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第20章　2級 確率分布と統計的な推測

—— データの分析と統計 第6〜10章の「確率変数と確率分布・二項分布・正規分布・標本調査と推定・仮説検定」を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「統計的な推測」の類題です。確率分布と期待値・分散、$aX + b$ と独立な和、二項分布、確率密度関数、正規分布の標準化から、二項分布の正規近似、母平均・母比率の推定と検定、標本の大きさの決め方までを20問にまとめました。2次（数理技能）では、「$X$ は近似的に $N(m,\ \sigma^2)$ に従う」と分布を書いてから標準化すること、検定では帰無仮説・対立仮説・棄却域を先に書いてから $z_0$ と比べ、最後に「〜といえる／〜とは判断できない」と結論を文で書くことを練習します。正規分布表の値は、問題ごとに必要な分だけ問題文に載せています。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（データの分析と統計 第6〜10章）
  • 期待値と分散：E(X)E(X)=∑xkpk{}= \sum x_k p_k，V(X)V(X)=E(X2){}= E(X^2)−{E(X)}2{}- \{E(X)\}^2，σ(X)\sigma(X)=V(X){}= \sqrt{V(X)}。
  • 変換と和：E(aX+b)E(aX + b)=aE(X){}= aE(X)+b{}+ b，V(aX+b)V(aX + b)=a2V(X){}= a^2V(X)。E(X+Y)E(X + Y)=E(X){}= E(X)+E(Y){}+ E(Y) はいつでも成り立ち、XX，YY が独立なら E(XY)E(XY)=E(X)E(Y){}= E(X)E(Y)，V(X±Y)V(X \pm Y)=V(X){}= V(X)+V(Y){}+ V(Y)。
  • 二項分布 B(n, p)B(n,\ p)：P(X=k)P(X = k)=nCk pkqn−k{}= {}_n\mathrm{C}_k\,p^k q^{n-k}（qq=1{}= 1−p{}- p），E(X)E(X)=np{}= np，V(X)V(X)=npq{}= npq。nn が大きいとき、近似的に N(np, npq)N(np,\ npq) に従います。
  • 確率密度関数 f(x)f(x)（aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b）：∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=1\displaystyle {}= 1，P(c≦X≦d)P(c \leqq X \leqq d)=∫cdf(x) dx{}= \int_c^d f(x)\,dx，E(X)E(X)=∫abxf(x) dx{}= \int_a^b x f(x)\,dx。
  • 正規分布 N(m, σ2)N(m,\ \sigma^2)：ZZ=X−mσ{}= \dfrac{X - m}{\sigma} は N(0, 1)N(0,\ 1) に従い、正規分布表 p(u)p(u)=P(0≦Z≦u){}= P(0 \leqq Z \leqq u) で確率を読みます。
  • 標本平均：母平均 mm，母標準偏差 σ\sigma の母集団から大きさ nn の標本をとると、E(X‾)E(\overline{X})=m{}= m，σ(X‾)\sigma(\overline{X})=σn{}= \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} で、nn が大きければ X‾\overline{X} は近似的に N(m, σ2n)N\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) に従います。
  • 推定（信頼度 95％）：母平均は [ X‾−1.96σn,  X‾+1.96σn ]\left[\ \overline{X} - 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \ \overline{X} + 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \right]。母比率は次の区間で、99％ なら 1.961.96 を 2.582.58 にします。 [ R−1.96R(1−R)n,\displaystyle \Biggl[\ R - 1.96\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}},R+1.96R(1−R)n ]\displaystyle \qquad R + 1.96\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\ \Biggr]
  • 検定：有意水準 5％ の棄却域は、両側で ∣Z∣\lvert Z \rvert≧1.96{}\geqq 1.96、右側で ZZ≧1.645{}\geqq 1.645。1％ なら両側 2.582.58、片側 2.332.33。母比率の検定の分母は帰無仮説の p0p_0 で p0(1−p0)n\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} とします。

この章の問題は、「分布を決めて平均と標準偏差を出す力」と、「標準化して正規分布表で確率を読み、推定や検定の結論を言葉で書く力」の2本柱です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

赤玉 44 個と白玉 33 個が入った袋から、33 個の玉を同時に取り出します。取り出した赤玉の個数を XX とするとき、XX の確率分布、期待値 E(X)E(X)、分散 V(X)V(X) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

P(X=0)P(X = 0)=135{}= \dfrac{1}{35}，P(X=1)P(X = 1)=1235{}= \dfrac{12}{35}，P(X=2)P(X = 2)=1835{}= \dfrac{18}{35}，P(X=3)P(X = 3)=435{}= \dfrac{4}{35}，E(X)E(X)=127{}= \dfrac{12}{7}，V(X)V(X)=2449{}= \dfrac{24}{49}

解説

77 個から 33 個を取り出す方法は 7C3{}_7\mathrm{C}_3=35{}= 35 通りです。赤玉が kk 個のときは 4Ck×3C3−k{}_4\mathrm{C}_k \times {}_3\mathrm{C}_{3-k} 通りなので

XX0123計
PP135\frac{1}{35}1235\frac{12}{35}1835\frac{18}{35}435\frac{4}{35}1

（kk=1{}= 1 は 4×34 \times 3=12{}= 12，kk=2{}= 2 は 6×36 \times 3=18{}= 18，kk=3{}= 3 は 4×14 \times 1=4{}= 4 通り。）

