第7章　空間のベクトル

平面から空間へ

第1章から第6章までは、紙の上、つまり平面の中でベクトルを考えてきました。この章からは、私たちが暮らしている縦・横・高さのある空間に舞台を移します。

先に見通しを述べておくと、空間のベクトルでも、和・差・実数倍の計算、位置ベクトル、内分点や重心の公式は、平面とまったく同じ形で使えます。そこで、この章では同じ部分を手短に確かめ、空間ならではの 2 つの違いに時間を使います。

• ベクトルを分解するには、1次独立なベクトルが 3 本 必要になる
• 「4 点が 同じ平面の上 にあるかどうか」を調べる場面が出てくる

座標空間

空間に点 O をとり、O で互いに垂直に交わる 3 本の数直線を引きます。これを $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸といい、まとめて座標軸と呼びます。O は原点です。この章の図では、$x$ 軸を手前（左下）向き、$y$ 軸を右向き、$z$ 軸を上向きにかきます。右手の親指を $x$ 軸、人差し指を $y$ 軸に向けたとき、中指の向きが $z$ 軸になる置き方で、これを右手系といいます。

2 本の座標軸を含む平面を座標平面といいます。$x$ 軸と $y$ 軸を含む平面が $xy$ 平面で、同じように $yz$ 平面，$zx$ 平面 があります。

空間の点 P を通り、3 つの座標平面にそれぞれ平行な平面をつくると、それらは $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸と 1 点ずつで交わります。その 3 点の目盛りが $x_1$，$y_1$，$z_1$ のとき、組 $(x_1,\ y_1,\ z_1)$ を P の座標といい、$\mathrm{P}(x_1,\ y_1,\ z_1)$ と書きます。座標の定められた空間を座標空間といいます。

2 点間の距離は、三平方の定理を 2 回使えば求められます。$\mathrm{P}(x_1,\ y_1,\ z_1)$ から $xy$ 平面に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}(x_1,\ y_1,\ 0)$ とすると、$xy$ 平面の中で $\mathrm{OH}^2$${}= x_1^2$${}+ y_1^2$ です。さらに三角形 OHP は $\angle \mathrm{OHP}$${}= 90^\circ$ の直角三角形で、$\mathrm{HP}$${}= |z_1|$ なので

$\displaystyle \mathrm{OP}^2$$\displaystyle {}= \mathrm{OH}^2$$\displaystyle {}+ \mathrm{HP}^2$$\displaystyle {}= x_1^2$$\displaystyle {}+ y_1^2$$\displaystyle {}+ z_1^2$

となります。2 点 A，B の場合も、A を原点に平行移動したと考えれば同じ形です。

公式1：座標空間の点と 2 点間の距離

座標平面の方程式：$xy$ 平面は $z$${}= 0$，$yz$ 平面は $x$${}= 0$，$zx$ 平面は $y$${}= 0$。点 $(x_1,\ y_1,\ z_1)$ を通り、$xy$ 平面に平行な平面は $z$${}= z_1$（$yz$ 平面・$zx$ 平面に平行な平面も同様に $x$${}= x_1$，$y$${}= y_1$）。

対称な点：点 $(x_1,\ y_1,\ z_1)$ と対称な点は

対称の基準	対称な点
$xy$ 平面	$(x_1,\ y_1,\ -z_1)$
$x$ 軸	$(x_1,\ -y_1,\ -z_1)$
原点	$(-x_1,\ -y_1,\ -z_1)$

（$yz$ 平面・$zx$ 平面，$y$ 軸・$z$ 軸についても同様。平面なら 1 つ、軸なら 2 つ、原点なら 3 つの座標の符号が変わる）

2 点間の距離：$\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2,\ z_2)$ の距離 AB は、次の右辺の正の平方根

$\displaystyle \mathrm{AB}^2$$\displaystyle {}= (x_2 - x_1)^2$$\displaystyle {}+ (y_2 - y_1)^2$$\displaystyle {}+ (z_2 - z_1)^2$

とくに $\mathrm{OA}$${}= \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$。

対称な点の表は、「基準の平面や軸に含まれる座標はそのまま、それ以外の座標の符号を変える」と覚えられます。たとえば $x$ 軸は $x$ 座標だけを持つ直線なので、$x$ 軸に関して対称に移すと $y$，$z$ の符号が変わります。

