第4章　三角形の面積と図形の計量

この章で使う記号

第3章と同じく、三角形 $ABC$ の角の大きさを $A$，$B$，$C$、その向かいの辺の長さを $a$，$b$，$c$ と書きます（角 $A$ の向かいが $a$）。外接円の半径は $R$ です。この章では新たに、三角形の面積を $S$、内接円の半径を $r$ と書きます。

三角形の面積——2 辺とその間の角で決まる

三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求められます。ところが実際の三角形では、高さを直接測れないことがほとんどです。分かっているのが「2 辺とその間の角」なら、高さは三角比で作れます。

辺 $AB$${}= c$ を底辺と見て、頂点 $C$ から垂線を下ろします。$A$ が鋭角なら、直角三角形の中で斜辺 $b$ の対辺が高さなので $h$${}= b\sin A$ です。$A$ が鈍角のときは垂線の足が辺 $AB$ の外に出ますが、そのとき高さは $b\sin(180^\circ - A)$ で、第2章の公式 $\sin(180^\circ - \theta)$${}= \sin\theta$ により、やはり $h$${}= b\sin A$ です。

公式1：三角形の面積

三角形 $ABC$ の面積を $S$ とすると

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}bc\sin A$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}ca\sin B$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}ab\sin C$

• 「2 辺の積 × はさむ角の $\sin$ ÷ 2」と読みます。どの頂点から見ても同じ形です。
• $A$ が鈍角でも $\sin A$${}> 0$ なので、式は 1 本で済みます。第3章の余弦定理が「$\cos$ の符号のおかげで 1 本」だったのに対し、面積公式は「$\sin$ がつねに正だから 1 本」です。

はさみを思い浮かべてください。2 枚の刃の長さは変わらないのに、開く角度によって刃の間にできる三角形の大きさが変わります。閉じかけ（角が小さい）でも開きすぎ（角が $180^\circ$ 近く）でも三角形はぺしゃんこで、ちょうど $90^\circ$ に開いたとき面積が最大になる。$\sin A$ は $0^\circ$ と $180^\circ$ で $0$、$90^\circ$ で最大の $1$ ですから、面積公式はこの直感をそのまま数式にしたものです。

三角形の面積は「2 辺の積 × はさむ角の $\sin$ ÷ 2」で、$\sin$ は鋭角でも鈍角でも正なので、角の種類による場合分けは要らないということです。

例題1：2 辺とその間の角から面積を求める

三角形 $ABC$ で、次の場合の面積 $S$ を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ b$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle \ c$$\displaystyle {}= 8,$$\displaystyle \ A$$\displaystyle {}= 60^\circ$$\displaystyle \text{(2)}\ b$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle \ c$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle \ A$$\displaystyle {}= 120^\circ$

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【解答】

(1) $\sin 60^\circ$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}= \underline{6\sqrt{3}}$

(2) $\sin 120^\circ$${}= \sin 60^\circ$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{15\sqrt{3}}{4}}$

この 2 つの三角形は、第3章の例題2で「どちらも $a$${}= 7$」と分かったものです。残りの辺が同じでも、面積は違います。三角形は 3 辺で決まる（第3章）のですから、辺が 1 つ同じというだけでは形は同じにならない——面積を計算すると、その違いが目に見えます。

3 辺から面積を求める——ヘロンの公式

公式1を使うには角が 1 つ必要です。3 辺しか分からないときは、第3章の余弦定理で $\cos A$ を出し、相互関係 $\sin^2 A$${}+ \cos^2 A$${}= 1$ で $\sin A$ に直してから公式1に入れます。$0^\circ$${}< A$${}< 180^\circ$ では $\sin A$${}> 0$ なので、平方根の符号で迷うことはありません。

この「余弦定理 → $\sin$ → 面積」の流れを、文字のまま最後まで計算したものがヘロンの公式です。

公式2：3 辺から面積を求める（ヘロンの公式）

三角形 $ABC$ で $s$${}= \dfrac{a + b + c}{2}$（周の長さの半分）とおくと

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

• 手順で言えば「余弦定理で $\cos A$ → $\sin A$${}= \sqrt{1 - \cos^2 A}$ → $S$${}= \frac{1}{2}bc\sin A$」と同じ結果です（導き方は厳密定義ページ）。
• 3 辺が整数のときはヘロンの公式が速く、辺に $\sqrt{\ }$ が混じるときは余弦定理の経路のほうが計算しやすいことが多いです。

ヘロンの公式のありがたみは、角を一切測らなくてよいことです。土地の 3 辺を巻き尺で測れば、分度器なしで面積が出ます。「3 本の棒をつなぐとカチッと固まる」（第3章）のですから、3 辺で面積まで決まるのは当然なのですが、それを角を経由せずに一気に計算できる式にしたのがヘロンでした。