E(X)\displaystyle E(X)=0+12+36+1235\displaystyle {}= \frac{0 + 12 + 36 + 12}{35}=6035\displaystyle {}= \frac{60}{35}=127‾\displaystyle {}= \underline{\frac{12}{7}} E(X2)\displaystyle E(X^2)=0+12+72+3635\displaystyle {}= \frac{0 + 12 + 72 + 36}{35}=12035\displaystyle {}= \frac{120}{35}=247\displaystyle {}= \frac{24}{7} V(X)\displaystyle V(X)=E(X2)\displaystyle {}= E(X^2)−{E(X)}2\displaystyle {}- \{E(X)\}^2=247\displaystyle {}= \frac{24}{7}−14449\displaystyle {}- \frac{144}{49}=2449‾\displaystyle {}= \underline{\frac{24}{49}}
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問2　★

確率変数 XX の期待値が 44、標準偏差が 33 であるとします。aa>0{}> 0 として、YY=aX{}= aX+b{}+ b の期待値が 5050、標準偏差が 1010 となるような定数 aa，bb の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=103{}= \dfrac{10}{3}，bb=1103{}= \dfrac{110}{3}

解説

σ(aX+b)\sigma(aX + b)=∣a∣ σ(X){}= \lvert a \rvert\,\sigma(X) で、aa>0{}> 0 なので

3a\displaystyle 3a=10\displaystyle {}= 10a\displaystyle a=103‾\displaystyle {}= \underline{\frac{10}{3}}

E(aX+b)E(aX + b)=aE(X){}= aE(X)+b{}+ b より

103×4\displaystyle \frac{10}{3} \times 4+b\displaystyle {}+ b=50\displaystyle {}= 50b\displaystyle b=50\displaystyle {}= 50−403\displaystyle {}- \frac{40}{3}=1103‾\displaystyle {}= \underline{\frac{110}{3}}
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問3　★

11 枚の硬貨を投げて、表が出れば 22、裏が出れば 00 とする確率変数を XX、11 個のさいころを投げて出る目を YY とします。硬貨とさいころは独立に投げるものとして、E(X+Y)E(X + Y)，V(X−Y)V(X - Y)，E(XY)E(XY) の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

E(X+Y)E(X + Y)=92{}= \dfrac{9}{2}，V(X−Y)V(X - Y)=4712{}= \dfrac{47}{12}，E(XY)E(XY)=72{}= \dfrac{7}{2}

解説

XX について E(X)E(X)=2×12{}= 2 \times \dfrac{1}{2}=1{}= 1，E(X2)E(X^2)=4×12{}= 4 \times \dfrac{1}{2}=2{}= 2 なので V(X)V(X)=2{}= 2−12{}- 1^2=1{}= 1 です。

YY について E(Y)E(Y)=216{}= \dfrac{21}{6}=72{}= \dfrac{7}{2}，E(Y2)E(Y^2)=916{}= \dfrac{91}{6} なので V(Y)V(Y)=916{}= \dfrac{91}{6}−494{}- \dfrac{49}{4}=3512{}= \dfrac{35}{12} です。

E(X+Y)\displaystyle E(X + Y)=1\displaystyle {}= 1+72\displaystyle {}+ \frac{7}{2}=92‾\displaystyle {}= \underline{\frac{9}{2}}

XX と YY は独立なので、差の分散も分散の和になります。

V(X−Y)\displaystyle V(X - Y)=V(X)\displaystyle {}= V(X)+(−1)2V(Y)\displaystyle {}+ (-1)^2V(Y)=1\displaystyle {}= 1+3512\displaystyle {}+ \frac{35}{12}=4712‾\displaystyle {}= \underline{\frac{47}{12}} E(XY)\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)\displaystyle {}= E(X)E(Y)=1×72\displaystyle {}= 1 \times \frac{7}{2}=72‾\displaystyle {}= \underline{\frac{7}{2}}
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問4　★

フリースローの成功率が 0.80.8 の選手が 55 回シュートします。各回の成否は独立であるとして、成功する回数が 44 回以上になる確率を小数で求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

0.737280.73728

解説

成功回数を XX とすると、XX は二項分布 B(5, 0.8)B(5,\ 0.8) に従います。

P(X=4)\displaystyle P(X = 4)=5C4×0.84×0.2\displaystyle {}= {}_5\mathrm{C}_4 \times 0.8^4 \times 0.2=5×0.4096×0.2\displaystyle {}= 5 \times 0.4096 \times 0.2=0.4096\displaystyle {}= 0.4096 P(X=5)\displaystyle P(X = 5)=0.85\displaystyle {}= 0.8^5=0.32768\displaystyle {}= 0.32768

よって P(X≧4)P(X \geqq 4)=0.4096{}= 0.4096+0.32768{}+ 0.32768=0.73728‾{}= \underline{0.73728} です。

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問5　★

確率変数 XX が二項分布 B(n, p)B(n,\ p) に従い、E(X)E(X)=12{}= 12，V(X)V(X)=8{}= 8 であるとき、nn と pp の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

nn=36{}= 36，pp=13{}= \dfrac{1}{3}

解説

E(X)E(X)=np{}= np=12{}= 12，V(X)V(X)=np(1−p){}= np(1 - p)=8{}= 8 です。2 つ目の式を 1 つ目で割ると

1\displaystyle 1−p\displaystyle {}- p=812\displaystyle {}= \frac{8}{12}=23\displaystyle {}= \frac{2}{3}p\displaystyle p=13‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{3}}

npnp=12{}= 12 に代入して nn=12÷13{}= 12 \div \dfrac{1}{3}=36‾{}= \underline{36} です。

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問6　★

確率変数 XX のとる値の範囲が 00≦X{}\leqq X≦2{}\leqq 2 で、確率密度関数が f(x)f(x)=a(4−x2){}= a(4 - x^2) であるとき、定数 aa の値、P(0≦X≦1)P(0 \leqq X \leqq 1)、E(X)E(X)、V(X)V(X) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=316{}= \dfrac{3}{16}，P(0≦X≦1)P(0 \leqq X \leqq 1)=1116{}= \dfrac{11}{16}，E(X)E(X)=34{}= \dfrac{3}{4}，V(X)V(X)=1980{}= \dfrac{19}{80}

