目次 ／ 三角比と三角関数 ／ 数学I

第1章　三角比の定義

—— 直角三角形の「辺の比」に名前をつける ——

この章では、直角三角形の辺の比に名前をつけた「三角比」（sin・cos・tan）を学びます。角度が決まれば辺の比が決まる——この1つの事実から、辺の長さを求めたり、木や塔の高さを地面から測ったりできるようになります。角度はすべて「度」で表します。

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未回答 25× 0○ 01か月定着 0

三角比とは何か

直角三角形には、直角のほかにもう2つの角があります。そのうち1つの角を θ\theta（シータ）と呼ぶことにすると、3つの辺にはそれぞれ名前がつきます。

θ 隣辺（θ に接する辺） 対辺 （θ の向かい） 斜辺（直角の向かい・いちばん長い）

大事なのは、対辺と隣辺は「どの角を θ\theta とみるか」で入れ替わるということです。斜辺だけは、どの角から見ても同じです。

公式1：三角比の定義

直角三角形で、角 θ\theta（0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ）に対して

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=対辺斜辺,\displaystyle {}= \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=隣辺斜辺,\displaystyle {}= \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=対辺隣辺\displaystyle {}= \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}
  • sin⁡\sin は「サイン（正弦）」、cos⁡\cos は「コサイン（余弦）」、tan⁡\tan は「タンジェント（正接）」と読みます。
  • 3つをまとめて三角比といいます。
  • 三角形の大きさが変わっても、角 θ\theta が同じなら三角比の値は同じです（相似な三角形は辺の比が等しいため）。

「斜辺が分母なら sin⁡\sin か cos⁡\cos、対辺が分子なら sin⁡\sin か tan⁡\tan」と、分母・分子で覚えると混乱しにくくなります。筆記体の s・c・t の書き順で辺をなぞる覚え方も有名です。

三角比は、道路標識にすでに使われています。坂道の標識にある「勾配 10%」は、「水平に 100 m 進むと 10 m 上がる」という意味。これは 高さ水平距離\dfrac{\text{高さ}}{\text{水平距離}}=対辺隣辺{}= \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}、つまり tan⁡θ\tan\theta=0.1{}= 0.1 そのものです。急な坂ほど tan⁡\tan の値が大きくなります。

三角比とは、直角三角形の「2辺の比」に sin⁡\sin・cos⁡\cos・tan⁡\tan という名前をつけたもので、角度だけで値が決まるということです。

例題1：辺の長さから三角比を求める

直角三角形で、角 θ\theta の対辺の長さが 22、隣辺の長さが 11 であるとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

【解答】

まず斜辺の長さを三平方の定理で求めます。

斜辺\displaystyle \text{斜辺}=12+22\displaystyle {}= \sqrt{1^2 + 2^2}=5\displaystyle {}= \sqrt{5}

定義にあてはめると

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=25\displaystyle {}= \frac{2}{\sqrt{5}}=255‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{2\sqrt{5}}{5}},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=15\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{5}}=55‾,\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{5}}{5}},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=21\displaystyle {}= \frac{2}{1}=2‾\displaystyle {}= \underline{2}

分母に  \sqrt{\ } が残るときは、分母・分子に同じ数をかけて有理化した形を最終的な答えにします。

30°・45°・60° の三角比

三角比は、ふつうは表や電卓で値を調べます。ところが 30∘30^\circ・45∘45^\circ・60∘60^\circ の3つだけは、三角定規の形から正確な値が分かります。

30° 60° √3 1 2 30°・60°・90° の三角定規 45° 45° 1 1 √2 45°・45°・90° の三角定規
公式2：30°・45°・60° の三角比
θ\theta30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ
sin⁡θ\sin\theta12\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ\cos\theta32\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}
tan⁡θ\tan\theta13=33\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}

表を丸暗記するより、三角定規の絵を描いて「対辺÷斜辺」などと読み取るほうが確実です。

三角定規がこの2種類しかないのは偶然ではありません。正三角形と正方形という「いちばん基本的な図形」を半分に切ると、この2つになるからです。だからこそ辺の比が 2\sqrt{2} や 3\sqrt{3} というきれいな数で書けます。

30∘30^\circ・45∘45^\circ・60∘60^\circ の三角比は、2種類の三角定規の辺の比 1:2:31:2:\sqrt{3}，1:1:21:1:\sqrt{2} を読み取れば求められるということです。

例題2：角と斜辺から辺の長さを求める

直角三角形で、斜辺の長さが 88、1つの角が 60∘60^\circ であるとき、60∘60^\circ の対辺と隣辺の長さを求めなさい。

【解答】

sin⁡60∘\sin 60^\circ=対辺斜辺{}= \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} なので

対辺\displaystyle \text{対辺}=8sin⁡60∘\displaystyle {}= 8 \sin 60^\circ=8⋅32\displaystyle {}= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=43‾\displaystyle {}= \underline{4\sqrt{3}}

cos⁡60∘\cos 60^\circ=隣辺斜辺{}= \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} なので

隣辺\displaystyle \text{隣辺}=8cos⁡60∘\displaystyle {}= 8 \cos 60^\circ=8⋅12\displaystyle {}= 8 \cdot \frac{1}{2}=4‾\displaystyle {}= \underline{4}

「求めたい辺」と「分かっている辺」の両方を含む三角比を選ぶのがコツです。

三角比の相互関係

sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta は別々の量に見えますが、じつは1つが分かると残りの2つも決まります。

