第3章　正弦定理・余弦定理

この章の記号

三角形 $ABC$ では、頂点 $A$ の角の大きさをそのまま $A$ と書き、その向かい側の辺 $BC$ の長さを $a$ と書きます。同じように $\angle B$ の向かいが $b$${}= CA$、$\angle C$ の向かいが $c$${}= AB$ です。「角と、その向かいの辺が同じ文字」というルールを覚えておくと、この章の式が読みやすくなります。

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$A$${}+ B$${}+ C$${}= 180^\circ$ です。角が 1 つだけ $90^\circ$ より大きいこともあります（鈍角三角形）。そのとき、その角の $\cos$ は第2章で学んだとおり負になります。

正弦定理——辺と「向かいの角の sin」の比はどの辺でも同じ

三角形の 3 つの頂点を通る円を外接円といい、その半径を $R$ と書きます。どんな三角形にも外接円はただ 1 つあります。

図で、$B$ を通る直径のもう一方の端を $A'$ とします。直径に立つ円周角は $90^\circ$ なので、三角形 $A'BC$ は $\angle A'CB$${}= 90^\circ$ の直角三角形です。斜辺は直径 $BA'$${}= 2R$、$\angle A'$ の対辺は $BC$${}= a$ ですから、第1章の定義から

$\displaystyle \sin A'$$\displaystyle {}= \frac{a}{2R}$

ところで $\angle A'$ と $\angle A$ は、同じ弧 $BC$ の上に立つ円周角なので等しい。したがって $\sin A$${}= \dfrac{a}{2R}$、つまり $a$${}= 2R\sin A$ です。頂点 $B$，$C$ についても同じことができます。

公式1：正弦定理

三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると

$\displaystyle \frac{a}{\sin A}$$\displaystyle {}= \frac{b}{\sin B}$$\displaystyle {}= \frac{c}{\sin C}$$\displaystyle {}= 2R$

• 「辺 ÷ 向かいの角の $\sin$」は、3 つの辺のどれで計算しても同じ値 $2R$ になります。
• $A$ が鈍角のときも成り立ちます（理由は厳密定義ページ）。$\sin$ は鈍角でも正なので、符号の心配はいりません。

三角形の 3 頂点が、1 つの舞台（外接円）の縁に立っている場面を思い浮かべてください。舞台の大きさ $R$ を決めると、「向かいの角が $30^\circ$ の辺は長さ $R$」「$90^\circ$ の辺は $2R$（直径）」というように、辺の長さが角だけで決まります。大きい角の向かいには大きい辺、という直感を、正弦定理は数式にしたものです。

正弦定理とは「辺の長さ ÷ 向かいの角の $\sin$」が三角形の中でつねに一定（$= 2R$）だという定理で、1 つの辺と 2 つの角が分かれば残りの辺と $R$ が求まるということです。

例題1：正弦定理で辺と外接円の半径を求める

三角形 $ABC$ で $A$${}= 45^\circ$，$B$${}= 60^\circ$，$a$${}= \sqrt{2}$ のとき、$b$ と外接円の半径 $R$ を求めなさい。

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【解答】

正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}$${}= \dfrac{b}{\sin B}$ より

$\displaystyle b$$\displaystyle {}= \frac{a\sin B}{\sin A}$$\displaystyle {}= \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \div \frac{\sqrt{2}}{2}$$\displaystyle {}= \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \underline{\sqrt{3}}$

また $\dfrac{a}{\sin A}$${}= 2R$ より

$\displaystyle 2R$$\displaystyle {}= \sqrt{2} \div \frac{\sqrt{2}}{2}$$\displaystyle {}= 2$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad R$$\displaystyle {}= \underline{1}$

「求めたい辺」と「分かっている辺」の 2 つだけを取り出して等式を作るのがコツです。3 つ全部を同時に使う必要はありません。

余弦定理——三平方の定理に「角の補正」をつける

第2章の問題 j20 で、単位円上の 2 点 $A(1,\ 0)$，$P(\cos\theta,\ \sin\theta)$ の距離を計算し

$\displaystyle AP^2$$\displaystyle {}= 2$$\displaystyle {}- 2\cos\theta$

を得ました。これは「2 辺が $1$，$1$ で、その間の角が $\theta$ の三角形」の残りの辺を求めたことになります。この 2 辺を一般の長さ $b$，$c$ に広げたものが余弦定理です。