大きな倉庫では、商品の置き場所を「3 番通路の、入口から 5 番目の棚の、下から 2 段目」のように 3 つの数で伝えます。通路・奥行き・段のどれか 1 つでも欠けると、商品にはたどり着けません。空間の点に 3 つの座標が要るのも同じ理由です。また、長さ 1 m の箱に 1.5 m の釣り竿が入るかどうかは、床の対角線ではなく、隅から反対側の上の隅へ向かう「立体の対角線」で決まります。縦・横・高さが $1$ m，$1$ m，$1$ m なら、その長さは $\sqrt{1 + 1 + 1}$${}= \sqrt{3}$${}\fallingdotseq 1.73$ m で、釣り竿は斜めに入ります。

空間の点は 3 つの座標で表され、2 点間の距離は「3 つの座標の差の 2 乗の和」の平方根になるということです。

例題1：対称な点と 2 点間の距離

2 点 $\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 1,\ 2)$ があります。

(1) 点 A と、$xy$ 平面，$y$ 軸，原点に関してそれぞれ対称な点の座標を求めなさい。

(2) 線分 AB の長さを求めなさい。

(3) $y$ 軸上の点 P で、$\mathrm{PA}$${}= \mathrm{PB}$ となるものの座標を求めなさい。

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【解答】

(1) $xy$ 平面に関しては $z$ 座標の符号だけが変わり $\underline{(2,\ -1,\ -3)}$。$y$ 軸に関しては $x$，$z$ 座標の符号が変わり $\underline{(-2,\ -1,\ -3)}$。原点に関しては 3 つとも変わり $\underline{(-2,\ 1,\ -3)}$ です。

(2) 座標の差は $4$${}- 2$${}= 2$，$1$${}- (-1)$${}= 2$，$2$${}- 3$${}= -1$ なので、公式1から

$\displaystyle \mathrm{AB}$$\displaystyle {}= \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}$$\displaystyle {}= \sqrt{4 + 4 + 1}$$\displaystyle {}= \underline{3}$

(3) $y$ 軸上の点は $x$ 座標と $z$ 座標が $0$ なので、$\mathrm{P}(0,\ y,\ 0)$ とおきます。

$\displaystyle \mathrm{PA}^2$$\displaystyle {}= 2^2$$\displaystyle {}+ (y + 1)^2$$\displaystyle {}+ 3^2$$\displaystyle {}= y^2$$\displaystyle {}+ 2y$$\displaystyle {}+ 14$$\displaystyle \mathrm{PB}^2$$\displaystyle {}= 4^2$$\displaystyle {}+ (y - 1)^2$$\displaystyle {}+ 2^2$$\displaystyle {}= y^2$$\displaystyle {}- 2y$$\displaystyle {}+ 21$

$\mathrm{PA}^2$${}= \mathrm{PB}^2$ から $2y$${}+ 14$${}= -2y$${}+ 21$ で、$y$${}= \dfrac{7}{4}$。よって $\underline{\mathrm{P}\left(0,\ \dfrac{7}{4},\ 0\right)}$ です。長さは正なので、2 乗が等しいことと長さが等しいことは同じです。

空間のベクトルと分解

空間でも、向きと大きさをもつ量をベクトルといい、有向線分で表します。等しいベクトル、零ベクトル、逆ベクトル、和・差・実数倍、平行、単位ベクトルの意味と計算法則は、第1章とまったく同じです。「つぎたす（しりとり）」「始点をそろえる」「終点 − 始点」の合言葉も、そのまま使えます。

平面との違いが出るのは、ベクトルの分解です。平面では、1次独立な 2 本のベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ があれば、どんなベクトルも $s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ と表せました（第1章 公式6）。ところが空間では、$s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ の形のベクトルは、始点を O にそろえると、O，A，B を通る平面の中にしか届きません。平面の外にある点へ向かうには、もう 1 本の向きが必要です。

公式2：空間のベクトルの分解

4 点 O，A，B，C が同一平面上にないとき、$\vec{a}$${}= \overrightarrow{OA}$，$\vec{b}$${}= \overrightarrow{OB}$，$\vec{c}$${}= \overrightarrow{OC}$ は 1次独立 であるという。

このとき、空間のどんなベクトル $\vec{p}$ も

$\displaystyle \vec{p}$$\displaystyle {}= s\vec{a}$$\displaystyle {}+ t\vec{b}$$\displaystyle {}+ u\vec{c}$$\displaystyle (s,\ t,\ u\ \text{は実数})$

