目次 ／ 数検対策（準2級・2級・準1級） ／ 数検2級

第16章　2級 極限と微分係数

—— 微分積分 第1章の範囲を、数検2級の出題形式で ——

数検2級の「微分係数と導関数」のうち、極限の計算・平均変化率・定義から求める微分係数の類題です。1次（計算技能）で確実に取る短い問題から、2次（数理技能）で途中の過程を書く問題まで、20問を用意しました。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（微分積分 第1章）
  • 多項式の極限は代入。分数で 00\dfrac{0}{0} になるときは約分してから代入。
  • 平均変化率 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}。
  • 微分係数の定義 f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}。この章では導関数の公式を使わず、定義から求めます。

極限は「約分してから代入」、微分係数は「定義の式に入れて hh で約分」——この2つの型を体に覚えさせるのがこの章の目的です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

lim⁡x→3 (x2−2x+5)\displaystyle \lim_{x \to 3}\,(x^2 - 2x + 5) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

88

解説

多項式なので xx=3{}= 3 を代入します。

lim⁡x→3 (x2−2x+5)\displaystyle \lim_{x \to 3}\,(x^2 - 2x + 5)=9\displaystyle {}= 9−6\displaystyle {}- 6+5\displaystyle {}+ 5=8‾\displaystyle {}= \underline{8}
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問2　★

lim⁡x→−2 (2x3+x2−3)\displaystyle \lim_{x \to -2}\,(2x^3 + x^2 - 3) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−15-15

解説

xx=−2{}= -2 を代入します。符号に注意しましょう。

lim⁡x→−2 (2x3+x2−3)\displaystyle \lim_{x \to -2}\,(2x^3 + x^2 - 3)=2⋅(−8)\displaystyle {}= 2 \cdot (-8)+4\displaystyle {}+ 4−3\displaystyle {}- 3=−15‾\displaystyle {}= \underline{-15}
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問3　★

lim⁡x→4x2−16x−4\displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{x^2 - 16}{x - 4} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

88

解説

xx=4{}= 4 を代入すると 00\frac{0}{0} の形なので、先に約分します。

x2−16x−4\displaystyle \frac{x^2 - 16}{x - 4}=(x−4)(x+4)x−4\displaystyle {}= \frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x\displaystyle {}= x+4\displaystyle {}+ 4よって\displaystyle \text{よって}lim⁡x→4 (x+4)\displaystyle \lim_{x \to 4}\,(x + 4)=8‾\displaystyle {}= \underline{8}
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問4　★

lim⁡x→−3x2+x−6x+3\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{x^2 + x - 6}{x + 3} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−5-5

解説

分子を因数分解して約分します。

x2+x−6x+3\displaystyle \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}=(x+3)(x−2)x+3\displaystyle {}= \frac{(x+3)(x-2)}{x+3}=x\displaystyle {}= x−2\displaystyle {}- 2よって\displaystyle \text{よって}lim⁡x→−3 (x−2)\displaystyle \lim_{x \to -3}\,(x - 2)=−5‾\displaystyle {}= \underline{-5}
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問5　★

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2+2x{}+ 2x について、xx が 11 から 44 まで変わるときの平均変化率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

77

解説

f(4)f(4)=16{}= 16+8{}+ 8=24{}= 24，f(1)f(1)=1{}= 1+2{}+ 2=3{}= 3 なので

f(4)−f(1)4−1\displaystyle \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1}=24−33\displaystyle {}= \frac{24 - 3}{3}=7‾\displaystyle {}= \underline{7}
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問6　★

関数 f(x)f(x)=−x2{}= -x^2+5x{}+ 5x について、xx が 22 から 55 まで変わるときの平均変化率を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−2-2

解説

f(5)f(5)=−25{}= -25+25{}+ 25=0{}= 0，f(2)f(2)=−4{}= -4+10{}+ 10=6{}= 6 なので

f(5)−f(2)5−2\displaystyle \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2}=0−63\displaystyle {}= \frac{0 - 6}{3}=−2‾\displaystyle {}= \underline{-2}

平均変化率が負なので、この区間では全体として yy が減っていることがわかります。

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問7　★

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2 について、微分係数 f′(−1)f'(-1) を定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(−1)f'(-1)=−2{}= -2

解説

f(−1+h)f(-1+h)=(−1+h)2{}= (-1+h)^2=1{}= 1−2h{}- 2h+h2{}+ h^2，f(−1)f(-1)=1{}= 1 なので

f(−1+h)−f(−1)h\displaystyle \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}=−2h+h2h\displaystyle {}= \frac{-2h + h^2}{h}=−2\displaystyle {}= -2+h\displaystyle {}+ hよって\displaystyle \text{よって}f′(−1)\displaystyle f'(-1)=lim⁡h→0 (−2+h)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(-2 + h)=−2‾\displaystyle {}= \underline{-2}
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問8　★

