第1章　三角形の辺の比と角の二等分線

この章で使う記号

この分野では、図形を次の記号で書きます。

• $\triangle ABC$ は三角形 $ABC$ のことです。面積もこの記号で表し、$\triangle ABD : \triangle ADC$ と書けば 2 つの三角形の面積の比を意味します。
• $\angle ABC$ は頂点 $B$ の角です。まぎれがないときは $\angle B$ と略します。
• $AB$ は線分 $AB$ とその長さの両方を表します。$AB$${}\parallel CD$ は 2 直線が平行であること、$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ は 2 つの三角形が相似であることを表します（中学で使った相似の記号と同じです）。

中学では、2 つの三角形が相似になる条件を 3 つ学びました。

1. 3 組の辺の比がすべて等しい
2. 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
3. 2 組の角がそれぞれ等しい

相似な図形では、対応する辺の比がすべて等しくなります。この章の道具のほとんどは、この事実から出てきます。

平行線と線分の比——相似が比を運ぶ

$\triangle ABC$ の辺 $AB$，$AC$ 上に点 $D$，$E$ をとり、$DE$${}\parallel BC$ となるようにします。平行線の同位角は等しいので $\angle ADE$${}= \angle ABC$、しかも $\angle A$ は共通です。2 組の角が等しいので $\triangle ADE \backsim \triangle ABC$。この相似の比を書き出すと、次の公式になります。

公式1：平行線と線分の比

$\triangle ABC$ の辺 $AB$，$AC$（またはその延長）上にそれぞれ点 $D$，$E$ があり、$DE$${}\parallel BC$ ならば

$\displaystyle \text{(1)}\quad AD : AB$$\displaystyle {}= AE : AC$$\displaystyle {}= DE : BC$$\displaystyle \text{(2)}\quad AD : DB$$\displaystyle {}= AE : EC$

• 逆に、(1) の $AD : AB$${}= AE : AC$ か (2) が成り立てば、$DE$${}\parallel BC$ です（証明は厳密定義ページ）。
• **$DE$ と比べる相手は $BC$（全体）**です。$DE : BC$ を $AD : DB$（部分どうしの比）と等しいとするのは、よくある誤りです。
• 平行な 3 直線に 2 本の直線が交わるとき、切り取られる線分の比は等しくなります。一方の直線と平行な補助線を 1 本引くと、(2) の形に帰着します。

紙テープを 5 等分したいのに、長さが定規の目盛りで割り切れない——そんなときは罫線ノートを使う手があります。テープの一方の端を 1 本目の罫線に、もう一方の端を 6 本目の罫線に合わせて斜めに置くと、間の 4 本の罫線がテープをちょうど 5 等分する位置を教えてくれます。罫線は等しい間隔の平行線なので、斜めに置いたテープにも同じ比が写されるのです。平行線は、比をある直線から別の直線へそのまま運ぶ道具だと言えます。

平行線があると相似な三角形ができ、線分の比がそのまま運ばれるということです。ただし $DE$ と比べる相手は $BC$ で、$AD : DB$ ではありません。

例題1：平行線から線分の長さを求める

$\triangle ABC$ の辺 $AB$，$AC$ 上にそれぞれ点 $D$，$E$ があり、$DE$${}\parallel BC$ です。$AD$${}= 4$，$DB$${}= 2$，$AE$${}= 5$，$BC$${}= 9$ のとき、$EC$ と $DE$ の長さを求めなさい。

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【解答】

公式1 (2) より $AD : DB$${}= AE : EC$ なので

$\displaystyle 4 : 2$$\displaystyle {}= 5 : EC$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad 4\,EC$$\displaystyle {}= 10$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad EC$$\displaystyle {}= \underline{\frac{5}{2}}$

$DE$ は公式1 (1) を使い、$BC$ と比べます。$AB$${}= AD$${}+ DB$${}= 6$ なので

$\displaystyle DE : BC$$\displaystyle {}= AD : AB$$\displaystyle {}= 4 : 6$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad DE$$\displaystyle {}= 9 \cdot \frac{4}{6}$$\displaystyle {}= \underline{6}$

もし $DE : BC$${}= AD : DB$${}= 4 : 2$ としてしまうと $DE$${}= 18$ となり、$DE$ が $BC$ より長いという、図とかけ離れた答えになります。最後に図と見比べる習慣をつけておくと、この種の誤りに気づけます。