解説

全体の確率は 11 なので

∫02a(4−x2) dx\displaystyle \int_0^2 a(4 - x^2)\,dx=a[ 4x−x33 ]02\displaystyle {}= a\Big[\,4x - \frac{x^3}{3}\,\Big]_0^2=163a\displaystyle {}= \frac{16}{3}a=1\displaystyle {}= 1a\displaystyle a=316‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{16}} P(0≦X≦1)\displaystyle P(0 \leqq X \leqq 1)=316[ 4x−x33 ]01\displaystyle {}= \frac{3}{16}\Big[\,4x - \frac{x^3}{3}\,\Big]_0^1=316×113\displaystyle {}= \frac{3}{16} \times \frac{11}{3}=1116‾\displaystyle {}= \underline{\frac{11}{16}} E(X)\displaystyle E(X)=316∫02(4x−x3) dx\displaystyle {}= \frac{3}{16}\int_0^2 (4x - x^3)\,dx=316[ 2x2−x44 ]02\displaystyle {}= \frac{3}{16}\Big[\,2x^2 - \frac{x^4}{4}\,\Big]_0^2=316×4\displaystyle {}= \frac{3}{16} \times 4=34‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{4}} E(X2)\displaystyle E(X^2)=316∫02(4x2−x4) dx\displaystyle {}= \frac{3}{16}\int_0^2 (4x^2 - x^4)\,dx=316(323−325)\displaystyle {}= \frac{3}{16}\left(\frac{32}{3} - \frac{32}{5}\right)=316×6415\displaystyle {}= \frac{3}{16} \times \frac{64}{15}=45\displaystyle {}= \frac{4}{5} V(X)\displaystyle V(X)=45\displaystyle {}= \frac{4}{5}−(34)2\displaystyle {}- \left(\frac{3}{4}\right)^2=64−4580\displaystyle {}= \frac{64 - 45}{80}=1980‾\displaystyle {}= \underline{\frac{19}{80}}
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問7　★

ある工場で作るペットボトル飲料の内容量 XX（mL）は、正規分布 N(502, 22)N(502,\ 2^2) に従うとします。正規分布表の値 p(1.5)p(1.5)=0.4332{}= 0.4332，p(2.0)p(2.0)=0.4772{}= 0.4772 を使って、P(499≦X≦505)P(499 \leqq X \leqq 505) と P(X≦498)P(X \leqq 498) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

P(499≦X≦505)P(499 \leqq X \leqq 505)=0.8664{}= 0.8664，P(X≦498)P(X \leqq 498)=0.0228{}= 0.0228

解説

ZZ=X−5022{}= \dfrac{X - 502}{2} とおくと、ZZ は N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。

XX=499{}= 499 のとき ZZ=−1.5{}= -1.5，XX=505{}= 505 のとき ZZ=1.5{}= 1.5 なので

P(499≦X≦505)\displaystyle P(499 \leqq X \leqq 505)=P(−1.5≦Z≦1.5)\displaystyle {}= P(-1.5 \leqq Z \leqq 1.5)=2p(1.5)\displaystyle {}= 2p(1.5)=0.8664‾\displaystyle {}= \underline{0.8664}

XX=498{}= 498 のとき ZZ=−2{}= -2 なので、左右対称を使って

P(X≦498)\displaystyle P(X \leqq 498)=P(Z≦−2)\displaystyle {}= P(Z \leqq -2)=0.5\displaystyle {}= 0.5−p(2.0)\displaystyle {}- p(2.0)=0.0228‾\displaystyle {}= \underline{0.0228}
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問8　★

ある町の住民から無作為に 144144 人を選んで 11 日の歩行時間を調べたところ、平均値は 45.345.3 分でした。母標準偏差を 66 分として、この町の住民の歩行時間の母平均 mm に対する信頼度 95%95\% の信頼区間を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

[ 44.32,  46.28 ][\,44.32,\ \ 46.28\,]（分）

解説

標本平均の標準偏差は

σn\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=6144\displaystyle {}= \frac{6}{\sqrt{144}}=612\displaystyle {}= \frac{6}{12}=0.5\displaystyle {}= 0.5

信頼度 95%95\% の信頼区間は X‾\overline{X}±1.96×0.5{}\pm 1.96 \times 0.5=45.3{}= 45.3±0.98{}\pm 0.98 なので

[ 44.32,  46.28 ]‾ （分）\underline{[\,44.32,\ \ 46.28\,]}\ \text{（分）}
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問9　★★

11 個のさいころを 450450 回投げるとき、11 または 22 の目が出る回数を XX とします。正規分布表の値 p(1.5)p(1.5)=0.4332{}= 0.4332，p(2.0)p(2.0)=0.4772{}= 0.4772 を使い、正規分布で近似して、(1) P(X≧170)P(X \geqq 170)，(2) P(135≦X≦165)P(135 \leqq X \leqq 165) の値をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 0.02280.0228　(2) 0.86640.8664

解説

11 回の試行で 11 または 22 の目が出る確率は 13\dfrac{1}{3} なので、XX は二項分布 B(450, 13)B\left(450,\ \dfrac{1}{3}\right) に従います。

