第7章　二項分布

「何回起こったか」を確率変数にする

場合の数と確率の分野（第7章 公式3）では、1 回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$ とするとき、この試行を $n$ 回くり返して $A$ がちょうど $k$ 回起こる確率が

$${}_n\mathrm{C}_k\, p^k (1 - p)^{n-k}$$

になることを学びました。そこでは「ちょうど $2$ 回」「$4$ 回以上」のように、回数を 1 つずつ決めて確率を求めました。

この章では、$A$ が起こる回数そのものを確率変数 $X$ とみて、$k$${}= 0$ から $n$ までの確率をまとめて 1 つの確率分布として扱います。すると第6章の期待値・分散の道具がそのまま使え、回数の「平均の見込み」と「ぶれの大きさ」が短い式で求まります。

二項分布

公式1：二項分布

1 回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$（$0$${}< p$${}< 1$）、$q$${}= 1$${}- p$ とする。この試行を $n$ 回くり返す反復試行で、$A$ が起こる回数を $X$ とすると

$\displaystyle P(X = k)$$\displaystyle {}= {}_n\mathrm{C}_k\, p^k q^{n-k}$$\displaystyle (k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ n)$

である。この確率分布を二項分布といい、$B(n,\ p)$ で表す。$X$ の分布が $B(n,\ p)$ であることを「$X$ は二項分布 $B(n,\ p)$ に従う」という。

$X$	$P$
$0$	${}_n\mathrm{C}_0\, q^n$
$1$	${}_n\mathrm{C}_1\, p q^{n-1}$
$\vdots$	$\vdots$
$k$	${}_n\mathrm{C}_k\, p^k q^{n-k}$
$\vdots$	$\vdots$
$n$	${}_n\mathrm{C}_n\, p^n$
計	$1$

$B$ は二項分布を表す英語 binomial distribution の頭文字です。「二項」という名前は、表の確率が、2 つの項の和 $(q + p)$ を $n$ 乗して展開したときの各項

$\displaystyle (q + p)^n$$\displaystyle {}= {}_n\mathrm{C}_0\, q^n$$\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_1\, p q^{n-1}$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_n\, p^n$

になっていることから来ています（数と式の分野 第7章の二項定理）。$q$${}+ p$${}= 1$ なので、確率の合計はちょうど $1^n$${}= 1$ です。

種まきで考えてみましょう。種の袋に「発芽率 $80$％」と書いてあり、$10$ 粒まくとします。芽が出る粒の数は $0$ から $10$ のどれにもなりえますが、「どの数がどれだけ出やすいか」は、まいた粒の数 $n$${}= 10$ と発芽率 $p$${}= 0.8$ の 2 つだけで完全に決まります。どの粒が芽を出したかは問わず、数だけを数えるのが二項分布です。

$p$${}= \dfrac{1}{2}$ のときは $P(X = k)$${}= P(X = n - k)$ となり、分布は左右対称です。$p$ が $\dfrac{1}{2}$ より小さいと山は左に寄り、右に長く裾をひきます（第1章 公式5 と同じ言い方です）。

二項分布 $B(n,\ p)$ は、確率 $p$ の事象が $n$ 回中に何回起こるかの分布で、回数 $n$ と確率 $p$ の 2 つだけで決まるということです。

例題1：芽が出る種の数

発芽率が $\dfrac{3}{4}$ の種を $4$ 粒まきます。各粒が芽を出すかどうかは互いに影響しないものとし、芽が出た粒の数を $X$ とします。$X$ の確率分布と、確率 $P(X \geqq 3)$ を求めなさい。

---

【解答】

$X$ は二項分布 $B\left(4,\ \dfrac{3}{4}\right)$ に従うので

$\displaystyle P(X = k)$$\displaystyle {}= {}_4\mathrm{C}_k \left(\frac{3}{4}\right)^k \left(\frac{1}{4}\right)^{4-k}$$\displaystyle {}= \frac{{}_4\mathrm{C}_k \times 3^k}{256}$