3 辺から面積を出す道は「余弦定理で角を経由する」か「ヘロンの公式で一気に」の 2 本あり、どちらも同じ答えになるということです。

例題2：3 辺から面積を求める

三角形 $ABC$ で $a$${}= 7$，$b$${}= 5$，$c$${}= 8$ のとき、面積 $S$ を求めなさい。

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【解答】

（余弦定理から）$\cos A$${}= \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$${}= \dfrac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8}$${}= \dfrac{40}{80}$${}= \dfrac{1}{2}$ なので $A$${}= 60^\circ$、$\sin A$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}= \underline{10\sqrt{3}}$

（ヘロンの公式から）$s$${}= \dfrac{7 + 5 + 8}{2}$${}= 10$ なので

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \sqrt{10 \cdot (10 - 7)(10 - 5)(10 - 8)}$$\displaystyle {}= \sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}$$\displaystyle {}= \sqrt{300}$$\displaystyle {}= 10\sqrt{3}$

同じ答えになりました。$\cos A$ の値が三角定規の角にならないときでも、$\sin A$${}= \sqrt{1 - \cos^2 A}$ と進めば面積は出ます。

内接円の半径——面積を 3 つに切り分ける

三角形の 3 辺すべてに内側から接する円を内接円といい、その半径を $r$ と書きます。外接円が「3 頂点を通る円」だったのに対し、内接円は「3 辺に接する円」です。

内接円の中心 $I$ と 3 つの頂点を結ぶと、三角形 $ABC$ は $IBC$，$ICA$，$IAB$ の 3 つに分かれます。円は各辺に接しているので、$I$ から各辺までの距離はすべて $r$ です。つまり 3 つの小三角形の高さはどれも $r$ で

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}ar$$\displaystyle {}+ \frac{1}{2}br$$\displaystyle {}+ \frac{1}{2}cr$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}r(a + b + c)$

公式3：内接円の半径と面積

三角形 $ABC$ の面積を $S$、内接円の半径を $r$ とすると

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}r(a + b + c)$$\displaystyle {}\Longleftrightarrow\qquad r$$\displaystyle {}= \frac{2S}{a + b + c}$

• $r$ を求める手順は「3 辺から $S$ を出す（公式2）→ 公式3に代入」です。
• 外接円の半径 $R$ は正弦定理から、内接円の半径 $r$ は面積から求める、と覚えておくと迷いません。

ピザを中心から 3 切れに切るところを想像してください。切り口は中心から各辺に向かい、どの切れも「底辺は三角形の辺、高さは中心から辺までの距離」です。内接円の中心はすべての辺からの距離が等しい点なので、3 切れの高さがそろって $r$ になる——公式3はそれを足し合わせただけです。外接円は「三角形を囲む最小の輪」、内接円は「三角形の中に入る最大の円」と対にして覚えるとよいでしょう。

内接円の半径 $r$ は「面積 $S$ を周の長さの半分で割ったもの」で、$R$ が正弦定理から出るのに対し $r$ は面積から出るということです。

例題3：内接円と外接円の半径を求める

三角形 $ABC$ で $a$${}= 7$，$b$${}= 5$，$c$${}= 8$ のとき、内接円の半径 $r$ と外接円の半径 $R$ を求めなさい。

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【解答】

例題2より $A$${}= 60^\circ$，$S$${}= 10\sqrt{3}$ です。

公式3より

$\displaystyle r$$\displaystyle {}= \frac{2S}{a + b + c}$$\displaystyle {}= \frac{20\sqrt{3}}{7 + 5 + 8}$$\displaystyle {}= \frac{20\sqrt{3}}{20}$$\displaystyle {}= \underline{\sqrt{3}}$

正弦定理 $a$${}= 2R\sin A$ より

$\displaystyle R$$\displaystyle {}= \frac{a}{2\sin A}$$\displaystyle {}= \frac{7}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$\displaystyle {}= \frac{7}{\sqrt{3}}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{7\sqrt{3}}{3}}$

「余弦定理で角 → 面積 → $r$」と「余弦定理で角 → 正弦定理 → $R$」。どちらも角を 1 つ出すところまでは同じで、そこから道が分かれます。

円に内接する四角形——対角の和が 180° を使う

4 つの頂点がすべて 1 つの円の上にある四角形を、円に内接する四角形といいます。中学で学んだとおり、円に内接する四角形では向かい合う角の和が $180^\circ$ です（同じ弦に対する円周角の関係から。証明は厳密定義ページ）。