E(X)\displaystyle E(X)=450×13\displaystyle {}= 450 \times \frac{1}{3}=150,\displaystyle {}= 150,σ(X)\displaystyle \sigma(X)=450×13×23\displaystyle {}= \sqrt{450 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}=100\displaystyle {}= \sqrt{100}=10\displaystyle {}= 10

nn=450{}= 450 は大きいので、XX は近似的に正規分布 N(150, 102)N(150,\ 10^2) に従います。ZZ=X−15010{}= \dfrac{X - 150}{10} とおくと、ZZ は近似的に N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。

(1) XX=170{}= 170 のとき ZZ=2{}= 2 なので

P(X≧170)\displaystyle P(X \geqq 170)≒P(Z≧2)\displaystyle {}\fallingdotseq P(Z \geqq 2)=0.5\displaystyle {}= 0.5−p(2.0)\displaystyle {}- p(2.0)=0.0228‾\displaystyle {}= \underline{0.0228}

(2) XX=135{}= 135 のとき ZZ=−1.5{}= -1.5，XX=165{}= 165 のとき ZZ=1.5{}= 1.5 なので

P(135≦X≦165)\displaystyle P(135 \leqq X \leqq 165)≒P(−1.5≦Z≦1.5)\displaystyle {}\fallingdotseq P(-1.5 \leqq Z \leqq 1.5)=2p(1.5)\displaystyle {}= 2p(1.5)=0.8664‾\displaystyle {}= \underline{0.8664}
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問10　★★

ある市の有権者から無作為に 400400 人を選んで調べたところ、144144 人がある政策に賛成でした。この市の有権者全体の賛成の割合 pp に対する信頼度 95%95\% の信頼区間を、小数第4位を四捨五入して小数第3位まで求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

[ 0.313,  0.407 ][\,0.313,\ \ 0.407\,]

解説

標本比率は RR=144400{}= \dfrac{144}{400}=0.36{}= 0.36 です。nn=400{}= 400 は大きいので、母比率の推定では標準偏差の pp を RR で置きかえて

R(1−R)n\displaystyle \sqrt{\frac{R(1 - R)}{n}}=0.36×0.64400\displaystyle {}= \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{400}}=0.6×0.820\displaystyle {}= \frac{0.6 \times 0.8}{20}=0.024\displaystyle {}= 0.024

信頼度 95%95\% の信頼区間は RR±1.96×0.024{}\pm 1.96 \times 0.024=0.36{}= 0.36±0.04704{}\pm 0.04704 なので

0.36\displaystyle 0.36−0.04704\displaystyle {}- 0.04704=0.31296,\displaystyle {}= 0.31296,0.36\displaystyle 0.36+0.04704\displaystyle {}+ 0.04704=0.40704\displaystyle {}= 0.40704

小数第4位を四捨五入して [ 0.313,  0.407 ]‾\underline{[\,0.313,\ \ 0.407\,]} です。

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問11　★★

ある意見に賛成する人の母比率 pp を、信頼度 99%99\% で推定します。信頼区間の幅（上端と下端の差）を 0.060.06 以下にするとき、(1) 賛成の割合がおよそ 0.20.2 と見込まれている場合、(2) 見込みがまったくない場合の、標本の大きさ nn の最小値をそれぞれ求めなさい。ただし、2.582.58 を用い、(1) では標本比率を 0.20.2 とみなし、(2) では R(1−R)R(1 - R) がとりうる最大の値で考えるとして、それぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 11841184　(2) 18491849

解説

信頼度 99%99\% の信頼区間の幅は 2×2.58R(1−R)n2 \times 2.58\sqrt{\dfrac{R(1 - R)}{n}} です。これが 0.060.06 以下なので

2.58R(1−R)n\displaystyle 2.58\sqrt{\frac{R(1 - R)}{n}}≦0.03\displaystyle {}\leqq 0.03n\displaystyle \sqrt{n}≧2.58R(1−R)0.03\displaystyle {}\geqq \frac{2.58\sqrt{R(1 - R)}}{0.03}=86R(1−R)\displaystyle {}= 86\sqrt{R(1 - R)}

(1) RR=0.2{}= 0.2 のとき R(1−R)\sqrt{R(1 - R)}=0.16{}= \sqrt{0.16}=0.4{}= 0.4 なので

n\displaystyle \sqrt{n}≧86×0.4\displaystyle {}\geqq 86 \times 0.4=34.4\displaystyle {}= 34.4n\displaystyle n≧34.42\displaystyle {}\geqq 34.4^2=1183.36\displaystyle {}= 1183.36

nn は整数なので、最小値は 1184‾\underline{1184} です。

(2) R(1−R)R(1 - R)=−(R−12)2{}= -\left(R - \dfrac{1}{2}\right)^2+14{}+ \dfrac{1}{4}≦14{}\leqq \dfrac{1}{4} なので、RR がどんな値でも条件を満たすには R(1−R)\sqrt{R(1 - R)} を最大の 12\dfrac{1}{2} として

n\displaystyle \sqrt{n}≧86×12\displaystyle {}\geqq 86 \times \frac{1}{2}=43\displaystyle {}= 43n\displaystyle n≧432\displaystyle {}\geqq 43^2=1849\displaystyle {}= 1849

