第1章　関数とグラフ

関数とは——入れると 1 つ出てくる

中学では、$y$${}= 2x$${}+ 1$ や $y$${}= x^2$ のように「$x$ の値を決めると $y$ の値が決まる」関係を関数と呼びました。高校でも考え方は変わりません。ただし「ただ 1 つ決まる」ことをはっきり意識し、関数を表す専用の記号を使います。

公式1：関数と記号 f(x)

2 つの変数 $x$，$y$ があり、$x$ の値を決めるとそれに対応して $y$ の値がただ 1 つ決まるとき、$y$ は $x$ の関数であるという。

• $y$ が $x$ の関数であることを $y$${}= f(x)$ と書く（$f$ は function の頭文字）。
• $x$${}= a$ のときの $y$ の値を $f(a)$ と書き、$x$${}= a$ における関数の値という。$f(x)$ の式の $x$ に $a$ を代入すれば求められる。
• $a$${}+ 1$ や $-a$ のような式を代入するときは、かっこごと代入する。

変数とは、いろいろな値をとる文字のことです。1 つの $x$ に対して $y$ の値が 2 つ以上決まってしまう対応は、関数とはいいません。たとえば「正の数 $x$ に対し、2 乗すると $x$ になる数 $y$」は、$x$${}= 4$ のとき $y$${}= 2$ と $y$${}= -2$ の 2 つが決まるので、$y$ は $x$ の関数ではありません。

自動販売機を思い浮かべてください。ボタン（入力）を押すと、そのボタンに割り当てられた 1 本（出力）が出てきます。同じボタンなのに日によって違う飲み物が出てきたら困りますね。これが「ただ 1 つ」の意味です。一方、人気のお茶を 2 つのボタンに割り当てて「どちらを押しても同じお茶」にするのは、何の問題もありません。関数でも、違う $x$ から同じ $y$ が出てくるのはかまいません。$f(x)$${}= x^2$ で $f(2)$${}= f(-2)$${}= 4$ となるのが、その例です。

関数とは「$x$ を 1 つ入れると $y$ がただ 1 つ出てくる対応」のことで、$f(a)$ は $f(x)$ の式の $x$ に $a$ を代入した値だということです。

例題1：関数の値を求める

$f(x)$${}= x^2$${}- 3x$${}+ 2$ のとき、次の値を求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ f(3)$$\displaystyle \text{(2)}\ f(-1)$$\displaystyle \text{(3)}\ f(a + 1)$

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【解答】

(1) $x$ に $3$ を代入します。

$\displaystyle f(3)$$\displaystyle {}= 3^2$$\displaystyle {}- 3 \cdot 3$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= 9$$\displaystyle {}- 9$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= \underline{2}$

(2) 負の数を代入するときは、かっこをつけてから代入します。

$\displaystyle f(-1)$$\displaystyle {}= (-1)^2$$\displaystyle {}- 3 \cdot (-1)$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= \underline{6}$

(3) $x$ を $(a + 1)$ に置きかえ、展開して整理します。

$\displaystyle f(a + 1)$$\displaystyle {}= (a + 1)^2$$\displaystyle {}- 3(a + 1)$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= a^2$$\displaystyle {}+ 2a$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}- 3a$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}a^2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- a}$

(3) を $f(a)$${}+ 1$${}= a^2$${}- 3a$${}+ 3$ と取り違えないようにします。$f(a + 1)$ は「$x$ に $a$${}+ 1$ を入れた値」、$f(a)$${}+ 1$ は「$x$ に $a$ を入れた値に $1$ を足したもの」で、まったく別物です。

座標平面と象限

関数の様子を目で見るには、グラフをかきます。その舞台が座標平面です。中学で学んだ内容に「象限」と「対称な点」を加えて整理しておきます。

公式2：座標平面・象限・対称な点

原点 $\mathrm{O}$ で垂直に交わる $x$ 軸と $y$ 軸をとった平面を座標平面という。平面上の点は、実数の組 $(a,\ b)$（$a$ が $x$ 座標、$b$ が $y$ 座標）でただ 1 通りに表される。

