第5章　二次方程式

次の二次方程式を解きなさい。

(1) $x^2$${}- 5x$${}+ 6$${}= 0$

(2) $2x^2$${}+ x$${}- 6$${}= 0$

(3) $x^2$${}= 3x$

(4) $4x^2$${}- 12x$${}+ 9$${}= 0$

【解答】

(1) $(x - 2)(x - 3)$${}= 0$ より $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 2,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 3}$

(2) たすき掛けで $(x + 2)(2x - 3)$${}= 0$。$x$${}+ 2$${}= 0$ または $2x$${}- 3$${}= 0$ なので

(3) 右辺を移して $x^2$${}- 3x$${}= 0$、すなわち $x(x - 3)$${}= 0$ より $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 0,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 3}$

(4) $(2x - 3)^2$${}= 0$ より $2x$${}- 3$${}= 0$ なので $\underline{x = \dfrac{3}{2}}$（重解）

(1) は、第2章の実践問題 j08 で「$y$${}= x^2$${}- 5x$${}+ 6$ のグラフと $x$ 軸の交点」を求めたときと同じ計算です。(4) のグラフ $y$${}= (2x - 3)^2$ は、頂点 $\left(\dfrac{3}{2},\ 0\right)$ で $x$ 軸に接しています。重解はグラフでは「$x$ 軸にちょうど触れる」形になり、第6章で詳しく扱います。

次の二次方程式を、平方完成を用いて解きなさい。

(1) $x^2$${}- 4x$${}+ 1$${}= 0$

(2) $2x^2$${}+ 4x$${}- 3$${}= 0$

(3) $x^2$${}+ 2x$${}+ 5$${}= 0$

【解答】

(1) 定数項を右辺に移し、両辺に $x$ の係数の半分の 2 乗 $(-2)^2$${}= 4$ を足します。

よって $x$${}- 2$${}= \pm\sqrt{3}$ なので $\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}x = 2}$$\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}\pm \sqrt{3}}$

(2) 両辺を $2$ で割ってから同じようにします。

$x$${}+ 1$${}= \pm\sqrt{\dfrac{5}{2}}$${}= \pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ なので

(3) $x^2$${}+ 2x$${}= -5$ より $(x + 1)^2$${}= -4$。左辺は $0$ 以上、右辺は負なので、これを満たす実数 $x$ はありません。$\underline{\text{実数解はない}}$

(3) のグラフ $y$${}= (x + 1)^2$${}+ 4$ は頂点が $(-1,\ 4)$ の下に凸の放物線で、$x$ 軸より上にあって交わりません。「実数解がない」とは、グラフが $x$ 軸と共有点をもたないことです。

次の二次方程式を解きなさい。

(1) $3x^2$${}- 5x$${}+ 1$${}= 0$

(2) $x^2$${}- 6x$${}+ 4$${}= 0$

(3) $\dfrac{1}{2}x^2$${}- x$${}- \dfrac{1}{3}$${}= 0$

(4) $x^2$${}- 2\sqrt{3}\,x$${}+ 1$${}= 0$

【解答】

(1) $a$${}= 3$，$b$${}= -5$，$c$${}= 1$ を公式に入れて

(2) $b$${}= -6$${}= 2 \times (-3)$ なので $b'$${}= -3$ として

(3) 両辺を $6$ 倍して $3x^2$${}- 6x$${}- 2$${}= 0$。$b'$${}= -3$ として

(4) $b$${}= -2\sqrt{3}$ なので $b'$${}= -\sqrt{3}$ として

(4) のように係数に根号があっても、$b'$ の公式はそのまま使えます。(2) を $b$ のままの公式で解くと $\dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2}$${}= \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}$ となり、約分が 1 回増えます。

(1) 縦 $20$ m，横 $30$ m の長方形の土地に、同じ幅の道を縦と横に 1 本ずつ通し、残りの土地の面積を $504$ m² にしたいと考えています。道の幅を求めなさい。道は土地の辺と平行で、土地の端から端まで通っているものとします。