よって最小値は 1849‾\underline{1849} です。見込みがないと、必要な人数が約 1.61.6 倍になります。

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問12　★★

ある商品のくじは、当たりの割合が 25%25\% と表示されています。このくじを無作為に 300300 本引いたところ、当たりは 9090 本でした。表示された当たりの割合は正しくないといえるかを、有意水準 5%5\% と有意水準 1%1\% のそれぞれで検定しなさい。正規分布表の値 p(1.96)p(1.96)=0.475{}= 0.475，p(2.58)p(2.58)=0.495{}= 0.495 を用いて、それぞれの結論を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

z0z_0=2{}= 2。有意水準 5%5\% では棄却され、表示は正しくないといえる。有意水準 1%1\% では棄却されず、正しくないとは判断できない。

解説

当たりの母比率を pp とします。

  • 帰無仮説 H0H_0：pp=0.25{}= 0.25
  • 対立仮説 H1H_1：pp≠0.25{}\neq 0.25（「正しくない」なので両側検定）

H0H_0 が正しいとき、標本比率 RR は近似的に正規分布 N(0.25, 0.25×0.75300)N\left(0.25,\ \dfrac{0.25 \times 0.75}{300}\right) に従います。分母は帰無仮説の p0p_0=0.25{}= 0.25 で計算して

0.25×0.75300\displaystyle \sqrt{\frac{0.25 \times 0.75}{300}}=0.000625\displaystyle {}= \sqrt{0.000625}=0.025\displaystyle {}= 0.025

ZZ=R−0.250.025{}= \dfrac{R - 0.25}{0.025} は近似的に N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。RR=90300{}= \dfrac{90}{300}=0.3{}= 0.3 なので

z0\displaystyle z_0=0.3−0.250.025\displaystyle {}= \frac{0.3 - 0.25}{0.025}=2\displaystyle {}= 2
  • 有意水準 5%5\% の棄却域は ∣Z∣\lvert Z \rvert≧1.96{}\geqq 1.96 です。z0z_0=2{}= 2 は棄却域に入るので H0H_0 は棄却され、表示された当たりの割合は 正しくないといえます‾\underline{\text{正しくないといえます}}。
  • 有意水準 1%1\% の棄却域は ∣Z∣\lvert Z \rvert≧2.58{}\geqq 2.58 です。z0z_0=2{}= 2 は棄却域に入らないので H0H_0 は棄却されず、正しくないとは 判断できません‾\underline{\text{判断できません}}。
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問13　★★

内容量 200200 g と表示された袋入りのナッツから、無作為に 100100 袋を選んで重さを量ったところ、平均値は 198.9198.9 g、標準偏差は 55 g でした。内容量は表示より少ないといえるかを、有意水準 5%5\% と有意水準 1%1\% のそれぞれで検定しなさい。正規分布表の値 p(1.645)p(1.645)=0.45{}= 0.45，p(2.33)p(2.33)=0.49{}= 0.49 を用いて、それぞれの結論を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

z0z_0=−2.2{}= -2.2。有意水準 5%5\% では棄却され、表示より少ないといえる。有意水準 1%1\% では棄却されず、少ないとは判断できない。

解説

内容量の母平均を mm とします。

  • 帰無仮説 H0H_0：mm=200{}= 200
  • 対立仮説 H1H_1：mm<200{}< 200（「少ない」なので左側検定）

nn=100{}= 100 は大きいので、母標準偏差の代わりに標本の標準偏差 55 を使います。H0H_0 が正しいとき、標本平均 X‾\overline{X} は近似的に N(200, 52100)N\left(200,\ \dfrac{5^2}{100}\right) に従い、σ(X‾)\sigma(\overline{X})=510{}= \dfrac{5}{10}=0.5{}= 0.5 です。

ZZ=X‾−2000.5{}= \dfrac{\overline{X} - 200}{0.5} は近似的に N(0, 1)N(0,\ 1) に従い、実際の値は

z0\displaystyle z_0=198.9−2000.5\displaystyle {}= \frac{198.9 - 200}{0.5}=−2.2\displaystyle {}= -2.2
  • 有意水準 5%5\% の左側検定の棄却域は ZZ≦−1.645{}\leqq -1.645 です。z0z_0=−2.2{}= -2.2 は棄却域に入るので H0H_0 は棄却され、内容量は表示より 少ないといえます‾\underline{\text{少ないといえます}}。
  • 有意水準 1%1\% の棄却域は ZZ≦−2.33{}\leqq -2.33 です。z0z_0=−2.2{}= -2.2 は入らないので H0H_0 は棄却されず、少ないとは 判断できません‾\underline{\text{判断できません}}。
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問14　★★

箱の中に 11 の札が 33 枚、22 の札が 22 枚、33 の札が 11 枚入っています。札を 11 枚引き、数を記録して箱に戻してから、もう 11 枚引きます。11 回目、22 回目の数をそれぞれ X1X_1，X2X_2 とし、和 SS=X1{}= X_1+X2{}+ X_2 と積 TT=X1X2{}= X_1X_2 を考えます。SS の期待値と分散、TT の期待値と分散を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

E(S)E(S)=103{}= \dfrac{10}{3}，V(S)V(S)=109{}= \dfrac{10}{9}，E(T)E(T)=259{}= \dfrac{25}{9}，V(T)V(T)=27581{}= \dfrac{275}{81}

解説

X1X_1，X2X_2 は同じ分布に従い、札を戻すので独立です。

X1X_1123計
PP12\frac{1}{2}13\frac{1}{3}16\frac{1}{6}1
E(X1)\displaystyle E(X_1)=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}+23\displaystyle {}+ \frac{2}{3}+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}=53,\displaystyle {}= \frac{5}{3},E(X12)\displaystyle E(X_1^2)=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}+43\displaystyle {}+ \frac{4}{3}+32\displaystyle {}+ \frac{3}{2}=103\displaystyle {}= \frac{10}{3} V(X1)\displaystyle V(X_1)=103\displaystyle {}= \frac{10}{3}−259\displaystyle {}- \frac{25}{9}=59\displaystyle {}= \frac{5}{9}