の形に、ただ 1 通り に表せる。したがって

$\displaystyle s\vec{a}$$\displaystyle {}+ t\vec{b}$$\displaystyle {}+ u\vec{c}$$\displaystyle {}= s'\vec{a}$$\displaystyle {}+ t'\vec{b}$$\displaystyle {}+ u'\vec{c}$$\displaystyle {}\iff s$$\displaystyle {}= s',$$\displaystyle t$$\displaystyle {}= t',$$\displaystyle u$$\displaystyle {}= u'$

とくに $s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}+ u\vec{c}$${}= \vec{0}$${}\iff s$${}= t$${}= u$${}= 0$。

分解のしかたは、図で確かめられます。$\vec{p}$${}= \overrightarrow{OP}$ とし、P を通り $\vec{c}$ に平行な直線が平面 OAB と交わる点を Q とします。Q は平面 OAB 上にあるので、平面の分解で $\overrightarrow{OQ}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$ と書けます。$\overrightarrow{QP}$ は $\vec{c}$ に平行なので $\overrightarrow{QP}$${}= u\vec{c}$ です。合わせて $\vec{p}$${}= s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}+ u\vec{c}$ となります。ただ 1 通りであることは、厳密定義ページで証明します。

「4 点が同一平面上にない」という条件は、「3 本のうちどの 1 本も、残り 2 本の実数倍の和では表せない」と言いかえられます。たとえば $\vec{c}$${}= 2\vec{a}$${}+ \vec{b}$ なら、C は平面 OAB の上にあり、$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ を何倍して足しても、その平面から出られません。

スケートリンクを滑る選手を思い浮かべてください。前後と左右の 2 つの向きをどう組み合わせても、氷の上を動くだけで、高さは $0$ のままです。ジャンプという 3 本目の向きが加わって、初めて空中の点に届きます。ただし、そのジャンプが真上でなくても、氷の面から外れた向きでさえあれば、どの高さにも届きます。

空間では、同じ平面に乗らない 3 本のベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ を用意すれば、どんなベクトルも $s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}+ u\vec{c}$ とただ 1 通りに表せて、係数を比べてよいということです。

例題2：平行六面体のベクトル

平行六面体 OADB-CEGF があります（面 OADB と面 CEGF が向かい合い、OC，AE，DG，BF が残りの 4 本の辺です）。$\overrightarrow{OA}$${}= \vec{a}$，$\overrightarrow{OB}$${}= \vec{b}$，$\overrightarrow{OC}$${}= \vec{c}$ とします。

(1) $\overrightarrow{OG}$，$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{BE}$ をそれぞれ $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表しなさい。

(2) 辺 EG の中点を M とするとき、$\overrightarrow{OM}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表しなさい。

(3) 4 本の対角線 OG，AF，BE，CD の中点が一致することを示しなさい。

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【解答】

平行六面体の向かい合う辺は平行で長さが等しいので、$\overrightarrow{OD}$${}= \vec{a}$${}+ \vec{b}$，$\overrightarrow{OE}$${}= \vec{a}$${}+ \vec{c}$，$\overrightarrow{OF}$${}= \vec{b}$${}+ \vec{c}$，$\overrightarrow{OG}$${}= \vec{a}$${}+ \vec{b}$${}+ \vec{c}$ です。

(1) $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.2886em}\overrightarrow{OG} = \vec{a}}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.2886em}{}+ \vec{b}}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.2886em}{}+ \vec{c}}$。

「終点 − 始点」を使って

$\displaystyle \overrightarrow{AF}$$\displaystyle {}= \overrightarrow{OF}$$\displaystyle {}- \overrightarrow{OA}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0608em}-\vec{a}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0608em}{}+ \vec{b}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0608em}{}+ \vec{c}},$$\displaystyle \overrightarrow{BE}$$\displaystyle {}= \overrightarrow{OE}$$\displaystyle {}- \overrightarrow{OB}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0608em}\vec{a}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0608em}{}- \vec{b}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{1.0608em}{}+ \vec{c}}$

(2) 辺 EG は $\vec{b}$ と平行で、$\overrightarrow{EG}$${}= \vec{b}$ です。M はその中点なので

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$$\displaystyle {}= \overrightarrow{OE}$$\displaystyle {}+ \frac{1}{2}\overrightarrow{EG}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\vec{a}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{1}{2}\vec{b}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \vec{c}}$