(2) 方程式 $x^4$${}- 5x^2$${}- 36$${}= 0$ の実数解を求めなさい。

(3) 方程式 $x^2$${}+ \lvert x - 1 \rvert$${}- 3$${}= 0$ を解きなさい。

【解答】

(1) 道の幅を $x$ m とします。道幅は正で、縦の長さより短いので $0$${}< x$${}< 20$ です。道の部分を端に寄せて考えると、残りの土地は縦 $20$${}- x$，横 $30$${}- x$ の長方形と同じ面積になります。

$x$${}= 2,$$\ 48$ のうち、$0$${}< x$${}< 20$ を満たすのは $x$${}= 2$ です。$\underline{2\ \text{m}}$

(2) $t$${}= x^2$ とおくと、$t$${}\geqq 0$ で

$t$${}= 9,$${}\ -4$ のうち $t$${}\geqq 0$ を満たすのは $t$${}= 9$。$x^2$${}= 9$ より $\underline{x = \pm 3}$

$t$${}= -4$ を捨てたのは、$x^2$${}= -4$ を満たす実数がないからです。

(3) 絶対値の中の符号で場合分けします。

(i) $x$${}\geqq 1$ のとき　$\lvert x - 1 \rvert$${}= x$${}- 1$ なので

$4$${}< \sqrt{17}$${}< 5$ なので、$\dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ は $\dfrac{3}{2}$ と $2$ の間にあり、$x$${}\geqq 1$ を満たします。$\dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ は負なので満たしません。

(ii) $x$${}< 1$ のとき　$\lvert x - 1 \rvert$${}= -x$${}+ 1$ なので

$x$${}= -1,$$\ 2$ のうち、$x$${}< 1$ を満たすのは $x$${}= -1$ です。

(i)，(ii) を合わせて

(1) 二次方程式 $x^2$${}+ ax$${}- 12$${}= 0$ の解の 1 つが $2$ であるとき、定数 $a$ の値と、もう 1 つの解を求めなさい。

(2) $a$ を定数とします。方程式 $ax^2$${}- (a + 1)x$${}+ 1$${}= 0$ を解きなさい。

(3) 2 つの二次方程式 $x^2$${}+ kx$${}+ 2$${}= 0$，$x^2$${}+ 2x$${}+ k$${}= 0$ が共通の実数解をもつように、定数 $k$ の値を定め、そのときの共通解を求めなさい。

【解答】

(1) $x$${}= 2$ を代入して $4$${}+ 2a$${}- 12$${}= 0$ より $a$${}= 4$。方程式は

となり、もう 1 つの解は $-6$ です。$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}a = 4,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ \text{もう 1 つの解}\ x = -6}$

(2) 左辺は $(ax - 1)(x - 1)$ と因数分解できます（展開すると $ax^2$${}- ax$${}- x$${}+ 1$ で一致します）。

$a$${}= 0$ のとき　方程式は $-x$${}+ 1$${}= 0$ となり、$x$${}= 1$。

$a$${}\neq 0$ のとき　$(ax - 1)(x - 1)$${}= 0$ より $x$${}= \dfrac{1}{a},$$\ 1$。とくに $a$${}= 1$ なら $\dfrac{1}{a}$${}= 1$ で、$x$${}= 1$（重解）です。

まとめると、次のようになります。

• $a$${}= 0$ のとき $\underline{x = 1}$
• $a$${}\neq 0$ のとき $\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}x = 1,}$$\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\ \dfrac{1}{a}}$（$a$${}= 1$ なら $x$${}= 1$）

(3) 共通解を $\alpha$ とおくと

上の式から下の式を引いて $\alpha^2$ を消すと

$k$${}= 2$ のとき　2 つの方程式はどちらも $x^2$${}+ 2x$${}+ 2$${}= 0$ になります。$(x + 1)^2$${}= -1$ なので実数解がなく、不適です。

$\alpha$${}= 1$ のとき　下の式に入れて $1$${}+ 2$${}+ k$${}= 0$ より $k$${}= -3$。このとき 2 つの方程式は

で、確かに $x$${}= 1$ を共通にもちます。

$k$${}= 2$ のとき 2 つの方程式はまったく同じ式になるので、「実数解があれば全部が共通解」になるところでした。実数解がないので、ここでは捨てます。