公式3：三角比の相互関係
(1) sin⁡2θ\displaystyle \text{(1)}\ \sin^2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1(2) tan⁡θ\displaystyle \text{(2)}\ \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}(3) 1\displaystyle \text{(3)}\ 1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}
  • sin⁡2θ\sin^2\theta は (sin⁡θ)2(\sin\theta)^2 のことです。
  • (1) は三平方の定理「対辺2\text{対辺}^2+隣辺2{}+ \text{隣辺}^2=斜辺2{}= \text{斜辺}^2」の両辺を 斜辺2\text{斜辺}^2 で割ったものです。
  • (3) は (1) の両辺を cos⁡2θ\cos^2\theta で割ると出てきます。

3つの値のうち1つが分かれば、この関係で残りが芋づる式に決まります。sin⁡θ\sin\theta が分かれば (1) で cos⁡θ\cos\theta、さらに (2) で tan⁡θ\tan\theta。tan⁡θ\tan\theta が分かれば (3) で cos⁡θ\cos\theta、そして (2) で sin⁡θ\sin\theta、という流れです。

なお、この章では 0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ なので、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta はすべて正です。cos⁡2θ\cos^2\theta から cos⁡θ\cos\theta を求めるときに、負の値を捨ててよいのはそのためです。

三角比は3つで1セットになっていて、1つの値から相互関係を使って残りの2つが決まるということです。

例題3：1つの三角比から残りを求める

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ で sin⁡θ\sin\theta=35{}= \dfrac{3}{5} のとき、cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

【解答】

sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 より

cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1−(35)2\displaystyle {}- \left(\frac{3}{5}\right)^2=1\displaystyle {}= 1−925\displaystyle {}- \frac{9}{25}=1625\displaystyle {}= \frac{16}{25}

cos⁡θ\cos\theta>0{}> 0 なので

cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=45‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{5}}

次に tan⁡θ\tan\theta=sin⁡θcos⁡θ{}= \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} より

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=35÷45\displaystyle {}= \frac{3}{5} \div \frac{4}{5}=34‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{4}}

これは「対辺 3、隣辺 4、斜辺 5」の直角三角形を思い浮かべても同じ答えになります。

90°−θ の三角比

直角三角形の直角でない2つの角は、足すと 90∘90^\circ になります。つまり一方が θ\theta なら、もう一方は 90∘−θ90^\circ - \theta です。同じ三角形を「もう一方の角から見る」と、対辺と隣辺が入れ替わります。

公式4：90°−θ の三角比
sin⁡(90∘−θ)\displaystyle \sin(90^\circ - \theta)=cos⁡θ,\displaystyle {}= \cos\theta,cos⁡(90∘−θ)\displaystyle \cos(90^\circ - \theta)=sin⁡θ,\displaystyle {}= \sin\theta,tan⁡(90∘−θ)\displaystyle \tan(90^\circ - \theta)=1tan⁡θ\displaystyle {}= \frac{1}{\tan\theta}

θ\theta の対辺は 90∘−θ90^\circ - \theta の隣辺、θ\theta の隣辺は 90∘−θ90^\circ - \theta の対辺になるためです。

同じ坂道でも、坂の下から見上げる角と、坂の上から水平線までを測る角は互いに補い合って 90∘90^\circ になります。見る場所が変わるだけで、坂そのものは同じ。だから sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わるだけで、値は共通しています。

この公式を使うと、45∘45^\circ より大きい角の三角比を 45∘45^\circ より小さい角で表せます。三角比の表が 0∘0^\circ から 45∘45^\circ までしか無くても、sin⁡70∘\sin 70^\circ=cos⁡20∘{}= \cos 20^\circ のように読み替えれば足りるわけです。

θ\theta と 90∘−θ90^\circ - \theta は同じ直角三角形の2つの角なので、sin⁡\sin と cos⁡\cos が入れ替わるだけで三角比の値は共通だということです。

例題4：90°−θ の公式で書き換える

次の三角比を、45∘45^\circ 以下の角の三角比で表しなさい。また、(3) の値を求めなさい。

(1) cos⁡70∘\displaystyle \text{(1)}\ \cos 70^\circ(2) tan⁡80∘\displaystyle \text{(2)}\ \tan 80^\circ(3) sin⁡225∘+sin⁡265∘\displaystyle \text{(3)}\ \sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ

【解答】

(1) 70∘70^\circ=90∘−20∘{}= 90^\circ - 20^\circ なので

cos⁡70∘\displaystyle \cos 70^\circ=cos⁡(90∘−20∘)\displaystyle {}= \cos(90^\circ - 20^\circ)=sin⁡20∘‾\displaystyle {}= \underline{\sin 20^\circ}

(2) 80∘80^\circ=90∘−10∘{}= 90^\circ - 10^\circ なので

tan⁡80∘\displaystyle \tan 80^\circ=tan⁡(90∘−10∘)\displaystyle {}= \tan(90^\circ - 10^\circ)=1tan⁡10∘‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{\tan 10^\circ}}

(3) sin⁡65∘\sin 65^\circ=sin⁡(90∘−25∘){}= \sin(90^\circ - 25^\circ)=cos⁡25∘{}= \cos 25^\circ なので

sin⁡225∘+sin⁡265∘\displaystyle \sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ=sin⁡225∘+cos⁡225∘\displaystyle {}= \sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ=1‾\displaystyle {}= \underline{1}

「22 つの角を足すと 90∘90^\circ」に気づけば、相互関係の公式が使える形になります。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