です。$k$${}= 0,$$\ 1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4$ を代入すると、分子は $1$，$4 \times 3$${}= 12$，$6 \times 9$${}= 54$，$4 \times 27$${}= 108$，$81$ となります。

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	計
$P$	$\dfrac{1}{256}$	$\dfrac{12}{256}$	$\dfrac{54}{256}$	$\dfrac{108}{256}$	$\dfrac{81}{256}$	$1$

分子の合計は $1$${}+ 12$${}+ 54$${}+ 108$${}+ 81$${}= 256$ で、確率の合計が $1$ になっています。

$\displaystyle P(X \geqq 3)$$\displaystyle {}= \frac{108}{256}$$\displaystyle {}+ \frac{81}{256}$$\displaystyle {}= \frac{189}{256}$

より $\underline{P(X \geqq 3) = \dfrac{189}{256}}$ です。

二項分布の期待値と分散

例題1 の表から期待値を計算します。値と確率の分子の積の合計は

$\displaystyle 0 \times 1$$\displaystyle {}+ 1 \times 12$$\displaystyle {}+ 2 \times 54$$\displaystyle {}+ 3 \times 108$$\displaystyle {}+ 4 \times 81$$\displaystyle {}= 768$

なので

$\displaystyle E(X)$$\displaystyle {}= \frac{768}{256}$$\displaystyle {}= 3$

となります。$4$ 粒のうち $\dfrac{3}{4}$ が芽を出すなら $3$ 粒、という直感どおりの値です。これは偶然ではありません。

公式2：二項分布の期待値・分散・標準偏差

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ に従うとき、$q$${}= 1$${}- p$ として

$\displaystyle E(X)$$\displaystyle {}= np,$$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= npq,$$\displaystyle \sigma(X)$$\displaystyle {}= \sqrt{npq}$

である。

理由は、第6章の実践 問20 の考え方で説明できます。$k$ 回目の試行で $A$ が起これば $1$、起こらなければ $0$ をとる確率変数を $X_k$ とすると、$A$ が起こった回数は

$\displaystyle X$$\displaystyle {}= X_1$$\displaystyle {}+ X_2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ X_n$

と、$0$ か $1$ を $n$ 個足したものになります。各 $X_k$ は

$\displaystyle E(X_k)$$\displaystyle {}= 1 \times p$$\displaystyle {}+ 0 \times q$$\displaystyle {}= p,$$\displaystyle V(X_k)$$\displaystyle {}= E(X_k^2)$$\displaystyle {}- \{E(X_k)\}^2$$\displaystyle {}= p$$\displaystyle {}- p^2$$\displaystyle {}= pq$

です。和の期待値は期待値の和（第6章 公式5）なので $E(X)$${}= np$。さらに各回の試行は独立なので、$X_1$，…，$X_n$ も互いに独立で、分散も足せます（第6章 公式6）。よって $V(X)$${}= npq$ です。${}_n\mathrm{C}_k$ の入った和を直接計算しなくても、「$1$ 回分」を $n$ 倍するだけで済むわけです。

野球の打率を思い浮かべると、期待値の式はすぐ納得できます。打率 $3$ 割の打者が $4$ 回打席に立てば、ヒットの本数の期待値は $4 \times 0.3$${}= 1.2$ 本です。一方、分散 $npq$ の $pq$${}= p(1 - p)$ は、$p$${}= \dfrac{1}{2}$ のとき最大の $\dfrac{1}{4}$ になり、$p$ が $0$ や $1$ に近いほど小さくなります。$9$ 割打つ打者や $1$ 割しか打てない打者の結果はだいたい読めますが、五分五分の打者は打つか打たないか最も読めない、ということです。

二項分布 $B(n,\ p)$ の期待値は $np$、分散は $np(1-p)$ で、どちらも「$1$ 回分」の $p$，$p(1-p)$ を $n$ 倍したものだということです。

