問1
長さ の線分 の垂直二等分線を作図するため、， を中心に等しい半径 の円をかきます。2 つの円が 2 点で交わるような の範囲を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
（ だと 1 点で接し、 だと交わらない）
自己採点：
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目次 ／ 図形の性質 ／ 数学A
第6章 作図
—— 目盛りのない定規とコンパスだけで、どこまで描けるか ——
これまでの章では、図形の性質を「調べる」側に立ってきました。この章では、定規とコンパスだけを使って図形を「描く」側に回ります。垂直二等分線や角の二等分線といった中学で学んだ作図に根拠をつけ直したあと、平行線を使って線分を好きな比に分ける方法、長さの足し算・掛け算・割り算、そして平方根まで作図で求める方法を学びます。第5章で予告した「円の外の点から接線を引く作図」と「長さ $\sqrt{ab}$ の作図」もここで回収します。最後に、条件から三角形を組み立てる作図題を、解析・作図・証明・吟味の 4 段階で解きます。
作図の約束
この章でいう作図とは、次の 2 つの道具だけを使い、決まった操作を有限回くり返して図形をかくことです。
- 定規：2 点を通る直線（線分）を引くためだけに使う。目盛りは使わない。
- コンパス：中心と半径を決めて円（円弧）をかく。ある線分の長さをコンパスの開きで写しとり、別の場所に同じ長さをとることもできる。
新しい点は、かいた直線や円どうしの交点としてだけ得られます。「分度器で を測る」「目盛りで を測る」はできません。そのかわり、作図した図形が正しいことは、これまでの章の定理で証明できます。作図は、図形の性質を「使う」練習でもあるのです。
基本の作図——4 つの道具を組み立てる
中学で学んだ作図を、根拠といっしょに整理し直します。どれも、この先のすべての作図の部品になります。
公式1：基本の作図
- 線分 の垂直二等分線：， を中心に、等しい半径（ より大きく）で円をかき、その 2 つの交点を結ぶ。
- の二等分線： を中心とする円が半直線 ， と交わる点を ， とする。， を中心に等しい半径で円をかき、その交点を とすると、半直線 が二等分線。
- 点 を通り直線 に垂直な直線： を中心とする円が と交わる 2 点を ， とし、線分 の垂直二等分線を引く（ は 上にあっても外にあってもよい）。
- 点 を通り直線 に平行な直線： 上に 2 点 ， をとる。 を中心に半径 、 を中心に半径 の円をかき、直線 について と反対側にある交点を とすると、直線 が求める平行線。
根拠はそれぞれ次のとおりです。
- (1) 2 つの交点は、どちらも と から等距離です。第2章で学んだように、， から等距離な点は線分 の垂直二等分線の上にあり、2 点を通る直線は 1 本しかありません。
- (2) （同じ円の半径）、（等しい半径）、 は共通。3 辺が等しいので となり、 です。
- (3) なので、 は線分 の垂直二等分線の上にあります。その垂直二等分線は （直線 ）に垂直です。
- (4) 四角形 は ， で、2 組の向かい合う辺がそれぞれ等しいので平行四辺形です。よって 。（(3) を 2 回使い、「垂線の垂線」として平行線を引いてもかまいません。）
運動会の前に、校庭に白線を引く場面を考えてみましょう。2 本の杭 ， の真ん中を垂直に横切るラインを引きたいとき、同じ長さのロープを 2 本用意し、それぞれ ， に結んで先端を合わせます。ロープをぴんと張って先端が重なる場所は、 側と 側に 1 か所ずつ。その 2 か所に印をつけて結べば、ちょうど真ん中を垂直に通るラインになります。コンパスがやっているのは、このロープの仕事です。
基本の作図は、どれも「コンパスで等しい長さを 2 つ作る」ことで、垂直二等分線・合同・平行四辺形といった既知の性質に持ち込んでいるということです。
例題1：内接円の作図
の内接円を作図する手順を示しなさい。また、その円が 3 辺に接する理由を示しなさい。
【解答】
手順
- と の二等分線を作図し（公式1 (2)）、その交点を とする。
- を通り辺 に垂直な直線を作図し（公式1 (3)）、 との交点を とする。
- を中心に半径 の円をかく。
理由 から辺 ， に下ろした垂線の足を ， とします。角の二等分線上の点は角の 2 辺から等距離なので（第2章）、 の二等分線上にある は 、 の二等分線上にあるので 。よって で、円は ，， を通ります。しかも各辺は、それぞれの点を通る半径に垂直なので、第5章 公式1 より円の接線です。（証明終）
は の二等分線の上にもあるので（第2章 内心）、3 本目の二等分線を引く必要はありません。2 本で交点が決まれば十分です。
平行線で比を作る——内分点・外分点の作図
目盛りのない定規では、線分を「 と に分ける」ことはできません。けれども「 に分ける」ことならできます。第1章 公式1（平行線と線分の比）を使うのです。
公式2：内分点・外分点の作図
線分 と正の整数 ， が与えられたとする。 から直線 と異なる向きに半直線 を引き、その上にコンパスで等間隔に点 ，，，… をとる（）。
- に内分する点： と を結び、 を通って に平行な直線を引く。これと の交点 が求める点。
- に外分する点（）： と を結び、 を通って に平行な直線を引く。これと直線 の交点 が求める点。
(1) は、 なので 。残りが なので です。
(2) は、 なので 。 は の先にあり、 なので、， とおくと 、つまり です（第1章 公式2 の「外分は差が全体」）。
窓のブラインドを思い浮かべてください。羽根は等間隔に平行に並んでいます。その上に、糸を斜めに 1 本張ると、糸は羽根によって等間隔に区切られます。糸を張る角度を変えると区切られる長さは変わりますが、「等間隔」であることは変わりません。公式2 は、半直線 の上に等間隔の目印を自分で作り、平行線という羽根で、その等間隔を線分 の上へ運んでいるのです。
長さそのものは測れなくても、コンパスで作った等間隔を平行線で写せば、線分を好きな整数の比に分けられるということです。
例題2：3 : 2 の内分点と外分点
線分 を に内分する点 と、 に外分する点 を作図する手順を示しなさい。また、 のとき、， を求めなさい。
【解答】
手順 から半直線 を引き、等間隔に ，，…， をとる。
- と を結び、 を通って に平行な直線を引く。 との交点が 。
- と を結び、 を通って に平行な直線を引く。直線 との交点が （ なので を使う）。
