線分 AB の中点 M の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

放物線 $y$ ${}= 2x^2$ ${}+ 1$

解説

$\mathrm{A}(a,\ a^2)$ ， $\mathrm{B}(b,\ b^2)$ （ $a$ ${}\neq 0$ ， $b$ ${}\neq 0$ ， $a$ ${}\neq b$ ）とおきます。OA，OB の傾きは $a$ ， $b$ なので、 $\angle \mathrm{AOB}$ ${}= 90^\circ$ の条件は

\displaystyle ab

です（第3章公式1）。 $\mathrm{M}(x,\ y)$ とおくと

\displaystyle x

$x$ の範囲　 $b$ ${}= -\dfrac{1}{a}$ なので $x$ ${}= \dfrac{1}{2}\left(a - \dfrac{1}{a}\right)$ です。任意の実数 $X$ に対して、 $a$ の二次方程式 $a^2$ ${}- 2Xa$ ${}- 1$ ${}= 0$ は判別式が $4X^2$ ${}+ 4$ ${}> 0$ で、 $0$ でない実数解をもちます（解の積が $-1$ ）。その $a$ と $b$ ${}= -\dfrac{1}{a}$ を使えば、 $x$ ${}= X$ となる A，B がとれます（ $ab$ ${}= -1$ より $a$ ${}\neq b$ ）。したがって、 $x$ は実数全体を動きます。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{放物線}\ y = 2x^2}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ 1}$ です。

j14 と同じ答えになったのは偶然ではありません。直線 AB の $y$ 切片は $-ab$ ${}= 1$ で、 $\angle \mathrm{AOB}$ ${}= 90^\circ$ となる弦 AB は、いつも点 $(0,\ 1)$ を通るからです。

自己採点：

記録を読み込み中…

問18　★★★

点 P から放物線 $y$ ${}= x^2$ に 2 本の接線が引けて、その 2 本が互いに垂直になるとします。このような点 P の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

直線 $y$ ${}= -\dfrac{1}{4}$

解説

$\mathrm{P}(p,\ q)$ とおきます。 $y$ 軸に平行な直線は放物線の接線にならないので（二次関数第6章）、接線は $y$ ${}= mx$ ${}+ n$ とおけます。 $x^2$ ${}- mx$ ${}- n$ ${}= 0$ が重解をもつ条件 $m^2$ ${}+ 4n$ ${}= 0$ より、傾き $m$ の接線は

\displaystyle y

です。これが P を通る条件は $q$ ${}= mp$ ${}- \dfrac{m^2}{4}$ 、つまり

\displaystyle m^2

P から 2 本の接線が引ける $\iff$ $(\ast)$ が異なる 2 つの実数解 $m_1$ ， $m_2$ をもつ、です。2 本が垂直 $\iff m_1 m_2$ ${}= -1$ で、解と係数の関係より $m_1 m_2$ ${}= 4q$ なので

\displaystyle 4q

逆の確認　 $q$ ${}= -\dfrac{1}{4}$ のとき、 $(\ast)$ は $m^2$ ${}- 4pm$ ${}- 1$ ${}= 0$ で、判別式 $16p^2$ ${}+ 4$ ${}> 0$ から、どんな $p$ でも異なる 2 つの実数解をもち、その積は $-1$ です。

よって、軌跡は $\underline{\text{直線}\ y = -\dfrac{1}{4}}$ です。

この直線は、放物線 $y$ ${}= x^2$ の「準線」と呼ばれる直線で、二次曲線の分野で改めて登場します。

自己採点：

記録を読み込み中…

問19　★★★

$k$ を正の定数とし、2 点 $\mathrm{A}(-2,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(2,\ 0)$ に対して $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= k : 1$ を満たす点 P の軌跡を、 $k$ ${}= 1$ のときと $k$ ${}\neq 1$ のときに分けて求めなさい。さらに、軌跡が半径 $3$ の円となるような $k$ の値を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