関数 f(x)f(x)=3x{}= 3x+2{}+ 2 について、微分係数 f′(a)f'(a) を定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(a)f'(a)=3{}= 3

解説

f(a+h)f(a+h)=3a{}= 3a+3h{}+ 3h+2{}+ 2，f(a)f(a)=3a{}= 3a+2{}+ 2 なので

f(a+h)−f(a)h\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}=3hh\displaystyle {}= \frac{3h}{h}=3\displaystyle {}= 3よって\displaystyle \text{よって}f′(a)\displaystyle f'(a)=lim⁡h→03\displaystyle {}= \lim_{h \to 0} 3=3‾\displaystyle {}= \underline{3}

直線 yy=3x{}= 3x+2{}+ 2 はどこでも傾きが 33 なので、微分係数も aa によらず 33 です。

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問9　★★

lim⁡x→2x3−8x−2\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

1212

解説

x3x^3−8{}- 8=(x−2)(x2+2x+4){}= (x-2)(x^2 + 2x + 4) と因数分解できるので

x3−8x−2\displaystyle \frac{x^3 - 8}{x - 2}=x2\displaystyle {}= x^2+2x\displaystyle {}+ 2x+4\displaystyle {}+ 4よって\displaystyle \text{よって}lim⁡x→2 (x2+2x+4)\displaystyle \lim_{x \to 2}\,(x^2 + 2x + 4)=4\displaystyle {}= 4+4\displaystyle {}+ 4+4\displaystyle {}+ 4=12‾\displaystyle {}= \underline{12}
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問10　★★

lim⁡h→0(3+h)2−9h\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(3+h)^2 - 9}{h} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

66

解説

分子を展開して整理します。

(3+h)2−9h\displaystyle \frac{(3+h)^2 - 9}{h}=6h+h2h\displaystyle {}= \frac{6h + h^2}{h}=6\displaystyle {}= 6+h\displaystyle {}+ hよって\displaystyle \text{よって}lim⁡h→0 (6+h)\displaystyle \lim_{h \to 0}\,(6 + h)=6‾\displaystyle {}= \underline{6}

この式は f(x)f(x)=x2{}= x^2 の微分係数 f′(3)f'(3) の定義式そのものです。

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問11　★★

lim⁡x→1x2−3x+2x2−1\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−12-\dfrac{1}{2}

解説

分子・分母をそれぞれ因数分解します。

x2−3x+2x2−1\displaystyle \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}=(x−1)(x−2)(x−1)(x+1)\displaystyle {}= \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=x−2x+1\displaystyle {}= \frac{x-2}{x+1}よって\displaystyle \text{よって}lim⁡x→1x−2x+1\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x-2}{x+1}=−12\displaystyle {}= \frac{-1}{2}=−12‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}}
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問12　★★

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2−ax{}- ax について、xx が 22 から 44 まで変わるときの平均変化率が 11 となるように、定数 aa の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=5{}= 5

解説

f(4)f(4)=16{}= 16−4a{}- 4a，f(2)f(2)=4{}= 4−2a{}- 2a なので、平均変化率は

f(4)−f(2)4−2\displaystyle \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}=(16−4a)−(4−2a)2\displaystyle {}= \frac{(16 - 4a) - (4 - 2a)}{2}=12−2a2\displaystyle {}= \frac{12 - 2a}{2}=6\displaystyle {}= 6−a\displaystyle {}- a

これが 11 に等しいので 66−a{}- a=1{}= 1，すなわち a=5‾\underline{a = 5}。

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問13　★★

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2−4x{}- 4x+3{}+ 3 について、微分係数 f′(a)f'(a) を定義に従って求めなさい。また、f′(a)f'(a)=0{}= 0 となる aa の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(a)f'(a)=2a{}= 2a−4{}- 4，aa=2{}= 2

解説

f(a+h)f(a+h)=(a+h)2{}= (a+h)^2−4(a+h){}- 4(a+h)+3{}+ 3=a2{}= a^2+2ah{}+ 2ah+h2{}+ h^2−4a{}- 4a−4h{}- 4h+3{}+ 3 なので

f(a+h)−f(a)h\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}=2ah+h2−4hh\displaystyle {}= \frac{2ah + h^2 - 4h}{h}=2a\displaystyle {}= 2a+h\displaystyle {}+ h−4\displaystyle {}- 4よって\displaystyle \text{よって}f′(a)\displaystyle f'(a)=lim⁡h→0 (2a+h−4)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(2a + h - 4)=2a‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}2a}−4‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 4}

f′(a)f'(a)=0{}= 0 とすると 2a2a−4{}- 4=0{}= 0，すなわち a=2‾\underline{a = 2}。 （グラフ yy=x2{}= x^2−4x{}- 4x+3{}+ 3 の頂点の xx 座標が 22 で、そこで接線の傾きが 00 になる、という意味です。）

