目次 ／ 三角比と三角関数 ／ 数学I

第2章　三角比の拡張（鈍角の三角比）

—— 直角三角形を「半径 1 の円」に置きかえる ——

第1章の三角比は、直角三角形の角なので 0° と 90° の間でしか考えられませんでした。この章では、半径 1 の円（単位円）の上の点の座標を使って定義を広げ、90° より大きい鈍角や、0°・90°・180° の三角比も扱えるようにします。値が負になることがある、というのがいちばんの変化です。角度は引き続き「度」で表します。

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未回答 25× 0○ 01か月定着 0

単位円で三角比を定義し直す

第1章の三角比は「直角三角形の辺の比」でした。ところが直角三角形の角は、直角を除くと必ず 90∘90^\circ より小さくなります。sin⁡120∘\sin 120^\circ のような鈍角（90∘90^\circ より大きい角）の三角比は、あの定義では作れません。

そこで、直角三角形の代わりに円を使います。原点 O\mathrm{O} を中心とする半径 11 の円を単位円といいます。xx 軸の正の部分にある点 A(1, 0)\mathrm{A}(1,\ 0) から、円に沿って反時計回りに角 θ\theta だけ進んだ点を P\mathrm{P} とします。

x y 1 −1 1 A(1, 0) P(cos θ, sin θ) θ sin θ cos θ（負） 図は θ = 120° の例。x 座標が負なので cos θ < 0、y 座標は正なので sin θ > 0

θ\theta が鋭角のとき、P\mathrm{P} から xx 軸に垂線を下ろすと、斜辺 OP\mathrm{OP}=1{}= 1 の直角三角形ができます。このとき第1章の定義から

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=対辺斜辺\displaystyle {}= \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}=P の y 座標1,\displaystyle {}= \frac{\mathrm{P}\ \text{の}\ y\ \text{座標}}{1},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=隣辺斜辺\displaystyle {}= \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}=P の x 座標1\displaystyle {}= \frac{\mathrm{P}\ \text{の}\ x\ \text{座標}}{1}

つまり、斜辺を 11 にしておけば、三角比は点 P\mathrm{P} の座標そのものです。この見方なら θ\theta が 90∘90^\circ を超えても、点 P\mathrm{P} は円の上にちゃんとあるので座標が読めます。これを新しい定義にします。

公式1：単位円による三角比の定義

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ とする。単位円上で A(1, 0)\mathrm{A}(1,\ 0) から角 θ\theta だけ進んだ点を P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とするとき

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=y,\displaystyle {}= y,cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=x,\displaystyle {}= x,tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=yx\displaystyle {}= \frac{y}{x}(x≠0)\displaystyle (x \neq 0)
  • 0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ では、第1章の「辺の比」の定義とまったく同じ値になります。
  • θ\theta=90∘{}= 90^\circ では xx=0{}= 0 なので、tan⁡90∘\tan 90^\circ は定義しません（00 で割れないため）。

観覧車を思い浮かべてください。ゴンドラは半径 11 の円を回っていて、乗った場所（右端）から角 θ\theta だけ回った位置にいます。「今どれくらいの高さにいるか」が sin⁡θ\sin\theta、「中心から見て左右どちらにどれだけずれているか」が cos⁡θ\cos\theta です。てっぺんを過ぎて左側に来れば、「左右のずれ」は負の数で表すしかありません。それが鈍角の cos⁡\cos が負になる理由です。

三角比を「単位円上の点の座標」と定義し直せば、0∘0^\circ から 180∘180^\circ までの角に対して sin⁡\sin・cos⁡\cos・tan⁡\tan の値が決まるということです。

例題1：単位円から鈍角の三角比を読む

sin⁡120∘\sin 120^\circ，cos⁡120∘\cos 120^\circ，tan⁡120∘\tan 120^\circ の値を求めなさい。

【解答】

単位円上で 120∘120^\circ の点 P\mathrm{P} から xx 軸に垂線を下ろすと、P\mathrm{P} と原点と垂線の足で直角三角形ができます。この三角形の原点の角は 180∘−120∘180^\circ - 120^\circ=60∘{}= 60^\circ、斜辺は 11 なので、垂線の長さは sin⁡60∘\sin 60^\circ=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}、底の長さは cos⁡60∘\cos 60^\circ=12{}= \dfrac{1}{2} です。

P\mathrm{P} は yy 軸の左側にあるので、xx 座標は負になります。

P(−12, 32)\mathrm{P}\left(-\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

したがって

sin⁡120∘\displaystyle \sin 120^\circ=32‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}},cos⁡120∘\displaystyle \cos 120^\circ=−12‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}},tan⁡120∘\displaystyle \tan 120^\circ=32÷(−12)\displaystyle {}= \frac{\sqrt{3}}{2} \div \left(-\frac{1}{2}\right)=−3‾\displaystyle {}= \underline{-\sqrt{3}}

「三角定規で大きさを出し、位置で符号を決める」の 2 段階で求めます。

0°・90°・180° の三角比と、値の符号

単位円の定義なら、直角三角形では扱えなかった 0∘0^\circ・90∘90^\circ・180∘180^\circ の三角比も、点の座標を読むだけで決まります。

公式2：0°・90°・180° の三角比と符号
θ\theta0∘0^\circ90∘90^\circ180∘180^\circ
点 P\mathrm{P}(1, 0)(1,\ 0)(0, 1)(0,\ 1)(−1, 0)(-1,\ 0)
sin⁡θ\sin\theta001100
cos⁡θ\cos\theta1100−1-1
tan⁡θ\tan\theta00なし00

値の符号は、点 P\mathrm{P} の位置で決まります。

0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ（鋭角）90∘<θ<180∘90^\circ < \theta < 180^\circ（鈍角）
sin⁡θ\sin\theta++++
cos⁡θ\cos\theta++−-
tan⁡θ\tan\theta++−-

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ では P\mathrm{P} は xx 軸より上（または xx 軸上）にあるので、sin⁡θ\sin\theta が負になることはありません。

時計の文字盤で、3 時の位置から反時計回りに針を回すイメージです。針の先が 12 時を過ぎると、文字盤の中心から見て西側に入ります。高さ（sin⁡\sin）はまだプラスのままですが、東西の位置（cos⁡\cos）は西＝マイナスに切り替わる。tan⁡\tan は「高さ ÷ 東西の位置」なので、分母が負になった瞬間に tan⁡\tan も負になります。

第1章では「三角比はすべて正」と書きました。それは角を鋭角に限っていたからです。範囲を広げた今は、cos⁡\cos と tan⁡\tan は 90∘90^\circ を境に符号が変わると覚え直してください。

sin⁡\sin は 0∘0^\circ〜180∘180^\circ の全体で 00 以上、cos⁡\cos と tan⁡\tan は鈍角で負になる。符号は「点 P\mathrm{P} が yy 軸の左右どちらにあるか」で決まるということです。