$k$ ${}= 1$ のとき直線 $x$ ${}= 0$ 、 $k$ ${}\neq 1$ のとき中心 $\left(\dfrac{2(k^2 + 1)}{k^2 - 1},\ 0\right)$ ，半径 $\dfrac{4k}{\lvert k^2 - 1 \rvert}$ の円。半径 $3$ となるのは $k$ ${}= \dfrac{-2 + \sqrt{13}}{3},$ $\ \dfrac{2 + \sqrt{13}}{3}$

解説

$\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと、 $\mathrm{PA}$ ${}= k\,\mathrm{PB}$ ${}\iff \mathrm{PA}^2$ ${}= k^2\,\mathrm{PB}^2$ なので

\displaystyle (x + 2)^2

整理すると

\displaystyle (1 - k^2)(x^2 + y^2)

$k$ ${}= 1$ のとき　 $(\ast)$ は $8x$ ${}= 0$ で、軌跡は $\underline{\text{直線}\ x = 0}$ （AB の垂直二等分線）です。

$k$ ${}\neq 1$ のとき　 $(\ast)$ を $1$ ${}- k^2$ で割ると

\displaystyle x^2

$c$ ${}= \dfrac{2(k^2 + 1)}{k^2 - 1}$ とおくと $(x - c)^2$ ${}+ y^2$ ${}= c^2$ ${}- 4$ です。 $c^2$ ${}- 4$ を通分すると、分子は $4\{(k^2 + 1)^2 - (k^2 - 1)^2\}$ で、かっこの中は $4k^2$ なので

\displaystyle c^2

よって、軌跡は $\underline{\text{中心}\ \left(\dfrac{2(k^2 + 1)}{k^2 - 1},\ 0\right)}$ ， $\underline{\text{半径}\ \dfrac{4k}{\lvert k^2 - 1 \rvert}\ \text{の円}}$ です（ $k$ ${}> 0$ より半径は正）。

半径が $3$ のとき　 $4k$ ${}= 3\lvert k^2 - 1 \rvert$ を解きます。

$0$ ${}< k$ ${}< 1$ のとき： $4k$ ${}= 3(1 - k^2)$ より $3k^2$ ${}+ 4k$ ${}- 3$ ${}= 0$ 、 $k$ ${}= \dfrac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$ 。 $0$ ${}< k$ ${}< 1$ を満たすのは $k$ ${}= \dfrac{-2 + \sqrt{13}}{3}$ （ $\sqrt{13}$ ${}\fallingdotseq 3.61$ より約 $0.54$ ）
$k$ ${}> 1$ のとき： $4k$ ${}= 3(k^2 - 1)$ より $3k^2$ ${}- 4k$ ${}- 3$ ${}= 0$ 、 $k$ ${}= \dfrac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$ 。 $k$ ${}> 1$ を満たすのは $k$ ${}= \dfrac{2 + \sqrt{13}}{3}$ （約 $1.87$ ）

よって $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}k = \dfrac{-2 + \sqrt{13}}{3},}$ $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\ \dfrac{2 + \sqrt{13}}{3}}$ です。

2 つの値の積は $\dfrac{13 - 4}{9}$ ${}= 1$ で、互いに逆数です。比 $k : 1$ を $1 : k$ にすると A と B の役割が入れかわり、 $y$ 軸について対称な同じ大きさの円になるからです。

自己採点：

記録を読み込み中…

問20　★★★

$t$ が実数全体を動くとき、点 $\mathrm{P}\left(\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2},\ \dfrac{2t}{1 + t^2}\right)$ の軌跡を求めなさい。

つまずいたときは：

答えを見る

答え

円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ から点 $(-1,\ 0)$ を除いたもの

解説

$x$ ${}= \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$ ， $y$ ${}= \dfrac{2t}{1 + t^2}$ とおくと