直角三角形で、角 θ\theta の対辺が 33、隣辺が 44、斜辺が 55 であるとき、sin⁡θ\sin\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

35‾\underline{\dfrac{3}{5}}（対辺÷斜辺）

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問2

直角三角形で、角 θ\theta の対辺が 33、隣辺が 44、斜辺が 55 であるとき、cos⁡θ\cos\theta と tan⁡θ\tan\theta を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡θ\cos\theta=45‾{}= \underline{\dfrac{4}{5}}（隣辺÷斜辺），tan⁡θ\tan\theta=34‾{}= \underline{\dfrac{3}{4}}（対辺÷隣辺）

自己採点：
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問3

sin⁡30∘\sin 30^\circ を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

12‾\underline{\dfrac{1}{2}}（1:2:31:2:\sqrt{3} の三角定規で 30∘30^\circ の対辺 11、斜辺 22）

自己採点：
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問4

cos⁡45∘\cos 45^\circ を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

12\dfrac{1}{\sqrt{2}}=22‾{}= \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}

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問5

tan⁡60∘\tan 60^\circ を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

3‾\underline{\sqrt{3}}（60∘60^\circ の対辺 3\sqrt{3}、隣辺 11）

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

∠C\angle C=90∘{}= 90^\circ の直角三角形 ABCABC で、ABAB=13{}= 13，BCBC=5{}= 5，CACA=12{}= 12 である。sin⁡A\sin A，cos⁡A\cos A，tan⁡A\tan A の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡A\sin A=513,{}= \dfrac{5}{13},cos⁡A\cos A=1213,{}= \dfrac{12}{13},tan⁡A\tan A=512{}= \dfrac{5}{12}

解説

角 AA から見ると、斜辺は ABAB=13{}= 13、対辺は BCBC=5{}= 5、隣辺は CACA=12{}= 12 です。

sin⁡A\displaystyle \sin A=513,\displaystyle {}= \frac{5}{13},cos⁡A\displaystyle \cos A=1213,\displaystyle {}= \frac{12}{13},tan⁡A\displaystyle \tan A=512\displaystyle {}= \frac{5}{12} sin⁡A=513,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\sin A = \frac{5}{13},}cos⁡A=1213,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \cos A = \frac{12}{13},}tan⁡A=512‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \tan A = \frac{5}{12}}
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問2　★

直角三角形で、角 θ\theta の隣辺が 88、斜辺が 1717 であるとき、sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=1517,{}= \dfrac{15}{17},cos⁡θ\cos\theta=817,{}= \dfrac{8}{17},tan⁡θ\tan\theta=158{}= \dfrac{15}{8}

解説

対辺の長さを三平方の定理で求めます。

対辺\displaystyle \text{対辺}=172−82\displaystyle {}= \sqrt{17^2 - 8^2}=289−64\displaystyle {}= \sqrt{289 - 64}=225\displaystyle {}= \sqrt{225}=15\displaystyle {}= 15

よって

sin⁡θ=1517,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\sin\theta = \frac{15}{17},}cos⁡θ=817,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \cos\theta = \frac{8}{17},}tan⁡θ=158‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \tan\theta = \frac{15}{8}}
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問3　★

sin⁡60∘\sin 60^\circ，cos⁡30∘\cos 30^\circ，tan⁡45∘\tan 45^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡60∘\sin 60^\circ=32,{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2},cos⁡30∘\cos 30^\circ=32,{}= \dfrac{\sqrt{3}}{2},tan⁡45∘\tan 45^\circ=1{}= 1

解説

1:2:31:2:\sqrt{3} の三角定規で、60∘60^\circ の対辺は 3\sqrt{3}、斜辺は 22。30∘30^\circ の隣辺は 3\sqrt{3}、斜辺は 22。1:1:21:1:\sqrt{2} の三角定規で、45∘45^\circ の対辺と隣辺はどちらも 11 です。

sin⁡60∘=32,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},}cos⁡30∘=32,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},}tan⁡45∘=1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\quad \tan 45^\circ = 1}

sin⁡60∘\sin 60^\circ=cos⁡30∘{}= \cos 30^\circ となっているのは、60∘60^\circ=90∘−30∘{}= 90^\circ - 30^\circ だからです。

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問4　★

直角三角形で、斜辺の長さが 1010、1つの角が 30∘30^\circ であるとき、30∘30^\circ の対辺の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

55

解説

sin⁡30∘\sin 30^\circ=対辺斜辺{}= \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} より

対辺\displaystyle \text{対辺}=10sin⁡30∘\displaystyle {}= 10 \sin 30^\circ=10⋅12\displaystyle {}= 10 \cdot \frac{1}{2}=5‾\displaystyle {}= \underline{5}
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問5　★

直角三角形で、角 θ\theta=45∘{}= 45^\circ の隣辺の長さが 66 であるとき、対辺と斜辺の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

対辺 66，斜辺 626\sqrt{2}

解説

tan⁡45∘\tan 45^\circ=対辺隣辺{}= \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} より

対辺\displaystyle \text{対辺}=6tan⁡45∘\displaystyle {}= 6 \tan 45^\circ=6⋅1\displaystyle {}= 6 \cdot 1=6‾\displaystyle {}= \underline{6}

cos⁡45∘\cos 45^\circ=隣辺斜辺{}= \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} より