長さ 公式2 の根拠から ， なので
確かめ： で 、 で 。
第1章の小話1 で紹介したアポロニウスの円—— となる点 全体——は、この と を結ぶ線分を直径とする円でした。ここまで来れば、 の垂直二等分線で中点を求めて円をかくだけで、アポロニウスの円も作図できます。
長さの計算を作図する——和・差・積・商
長さ の線分（単位の長さ）が 1 本与えられていれば、長さ ， の線分から ，，， の線分が作図できます。
公式3：和・差・積・商の作図
長さ ，， の線分が与えられたとする。
- 和 ・差 （）：直線上に、コンパスで長さ と を続けて（差のときは折り返して）とる。
- 積 ：点 から 2 本の半直線 ， を引く。 上に ，、 上に をとる。 を通り に平行な直線と の交点を とすると 。
- 商 ： 上に 、 上に ， をとる。 を通り に平行な直線と の交点を とすると 。
(2) は なので 、すなわち から 。(3) は なので 、すなわち から です。
コピー機の「拡大」ボタンに似ています。長さ の原稿を に拡大する倍率を決めておけば、同じ倍率で長さ の原稿をコピーすると になります。公式3 (2) では、 の拡大（）が倍率を決め、平行線がその倍率を 側の にかけています。商は、その逆向きの縮小です。
単位の長さ は、この「倍率」を決めるためにどうしても必要です。 がなければ、 が「どの長さの何倍か」が決まりません。
単位の長さ があれば、平行線で倍率を写すことで、長さの掛け算・割り算まで作図でできるということです。
例題3：2 乗と逆数の作図
長さ と の線分が与えられたとき、長さ と の線分を作図する手順を、公式3 の記号を使って示しなさい。
【解答】
：公式3 (2) で とします。 上に ，、 上に をとり、 を通り に平行な直線と の交点を とすると
：公式3 (3) で、 のところに 、 のところに を入れます。 上に 、 上に ， をとり、 を通り に平行な直線と の交点を とすると
どちらも図は fig06 と同じ形で、点をとる位置を変えるだけです。たとえば なら と 。 の作図で を と同じ長さにとる操作は、コンパスで の長さを 上に写すだけです。
平方根の作図——半円の高さ
足し算・掛け算に続いて、平方根も作図できます。ここで、第4章の「直径に対する円周角は 」と、第5章の方べきの定理が活躍します。
公式4：平方根の作図
直線上に ， となるように点 ，， をこの順にとる。 を直径とする円をかき、 を通り に垂直な直線がこの円と交わる点を とすると
特に とすれば が作図できる。
理由（相似で） （第4章 公式2）なので、直角三角形 で は斜辺への垂線です。 と は、、 で相似なので
理由（方べきで） 直線 が円ともう一度交わる点を とすると、 なので は弦 の中点で （弦の垂直二等分線は中心を通る）。交わる弦の方べきの定理（第5章 公式4 (i)）より 、つまり 。
第5章の例題4 で「高さの積の平方根」が出てきました。あの を実際の長さとして描く方法が、公式4 です。
長方形の布を、同じ面積の正方形のハンカチに仕立て直すことを考えてみてください。縦 、横 の布と同じ面積の正方形は、1 辺が です。公式4 は、この「長方形を正方形に直す」作業を、半円 1 つでやってのけます。
ほかに、直角三角形を使う方法もあります。直角をはさむ 2 辺が ， の直角三角形をかけば、斜辺は （三平方の定理）です。
長さ と を並べて半円をかき、つなぎ目で立てた垂線の高さが になるということです。 にすれば が作図できます。
例題4：平方根の作図
(1) 公式4 の図で ， とします。 の長さと、円の中心 から までの距離 を求めなさい。
(2) 長さ の線分から、長さ の線分を作図する方法を 2 通り示しなさい。
【解答】
(1) 公式4 より 。 円の半径は で、 は の中点なので
確かめ： で となり、 が半径に一致します。
(2) 1 通り目（半円）：長さ をコンパスで 5 回続けて写して を作り、その先に をとる。 を直径とする円と、 を通る垂線の交点を とすると、公式4 より 。
2 通り目（三平方）：長さ を 2 回写して長さ の線分 を作り、 で に垂直な直線を引いて（公式1 (3)）、その上に をとる。直角三角形 の斜辺は
どちらでもかまいません。 のように「2 つの平方数の和」になっている数は三平方が手早く、 のようにそうならない数は半円が確実です。
接線の作図——直径の円で直角を作る
第5章で「接線は接点を通る半径に垂直」と学びました。これを作図の言葉に直すと、接点 は「 となる円周上の点」です。直角を作る点の集まりは、第4章で学んだ「直径に対する円周角」の円でした。
公式5：接線の作図
- 円周上の点 における接線：半径 を引き、 を通り に垂直な直線を作図する（公式1 (3)）。
- 円の外の点 から引く接線：線分 の垂直二等分線で中点 を求め、 を中心に半径 の円をかく。この円と円 の 2 つの交点を ， とすると、直線 ， が求める接線。
(2) の理由： は を直径とする円の上にあるので （第4章 公式2）。 は円 の半径 に で垂直なので、第5章 公式1 の逆より、 における接線です。 も同じです。
夜の海で、灯台 から丸い島 に光を向ける場面を思い浮かべてください。島の輪郭をぎりぎりかすめる光の筋が 2 本あります。かすめる点では、光の筋と島の中心へ向かう線が直角です。「灯台と島の中心を見込む角が直角になる場所」を探すのに、 を直径とする円を 1 つかけば済む、というのが公式5 (2) です。
接点は「 と を見込む角が直角になる点」なので、 を直径とする円をかけば一度に 2 つとも見つかるということです。
例題5：接線の作図と長さ
半径 の円 と、 の点 があります。公式5 (2) の作図で接点 ， を求めるとき、次のものを求めなさい。
(1) 補助の円（ を直径とする円）の半径
(2) 接線の長さ
(3) 弦 の長さ
【解答】
(1) 直径が なので、半径は 。
(2) なので、三平方の定理より
(3) と は直線 について対称なので、 で、交点を とすると 。 は直角三角形 の斜辺への高さなので、面積を 2 通りに表して
よって 。
は、円 と補助の円の共通弦でもあります。2 つの円の交点を結ぶ線分なので、2 つの中心 ， を結ぶ直線に垂直になっているのです。
作図題の解き方と、作図できる長さ
「条件を満たす図形を作図しなさい」という問題（作図題）は、次の 4 段階で考えます。
公式6：作図題の 4 段階と、作図できる長さ
- 解析：求める図形がかけたと仮定し、どの点がどんな条件で決まるかを調べる。