(3) 4 本の対角線の中点の位置ベクトルを、それぞれ両端の和の半分で求めます（中点の公式は平面と同じです。公式4で確認します）。

$\displaystyle \frac{\vec{0} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{2},$$\displaystyle \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{2},$$\displaystyle \frac{\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c})}{2},$$\displaystyle \frac{\vec{c} + (\vec{a} + \vec{b})}{2}$

どれも $\dfrac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ に等しいので、4 本の対角線の中点は一致します。（証明終）

ベクトルの成分

座標空間で、$x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルを $\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$，$\vec{e_3}$ とします。これが空間の基本ベクトルです。3 本は同じ平面に乗らないので、公式2により、どんなベクトル $\vec{a}$ も $\vec{a}$${}= a_1\vec{e_1}$${}+ a_2\vec{e_2}$${}+ a_3\vec{e_3}$ とただ 1 通りに表せます。この 3 つの係数が、空間のベクトルの成分です。

公式3：成分による表示と計算

$\vec{a}$${}= a_1\vec{e_1}$${}+ a_2\vec{e_2}$${}+ a_3\vec{e_3}$ のとき、$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2,\ a_3)$ と書く（$a_3$ を $z$ 成分 という）。

• 相等：$(a_1,\ a_2,\ a_3)$${}= (b_1,\ b_2,\ b_3)$${}\iff a_1$${}= b_1,$$a_2$${}= b_2,$$a_3$${}= b_3$
• 和・差・実数倍は成分ごとに計算する

$\displaystyle (a_1,\ a_2,\ a_3)$$\displaystyle {}\pm (b_1,\ b_2,\ b_3)$$\displaystyle {}= (a_1 \pm b_1,\ a_2 \pm b_2,\ a_3 \pm b_3),$$\displaystyle k(a_1,\ a_2,\ a_3)$$\displaystyle {}= (ka_1,\ ka_2,\ ka_3)$

• 大きさ：$|\vec{a}|$${}= \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
• $\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$ のとき

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$$\displaystyle {}= (b_1 - a_1,\ b_2 - a_2,\ b_3 - a_3),$$\displaystyle |\overrightarrow{AB}|^2$$\displaystyle {}= (b_1 - a_1)^2$$\displaystyle {}+ (b_2 - a_2)^2$$\displaystyle {}+ (b_3 - a_3)^2$

大きさの式は、$\vec{a}$ を原点から始めたときの終点 $(a_1,\ a_2,\ a_3)$ と原点の距離なので、公式1そのものです。平面の公式に $z$ 成分の項を 1 つ付け加えた形、と覚えておけば十分です。

平行の判定にも注意が 1 つあります。平面では「たすき掛けの差が $0$」という 1 本の式で判定できましたが、空間では、成分が 3 つあるので $\vec{b}$${}= k\vec{a}$ とおいて 3 つの成分の式を立てるのが確実です。

財布の中身を「100 円玉・10 円玉・1 円玉の枚数」で $(3,\ 5,\ 2)$ と記録することを考えてみましょう。$(1,\ 2,\ 4)$ の財布と中身をまとめれば $(4,\ 7,\ 6)$ で、硬貨の種類ごとに足すだけです。3 人に同じ中身を配るなら、それぞれの枚数を 3 倍します。種類をまたいで足すことはしない、というのが成分の計算の考え方です。

空間のベクトルは 3 つの数の組 $(a_1,\ a_2,\ a_3)$ で表され、計算は成分ごとに、大きさは成分の 2 乗の和の平方根で求めるということです。

例題3：成分の計算と分解

$\vec{a}$${}= (1,\ -2,\ 2)$，$\vec{b}$${}= (3,\ 0,\ -4)$，$\vec{c}$${}= (0,\ 1,\ 1)$ とします。

(1) $|\vec{a}|$，$|\vec{b}|$ と、$2\vec{a}$${}- \vec{b}$ の成分および大きさを求めなさい。

(2) $\vec{b}$ と平行で、大きさが $10$ のベクトルを求めなさい。

(3) $\vec{p}$${}= (-1,\ -1,\ 11)$ を $s\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}+ u\vec{c}$ の形で表しなさい。