和 SS：E(S)E(S)=2×53{}= 2 \times \dfrac{5}{3}=103‾{}= \underline{\dfrac{10}{3}}。独立なので V(S)V(S)=2×59{}= 2 \times \dfrac{5}{9}=109‾{}= \underline{\dfrac{10}{9}} です。

積 TT：独立なので E(T)E(T)=E(X1)E(X2){}= E(X_1)E(X_2)=259‾{}= \underline{\dfrac{25}{9}} です。

分散は V(T)V(T)=E(T2){}= E(T^2)−{E(T)}2{}- \{E(T)\}^2 で求めます。T2T^2=X12X22{}= X_1^2X_2^2 で、X12X_1^2 と X22X_2^2 も独立なので

E(T2)\displaystyle E(T^2)=E(X12)E(X22)\displaystyle {}= E(X_1^2)E(X_2^2)=(103)2\displaystyle {}= \left(\frac{10}{3}\right)^2=1009\displaystyle {}= \frac{100}{9} V(T)\displaystyle V(T)=1009\displaystyle {}= \frac{100}{9}−(259)2\displaystyle {}- \left(\frac{25}{9}\right)^2=900−62581\displaystyle {}= \frac{900 - 625}{81}=27581‾\displaystyle {}= \underline{\frac{275}{81}}

積の分散は V(X1)V(X2)V(X_1)V(X_2) にはならないことに注意します（2581\dfrac{25}{81} とは異なります）。

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問15　★★

ある模擬試験を 800800 人が受験し、得点は正規分布 N(54, 152)N(54,\ 15^2) に従うとみなせるとします。正規分布表の値 p(1.4)p(1.4)=0.4192{}= 0.4192，p(1.645)p(1.645)=0.45{}= 0.45 を用いて、(1) 7575 点以上の受験者のおよその人数、(2) 上位 4040 人に入るために必要なおよその得点（小数第1位を四捨五入）をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 約 6565 人　(2) 約 7979 点

解説

得点を XX とし、ZZ=X−5415{}= \dfrac{X - 54}{15} とおくと、ZZ は N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。

(1) XX=75{}= 75 のとき ZZ=2115{}= \dfrac{21}{15}=1.4{}= 1.4 なので

P(X≧75)\displaystyle P(X \geqq 75)=P(Z≧1.4)\displaystyle {}= P(Z \geqq 1.4)=0.5\displaystyle {}= 0.5−0.4192\displaystyle {}- 0.4192=0.0808\displaystyle {}= 0.0808

人数は 800×0.0808800 \times 0.0808=64.64{}= 64.64 なので、約 65 人‾\underline{\text{約 } 65 \text{ 人}} です。

(2) 上位 4040 人の割合は 40800\dfrac{40}{800}=0.05{}= 0.05 です。P(Z≧u)P(Z \geqq u)=0.05{}= 0.05 となる uu は、p(u)p(u)=0.5{}= 0.5−0.05{}- 0.05=0.45{}= 0.45 より uu=1.645{}= 1.645 です。

X\displaystyle X=54\displaystyle {}= 54+1.645×15\displaystyle {}+ 1.645 \times 15=78.675\displaystyle {}= 78.675

小数第1位を四捨五入して、約 79 点‾\underline{\text{約 } 79 \text{ 点}} 以上が必要です。

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問16　★★

母平均 8080、母標準偏差 2020 の母集団から、大きさ 100100 の無作為標本を抽出します。標本平均を X‾\overline{X} とし、正規分布表の値 p(1.0)p(1.0)=0.3413{}= 0.3413，p(1.5)p(1.5)=0.4332{}= 0.4332 を用いて、(1) X‾\overline{X} の期待値と標準偏差、(2) P(X‾≧83)P(\overline{X} \geqq 83)、(3) P(78≦X‾≦82)P(78 \leqq \overline{X} \leqq 82) をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 期待値 8080，標準偏差 22　(2) 0.06680.0668　(3) 0.68260.6826

解説

(1) E(X‾)E(\overline{X})=m{}= m=80‾{}= \underline{80}，σ(X‾)\sigma(\overline{X})=σn{}= \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=20100{}= \dfrac{20}{\sqrt{100}}=2‾{}= \underline{2} です。

nn=100{}= 100 は大きいので、X‾\overline{X} は近似的に正規分布 N(80, 22)N(80,\ 2^2) に従います。ZZ=X‾−802{}= \dfrac{\overline{X} - 80}{2} は近似的に N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。

(2) X‾\overline{X}=83{}= 83 のとき ZZ=1.5{}= 1.5 なので

P(X‾≧83)\displaystyle P(\overline{X} \geqq 83)≒P(Z≧1.5)\displaystyle {}\fallingdotseq P(Z \geqq 1.5)=0.5\displaystyle {}= 0.5−0.4332\displaystyle {}- 0.4332=0.0668‾\displaystyle {}= \underline{0.0668}

(3) X‾\overline{X}=78{}= 78，8282 のとき ZZ=−1{}= -1，11 なので

P(78≦X‾≦82)\displaystyle P(78 \leqq \overline{X} \leqq 82)≒P(−1≦Z≦1)\displaystyle {}\fallingdotseq P(-1 \leqq Z \leqq 1)=2×0.3413\displaystyle {}= 2 \times 0.3413=0.6826‾\displaystyle {}= \underline{0.6826}
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問17　★★★

あるパン屋では、限定パンを 11 個 6060 円で仕入れて 100100 円で売り、売れ残りは廃棄します。11 日の注文数 XX の確率分布は次の表のとおりです。