\displaystyle x^2

なので、P は円 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ 上にあります。

届かない点　 $x$ ${}= -1$ とすると $1$ ${}- t^2$ ${}= -(1 + t^2)$ 、つまり $1$ ${}= -1$ となり不合理です。よって、点 $(-1,\ 0)$ には届きません。

それ以外の点には届くこと　円上の点 $(x,\ y)$ （ $x$ ${}\neq -1$ ）に対して $t$ ${}= \dfrac{y}{1 + x}$ とおきます。 $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ を使うと

\displaystyle 1

\displaystyle 1

なので、 $\dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$ ${}= x$ ， $\dfrac{2t}{1 + t^2}$ ${}= \dfrac{2y}{1 + x} \cdot \dfrac{1 + x}{2}$ ${}= y$ となり、この $t$ で P は $(x,\ y)$ に一致します。

よって、軌跡は $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}\text{円}\ x^2}$ $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.0085em}{}+ y^2 = 1\ \text{から}}$ $\underline{\text{点}\ (-1,\ 0)\ \text{を除いたもの}}$ です。

図形的には、 $t$ は点 $(-1,\ 0)$ を通る直線 $y$ ${}= t(x + 1)$ の傾きで、P はその直線と円のもう 1 つの交点です。縦の直線 $x$ ${}= -1$ は傾きで表せないので、 $(-1,\ 0)$ だけが残されます（例題5・j13 と同じ理由）。

自己採点：

記録を読み込み中…

数学小話コーナー

スピログラフ——歯車のペン先が描く花模様

歯のついた大きなリングを紙に固定し、その内側で小さな歯車を転がします。小さな歯車にあいた穴にペンを差して一周、二周と回していくと、花びらのような模様が描けます。このおもちゃはスピログラフと呼ばれ、1960 年代にイギリスで売り出されて世界中に広まりました（※考案者はデニス・フィッシャーとされる。似た仕組みの製図器具はそれより前からある）。

ペン先が描く曲線は、「円の内側を転がる円の、ある 1 点の軌跡」です。歯車の中心は、リングより小さな円の上を一定の速さで回ります。ペン先は、その中心のまわりを、歯車の回転に合わせてさらに回ります。2 つの回転が重なるので、ペン先の座標は、この章の例題4のように 1 つの媒介変数（回した角度）で表されます。

模様の花びらの数は、歯の数で決まります。たとえばリングの歯が $105$ 、歯車の歯が $63$ のとき、2 つの数の最大公約数は $21$ です。

\displaystyle 105 \div 21

ペン先は、歯車がリングに沿って $3$ 周したところで出発点に戻り、その間に花びらを $5$ 枚描きます。歯車の歯を $64$ に変えると、最大公約数は $1$ になり、出発点に戻るまでに $64$ 周も回って、花びら $105$ 枚の細かい模様になります（※実際の製品の歯数は商品によって違う）。

豆知識

「軌跡」の「軌」は、車輪が地面に残す跡（わだち）を表す字です。英語では locus といい、ラテン語で「場所」という意味です（local や location と同じ仲間の言葉）。日本語は「動いた跡」、英語は「条件を満たす場所」と、同じものを別の側から名づけているのがおもしろいところです。

ラグビーのキックはどこから蹴るか

ラグビーでトライ（ボールを相手のゴールラインの向こうに置くこと）を決めると、ゴールキックで追加点をねらえます。蹴る位置には決まりがあり、トライした地点を通ってタッチライン（競技場の長い側の線）に平行な直線の上なら、どこから蹴ってもかまいません。ゴールラインから離れるほど、ボールを置く位置を自由に選べる代わりに、距離が長くなります。