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【解答】

(1)

$\displaystyle |\vec{a}|$$\displaystyle {}= \sqrt{1 + 4 + 4}$$\displaystyle {}= \underline{3},$$\displaystyle |\vec{b}|$$\displaystyle {}= \sqrt{9 + 0 + 16}$$\displaystyle {}= \underline{5}$$\displaystyle 2\vec{a}$$\displaystyle {}- \vec{b}$$\displaystyle {}= (2 - 3,\ -4 - 0,\ 4 + 4)$$\displaystyle {}= \underline{(-1,\ -4,\ 8)},$$\displaystyle |2\vec{a} - \vec{b}|$$\displaystyle {}= \sqrt{1 + 16 + 64}$$\displaystyle {}= \underline{9}$

(2) $\vec{b}$ と同じ向きの単位ベクトルは $\dfrac{\vec{b}}{5}$${}= \left(\dfrac{3}{5},\ 0,\ -\dfrac{4}{5}\right)$ です。大きさ $10$ で平行なものは、その $10$ 倍と $-10$ 倍なので

$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(6,\ 0,\ -8),}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\quad (-6,\ 0,\ 8)}$

(3) 成分で書くと

$\displaystyle s(1,\ -2,\ 2)$$\displaystyle {}+ t(3,\ 0,\ -4)$$\displaystyle {}\qquad + u(0,\ 1,\ 1)$$\displaystyle {}= (s + 3t,\ -2s + u,\ 2s - 4t + u)$

これが $(-1,\ -1,\ 11)$ に等しいので

$\displaystyle s$$\displaystyle {}+ 3t$$\displaystyle {}= -1$$\displaystyle (\mathrm{i}),$$\displaystyle {}\qquad -2s$$\displaystyle {}+ u$$\displaystyle {}= -1$$\displaystyle (\mathrm{ii}),$$\displaystyle 2s$$\displaystyle {}- 4t$$\displaystyle {}+ u$$\displaystyle {}= 11$$\displaystyle (\mathrm{iii})$

$(\mathrm{iii})$${}- (\mathrm{ii})$ で $4s$${}- 4t$${}= 12$，つまり $s$${}- t$${}= 3$。これと $(\mathrm{i})$ から $4t$${}= -4$ で $t$${}= -1$，$s$${}= 2$。$(\mathrm{ii})$ から $u$${}= 2s$${}- 1$${}= 3$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1719em}\vec{p} = 2\vec{a}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1719em}{}- \vec{b}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{1.1719em}{}+ 3\vec{c}}$

確かめると $(2 - 3 + 0,\ -4 + 0 + 3,\ 4 + 4 + 3)$${}= (-1,\ -1,\ 11)$ です。

位置ベクトルと四面体の重心

基準点 O を 1 つ決め、点 P の位置を $\vec{p}$${}= \overrightarrow{OP}$ で表すのも、平面と同じです。第4章で導いた内分点・外分点・重心の公式は、証明のどこにも「平面であること」を使っていなかったので、空間でもそのまま成り立ちます（第4章の厳密定義 定理1 も、次元によらない証明でした）。空間で新しく加わるのは、4 つの頂点をもつ四面体の重心です。

公式4：空間の位置ベクトル

$\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$，$\mathrm{C}(\vec{c})$，$\mathrm{D}(\vec{d})$ とする。

• 線分 AB を $m : n$ に内分する点：$\dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$，外分する点：$\dfrac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}$
• 三角形 ABC の重心：$\dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$
• 四面体 ABCD の重心：$\dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

成分で書けば、それぞれの座標は成分ごとの同じ式になる。たとえば $\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2,\ z_2)$ を $m : n$ に内分する点の座標 $(x,\ y,\ z)$ は

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{nx_1 + mx_2}{m + n},$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{ny_1 + my_2}{m + n},$$\displaystyle z$$\displaystyle {}= \frac{nz_1 + mz_2}{m + n}$

四面体の重心は、「頂点と、向かい合う面の三角形の重心を結ぶ線分を $3 : 1$ に内分する点」になっています。A と、三角形 BCD の重心 $\vec{g}$${}= \dfrac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$ を結ぶ線分を $3 : 1$ に内分すると

$\displaystyle \frac{1 \cdot \vec{a} + 3\vec{g}}{3 + 1}$$\displaystyle {}= \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

