第8章　分数式

分数式と約分

第7章の最後の問題で、$\dfrac{2}{x}$ のように分母に文字がある式が少しだけ登場しました。この章では、こうした式を正面から扱います。

公式1：分数式と約分

$A$，$B$ を整式とし、$B$ は定数でないとする（$B$ に文字を含む）。このとき $\dfrac{A}{B}$ の形の式を分数式といい、$A$ を分子、$B$ を分母という。整式と分数式を合わせて有理式という。

分数式は、分子と分母に $0$ でない同じ整式をかけても、同じ整式で割っても値は変わらない。

$\displaystyle \frac{A}{B}$$\displaystyle {}= \frac{AC}{BC}$$\displaystyle (C \neq 0)$

分子と分母を共通な因数で割ることを約分といい、それ以上約分できない分数式を既約分数式という。

数の分数 $\dfrac{6}{8}$${}= \dfrac{3}{4}$ と同じです。約分するには、分子と分母を因数分解して、共通な因数を見つけます。

$\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3x + 2}$$\displaystyle {}= \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}$$\displaystyle {}= \frac{x-1}{x+2}$

気をつけたいのは、約分できるのはかけ算でくっついた因数だけだということです。$\dfrac{x+2}{x+3}$ の $x$ を上下で消して $\dfrac{2}{3}$ とするのは誤りです。$x$${}= 1$ を入れると、もとの式は $\dfrac{3}{4}$ なのに $\dfrac{2}{3}$ にはなりません。

また、分数式では分母が $0$ になる値は考えません。上の例では、もとの式にも約分した式にも $x$${}= -1$，$x$${}= -2$ は代入できないものとして扱います。

ジュースの素（濃縮液）と水を $2 : 6$ で混ぜても $1 : 3$ で混ぜても、同じ濃さのジュースになります。両方を同じ割合で増やしたり減らしたりしても、濃さ（比の値）は変わりません。約分も、分子と分母を同じもので割って、値を変えずに式を小さくする作業です。

分数式は分子と分母を因数分解し、共通な因数だけを消せば約分できるということです。

例題1：約分

次の分数式を約分した式を求めなさい。

(1) $\dfrac{6a^2b^3}{9a^3b}$

(2) $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$

(3) $\dfrac{x^3 - 1}{x^2 + x - 2}$

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【解答】

(1) 数の部分は $6$ と $9$ の最大公約数 $3$ で、文字の部分は $a^2$ と $b$ で割ります。

$\displaystyle \frac{6a^2b^3}{9a^3b}$$\displaystyle {}= \frac{2b^2}{3a}$

(2) 分子と分母を因数分解します。

$\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$$\displaystyle {}= \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}$$\displaystyle {}= \frac{x+2}{x+3}$

(3) 分子は第2章の $a^3$${}- b^3$ の公式で因数分解できます。

$\displaystyle \frac{x^3 - 1}{x^2 + x - 2}$$\displaystyle {}= \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+2)}$$\displaystyle {}= \frac{x^2 + x + 1}{x+2}$

分数式の乗法・除法

公式2：分数式の乗法・除法

$\displaystyle \frac{A}{B} \times \frac{C}{D}$$\displaystyle {}= \frac{AC}{BD},$$\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D}$$\displaystyle {}= \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}$$\displaystyle {}= \frac{AD}{BC}$

わり算は、割る式の分子と分母を入れかえた式（逆数）をかけ算する。

計算の順序は、先に因数分解してから約分し、残ったものをかけるのが基本です。先に展開してしまうと、共通な因数が見えなくなります。

わり算がなぜ逆数のかけ算になるのかは、数で考えると分かります。$3$ L の水を $\dfrac{1}{2}$ L のペットボトルに分けると、$6$ 本になります。$\dfrac{1}{2}$ L のボトル2本で $1$ L なので、$3$ L なら $3 \times 2$${}= 6$ 本です。「$\dfrac{1}{2}$ で割る」ことは「$2$ をかける」ことと同じです。

分数式のかけ算は因数分解してから約分し、わり算は逆数にしてかけ算に直せばよいということです。

例題2：乗法・除法

次の式を計算した結果を求めなさい。

(1) $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 2x} \times \dfrac{x}{x - 3}$

(2) $\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1} \div \dfrac{x - 2}{x^2 + x}$

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【解答】

(1) 因数分解してから約分します。

$\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x} \times \frac{x}{x - 3}$$\displaystyle {}= \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+2)} \times \frac{x}{x-3}$$\displaystyle {}= \frac{x+3}{x+2}$