線分の内分と外分——比で点の位置を決める

公式1の $D$ は、線分 $AB$ を $AD : DB$ の比に分ける点でした。「線分をある比に分ける点」には名前がついています。

公式2：線分の内分と外分

$m$，$n$ を正の数とします。

• 点 $P$ が線分 $AB$ 上にあって $AP : PB$${}= m : n$ のとき、$P$ は線分 $AB$ を $m : n$ に内分するといいます。
• 点 $Q$ が線分 $AB$ の延長上にあって $AQ : QB$${}= m : n$ のとき、$Q$ は線分 $AB$ を $m : n$ に外分するといいます（$m$${}\neq n$）。

$\displaystyle AP$$\displaystyle {}= \frac{m}{m + n}AB,$$\displaystyle AQ$$\displaystyle {}= \frac{m}{m - n}AB\ \ (m > n),$$\displaystyle AQ$$\displaystyle {}= \frac{m}{n - m}AB\ \ (m < n)$

• $m$${}> n$ なら外分点は $B$ の外側、$m$${}< n$ なら $A$ の外側にあります。
• $m$${}= n$ の外分点はありません（$AQ$${}= QB$ となる点は線分の中点だけで、延長上にはありません）。
• 式を覚えるより、$AQ$${}= mk$，$QB$${}= nk$ とおき、図を見て「和」か「差」が $AB$ になると立式するほうが確実です。

鉄道の路線で考えてみましょう。A 駅から B 駅まで線路が伸びているとき、内分点は 2 つの駅のあいだにある駅です。外分点は、B 駅を通り過ぎた先（または A 駅の手前）にある駅です。どちらも「A 駅からの距離 : B 駅からの距離」が $m : n$ になる場所として決まります。ただし外分点では片方の駅を通り越しているので、2 つの距離の差が $AB$ になります。内分点では 2 つの距離の和が $AB$ でした。違いはそこだけです。

内分点は線分の内側で「2 つの距離の和が $AB$」、外分点は延長上で「2 つの距離の差が $AB$」になる点で、どちらも $A$ からの距離と $B$ からの距離の比で決まるということです。

例題2：内分点・外分点の位置

長さ $12$ の線分 $AB$ について、次の点と $A$ との距離を求めなさい。

(1) $AB$ を $3 : 1$ に内分する点 $P$　(2) $AB$ を $3 : 1$ に外分する点 $Q$　(3) $AB$ を $1 : 3$ に外分する点 $R$

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【解答】

(1) $AP$${}= 3k$，$PB$${}= k$ とおくと、和が $AB$ なので $4k$${}= 12$、$k$${}= 3$。よって $AP$${}= \underline{9}$。

(2) $3$${}> 1$ なので $Q$ は $B$ の外側です。$AQ$${}= 3k$，$QB$${}= k$ とおくと、差が $AB$ なので $3k$${}- k$${}= 12$、$k$${}= 6$。よって $AQ$${}= \underline{18}$。

(3) $1$${}< 3$ なので $R$ は $A$ の外側です。$AR$${}= k$，$RB$${}= 3k$ とおくと $3k$${}- k$${}= 12$、$k$${}= 6$。よって $AR$${}= \underline{6}$（$A$ から $B$ と反対の向きに $6$ の位置）。

$3 : 1$ と $1 : 3$ は、同じ外分でもまったく別の点です。比の順番は「$A$ 側 : $B$ 側」と決まっていることを忘れないでください。

角の二等分線と比——向かいの辺を「2 辺の比」に分ける

三角形の 1 つの角を二等分する直線を引くと、向かいの辺はどんな比に分かれるでしょうか。答えはとても簡単で、「その角をはさむ 2 辺の比」です。

$C$ を通り $AD$ に平行な直線を引き、辺 $BA$ を $A$ の先へ延ばした直線との交点を $E$ とします。平行線の錯角・同位角から

$\displaystyle \angle ACE$$\displaystyle {}= \angle CAD,$$\displaystyle \angle AEC$$\displaystyle {}= \angle BAD$

$AD$ は $\angle A$ の二等分線なので $\angle BAD$${}= \angle CAD$。よって $\angle ACE$${}= \angle AEC$ となり、$\triangle ACE$ は $AE$${}= AC$ の二等辺三角形です。あとは $\triangle BCE$ で公式1を使えば、$AD$${}\parallel EC$ より $BD : DC$${}= BA : AE$${}= AB : AC$ が出ます。