四角形の問題は、対角線で 2 つの三角形に分けるのが基本です。四角形 $ABCD$ を対角線 $BD$ で切ると、三角形 $ABD$ と三角形 $CBD$ ができます。どちらの三角形でも余弦定理で $BD^2$ を表せますから、その 2 つの式を等しいとおけます。このとき $C$${}= 180^\circ - A$ なので、第2章の公式から $\cos C$${}= -\cos A$ です。

公式4：円に内接する四角形の扱い方

円に内接する四角形 $ABCD$ で、対角線 $BD$ を引くと

$\displaystyle A$$\displaystyle {}+ C$$\displaystyle {}= 180^\circ,$$\displaystyle \cos C$$\displaystyle {}= -\cos A,$$\displaystyle \sin C$$\displaystyle {}= \sin A$$\displaystyle BD^2$$\displaystyle {}= AB^2$$\displaystyle {}+ AD^2$$\displaystyle {}- 2 \cdot AB \cdot AD\cos A$$\displaystyle {}= CB^2$$\displaystyle {}+ CD^2$$\displaystyle {}+ 2 \cdot CB \cdot CD\cos A$

この等式から $\cos A$ が決まり、対角線 $BD$ の長さと、面積 $S$${}= (\text{三角形 } ABD)$${}+ (\text{三角形 } CBD)$ が求まります。

第3章で「四角形はぐらつく」と言いました。4 辺だけでは形が 1 つに決まらないからです。ところが「円に内接する」という条件を足すと、対角の和が $180^\circ$ に固定されて、ぐらつきが止まります。公式4の連立は、その「固定」を計算で取り出したものです。

円に内接する四角形は、対角線で 2 つの三角形に分け、$\cos C$${}= -\cos A$ を使って余弦定理を連立すれば、角・対角線・面積がすべて求まるということです。

例題4：円に内接する四角形の角・対角線・面積

円に内接する四角形 $ABCD$ で $AB$${}= 3$，$BC$${}= 1$，$CD$${}= 3$，$DA$${}= 4$ のとき、$A$，対角線 $BD$，四角形の面積 $S$ を求めなさい。

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【解答】

三角形 $ABD$ で余弦定理より

$\displaystyle BD^2$$\displaystyle {}= 3^2$$\displaystyle {}+ 4^2$$\displaystyle {}- 2 \cdot 3 \cdot 4\cos A$$\displaystyle {}= 25$$\displaystyle {}- 24\cos A$

三角形 $CBD$ で、$\cos C$${}= -\cos A$ に注意して

$\displaystyle BD^2$$\displaystyle {}= 1^2$$\displaystyle {}+ 3^2$$\displaystyle {}- 2 \cdot 1 \cdot 3\cos C$$\displaystyle {}= 10$$\displaystyle {}+ 6\cos A$

2 式を等しいとおくと $25$${}- 24\cos A$${}= 10$${}+ 6\cos A$、よって $30\cos A$${}= 15$、$\cos A$${}= \dfrac{1}{2}$。したがって $A$${}= \underline{60^\circ}$。

$\displaystyle BD^2$$\displaystyle {}= 25$$\displaystyle {}- 24 \cdot \frac{1}{2}$$\displaystyle {}= 13$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad BD$$\displaystyle {}= \underline{\sqrt{13}}$

面積は 2 つの三角形の和です。$\sin C$${}= \sin A$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}+ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}= 3\sqrt{3}$$\displaystyle {}+ \frac{3\sqrt{3}}{4}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{15\sqrt{3}}{4}}$

対角線を「2 つの三角形に共通の辺」と見て余弦定理を 2 回書く。これが円に内接する四角形の定石です。

測量への応用——渡れない場所の距離と高さ

第3章の小話で、フランスの測量隊が三角形をつないで子午線の長さを求めた話をしました。同じ考え方で、川の向こう岸までの距離や登れない山の高さを測ることができます。使う道具は正弦定理と、第1章の仰角です。

公式5：2 地点から測る（測量の手順）

目標 $P$ の真下の地点を $H$ とし、地上の 2 地点 $A$，$B$ から測るとき

1. 地上の三角形 $ABH$ で、$AB$ の長さと 2 つの角 $\angle HAB$，$\angle HBA$ を測る。
2. 正弦定理で $BH$（または $AH$）を求める（「1 辺と 2 角」なので三角形は 1 つに決まる）。
3. 高さは、$B$ から $P$ を見上げた仰角 $\theta$ を使って $PH$${}= BH\tan\theta$。

川幅のように「距離」だけが欲しいときは、手順 2 で求めた辺から垂線の長さ（$= BH\sin\angle HBA$ など）を計算します。

川の向こう岸に立つ木までの距離を、川を渡らずに測るにはどうすればよいでしょう。こちら岸で 2 地点を決めて間の距離を測り、それぞれの地点から木を見た角を測る。すると「1 辺と 2 角」がそろうので、正弦定理で木までの距離が計算できます。測量とは「測れないものを、測れる辺と角に置き換える」技術です。