(2) 割る式を逆数にして、かけ算に直します。

$\displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1} \div \frac{x - 2}{x^2 + x}$$\displaystyle {}= \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} \times \frac{x(x+1)}{x-2}$$\displaystyle {}= \frac{x(x+1)}{x-1}$

答えの分母・分子は、展開せずに因数分解した形のままにしておくのがふつうです。

分数式の加法・減法

公式3：分数式の加法・減法

分母が同じときは、分子どうしをたし引きする。

$\displaystyle \frac{A}{C}$$\displaystyle {}+ \frac{B}{C}$$\displaystyle {}= \frac{A + B}{C},$$\displaystyle \frac{A}{C}$$\displaystyle {}- \frac{B}{C}$$\displaystyle {}= \frac{A - B}{C}$

分母が異なるときは、分母を同じにしてから計算する。これを通分という。

通分するときは、各分母を因数分解し、すべての因数を過不足なく含む式を共通の分母にします。数でいえば、$\dfrac{1}{4}$${}+ \dfrac{1}{6}$ を分母 $24$ ではなく最小公倍数 $12$ にそろえるのと同じです。そろえたあと、分子を整理して、約分できるかどうかを最後に確かめます。

4等分のケーキと6等分のケーキを1切れずつ食べたとき、合わせてどれだけ食べたかは、切り方がちがうままでは比べられません。両方を12等分に切り直すと、$3$ 切れと $2$ 切れで合わせて $5$ 切れ、つまり $\dfrac{5}{12}$ だと分かります。通分は、この「同じ大きさのピースに切り直す」作業です。

分母が異なる分数式は、分母を因数分解して共通の分母にそろえてから分子をたし引きし、最後に約分を確かめるということです。

例題3：加法・減法

次の式を計算した結果を求めなさい。

(1) $\dfrac{1}{x - 1}$${}+ \dfrac{2}{x + 2}$

(2) $\dfrac{1}{x - 1}$${}- \dfrac{2}{x^2 - 1}$

(3) $\dfrac{x}{x^2 - 1}$${}- \dfrac{1}{x^2 + x}$

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【解答】

(1) 共通の分母は $(x-1)(x+2)$ です。

$\displaystyle \frac{1}{x - 1}$$\displaystyle {}+ \frac{2}{x + 2}$$\displaystyle {}= \frac{(x + 2) + 2(x - 1)}{(x-1)(x+2)}$$\displaystyle {}= \frac{3x}{(x-1)(x+2)}$

(2) $x^2$${}- 1$${}= (x-1)(x+1)$ なので、共通の分母は $(x-1)(x+1)$ です。

$\displaystyle \frac{1}{x - 1}$$\displaystyle {}- \frac{2}{(x-1)(x+1)}$$\displaystyle {}= \frac{(x + 1) - 2}{(x-1)(x+1)}$$\displaystyle {}= \frac{x - 1}{(x-1)(x+1)}$$\displaystyle {}= \frac{1}{x+1}$

最後に約分できました。計算のあとで約分を確かめる習慣をつけましょう。

(3) $x^2$${}- 1$${}= (x-1)(x+1)$，$x^2$${}+ x$${}= x(x+1)$ なので、共通の分母は $x(x-1)(x+1)$ です。

$\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x+1)}$$\displaystyle {}- \frac{1}{x(x+1)}$$\displaystyle {}= \frac{x \cdot x - (x - 1)}{x(x-1)(x+1)}$$\displaystyle {}= \frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)(x+1)}$

分子の $x^2$${}- x$${}+ 1$ は、分母の因数 $x$，$x$${}- 1$，$x$${}+ 1$ のどれでも割り切れないので、これ以上約分できません。

分子の次数を下げる

公式4：分子の次数を下げる

分子 $A$ の次数が分母 $B$ の次数以上のときは、$A$ を $B$ で割って $A$${}= BQ$${}+ R$ とすると

$\displaystyle \frac{A}{B}$$\displaystyle {}= Q$$\displaystyle {}+ \frac{R}{B}$$\displaystyle (R \ \text{の次数} < B \ \text{の次数})$

と、整式と「分子の次数が分母より低い分数式」の和に書きかえられる。

第7章の整式の除法をそのまま使います。数の分数でいえば、仮分数 $\dfrac{7}{3}$ を帯分数 $2\dfrac{1}{3}$${}= 2$${}+ \dfrac{1}{3}$ に直すことにあたります。

$150$ 分は「$2$ 時間 $30$ 分」と言いかえられます。$60$ 分のかたまりをできるだけ取り出して、残りの $30$ 分を端数として添える言い方です。分子の次数下げも、分母で割り切れる部分（商 $Q$）を取り出し、割り切れない端数（$\dfrac{R}{B}$）だけを分数式として残します。