- 作図：解析にもとづいて手順を書く。
- 証明：その手順でかいた図形が、条件を満たすことを示す。
- 吟味：作図がいつでもできるか、答えがいくつあるかを調べる。
長さ から出発して、和・差・積・商・平方根を有限回くり返して表せる長さは、すべて作図できる（公式3・公式4）。逆に、作図で得られる長さはこの形のものに限られる（厳密定義ページ）。
解析でいちばん役に立つのは、「求める点を、2 つの条件それぞれを満たす点の集まりの交点としてつかまえる」考え方です。1 つの条件だけでは、点は線（直線や円）の上のどこかまでしか決まりません。条件を 2 つ重ねると、2 本の線の交点として、点が決まります。
宝の地図で「大きな木から 歩のところ」「川から 歩のところ」と書いてあれば、木を中心とする円と、川に平行な直線を地図にかき込み、交わったところを掘ります。1 つ目の条件だけでは円周全体を掘ることになりますが、2 つ目を重ねれば、候補は多くても 2 か所です。
後半の「作図できる長さ」は、作図の限界を教えてくれます。 のように平方根が何重になっても作図できますが、3 乗根 のような長さは、定規とコンパスでは作図できないことが知られています（三角比と三角関数の分野 第10章の厳密定義ページで「角の 3 等分はできない」ことに触れました。同じ理由です）。
作図題は「かけたとして条件を分析し、点を 2 本の線の交点として決める」問題で、作図で届く長さは「四則と平方根」で書ける長さだということです。
例題6：底辺・頂角・高さから三角形を作図する
線分 、角 （）、長さ が与えられています。 で、 から直線 までの距離が である を作図します。
(1) 作図の手順を示しなさい。
(2) ， のとき、この三角形が作図できるような の範囲を求めなさい。
【解答】
解析 は次の 2 つの条件を満たします。
- を角 で見込む点 → 直線 の片側では、， を通る円の弧の上（第4章 公式1・公式4）
- 直線 からの距離が → に平行で距離 の直線の上
弧をかくには、その円の中心 が要ります。接弦定理（第5章 公式3）を逆向きに使うと、 における接線 と弦 の角が になっていればよいことが分かります。
(1) 手順
- から、直線 について をかきたい側と反対側に、 となる半直線 を引く。角を写すには、角 の頂点を中心とする円で 2 辺上に点をとってできる三角形を、3 辺の長さをコンパスで写して のところに作り直せばよい（3 辺が等しいので合同）。 なら、 を 1 辺とする正三角形をかくだけで済む。
- を通り に垂直な直線と、 の垂直二等分線の交点を とし、 を中心に半径 の円をかく。
- を通り に垂直な直線上に （ をかきたい側）をとり、 を通り に平行な直線 を引く。
- 円の、直線 について と反対側の弧と、 との交点を とする。
証明 は の垂直二等分線上にあるので で、円は ， を通ります。 なので はこの円の接線です（第5章 公式1）。接弦定理より、 の内側にない弧の上の点 について 。また は 上にあるので、直線 からの距離は です。（証明終）
(2) 吟味 ， のとき、中心角は です。 の中点を とすると は の直角三角形なので
は鋭角なので は弧と同じ側にあり、弧の最も高い点（弧の中点）の からの距離は です。直線 が弧と共有点をもつのは がこれ以下のときなので
なら交点は 2 つできますが、2 つの三角形は の垂直二等分線について対称で合同です。 のときは交点が 1 つで、 かつ の正三角形（1 辺 の正三角形の高さはちょうど ）になります。
次の章へ
この章で、平面図形の作図までが終わりました。これで平面の話はひと区切りです。最後の第7章「空間図形」では、舞台を空間に移し、直線と平面の位置関係、多面体の頂点・辺・面の数のあいだに成り立つオイラーの多面体定理、そして正多面体が 5 種類しかない理由を学びます。平面で使ってきた「角の和」や「合同」の考え方が、空間ではどう生きるかを見ていきます。
基礎確認問題（全5問）
まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。
問2
線分 を に内分する点を公式2 の方法で作図します。半直線 上に等間隔の点 ，，… をとるとき、 と結ぶ点と、平行線を通す点を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
と を結び、 を通る平行線を引く
自己採点：
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問3
公式3 (2) の積の作図で、，， としました。 の長さを求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
より
自己採点：
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問4
公式4 の平方根の作図で、， としました。 の長さを求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
自己採点：
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問5
半径 の円 と の点 があり、 を直径とする円をかいて接点 を作図しました。 の大きさと、接線の長さ を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
，
自己採点：
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実践問題（全20問）
難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。
問1 ★
の二等分線を次の手順で作図しました。 を中心とする円と半直線 ， の交点を ， とし、， を中心に等しい半径の円をかいて、その交点のうち の内部にあるものを とする。このとき となることを示しなさい。
つまずいたときは：
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答え
3 辺が等しいので 、よって
解説
と で
- （ を中心とする同じ円の半径）
- （等しい半径でかいた円）
- は共通
3 組の辺がそれぞれ等しいので 。対応する角は等しいので 。（証明終）
を の内部にとるのは、半直線 が 2 辺のあいだを通るようにするためです。内部にない交点をとると、 は角の外側を向いてしまいます。
自己採点：