XX01234計
PP0.10.20.30.250.151

仕入れる個数を nn（00≦n{}\leqq n≦4{}\leqq 4 の整数）とし、売れる個数は XX と nn の小さいほうとします。11 日の利益の期待値を最大にする nn と、そのときの期待値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

nn=2{}= 2，期待値 4040 円

解説

nn 個仕入れたときの利益の期待値を G(n)G(n) とします。売れる個数を YnY_n（XX と nn の小さいほう）とすると、利益は 100Yn100Y_n−60n{}- 60n なので、G(n)G(n)=100E(Yn){}= 100E(Y_n)−60n{}- 60n です。

nn 個から nn+1{}+ 1 個に増やすと、増やした 11 個は XX≧n{}\geqq n+1{}+ 1 のときだけ売れるので

G(n+1)\displaystyle G(n + 1)−G(n)\displaystyle {}- G(n)=100P(X≧n+1)\displaystyle {}= 100P(X \geqq n + 1)−60\displaystyle {}- 60

表から

kk1234
P(X≧k)P(X \geqq k)0.90.70.40.15
  • G(1)G(1)−G(0){}- G(0)=90{}= 90−60{}- 60=30{}= 30>0{}> 0
  • G(2)G(2)−G(1){}- G(1)=70{}= 70−60{}- 60=10{}= 10>0{}> 0
  • G(3)G(3)−G(2){}- G(2)=40{}= 40−60{}- 60=−20{}= -20<0{}< 0
  • G(4)G(4)−G(3){}- G(3)=15{}= 15−60{}- 60=−45{}= -45<0{}< 0

よって G(0)G(0)<G(1){}< G(1)<G(2){}< G(2)，G(2)G(2)>G(3){}> G(3)>G(4){}> G(4) で、G(n)G(n) は n=2‾\underline{n = 2} で最大です。G(0)G(0)=0{}= 0 なので

G(2)\displaystyle G(2)=0\displaystyle {}= 0+30\displaystyle {}+ 30+10\displaystyle {}+ 10=40‾ （円）\displaystyle {}= \underline{40}\ \text{（円）}

（直接計算しても、nn=2{}= 2 のとき E(Y2)E(Y_2)=0×0.1{}= 0 \times 0.1+1×0.2{}+ 1 \times 0.2+2×0.7{}+ 2 \times 0.7=1.6{}= 1.6 で、G(2)G(2)=160{}= 160−120{}- 120=40{}= 40 です。）

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問18　★★★

母標準偏差が 1010 の母集団について、帰無仮説「母平均は 5050 である」を両側検定します。大きさ nn の無作為標本の標本平均が 5252 であったとき、(1) 有意水準 5%5\% で帰無仮説が棄却されるような nn の最小値、(2) 有意水準 1%1\% で棄却されるような nn の最小値を、1.961.96 と 2.582.58 を用いてそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 9797　(2) 167167

解説

帰無仮説 H0H_0：mm=50{}= 50，対立仮説 H1H_1：mm≠50{}\neq 50 とします。nn が大きいとき、H0H_0 のもとで X‾\overline{X} は近似的に N(50, 102n)N\left(50,\ \dfrac{10^2}{n}\right) に従うので、ZZ=X‾−5010/n{}= \dfrac{\overline{X} - 50}{10/\sqrt{n}} は近似的に N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。実際の値は

z0\displaystyle z_0=52−5010/n\displaystyle {}= \frac{52 - 50}{10/\sqrt{n}}=n5\displaystyle {}= \frac{\sqrt{n}}{5}

(1) 棄却域は ∣Z∣\lvert Z \rvert≧1.96{}\geqq 1.96 なので

n5\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{5}≧1.96\displaystyle {}\geqq 1.96n\displaystyle \sqrt{n}≧9.8\displaystyle {}\geqq 9.8n\displaystyle n≧96.04\displaystyle {}\geqq 96.04

nn は整数なので、最小値は 97‾\underline{97} です。

(2) 棄却域は ∣Z∣\lvert Z \rvert≧2.58{}\geqq 2.58 なので

n\displaystyle \sqrt{n}≧12.9\displaystyle {}\geqq 12.9n\displaystyle n≧166.41\displaystyle {}\geqq 166.41

最小値は 167‾\underline{167} です。

同じ 22 の差でも、標本が大きいほど「偶然とは考えにくい」と判断されます。有意であることは、差が大きいことを意味しない点に注意します。

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問19　★★★

大小 22 個のさいころを投げ、出た目のうち大きいほう（同じならその目）を XX、小さいほう（同じならその目）を YY とします。E(X)E(X)，E(Y)E(Y)，E(XY)E(XY) を求めなさい。また、XX と YY は独立でないことを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

E(X)E(X)=16136{}= \dfrac{161}{36}，E(Y)E(Y)=9136{}= \dfrac{91}{36}，E(XY)E(XY)=494{}= \dfrac{49}{4}（独立でないことは解説を参照）

解説

大小のさいころの目を AA，BB とします。AA と BB は独立で、どちらも EE=72{}= \dfrac{7}{2} です。

E(X)E(X)：XX≦k{}\leqq k となるのは AA≦k{}\leqq k かつ BB≦k{}\leqq k のときなので P(X≦k)P(X \leqq k)=k236{}= \dfrac{k^2}{36} です。よって

P(X=k)\displaystyle P(X = k)=k2−(k−1)236\displaystyle {}= \frac{k^2 - (k - 1)^2}{36}=2k−136\displaystyle {}= \frac{2k - 1}{36}