斜辺\displaystyle \text{斜辺}=6cos⁡45∘\displaystyle {}= \frac{6}{\cos 45^\circ}=6÷22\displaystyle {}= 6 \div \frac{\sqrt{2}}{2}=122\displaystyle {}= \frac{12}{\sqrt{2}}=62‾\displaystyle {}= \underline{6\sqrt{2}}

（45∘45^\circ の直角三角形は直角二等辺三角形なので、対辺＝隣辺 でもすぐ分かります。）

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問6　★

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ で sin⁡θ\sin\theta=13{}= \dfrac{1}{3} のとき、cos⁡θ\cos\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡θ\cos\theta=223,{}= \dfrac{2\sqrt{2}}{3},tan⁡θ\tan\theta=24{}= \dfrac{\sqrt{2}}{4}

解説

sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 より

cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1−19\displaystyle {}- \frac{1}{9}=89\displaystyle {}= \frac{8}{9}

cos⁡θ\cos\theta>0{}> 0 なので cos⁡θ\cos\theta=83{}= \dfrac{\sqrt{8}}{3}=223‾{}= \underline{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}。

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=13÷223\displaystyle {}= \frac{1}{3} \div \frac{2\sqrt{2}}{3}=122\displaystyle {}= \frac{1}{2\sqrt{2}}=24‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{2}}{4}}
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問7　★

sin⁡50∘\sin 50^\circ と tan⁡70∘\tan 70^\circ を、それぞれ 45∘45^\circ 以下の角の三角比で表しなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡50∘\sin 50^\circ=cos⁡40∘,{}= \cos 40^\circ,tan⁡70∘\tan 70^\circ=1tan⁡20∘{}= \dfrac{1}{\tan 20^\circ}

解説

50∘50^\circ=90∘−40∘{}= 90^\circ - 40^\circ，70∘70^\circ=90∘−20∘{}= 90^\circ - 20^\circ なので

sin⁡50∘\displaystyle \sin 50^\circ=sin⁡(90∘−40∘)\displaystyle {}= \sin(90^\circ - 40^\circ)=cos⁡40∘‾,\displaystyle {}= \underline{\cos 40^\circ},tan⁡70∘\displaystyle \tan 70^\circ=tan⁡(90∘−20∘)\displaystyle {}= \tan(90^\circ - 20^\circ)=1tan⁡20∘‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{\tan 20^\circ}}
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問8　★

sin⁡235∘+sin⁡255∘\sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

11

解説

sin⁡55∘\sin 55^\circ=sin⁡(90∘−35∘){}= \sin(90^\circ - 35^\circ)=cos⁡35∘{}= \cos 35^\circ なので

sin⁡235∘+sin⁡255∘\displaystyle \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ=sin⁡235∘+cos⁡235∘\displaystyle {}= \sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ=1‾\displaystyle {}= \underline{1}
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問9　★★

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ で cos⁡θ\cos\theta=23{}= \dfrac{2}{3} のとき、sin⁡θ\sin\theta，tan⁡θ\tan\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θ\sin\theta=53,{}= \dfrac{\sqrt{5}}{3},tan⁡θ\tan\theta=52{}= \dfrac{\sqrt{5}}{2}

解説

sin⁡2θ\sin^2\theta=1{}= 1−cos⁡2θ{}- \cos^2\theta=1{}= 1−49{}- \dfrac{4}{9}=59{}= \dfrac{5}{9}。sin⁡θ\sin\theta>0{}> 0 なので

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=53‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{5}}{3}} tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=53÷23\displaystyle {}= \frac{\sqrt{5}}{3} \div \frac{2}{3}=52‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{5}}{2}}
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問10　★★

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ で tan⁡θ\tan\theta=2{}= 2 のとき、cos⁡θ\cos\theta，sin⁡θ\sin\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cos⁡θ\cos\theta=55,{}= \dfrac{\sqrt{5}}{5},sin⁡θ\sin\theta=255{}= \dfrac{2\sqrt{5}}{5}

解説

11+tan⁡2θ{}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ{}= \dfrac{1}{\cos^2\theta} より

1cos⁡2θ\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta}=1\displaystyle {}= 1+4\displaystyle {}+ 4=5\displaystyle {}= 5⟹cos⁡2θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \cos^2\theta=15\displaystyle {}= \frac{1}{5}

cos⁡θ\cos\theta>0{}> 0 なので cos⁡θ\cos\theta=15{}= \dfrac{1}{\sqrt{5}}=55‾{}= \underline{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}。

tan⁡θ\tan\theta=sin⁡θcos⁡θ{}= \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} より sin⁡θ\sin\theta=tan⁡θcos⁡θ{}= \tan\theta\cos\theta なので

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=2⋅55\displaystyle {}= 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=255‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2\sqrt{5}}{5}}

（対辺 22、隣辺 11、斜辺 5\sqrt{5} の直角三角形を描いても同じ結果です。）

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問11　★★

地面に垂直に立つ木から 1212 m 離れた地点で、木のてっぺんを見上げる角（仰角）を測ると 30∘30^\circ であった。目の高さを 1.51.5 m、3\sqrt{3}=1.73{}= 1.73 として、木の高さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

434\sqrt{3}+1.5{}+ 1.5 m（約 8.48.4 m）

解説

目の高さから上の部分を hh m とすると、水平距離 1212 m が隣辺、hh が対辺の直角三角形ができるので

tan⁡30∘\displaystyle \tan 30^\circ=h12\displaystyle {}= \frac{h}{12}⟹h\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad h=12tan⁡30∘\displaystyle {}= 12 \tan 30^\circ=12⋅13\displaystyle {}= 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=43\displaystyle {}= 4\sqrt{3}