では、ゴールポストの間がいちばん広い角度に見える位置はどこでしょうか。ゴールラインを $x$ 軸、ポストの真ん中を原点にとり、2 本のポストを $(-a,\ 0)$ ， $(a,\ 0)$ とします（ラグビーユニオンではポストの間隔が $5.6$ m なので $a$ ${}= 2.8$ ）。トライした地点が $(c,\ 0)$ （ $c$ ${}> a$ ）なら、蹴る位置は直線 $x$ ${}= c$ の上です。

2 本のポストを一定の角度で見込む点は、ポストを通る円の弧の上に並びます（厳密定義定理5）。角度が大きいほど円は小さくなるので、直線 $x$ ${}= c$ と共有点をもつ円のうち、いちばん小さいもの、つまり直線 $x$ ${}= c$ に接する円の接点が、最も広く見える位置です。その円の中心を $(0,\ h)$ とすると、半径は $c$ で、ポストを通ることから $h^2$ ${}+ a^2$ ${}= c^2$ です。接点は $(c,\ h)$ なので、ゴールラインからの距離は

\displaystyle h

たとえば $c$ ${}= 5.3$ （ポストの外側 $2.5$ m）なら、 $h$ ${}= \sqrt{28.09 - 7.84}$ ${}= \sqrt{20.25}$ ${}= 4.5$ で、ゴールラインから $4.5$ m の位置です。

トライの位置 $c$ を変えると、最適な位置 $(x,\ y)$ ${}= (c,\ h)$ は $x^2$ ${}- y^2$ ${}= a^2$ を満たしながら動きます。この曲線は双曲線と呼ばれ、二次曲線の分野で学びます（※実際のキッカーは、蹴りやすい距離や風も考えて位置を決める）。

豆知識

「どこから見ると、ものがいちばん大きく見えるか」という問題は、15 世紀のドイツの天文学者レギオモンタヌスが、壁に掛けた棒を見上げる形で出したものが古い例とされています（※1471 年の手紙といわれる）。美術館で絵がいちばん大きく見える立ち位置も、同じ考え方で求められます。

滑り落ちるはしごと楕円コンパス

壁に立てかけたはしごの足元が、床をすべって離れていくところを想像してください。はしごの上端は壁に沿って下がり、下端は床に沿って動きます。このとき、はしごの真ん中の点はどんな線を描くでしょうか。

床を $x$ 軸、壁を $y$ 軸にとり、はしごの長さを $2L$ 、下端を $(s,\ 0)$ 、上端を $(0,\ t)$ とします。長さが一定なので $s^2$ ${}+ t^2$ ${}= 4L^2$ です。真ん中の点を $(x,\ y)$ とすると $x$ ${}= \dfrac{s}{2}$ ， $y$ ${}= \dfrac{t}{2}$ で、公式3のように代入すると

\displaystyle x^2

となります。はしごの真ん中は、壁と床の角を中心とする半径 $L$ の円（の $\dfrac{1}{4}$ ）を描くのです。直角三角形の斜辺の中点は、3 つの頂点から等距離にある（図形の性質第2章の外心）ので、角からの距離はいつも斜辺の半分 $L$ になる、と説明することもできます。

では、真ん中以外の点はどうでしょう。下端から $p$ 、上端から $q$ の位置にある点は、 $x$ ${}= \dfrac{q s}{p + q}$ ， $y$ ${}= \dfrac{p t}{p + q}$ となり、 $\dfrac{x^2}{q^2}$ ${}+ \dfrac{y^2}{p^2}$ ${}= 1$ を満たします。 $p$ ${}= q$ なら円ですが、 $p$ ${}\neq q$ だと円を一方向に押しつぶした形、つまり楕円になります。

この仕組みを道具にしたのが「楕円コンパス」（トランメル）です。十字の溝に沿って 2 つの駒をすべらせ、駒をつないだ棒の先のペンで楕円を描きます（※「アルキメデスのトランメル」とも呼ばれるが、アルキメデスとの関係ははっきりしない）。