例題2：符号の判定と 0°・90°・180° の値

次の値を求めなさい。

(1) sin⁡90∘+cos⁡180∘\displaystyle \text{(1)}\ \sin 90^\circ + \cos 180^\circ(2) cos⁡0∘⋅sin⁡180∘\displaystyle \text{(2)}\ \cos 0^\circ \cdot \sin 180^\circ(3) cos⁡100∘ と tan⁡100∘ の符号\displaystyle \text{(3)}\ \cos 100^\circ\ \text{と}\ \tan 100^\circ\ \text{の符号}

【解答】

(1) sin⁡90∘\sin 90^\circ=1{}= 1，cos⁡180∘\cos 180^\circ=−1{}= -1 なので

sin⁡90∘+cos⁡180∘\displaystyle \sin 90^\circ + \cos 180^\circ=1\displaystyle {}= 1+(−1)\displaystyle {}+ (-1)=0‾\displaystyle {}= \underline{0}

(2) cos⁡0∘\cos 0^\circ=1{}= 1，sin⁡180∘\sin 180^\circ=0{}= 0 なので

cos⁡0∘⋅sin⁡180∘\displaystyle \cos 0^\circ \cdot \sin 180^\circ=1⋅0\displaystyle {}= 1 \cdot 0=0‾\displaystyle {}= \underline{0}

(3) 100∘100^\circ は鈍角なので、点 P\mathrm{P} は yy 軸の左側にあります。xx 座標が負なので cos⁡100∘\cos 100^\circ は負、tan⁡100∘\tan 100^\circ=yx{}= \dfrac{y}{x} は正÷負で負です。

cos⁡100∘<0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\cos 100^\circ < 0,}tan⁡100∘<0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\quad \tan 100^\circ < 0}

180°−θ の三角比

例題1で sin⁡120∘\sin 120^\circ=sin⁡60∘{}= \sin 60^\circ，cos⁡120∘\cos 120^\circ=−cos⁡60∘{}= -\cos 60^\circ になりました。これは偶然ではありません。単位円上で角 θ\theta の点 P\mathrm{P} と、角 180∘−θ180^\circ - \theta の点 Q\mathrm{Q} は、yy 軸について対称の位置にあるからです。

x y P(cos θ, sin θ) Q(−cos θ, sin θ) θ 180° − θ 高さは同じ P と Q は y 軸について対称。sin は等しく、cos と tan は符号が逆になる
公式3：180°−θ の三角比
sin⁡(180∘−θ)\displaystyle \sin(180^\circ - \theta)=sin⁡θ,\displaystyle {}= \sin\theta,cos⁡(180∘−θ)\displaystyle \cos(180^\circ - \theta)=−cos⁡θ,\displaystyle {}= -\cos\theta,tan⁡(180∘−θ)\displaystyle \tan(180^\circ - \theta)=−tan⁡θ\displaystyle {}= -\tan\theta

P(cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta) を yy 軸で折り返した点が Q(−cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{Q}(-\cos\theta,\ \sin\theta) になるためです。

鏡の前に立つ場面を想像してください。鏡の中の自分は、背の高さは同じですが、左右だけが入れ替わっています。単位円で yy 軸を鏡とみなせば、P\mathrm{P} の鏡像が Q\mathrm{Q} です。高さ（sin⁡\sin）はそのまま、左右（cos⁡\cos）は符号が逆——それが公式3の中身です。

第1章の 90∘−θ90^\circ - \theta の公式と並べると、違いがはっきりします。

公式sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
90∘−θ90^\circ - \theta（第1章）cos⁡θ\cos\thetasin⁡θ\sin\theta1tan⁡θ\dfrac{1}{\tan\theta}
180∘−θ180^\circ - \theta（この章）sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ-\cos\theta−tan⁡θ-\tan\theta

90∘−θ90^\circ - \theta は「sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わる」、180∘−θ180^\circ - \theta は「入れ替わらないが cos⁡\cos・tan⁡\tan に負がつく」です。この公式を使えば、鈍角の三角比はすべて鋭角の三角比に直せます。三角比の表が 0∘0^\circ から 90∘90^\circ までしか無くても困りません。

θ\theta と 180∘−θ180^\circ - \theta は yy 軸対称なので、sin⁡\sin は等しく、cos⁡\cos と tan⁡\tan は符号だけが逆になるということです。

例題3：180°−θ の公式で鋭角に直す

次の三角比を鋭角の三角比で表しなさい。また、(3) の値を求めなさい。

(1) sin⁡160∘\displaystyle \text{(1)}\ \sin 160^\circ(2) cos⁡100∘\displaystyle \text{(2)}\ \cos 100^\circ(3) tan⁡135∘\displaystyle \text{(3)}\ \tan 135^\circ

【解答】

(1) 160∘160^\circ=180∘−20∘{}= 180^\circ - 20^\circ なので

sin⁡160∘\displaystyle \sin 160^\circ=sin⁡(180∘−20∘)\displaystyle {}= \sin(180^\circ - 20^\circ)=sin⁡20∘‾\displaystyle {}= \underline{\sin 20^\circ}

(2) 100∘100^\circ=180∘−80∘{}= 180^\circ - 80^\circ なので

cos⁡100∘\displaystyle \cos 100^\circ=cos⁡(180∘−80∘)\displaystyle {}= \cos(180^\circ - 80^\circ)=−cos⁡80∘‾\displaystyle {}= \underline{-\cos 80^\circ}

(3) 135∘135^\circ=180∘−45∘{}= 180^\circ - 45^\circ なので

tan⁡135∘\displaystyle \tan 135^\circ=tan⁡(180∘−45∘)\displaystyle {}= \tan(180^\circ - 45^\circ)=−tan⁡45∘\displaystyle {}= -\tan 45^\circ=−1‾\displaystyle {}= \underline{-1}

鈍角を見たら「180∘180^\circ から引いて鋭角にする」。cos⁡\cos と tan⁡\tan にはマイナスを忘れずにつけます。

相互関係は 0°〜180° でも成り立つ

第1章の相互関係の公式は、角の範囲を広げてもそのまま使えます。

公式4：相互関係（0°≦θ≦180°）
(1) sin⁡2θ\displaystyle \text{(1)}\ \sin^2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1(2) tan⁡θ\displaystyle \text{(2)}\ \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(3) 1\displaystyle \text{(3)}\ 1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}
  • (1) は「点 P(cos⁡θ, sin⁡θ)\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta) が単位円 x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1 の上にある」という事実そのものです。
  • (2)，(3) は θ\theta≠90∘{}\neq 90^\circ のときに成り立ちます。

ただし、使い方に 1 つ注意が要ります。第1章の例題3では「cos⁡θ\cos\theta>0{}> 0 なので」と書いて、cos⁡2θ\cos^2\theta=1625{}= \dfrac{16}{25} から cos⁡θ\cos\theta=45{}= \dfrac{4}{5} だけを採用しました。角が鋭角と分かっていたから負を捨てられたのです。