座標軸で分けられた 4 つの部分を象限といい、右上から反時計回りに第1象限〜第4象限と呼ぶ。

	第1象限	第2象限	第3象限	第4象限
$x$ 座標の符号	$+$	$-$	$-$	$+$
$y$ 座標の符号	$+$	$+$	$-$	$-$

• 座標軸の上の点（$x$ 座標または $y$ 座標が $0$ の点）は、どの象限にも属さない。
• 点 $(a,\ b)$ と対称な点は次のとおり。

	$x$ 軸に関して対称	$y$ 軸に関して対称	原点に関して対称
座標	$(a,\ -b)$	$(-a,\ b)$	$(-a,\ -b)$

映画館の座席券には「H 列 12 番」のように 2 つの番号が書いてあり、2 つそろって初めて席が 1 つに決まります。座標も同じで、$x$ 座標と $y$ 座標の 2 つで点が決まります。「12 列 H 番」と入れ替えたら別の席になるように、$(2,\ 3)$ と $(3,\ 2)$ も別の点です。だから座標は必ず「$x$ 座標が先」と約束されています。映画館と違うのは、$0$ や負の番号もあること。その符号の組み合わせで、点が 4 つの区画（象限）のどこにあるかが決まります。

座標平面の点は（$x$ 座標，$y$ 座標）の組で表され、2 つの座標の符号の組み合わせで象限が決まり、対称な点は座標の符号を変えるだけで求められるということです。

例題2：象限と対称な点

(1) 点 $\mathrm{P}(-2,\ 3)$ がある象限を答えなさい。また、$\mathrm{P}$ と $x$ 軸・$y$ 軸・原点に関して対称な点の座標を求めなさい。

(2) $a$${}< 0$，$b$${}> 0$ のとき、点 $(b,\ a)$ と点 $(ab,\ -a)$ がある象限をそれぞれ求めなさい。

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【解答】

(1) $x$ 座標が負、$y$ 座標が正なので $\underline{\text{第2象限}}$ です。対称な点は、公式2の表のとおり符号を変えて

$\displaystyle x \text{ 軸対称}\ \underline{(-2,\ -3)},$$\displaystyle y \text{ 軸対称}\ \underline{(2,\ 3)},$$\displaystyle \text{原点対称}\ \underline{(2,\ -3)}$

(2) 点 $(b,\ a)$ は、$x$ 座標 $b$${}> 0$，$y$ 座標 $a$${}< 0$ なので $\underline{\text{第4象限}}$ です。

点 $(ab,\ -a)$ は、$x$ 座標 $ab$ が「負 × 正」で負、$y$ 座標 $-a$ が「負の数に $-$ をつけたもの」で正なので $\underline{\text{第2象限}}$ です。

文字のままでは符号が見えにくいときは、$a$${}= -1$，$b$${}= 1$ のような具体的な数を入れて確かめると安心です。

定義域・値域と最大・最小

関数を考えるとき、$x$ に入れてよい値の範囲を決めておくことがあります。たとえば「長さ $x$ cm の針金」なら、$x$ は正の数に限られます。入力の範囲を決めると、それに応じて出力の範囲も決まります。

公式3：定義域・値域・最大値・最小値

関数 $y$${}= f(x)$ において、$x$ のとる値の範囲を定義域、それに対応して $y$ がとる値の範囲を値域という。値域の中でいちばん大きい値を最大値、いちばん小さい値を最小値という。

• 定義域は、式のあとにかっこで $y$${}= 2x$${}- 1 \ (-1 \leqq x \leqq 2)$ のように書く。特に断りがなければ、定義域は式が意味をもつ実数全体とする。
• 一次関数 $y$${}= ax$${}+ b$ のグラフは、傾き $a$、切片 $b$ の直線である。定義域が $p$${}\leqq x$${}\leqq q$ のとき、$a$${}> 0$（右上がり）なら $x$${}= p$ で最小・$x$${}= q$ で最大、$a$${}< 0$（右下がり）なら $x$${}= p$ で最大・$x$${}= q$ で最小となる。
• 定義域の端が含まれない（$<$ で書かれた）とき、その端でとるはずの値は値域に入らない。そちら側の最大値（または最小値）は存在しない。

定義域を決めた関数のグラフは、直線全体ではなく線分（両端のある直線の一部）になります。端を含むときは ●、含まないときは ○ でかきます。数と式の第4章で、不等式の解を数直線に表したときと同じ約束です。

駅のまっすぐなエスカレーターを思い浮かべてください。いちばん高い地点は上の降り口、いちばん低い地点は下の乗り口で、途中にそれより高い場所も低い場所もありません。一次関数のグラフも傾きが一定の直線なので、最大・最小は必ず定義域の両端で決まります。では、上の降り口にロープが張ってあって、そこには立てないとしたらどうでしょう。降り口の直前まではいくらでも近づけますが、「立てる中でいちばん高い場所」は決められません。降り口の 1 cm 手前に立っても、その 0.5 cm 先のほうが高いからです。これが「端を含まないと最大値がない」の正体です。