豆知識

はしごの位置をすべて重ねて描くと、はしごの線の集まりが、角の近くに星形の一部のような曲線（アステロイド）を浮かび上がらせます。この曲線は、どのはしごの線にも接していて、「動く直線が通る範囲の境界」として求められます。動く直線が通る範囲は、第7章以降の「領域」の考え方とつながっています。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、本文の公式1〜5が使えれば十分です。「軌跡を求めるとき、なぜ“逆”を確かめる必要があるの？」「アポロニウスの円の中心と半径は、一般にどうなるの？」「一定の角度で見込む点は、座標ではどう表せるの？」が気になる人のために、根拠を紹介します。

この章では、第1〜5章の厳密定義（2 点間の距離、内分点・外分点の座標、直線と一次方程式の対応、円と標準形・一般形の対応、接線の長さ $\mathrm{AT}^2$ ${}= (\text{代入した値})$ ）と、数と式第5章の集合の用語（ $\in$ ， $\subset$ ， $=$ ）を前提にします。

軌跡を集合として見る

定義1：軌跡

平面上の点についての条件 $C$ が与えられたとき、 $C$ を満たす点全体の集合

\displaystyle L

を、条件 $C$ を満たす点の軌跡という。図形 $F$ （点の集合）が軌跡であるとは、 $L$ ${}= F$ であることをいう。

集合が等しいこと $L$ ${}= F$ は、 $L$ ${}\subset F$ と $F$ ${}\subset L$ の両方が成り立つことです。

$L$ ${}\subset F$ ：条件 $C$ を満たす点は、すべて $F$ に属する（本文の手順1〜3）。
$F$ ${}\subset L$ ： $F$ に属する点は、すべて条件 $C$ を満たす（本文の手順4）。

手順1〜3だけでは $L$ ${}\subset F$ しか言えず、 $F$ が軌跡より大きすぎる可能性が残ります。例題5で円全体を答えにすると、原点という「余計な点」を含んでしまうのはこのためです。一方、式の変形が $\iff$ でつながっていれば、両方の包含が一度に示されます。

距離の条件

定理1：距離の 2 乗の差が一定の点

異なる 2 点 A，B と定数 $k$ について、 $\mathrm{PA}^2$ ${}- \mathrm{PB}^2$ ${}= k$ を満たす点 P の軌跡は、直線 AB に垂直な直線である。特に $k$ ${}= 0$ （ $\mathrm{PA}$ ${}= \mathrm{PB}$ ）のとき、線分 AB の垂直二等分線である。

証明　 $\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$ ， $\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$ ， $\mathrm{P}(x,\ y)$ とすると

\displaystyle \mathrm{PA}^2

A と B は異なるので、 $x_2$ ${}- x_1$ と $y_2$ ${}- y_1$ の少なくとも一方は $0$ でない。したがって、 $\mathrm{PA}^2$ ${}- \mathrm{PB}^2$ ${}= k$ は直線の方程式であり、その変形は同値なので、この直線が軌跡である。

この直線の $x$ ， $y$ の係数は $2(x_2 - x_1)$ ， $2(y_2 - y_1)$ 、直線 AB の方程式 $(y_2 - y_1)(x - x_1)$ ${}- (x_2 - x_1)(y - y_1)$ ${}= 0$ の係数は $y_2$ ${}- y_1$ ， $-(x_2 - x_1)$ である。

\displaystyle 2(x_2 - x_1)(y_2 - y_1)

なので、第3章公式2より 2 直線は垂直である。

$k$ ${}= 0$ のとき、AB の中点 $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$ を代入すると、左辺は

\displaystyle (x_2^2 - x_1^2)

となり、直線は中点を通る。（証明終）

$k$ を変えると、垂直二等分線を平行に動かした直線が次々に現れます。例題1の (1) と (2)、j07 はこの定理の具体例です。

定理2：アポロニウスの円

$\mathrm{AB}$ ${}= a$ （ $a$ ${}> 0$ ）の 2 点 A，B と、異なる正の数 $m$ ， $n$ について、 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= m : n$ を満たす点 P の軌跡は、線分 AB を $m : n$ に内分する点 D と外分する点 E を直径の両端とする円で、その半径は