角の範囲が 0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ に広がると、cos⁡θ\cos\theta は正にも負にもなりえます。したがって

sin⁡θ\sin\theta の値からは θ\theta が鋭角か鈍角か判別できない（yy 軸対称の 2 点が同じ高さにある）ので、問題文の範囲を必ず確認する習慣をつけてください。

相互関係の式は鈍角でも同じ形で使えるが、cos⁡θ\cos\theta や tan⁡θ\tan\theta を求めるときは「符号が決められるか」を範囲から確認しなければならないということです。

例題4：範囲によって答えの数が変わる

sin⁡θ\sin\theta=35{}= \dfrac{3}{5} のとき、cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

(1) 90∘\displaystyle \text{(1)}\ 90^\circ<θ\displaystyle {}< \theta<180∘ のとき\displaystyle {}< 180^\circ\ \text{のとき}(2) 0∘\displaystyle \text{(2)}\ 0^\circ≦θ\displaystyle {}\leqq \theta≦180∘ のとき\displaystyle {}\leqq 180^\circ\ \text{のとき}

【解答】

どちらの場合も、まず sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 から

cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1−925\displaystyle {}- \frac{9}{25}=1625\displaystyle {}= \frac{16}{25}

(1) θ\theta は鈍角なので cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0。よって

cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=−45‾,\displaystyle {}= \underline{-\frac{4}{5}},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=35÷(−45)\displaystyle {}= \frac{3}{5} \div \left(-\frac{4}{5}\right)=−34‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{3}{4}}

(2) θ\theta が鋭角か鈍角か分からないので、cos⁡θ\cos\theta は正・負の両方がありえます。

cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=45 のとき tan⁡θ\displaystyle {}= \frac{4}{5}\ \text{のとき}\ \tan\theta=34,\displaystyle {}= \frac{3}{4},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=−45 のとき tan⁡θ\displaystyle {}= -\frac{4}{5}\ \text{のとき}\ \tan\theta=−34\displaystyle {}= -\frac{3}{4}(cos⁡θ, tan⁡θ)=(45, 34),‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}(\cos\theta,\ \tan\theta) = \left(\frac{4}{5},\ \frac{3}{4}\right),} (−45, −34)‾\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ \left(-\frac{4}{5},\ -\frac{3}{4}\right)}

第1章とまったく同じ数値なのに、範囲が違うだけで答えの数が変わります。cos⁡\cos の符号と tan⁡\tan の符号は連動する（sin⁡\sin>0{}> 0 なので）ことにも注意してください。

三角比の値から角を求める

ここまでは「角 → 三角比の値」でした。逆に「三角比の値 → 角」を求める問題も、単位円を描けば解けます。

公式5：三角比の値から角を求める手順

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ の範囲で

  • sin⁡θ\sin\theta=k{}= k ⇒ 単位円と直線 yy=k{}= k の交点を探す（00<k{}< k<1{}< 1 なら交点は 2 つ、θ\theta と 180∘−θ180^\circ - \theta）。
  • cos⁡θ\cos\theta=k{}= k ⇒ 単位円と直線 xx=k{}= k の交点を探す（−1-1≦k{}\leqq k≦1{}\leqq 1 なら交点は 1 つ）。
  • tan⁡θ\tan\theta=k{}= k ⇒ 直線 xx=1{}= 1 上の点 (1, k)(1,\ k) と原点を結ぶ直線が、単位円と交わる点を探す（交点は 1 つ）。

いずれも、まず値の大きさから三角定規の角（30∘30^\circ，45∘45^\circ，60∘60^\circ）を思い出し、符号で鋭角か鈍角かを決めます。

観覧車のゴンドラで「高さがちょうど半分」の場所は、上りの途中と下りの途中の 2 か所あります。これが sin⁡θ\sin\theta=12{}= \dfrac{1}{2} の解が 2 つある理由です。いっぽう「中心から左右にどれだけずれているか」は、上半分の円の中では 1 か所にしか対応しません。だから cos⁡\cos から角を求めると答えは 1 つです。

sin⁡\sin の値から角を求めると θ\theta と 180∘−θ180^\circ - \theta の 2 つ、cos⁡\cos・tan⁡\tan の値からなら 1 つに決まるということです。

例題5：三角比の値を満たす角を求める

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき、次の等式を満たす θ\theta を求めなさい。

(1) sin⁡θ\displaystyle \text{(1)}\ \sin\theta=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}(2) cos⁡θ\displaystyle \text{(2)}\ \cos\theta=−32\displaystyle {}= -\frac{\sqrt{3}}{2}(3) tan⁡θ\displaystyle \text{(3)}\ \tan\theta=−1\displaystyle {}= -1

【解答】

(1) 単位円と直線 yy=12{}= \dfrac{1}{2} の交点は 2 つあります。sin⁡30∘\sin 30^\circ=12{}= \dfrac{1}{2} なので、鋭角のほうは 30∘30^\circ、鈍角のほうは 180∘−30∘180^\circ - 30^\circ=150∘{}= 150^\circ です。

θ\displaystyle \theta=30∘,‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}30^\circ,} 150∘‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\ 150^\circ}

(2) 単位円と直線 xx=−32{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} の交点は、yy 軸の左側に 1 つだけあります。cos⁡30∘\cos 30^\circ=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} なので、公式3から cos⁡150∘\cos 150^\circ=−32{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} です。

θ\displaystyle \theta=150∘‾\displaystyle {}= \underline{150^\circ}

(3) tan⁡θ\tan\theta<0{}< 0 なので θ\theta は鈍角です。tan⁡45∘\tan 45^\circ=1{}= 1 なので、tan⁡(180∘−45∘)\tan(180^\circ - 45^\circ)=−1{}= -1 より

θ\displaystyle \theta=135∘‾\displaystyle {}= \underline{135^\circ}

sin⁡\sin だけ答えが 2 つになることを忘れると、解を 1 つ落としてしまいます。必ず単位円を描いて交点の数を確かめましょう。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

sin⁡150∘\sin 150^\circ を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

12‾\underline{\dfrac{1}{2}}（150∘150^\circ=180∘−30∘{}= 180^\circ - 30^\circ で sin⁡\sin は変わらない）

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問2

cos⁡135∘\cos 135^\circ を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−22‾\underline{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}（135∘135^\circ の点は yy 軸の左側なので xx 座標が負）

自己採点：
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問3

tan⁡120∘\tan 120^\circ を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−3‾\underline{-\sqrt{3}}（tan⁡120∘\tan 120^\circ=−tan⁡60∘{}= -\tan 60^\circ）

自己採点：
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問4

sin⁡180∘\sin 180^\circ と cos⁡90∘\cos 90^\circ を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡180∘\sin 180^\circ=0‾{}= \underline{0}，cos⁡90∘\cos 90^\circ=0‾{}= \underline{0}（点 (−1, 0)(-1,\ 0) の yy 座標、点 (0, 1)(0,\ 1) の xx 座標）