この形にしておくと、分子が簡単になるので、たし算・ひき算が楽になることがあります。

分子の次数が高い分数式は、分子を分母で割って「商 ＋ 余り／分母」の形にすると、扱いやすくなるということです。

例題4：分子の次数を下げる

(1) $\dfrac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}$ を「整式 ＋ 分子の次数が分母より低い分数式」の形に表しなさい。

(2) $\dfrac{x + 3}{x + 1}$${}- \dfrac{x + 4}{x + 2}$ を計算した結果を求めなさい。

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【解答】

(1) 分子を $x$${}+ 1$ で割ります。

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ 3x$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}= x(x + 1)$$\displaystyle {}+ (2x + 5)$$\displaystyle 2x$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}= 2(x + 1)$$\displaystyle {}+ 3$

よって $x^2$${}+ 3x$${}+ 5$${}= (x + 1)(x + 2)$${}+ 3$ なので

$\displaystyle \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}$$\displaystyle {}= x$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ \frac{3}{x + 1}$

(2) それぞれの分子の次数を下げます。$x$${}+ 3$${}= (x + 1)$${}+ 2$，$x$${}+ 4$${}= (x + 2)$${}+ 2$ なので

$\displaystyle \frac{x + 3}{x + 1}$$\displaystyle {}- \frac{x + 4}{x + 2}$$\displaystyle {}= \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)$$\displaystyle {}- \left(1 + \frac{2}{x + 2}\right)$$\displaystyle {}= \frac{2}{x + 1}$$\displaystyle {}- \frac{2}{x + 2}$$\displaystyle {}= \frac{2(x + 2) - 2(x + 1)}{(x+1)(x+2)}$$\displaystyle {}= \frac{2}{(x+1)(x+2)}$

そのまま通分すると分子に $x^2$ の項が出てきますが、先に次数を下げたので $1$ どうしが打ち消し合い、計算が短くなりました。

部分分数分解

通分とは逆に、1つの分数式をいくつかの簡単な分数式の和や差に分けることを考えます。

公式5：部分分数分解

$a$${}\neq b$ のとき

$\displaystyle \frac{1}{(x + a)(x + b)}$$\displaystyle {}= \frac{1}{b - a}\left(\frac{1}{x + a} - \frac{1}{x + b}\right)$

特に $b$${}= a$${}+ 1$ のときは

$\displaystyle \frac{1}{(x + a)(x + a + 1)}$$\displaystyle {}= \frac{1}{x + a}$$\displaystyle {}- \frac{1}{x + a + 1}$

このように分けることを部分分数に分解するという。

右辺を通分すれば、左辺に戻ることが確かめられます。

$\displaystyle \frac{1}{x + a}$$\displaystyle {}- \frac{1}{x + b}$$\displaystyle {}= \frac{(x + b) - (x + a)}{(x + a)(x + b)}$$\displaystyle {}= \frac{b - a}{(x + a)(x + b)}$

分子に $b$${}- a$ が出てくるので、その分を $\dfrac{1}{b - a}$ で割って調整しているわけです。

ハンバーガーとポテトのセットメニューは、単品に分けて考えると値段の比べ方が見えやすくなります。部分分数分解も、「かけ算でまとまった分母」を「単品の分母」に分ける作業です。分けておくと、次の例題のように、たくさんの分数式の和でとなりどうしが打ち消し合い、最初と最後だけが残ることがあります。

分母が2つの1次式の積になった分数式は、2つの分数式の差に分けられ、和を求めるときにとなりどうしが打ち消し合うということです。

例題5：部分分数分解

(1) $\dfrac{1}{x(x + 2)}$ を部分分数に分解した式を求めなさい。

(2) $\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$${}+ \dfrac{1}{(x+2)(x+3)}$${}+ \dfrac{1}{(x+3)(x+4)}$ を計算した結果を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式5で $a$${}= 0$，$b$${}= 2$ とすると $b$${}- a$${}= 2$ なので

$\displaystyle \frac{1}{x(x + 2)}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}\right)$

(2) 各項は分母の2つの因数の差が $1$ なので、そのまま差に分けられます。

$\displaystyle \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right)$$\displaystyle {}+ \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right)$$\displaystyle {}+ \left(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right)$$\displaystyle {}= \frac{1}{x+1}$$\displaystyle {}- \frac{1}{x+4}$$\displaystyle {}= \frac{(x + 4) - (x + 1)}{(x+1)(x+4)}$$\displaystyle {}= \frac{3}{(x+1)(x+4)}$