例題2：期待値と標準偏差

(1) 例題1 の確率変数 $X$ の期待値と分散を、公式2 を使ってそれぞれ求めなさい。

(2) $1$ 個のさいころを $180$ 回投げるとき、$1$ の目が出る回数 $Y$ の期待値と標準偏差をそれぞれ求めなさい。

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【解答】

(1) $X$ は $B\left(4,\ \dfrac{3}{4}\right)$ に従うので

$\displaystyle E(X)$$\displaystyle {}= 4 \times \frac{3}{4}$$\displaystyle {}= \underline{3},$$\displaystyle V(X)$$\displaystyle {}= 4 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{4}}$

確かめ：例題1 の表から、値の 2 乗と確率の分子の積の合計は $12$${}+ 4 \times 54$${}+ 9 \times 108$${}+ 16 \times 81$${}= 2496$ です。$E(X^2)$${}= \dfrac{2496}{256}$${}= \dfrac{39}{4}$ なので、$V(X)$${}= \dfrac{39}{4}$${}- 3^2$${}= \dfrac{3}{4}$ となり、一致します。

(2) $Y$ は $B\left(180,\ \dfrac{1}{6}\right)$ に従うので

$\displaystyle E(Y)$$\displaystyle {}= 180 \times \frac{1}{6}$$\displaystyle {}= \underline{30},$$\displaystyle V(Y)$$\displaystyle {}= 180 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}$$\displaystyle {}= 25,$$\displaystyle \sigma(Y)$$\displaystyle {}= \underline{5}$

$180$ 回投げると、$1$ の目は平均して $30$ 回、ぶれの目安は $5$ 回ほどです。

確率が最大になる回数

例題1 の表では $X$${}= 3$ の確率がいちばん大きくなっていました。回数が多くなると、表を全部書き出すのは大変です。そこで、隣り合う確率の比を調べます。

公式3：確率が最大になる回数

$X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ に従うとき、$p_k$${}= P(X = k)$ とおくと、$k$${}= 0,$$\ 1,$$\ \ldots,$$\ n$${}- 1$ について

$\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}$$\displaystyle {}= \frac{(n - k)\,p}{(k + 1)\,q}$

である。この比が $1$ より大きい間は確率は増え、$1$ より小さくなると減る。

比の式は、${}_n\mathrm{C}_{k+1}$${}= {}_n\mathrm{C}_k \times \dfrac{n - k}{k + 1}$ から出ます。$p_{k+1}$ は $p_k$ にくらべて $p$ が 1 つ増え、$q$ が 1 つ減るので

$\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}$$\displaystyle {}= \frac{n - k}{k + 1} \times \frac{p}{q}$

です。$k$ が大きくなると分子 $n$${}- k$ は減り、分母 $k$${}+ 1$ は増えるので、比はだんだん小さくなります。つまり確率は、比が $1$ を超えている間は増え続け、比が $1$ を下回った後は減り続けます。山が 1 つだけの形になるのはこのためです。

一列に並んだ人を、前から順に隣の人と背比べしていく場面に似ています。列が「だんだん高くなり、あるところからだんだん低くなる」並び方だと分かっていれば、全員の身長を測らなくても、「次の人のほうが高いか」だけを比べていけば、初めて低くなる直前の人がいちばん背の高い人だと分かります。比 $\dfrac{p_{k+1}}{p_k}$ が $1$ より大きいかどうかが、この「次の人のほうが高いか」にあたります。

二項分布の確率は隣どうしの比 $\dfrac{(n-k)p}{(k+1)q}$ が $1$ を超える間は増え、下回ると減るので、この比と $1$ を比べれば確率が最大になる回数が分かるということです。

例題3：成功回数の最も起こりやすい値

$1$ 回の成功率が $0.3$ の試行を $20$ 回くり返します。成功する回数 $X$ について、確率 $P(X = k)$ が最大になる $k$ を求めなさい。

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【解答】

$X$ は $B(20,\ 0.3)$ に従います。$p_k$${}= P(X = k)$ とすると、公式3 より

$\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}$$\displaystyle {}= \frac{(20 - k) \times 0.3}{(k + 1) \times 0.7}$$\displaystyle {}= \frac{3(20 - k)}{7(k + 1)}$