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問5

cos⁡150∘\cos 150^\circ を鋭角の三角比で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

−cos⁡30∘‾\underline{-\cos 30^\circ}（cos⁡(180∘−θ)\cos(180^\circ - \theta)=−cos⁡θ{}= -\cos\theta）

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

単位円上で 135∘135^\circ に対応する点 P\mathrm{P} の座標を求め、それを用いて sin⁡135∘\sin 135^\circ，cos⁡135∘\cos 135^\circ，tan⁡135∘\tan 135^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

P(−22, 22),\mathrm{P}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),sin⁡135∘\sin 135^\circ=22,{}= \dfrac{\sqrt{2}}{2},cos⁡135∘\cos 135^\circ=−22,{}= -\dfrac{\sqrt{2}}{2},tan⁡135∘\tan 135^\circ=−1{}= -1

解説

P\mathrm{P} から xx 軸に垂線を下ろすと、原点の角が 180∘−135∘180^\circ - 135^\circ=45∘{}= 45^\circ、斜辺 11 の直角三角形ができます。1:1:21:1:\sqrt{2} の三角定規なので、垂線の長さと底の長さはどちらも 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} です。

P\mathrm{P} は yy 軸の左側にあるので xx 座標は負になり

P(−22, 22)\mathrm{P}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) sin⁡135∘\displaystyle \sin 135^\circ=22‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{2}}{2}},cos⁡135∘\displaystyle \cos 135^\circ=−22‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}

tan⁡\tan は yy 座標 ÷\div xx 座標なので

tan⁡135∘\displaystyle \tan 135^\circ=22÷(−22)\displaystyle {}= \frac{\sqrt{2}}{2} \div \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=−1‾\displaystyle {}= \underline{-1}
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問2　★

sin⁡150∘\sin 150^\circ，cos⁡150∘\cos 150^\circ，tan⁡150∘\tan 150^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

sin⁡150∘\sin 150^\circ=12,{}= \dfrac{1}{2},cos⁡150∘\cos 150^\circ=−32,{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2},tan⁡150∘\tan 150^\circ=−33{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}

解説

150∘150^\circ=180∘−30∘{}= 180^\circ - 30^\circ なので、大きさは 30∘30^\circ の三角比と同じで、cos⁡\cos と tan⁡\tan に負がつきます。

sin⁡150∘\displaystyle \sin 150^\circ=sin⁡30∘\displaystyle {}= \sin 30^\circ=12‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}},cos⁡150∘\displaystyle \cos 150^\circ=−cos⁡30∘\displaystyle {}= -\cos 30^\circ=−32‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{2}} tan⁡150∘\displaystyle \tan 150^\circ=−tan⁡30∘\displaystyle {}= -\tan 30^\circ=−13\displaystyle {}= -\frac{1}{\sqrt{3}}=−33‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{3}}
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問3　★

sin⁡110∘\sin 110^\circ，cos⁡110∘\cos 110^\circ，tan⁡110∘\tan 110^\circ，cos⁡80∘\cos 80^\circ のそれぞれについて、正か負かを定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡110∘\sin 110^\circ>0,{}> 0,cos⁡110∘\cos 110^\circ<0,{}< 0,tan⁡110∘\tan 110^\circ<0,{}< 0,cos⁡80∘\cos 80^\circ>0{}> 0

解説

110∘110^\circ は鈍角なので、単位円上の点は yy 軸の左上にあります。yy 座標は正、xx 座標は負です。

sin⁡110∘\displaystyle \sin 110^\circ>0,\displaystyle {}> 0,cos⁡110∘\displaystyle \cos 110^\circ<0,\displaystyle {}< 0,tan⁡110∘\displaystyle \tan 110^\circ=(+)(−)\displaystyle {}= \frac{(+)}{(-)}<0\displaystyle {}< 0

80∘80^\circ は鋭角なので、点は yy 軸の右側にあり cos⁡80∘\cos 80^\circ>0{}> 0 です。

sin⁡110∘>0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\sin 110^\circ > 0,}cos⁡110∘<0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\quad \cos 110^\circ < 0,}tan⁡110∘<0,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\quad \tan 110^\circ < 0,}cos⁡80∘>0‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\quad \cos 80^\circ > 0}
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問4　★

sin⁡0∘cos⁡180∘+sin⁡90∘cos⁡0∘\sin 0^\circ \cos 180^\circ + \sin 90^\circ \cos 0^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

11

解説

sin⁡0∘\sin 0^\circ=0{}= 0，cos⁡180∘\cos 180^\circ=−1{}= -1，sin⁡90∘\sin 90^\circ=1{}= 1，cos⁡0∘\cos 0^\circ=1{}= 1 なので

sin⁡0∘cos⁡180∘+sin⁡90∘cos⁡0∘\displaystyle \sin 0^\circ \cos 180^\circ + \sin 90^\circ \cos 0^\circ=0⋅(−1)\displaystyle {}= 0 \cdot (-1)+1⋅1\displaystyle {}+ 1 \cdot 1=1‾\displaystyle {}= \underline{1}
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問5　★

sin⁡140∘\sin 140^\circ，cos⁡170∘\cos 170^\circ，tan⁡155∘\tan 155^\circ を、それぞれ鋭角の三角比で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡140∘\sin 140^\circ=sin⁡40∘,{}= \sin 40^\circ,cos⁡170∘\cos 170^\circ=−cos⁡10∘,{}= -\cos 10^\circ,tan⁡155∘\tan 155^\circ=−tan⁡25∘{}= -\tan 25^\circ

解説

140∘140^\circ=180∘−40∘{}= 180^\circ - 40^\circ，170∘170^\circ=180∘−10∘{}= 180^\circ - 10^\circ，155∘155^\circ=180∘−25∘{}= 180^\circ - 25^\circ なので

sin⁡140∘=sin⁡40∘,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\sin 140^\circ = \sin 40^\circ,}cos⁡170∘=−cos⁡10∘,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\qquad \cos 170^\circ = -\cos 10^\circ,}tan⁡155∘=−tan⁡25∘‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\qquad \tan 155^\circ = -\tan 25^\circ}

sin⁡\sin はそのまま、cos⁡\cos と tan⁡\tan にはマイナスがつきます。

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問6　★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき、sin⁡θ\sin\theta=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} を満たす θ\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

θ\theta=60∘,{}= 60^\circ, 120∘\ 120^\circ

解説

単位円と直線 yy=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} の交点は 2 つあります。sin⁡60∘\sin 60^\circ=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} なので、鋭角のほうは 60∘60^\circ、鈍角のほうは 180∘−60∘180^\circ - 60^\circ=120∘{}= 120^\circ です。

θ\displaystyle \theta=60∘,‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}60^\circ,} 120∘‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\ 120^\circ}
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問7　★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき、cos⁡θ\cos\theta=−12{}= -\dfrac{1}{2} を満たす θ\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