木の高さは、これに目の高さを足して

43\displaystyle 4\sqrt{3}+1.5\displaystyle {}+ 1.5=4×1.73\displaystyle {}= 4 \times 1.73+1.5\displaystyle {}+ 1.5=6.92\displaystyle {}= 6.92+1.5\displaystyle {}+ 1.5=8.42\displaystyle {}= 8.42 43‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}4\sqrt{3}}+1.5 m（約 8.4 m）‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}+ 1.5\ \text{m（約 } 8.4 \text{ m）}}
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問12　★★

ABAB=AC{}= AC=8{}= 8，∠B\angle B=∠C{}= \angle C=30∘{}= 30^\circ の二等辺三角形 ABCABC がある。頂点 AA から辺 BCBC に下ろした垂線の長さと、辺 BCBC の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

垂線の長さ 44，BCBC=83{}= 8\sqrt{3}

解説

垂線の足を HH とすると、三角形 ABHABH は ∠H\angle H=90∘{}= 90^\circ の直角三角形で、斜辺 ABAB=8{}= 8，∠B\angle B=30∘{}= 30^\circ です。

AH\displaystyle AH=8sin⁡30∘\displaystyle {}= 8 \sin 30^\circ=8⋅12\displaystyle {}= 8 \cdot \frac{1}{2}=4‾\displaystyle {}= \underline{4} BH\displaystyle BH=8cos⁡30∘\displaystyle {}= 8 \cos 30^\circ=8⋅32\displaystyle {}= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=43\displaystyle {}= 4\sqrt{3}

二等辺三角形なので HH は BCBC の中点であり

BC\displaystyle BC=2 BH\displaystyle {}= 2\,BH=83‾\displaystyle {}= \underline{8\sqrt{3}}
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問13　★★

(sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2+(sin⁡θ−cos⁡θ)2{}+ (\sin\theta - \cos\theta)^2 の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

22

解説

それぞれ展開すると

(sin⁡θ+cos⁡θ)2\displaystyle (\sin\theta + \cos\theta)^2=sin⁡2θ\displaystyle {}= \sin^2\theta+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta(sin⁡θ−cos⁡θ)2\displaystyle (\sin\theta - \cos\theta)^2=sin⁡2θ\displaystyle {}= \sin^2\theta−2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}- 2\sin\theta\cos\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta

足すと 2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta の項が打ち消し合い、2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) が残ります。sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 なので、値は 2‾\underline{2}。θ\theta の値によらず一定になります。

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問14　★★

tan⁡θ\tan\theta=34{}= \dfrac{3}{4} のとき、sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θ−cos⁡θ\dfrac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta} の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−7-7

解説

分母・分子を cos⁡θ\cos\theta で割ると、tan⁡θ\tan\theta だけの式になります。

sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θ−cos⁡θ\displaystyle \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}=tan⁡θ+1tan⁡θ−1\displaystyle {}= \frac{\tan\theta + 1}{\tan\theta - 1}=34+134−1\displaystyle {}= \frac{\frac{3}{4} + 1}{\frac{3}{4} - 1}=74−14\displaystyle {}= \frac{\frac{7}{4}}{-\frac{1}{4}}=−7‾\displaystyle {}= \underline{-7}

sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta をそれぞれ求めてもよいのですが（sin⁡θ\sin\theta=35{}= \frac{3}{5}，cos⁡θ\cos\theta=45{}= \frac{4}{5}）、cos⁡θ\cos\theta で割る方法は tan⁡θ\tan\theta が分数や無理数でもそのまま使えます。

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問15　★★

tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta}=1sin⁡θcos⁡θ{}= \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} が成り立つことを示しなさい。

つまずいたときは：
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答え

左辺を sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta で表して通分すると右辺に一致する。

解説

tan⁡θ\tan\theta=sin⁡θcos⁡θ{}= \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} なので、左辺は

sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \frac{\sin\theta}{\cos\theta}+cos⁡θsin⁡θ\displaystyle {}+ \frac{\cos\theta}{\sin\theta}=sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=1sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}= \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}

となり、右辺に一致します。（証明終）

tan⁡θ\tan\theta を含む等式は「sin⁡\sin と cos⁡\cos に直して通分し、sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 を使う」のが定石です。

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問16　★★

sin⁡210∘\displaystyle \sin^2 10^{\circ}+sin⁡220∘\displaystyle {}+ \sin^2 20^{\circ}+sin⁡270∘\displaystyle {}+ \sin^2 70^{\circ}+sin⁡280∘\displaystyle {}+ \sin^2 80^\circ

上の式の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

22

解説

足して 90∘90^\circ になる角どうしを組にします。sin⁡80∘\sin 80^\circ=cos⁡10∘{}= \cos 10^\circ，sin⁡70∘\sin 70^\circ=cos⁡20∘{}= \cos 20^\circ なので

(sin⁡210∘+cos⁡210∘)\displaystyle (\sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ)+(sin⁡220∘+cos⁡220∘)\displaystyle {}+ (\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ)=1\displaystyle {}= 1+1\displaystyle {}+ 1=2‾\displaystyle {}= \underline{2}
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問17　★★★

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ で sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=54{}= \dfrac{5}{4} のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta と sin⁡3θ\sin^3\theta+cos⁡3θ{}+ \cos^3\theta の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta=932,{}= \dfrac{9}{32},sin⁡3θ\sin^3\theta+cos⁡3θ{}+ \cos^3\theta=115128{}= \dfrac{115}{128}