$\dfrac{1}{x+2}$ と $\dfrac{1}{x+3}$ が打ち消し合い、最初と最後の項だけが残りました。

繁分数式

公式6：繁分数式

分子や分母に分数式を含む式を繁分数式という。繁分数式は

• 分子と分母に同じ式をかけて、中の分母を払う
• または、$\dfrac{A}{B}$${}= A \div B$ と見て、わり算に直す

のどちらかの方法で簡単にする。

たとえば $\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ なら、分子と分母に $x$ をかけると、中の分母がすべて消えて $\dfrac{x - 1}{x + 1}$ になります。かける式は、中に出てくる分母をすべて含むものを選びます。

繁分数は、速さの計算で自然に現れます。$\dfrac{1}{2}$ km の道のりを $\dfrac{1}{6}$ 時間（$10$ 分）で歩いたときの時速は

$\displaystyle \frac{\ \frac{1}{2}\ }{\ \frac{1}{6}\ }$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \div \frac{1}{6}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \times 6$$\displaystyle {}= 3 \ (\text{km/時})$

です。「道のり $\div$ 時間」をそのまま分数で書くと、分数の中に分数が入った形になります。

分数の中に分数がある式は、中の分母をまとめて払うか、わり算に直せば、ふつうの分数式になるということです。

例題6：繁分数式

次の式を簡単にした式を求めなさい。

(1) $\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

(2) $\dfrac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}}$

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【解答】

(1) 中の分母 $x$，$x^2$ をまとめて払うため、分子と分母に $x^2$ をかけます。

$\displaystyle \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}$$\displaystyle {}= \frac{x^2 - x}{x^2 - 1}$$\displaystyle {}= \frac{x(x - 1)}{(x-1)(x+1)}$$\displaystyle {}= \frac{x}{x + 1}$

(2) 内側から順に計算します。まず分母の部分は

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}- \frac{1}{1 - x}$$\displaystyle {}= \frac{(1 - x) - 1}{1 - x}$$\displaystyle {}= \frac{-x}{1 - x}$

です。その逆数をとって

$\displaystyle \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}}$$\displaystyle {}= \frac{1 - x}{-x}$$\displaystyle {}= \frac{x - 1}{x}$

段が深い繁分数式は、いちばん内側から1段ずつ片づけると迷いません。

$x$${}+ \frac{1}{x}$ の値と式の値

第3章では、$x$${}+ y$ と $xy$ の値から $x^2$${}+ y^2$ などの対称式の値を求めました。$y$ の代わりに $\dfrac{1}{x}$ を考えると、$x \cdot \dfrac{1}{x}$${}= 1$ という便利な性質が使えます。

公式7：x + 1/x を用いた式の値

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ \frac{1}{x^2}$$\displaystyle {}= \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle x^3$$\displaystyle {}+ \frac{1}{x^3}$$\displaystyle {}= \left(x + \frac{1}{x}\right)^3$$\displaystyle {}- 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$

1つめは $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2$${}= x^2$${}+ 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x}$${}+ \dfrac{1}{x^2}$${}= x^2$${}+ 2$${}+ \dfrac{1}{x^2}$ から、2つめは第1章の $(a+b)^3$ の展開から導けます。どちらも、$x$ と $\dfrac{1}{x}$ の積が $1$ になるので、途中の項が数だけになります。

コピー機で $x$ 倍に拡大したあと $\dfrac{1}{x}$ 倍に縮小すると、元の大きさに戻ります。$x$ と $\dfrac{1}{x}$ は、かけると必ず $1$ になる「行きと帰り」のペアです。この性質のおかげで、$x$ そのものの値を求めなくても、和 $x$${}+ \dfrac{1}{x}$ だけからいろいろな式の値が決まります。

$x$ と $\dfrac{1}{x}$ の積は $1$ なので、和 $x$${}+ \dfrac{1}{x}$ が分かれば、$x^2$${}+ \dfrac{1}{x^2}$ や $x^3$${}+ \dfrac{1}{x^3}$ の値も決まるということです。

例題7：x + 1/x の値から式の値を求める

$x$${}+ \dfrac{1}{x}$${}= 3$ のとき、次の式の値を求めなさい。

(1) $x^2$${}+ \dfrac{1}{x^2}$

(2) $x^3$${}+ \dfrac{1}{x^3}$

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【解答】

(1)

$\displaystyle x^2$$\displaystyle {}+ \frac{1}{x^2}$$\displaystyle {}= \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}= 3^2$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}= 7$

(2)

$\displaystyle x^3$$\displaystyle {}+ \frac{1}{x^3}$$\displaystyle {}= \left(x + \frac{1}{x}\right)^3$$\displaystyle {}- 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$$\displaystyle {}= 27$$\displaystyle {}- 9$$\displaystyle {}= 18$

$x$ の値は $\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ ですが、それを代入しなくても答えが出ました。