θ\theta=120∘{}= 120^\circ

解説

単位円と直線 xx=−12{}= -\dfrac{1}{2} の交点は、yy 軸の左側に 1 つだけあります。cos⁡60∘\cos 60^\circ=12{}= \dfrac{1}{2} なので、cos⁡(180∘−60∘)\cos(180^\circ - 60^\circ)=−12{}= -\dfrac{1}{2} より

θ\displaystyle \theta=120∘‾\displaystyle {}= \underline{120^\circ}
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問8　★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき、tan⁡θ\tan\theta=−3{}= -\sqrt{3} を満たす θ\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

θ\theta=120∘{}= 120^\circ

解説

tan⁡θ\tan\theta<0{}< 0 なので θ\theta は鈍角です。tan⁡60∘\tan 60^\circ=3{}= \sqrt{3} なので、tan⁡(180∘−60∘)\tan(180^\circ - 60^\circ)=−3{}= -\sqrt{3} より

θ\displaystyle \theta=120∘‾\displaystyle {}= \underline{120^\circ}
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問9　★★

90∘90^\circ<θ{}< \theta<180∘{}< 180^\circ で cos⁡θ\cos\theta=−13{}= -\dfrac{1}{3} のとき、sin⁡θ\sin\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=223,{}= \dfrac{2\sqrt{2}}{3},tan⁡θ\tan\theta=−22{}= -2\sqrt{2}

解説

sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 より

sin⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta=1\displaystyle {}= 1−19\displaystyle {}- \frac{1}{9}=89\displaystyle {}= \frac{8}{9}

sin⁡θ\sin\theta>0{}> 0 なので sin⁡θ\sin\theta=83{}= \dfrac{\sqrt{8}}{3}=223‾{}= \underline{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}。

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=223÷(−13)\displaystyle {}= \frac{2\sqrt{2}}{3} \div \left(-\frac{1}{3}\right)=−22‾\displaystyle {}= \underline{-2\sqrt{2}}

sin⁡θ\sin\theta は 0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ の範囲でつねに 00 以上なので、符号に迷いません。

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問10　★★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ で tan⁡θ\tan\theta=−2{}= -2 のとき、cos⁡θ\cos\theta，sin⁡θ\sin\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡θ\cos\theta=−55,{}= -\dfrac{\sqrt{5}}{5},sin⁡θ\sin\theta=255{}= \dfrac{2\sqrt{5}}{5}

解説

tan⁡θ\tan\theta<0{}< 0 なので θ\theta は鈍角であり、cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 です。

11+tan⁡2θ{}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ{}= \dfrac{1}{\cos^2\theta} より

1cos⁡2θ\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta}=1\displaystyle {}= 1+4\displaystyle {}+ 4=5\displaystyle {}= 5⟹cos⁡2θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \cos^2\theta=15\displaystyle {}= \frac{1}{5}

cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 なので cos⁡θ\cos\theta=−15{}= -\dfrac{1}{\sqrt{5}}=−55‾{}= \underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}。

sin⁡θ\sin\theta=tan⁡θcos⁡θ{}= \tan\theta \cos\theta より

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=(−2)⋅(−55)\displaystyle {}= (-2) \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=255‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2\sqrt{5}}{5}}

tan⁡\tan の符号から鋭角か鈍角かが決まるので、cos⁡\cos の符号も 1 つに定まります。

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問11　★★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ で sin⁡θ\sin\theta=23{}= \dfrac{2}{3} のとき、cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(cos⁡θ, tan⁡θ)(\cos\theta,\ \tan\theta)=(53, 255),{}= \left(\dfrac{\sqrt{5}}{3},\ \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right), (−53, −255)\ \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3},\ -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)

解説

cos⁡2θ\cos^2\theta=1{}= 1−49{}- \dfrac{4}{9}=59{}= \dfrac{5}{9}。θ\theta が鋭角か鈍角か分からないので、cos⁡θ\cos\theta は正・負の両方がありえます。

cos⁡θ\cos\theta=53{}= \dfrac{\sqrt{5}}{3} のとき

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=23÷53\displaystyle {}= \frac{2}{3} \div \frac{\sqrt{5}}{3}=25\displaystyle {}= \frac{2}{\sqrt{5}}=255\displaystyle {}= \frac{2\sqrt{5}}{5}

cos⁡θ\cos\theta=−53{}= -\dfrac{\sqrt{5}}{3} のとき

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=−255\displaystyle {}= -\frac{2\sqrt{5}}{5} (cos⁡θ, tan⁡θ)=(53, 255),‾\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}(\cos\theta,\ \tan\theta) = \left(\frac{\sqrt{5}}{3},\ \frac{2\sqrt{5}}{5}\right),} (−53, −255)‾\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\ \left(-\frac{\sqrt{5}}{3},\ -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}

sin⁡\sin の値だけでは鋭角と鈍角が区別できないので、答えは 2 組になります。

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問12　★★

cos⁡20∘\displaystyle \cos 20^{\circ}+cos⁡40∘\displaystyle {}+ \cos 40^{\circ}+cos⁡140∘\displaystyle {}+ \cos 140^{\circ}+cos⁡160∘\displaystyle {}+ \cos 160^\circ

上の式の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

00

解説

足して 180∘180^\circ になる角どうしを組にします。cos⁡160∘\cos 160^\circ=−cos⁡20∘{}= -\cos 20^\circ，cos⁡140∘\cos 140^\circ=−cos⁡40∘{}= -\cos 40^\circ なので

(cos⁡20∘+cos⁡160∘)\displaystyle (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ)+(cos⁡40∘+cos⁡140∘)\displaystyle {}+ (\cos 40^\circ + \cos 140^\circ)=0\displaystyle {}= 0+0\displaystyle {}+ 0=0‾\displaystyle {}= \underline{0}

cos⁡\cos は 180∘−θ180^\circ - \theta で符号が逆になるので、ペアにすると打ち消し合います。

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問13　★★

sin⁡2120∘+cos⁡2150∘+tan⁡2135∘\sin^2 120^\circ + \cos^2 150^\circ + \tan^2 135^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

52\dfrac{5}{2}

解説

sin⁡120∘\sin 120^\circ=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}，cos⁡150∘\cos 150^\circ=−32{}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}，tan⁡135∘\tan 135^\circ=−1{}= -1 なので

(32)2\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+(−32)2\displaystyle {}+ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+(−1)2\displaystyle {}+ (-1)^2=34\displaystyle {}= \frac{3}{4}+34\displaystyle {}+ \frac{3}{4}+1\displaystyle {}+ 1=52‾\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{2}}

2 乗すると符号は消えるので、大きさだけを正しく出せば十分です。

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問14　★★

θ\theta が鈍角で tan⁡θ\tan\theta=−34{}= -\dfrac{3}{4} のとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=35,{}= \dfrac{3}{5},cos⁡θ\cos\theta=−45{}= -\dfrac{4}{5}