\frac{mna}{\lvert m^2 - n^2 \rvert}

である。

証明　距離は座標軸の置き方によらない（第1章定理2）ので、 $\mathrm{A}(0,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(a,\ 0)$ としてよい。 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB}$ ${}= m : n$ ${}\iff n\,\mathrm{PA}$ ${}= m\,\mathrm{PB}$ で、両辺は $0$ 以上だから、2 乗しても同値である。

\displaystyle n^2(x^2 + y^2)

$m^2$ ${}- n^2$ ${}\neq 0$ で割り、 $c$ ${}= \dfrac{m^2 a}{m^2 - n^2}$ とおくと

\displaystyle (x - c)^2

よって軌跡は中心 $(c,\ 0)$ 、半径 $\dfrac{mna}{\lvert m^2 - n^2 \rvert}$ の円である。

一方、 $\mathrm{D}\left(\dfrac{ma}{m + n},\ 0\right)$ ， $\mathrm{E}\left(\dfrac{ma}{m - n},\ 0\right)$ であり

\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{ma}{m + n} + \frac{ma}{m - n}\right)

なので、この円は DE を直径とする円である。（証明終）

$m$ ${}> n$ なら $c$ ${}> a$ で中心は B の先に、 $m$ ${}< n$ なら $c$ ${}< 0$ で中心は A の手前にあります。つまり、円はいつも「比の小さいほうの点（近いほうの点）」を内部に含みます。実際、 $c$ と B の距離 $\lvert c - a \rvert$ ${}= \dfrac{n^2 a}{\lvert m^2 - n^2 \rvert}$ と半径の比は $n : m$ なので、 $m$ ${}> n$ のとき B は円の内部にあります。

対応で動く点

定理3：拡大・縮小で移る図形

定点 $\mathrm{A}(p,\ q)$ と $0$ でない実数 $\lambda$ について、点 $\mathrm{Q}(s,\ t)$ に点

\mathrm{P}(p + \lambda(s - p),\ q + \lambda(t - q))

を対応させる。Q が中心 $\mathrm{C}(a,\ b)$ 、半径 $r$ の円全体を動くとき、P の軌跡は中心 $\mathrm{C}'(p + \lambda(a - p),\ q + \lambda(b - q))$ 、半径 $\lvert \lambda \rvert r$ の円である。

証明　P $(x,\ y)$ から Q は $s$ ${}= p$ ${}+ \dfrac{x - p}{\lambda}$ ， $t$ ${}= q$ ${}+ \dfrac{y - q}{\lambda}$ とただ 1 通りに定まる。このとき

\displaystyle x

なので $\mathrm{C}'\mathrm{P}^2$ ${}= \lambda^2\,\mathrm{CQ}^2$ である。よって

\displaystyle \mathrm{Q}\ \text{が円周上にある}

で、Q と P が 1 対 1 に対応するから、P の軌跡は中心 C′、半径 $\lvert \lambda \rvert r$ の円全体である。（証明終）

中点は $\lambda$ ${}= \dfrac{1}{2}$ （例題3）、 $2 : 1$ の内分点は $\lambda$ ${}= \dfrac{2}{3}$ （j04）の場合です。三角形 OAQ の重心（j10）は、OA の中点 M を中心とする $\lambda$ ${}= \dfrac{1}{3}$ の場合で、 $\mathrm{M}$ ${}+ \dfrac{1}{3}(\mathrm{Q} - \mathrm{M})$ ${}= \dfrac{\mathrm{O} + \mathrm{A} + \mathrm{Q}}{3}$ と確かめられます。同じ証明で、直線は直線に、放物線は放物線に移ることもわかります（j08）。