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問2 ★
長さ の線分 を に外分する点 を公式2 の方法で作図します。半直線 上の等間隔の点のうち、 と結ぶ点と平行線を通す点を答え、 と の長さを求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
と を結び、 を通る平行線を引く。，
解説
， なので、 より と を結び、 を通って に平行な直線を引きます（公式2 (2)）。
平行線と線分の比より
は の先にあるので 。確かめると です。
自己採点：
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問3 ★
公式3 (3) の商の作図で、 上に 、 上に ， をとり、 を通り に平行な直線と の交点を としました。 の長さを求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
解説
なので、 と は相似で
よって 。これは にあたります。
自己採点：
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問4 ★
公式4 の作図で ， としました。，， の長さを求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
，，
解説
公式4 より
なので、三平方の定理より
確かめ： で、 と合っています。 は ，， の直角三角形です。
自己採点：
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問5 ★
長さ の線分 から始めて、 で に垂直な直線を引き、その上に となる点 をとる作図を とくり返します。 を の式で表しなさい。また、 となる を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
，
解説
なので、三平方の定理より
から始めて 1 ずつ増えるので 、すなわち 。
より 。
この作図を続けると、直角三角形がかたつむりの殻のように並びます（「テオドロスのらせん」と呼ばれます）。，，，… がすべて定規とコンパスで順にかけることが分かります。
自己採点：
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問6 ★
中心の分からない円が紙にかかれています。円周上に 3 点 ，， をとり、この円の中心を作図する手順を示しなさい。また、その手順で中心が求まる理由を示しなさい。
つまずいたときは：
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答え
弦 ， の垂直二等分線を作図し、その交点が中心
解説
手順
- 弦 の垂直二等分線を作図する（公式1 (1)）。
- 弦 の垂直二等分線を作図する。
- 2 本の交点を とすると、 が円の中心。
理由 円の中心は ， から等距離（半径）なので、弦 の垂直二等分線の上にあります。同じく弦 の垂直二等分線の上にもあります。，， は同じ直線上にないので 2 本の垂直二等分線は平行でなく、交点はただ 1 つです。その交点が中心です。（証明終）
第2章の外心の作図と同じ手順です。円周上の 3 点を頂点とする三角形の外心が、その円の中心になっています。
自己採点：
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問7 ★
，， の の外接円を作図します。外心 はどの点になるかを答え、外接円の半径 を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
は辺 の中点、
解説
なので、 は の直角三角形です。
直角三角形の外心は斜辺の中点です（第4章 公式2 の逆： なら は を直径とする円の上）。3 辺の垂直二等分線を作図すると、斜辺 の垂直二等分線が と交わる点、つまり の中点で 3 本が交わります。
よって は辺 の中点、。
直角三角形なら、垂直二等分線を 1 本（斜辺の）引くだけで外心が求まります。
自己採点：
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問8 ★
線分 が与えられています。 となる半直線 を作図する手順を示しなさい。
つまずいたときは：
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答え
を 1 辺とする正三角形 をかき、 を二等分する（ の両側に 1 本ずつかける）
解説
手順
- を中心に半径 の円、 を中心に半径 の円をかき、交点の 1 つを とする。
- の二等分線を作図し（公式1 (2)）、それを半直線 とする。
理由 （ を中心とする円の半径）、（ を中心とする円の半径）なので、 は正三角形で 。その二等分線なので 。（証明終）
は直線 のどちら側にもとれるので、条件を満たす半直線は の両側に 1 本ずつあります。さらに二等分をくり返せば ，，… も作図できます。
自己採点：
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問9 ★★
長さ の線分 があります。 を満たす点 全体（アポロニウスの円）を作図するため、 を に内分する点 と外分する点 を作図し、 を直径とする円をかきます。， の長さと、この円の中心の からの距離、半径を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
，，中心は から ，半径
解説
なので 。
外分点 は の先にあり、 なので ， とおくと、差が全体で 、。よって 。
直径 なので半径は 。中心は の中点で、 からの距離は
確かめ：円と直線 の交点 では 、 では 。どちらも条件を満たしています。作図では公式2 で ，， を使い（内分は と 、外分は と を結び、どちらも を通る平行線を引く）、 の中点は垂直二等分線で求めます。
自己採点：
記録を読み込み中…
問10 ★★
の重心 を、中線を 1 本だけ使って作図する手順を示しなさい。また、その点が重心である理由を示しなさい。
つまずいたときは：
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答え
の中点 を作図し、中線 を に内分する点を公式2 で作図する
解説
手順
- 辺 の垂直二等分線を作図し、 との交点を とする（ は の中点）。
- と を結ぶ。