となり、4 つの頂点について同じ式になるので、4 本の線分は 1 点で交わります。三角形の重心が中線を $2 : 1$ に分けたのと、よく似た関係です。

平面の三目並べを、盤を何段も重ねた立体版にしても、「縦・横・斜めに一列にそろえる」というルールはそのまま通用します。変わるのは、そろえ方の種類が「段をまたぐ列」の分だけ増えることです。位置ベクトルの公式も同じで、式の形はそのまま、成分が 1 つ増えるだけです。

内分点・外分点・重心の公式は空間でも同じ形で使え、四面体の重心は 4 つの頂点の位置ベクトルの平均になるということです。

例題4：内分点・外分点と四面体の重心

4 点 $\mathrm{A}(1,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 2,\ 3)$ を頂点とする四面体 ABCD があります。

(1) 線分 AB を $2 : 1$ に内分する点と、$2 : 1$ に外分する点の座標を求めなさい。

(2) 三角形 BCD の重心 G と、四面体 ABCD の重心 K の座標を求めなさい。

(3) K が線分 AG を $3 : 1$ に内分する点であることを、座標で確かめなさい。

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【解答】

(1) 内分点の座標は

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3}{3}$$\displaystyle {}= \frac{7}{3},$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 2}{3}$$\displaystyle {}= \frac{4}{3},$$\displaystyle z$$\displaystyle {}= \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)}{3}$$\displaystyle {}= 0$

で、$\underline{\left(\dfrac{7}{3},\ \dfrac{4}{3},\ 0\right)}$ です。外分点は、内分点の $n$${}= 1$ を $-1$ に置きかえて

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{-1 \cdot 1 + 2 \cdot 3}{2 - 1}$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{-1 \cdot 0 + 2 \cdot 2}{2 - 1}$$\displaystyle {}= 4,$$\displaystyle z$$\displaystyle {}= \frac{-1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)}{2 - 1}$$\displaystyle {}= -4$

で、$\underline{(5,\ 4,\ -4)}$ です。

(2) G の座標は

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{3 - 1 + 1}{3}$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{2 + 4 + 2}{3}$$\displaystyle {}= \frac{8}{3},$$\displaystyle z$$\displaystyle {}= \frac{-1 + 0 + 3}{3}$$\displaystyle {}= \frac{2}{3}$

で、$\underline{\mathrm{G}\left(1,\ \dfrac{8}{3},\ \dfrac{2}{3}\right)}$ です。K の座標は

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{1 + 3 - 1 + 1}{4}$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{0 + 2 + 4 + 2}{4}$$\displaystyle {}= 2,$$\displaystyle z$$\displaystyle {}= \frac{2 - 1 + 0 + 3}{4}$$\displaystyle {}= 1$

で、$\underline{\mathrm{K}(1,\ 2,\ 1)}$ です。

(3) 線分 AG を $3 : 1$ に内分する点の座標は

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 1}{4}$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle y$$\displaystyle {}= \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot \frac{8}{3}}{4}$$\displaystyle {}= 2,$$\displaystyle z$$\displaystyle {}= \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{2}{3}}{4}$$\displaystyle {}= 1$

で、$(1,\ 2,\ 1)$ となり K と一致します。

同一直線上・同一平面上にある条件

3 点が一直線上にある条件は、平面と同じく「$\overrightarrow{AC}$${}= k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ がある」です（第4章 公式5）。空間で新しく考えるのは、4 点が同一平面上にある条件です。

一直線上にない 3 点 A，B，C を通る平面は、ただ 1 つに決まります。これを平面 ABC といいます。$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ はこの平面の中の 1次独立な 2 本のベクトルなので、点 P が平面 ABC 上にあることは、平面の分解（第1章 公式6）により、$\overrightarrow{AP}$ が $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ で表せることと同じです。

公式5：同一直線上・同一平面上にある条件

(1) 異なる 2 点 A，B と点 C について、C が直線 AB 上にあるのは

$\displaystyle \overrightarrow{AC}$$\displaystyle {}= k\overrightarrow{AB}$

となる実数 $k$ があるとき、またそのときに限る。

(2) 一直線上にない 3 点 A，B，C と点 P について、次の 3 つは同値である。

• P が平面 ABC 上にある
• $\overrightarrow{AP}$${}= s\overrightarrow{AB}$${}+ t\overrightarrow{AC}$ となる実数 $s$，$t$ がある
• 基準点 O に対して $\overrightarrow{OP}$${}= \alpha\overrightarrow{OA}$${}+ \beta\overrightarrow{OB}$${}+ \gamma\overrightarrow{OC}$，$\alpha$${}+ \beta$${}+ \gamma$${}= 1$ となる実数 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ がある