定義域は $x$ の入力範囲、値域は $y$ の出力範囲で、一次関数ではグラフが直線なので両端の値を調べれば値域・最大・最小が決まり、端を含まなければその側の最大値や最小値はないということです。

例題3：一次関数の値域と最大・最小

次の関数の値域を求めなさい。また、最大値・最小値があれば求めなさい。

$\displaystyle \text{(1)}\ y$$\displaystyle {}= -x$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle (-2 \leqq x \leqq 1)$$\displaystyle \text{(2)}\ y$$\displaystyle {}= 2x$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle (-1 \leqq x < 2)$

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【解答】

(1) 傾きが $-1$${}< 0$ なので右下がりの直線です。両端の値を求めると

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= -2 \ \text{のとき}\ y$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 1 \ \text{のとき}\ y$$\displaystyle {}= 2$

よって値域は $\underline{2 \leqq y \leqq 5}$ で

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = -2 \ \text{のとき最大値}\ 5,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\quad x = 1 \ \text{のとき最小値}\ 2}$

(2) 傾きが $2$${}> 0$ なので右上がりです（上の図）。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= -1 \ \text{のとき}\ y$$\displaystyle {}= -3,$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 2 \ \text{のとき}\ y$$\displaystyle {}= 3$

ただし $x$${}= 2$ は定義域に含まれないので、$y$${}= 3$ はとりません。よって値域は $\underline{-3 \leqq y < 3}$ で

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x = -1 \ \text{のとき最小値}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}\ -3,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\quad \text{最大値はない}}$

(2) の $y$ は $3$ にいくらでも近づきますが、$3$ にはなりません。「$2.99$ なら？」「$2.999$ なら？」と候補を挙げても、必ずそれより大きい値がとれるので、最大値は決まらないのです。

値域から一次関数を決める

ここまでは「関数が分かっていて、値域を求める」向きでした。逆に「値域が分かっていて、関数の式を決める」こともできます。式の中の $a$，$b$ のように、決まった値を表す文字を定数といいます。

公式4：値域から一次関数を決める

一次関数 $y$${}= ax$${}+ b \ (p \leqq x \leqq q)$ の値域が $m$${}\leqq y$${}\leqq M$（$m$${}< M$）であるとき

• $a$${}> 0$ なら　$ap$${}+ b$${}= m$，$aq$${}+ b$${}= M$
• $a$${}< 0$ なら　$ap$${}+ b$${}= M$，$aq$${}+ b$${}= m$

の連立方程式を解く。$a$ の符号が分からなければ両方の場合を調べ、それぞれの答えが $a$ の符号の条件を満たすか確かめる。

$a$${}= 0$ だと $y$${}= b$ で値域は 1 つの値だけになるので、$m$${}< M$ なら $a$${}\neq 0$ です。なお、$f(1)$${}= 5$，$f(3)$${}= -1$ のように「どの $x$ でどの値をとるか」が直接分かっているなら、場合分けは要らず、ただの連立方程式になります。

公園の滑り台で考えてみます。「両端の高さは $0.5$ m と $2.5$ m」とだけ知らされても、どちらが階段側なのかは分かりません。左が高い置き方と右が高い置き方の 2 通りがありえます。値域から分かるのは「両端の高さの組」だけで、どちらの端がどちらの高さかは傾きの向きしだい。だから $a$ の符号で場合分けが必要になります。

値域は「両端の $y$ の値の組」しか教えてくれないので、傾きの正負で端との対応を 2 通りに分け、それぞれ連立方程式を解くということです。

例題4：値域から係数を定める

一次関数 $y$${}= ax$${}+ b \ (0 \leqq x \leqq 2)$ の値域が $1$${}\leqq y$${}\leqq 5$ となるように、定数 $a$，$b$ の値を定めなさい。

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【解答】

値域が 1 つの値ではないので $a$${}\neq 0$ です。

(i) $a$${}> 0$ のとき、右上がりなので $x$${}= 0$ で $y$${}= 1$，$x$${}= 2$ で $y$${}= 5$ です。

$\displaystyle b$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle 2a$$\displaystyle {}+ b$$\displaystyle {}= 5$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad a$$\displaystyle {}= 2,$$\displaystyle \ b$$\displaystyle {}= 1$

$a$${}= 2$${}> 0$ なので条件を満たします。

(ii) $a$${}< 0$ のとき、右下がりなので $x$${}= 0$ で $y$${}= 5$，$x$${}= 2$ で $y$${}= 1$ です。

$\displaystyle b$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle 2a$$\displaystyle {}+ b$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad a$$\displaystyle {}= -2,$$\displaystyle \ b$$\displaystyle {}= 5$