解説

sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=54{}= \dfrac{5}{4} の両辺を 2 乗すると

sin⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=2516\displaystyle {}= \frac{25}{16}

sin⁡2θ\sin^2\theta+cos⁡2θ{}+ \cos^2\theta=1{}= 1 なので

1\displaystyle 1+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta=2516\displaystyle {}= \frac{25}{16}⟹sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta\cos\theta=932‾\displaystyle {}= \underline{\frac{9}{32}}

次に、a3a^3+b3{}+ b^3=(a+b)(a2−ab+b2){}= (a + b)(a^2 - ab + b^2) を使うと

sin⁡3θ\displaystyle \sin^3\theta+cos⁡3θ\displaystyle {}+ \cos^3\theta=(sin⁡θ+cos⁡θ)(1−sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle {}= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)=54(1−932)\displaystyle {}= \frac{5}{4}\left(1 - \frac{9}{32}\right)=54⋅2332\displaystyle {}= \frac{5}{4} \cdot \frac{23}{32}=115128‾\displaystyle {}= \underline{\frac{115}{128}}

sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta が与えられたら「2 乗して sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta を出す」のが第一手です。

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問18　★★★

水平な地面に垂直に立つ塔がある。地点 AA から塔の先端を見上げる仰角は 30∘30^\circ で、AA から塔に向かって 4040 m 進んだ地点 BB から見上げる仰角は 60∘60^\circ であった。目の高さを無視して、塔の高さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

20320\sqrt{3} m

解説

塔の高さを hh m、塔の根元を HH とします。

直角三角形 AHAH（仰角 30∘30^\circ）で tan⁡30∘\tan 30^\circ=hAH{}= \dfrac{h}{AH} より

AH\displaystyle AH=htan⁡30∘\displaystyle {}= \frac{h}{\tan 30^\circ}=3 h\displaystyle {}= \sqrt{3}\,h

直角三角形 BHBH（仰角 60∘60^\circ）で tan⁡60∘\tan 60^\circ=hBH{}= \dfrac{h}{BH} より

BH\displaystyle BH=htan⁡60∘\displaystyle {}= \frac{h}{\tan 60^\circ}=h3\displaystyle {}= \frac{h}{\sqrt{3}}

AHAH−BH{}- BH=40{}= 40 なので

3 h\displaystyle \sqrt{3}\,h−h3\displaystyle {}- \frac{h}{\sqrt{3}}=40\displaystyle {}= 40⟹3h−h3\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \frac{3h - h}{\sqrt{3}}=40\displaystyle {}= 40⟹2h\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 2h=403\displaystyle {}= 40\sqrt{3} h\displaystyle h=203 m‾ (≈34.6 m)\displaystyle {}= \underline{20\sqrt{3}\ \text{m}}\ (\approx 34.6\ \text{m})

塔の根元まで行けなくても、2 地点の仰角と距離だけで高さが分かります。「AHAH と BHBH を両方 hh で表して、差が 4040」という立式がポイントです。

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問19　★★★

∠C\angle C=90∘{}= 90^\circ，∠A\angle A=30∘{}= 30^\circ，BCBC=1{}= 1 の直角三角形 ABCABC がある。辺 CACA を AA の側に延長し、ADAD=AB{}= AB となる点 DD をとる。このとき ∠ADB\angle ADB の大きさを求め、それを用いて tan⁡15∘\tan 15^\circ と sin⁡15∘\sin 15^\circ の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

∠ADB\angle ADB=15∘,{}= 15^\circ,tan⁡15∘\tan 15^\circ=2{}= 2−3,{}- \sqrt{3},sin⁡15∘\sin 15^\circ=6−24{}= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

解説

三角形 ABCABC は 1:2:31:2:\sqrt{3} の三角定規の形なので、ABAB=2{}= 2，CACA=3{}= \sqrt{3} です。

三角形 ABDABD は ADAD=AB{}= AB=2{}= 2 の二等辺三角形で、∠BAD\angle BAD=180∘−30∘{}= 180^\circ - 30^\circ=150∘{}= 150^\circ。底角は等しいので

∠ADB\displaystyle \angle ADB=180∘−150∘2\displaystyle {}= \frac{180^\circ - 150^\circ}{2}=15∘‾\displaystyle {}= \underline{15^\circ}

直角三角形 DCBDCB で、角 DD=15∘{}= 15^\circ の対辺は BCBC=1{}= 1、隣辺は DCDC=DA{}= DA+AC{}+ AC=2{}= 2+3{}+ \sqrt{3} です。

tan⁡15∘\displaystyle \tan 15^\circ=12+3\displaystyle {}= \frac{1}{2 + \sqrt{3}}=2−3(2+3)(2−3)\displaystyle {}= \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}=2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}2}−3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}- \sqrt{3}}

斜辺 DBDB は三平方の定理から

DB2\displaystyle DB^2=12\displaystyle {}= 1^2+(2+3)2\displaystyle {}+ (2 + \sqrt{3})^2=1\displaystyle {}= 1+7\displaystyle {}+ 7+43\displaystyle {}+ 4\sqrt{3}=8\displaystyle {}= 8+43\displaystyle {}+ 4\sqrt{3}