届かない場所の距離や高さは、地上に「測れる 1 辺と 2 角」の三角形を作って正弦定理で辺を出し、仰角の $\tan$ で高さに直すという手順で求められるということです。

例題5：2 地点から山の高さを測る

水平な地面の上に 2 地点 $P$，$Q$ があり、$PQ$${}= 100\ \text{m}$ です。山頂 $M$ の真下の地点を $H$ とすると、$\angle HPQ$${}= 45^\circ$，$\angle HQP$${}= 105^\circ$ で、$Q$ から山頂 $M$ を見上げた仰角は $45^\circ$ でした。目の高さを無視して、山の高さ $MH$ を求めなさい。

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【解答】

三角形 $PQH$ で $\angle PHQ$${}= 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ$${}= 30^\circ$。正弦定理より

$\displaystyle QH$$\displaystyle {}= \frac{PQ\sin\angle HPQ}{\sin\angle PHQ}$$\displaystyle {}= \frac{100 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle {}= 100\sqrt{2}\ (\text{m})$

$Q$ から $M$ を見上げた仰角が $45^\circ$ なので、直角三角形 $MQH$ で

$\displaystyle MH$$\displaystyle {}= QH\tan 45^\circ$$\displaystyle {}= \underline{100\sqrt{2}\ \text{m}}\ (\approx 141\ \text{m})$

「地上の三角形で距離」→「垂直な直角三角形で高さ」の 2 段構えです。測量では 2 つの三角形が別の平面（水平面と鉛直面）にあることを意識してください。

空間図形の計量——正四面体の高さと体積

三角比は空間図形にも使えます。空間の問題を解く手順は 1 つだけ——平面の三角形を切り出すことです。切り出した三角形の中では、これまでの公式がそのまま使えます。

代表例が正四面体（4 つの面がすべて正三角形の三角錐）です。

1 辺の長さが $a$ の正四面体 $ABCD$ で、頂点 $A$ から底面 $BCD$ に垂線 $AG$ を下ろします。$AB$${}= AC$${}= AD$ なので、$G$ は 3 点 $B$，$C$，$D$ から等距離、つまり正三角形 $BCD$ の外接円の中心です。正三角形では外接円の中心と重心が一致するので、$G$ は重心であり、$BG$ は中線の $\dfrac{2}{3}$ です。

公式6：正四面体の高さと体積

1 辺 $a$ の正四面体で

$\displaystyle \text{高さ}\ h$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{6}}{3}a,$$\displaystyle \text{体積}\ V$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

• 求め方：$BG$${}= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ → 直角三角形 $ABG$ で $h^2$${}= a^2$${}- BG^2$ → $V$${}= \dfrac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times h$。
• 値を暗記するより、「垂線の足は重心」「直角三角形を切り出す」の手順を覚えてください。

3 本の支柱で立てるテントを思い浮かべてください。支柱の長さが同じなら、てっぺんは地面の 3 点の「真ん中」（重心）の真上に来ます。テントの高さは、支柱 1 本と「重心から支柱の足までの距離」で作る直角三角形から三平方の定理で出せます。正四面体の高さも、これとまったく同じです。

空間図形は「垂線を下ろして直角三角形を切り出す」か「面積が分かる三角形を切り出す」ことで平面の問題になり、三角比と三平方の定理で計量できるということです。

例題6：正四面体の高さと体積

1 辺の長さが $a$ の正四面体 $ABCD$ について、頂点 $A$ から底面 $BCD$ に下ろした垂線の長さ $h$ と、体積 $V$ を求めなさい。

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【解答】

垂線の足 $G$ は正三角形 $BCD$ の重心です。$BCD$ の中線の長さは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ なので

$\displaystyle BG$$\displaystyle {}= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{3}}{3}a$

直角三角形 $ABG$ で三平方の定理より

$\displaystyle h^2$$\displaystyle {}= AB^2$$\displaystyle {}- BG^2$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}- \frac{3}{9}a^2$$\displaystyle {}= \frac{2}{3}a^2$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad h$$\displaystyle {}= \sqrt{\frac{2}{3}}\,a$$\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{6}}{3}a}$

底面 $BCD$ は 1 辺 $a$ の正三角形なので、公式1より面積は $\dfrac{1}{2}a^2\sin 60^\circ$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$。したがって

$\displaystyle V$$\displaystyle {}= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{18}}{36}a^3$$\displaystyle {}= \frac{3\sqrt{2}}{36}a^3$$\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{2}}{12}a^3}$

底面積に公式1（$\frac{1}{2}a^2\sin 60^\circ$）を使いました。正三角形の面積 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ は、この章の面積公式の特別な場合です。