$a$${}= -2$${}< 0$ なので条件を満たします。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 2,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 1 \quad \text{または} \quad a = -2,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\ b = 5}$

2 つの答えは、グラフで見ると $(0,\ 1)$ と $(2,\ 5)$ を結ぶ線分と、$(0,\ 5)$ と $(2,\ 1)$ を結ぶ線分です。滑り台の向きがちょうど逆になっています。

絶対値を含む関数のグラフ

数と式の第3章で学んだように、絶対値は中身の符号ではずし方が変わります。$A$${}\geqq 0$ なら $|A|$${}= A$，$A$${}< 0$ なら $|A|$${}= -A$ でした。関数の式に絶対値が入っていたら、この規則で場合分けしてからグラフをかきます。

公式5：絶対値を含む関数のグラフ

絶対値の中身が $0$ になる $x$ を境目にして場合分けし、絶対値をはずしてからグラフをかく。

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= |x - 1|$$\displaystyle {}= \begin{cases} x - 1 & (x \geqq 1) \\ -x + 1 & (x < 1) \end{cases}$

• $y$${}= |x - p|$ のグラフは、点 $(p,\ 0)$ で折れ曲がる V 字形になる。
• 絶対値が 2 つ以上あると境目がいくつかでき、グラフは何か所かで折れ曲がる折れ線になる。
• 方程式 $f(x)$${}= k$ の実数解は、$y$${}= f(x)$ のグラフと直線 $y$${}= k$ の共有点（交わる点や接する点）の $x$ 座標である。解の個数は共有点の個数で数えられる。

まっすぐな線路沿いの道を歩いて、駅の前を通り過ぎるところを想像してください。駅までの距離は、近づくあいだは減り、駅の前で $0$ になり、通り過ぎると再び増えます。$y$${}= |x - 1|$ は「位置 $x$ から駅（位置 $1$）までの距離」そのもので、グラフが V 字になるのはこのためです。駅が 2 つあって、両方までの距離の合計を考えると面白いことが起こります。2 つの駅の間を歩いているあいだは、片方に近づいたぶんだけもう片方から遠ざかるので、合計は駅と駅の間の距離のまま変わりません。下の図の平らな部分がそれです。

絶対値を含む関数は、中身が $0$ になる点を境目に場合分けして絶対値をはずせば、直線をつないだ折れ線のグラフになるということです。

例題5：絶対値を含む関数

(1) 関数 $y$${}= |x - 1|$ の最小値を求めなさい。

(2) 関数 $y$${}= |x + 1|$${}+ |x - 2|$ を、絶対値記号を使わずに場合分けして表しなさい。また、最小値と、そのときの $x$ の値の範囲を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式5の場合分けのとおり、グラフは点 $(1,\ 0)$ で折れ曲がる V 字形です。絶対値は $0$ 以上で、$x$${}= 1$ のとき $0$ になるので

$$\underline{x = 1 \ \text{のとき最小値}\ 0}$$

(2) 境目は $x$${}+ 1$${}= 0$ と $x$${}- 2$${}= 0$ より $x$${}= -1,$$\ 2$ です。3 つの範囲に分けます。

$x$${}< -1$ のとき、$x$${}+ 1$${}< 0$，$x$${}- 2$${}< 0$ なので

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= -(x + 1)$$\displaystyle {}- (x - 2)$$\displaystyle {}= -2x$$\displaystyle {}+ 1$

$-1$${}\leqq x$${}< 2$ のとき、$x$${}+ 1$${}\geqq 0$，$x$${}- 2$${}< 0$ なので

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= (x + 1)$$\displaystyle {}- (x - 2)$$\displaystyle {}= 3$

$x$${}\geqq 2$ のとき、$x$${}+ 1$${}> 0$，$x$${}- 2$${}\geqq 0$ なので

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= (x + 1)$$\displaystyle {}+ (x - 2)$$\displaystyle {}= 2x$$\displaystyle {}- 1$$$\underline{y = \begin{cases} -2x + 1 & (x < -1) \\ 3 & (-1 \leqq x < 2) \\ 2x - 1 & (x \geqq 2) \end{cases}}$$

グラフは上の図のようになり、左側は右下がり、右側は右上がりで、真ん中が平らです。境目で値がつながっている（$x$${}= -1$ で $-2 \cdot (-1)$${}+ 1$${}= 3$，$x$${}= 2$ で $2 \cdot 2$${}- 1$${}= 3$）ことも確かめておきます。

$$\underline{\text{最小値}\ 3 \quad (-1 \leqq x \leqq 2 \ \text{のとき})}$$

最小値をとる $x$ が 1 つではなく、範囲全体になるのがこの関数の特徴です。

放物線 y = ax²

中学で学んだ「$y$ が $x$ の 2 乗に比例する関数」$y$${}= ax^2$ のグラフを、この分野の言葉で整理し直します。第2章以降に登場するすべての二次関数のグラフは、この形を平行移動したものです。