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問14　★★

関数 f(x)f(x)=2x3{}= 2x^3 について、微分係数 f′(1)f'(1) を定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(1)f'(1)=6{}= 6

解説

(1+h)3(1+h)^3=1{}= 1+3h{}+ 3h+3h2{}+ 3h^2+h3{}+ h^3 を使います。f(1+h)f(1+h)=2{}= 2+6h{}+ 6h+6h2{}+ 6h^2+2h3{}+ 2h^3，f(1)f(1)=2{}= 2 なので

f(1+h)−f(1)h\displaystyle \frac{f(1+h) - f(1)}{h}=6h+6h2+2h3h\displaystyle {}= \frac{6h + 6h^2 + 2h^3}{h}=6\displaystyle {}= 6+6h\displaystyle {}+ 6h+2h2\displaystyle {}+ 2h^2よって\displaystyle \text{よって}f′(1)\displaystyle f'(1)=lim⁡h→0 (6+6h+2h2)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(6 + 6h + 2h^2)=6‾\displaystyle {}= \underline{6}
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問15　★★

lim⁡x→0(2+x)3−8x\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2+x)^3 - 8}{x} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

1212

解説

(2+x)3(2+x)^3=8{}= 8+12x{}+ 12x+6x2{}+ 6x^2+x3{}+ x^3 なので

(2+x)3−8x\displaystyle \frac{(2+x)^3 - 8}{x}=12x+6x2+x3x\displaystyle {}= \frac{12x + 6x^2 + x^3}{x}=12\displaystyle {}= 12+6x\displaystyle {}+ 6x+x2\displaystyle {}+ x^2よって\displaystyle \text{よって}lim⁡x→0 (12+6x+x2)\displaystyle \lim_{x \to 0}\,(12 + 6x + x^2)=12‾\displaystyle {}= \underline{12}
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問16　★★

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2 について、xx が aa から aa+h{}+h まで変わるときの平均変化率を a,a, h\ h の式で表しなさい。また、その結果を用いて f′(a)f'(a)=2a{}= 2a であることを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

平均変化率は 2a2a+h{}+ h。hh→0{}\to 0 とすると 2a2a になるので f′(a)f'(a)=2a{}= 2a。

解説

f(a+h)f(a+h)=a2{}= a^2+2ah{}+ 2ah+h2{}+ h^2，f(a)f(a)=a2{}= a^2 なので、平均変化率は

f(a+h)−f(a)(a+h)−a\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a}=2ah+h2h\displaystyle {}= \frac{2ah + h^2}{h}=2a‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7777em}2a}+h‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7777em}{}+ h}

微分係数は、この平均変化率で hh→0{}\to 0 とした極限なので

f′(a)\displaystyle f'(a)=lim⁡h→0 (2a+h)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(2a + h)=2a\displaystyle {}= 2a

よって f′(a)f'(a)=2a{}= 2a が示されました。（証明終） 2次では「平均変化率の hh→0{}\to 0 の極限が微分係数である」という定義を一言書いてから極限をとると、過程が明確になります。

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問17　★★★

等式 lim⁡x→2x2+ax+bx−2\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2 + ax + b}{x - 2}=5\displaystyle {}= 5 が成り立つように、定数 a,a, b\ b の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=1,{}= 1,bb=−6{}= -6

解説

xx→2{}\to 2 で分母 xx−2{}- 2→0{}\to 0 なのに極限が有限の値 55 になるので、分子も 00 に近づく必要があります。よって

4\displaystyle 4+2a\displaystyle {}+ 2a+b\displaystyle {}+ b=0\displaystyle {}= 0すなわち\displaystyle \text{すなわち}b\displaystyle b=−2a\displaystyle {}= -2a−4\displaystyle {}- 4

これを分子に代入すると

x2\displaystyle x^2+ax\displaystyle {}+ ax−2a\displaystyle {}- 2a−4\displaystyle {}- 4=(x−2)(x+a+2)\displaystyle {}= (x - 2)(x + a + 2)

と因数分解できるので

lim⁡x→2(x−2)(x+a+2)x−2\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x + a + 2)}{x - 2}=lim⁡x→2 (x+a+2)\displaystyle {}= \lim_{x \to 2}\,(x + a + 2)=a\displaystyle {}= a+4\displaystyle {}+ 4

これが 55 に等しいので aa=1{}= 1，そして bb=−6{}= -6。

a=1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 1,}b=−6‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad b = -6}

（検算：x2+x−6x−2\frac{x^2 + x - 6}{x - 2}=(x−2)(x+3)x−2{}= \frac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x{}= x+3{}+ 3→5{}\to 5 で成立します。）