公式3：内角の二等分線と比

$\triangle ABC$ の $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると

$\displaystyle BD : DC$$\displaystyle {}= AB : AC$

• 「$D$ は辺 $BC$ を $AB : AC$ に内分する」と言いかえられます。$BD$${}= \dfrac{AB}{AB + AC} \times BC$ です。
• 逆に、辺 $BC$ 上に $BD : DC$${}= AB : AC$ となる点 $D$ をとれば、$AD$ は $\angle A$ の二等分線です（厳密定義ページ）。

廊下の真ん中を歩く人は、左右の壁までの距離がいつも同じです。角の二等分線も同じで、その上の点は角をはさむ 2 辺 $AB$，$AC$ から等しい距離にあります。すると $\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ は、それぞれ $AB$，$AC$ を底辺と見たときの高さが等しいので、面積の比は $AB : AC$ です。一方、同じ 2 つの三角形を $BD$，$DC$ を底辺と見ると、高さはどちらも $A$ から $BC$ までの距離で共通なので、面積の比は $BD : DC$ です。同じ面積の比を 2 通りに表したので $BD : DC$${}= AB : AC$。長い辺の側が、底辺の大きな取り分をもらうわけです。

角の二等分線は、向かいの辺を「その角をはさむ 2 辺の比」に内分するということです。

例題3：角の二等分線が分ける長さ

$\triangle ABC$ で $AB$${}= 9$，$AC$${}= 6$，$BC$${}= 10$ です。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ と $DC$ の長さを求めなさい。

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【解答】

公式3より $BD : DC$${}= AB : AC$${}= 9 : 6$${}= 3 : 2$。$BD$${}+ DC$${}= BC$${}= 10$ なので

$\displaystyle BD$$\displaystyle {}= 10 \cdot \frac{3}{5}$$\displaystyle {}= \underline{6},$$\displaystyle DC$$\displaystyle {}= 10 \cdot \frac{2}{5}$$\displaystyle {}= \underline{4}$

$D$ は、短いほうの辺 $AC$ の側（$C$ 寄り）にずれます。「角の真ん中を通るのだから $BC$ の中点を通る」と思いこまないようにしましょう。中点を通るのは $AB$${}= AC$ の二等辺三角形のときだけです。

外角の二等分線と比——今度は外分する

$\triangle ABC$ の辺 $BA$ を $A$ の先へ延ばすと、$A$ のところに外角（$\angle A$ のとなりの角で、大きさは $180^\circ - \angle A$）ができます。この外角を二等分する直線も直線 $BC$ と交わり（$AB$${}\neq AC$ のとき）、同じ比が現れます。

証明は内角のときと同じ手順です。$BA$ の延長上に点 $P$ をとり、外角 $\angle CAP$ の二等分線を $AE$ とします。$C$ を通り $AE$ に平行な直線を引き、辺 $AB$ との交点を $F$ とすると、平行線の同位角・錯角から

$\displaystyle \angle AFC$$\displaystyle {}= \angle PAE,$$\displaystyle \angle ACF$$\displaystyle {}= \angle CAE$

$\angle PAE$${}= \angle CAE$ なので $\angle AFC$${}= \angle ACF$、よって $AF$${}= AC$ です。$\triangle BEA$ で $FC$${}\parallel AE$ なので、公式1より $BE : EC$${}= BA : AF$${}= AB : AC$ となります。

公式4：外角の二等分線と比

$AB$${}\neq AC$ である $\triangle ABC$ の $\angle A$ の外角の二等分線と、直線 $BC$ との交点を $E$ とすると

$\displaystyle BE : EC$$\displaystyle {}= AB : AC$

• 「$E$ は辺 $BC$ を $AB : AC$ に外分する」と言いかえられます。$AB$${}> AC$ なら $E$ は $C$ の外側、$AB$${}< AC$ なら $B$ の外側にあります。
• $AB$${}= AC$ のときは外角の二等分線が $BC$ と平行になり、交点はありません（$1 : 1$ の外分点がないことと対応しています）。
• 内角の二等分線 $AD$ と外角の二等分線 $AE$ は直交します（$\angle DAE$${}= 90^\circ$）。$\angle A$ の半分と外角の半分を足すと $180^\circ \div 2$${}= 90^\circ$ になるからです。