公式6：y = ax² のグラフ

$a$${}\neq 0$ のとき、$y$${}= ax^2$ のグラフは原点を通り、$y$ 軸に関して対称な曲線である。この曲線を放物線という。

• 放物線の対称の軸を軸、軸と放物線の交点を頂点という。$y$${}= ax^2$ の軸は $y$ 軸（直線 $x$${}= 0$）、頂点は原点 $(0,\ 0)$ である。
• $a$${}> 0$ のとき下に凸（谷の形）で、頂点で最小値 $0$ をとる。$a$${}< 0$ のとき上に凸（山の形）で、頂点で最大値 $0$ をとる。
• $|a|$ が大きいほど、グラフの開き方は小さい（細い）。
• $y$${}= ax^2$ と $y$${}= -ax^2$ のグラフは、$x$ 軸に関して対称である。

$y$ 軸に関して対称なのは、$a(-x)^2$${}= ax^2$ だからです。点 $(x,\ y)$ がグラフ上にあれば、左右を入れかえた点 $(-x,\ y)$ もグラフ上にあります。

「放物線」という名前は、文字どおり「物を放り投げたときに描く線」から来ています。ボールを斜め上に投げると、上に凸の放物線を描いて落ちてきます。同じ強さで投げても、真上に近い角度で投げれば細い放物線、水平に近い角度で投げれば大きく開いた放物線になります。上に凸か下に凸かは $a$ の符号、細いか開いているかは $|a|$ の大きさ——放物線の形を決めるのは、この 2 つだけです。

$y$${}= ax^2$ のグラフは頂点が原点・軸が $y$ 軸の放物線で、$a$ の符号が向き（下に凸か上に凸か）を、$|a|$ の大きさが開き方を決めるということです。

例題6：放物線 y = ax² の決定と値域

(1) 放物線 $y$${}= ax^2$ が点 $(-2,\ 2)$ を通るとき、$a$ の値を求めなさい。また、このグラフが下に凸か上に凸かを答えなさい。

(2) 関数 $y$${}= x^2 \ (-1 \leqq x \leqq 2)$ の値域を求めなさい。

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【解答】

(1) $x$${}= -2$，$y$${}= 2$ を代入すると $2$${}= a \cdot (-2)^2$${}= 4a$ なので

$\displaystyle a$$\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}}$

$a$${}> 0$ なので $\underline{\text{下に凸}}$ です。

(2) 両端の値は $x$${}= -1$ のとき $y$${}= 1$，$x$${}= 2$ のとき $y$${}= 4$ です。しかし、ここで「値域は $1$${}\leqq y$${}\leqq 4$」とするのは誤りです。定義域 $-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ の中に頂点の $x$${}= 0$ が含まれていて、そこで $y$${}= 0$ をとるからです。

グラフは $x$${}= -1$ から $x$${}= 0$ まで下がって $y$${}= 0$ に達し、そこから $x$${}= 2$ まで上がって $y$${}= 4$ になります。よって

$$\underline{0 \leqq y \leqq 4}$$

一次関数では「両端を調べれば十分」でしたが、放物線では途中で向きが変わるので、頂点が定義域に入っているかどうかを必ず確かめます。これが第3章「最大・最小」の中心テーマになります。

第2章へ——頂点を原点から動かす

この章の放物線は、どれも頂点が原点にありました。では $y$${}= 2(x - 3)^2$${}+ 1$ のグラフはどうなるでしょう。$x$${}= 3$ のとき $(x - 3)^2$${}= 0$ で $y$${}= 1$ が最小になるので、頂点は $(3,\ 1)$ です。実はこのグラフは、$y$${}= 2x^2$ のグラフを形を変えずにそのまま動かして、頂点を $(3,\ 1)$ に移したもの（平行移動）になっています。公式5の $y$${}= |x - p|$ が「$y$${}= |x|$ の V 字を右に $p$ ずらした形」だったのと同じしくみです。

ところが $y$${}= 2(x - 3)^2$${}+ 1$ を展開すると $y$${}= 2x^2$${}- 12x$${}+ 19$ となり、この形からは頂点が見えません。第2章では、展開された式を $a(x - p)^2$${}+ q$ の形に戻す技術＝平方完成を学び、どんな二次関数のグラフも「$y$${}= ax^2$ の平行移動」としてかけるようにします。