解説

11+tan⁡2θ{}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ{}= \dfrac{1}{\cos^2\theta} より

1cos⁡2θ\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta}=1\displaystyle {}= 1+916\displaystyle {}+ \frac{9}{16}=2516\displaystyle {}= \frac{25}{16}⟹cos⁡2θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \cos^2\theta=1625\displaystyle {}= \frac{16}{25}

θ\theta は鈍角なので cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 であり、cos⁡θ\cos\theta=−45‾{}= \underline{-\dfrac{4}{5}}。

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=tan⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \tan\theta \cos\theta=(−34)⋅(−45)\displaystyle {}= \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=35‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{5}}

負×負で sin⁡θ\sin\theta は正になります。sin⁡θ\sin\theta≧0{}\geqq 0 と合っていることを確認しましょう。

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問15　★★

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ のとき、sin⁡(180∘−θ)cos⁡(90∘−θ)\sin(180^\circ - \theta)\cos(90^\circ - \theta)−cos⁡(180∘−θ)sin⁡(90∘−θ){}- \cos(180^\circ - \theta)\sin(90^\circ - \theta) の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

11

解説

sin⁡(180∘−θ)\sin(180^\circ - \theta)=sin⁡θ{}= \sin\theta，cos⁡(90∘−θ)\cos(90^\circ - \theta)=sin⁡θ{}= \sin\theta，cos⁡(180∘−θ)\cos(180^\circ - \theta)=−cos⁡θ{}= -\cos\theta，sin⁡(90∘−θ)\sin(90^\circ - \theta)=cos⁡θ{}= \cos\theta なので

sin⁡θ⋅sin⁡θ\displaystyle \sin\theta \cdot \sin\theta−(−cos⁡θ)⋅cos⁡θ\displaystyle {}- (-\cos\theta) \cdot \cos\theta=sin⁡2θ\displaystyle {}= \sin^2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1‾\displaystyle {}= \underline{1}

90∘−θ90^\circ - \theta は「sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わる」、180∘−θ180^\circ - \theta は「cos⁡\cos に負がつく」。2 つの公式を混同しないことがポイントです。

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問16　★★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき、(1) 2sin⁡θ2\sin\theta−3{}- \sqrt{3}=0{}= 0，(2) 2cos⁡θ\sqrt{2}\cos\theta+1{}+ 1=0{}= 0 のそれぞれを満たす θ\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

(1) θ\theta=60∘,{}= 60^\circ, 120∘\ 120^\circ　(2) θ\theta=135∘{}= 135^\circ

解説

(1) sin⁡θ\sin\theta=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} なので、単位円と直線 yy=32{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} の交点を探すと 2 つあります。

θ\displaystyle \theta=60∘,‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}60^\circ,} 120∘‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\ 120^\circ}

(2) cos⁡θ\cos\theta=−12{}= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}=−22{}= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} なので、単位円と直線 xx=−22{}= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} の交点は 1 つです。cos⁡45∘\cos 45^\circ=22{}= \dfrac{\sqrt{2}}{2} より

θ\displaystyle \theta=180∘−45∘\displaystyle {}= 180^\circ - 45^\circ=135∘‾\displaystyle {}= \underline{135^\circ}
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問17　★★★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ で sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=12{}= \dfrac{1}{2} のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta，sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta=−38,{}= -\dfrac{3}{8},sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta=72,{}= \dfrac{\sqrt{7}}{2},tan⁡θ\tan\theta=−4+73{}= -\dfrac{4 + \sqrt{7}}{3}

解説

sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=12{}= \dfrac{1}{2} の両辺を 2 乗すると

1\displaystyle 1+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta=14\displaystyle {}= \frac{1}{4}⟹sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta\cos\theta=−38‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{3}{8}}

積が負なので、sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta は異符号です。sin⁡θ\sin\theta≧0{}\geqq 0 だから cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0、つまり θ\theta は鈍角です。すると sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta は「正 − 負」で正になります。

(sin⁡θ−cos⁡θ)2\displaystyle (\sin\theta - \cos\theta)^2=1\displaystyle {}= 1−2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}- 2\sin\theta\cos\theta=1\displaystyle {}= 1+34\displaystyle {}+ \frac{3}{4}=74\displaystyle {}= \frac{7}{4}⟹sin⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta−cos⁡θ\displaystyle {}- \cos\theta=72‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{7}}{2}}

和と差から sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta がそれぞれ求まります。

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=12(12+72)\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)=1+74,\displaystyle {}= \frac{1 + \sqrt{7}}{4},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=12(12−72)\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)=1−74\displaystyle {}= \frac{1 - \sqrt{7}}{4} tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=1+71−7\displaystyle {}= \frac{1 + \sqrt{7}}{1 - \sqrt{7}}=(1+7)2(1−7)(1+7)\displaystyle {}= \frac{(1 + \sqrt{7})^2}{(1 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7})}=8+27−6\displaystyle {}= \frac{8 + 2\sqrt{7}}{-6}=−4+73‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{4 + \sqrt{7}}{3}}

第1章では「θ\theta が鋭角だから正」と決めましたが、ここでは積の符号から鈍角だと判定しています。範囲が広がると、こうした符号の推論が答えの一部になります。

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問18　★★★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき、2cos⁡2θ2\cos^2\theta+3sin⁡θ{}+ 3\sin\theta−3{}- 3=0{}= 0 を満たす θ\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

θ\theta=30∘,{}= 30^\circ, 90∘,\ 90^\circ, 150∘\ 150^\circ

解説

cos⁡2θ\cos^2\theta=1{}= 1−sin⁡2θ{}- \sin^2\theta を代入して、sin⁡θ\sin\theta だけの式にします。

2(1−sin⁡2θ)\displaystyle 2(1 - \sin^2\theta)+3sin⁡θ\displaystyle {}+ 3\sin\theta−3\displaystyle {}- 3=0\displaystyle {}= 0⟹2sin⁡2θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 2\sin^2\theta−3sin⁡θ\displaystyle {}- 3\sin\theta+1\displaystyle {}+ 1=0\displaystyle {}= 0 (2sin⁡θ−1)(sin⁡θ−1)\displaystyle (2\sin\theta - 1)(\sin\theta - 1)=0\displaystyle {}= 0⟹sin⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta=12,\displaystyle {}= \frac{1}{2}, 1\displaystyle \ 1

sin⁡θ\sin\theta=12{}= \dfrac{1}{2} より θ\theta=30∘,{}= 30^\circ, 150∘\ 150^\circ。sin⁡θ\sin\theta=1{}= 1 より θ\theta=90∘{}= 90^\circ。

θ\displaystyle \theta=30∘,‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}30^\circ,} 90∘,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\ 90^\circ,} 150∘‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.9186em}\ 150^\circ}

sin⁡\sin の値から角を求めるときは、00<sin⁡θ{}< \sin\theta<1{}< 1 なら解が 2 つ、sin⁡θ\sin\theta=1{}= 1 なら 90∘90^\circ の 1 つ、と数が変わる点に注意します。