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問18　★★★

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2+x{}+ x について、lim⁡h→0f(1+2h)−f(1)h\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(1+2h) - f(1)}{h} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

66

解説

f(1+2h)f(1+2h) を直接計算します。

f(1+2h)\displaystyle f(1+2h)=(1+2h)2\displaystyle {}= (1+2h)^2+(1+2h)\displaystyle {}+ (1+2h)=1\displaystyle {}= 1+4h\displaystyle {}+ 4h+4h2\displaystyle {}+ 4h^2+1\displaystyle {}+ 1+2h\displaystyle {}+ 2h=2\displaystyle {}= 2+6h\displaystyle {}+ 6h+4h2\displaystyle {}+ 4h^2

f(1)f(1)=2{}= 2 なので

f(1+2h)−f(1)h\displaystyle \frac{f(1+2h) - f(1)}{h}=6h+4h2h\displaystyle {}= \frac{6h + 4h^2}{h}=6\displaystyle {}= 6+4h\displaystyle {}+ 4hよって\displaystyle \text{よって}lim⁡h→0 (6+4h)\displaystyle \lim_{h \to 0}\,(6 + 4h)=6‾\displaystyle {}= \underline{6}

なお、区間の幅が 2h2h なので、この極限は 2f′(1)2f'(1) に等しくなります。定義から f′(1)f'(1)=3{}= 3 なので 2⋅32 \cdot 3=6{}= 6 と一致します。

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問19　★★★

関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3−3x{}- 3x について、微分係数 f′(a)f'(a) を定義に従って求めなさい。また、f′(a)f'(a)=9{}= 9 となる aa の値をすべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(a)f'(a)=3a2{}= 3a^2−3{}- 3，aa=±2{}= \pm 2

解説

(a+h)3(a+h)^3=a3{}= a^3+3a2h{}+ 3a^2h+3ah2{}+ 3ah^2+h3{}+ h^3 より

f(a+h)\displaystyle f(a+h)−f(a)\displaystyle {}- f(a)=3a2h\displaystyle {}= 3a^2h+3ah2\displaystyle {}+ 3ah^2+h3\displaystyle {}+ h^3−3h\displaystyle {}- 3h f(a+h)−f(a)h\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}=3a2\displaystyle {}= 3a^2+3ah\displaystyle {}+ 3ah+h2\displaystyle {}+ h^2−3\displaystyle {}- 3よって\displaystyle \text{よって}f′(a)\displaystyle f'(a)=lim⁡h→0 (3a2+3ah+h2−3)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(3a^2 + 3ah + h^2 - 3)=3a2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}3a^2}−3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 3}

f′(a)f'(a)=9{}= 9 とすると

3a2\displaystyle 3a^2−3\displaystyle {}- 3=9\displaystyle {}= 9⟹a2\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad a^2=4\displaystyle {}= 4⟹a=±2‾\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{a = \pm 2}
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問20　★★★

等式 lim⁡x→−1x3+ax+bx+1\displaystyle \lim_{x \to -1}\frac{x^3 + ax + b}{x + 1}=4\displaystyle {}= 4 が成り立つように、定数 a,a, b\ b の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=1,{}= 1,bb=2{}= 2

解説

xx→−1{}\to -1 で分母 →0\to 0 なのに極限が有限値 44 なので、分子も 00 に近づく必要があります。

−1\displaystyle -1−a\displaystyle {}- a+b\displaystyle {}+ b=0\displaystyle {}= 0すなわち\displaystyle \text{すなわち}b\displaystyle b=a\displaystyle {}= a+1\displaystyle {}+ 1

これを分子に代入すると

x3\displaystyle x^3+ax\displaystyle {}+ ax+a\displaystyle {}+ a+1\displaystyle {}+ 1=(x+1)(x2−x+a+1)\displaystyle {}= (x + 1)\left(x^2 - x + a + 1\right)

と因数分解できるので

lim⁡x→−1 (x2−x+a+1)\displaystyle \lim_{x \to -1}\,\left(x^2 - x + a + 1\right)=1\displaystyle {}= 1+1\displaystyle {}+ 1+a\displaystyle {}+ a+1\displaystyle {}+ 1=a\displaystyle {}= a+3\displaystyle {}+ 3

これが 44 に等しいので aa=1{}= 1，そして bb=2{}= 2。

a=1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 1,}b=2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad b = 2}

（検算：x3+x+2x+1\frac{x^3 + x + 2}{x + 1}=(x+1)(x2−x+2)x+1{}= \frac{(x+1)(x^2 - x + 2)}{x+1}=x2{}= x^2−x{}- x+2{}+ 2→1{}\to 1+1{}+ 1+2{}+ 2=4{}= 4 で成立します。）

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