分子の和は

1⋅1\displaystyle 1 \cdot 1+2⋅3\displaystyle {}+ 2 \cdot 3+3⋅5\displaystyle {}+ 3 \cdot 5+4⋅7\displaystyle {}+ 4 \cdot 7+5⋅9\displaystyle {}+ 5 \cdot 9+6⋅11\displaystyle {}+ 6 \cdot 11=161\displaystyle {}= 161

なので

E(X)\displaystyle E(X)=16136‾\displaystyle {}= \underline{\frac{161}{36}}

E(Y)E(Y)：どの場合も {X, Y}\{X,\ Y\} は {A, B}\{A,\ B\} と同じ組なので、XX+Y{}+ Y=A{}= A+B{}+ B です。和の期待値の公式から

E(Y)\displaystyle E(Y)=E(A+B)\displaystyle {}= E(A + B)−E(X)\displaystyle {}- E(X)=7\displaystyle {}= 7−16136\displaystyle {}- \frac{161}{36}=9136‾\displaystyle {}= \underline{\frac{91}{36}}

E(XY)E(XY)：同じ理由で XYXY=AB{}= AB であり、AA，BB は独立なので

E(XY)\displaystyle E(XY)=E(AB)\displaystyle {}= E(AB)=E(A)E(B)\displaystyle {}= E(A)E(B)=72×72\displaystyle {}= \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}=494‾\displaystyle {}= \underline{\frac{49}{4}}

独立でないこと：もし XX，YY が独立なら E(XY)E(XY)=E(X)E(Y){}= E(X)E(Y) が成り立つはずです。しかし

E(X)E(Y)\displaystyle E(X)E(Y)=161×91362\displaystyle {}= \frac{161 \times 91}{36^2}=146511296,\displaystyle {}= \frac{14651}{1296},E(XY)\displaystyle E(XY)=494\displaystyle {}= \frac{49}{4}=158761296\displaystyle {}= \frac{15876}{1296}

で、両者は等しくありません。よって XX と YY は独立ではありません。

（直接確かめることもできます。P(X=1)P(X = 1)=136{}= \dfrac{1}{36}，P(Y=6)P(Y = 6)=136{}= \dfrac{1}{36} ですが、XX=1{}= 1 かつ YY=6{}= 6 は起こらないので P(X=1, Y=6)P(X = 1,\ Y = 6)=0{}= 0≠136×136{}\neq \dfrac{1}{36} \times \dfrac{1}{36} です。）

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問20　★★★

従来の治療法の有効率は 0.50.5 です。新しい治療法を 400400 人に試し、有効だった人数を XX とします。「新しい治療法の有効率は 0.50.5 より高い」と主張するための片側検定を考え、正規分布表の値 p(1.645)p(1.645)=0.45{}= 0.45，p(2.33)p(2.33)=0.49{}= 0.49 を用いて、(1) 有意水準 5%5\% で主張できる XX の最小値、(2) 有意水準 1%1\% で主張できる XX の最小値、(3) 有効だった割合が 0.530.53 のとき、400400 人の場合と 16001600 人の場合のそれぞれで有意水準 5%5\% の結論をそれぞれ求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) 217217 人　(2) 224224 人　(3) 400400 人では z0z_0=1.2{}= 1.2 で主張できない。16001600 人では z0z_0=2.4{}= 2.4 で主張できる。

解説

有効率を pp とし、帰無仮説 H0H_0：pp=0.5{}= 0.5，対立仮説 H1H_1：pp>0.5{}> 0.5（右側検定）とします。

H0H_0 のもとで XX は B(400, 0.5)B(400,\ 0.5) に従い、E(X)E(X)=200{}= 200，σ(X)\sigma(X)=400×0.5×0.5{}= \sqrt{400 \times 0.5 \times 0.5}=10{}= 10 です。nn が大きいので XX は近似的に N(200, 102)N(200,\ 10^2) に従い、ZZ=X−20010{}= \dfrac{X - 200}{10} は近似的に N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。

(1) 有意水準 5%5\% の棄却域は ZZ≧1.645{}\geqq 1.645 なので

X−20010\displaystyle \frac{X - 200}{10}≧1.645\displaystyle {}\geqq 1.645X\displaystyle X≧216.45\displaystyle {}\geqq 216.45

XX は整数なので、最小値は 217 人‾\underline{217 \text{ 人}} です。

(2) 棄却域は ZZ≧2.33{}\geqq 2.33 なので XX≧223.3{}\geqq 223.3，最小値は 224 人‾\underline{224 \text{ 人}} です。

(3) 標本比率 RR で考えると、H0H_0 のもとで σ(R)\sigma(R)=0.5×0.5n{}= \sqrt{\dfrac{0.5 \times 0.5}{n}}=0.5n{}= \dfrac{0.5}{\sqrt{n}} です。

  • nn=400{}= 400 のとき σ(R)\sigma(R)=0.025{}= 0.025 で、z0z_0=0.53−0.50.025{}= \dfrac{0.53 - 0.5}{0.025}=1.2{}= 1.2<1.645{}< 1.645。H0H_0 は棄却されず、有効率が高いとは 判断できません‾\underline{\text{判断できません}}。
  • nn=1600{}= 1600 のとき σ(R)\sigma(R)=0.0125{}= 0.0125 で、z0z_0=0.030.0125{}= \dfrac{0.03}{0.0125}=2.4{}= 2.4≧1.645{}\geqq 1.645。H0H_0 は棄却され、有効率は高いといえます‾\underline{\text{有効率は高いといえます}}。

同じ割合 0.530.53 でも、人数を 44 倍にすると σ(R)\sigma(R) が半分になり、z0z_0 が 22 倍になって結論が変わります。

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