- から半直線 を引き、等間隔に ，， をとる。 と を結び、 を通って に平行な直線を引く。 との交点を とする。
理由 手順 3 は公式2 (1) で ， としたものなので、。第2章 公式4 より、重心は中線を頂点側から に内分する点です。 は中線なので、 は重心です。（証明終）
中線を 2 本引いて交点をとる方法に比べ、中点を 1 つ求めるだけで済みます。
自己採点：
記録を読み込み中…
問11 ★★
長さ の線分 を直径とする半円と、直線 から距離 にあって に平行な直線の交点の 1 つを とし、 から に下ろした垂線の足を とします。 のとき、 の長さを求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
解説
とおくと ，。公式4 より なので
より なので （もう 1 つの交点では ）。
和が 、積が の 2 数 ， が、半円と平行線の交点で一度に作図できました。和が 、積が の 2 数——二次方程式 の 2 つの解——は、この方法で作図できます。半円の半径 が 以上でないと交点ができません。この条件 は、実数解をもつ条件 と同じです。
自己採点：
記録を読み込み中…
問12 ★★
， の の内接円を例題1 の手順で作図します。内心 から に下ろした垂線の足 はどんな点かを答え、内接円の半径を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
は の中点、半径
解説
二等辺三角形では、頂角 の二等分線は底辺 の垂直二等分線と一致し、内心 はその上にあります。よって から への垂線の足 は です。
なので、面積は 。内接円の半径を とすると、（第2章）より
別解： の二等分線は を に分ける（第1章 公式3）ので、。
自己採点：
記録を読み込み中…
問13 ★★
円周上の点 における接線を、円の中心を使わずに作図します。円周上に と異なる 2 点 ， をとり、直線 について と反対側に、 となる半直線 を作図しました。直線 が における接線であることを示しなさい。
つまずいたときは：
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答え
における接線 （ は直線 について と反対側）は接弦定理で を満たすので、 と は一致する
解説
における接線を引き、その上で直線 について と反対側の点を とします。接弦定理（第5章 公式3）より
仮定より なので 。半直線 と は、どちらも直線 について同じ側（ と反対側）にあって、半直線 と同じ角をなすので一致します。よって直線 は における接線です。（証明終）
を のところへ写すには、例題6 の手順 1 と同じく、角を作る三角形を 3 辺の長さで写します。この方法は「接弦定理の逆」を作図に使ったものです。
自己採点：
記録を読み込み中…
問14 ★★
、中線 （ は の中点）、 から直線 までの距離 が与えられた を作図します。
(1) 作図の手順を示しなさい。
(2) ，， のとき、 と の長さを求めなさい（ とする）。
(3) この三角形が作図できるための、 と の条件を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
(1) を中心に半径 の円と、 から距離 の平行線の交点を とする (2) ， (3)
解説
(1) 解析 は「 からの距離が 」（円）と「直線 からの距離が 」（平行線）の 2 つの条件を満たします。
手順
- 線分 をかき、垂直二等分線で中点 を求める。
- を中心に半径 の円をかく。
- を通り に垂直な直線上に となる点 をとり、 を通り に平行な直線 を引く。
- 円と の交点を とし、， を結ぶ。
は円の上にあるので 、 の上にあるので直線 からの距離は です。
(2) を原点とし、 を横軸にとると ，、 は高さ で なので、横の位置は 。 より です。
(3) 吟味 円（半径 、中心は直線 上）と、 から距離 の平行線が共有点をもつのは、中心 から平行線までの距離 が半径以下のとき（第5章 公式1）なので、。 なら交点は 2 つ（互いに の垂直二等分線について対称で、合同な三角形）、 なら 1 つで、そのとき となり の二等辺三角形です。
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問15 ★★
長さ の線分が与えられています。長さ （2 乗すると になる正の数）の線分を作図する手順を示しなさい。
つまずいたときは：
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答え
直角二等辺三角形で を作り、公式4 で ， として
解説
手順
- 長さ の線分 をかき、 で に垂直な直線を引いて をとる。直角二等辺三角形 の斜辺は 。
- 直線上に （コンパスで写す）、続けて をとる。
- を直径とする円と、 を通り に垂直な直線の交点を とする。
理由 公式4 より
（証明終）
平方根を 2 回とったので「4 乗根」まで届きました。同じように平方根を 回くり返せば 乗根が作図できます。一方、 はどう工夫しても作図できません（公式6）。
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問16 ★★
1 辺 の正方形と同じ面積で、1 辺が の長方形を作図します（単位の長さは与えられていません）。
(1) もう 1 辺 は を満たすことを示し、長さ の線分を平行線で作図する手順を示しなさい。
(2) ， のとき を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
(1) から。 上に ，、 上に をとり、 を通り に平行な直線と の交点を とすると (2)
解説
(1) 面積が等しいので 、両辺を で割ると 、すなわち です。
手順
- 点 から 2 本の半直線 ， を引く。
- 上に ，、 上に をとる。
- と を結び、 を通り に平行な直線と の交点を とする。
理由 なので 、すなわち 。よって 。（証明終）
公式3 (2) の「」の位置に を置いたものです。比例式 の （第四比例項）は、単位の長さがなくても作図できます。
(2) 。確かめると です。
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問17 ★★★
半径 の円 と半径 の円 （）が互いに外部にあります。
(1) 共通外接線を次の方針で作図する手順を示しなさい。「 を中心に半径 の円をかき、 からこの円に接線を引いて、それを平行移動する」