(6+2)2(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2=6{}= 6+2{}+ 2+212{}+ 2\sqrt{12}=8{}= 8+43{}+ 4\sqrt{3} なので DBDB=6{}= \sqrt{6}+2{}+ \sqrt{2}。よって

sin⁡15∘\displaystyle \sin 15^\circ=16+2\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}=6−2(6+2)(6−2)\displaystyle {}= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}=6−24\displaystyle {}= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} sin⁡15∘=6−24‾\underline{\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}

三角定規に二等辺三角形をくっつけるだけで、15∘15^\circ という新しい角の三角比が正確に求まります。

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問20　★★★

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ で sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta=12{}= \dfrac{1}{2} のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta，sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta，tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta} の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta=38,{}= \dfrac{3}{8},sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta=72,{}= \dfrac{\sqrt{7}}{2},tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta}=83{}= \dfrac{8}{3}

解説

sin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ{}- \cos\theta=12{}= \dfrac{1}{2} の両辺を 2 乗すると

1\displaystyle 1−2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}- 2\sin\theta\cos\theta=14\displaystyle {}= \frac{1}{4}⟹sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \sin\theta\cos\theta=38‾\displaystyle {}= \underline{\frac{3}{8}}

次に

(sin⁡θ+cos⁡θ)2\displaystyle (\sin\theta + \cos\theta)^2=1\displaystyle {}= 1+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {}+ 2\sin\theta\cos\theta=1\displaystyle {}= 1+34\displaystyle {}+ \frac{3}{4}=74\displaystyle {}= \frac{7}{4}

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ では sin⁡θ\sin\theta>0{}> 0，cos⁡θ\cos\theta>0{}> 0 なので sin⁡θ\sin\theta+cos⁡θ{}+ \cos\theta>0{}> 0。よって

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta+cos⁡θ\displaystyle {}+ \cos\theta=72‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{7}}{2}}

最後に、問15 で示した tan⁡θ\tan\theta+1tan⁡θ{}+ \dfrac{1}{\tan\theta}=1sin⁡θcos⁡θ{}= \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} を使うと

tan⁡θ\displaystyle \tan\theta+1tan⁡θ\displaystyle {}+ \frac{1}{\tan\theta}=138\displaystyle {}= \frac{1}{\frac{3}{8}}=83‾\displaystyle {}= \underline{\frac{8}{3}}

平方根をとるときに「符号が決められるか」を必ず確認しましょう。ここでは θ\theta の範囲から正と決まりました。

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数学小話コーナー

sin はなぜ「サイン」？——誤訳が生んだ名前

sin⁡\sin の正式名は「正弦」。弦とは弓の弦のことで、円に張った弦の長さから三角比が生まれた名残です。この言葉は、古代インドのサンスクリット語で弦を意味する「ジヤー（jyā）」から始まりました。それがアラビア語に音写されたとき、母音を書かない習慣のせいで「jb」という意味不明の綴りになり、後の翻訳者がこれを「ジャイブ（jaib）＝ふところ・入り江」と読み違えたといわれます。12 世紀にラテン語へ訳されるとき「入り江」を意味する sinus が当てられ、それが英語の sine になりました（※諸説あり）。

豆知識

つまり「サイン」という名前そのものには、三角形とも弦とも関係のない意味しかありません。インド → アラビア → ヨーロッパと 1000 年かけて旅をするうちに、途中で意味を落としてきた言葉なのです。ちなみに cos⁡\cos は「補う（co-）サイン」、90∘−θ90^\circ - \theta の sin⁡\sin という意味で、この章の公式4がそのまま名前になっています。

伊能忠敬の日本地図は「角度」でできている

江戸時代の商人・伊能忠敬は、50 歳を過ぎてから天文学を学び、17 年かけて日本全国を歩いて測量し、驚くほど正確な日本地図を完成させました。測量の基本は、歩幅や縄で測った距離と、方位磁石で測った方角を積み重ねていく方法です。加えて、遠くの山や岬を複数の地点から観測し、見える方向の角度から位置を割り出しました。地点間の距離と角度が分かれば、直角三角形を作って残りの辺が計算できる——これはまさに、この章で学んだ三角比の考え方です。

豆知識

夜には星の高度（見上げる角度）を測って緯度を求めることも欠かしませんでした。歩いた距離は地球 1 周分に近いともいわれます（※諸説あり）。三角比と星の角度だけで、衛星も無い時代に日本の形が描かれたのです。

2600 年前にピラミッドの高さを測った男

古代ギリシャの哲学者タレスは、エジプトを訪れたときにピラミッドの高さを言い当てて人々を驚かせた、という逸話があります。方法はシンプルで、「自分の影の長さが自分の身長とぴったり同じになる時刻」を待ち、そのときのピラミッドの影の長さを測っただけ。影と身長が等しいということは、太陽の光の角度が 45∘45^\circ、つまり tan⁡45∘\tan 45^\circ=1{}= 1 の状態です。だからピラミッドの影の長さが、そのまま高さになります（※諸説あり。棒の影との比を使ったという説もあります）。

三角比の表も電卓も無い時代に、「角度が同じなら辺の比は同じ」という事実だけで巨大な建造物を測ってしまう。この章の実践問題で木や塔の高さを求めたのと、発想はまったく同じです。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では「直角三角形の辺の比」という理解で十分ですが、「三角形の大きさが変わっても本当に同じ値になるの？」「三角比は関数なの？」が気になる人のために、少し厳密な見方を紹介します。