定理4：媒介変数で表された点の軌跡

実数の集合 $I$ と、 $I$ 上の関数 $f$ ， $g$ について、点 $\mathrm{P}_t(f(t),\ g(t))$ （ $t$ ${}\in I$ ）の軌跡は

\displaystyle L

である。すなわち、点 $(x,\ y)$ が $L$ に属するのは、 $x$ ${}= f(t)$ かつ $y$ ${}= g(t)$ を満たす $t$ ${}\in I$ が存在するとき、またそのときに限る。したがって、 $t$ を消去して得た関係式 $h(x,\ y)$ ${}= 0$ の表す図形を $F$ とすると、 $L$ ${}\subset F$ は常に成り立つが、 $L$ ${}= F$ を言うには、 $F$ の各点に対して、それを与える $t$ ${}\in I$ が存在することを示す必要がある。

証明　定義1より、点 $(x,\ y)$ が軌跡に属することは、ある $t$ ${}\in I$ で $\mathrm{P}_t$ ${}= (x,\ y)$ となることにほかならない。 $t$ の消去は「 $x$ ${}= f(t)$ ， $y$ ${}= g(t)$ ならば $h(x,\ y)$ ${}= 0$ 」を導く操作であり、その逆は一般には保証されない。（証明終）

この定理は、軌跡の問題を「 $(x,\ y)$ を固定して、 $t$ の方程式が $I$ に解をもつか」という問題に言いかえています。例題5では「 $x$ ， $y$ を与えたとき $m$ が存在するか」を調べ、 $x$ ${}= 0$ では $m$ が存在しないことから原点を除きました。j20 では、 $t$ ${}= \dfrac{y}{1 + x}$ という具体的な $t$ を作って存在を示しました。「解が存在する $(x,\ y)$ の集まり」という見方は、第7章以降で、動く直線が通過する範囲を求めるときの基本になります。

一定の角で見込む点と根軸

定理5：一定の角で見込む点の軌跡

$\mathrm{A}(-1,\ 0)$ ， $\mathrm{B}(1,\ 0)$ とし、 $0^\circ$ ${}< \theta$ ${}< 180^\circ$ とする。 $\angle \mathrm{APB}$ ${}= \theta$ を満たす点 P の軌跡は、 $u$ ${}= \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ とおくと、2 つの円

\displaystyle x^2

のうち、前者の $y$ ${}> 0$ の部分と、後者の $y$ ${}< 0$ の部分を合わせたものである。

証明　P が直線 AB 上（ $y$ ${}= 0$ ）にあると、 $\angle \mathrm{APB}$ は $0^\circ$ か $180^\circ$ になるか、P が A，B に一致して定まらないので、条件を満たさない。以下、 $\mathrm{P}(x,\ y)$ （ $y$ ${}\neq 0$ ）とし、 $\varphi$ ${}= \angle \mathrm{APB}$ （ $0^\circ$ ${}< \varphi$ ${}< 180^\circ$ ）とおく。

余弦定理より $\mathrm{PA}^2$ ${}+ \mathrm{PB}^2$ ${}- \mathrm{AB}^2$ ${}= 2\,\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \cos\varphi$ で、左辺は

\displaystyle \{(x + 1)^2 + y^2\}

また、三角形 PAB の面積を 2 通りに表すと $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \lvert y \rvert$ ${}= \dfrac{1}{2}\,\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \sin\varphi$ である。よって

\displaystyle \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \cos\varphi

$\sin\varphi$ ${}> 0$ なので、辺々割って

\displaystyle \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}

ここで、 $0^\circ$ ${}< \varphi$ ${}< 180^\circ$ の角は $\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$ の値でただ 1 つに決まる。実際、 $\dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$ ${}= u$ ならば、単位円上の点 $(\cos\varphi,\ \sin\varphi)$ は直線 $x$ ${}= uy$ 上の $y$ ${}> 0$ の点である。原点を通る直線 $x$ ${}= uy$ と単位円の $y$ ${}> 0$ の部分との共有点はただ 1 つなので、その点が表す角 $\varphi$ もただ 1 つである（三角比と三角関数第2章の定義）。したがって