(2) ，， のとき、(1) の補助の円の半径と、共通外接線の接点間の長さを求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
(1) 補助の円への接点 をとり、半直線 と円 の交点 、 を通り に平行な半径の端 （ と同じ向き）を結ぶ (2) 補助の円の半径 ，接点間の長さ
解説
(1) 手順
- を中心に半径 の円 をかく（半径の差は、公式3 (1) の要領でコンパスで作る）。
- から円 に接線を引き（公式5 (2)）、接点の 1 つを とする。
- 半直線 と円 の交点を とする。
- を通り に平行な直線を引き（公式1 (4)）、 から と同じ向きに進んで円 と交わる点を とする。
- 直線 が共通外接線。もう 1 つの接点をとれば 2 本目が得られる。
理由 で、。 と は平行で同じ向き、長さも等しいので、四角形 は平行四辺形です。さらに より なので、長方形になります。したがって ， で、第5章 公式1 の逆より直線 は両方の円に接します。（証明終）
(2) なので、2 円はたしかに互いに外部にあります。補助の円の半径は 。長方形なので で、直角三角形 より
第5章 公式6 の と一致します。共通内接線は、補助の円の半径を にし、 を と逆の向きにとれば同じように作図できます。
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問18 ★★★
1 辺の長さ の正五角形 で、対角線 と の交点を とし、対角線の長さを とします。
(1) と を用いて、 を求めなさい。
(2) 長さ の線分 が与えられたとき、正五角形 を作図する手順を示しなさい。
つまずいたときは：
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答え
(1) (2) 長さ を作図し、， を中心とする半径 と の円の交点から ，， を決める
解説
(1) 正五角形の 1 つの内角は 。， は頂角 の二等辺三角形なので、底角は で
で なので 。よって で、 です。
（正五角形の辺と、それに向かい合う対角線は平行）なので、 で、相似比は 。， より
より 。
(2) 手順
- 長さ から、例題4 (2) の方法で を作図し、それに を継ぎ足して 、その垂直二等分線で半分にして長さ の線分を作る。
- を中心に半径 、 を中心に半径 の円をかき、交点の 1 つを とする。
- を中心に半径 、 を中心に半径 の円をかき、交点のうち直線 について と同じ側のものを とする。
- ， を中心に半径 の円をかき、交点のうち直線 から遠いほうを とする。
正五角形 はたしかに 、 を満たします。3 辺が決まった三角形は合同なので、この条件で頂点の位置はただ 1 通りに決まり、作図した五角形は正五角形です。平方根を 1 回使うだけで、正五角形がかけました。
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問19 ★★★
の で、 の二等分線と辺 の交点を 、 の外角の二等分線と直線 の交点を とします。
(1) を直径とする円が を通ることを示しなさい。
(2) ，， のとき、， の長さと、(1) の円の半径を求めなさい。
つまずいたときは：
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答え
(1) と直径に対する円周角の逆 (2) ，，半径
解説
(1) の大きさを とすると、外角は です。， はそれぞれの二等分線なので
（第1章 公式4 の「内角と外角の二等分線は直交する」）。第4章 公式2 の逆より、 は を直径とする円の上にあります。（証明終）
(2) 第1章 公式3・公式4 より、 は を に内分し、 は に外分します。
なので は の外側にあり、。， とおくと差が全体で 、。
なので、半径は 。
この円は、 となる点 全体（アポロニウスの円）でもあります。 はたしかに を満たし、その円の上にあります。第3章 例題4 で見た ， の配置を作図で確かめると、 を通る円が 1 つかけるわけです。
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問20 ★★★
直線 と、 について同じ側にある 2 点 ， が与えられ、直線 は と点 で交わっています（，， の順）。， を通り に接する円を作図します。
(1) 接点を とするとき、 の長さを ， で表し、円を作図する手順を示しなさい。
(2) ， で、 のとき、 と円の半径を求めなさい。また、条件を満たす円はいくつあるかを求めなさい。
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答え
(1) 。 を公式4 で作図し、 上に をとって、 を通る の垂線と の垂直二等分線の交点を中心とする (2) ，半径 ，円は つ
解説
(1) 解析 は直線 上で線分 の外部にあり、 は から円に引いた接線です。方べきの定理（第5章 公式4 (iii)）より
手順
- 公式4 で ， として、長さ の線分を作図する。
- 上に、 からその長さの点 をとる。
- を通り に垂直な直線と、 の垂直二等分線の交点を とし、 を中心に半径 の円をかく。
証明 は の垂直二等分線上にあるので 。，， を通る円を考えると、 なので、第5章 公式5 (2)（方べきの定理の逆）より直線 ，つまり はこの円に で接します。接線は接点を通る半径に垂直なので、この円の中心は を通る の垂線上にあり、弦 の垂直二等分線上にもあるので に一致します。よって を中心に半径 の円は ， を通り、 に で接します。（証明終）
(2) 。
なので、 を原点、 を横軸、直線 を縦軸にとると ，，。中心 は と の交点 なので、半径は 。
確かめ：。
は 上で の両側にとれるので、条件を満たす円は つです（ のときは、直線 について対称な 2 つの円）。第5章 例題4 の「棒がいちばん大きく見える位置」は、このうちの 1 つを、作図の立場から求めたものです。
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数学小話コーナー
定規はいらない？——コンパスだけの作図
この章では定規とコンパスの 2 つを使いました。では、定規を取り上げられたら、どこまでかけるでしょうか。コンパスだけでは直線が引けないので、ほとんど何もできない気がします。
