第10章　不等式の証明

(1) $a$${}> b$ のとき、不等式 $\dfrac{2a + b}{3}$${}> \dfrac{a + 2b}{3}$ が成り立つことを示しなさい。

(2) $x$${}> 1$，$y$${}> 1$ のとき、不等式 $xy$${}+ 1$${}> x$${}+ y$ が成り立つことを示しなさい。

【解答】

(1) 差をとります。

$a$${}> b$ より $a$${}- b$${}> 0$ なので、差は正です。よって $\dfrac{2a + b}{3}$${}> \dfrac{a + 2b}{3}$ です。（証明終）

(2) 差をとって因数分解します。

$x$${}> 1$，$y$${}> 1$ より $x$${}- 1$${}> 0$，$y$${}- 1$${}> 0$ なので、積は正です。よって $xy$${}+ 1$${}> x$${}+ y$ です。（証明終）

(2) では、差を「正の数 $\times$ 正の数」の形にしたことで、符号がすぐに分かりました。

次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどのようなときかを求めなさい。

(1) $a^2$${}+ b^2$${}\geqq 2ab$

(2) $a^2$${}+ b^2$${}+ c^2$${}\geqq ab$${}+ bc$${}+ ca$

【解答】

(1)

よって $a^2$${}+ b^2$${}\geqq 2ab$ です。等号は $a$${}- b$${}= 0$、つまり $\underline{a = b}$ のときに成り立ちます。（証明終）

(2) 第9章の例題5(2) で示した等式を使います。

よって $a^2$${}+ b^2$${}+ c^2$${}\geqq ab$${}+ bc$${}+ ca$ です。等号は $a$${}- b$${}= 0$，$b$${}- c$${}= 0$，$c$${}- a$${}= 0$ がすべて成り立つとき、つまり $\underline{a = b = c}$ のときに成り立ちます。（証明終）

(1) $a$${}> 0$，$b$${}> 0$ のとき、不等式 $\sqrt{a}$${}+ \sqrt{b}$${}> \sqrt{a + b}$ が成り立つことを示しなさい。

(2) 不等式 $|a|$${}+ |b|$${}\geqq |a + b|$ を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどのようなときかを求めなさい。

【解答】

(1) 両辺は正なので、2乗の差を調べます。

よって $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$${}> (\sqrt{a + b})^2$ で、$\sqrt{a}$${}+ \sqrt{b}$${}> 0$，$\sqrt{a + b}$${}> 0$ なので $\sqrt{a}$${}+ \sqrt{b}$${}> \sqrt{a + b}$ です。（証明終）

(2) 両辺は $0$ 以上なので、2乗の差を調べます。$|a|^2$${}= a^2$，$|a||b|$${}= |ab|$ を使うと

（$|ab|$${}\geqq ab$ だからです。）よって $|a|$${}+ |b|$${}\geqq |a + b|$ です。（証明終）

等号は $|ab|$${}= ab$、つまり $\underline{ab \geqq 0}$ のときに成り立ちます。

(2) は第4章の厳密定義で場合分けによって証明した三角不等式です。2乗を使うと、場合分けなしで示せます。

(1) $a$${}> 0$ のとき、不等式 $a$${}+ \dfrac{1}{a}$${}\geqq 2$ を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどのようなときかを求めなさい。

(2) $a$${}> 0$，$b$${}> 0$ のとき、不等式 $\left(a + \dfrac{1}{b}\right)\left(b + \dfrac{1}{a}\right)$${}\geqq 4$ を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどのようなときかを求めなさい。

【解答】

(1) $a$${}> 0$，$\dfrac{1}{a}$${}> 0$ なので、相加平均と相乗平均の大小関係より

（証明終）等号は $a$${}= \dfrac{1}{a}$ のとき、つまり $a^2$${}= 1$ で $a$${}> 0$ より $\underline{a = 1}$ のときです。

(2) 左辺を展開します。

$ab$${}> 0$ なので、(1) と同じように $ab$${}+ \dfrac{1}{ab}$${}\geqq 2$ です。よって左辺 $\geqq 2$${}+ 2$${}= 4$ です。（証明終）

等号は $ab$${}= \dfrac{1}{ab}$、つまり $\underline{ab = 1}$ のときに成り立ちます。

積 $a \cdot \dfrac{1}{a}$${}= 1$ のように、2つの数をかけると文字が消える組を見つけるのが、相加平均と相乗平均を使うコツです。

(1) $x$${}> 0$ のとき、$x$${}+ \dfrac{9}{x}$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

(2) $x$${}> 1$ のとき、$x$${}+ \dfrac{1}{x - 1}$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

【解答】

(1) $x$${}> 0$，$\dfrac{9}{x}$${}> 0$ なので

等号は $x$${}= \dfrac{9}{x}$、つまり $x$${}= 3$ のときに成り立ちます。よって、$\underline{x = 3 \ \text{のとき最小値} \ 6}$ です。

(2) このままでは積 $x \cdot \dfrac{1}{x - 1}$ から文字が消えません。そこで $x$${}- 1$ のかたまりをつくります。

$x$${}> 1$ より $x$${}- 1$${}> 0$ なので

よって $x$${}+ \dfrac{1}{x - 1}$${}\geqq 2$${}+ 1$${}= 3$ です。等号は $x$${}- 1$${}= \dfrac{1}{x - 1}$、つまり $(x - 1)^2$${}= 1$ で $x$${}- 1$${}> 0$ より $x$${}= 2$ のときに成り立ちます。よって、$\underline{x = 2 \ \text{のとき最小値} \ 3}$ です。

$x^2$${}+ y^2$${}= 1$ のとき、$3x$${}+ 4y$ の最大値と最小値を求めなさい。

【解答】

コーシー・シュワルツの不等式で $a$${}= 3$，$b$${}= 4$ とすると

$x^2$${}+ y^2$${}= 1$ なので $(3x + 4y)^2$${}\leqq 25$、つまり

等号は $3y$${}= 4x$ のときに成り立ちます。$y$${}= \dfrac{4}{3}x$ を $x^2$${}+ y^2$${}= 1$ に代入すると $\dfrac{25}{9}x^2$${}= 1$ より $x$${}= \pm\dfrac{3}{5}$ です。

• $x$${}= \dfrac{3}{5}$，$y$${}= \dfrac{4}{5}$ のとき $3x$${}+ 4y$${}= \dfrac{9}{5}$${}+ \dfrac{16}{5}$${}= 5$
• $x$${}= -\dfrac{3}{5}$，$y$${}= -\dfrac{4}{5}$ のとき $3x$${}+ 4y$${}= -5$

どちらの値にも実際に届くので、$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}\text{最大値} \ 5，\ \text{最小値}}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7667em}{}\ -5}$ です。