第3章　ベクトルの内積

なす角と内積の定義

第1章・第2章では、ベクトルどうしを足したり、ベクトルを実数倍したりしてきました。どれも答えはベクトルです。この章では、2 つのベクトルから 1 つの実数を作る新しい計算、内積を学びます。

内積を定義する前に、2 つのベクトルの「角」を決めておきます。零ベクトルでない $\vec{a}$，$\vec{b}$ を、始点が同じ点 O になるように平行移動して、$\vec{a}$${}= \overrightarrow{OA}$，$\vec{b}$${}= \overrightarrow{OB}$ とします。このときの ∠AOB の大きさ $\theta$ を、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角といいます。範囲は $0^\circ$${}\leqq \theta$${}\leqq 180^\circ$ で、同じ向きなら $0^\circ$，逆向きなら $180^\circ$ です。

気をつけたいのは、必ず始点をそろえてから測ることです。三角形 ABC で、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ のなす角は、内角 ∠B ではありません。$\overrightarrow{BC}$ は B が始点ですが、$\overrightarrow{AB}$ は B が終点です。$\overrightarrow{AB}$ を B が始点になるように平行移動すると、辺 AB を B の先へ延ばした向きになるので、なす角は $180^\circ - B$ です。第1章の合言葉「始点をそろえる」は、角を測るときにも欠かせません。

公式1：内積の定義

零ベクトルでない $\vec{a}$，$\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、

$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}= |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$

を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積といいます。

• $\vec{a}$${}= \vec{0}$ または $\vec{b}$${}= \vec{0}$ のときは、$\vec{a} \cdot \vec{b}$${}= 0$ と定めます。
• 内積はベクトルではなく、実数（スカラー）です。
• 同じベクトルどうしでは $\theta$${}= 0^\circ$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{a}$${}= |\vec{a}|^2$ です。
• 符号は $\theta$ で決まります。$0^\circ$${}\leqq \theta$${}< 90^\circ$ なら正，$\theta$${}= 90^\circ$ なら $0$，$90^\circ$${}< \theta$${}\leqq 180^\circ$ なら負です。

記号の「$\cdot$」は省略できません。$\vec{a}\vec{b}$ と並べて書いたり、$\vec{a} \times \vec{b}$ と書いたりはしないでください（$\times$ は、大学で学ぶ「外積」という別の計算の記号です）。

内積の式にある $|\vec{b}|\cos\theta$ には、図形的な意味があります。$\vec{b}$ の終点から、$\vec{a}$ を含む直線に垂線を下ろします。始点から垂線の足までの長さが $|\vec{b}|\cos\theta$ で、これを $\vec{b}$ の $\vec{a}$ 上への正射影といいます。$\theta$ が鈍角のときは、足が $\vec{a}$ と反対側にくるので、負の数として扱います。内積は「$\vec{a}$ の大きさ × $\vec{b}$ の正射影」です。

広場の真ん中にある噴水へ向かいたいのに、人だかりがあって、噴水の方角から $60^\circ$ ずれた向きに 100 歩進んだとします。噴水の方角へ近づいたのは、100 歩のうち $100 \times \cos 60^\circ$${}= 50$ 歩分だけです。ずれが $90^\circ$ なら、横に歩いただけで近づいた量は $0$。$120^\circ$ なら $100 \times \cos 120^\circ$${}= -50$ 歩分で、かえって遠ざかっています。「ある向きにどれだけ進んだか」を符号つきで測るのが正射影で、それに相手のベクトルの大きさをかけたものが内積です。

また、$-1$${}\leqq \cos\theta$${}\leqq 1$ なので、内積の値には上限と下限があります。

$\displaystyle -|\vec{a}|\,|\vec{b}|$$\displaystyle {}\leqq \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}\leqq |\vec{a}|\,|\vec{b}|$

最大になるのは同じ向き（$\theta$${}= 0^\circ$）、最小になるのは逆向き（$\theta$${}= 180^\circ$）のときです。数と式 第10章の厳密定義で予告した「内積の大きさは長さの積を超えない」（$|\vec{a} \cdot \vec{b}|$${}\leqq |\vec{a}|\,|\vec{b}|$）は、この不等式のことです。