ところが 1797 年、イタリアの数学者ロレンツォ・マスケローニは『コンパスの幾何学』という本で、驚くべき主張をしました。定規とコンパスで作図できる点は、すべてコンパスだけで作図できるというのです。直線そのものは引けなくても、直線は「2 点で決まるもの」として扱えばよく、必要なのは直線と円の交点や、2 直線の交点です。マスケローニは、それらの交点をすべて円と円の交点だけで求める方法を示しました。
この結果は、のちに「マスケローニ・モールの定理」と呼ばれるようになります。1928 年、デンマークの数学者が古本屋で、1672 年にゲオルク・モールという人物が出版した『デンマークのユークリッド』を見つけ、同じ結果が 125 年も前に証明されていたことが分かったのです（※発見の経緯には諸説あります）。
マスケローニはこの本をナポレオンに献じました。ナポレオン自身も幾何学を好み、フランスの数学者たちに「コンパスだけで、与えられた円の中心を求めよ」という問題を出したと伝えられます。今も「ナポレオンの問題」と呼ばれています（※本当にナポレオンが出題したかは確かではありません）。この章の j06 では定規も使って中心を求めましたが、コンパスだけでもできるのです。第2章の小話で紹介した「ナポレオンの定理」と合わせて、幾何学好きの皇帝の話が 2 つそろいました。
豆知識
逆に「コンパスを取り上げて、定規だけ」にするとどうなるでしょう。定規だけでは長さを写せないので、平方根は作図できません。ところが、紙の上に円が 1 つと、その中心がかかれていれば、あとは定規だけで、定規とコンパスでできる作図がすべてできます。フランスのポンスレが 1822 年ごろに予想し、スイスのシュタイナーが 1833 年に証明したとされます（※年には諸説あります）。コンパスは、最初に 1 回だけ使えば十分というわけです。
折り紙なら角を 3 等分できる
三角比と三角関数の分野（第10章の厳密定義ページ）で、「定規とコンパスでは、角を 3 等分する作図はできない」ことに触れました。古代ギリシャ以来の難問が、19 世紀に「できない」と決着したのです。
ところが、道具を折り紙に変えると話が変わります。紙を折る操作には、「点 を直線 に、同時に点 を直線 に重ねるように折る」というものがあります。この折り方は、実は 3 次方程式を解くのと同じ力をもっていて、定規とコンパス（2 次方程式まで）より強いのです。
日本の阿部恒は、1980 年ごろ、正方形の紙を数回折るだけでどんな鋭角も 3 等分できる方法を発表しました（※発表の時期や媒体には諸説あります）。紙の下辺と、3 等分したい角の辺を用意し、平行な折り目を 2 本つけてから、「2 つの点を 2 本の線に同時に合わせる」折りを 1 回行うと、3 等分の線が現れます。立方体の体積を 2 倍にする辺の長さ も、1986 年に折り紙で作れることが示されました（※ペーター・メッセールによるとされます）。
定規とコンパスでは届かない長さに、紙 1 枚で届く。「何ができるか」は、使ってよい道具の約束で決まる——作図の問題は、いつもこの約束の上に立っています。
豆知識
折り紙を使った数学の遊びに「芳賀の定理」があります。正方形の紙の右下の角を、上の辺の中点に重なるように折ると、折り返された下の辺が、左の辺を上から に分ける点を通ります。定規なしで、1 回折るだけで の点が見つかるのです。生物学者の芳賀和夫が 1970 年代の終わりごろに見つけたとされ、「折り紙数学」の入門として親しまれています（※発見の年には諸説あります）。
閉じてしまうコンパスと、錆びたコンパス
この章では、コンパスで「長さを写しとって、別の場所に同じ長さをとる」ことを当たり前に使いました。ところが、ユークリッドの『原論』は、この操作を当たり前とはしていません。
『原論』第1巻の最初の作図は、命題1「線分を 1 辺とする正三角形をかく」です。その次の命題2 が、「与えられた点に、与えられた線分と等しい長さの線分を置く」。わざわざ正三角形を使って長さを移す手順が書いてあります。このことから、ユークリッドのコンパスは紙から持ち上げると脚が閉じてしまう「閉じるコンパス」で、開いたまま運ぶことは許されていなかった、と解釈されています（※ユークリッド自身がそう意図したかは分かりません）。命題2 のおかげで、「閉じるコンパス」でも長さは運べることになり、現代のコンパスと同じ力をもつと分かります。この証明は厳密定義ページで紹介します。
反対に、開き具合が変えられない「錆びたコンパス」の作図を考えた人もいます。10 世紀ペルシアの学者アブル・ワファーは、決まった開きのコンパスと定規だけで、さまざまな作図を工夫したと伝えられます（※どこまで体系的だったかには諸説あります）。現代では、錆びたコンパスと定規でも、2 点が与えられれば、ふつうの定規とコンパスでできる作図がすべてできることが分かっています。
道具を不自由にしても、工夫しだいで同じところまで届く。第1の小話のコンパスだけの作図と同じく、作図の世界では「何を使わずに済むか」も立派な研究テーマなのです。
豆知識
日本の大工さんが使う L 字形の物差し「差し金（さしがね）」には、表の目盛り（表目）のほかに、裏に 倍の間隔の目盛り（裏目）が刻まれているものがあります。丸太の直径を裏目で測ると、読んだ数値が、その丸太から切り出せるいちばん大きな正方形の角材の 1 辺になります。直径が正方形の対角線にあたり、対角線は 1 辺の 倍だからです。例題4 で三平方を使って をかいたのと同じ考え方が、道具の目盛りに刻み込まれています。
厳密定義（発展）
※ここは発展ページです。高校の範囲では「公式1〜6 の手順を書け、その根拠を説明できること」で十分ですが、「作図とは正確には何をしてよいのか」「コンパスで長さを運ぶのは本当に許されるのか」「基本作図の円は必ず交わるのか」「作図できる長さはなぜ四則と平方根で書けるものに限られるのか」が気になる人のために、この章の土台を組み立て直します。第1章の平行線と線分の比、第2章の垂直二等分線、第5章の 2 円の位置関係（厳密定義 定理7）を使います。
定義1：作図の約束（作図の公法）
平面上に、はじめにいくつかの点が与えられているとする。次の操作で得られるものを、作図できる直線・円・点という。
- 作図できる 2 点を通る直線を引く。
- 作図できる点 を中心とし、作図できる点 を通る円をかく。
- 作図できる直線・円のうち 2 つの交点を、新しい作図できる点とする。
これらの操作を有限回くり返して得られる点だけが作図できる点であり、長さ が作図できるとは、距離が の作図できる 2 点があることをいう。