2 つ目から 3 つ目へは、「終点 − 始点」で書きかえるだけです。

$\displaystyle \vec{p}$$\displaystyle {}- \vec{a}$$\displaystyle {}= s(\vec{b} - \vec{a})$$\displaystyle {}+ t(\vec{c} - \vec{a})$$\displaystyle {}\iff \vec{p}$$\displaystyle {}= (1 - s - t)\vec{a}$$\displaystyle {}+ s\vec{b}$$\displaystyle {}+ t\vec{c}$

$\alpha$${}= 1$${}- s$${}- t$，$\beta$${}= s$，$\gamma$${}= t$ とおけば、係数の和は $1$ です。第4章の「直線 AB 上 ⇔ 係数の和が 1」が、1 つ次元の上がった形で現れました。基準点 O はどこにとってもかまいません。

下じきを指先で下から支えるところを想像してください。指が 3 本なら、指先の高さがばらばらでも、下じきは 3 つの指先に同時に乗ります。ところが 4 本目の指を加えると、その指先がちょうど 3 本で決まった面の高さになければ、浮くか、下じきを押し上げてしまいます。3 点は必ず 1 つの平面に乗り、4 点目は条件を満たしたときだけ乗る、というのが公式5の中身です。

点 P が平面 ABC 上にあるのは、$\overrightarrow{AP}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表せるとき、言いかえると $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$ で表した係数の和が $1$ のときだということです。

例題5：4 点が同一平面上にある条件

(1) 4 点 $\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{D}(x,\ 3,\ 1)$ が同一平面上にあるように、$x$ の値を定めなさい。

(2) 四面体 OABC で $\overrightarrow{OA}$${}= \vec{a}$，$\overrightarrow{OB}$${}= \vec{b}$，$\overrightarrow{OC}$${}= \vec{c}$ とします。$\overrightarrow{OP}$${}= \dfrac{1}{2}\vec{a}$${}+ \dfrac{1}{3}\vec{b}$${}+ k\vec{c}$ で表される点 P が平面 ABC 上にあるように、実数 $k$ の値を定めなさい。

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【解答】

(1) $\overrightarrow{AB}$${}= (1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{AC}$${}= (-1,\ -1,\ 2)$，$\overrightarrow{AD}$${}= (x - 1,\ 1,\ 1)$ です。$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は平行でないので、A，B，C は一直線上にありません。D が平面 ABC 上にあるための条件は、$\overrightarrow{AD}$${}= s\overrightarrow{AB}$${}+ t\overrightarrow{AC}$ となる $s$，$t$ があることです。

$\displaystyle (x - 1,\ 1,\ 1)$$\displaystyle {}= (s - t,\ -2s - t,\ s + 2t)$

$y$ 成分と $z$ 成分から

$\displaystyle -2s$$\displaystyle {}- t$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle s$$\displaystyle {}+ 2t$$\displaystyle {}= 1$

1 つ目を 2 倍して 2 つ目と足すと $-3s$${}= 3$ で $s$${}= -1$，$t$${}= 1$。$x$ 成分から $x$${}- 1$${}= s$${}- t$${}= -2$ なので $\underline{x = -1}$ です。

(2) O，A，B，C は同一平面上にない（四面体の頂点）ので、公式5の係数の和が $1$ という条件を使えます。

$\displaystyle \frac{1}{2}$$\displaystyle {}+ \frac{1}{3}$$\displaystyle {}+ k$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{k = \frac{1}{6}}$

直線と平面の交点

最後に、四面体の中で、直線と平面の交点を求めます。考え方は第5章の「2 通りに表して係数を比べる」と同じで、1次独立なベクトルが 3 本になるだけです。

四面体 OABC で $\vec{a}$${}= \overrightarrow{OA}$，$\vec{b}$${}= \overrightarrow{OB}$，$\vec{c}$${}= \overrightarrow{OC}$ とすると、この 3 本は 1次独立です。点 $\overrightarrow{OQ}$${}= x\vec{a}$${}+ y\vec{b}$${}+ z\vec{c}$ がどの平面上にあるかは、係数 $x$，$y$，$z$ だけで判定できます。