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問19　★★★

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ とする。sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta が 2 次方程式 4x24x^2−2(3−1)x{}- 2(\sqrt{3} - 1)x−3{}- \sqrt{3}=0{}= 0 の 2 つの解であるとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta の値と θ\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=32,{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2},cos⁡θ\cos\theta=−12,{}= -\dfrac{1}{2},θ\theta=120∘{}= 120^\circ

解説

左辺を因数分解します。

4x2\displaystyle 4x^2−2(3−1)x\displaystyle {}- 2(\sqrt{3} - 1)x−3\displaystyle {}- \sqrt{3}=(2x−3)(2x+1)\displaystyle {}= (2x - \sqrt{3})(2x + 1)

（展開して確かめると 4x24x^2+2x{}+ 2x−23x{}- 2\sqrt{3}x−3{}- \sqrt{3} で一致します。）よって 2 つの解は

x\displaystyle x=32,\displaystyle {}= \frac{\sqrt{3}}{2}, −12\displaystyle {}\ -\frac{1}{2}

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ では sin⁡θ\sin\theta≧0{}\geqq 0 なので、負の解 −12-\dfrac{1}{2} が sin⁡θ\sin\theta になることはありません。

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=32‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=−12‾\displaystyle {}= \underline{-\frac{1}{2}}

念のため sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=34{}= \dfrac{3}{4}+14{}+ \dfrac{1}{4}=1{}= 1 で、三角比として矛盾がないことも確認できます。cos⁡θ\cos\theta<0{}< 0 なので θ\theta は鈍角で

θ\displaystyle \theta=120∘‾\displaystyle {}= \underline{120^\circ}

「sin⁡θ\sin\theta≧0{}\geqq 0」という範囲の条件が、2 つの解の割り当てを決める鍵になっています。

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問20　★★★

単位円上に点 A(1, 0)\mathrm{A}(1,\ 0) と、∠AOP\angle \mathrm{AOP}=θ{}= \theta（0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ）となる点 P\mathrm{P} をとる（O\mathrm{O} は原点）。線分 AP\mathrm{AP} の長さの 2 乗を cos⁡θ\cos\theta を用いて表しなさい。また、AP\mathrm{AP}=3{}= \sqrt{3} のとき θ\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

AP2\mathrm{AP}^2=2{}= 2−2cos⁡θ,{}- 2\cos\theta,θ\theta=120∘{}= 120^\circ

解説

P\mathrm{P} の座標は (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) です。A\mathrm{A} と P\mathrm{P} の xx 座標の差は 11−cos⁡θ{}- \cos\theta、yy 座標の差は sin⁡θ\sin\theta なので、三平方の定理より

AP2\displaystyle \mathrm{AP}^2=(1−cos⁡θ)2\displaystyle {}= (1 - \cos\theta)^2+sin⁡2θ\displaystyle {}+ \sin^2\theta=1\displaystyle {}= 1−2cos⁡θ\displaystyle {}- 2\cos\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta+sin⁡2θ\displaystyle {}+ \sin^2\theta

sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 を使うと

AP2\displaystyle \mathrm{AP}^2=2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7777em}2}−2cos⁡θ‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7777em}{}- 2\cos\theta}

AP\mathrm{AP}=3{}= \sqrt{3} のとき AP2\mathrm{AP}^2=3{}= 3 なので

2\displaystyle 2−2cos⁡θ\displaystyle {}- 2\cos\theta=3\displaystyle {}= 3⟹cos⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \cos\theta=−12\displaystyle {}= -\frac{1}{2} θ\displaystyle \theta=120∘‾\displaystyle {}= \underline{120^\circ}

「2 辺が 11 で、はさむ角が θ\theta の三角形の残りの辺」を求めたことになります。この式を一般の辺の長さに広げたものが、第3章で学ぶ余弦定理です。

自己採点：
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数学小話コーナー

観覧車の影は「波」を描く

この章で三角比を単位円の座標として定義し直したのには、先を見据えた理由があります。単位円を回る点の yy 座標、つまり sin⁡θ\sin\theta を、角 θ\theta を横軸にして描いてみると、0∘0^\circ で 00、90∘90^\circ で 11、180∘180^\circ で 00 に戻る、なだらかな山ができます。これが sin⁡\sin のグラフ（サインカーブ）の最初の半分です。

夕方の観覧車を横から眺めていると、ゴンドラの影が地面の上を行ったり来たりします。ゴンドラは円を描いているのに、影は一直線上を「ゆっくり → 速く → ゆっくり」と往復する。この往復の動きが、まさに sin⁡\sin や cos⁡\cos の値の変化です。

豆知識

音の波、交流の電気、振り子の揺れ、ばねの伸び縮み——「くり返す動き」の多くは、この円運動の影として表せます。直角三角形の辺の比だった三角比が、単位円を経由することで「波の言葉」に変わるのです。第7章でグラフを描くとき、この章の単位円が土台になります。

2000 年前の「弦の表」は 180° まであった

2 世紀のアレクサンドリアの天文学者プトレマイオスは、著書『アルマゲスト』に「弦の表」を載せました。円の中心角に対して、その角が切り取る弦（円周上の 2 点を結ぶ線分）の長さを、0.5∘0.5^\circ 刻みで 180∘180^\circ まで計算した表です。惑星や月の位置を予測するための道具でした。

弦の長さは、単位円でいえば中心角の半分の sin⁡\sin を 2 倍したものにあたります。つまり古代の天文学者は、この章で扱った「0∘0^\circ から 180∘180^\circ までの三角比」に相当する数値を、すでに手計算で持っていたことになります。直角三角形の辺の比ではなく円から出発したのは、天体が円を描いて動くと考えられていたからです。

豆知識

弦の表を作るために、プトレマイオスは「半角の弦」や「2 つの角の和・差の弦」を求める公式を導いています。これは第9章・第10章で学ぶ加法定理や半角の公式の、円のことばで書かれた先祖にあたります（※諸説あり。もとになった表はヒッパルコスが作ったともいわれます）。

太陽の高さと影の向き——鈍角は空にある

日の出のとき太陽は東の地平線にあり、正午ごろに南の空で最も高くなり、日の入りには西の地平線に沈みます。東の地平線を 0∘0^\circ、真上を 90∘90^\circ、西の地平線を 180∘180^\circ とすれば、太陽の 1 日の動きはちょうどこの章の角の範囲 0∘0^\circ から 180∘180^\circ に対応します。

午前中、太陽が東側（0∘0^\circ から 90∘90^\circ）にあるとき、地面に立つ棒の影は西へ伸びます。午後、太陽が西側（90∘90^\circ から 180∘180^\circ）に回ると、影は東へ向きを変えます。「影の長さ」だけなら午前も午後も似ていますが、「影の向き」は正反対です。この向きの反転こそ、cos⁡\cos が 90∘90^\circ を境に符号を変えることの、目に見える姿です。