$\dfrac{p_{k+1}}{p_k}$${}> 1$ となるのは

$\displaystyle 3(20 - k)$$\displaystyle {}> 7(k + 1)$$\displaystyle {}\iff 60$$\displaystyle {}- 3k$$\displaystyle {}> 7k$$\displaystyle {}+ 7$$\displaystyle {}\iff k$$\displaystyle {}< 5.3$

のときです。したがって

• $k$${}= 0,$$\ 1,$$\ \ldots,$$\ 5$ では $p_{k+1}$${}> p_k$ なので、$p_0$${}< p_1$${}< \cdots$${}< p_6$
• $k$${}= 6,$$\ 7,$$\ \ldots,$$\ 19$ では $p_{k+1}$${}< p_k$ なので、$p_6$${}> p_7$${}> \cdots$${}> p_{20}$

となり、確率が最大になるのは $\underline{k = 6}$ です（$p_6$${}\fallingdotseq 0.192$）。

期待値は $20 \times 0.3$${}= 6$ で、この例では最も起こりやすい回数と一致しています。いつも一致するとは限りませんが、確率が最大になる回数は期待値 $np$ のすぐ近く（$1$ 未満の差）にあることが知られています（厳密定義のページ）。

起こった割合のぶれ

アンケートや品質検査では、回数 $X$ そのものより、$n$ 回のうち何割で起こったかという割合 $\dfrac{X}{n}$ を見ることが多くあります。

公式4：割合の期待値と標準偏差

$X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ に従うとき、割合 $R$${}= \dfrac{X}{n}$ について

$\displaystyle E(R)$$\displaystyle {}= p,$$\displaystyle V(R)$$\displaystyle {}= \frac{pq}{n},$$\displaystyle \sigma(R)$$\displaystyle {}= \sqrt{\frac{pq}{n}}$

である。

$R$${}= \dfrac{1}{n}X$ なので、第6章 公式4 で $a$${}= \dfrac{1}{n}$，$b$${}= 0$ として

$\displaystyle E(R)$$\displaystyle {}= \frac{1}{n} \times np$$\displaystyle {}= p,$$\displaystyle V(R)$$\displaystyle {}= \left(\frac{1}{n}\right)^2 \times npq$$\displaystyle {}= \frac{pq}{n}$

となります。割合の期待値はもとの確率 $p$ そのもので、標準偏差は $\sqrt{n}$ に反比例して小さくなります。回数を $4$ 倍にすると割合のぶれは $\dfrac{1}{2}$、$100$ 倍にすると $\dfrac{1}{10}$ です。

雨の降り始めを思い出してください。最初の数滴では、地面のどこに雨粒が落ちたかはまだらで、ある場所だけが濡れていたりします。けれども雨粒の数が増えるにつれて、地面は一様に濡れていきます。1 回ずつの結果はばらばらでも、回数が増えると「起こった割合」は確率 $p$ のまわりにそろってきます。第6章の厳密定義で証明した大数の法則を、二項分布の式で具体的に見ているわけです。

$n$ 回中に起こった割合の期待値は $p$ で、標準偏差 $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ は回数を増やすほど小さくなる（回数 $4$ 倍でぶれは半分）ということです。

例題4：表の割合のぶれ

硬貨を $n$ 回投げ、表が出た割合を $R$ とします。

(1) $n$${}= 100$ のときの $R$ の標準偏差

(2) $n$${}= 400$ のときの $R$ の標準偏差

(3) $R$ の標準偏差が $0.02$ になる $n$ の値

上の (1)〜(3) をそれぞれ求めなさい。

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【解答】

表が出る回数は $B\left(n,\ \dfrac{1}{2}\right)$ に従うので、公式4 より $\sigma(R)$${}= \sqrt{\dfrac{1}{4n}}$${}= \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ です。

(1) $\sigma(R)$${}= \dfrac{1}{2 \times 10}$${}= \underline{0.05}$

(2) $\sigma(R)$${}= \dfrac{1}{2 \times 20}$${}= \underline{0.025}$

(3) $\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$${}= 0.02$ より $\sqrt{n}$${}= 25$，$\underline{n = 625}$