三角形 $ABC$ を、頂点 $A$ が原点、$B$ が $x$ 軸上の点 $(c,\ 0)$ になるように置きます。すると $C$ は、原点から距離 $b$、角 $A$ の方向にある点なので、第2章の単位円の考え方（半径を $b$ 倍する）から $C(b\cos A,\ b\sin A)$ です。$A$ が鈍角なら $\cos A$${}< 0$ なので $C$ は $y$ 軸の左側にきますが、座標の式はそのままです。

$B$ と $C$ の距離が $a$ なので、三平方の定理から

$\displaystyle a^2$$\displaystyle {}= (b\cos A - c)^2$$\displaystyle {}+ (b\sin A)^2$$\displaystyle {}= b^2\cos^2 A$$\displaystyle {}- 2bc\cos A$$\displaystyle {}+ c^2$$\displaystyle {}+ b^2\sin^2 A$$\displaystyle {}= b^2$$\displaystyle {}+ c^2$$\displaystyle {}- 2bc\cos A$

（$\cos^2 A$${}+ \sin^2 A$${}= 1$ を使いました）。j20 は $b$${}= c$${}= 1$ の特別な場合だったわけです。

公式2：余弦定理

$\displaystyle a^2$$\displaystyle {}= b^2$$\displaystyle {}+ c^2$$\displaystyle {}- 2bc\cos A,$$\displaystyle b^2$$\displaystyle {}= c^2$$\displaystyle {}+ a^2$$\displaystyle {}- 2ca\cos B,$$\displaystyle c^2$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}+ b^2$$\displaystyle {}- 2ab\cos C$

• 「求めたい辺の 2 乗 ＝ 残り 2 辺の 2 乗の和 − 2 × 残り 2 辺の積 × はさむ角の $\cos$」と読みます。
• $A$${}= 90^\circ$ なら $\cos A$${}= 0$ で、三平方の定理 $a^2$${}= b^2$${}+ c^2$ に戻ります。
• $A$ が鈍角なら $\cos A$${}< 0$ なので、$-2bc\cos A$ は正の数になり、$a^2$ は $b^2$${}+ c^2$ より大きくなります。

余弦定理は「三平方の定理の補正つき版」です。直角三角形なら $a^2$${}= b^2$${}+ c^2$ でぴったり。角 $A$ を $90^\circ$ から少し閉じると、向かいの辺 $a$ は短くなるので $2bc\cos A$ の分だけ引く。逆に $90^\circ$ より開くと $a$ は長くなるので、その分を足す——足すか引くかを $\cos A$ の符号が自動的に決めてくれます。開いた扉の端と壁の距離が、扉の開き具合（角）で決まるのと同じ仕組みです。

余弦定理は「2 辺とその間の角」から残りの辺を求める公式で、$\cos$ の符号のおかげで鋭角でも鈍角でも同じ 1 本の式で済むということです。

例題2：2 辺とその間の角から残りの辺を求める

三角形 $ABC$ で、次の場合の $a$ を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ b$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle \ c$$\displaystyle {}= 8,$$\displaystyle \ A$$\displaystyle {}= 60^\circ$$\displaystyle \text{(2)}\ b$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle \ c$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle \ A$$\displaystyle {}= 120^\circ$

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【解答】

(1) $\cos 60^\circ$${}= \dfrac{1}{2}$ なので

$\displaystyle a^2$$\displaystyle {}= 3^2$$\displaystyle {}+ 8^2$$\displaystyle {}- 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$$\displaystyle {}= 9$$\displaystyle {}+ 64$$\displaystyle {}- 24$$\displaystyle {}= 49$

$a$${}> 0$ より $a$${}= \underline{7}$。

(2) $\cos 120^\circ$${}= -\dfrac{1}{2}$ なので

$\displaystyle a^2$$\displaystyle {}= 3^2$$\displaystyle {}+ 5^2$$\displaystyle {}- 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$\displaystyle {}= 9$$\displaystyle {}+ 25$$\displaystyle {}+ 15$$\displaystyle {}= 49$

$a$${}> 0$ より $a$${}= \underline{7}$。

(2) では $\cos$ が負なので、引くはずの項が足し算に変わっています。$3$ と $5$ を $120^\circ$ に開くと、$3$ と $8$ を $60^\circ$ に閉じたときと同じ長さ $7$ になる——鈍角の $\cos$ を正しく使えば、こういう対応も見えてきます。