公式6：四面体の中の直線と平面の交点

四面体 OABC で $\overrightarrow{OQ}$${}= x\vec{a}$${}+ y\vec{b}$${}+ z\vec{c}$ とするとき

点 Q の位置	係数の条件
平面 ABC 上	$x + y + z = 1$
平面 OAB 上	$z = 0$（平面 OBC，OCA も同様）
直線 OA 上	$y = z = 0$

直線と平面の交点の求め方

1. 交点 Q を「直線上の点」として、媒介変数 1 つで表す（直線 OP 上なら $\overrightarrow{OQ}$${}= k\overrightarrow{OP}$）
2. $\overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表し、「平面上の点」の条件（上の表）を立てる
3. 媒介変数を求めて $\overrightarrow{OQ}$ を決める

平面 ABC 上の点を $\alpha\vec{a}$${}+ \beta\vec{b}$${}+ \gamma\vec{c}$（$\alpha$${}+ \beta$${}+ \gamma$${}= 1$）ともおき、2 通りの表し方の係数を比べてもよい（公式2の一意性）。

表の 1 行目は公式5 (2) で O を基準点にしたもので、係数が 1 通りに決まるので、逆向きにも使えます。2 行目は、平面 OAB の点が $\vec{a}$，$\vec{b}$ だけで表せることからきています。

暗い部屋で、レーザーポインターの光をスクリーンに当てる場面を考えましょう。赤い点が映る場所は、「ポインターから伸びる光の道すじの上」にあり、同時に「スクリーンの上」にもあります。この 2 つの条件を両方満たす点は 1 つだけです。交点の計算も、「直線の上」という条件で文字を 1 つに減らし、「平面の上」という条件でその文字を決めています。

直線と平面の交点は、直線上の点として媒介変数で表し、平面上にある条件（四面体 OABC なら係数の和が $1$ など）を当てはめて求めるということです。

例題6：直線と平面の交点

四面体 OABC で $\overrightarrow{OA}$${}= \vec{a}$，$\overrightarrow{OB}$${}= \vec{b}$，$\overrightarrow{OC}$${}= \vec{c}$ とします。辺 OA の中点を M，辺 BC を $1 : 2$ に内分する点を N，線分 MN の中点を P とし、直線 OP と平面 ABC の交点を Q とします。

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表しなさい。

(2) $\overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表しなさい。

(3) $\mathrm{OP} : \mathrm{PQ}$ を求めなさい。

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【解答】

(1) $\overrightarrow{OM}$${}= \dfrac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{ON}$${}= \dfrac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$ なので

$\displaystyle \overrightarrow{OP}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}\right)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{1}{4}\vec{a}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{1}{3}\vec{b}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{1}{6}\vec{c}}$

(2) Q は直線 OP 上にあるので、実数 $k$ を使って

$\displaystyle \overrightarrow{OQ}$$\displaystyle {}= k\overrightarrow{OP}$$\displaystyle {}= \frac{k}{4}\vec{a}$$\displaystyle {}+ \frac{k}{3}\vec{b}$$\displaystyle {}+ \frac{k}{6}\vec{c}$

と表せます。Q は平面 ABC 上にあり、$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ は 1次独立なので、係数の和が $1$ です。

$\displaystyle \frac{k}{4}$$\displaystyle {}+ \frac{k}{3}$$\displaystyle {}+ \frac{k}{6}$$\displaystyle {}= \frac{3k}{4}$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad k$$\displaystyle {}= \frac{4}{3}$

よって

$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}\vec{a}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{4}{9}\vec{b}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{2}{9}\vec{c}}$

(3) $\overrightarrow{OQ}$${}= \dfrac{4}{3}\overrightarrow{OP}$ なので $\mathrm{OP} : \mathrm{OQ}$${}= 3 : 4$。したがって $\underline{\mathrm{OP} : \mathrm{PQ} = 3 : 1}$ です。

この章では、空間でもベクトルの計算と位置ベクトルの公式がそのまま使えること、そして分解に 3 本のベクトルが要ることを確かめました。まだ使っていない道具が 1 つあります。内積です。次の第8章では、空間のベクトルの内積を使って、長さ・角・垂直を調べ、四面体の体積なども求めていきます。