鏡に当たった光は、入ってきたときと同じ角度ではね返ります。点 $B$ から出た光が、点 $A$ に置いた鏡ではね返って $C$ に届くとしましょう。このとき鏡の面は、$AB$ と $AC$ のどちらに対しても同じ角度で傾いています。実はこの鏡の面こそが $\angle A$ の外角の二等分線で、鏡に垂直な線（法線）が内角の二等分線です。内角と外角の二等分線が直交するのは、「鏡の面と、その法線」の関係だったのです。

外角の二等分線は、向かいの辺を内角のときと同じ 2 辺の比に「外分」し、内角の二等分線とは直交するということです。

例題4：外角の二等分線が分ける長さ

例題3の $\triangle ABC$（$AB$${}= 9$，$AC$${}= 6$，$BC$${}= 10$）で、$\angle A$ の外角の二等分線と直線 $BC$ の交点を $E$ とします。$CE$ の長さと、例題3の点 $D$ との距離 $DE$ を求めなさい。

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【解答】

公式4より $BE : EC$${}= AB : AC$${}= 3 : 2$。$AB$${}> AC$ なので $E$ は $C$ の外側にあります。$BE$${}= 3k$，$EC$${}= 2k$ とおくと、差が $BC$ なので

$\displaystyle 3k$$\displaystyle {}- 2k$$\displaystyle {}= 10$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad k$$\displaystyle {}= 10$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad CE$$\displaystyle {}= \underline{20}$

例題3より $DC$${}= 4$ なので、$DE$${}= DC$${}+ CE$${}= 4$${}+ 20$${}= \underline{24}$。

$D$ は $BC$ を $3 : 2$ に内分し、$E$ は $3 : 2$ に外分しています。さらに $\angle DAE$${}= 90^\circ$ なので、$A$ は $DE$ を直径とする円の上にあります。この円の話は、小話「アポロニウスの円」で続きを紹介します。

面積の比——高さがそろえば底辺の比

角の二等分線の説明で、面積の比を使いました。面積の比は、線分の比を調べるもう 1 つの道具です。

公式5：三角形の面積の比

(1) 高さが等しい 2 つの三角形の面積の比は、底辺の比に等しい。特に、点 $D$ が $\triangle ABC$ の辺 $BC$ 上にあれば

$\displaystyle \triangle ABD : \triangle ADC$$\displaystyle {}= BD : DC$

(2) $\triangle ABC$ の辺 $AB$，$AC$ 上にそれぞれ点 $P$，$Q$ があるとき（$\angle A$ を共有する 2 つの三角形）

$\displaystyle \frac{\triangle APQ}{\triangle ABC}$$\displaystyle {}= \frac{AP}{AB} \times \frac{AQ}{AC}$

• (2) は (1) を 2 回使えば出ます。$\triangle APQ$ と $\triangle APC$ は $P$ からの高さが共通なので $\dfrac{\triangle APQ}{\triangle APC}$${}= \dfrac{AQ}{AC}$、$\triangle APC$ と $\triangle ABC$ は $C$ からの高さが共通なので $\dfrac{\triangle APC}{\triangle ABC}$${}= \dfrac{AP}{AB}$。この 2 つを掛けます。
• 相似な 2 つの三角形の面積の比は、相似比の 2 乗です（(2) で $\dfrac{AP}{AB}$${}= \dfrac{AQ}{AC}$ の場合）。

三角比を学んだ人は、面積の公式 $S$${}= \dfrac{1}{2}bc\sin A$ からも (2) が見えるはずです。$\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ は $\sin A$ が共通なので、面積の比は「$\angle A$ をはさむ 2 辺の積」の比になります。

三角形のケーキを、てっぺんの頂点から底辺に向かってまっすぐ切り分けると、どのピースも高さは同じです。だからピースの大きさは、底辺をどこで切ったかだけで決まります。底辺を $2 : 3$ に切れば、ケーキも $2 : 3$ に分かれます。(2) のように角を共有する場合は、この切り方を向きを変えて 2 回くり返したことになります。

面積の比は、高さがそろっていれば底辺の比に、1 つの角を共有していればその角をはさむ 2 辺の比の積になるということです。

例題5：面積の比から面積を求める

$\triangle ABC$ の面積は $30$ です。

(1) 辺 $BC$ を $2 : 3$ に内分する点を $D$ とするとき、$\triangle ABD$ の面積を求めなさい。

(2) 辺 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点を $P$、辺 $AC$ を $3 : 1$ に内分する点を $Q$ とするとき、$\triangle APQ$ の面積を求めなさい。