余弦定理で角を求める——鋭角か鈍角かは cos の符号で分かる

余弦定理を $\cos A$ について解くと、3 辺から角を求める式になります。

公式3：3 辺から角を求める式と、鋭角・直角・鈍角の判定

$\displaystyle \cos A$$\displaystyle {}= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},$$\displaystyle \cos B$$\displaystyle {}= \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca},$$\displaystyle \cos C$$\displaystyle {}= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

分母 $2bc$ は正なので、$\cos A$ の符号は分子 $b^2$${}+ c^2$${}- a^2$ の符号で決まります。

$a^2$ と $b^2 + c^2$ の大小	$\cos A$ の符号	$A$
$a^2 < b^2 + c^2$	$+$	鋭角
$a^2 = b^2 + c^2$	$0$	直角
$a^2 > b^2 + c^2$	$-$	鈍角

三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれかは、最大の辺の向かいの角（最大の角）について調べれば決まります。

3 本の棒を三角形の形につないでみると、どこも動かせない「カチッ」とした形になります。四角形だと平行四辺形のようにぐらつくのに、三角形はぐらつかない。つまり 3 辺が決まれば角は勝手に決まる。公式3はその「勝手に決まる角」を計算で取り出す式です。

$\cos A$ を求めたあとは、第2章の「$\cos$ の値から角を求めると 1 つに決まる」（公式5）を思い出してください。$\sin$ と違って、$\cos$ からなら鋭角か鈍角かで迷うことがありません。

3 辺が分かれば公式3で $\cos$ の値が出て、角が 1 つに決まる。その符号が正なら鋭角、負なら鈍角で、三平方の定理の「$=$」を「$<$」「$>$」に広げたものと見なせるということです。

例題3：3 辺から角を求め、三角形の形を判定する

(1) 三角形 $ABC$ で $a$${}= 7$，$b$${}= 3$，$c$${}= 5$ のとき、$A$ を求めなさい。

(2) 3 辺の長さが $4$，$5$，$6$ の三角形は、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれかを定めなさい。

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【解答】

(1) 公式3より

$\displaystyle \cos A$$\displaystyle {}= \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5}$$\displaystyle {}= \frac{9 + 25 - 49}{30}$$\displaystyle {}= \frac{-15}{30}$$\displaystyle {}= -\frac{1}{2}$

$0^\circ$${}< A$${}< 180^\circ$ で $\cos A$${}= -\dfrac{1}{2}$ となるのは $A$${}= \underline{120^\circ}$。

（例題2の (2) で作った三角形を、逆にたどったことになります。）

(2) 最大の辺 $6$ の向かいの角を $\theta$ とすると

$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5}$$\displaystyle {}= \frac{16 + 25 - 36}{40}$$\displaystyle {}= \frac{5}{40}$$\displaystyle {}> 0$

最大の角が鋭角なので、この三角形は鋭角三角形です。

$$\underline{\text{鋭角三角形}}$$

角の大きさそのものは三角定規の角ではないので出せませんが、符号だけなら分子の $6^2$ と $4^2$${}+ 5^2$ の大小比較（$36$${}< 41$）で決まります。

三角形の決定——どの情報がそろえば三角形は 1 つに決まるか

中学で学んだ三角形の合同条件は「3 辺」「2 辺とその間の角」「1 辺とその両端の角」の 3 つでした。合同条件とは「その情報で三角形が 1 つに決まる」という意味ですから、正弦定理・余弦定理を使えば、これらの情報から残りの辺と角を実際に計算できます。

公式4：三角形の決定と定理の使い分け

分かっている情報	使う定理	三角形は決まるか
1 辺と 2 角（例：$a$，$B$，$C$）	残りの角は $180^\circ$ から引く → 正弦定理	1 つに決まる
2 辺とその間の角（例：$b$，$c$，$A$）	余弦定理で $a$ → 公式3で角	1 つに決まる
3 辺	余弦定理（公式3）で角	1 つに決まる
2 辺と一方の対角（例：$a$，$b$，$A$）	正弦定理で $\sin B$	$B$ が 2 つになることがある

最後の行は合同条件に入っていません。$\sin B$ の値から $B$ を求めると、第2章のとおり $B$ と $180^\circ - B$ の 2 つが候補になるためです。候補それぞれについて $A$${}+ B$${}< 180^\circ$ かどうかを確かめ、成り立つものだけを採用します。