内積とは、始点をそろえて測ったなす角 $\theta$ を使って $|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$ で決まる実数で、「一方の大きさ × もう一方をその向きに映した長さ」を表すということです。

例題1：図形の中の内積

∠C $= 90^\circ$，∠A $= 30^\circ$，AB $= 2$ の直角三角形 ABC で、次の内積を求めなさい。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$　(2) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$　(3) $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}$

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【解答】

BC $= 2\sin 30^\circ$${}= 1$，AC $= 2\cos 30^\circ$${}= \sqrt{3}$ です。

(1) 始点はどちらも A で、なす角は ∠A $= 30^\circ$ です。

$\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$\displaystyle {}= 2 \times \sqrt{3} \times \cos 30^\circ$$\displaystyle {}= 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}= \underline{3}$

(2) 始点はどちらも B で、なす角は ∠B $= 60^\circ$ です。

$\displaystyle \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$$\displaystyle {}= 2 \times 1 \times \cos 60^\circ$$\displaystyle {}= \underline{1}$

(3) $\overrightarrow{CA}$ は A が終点、$\overrightarrow{AB}$ は A が始点なので、そのままでは角が測れません。$\overrightarrow{CA}$ を A が始点になるように平行移動すると、辺 CA を A の先へ延ばした向きになるので、なす角は $180^\circ - 30^\circ$${}= 150^\circ$ です。

$\displaystyle \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}$$\displaystyle {}= \sqrt{3} \times 2 \times \cos 150^\circ$$\displaystyle {}= \sqrt{3} \times 2 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$\displaystyle {}= \underline{-3}$

(1) と (3) は、片方のベクトルの向きが逆になっただけなので、符号だけが変わります。

成分による内積

内積を成分で表してみます。$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$ が零ベクトルでなく、平行でもないとします。$\vec{a}$${}= \overrightarrow{OA}$，$\vec{b}$${}= \overrightarrow{OB}$ とすると、三角形 OAB ができて、辺 AB は $\overrightarrow{AB}$${}= \vec{b}$${}- \vec{a}$ です。

三角比と三角関数 第3章の余弦定理を、この三角形に使います。2 辺 $|\vec{a}|$，$|\vec{b}|$ とその間の角 $\theta$ から、残りの辺が求まるのでした。

$\displaystyle |\vec{b} - \vec{a}|^2$$\displaystyle {}= |\vec{a}|^2$$\displaystyle {}+ |\vec{b}|^2$$\displaystyle {}- 2|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$$\displaystyle {}= |\vec{a}|^2$$\displaystyle {}+ |\vec{b}|^2$$\displaystyle {}- 2\,\vec{a} \cdot \vec{b}$

内積が余弦定理の中にそのまま現れました。これを内積について解いて、第2章の大きさの公式で成分に直します。

$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\bigl\{(a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2)$$\displaystyle {}\qquad - (b_1 - a_1)^2 - (b_2 - a_2)^2\bigr\}$

$(b_1 - a_1)^2$${}= b_1^2$${}- 2a_1b_1$${}+ a_1^2$ などを展開すると、2 乗の項はすべて消えて、$2a_1b_1$${}+ 2a_2b_2$ だけが残ります。

公式2：成分による内積

$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$ のとき

$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}= a_1b_1$$\displaystyle {}+ a_2b_2$

とくに $\vec{a} \cdot \vec{a}$${}= a_1^2$${}+ a_2^2$${}= |\vec{a}|^2$ です。

$x$ 成分どうし、$y$ 成分どうしをかけて、足すだけです。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行で三角形ができないときや、零ベクトルのときにも同じ式が成り立ちます（厳密定義のページで確かめます）。

基本ベクトルで確かめてみましょう。$\vec{e_1} \cdot \vec{e_1}$${}= 1 \times 1$${}+ 0 \times 0$${}= 1$，$\vec{e_1} \cdot \vec{e_2}$${}= 1 \times 0$${}+ 0 \times 1$${}= 0$ です。長さ $1$ どうしで角 $0^\circ$ なら $1$，角 $90^\circ$ なら $0$ という定義の値とぴったり合います。