(1) から (2) で回数は $4$ 倍、標準偏差は半分になっています。

二項分布で仮説検定の確率を求める

第5章では、「コインを $20$ 回投げる実験を $1000$ セット」行った相対度数を使って、仮説検定の確率を見積もりました。二項分布を使えば、この確率を正確に計算できます。

公式5：二項分布による仮説検定の確率

帰無仮説のもとで、ある回数 $X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ に従うとする。実際に $c$ 回起こったとき、対立仮説が「$p$ より起こりやすい」なら

$\displaystyle P(X \geqq c)$$\displaystyle {}= \sum_{k=c}^{n} {}_n\mathrm{C}_k\, p^k q^{n-k}$

を、対立仮説が「$p$ より起こりにくい」なら $P(X \leqq c)$ を求めて、有意水準と比べる。$c$ が端に近いときは、少ない項の和で求められる。

第5章の公式4（実際の結果と同じか、それより対立仮説に有利な結果の確率）を、二項分布の言葉で書いただけです。違うのは、実験の相対度数ではなく本当の確率を使う点です。

体重計を、目盛りの粗いものから精密なものに替えるようなものです。「$50$ kg 以下なら出場できる」という基準のとき、$0.5$ kg 刻みの体重計で $50.0$ と表示されても、本当は $50.2$ kg かもしれません。基準から遠い人ならどちらの体重計でも判定は同じですが、基準すれすれの人は精密な体重計でないと判定を誤ります。第5章で実験の表を使ったときも、有意水準すれすれの問題で結論が入れかわる例がありました。

帰無仮説のもとで回数が二項分布に従うなら、「実際の回数以上（以下）」の確率を二項分布の和で正確に求めて、有意水準と比べればよいということです。

例題5：パッケージの検定を正確に

第5章 例題4 と同じく、新しいパッケージ B と今までのパッケージ A を $20$ 人に見せたところ、$15$ 人が B を選びました。

(1) 「A と B は同じ程度に好まれる（各人が B を選ぶ確率は $\frac{1}{2}$）」という帰無仮説のもとで、B を選ぶ人が $15$ 人以上になる確率

(2) 有意水準 $0.05$ で「B のほうが好まれる」と判断されるために、B を選ぶ人数が少なくとも何人必要か

上の (1)、(2) をそれぞれ求めなさい。ただし、次の値を使ってよいものとします。

$k$	13	14	15	16	17	18	19	20
${}_{20}\mathrm{C}_k$	77520	38760	15504	4845	1140	190	20	1

また、$2^{20}$${}= 1048576$ です。

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【解答】

B を選ぶ人数を $X$ とすると、帰無仮説のもとで $X$ は $B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right)$ に従い、$P(X = k)$${}= \dfrac{{}_{20}\mathrm{C}_k}{2^{20}}$ です。

(1) $k$${}= 15,$$\ 16,$$\ \ldots,$$\ 20$ の ${}_{20}\mathrm{C}_k$ の合計は

$\displaystyle 15504$$\displaystyle {}+ 4845$$\displaystyle {}+ 1140$$\displaystyle {}+ 190$$\displaystyle {}+ 20$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= 21700$

なので

$\displaystyle P(X \geqq 15)$$\displaystyle {}= \frac{21700}{1048576}$$\displaystyle {}\fallingdotseq \underline{0.0207}$

(2) (1) より $P(X \geqq 15)$${}\leqq 0.05$ なので、$15$ 人なら棄却されます。$14$ 人のときは

$\displaystyle P(X \geqq 14)$$\displaystyle {}= \frac{38760 + 21700}{1048576}$$\displaystyle {}= \frac{60460}{1048576}$$\displaystyle {}\fallingdotseq 0.0577$$\displaystyle {}> 0.05$

で棄却されません。人数が少ないほどこの確率は大きくなるので、必要な人数は $\underline{15 \text{ 人}}$ です。

第5章の実践 問9 では、実験の表（$14$ 回以上の相対度数 $0.050$）から「$14$ 人」と答えました。正確な確率で計算し直すと、境目は $15$ 人に変わります。