三角形を注文するときの注文書を想像してください。「辺 $5$ と辺 $7$、その間の角 $60^\circ$」と書けば、職人はただ 1 つの三角形を届けてくれます。ところが「辺 $5$ と辺 $7$、辺 $5$ の向かいの角 $40^\circ$」だと、条件を満たす三角形が 2 種類作れることがあり、どちらを届けるか決まりません。注文書に何を書けば 1 つに決まるか——それが「三角形の決定」です。

使い分けの目安は単純で、角が 2 つ分かっているなら正弦定理、辺が 2 つ以上と間の角なら余弦定理です。

「1 辺 2 角」「2 辺と間の角」「3 辺」のどれかが分かれば三角形は 1 つに決まり、正弦定理か余弦定理で残りを計算できる。「2 辺と対角」だけは答えが 2 つになりうるので、候補を両方確かめる必要があるということです。

例題4：2 辺と対角——答えが 2 つになる場合

三角形 $ABC$ で $a$${}= \sqrt{2}$，$b$${}= 2$，$A$${}= 30^\circ$ のとき、$B$ と $C$ を求めなさい。

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【解答】

正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}$${}= \dfrac{b}{\sin B}$ より

$\displaystyle \sin B$$\displaystyle {}= \frac{b\sin A}{a}$$\displaystyle {}= \frac{2 \cdot \dfrac{1}{2}}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0^\circ$${}< B$${}< 180^\circ$ でこれを満たすのは $B$${}= 45^\circ$ と $B$${}= 135^\circ$ の 2 つです。どちらも $A$${}+ B$${}< 180^\circ$（$30^\circ + 45^\circ$${}= 75^\circ$，$30^\circ + 135^\circ$${}= 165^\circ$）なので、両方とも三角形として成り立ちます。

• $B$${}= 45^\circ$ のとき $C$${}= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ$${}= 105^\circ$
• $B$${}= 135^\circ$ のとき $C$${}= 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ$${}= 15^\circ$

$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(B,\ C) = (45^\circ,\ 105^\circ),}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\ (135^\circ,\ 15^\circ)}$

$a$${}< b$ なので、$a$ の向かいの角 $A$ より $B$ のほうが大きい。$45^\circ$ も $135^\circ$ も $30^\circ$ より大きいので、どちらも捨てられません。もし $a$${}> b$ なら $B$${}< A$ が必要なので、鈍角のほうは自動的に消えます。

辺の比は sin の比——正弦定理と余弦定理を組み合わせる

正弦定理 $a$${}= 2R\sin A$，$b$${}= 2R\sin B$，$c$${}= 2R\sin C$ から、$2R$ を消すと辺の比と $\sin$ の比が一致することが分かります。

公式5：辺の比と sin の比

$\displaystyle a : b : c$$\displaystyle {}= \sin A : \sin B : \sin C$

$\sin A : \sin B : \sin C$${}= p : q : r$ が与えられたら、$a$${}= pk$，$b$${}= qk$，$c$${}= rk$（$k$${}> 0$）とおいて余弦定理（公式3）に代入すれば、$k$ は約分で消えて角が求まります。

「正弦定理で辺の比に直し、余弦定理で角を出す」という 2 段構えは、入試でもよく出る型です。正弦定理は「辺 ⇔ $\sin$」の翻訳係、余弦定理は「3 辺 ⇔ 角」の計算係、と役割を分けて考えると見通しがよくなります。

$\sin$ の比は辺の比と同じなので、$\sin$ の比が分かったら辺を $pk,$$\ qk,$$\ rk$ とおいて余弦定理に持ち込めばよいということです。

例題5：sin の比から角を求める

三角形 $ABC$ で $\sin A : \sin B : \sin C$${}= 5 : 7 : 8$ のとき、$B$ を求めなさい。

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【解答】

公式5より $a : b : c$${}= 5 : 7 : 8$ なので、$a$${}= 5k$，$b$${}= 7k$，$c$${}= 8k$（$k$${}> 0$）とおけます。公式3より

$\displaystyle \cos B$$\displaystyle {}= \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$$\displaystyle {}= \frac{64k^2 + 25k^2 - 49k^2}{2 \cdot 8k \cdot 5k}$$\displaystyle {}= \frac{40k^2}{80k^2}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}$

したがって $B$${}= \underline{60^\circ}$。

$k$ は分子・分母の両方に $k^2$ として現れて消えるので、実際には $a$${}= 5$，$b$${}= 7$，$c$${}= 8$ と置いて計算しても同じ結果になります。