豆知識

日時計は、この「影の向きが太陽の角度に応じて回っていく」性質をそのまま時計にした道具です。影の長さ（sin⁡\sin 側の情報）だけでなく向き（cos⁡\cos の符号）を読むから、午前と午後を区別できます。鈍角の三角比は教科書の中だけの話ではなく、毎日の空で起きていることなのです。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では「単位円上の点の座標」という理解で十分ですが、「新しい定義は古い定義と本当に矛盾しないの？」「なぜ sin⁡\sin の値から角が 2 つ出てくるの？」が気になる人のために、少し厳密な見方を紹介します。

定義1：単位円による三角比

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ とする。座標平面上で、原点 O\mathrm{O} を中心とする半径 11 の円（単位円）と、xx 軸の正の部分との交点を A(1, 0)\mathrm{A}(1,\ 0) とする。点 A\mathrm{A} から円周に沿って反時計回りに測った中心角が θ\theta となる円周上の点を P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) とし、

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=y,\displaystyle {}= y,cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=x,\displaystyle {}= x,tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=yx (x≠0)\displaystyle {}= \frac{y}{x}\ (x \neq 0)

と定める。θ\theta=90∘{}= 90^\circ のときは xx=0{}= 0 であるから、tan⁡90∘\tan 90^\circ は定義しない。

第1章の定義（直角三角形の辺の比）と、この定義（座標）は見た目がまったく違います。同じ記号 sin⁡θ\sin\theta を使う以上、鋭角の範囲では両者が同じ値を与えることを確かめておく必要があります。

定理1：鋭角では第1章の定義と一致する

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ のとき、定義1で定めた sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta は、第1章の定義1（直角三角形の辺の比）で定めた値に等しい。

証明　θ\theta が鋭角のとき、点 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) は第1象限にあり、xx>0{}> 0，yy>0{}> 0 である。P\mathrm{P} から xx 軸に下ろした垂線の足を H\mathrm{H} とすると、三角形 OPH\mathrm{OPH} は ∠H\angle \mathrm{H}=90∘{}= 90^\circ，∠O\angle \mathrm{O}=θ{}= \theta の直角三角形で、斜辺 OP\mathrm{OP}=1{}= 1，対辺 PH\mathrm{PH}=y{}= y，隣辺 OH\mathrm{OH}=x{}= x である。第1章の定義により

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=PHOP\displaystyle {}= \frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{OP}}=y1\displaystyle {}= \frac{y}{1}=y,\displaystyle {}= y,cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=OHOP\displaystyle {}= \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OP}}=x1\displaystyle {}= \frac{x}{1}=x,\displaystyle {}= x,tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=PHOH\displaystyle {}= \frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{OH}}=yx\displaystyle {}= \frac{y}{x}

となり、定義1の値と一致する。（証明終）

このように、定義を広げるときは「もとの範囲では前と同じ値になる」ことを必ず確認します。数学ではこれを定義の拡張と呼び、拡張した先でも同じ記号を使ってよい根拠になります。第6章で角の範囲をさらに広げて三角関数にするときも、同じ確認をします。

定理2：相互関係（0°≦θ≦180°）

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき

sin⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1

が成り立つ。さらに θ\theta≠90∘{}\neq 90^\circ のとき

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ,\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta},1\displaystyle 1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}

が成り立つ。

証明　点 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) は単位円上にあるから x2x^2+y2{}+ y^2=1{}= 1、すなわち cos⁡2θ\cos^2\theta+sin⁡2θ{}+ \sin^2\theta=1{}= 1。第 2 式は定義1の tan⁡θ\tan\theta=yx{}= \dfrac{y}{x} そのものである。第 3 式は、第 1 式の両辺を cos⁡2θ (≠0)\cos^2\theta\ (\neq 0) で割り、第 2 式を用いれば得られる。（証明終）

第1章の証明では三平方の定理を使いましたが、ここでは「円の方程式」が同じ役割を果たしています。証明の道具が変わっても結論の式は変わらない——これが、相互関係が鈍角でもそのまま使える理由です。

定理3：180°−θ の三角比

0∘0^\circ≦θ{}\leqq \theta≦180∘{}\leqq 180^\circ のとき

sin⁡(180∘−θ)\displaystyle \sin(180^\circ - \theta)=sin⁡θ,\displaystyle {}= \sin\theta,cos⁡(180∘−θ)\displaystyle \cos(180^\circ - \theta)=−cos⁡θ\displaystyle {}= -\cos\theta

が成り立つ。さらに θ\theta≠90∘{}\neq 90^\circ のとき tan⁡(180∘−θ)\tan(180^\circ - \theta)=−tan⁡θ{}= -\tan\theta が成り立つ。

証明　角 θ\theta に対応する点を P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y)、角 180∘−θ180^\circ - \theta に対応する点を Q\mathrm{Q} とする。Q\mathrm{Q} は xx 軸の負の部分 A′(−1, 0)\mathrm{A}'(-1,\ 0) から時計回りに θ\theta だけ戻った点であり、P\mathrm{P} を yy 軸について対称移動した点に一致する。よって Q(−x, y)\mathrm{Q}(-x,\ y) であり、定義1から

sin⁡(180∘−θ)\displaystyle \sin(180^\circ - \theta)=y\displaystyle {}= y=sin⁡θ,\displaystyle {}= \sin\theta,cos⁡(180∘−θ)\displaystyle \cos(180^\circ - \theta)=−x\displaystyle {}= -x=−cos⁡θ,\displaystyle {}= -\cos\theta,tan⁡(180∘−θ)\displaystyle \tan(180^\circ - \theta)=y−x\displaystyle {}= \frac{y}{-x}=−tan⁡θ\displaystyle {}= -\tan\theta

（証明終）

**補足：値域の広がりと、「逆向き」の対応。**第1章では 00<sin⁡θ{}< \sin\theta<1{}< 1，00<cos⁡θ{}< \cos\theta<1{}< 1 でした。定義を広げた今、θ\theta が 0∘0^\circ から 180∘180^\circ まで動くとき、点 P\mathrm{P} は単位円の上半分を右端から左端まで動くので

となります。ここで大事な違いがあります。cos⁡\cos は減り続けるので、値を 1 つ決めると角がただ 1 つ決まります。いっぽう sin⁡\sin は増えてから減るので、00<k{}< k<1{}< 1 の値 kk に対して sin⁡θ\sin\theta=k{}= k となる θ\theta が 2 つ（θ\theta と 180∘−θ180^\circ - \theta）あります。「角 → 値」の対応は関数ですが、「値 → 角」の逆向きの対応は、sin⁡\sin については 1 つに決まらないのです。第8章で三角関数の方程式を解くとき、この「解の個数」の問題が本格的に登場します。

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