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【解答】

(1) 公式5 (1) より $\triangle ABD : \triangle ADC$${}= 2 : 3$ なので

$\displaystyle \triangle ABD$$\displaystyle {}= 30 \times \frac{2}{5}$$\displaystyle {}= \underline{12}$

(2) $\dfrac{AP}{AB}$${}= \dfrac{1}{3}$，$\dfrac{AQ}{AC}$${}= \dfrac{3}{4}$ なので、公式5 (2) より

$\displaystyle \triangle APQ$$\displaystyle {}= 30 \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{15}{2}}$

(2) で使うのは「$A$ からの距離 ÷ 辺全体」です。$AP : PB$${}= 1 : 2$ から $\dfrac{1}{2}$ を掛けないように注意してください。

三角形の辺と角の大小——大きい辺の向かいに大きい角

最後に、比ではなく「大小」の関係を見ておきます。ここからは、$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ の向かいの辺の長さをそれぞれ $a$，$b$，$c$ と書きます（$a$${}= BC$，$b$${}= CA$，$c$${}= AB$）。

$AC$${}> AB$ の三角形で、辺 $AC$ 上に $AD$${}= AB$ となる点 $D$ をとります。$\triangle ABD$ は二等辺三角形なので $\angle ABD$${}= \angle ADB$。$\angle ADB$ は $\triangle DBC$ の外角なので $\angle C$ より大きく、$\angle ABD$ は $\angle B$ の一部なので $\angle B$ より小さい。こうして $\angle B$${}> \angle C$、つまり「長い辺 $AC$ の向かいの角 $\angle B$ のほうが大きい」ことが分かります。

公式6：三角形の辺と角の大小・成立条件

$\triangle ABC$ で

$\displaystyle \text{(1)}\quad b$$\displaystyle {}> c$$\displaystyle {}\iff \angle B$$\displaystyle {}> \angle C$$\displaystyle \text{(2)}\quad |b - c|$$\displaystyle {}< a$$\displaystyle {}< b$$\displaystyle {}+ c$

• (1) は「大きい辺の向かいに大きい角がある」という意味です。最大の辺の向かいの角が最大の角です。
• (2) は 3 辺の長さが満たす条件で、三角形の成立条件と呼ばれます。逆に、正の数 $a$，$b$，$c$ が (2) を満たせば、それを 3 辺とする三角形が作れます。
• 3 辺のうち最大のものが分かっていれば、「最大の辺 $<$ 残りの 2 辺の和」だけ確かめれば十分です。

家から駅に向かうとき、途中でコンビニに寄り道すると、まっすぐ行くより必ず遠回りになります。これが (2) の右半分 $a$${}< b$${}+ c$ で、三角不等式とも呼ばれます。左半分の $|b - c|$${}< a$ は、同じことを別の辺について書いたものです（$b$${}< c$${}+ a$ と $c$${}< a$${}+ b$ の 2 つをまとめると $|b - c|$${}< a$ になります）。

三角形では大きい辺の向かいに大きい角があり、どの辺も「残り 2 辺の差より長く、和より短い」ということです。

例題6：角の大小と三角形の成立条件

(1) $\triangle ABC$ で $a$${}= 7$，$b$${}= 5$，$c$${}= 8$ のとき、$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ の大小を不等号を使って表しなさい。

(2) 3 辺の長さが $x$，$x$${}+ 2$，$10$ である三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求めなさい。

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【解答】

(1) 辺の大小は $c$${}> a$${}> b$ です。公式6 (1) より、向かいの角も同じ順になるので $\underline{\angle C > \angle A > \angle B}$。

(2) 長さ $10$ の辺に公式6 (2) を使うと

$\displaystyle |(x + 2) - x|$$\displaystyle {}< 10$$\displaystyle {}< x$$\displaystyle {}+ (x + 2)$

左の不等式は $2$${}< 10$ で、つねに成り立ちます。右の不等式から $10$${}< 2x$${}+ 2$、よって $\underline{x > 4}$。このとき 3 辺はすべて正です。

(2) の条件は、どの辺を $a$ に選んでも同じ結論になります。計算が楽になる辺を選んでください。

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三角形の 3 つの角の二等分線は、実は 1 点で交わります。その点は内接円の中心（内心）です。次の第2章「三角形の五心」では、この章の公式3を使ってそのことを確かめ、外心・重心へと進みます。