定義1：鋭角の三角比

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ とする。∠C\angle C=90∘{}= 90^\circ，∠A\angle A=θ{}= \theta である直角三角形 ABCABC をとり、

sin⁡θ\displaystyle \sin\theta=BCAB,\displaystyle {}= \frac{BC}{AB},cos⁡θ\displaystyle \cos\theta=ACAB,\displaystyle {}= \frac{AC}{AB},tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=BCAC\displaystyle {}= \frac{BC}{AC}

と定める。

この定義には、じつは 1 つ確認しておくべきことがあります。「∠A\angle A=θ{}= \theta の直角三角形」は無数にあります（大きさが自由だからです）。どの三角形を選んでも同じ値になるのでなければ、sin⁡θ\sin\theta という記号は意味をなしません。

定理1：三角比は三角形の選び方によらない

∠C\angle C=90∘{}= 90^\circ，∠A\angle A=θ{}= \theta の直角三角形 ABCABC と、∠C′\angle C'=90∘{}= 90^\circ，∠A′\angle A'=θ{}= \theta の直角三角形 A′B′C′A'B'C' について

BCAB\displaystyle \frac{BC}{AB}=B′C′A′B′,\displaystyle {}= \frac{B'C'}{A'B'},ACAB\displaystyle \frac{AC}{AB}=A′C′A′B′,\displaystyle {}= \frac{A'C'}{A'B'},BCAC\displaystyle \frac{BC}{AC}=B′C′A′C′\displaystyle {}= \frac{B'C'}{A'C'}

が成り立つ。

証明　2 つの三角形は、2 組の角がそれぞれ等しい（θ\theta と 90∘90^\circ）ので相似である。相似な図形では対応する辺の比がすべて等しいから、AB:A′B′AB : A'B'=BC:B′C′{}= BC : B'C'=AC:A′C′{}= AC : A'C'。これを比の形に書き直せば上の 3 つの等式が得られる。（証明終）

このように「定義がきちんと意味を持つ（選び方によらない）」ことを確かめる作業を、数学では well-defined（ウェルディファインド）の確認と呼びます。三角比の定義が成り立つのは、相似という数学の下支えがあるからです。

定義2：三角比は角の関数である

定理1により、角 θ\theta を 1 つ決めるごとに sin⁡θ\sin\theta の値がただ 1 つ決まる。すなわち sin⁡\sin は、0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ の範囲の角を実数に対応させる関数である。cos⁡\cos，tan⁡\tan についても同様である。

  • sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta の値はいずれも 00<sin⁡θ{}< \sin\theta<1{}< 1，00<cos⁡θ{}< \cos\theta<1{}< 1 の範囲にある（対辺・隣辺は斜辺より短いため）。
  • tan⁡θ\tan\theta はすべての正の実数をとりうる。

「三角比は関数だ」という見方は、第6章で sin⁡\sin，cos⁡\cos，tan⁡\tan を三角関数として扱うときの出発点になります。この章では角の範囲が 0∘0^\circ から 90∘90^\circ の間に限られていますが、第2章と第6章で定義を広げ、どんな角に対しても値が決まるようにしていきます。なお、直角三角形の角は 90∘90^\circ 未満なので、tan⁡90∘\tan 90^\circ はこの定義では意味を持ちません（隣辺の長さが 00 になり、割り算ができないためです）。

定理2：三角比の相互関係

0∘0^\circ<θ{}< \theta<90∘{}< 90^\circ のとき

sin⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1,\displaystyle {}= 1,tan⁡θ\displaystyle \tan\theta=sin⁡θcos⁡θ,\displaystyle {}= \frac{\sin\theta}{\cos\theta},1\displaystyle 1+tan⁡2θ\displaystyle {}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}

証明　定義1の直角三角形 ABCABC で、三平方の定理より BC2BC^2+AC2{}+ AC^2=AB2{}= AB^2。両辺を AB2AB^2 で割ると

(BCAB)2\displaystyle \left(\frac{BC}{AB}\right)^2+(ACAB)2\displaystyle {}+ \left(\frac{AC}{AB}\right)^2=1\displaystyle {}= 1すなわち\displaystyle \text{すなわち}sin⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta+cos⁡2θ\displaystyle {}+ \cos^2\theta=1\displaystyle {}= 1

また

sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=BCAB÷ACAB\displaystyle {}= \frac{BC}{AB} \div \frac{AC}{AB}=BCAC\displaystyle {}= \frac{BC}{AC}=tan⁡θ\displaystyle {}= \tan\theta

最後に、第 1 式の両辺を cos⁡2θ (≠0)\cos^2\theta\ (\neq 0) で割り、第 2 式を用いると

sin⁡2θcos⁡2θ\displaystyle \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1\displaystyle {}+ 1=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}すなわち\displaystyle \text{すなわち}tan⁡2θ\displaystyle \tan^2\theta+1\displaystyle {}+ 1=1cos⁡2θ\displaystyle {}= \frac{1}{\cos^2\theta}

（証明終）

**補足：θ\theta が大きくなると三角比はどう変わるか。**斜辺の長さを 11 に固定して角 θ\theta を 0∘0^\circ から 90∘90^\circ へ大きくしていくと、対辺はどんどん長く（00 から 11 へ）、隣辺はどんどん短く（11 から 00 へ）なります。したがって sin⁡θ\sin\theta は増加し、cos⁡θ\cos\theta は減少し、tan⁡θ\tan\theta は増加して限りなく大きくなります。この「増減のようす」は、第7章でグラフを描くときにそのまま形になって現れます。

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