定義1 の 2. では、円の半径を「中心から、作図できる点 までの距離」としか指定できません。離れた線分 の長さをコンパスで運んで、 を中心に半径 の円をかく操作は、定義にはふくまれていないのです。これが、小話3 の「閉じるコンパス」です。次の定理1 は、その操作が定義1 の中でも実行できることを示します。
定理1：閉じるコンパスでも長さは運べる（原論 第1巻 命題2）
作図できる点 と、作図できる 2 点 ， が与えられたとき、 を中心とする半径 の円は、定義1 の操作だけで作図できる。
証明 ならば、中心 で を通る円をかけばよい。 とする。
を中心に を通る円と、 を中心に を通る円をかき、交点の 1 つを とする。， なので は正三角形である（2 円が交わることは定理2 で示す）。
を中心に を通る円をかき、直線 との交点のうち、 から見て の先にあるものを とする。 である。
を中心に を通る円をかき、直線 との交点のうち、 から見て の先にあるものを とする。 である。
このとき
（ を使った）。よって を中心に を通る円が、半径 の円である。（証明終）
なので、 はたしかに から見て の先にあります。定理1 のおかげで、以後は「コンパスで長さを写す」操作を自由に使ってかまいません。
定理2：基本作図が必ず実行できること
(1) 異なる 2 点 ， を中心とする半径 の 2 円は、 のとき、直線 について反対側にある 2 点で交わる。
(2) 公式1 (2) の作図で、， を中心とする円の半径を より大きくとれば交点がある。 のとき、その交点のうち から遠いほうを とすると、 は の内部にあり、 は を 2 等分する。
証明 (1) 2 円の半径は等しく で、中心間の距離 は を満たす。第5章の厳密定義 定理7 (1) より、2 円はちょうど 2 点で交わり、その 2 点は直線 について対称（反対側）にある。
(2) (1) より、， を中心とする 2 円は、直線 について反対側の 2 点 ， で交わる。， は などより、線分 の垂直二等分線 の上にある。 なので も の上にあり、 は の頂角 の二等分線である（二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺の垂直二等分線）。
上の点のうち、直線 について と反対側にあるものは、線分 の中点 の先、すなわち半直線 上にあり、 の内部にある。， の一方はその側にあり、それが から遠いほうである。この点を とすれば、（3 辺相等）より 。（証明終）
(2) で「 から遠いほう」を選ぶのは、もう一方の交点 が と同じ側にあり、半径の大きさによっては の後ろ側（角の外）に出てしまうからです。実践問題 j01 で「 の内部にあるもの」と指定したのはこのためです。
定理3：作図できる長さは四則と平方根で閉じている
長さ の線分が与えられているとする。， が作図できる長さならば、次の長さも作図できる。
証明 和と差は、直線上にコンパスで長さを並べて（定理1）得られる。
積：点 から異なる 2 本の半直線を引き（1 本は の線分を延ばしたもの、もう 1 本は で立てた垂線を使えばよい）、公式3 (2) の作図を行う。平行線は公式1 (4) で引ける。 より、平行線と線分の比（第1章 公式1）から 、すなわち 。
商：公式3 (3) の作図で、同様に より 。
平方根：公式4 で ， とする。 を直径とする円と、 における垂線は、 が円の内部にあるので 2 点で交わる（第5章 定理1、中心から垂線までの距離 は半径より小さい）。その 1 つを とすると、本文の相似の議論から で、。（証明終）
長さ から出発して定理3 を何回も使えば、 や のように、整数から四則と平方根を有限回使って書ける正の数は、すべて作図できる長さです。
では逆に、作図できる長さはこの形のものだけでしょうか。座標を入れると、答えが見えてきます。
定理4：作図で新しく現れる数は、2 次方程式までで求まる
座標平面に、はじめに と が与えられているとする。ある段階までに作図できた点の座標全体を使って、四則演算で表せる数の集まりを とする。次の段階で新しく作図できる点の座標は、 の数を係数とする 1 次方程式または 2 次方程式の解である。
証明 の数を座標にもつ 2 点を通る直線の方程式は、
の形になる。 の数を座標にもつ点を中心とし、同じく の数を座標にもつ点を通る円の方程式は、
の形になる（半径の 2 乗が の数どうしの差の 2 乗の和なので）。
直線と直線：連立 1 次方程式なので、解は係数の四則で表され、 に属する。
直線と円：直線の式を か について解いて円の式に代入すると、係数が に属する 2 次方程式になる。解は （，，）の形である。
円と円：2 つの円の式を引き算すると が消え、1 次式（2 円の共通弦を含む直線、第5章 小話3 の根軸）が得られる。したがって「直線と円」の場合に帰着する。
いずれの場合も、新しい点の座標は の数から四則と平方根 1 回で得られる。（証明終）
定理4 を段階ごとにくり返すと、作図できる点の座標は、整数から四則と平方根を有限回使って書ける数に限られることが分かります。2 点の距離も なので、同じ形です。定理3 と合わせて、公式6 の「作図できる長さ ＝ 四則と平方根で書ける長さ」が確かめられました。
この事実から、「作図できない」ことを示す道が開けます。たとえば は の解ですが、「四則と平方根を有限回」の形では書けないことが、代数学（体の拡大次数の理論）で証明できます。平方根を 1 回使うたびに「次数」は 倍か 倍にしかならず、全体でも の累乗にしかならないのに対し、 の次数は だからです。立方体の体積を 2 倍にする作図（）も、三角比と三角関数の分野 第10章で触れた角の 3 等分も、この理由で定規とコンパスでは不可能です（1837 年、ヴァンツェル）。一方、小話2 の折り紙が 3 等分に届くのは、折り紙の操作が 3 次方程式を解く力をもつからでした。
定理5：作図題の吟味——条件を満たす点の個数
中心 、半径 の円と、 からの距離が の直線 の共有点の個数は、 のとき 、 のとき 、 のとき である。したがって、「円の上」と「直線の上」の 2 条件で決まる作図題の答えの個数は、この大小だけで決まる。
証明 第5章の厳密定義 定理1 (1) そのものである（，）。（証明終）
実践問題 j14 の (3)、例題6 の (2) の吟味は、定理5 を当てはめたものです。例題6 では「円」のかわりに「円の弧（直線 の片側の部分）」を使うので、直線 と弧の共有点の個数は、弧の最も高い点の高さと を比べて数えました。作図題の吟味は、結局「2 本の線の交わり方」を、これまでの章で学んだ位置関係の定理で数える作業なのです。
この章の学習が終わったら
学習完了テストを受ける