\displaystyle \varphi

$y$ ${}> 0$ のとき、これは $x^2$ ${}+ y^2$ ${}- 2uy$ ${}= 1$ 、つまり $x^2$ ${}+ (y - u)^2$ ${}= 1$ ${}+ u^2$ である。 $y$ ${}< 0$ のときは $x^2$ ${}+ (y + u)^2$ ${}= 1$ ${}+ u^2$ である。（証明終）

$\theta$ ${}= 90^\circ$ なら $u$ ${}= 0$ で、2 つの円はどちらも $x^2$ ${}+ y^2$ ${}= 1$ になり、「AB を直径とする円から A，B を除いたもの」という第4章定理5の結果に戻ります。 $\theta$ ${}< 90^\circ$ なら $u$ ${}> 0$ で、 $y$ ${}> 0$ 側の弧は円の大きいほうの弧（優弧）、 $\theta$ ${}> 90^\circ$ なら小さいほうの弧（劣弧）になります。これは図形の性質第4章厳密定義定理4（円周角の定理の逆）の座標版です。小話2のゴールキックは、この円のうち直線に接するものを選ぶ問題でした。

定理6：根軸

中心の異なる 2 円 $f(x,\ y)$ ${}= x^2$ ${}+ y^2$ ${}+ l_1 x$ ${}+ m_1 y$ ${}+ n_1$ ${}= 0$ ， $g(x,\ y)$ ${}= x^2$ ${}+ y^2$ ${}+ l_2 x$ ${}+ m_2 y$ ${}+ n_2$ ${}= 0$ について、 $f(x,\ y)$ ${}= g(x,\ y)$ を満たす点 $(x,\ y)$ の軌跡は、2 円の中心を結ぶ直線に垂直な直線である。この直線を 2 円の根軸という。

証明　 $f$ ${}- g$ ${}= (l_1 - l_2)x$ ${}+ (m_1 - m_2)y$ ${}+ (n_1 - n_2)$ で、中心 $\left(-\dfrac{l_1}{2},\ -\dfrac{m_1}{2}\right)$ ， $\left(-\dfrac{l_2}{2},\ -\dfrac{m_2}{2}\right)$ が異なるので $(l_1 - l_2,\ m_1 - m_2)$ ${}\neq (0,\ 0)$ である。よって $f$ ${}= g$ は直線を表す。中心を結ぶ向きは $\dfrac{1}{2}(l_1 - l_2,\ m_1 - m_2)$ に比例し、これは $f$ ${}- g$ ${}= 0$ の $x$ ， $y$ の係数と同じ比なので、定理1と同じ計算で 2 直線は垂直である。（証明終）

点 P における $f$ の値は、P から円 $f$ ${}= 0$ への方べき（第4章定理6）で、P が円の外にあれば接線の長さの 2 乗です（第5章定理4）。したがって、根軸のうち両方の円の外にある部分は「2 円に引いた接線の長さが等しい点の軌跡」です（j16）。2 円が交わるときは、根軸は共通弦を含む直線（第5章公式6の $f$ ${}- g$ ${}= 0$ ）で、共通弦の部分は両方の円の内部にあるため、接線の長さの条件からは除かれます。

この章の学習が終わったら

学習完了テストを受ける

第6章 軌跡と方程式

軌跡とその求め方

アポロニウスの円

動く点につられて動く点の軌跡

媒介変数で表された点の軌跡

除外点の見つけ方

基礎確認問題（全5問）

実践問題（全20問）

数学小話コーナー

厳密定義（発展）

軌跡を集合として見る

距離の条件

対応で動く点

一定の角で見込む点と根軸

第6章　軌跡と方程式