バスケットボールの得点を思い浮かべてください。2 点シュートを 5 本、3 点シュートを 4 本決めた選手の得点は、$2 \times 5$${}+ 3 \times 4$${}= 22$ 点です。「1 本あたりの点数」$(2,\ 3)$ と「決めた本数」$(5,\ 4)$ を、対応するものどうしでかけて足しています。これが成分による内積の計算そのものです。

成分で表されたベクトルの内積は、$x$ 成分どうし・$y$ 成分どうしの積を足した $a_1b_1$${}+ a_2b_2$ で求められ、角を知らなくても計算できるということです。

例題2：成分による内積

$\vec{a}$${}= (2,\ 3)$，$\vec{b}$${}= (4,\ -1)$ のとき、次の値を求めなさい。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$　(2) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

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【解答】

(1)

$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}= 2 \times 4$$\displaystyle {}+ 3 \times (-1)$$\displaystyle {}= \underline{5}$

(2) 先に成分を求めてから内積を計算します。$\vec{a}$${}+ \vec{b}$${}= (6,\ 2)$，$\vec{a}$${}- \vec{b}$${}= (-2,\ 4)$ なので

$\displaystyle (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$$\displaystyle {}= 6 \times (-2)$$\displaystyle {}+ 2 \times 4$$\displaystyle {}= \underline{-4}$

$|\vec{a}|^2$${}- |\vec{b}|^2$${}= 13$${}- 17$${}= -4$ と同じ値になっています。理由は、あとの公式5で分かります。

なす角を求める

内積の定義を $\cos\theta$ について解くと、なす角を求める式になります。成分が分かれば、公式2で内積を、第2章の公式2で大きさを計算して、$\cos\theta$ が求まります。

公式3：なす角の余弦

零ベクトルでない $\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$ のなす角を $\theta$ とすると

$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$$\displaystyle {}= \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\,\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$

$0^\circ$${}\leqq \theta$${}\leqq 180^\circ$ の範囲では、$\cos\theta$ の値から $\theta$ がただ 1 つに決まります。

$\cos\theta$ は $1$（同じ向き）から $-1$（逆向き）までの値をとり、$0$ なら垂直です。

内積は、ベクトルが長いほど大きな値になります。向きの近さだけを比べたいなら、大きさの影響を取り除く必要があります。テストの点数でいえば、100 点満点で 80 点と、50 点満点で 40 点は、点数だけ見ると違いますが、満点で割るとどちらも $0.8$ で、出来ばえは同じです。内積を $|\vec{a}|\,|\vec{b}|$ で割るのも同じ考え方で、長さの違いを取り除いて、向きのそろい具合 $\cos\theta$ だけを取り出しているのです。

なす角は、内積を 2 つの大きさの積で割って $\cos\theta$ を求め、そこから $0^\circ$${}\leqq \theta$${}\leqq 180^\circ$ の範囲で読み取ればよいということです。

例題3：なす角を求める

次の 2 つのベクトルのなす角 $\theta$ を求めなさい。

(1) $\vec{a}$${}= (1,\ 7)$，$\vec{b}$${}= (-3,\ 4)$　(2) $\vec{a}$${}= (3,\ -1)$，$\vec{b}$${}= (-1,\ 2)$

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【解答】

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$${}= -3$${}+ 28$${}= 25$，$|\vec{a}|$${}= \sqrt{50}$${}= 5\sqrt{2}$，$|\vec{b}|$${}= 5$ なので

$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{25}{5\sqrt{2} \times 5}$$\displaystyle {}= \frac{1}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\theta = 45^\circ}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b}$${}= -3$${}- 2$${}= -5$，$|\vec{a}|$${}= \sqrt{10}$，$|\vec{b}|$${}= \sqrt{5}$ なので

$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}= \frac{-5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}}$$\displaystyle {}= \frac{-5}{5\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= -\frac{1}{\sqrt{2}}$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{\theta = 135^\circ}$

内積が負なので、なす角が鈍角になることは計算の前から分かります。

垂直条件

零ベクトルでない $\vec{a}$，$\vec{b}$ のなす角が $90^\circ$ のとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直であるといい、$\vec{a}$${}\perp \vec{b}$ と書きます。$\cos 90^\circ$${}= 0$ なので、垂直なら内積は $0$ です。逆に、零ベクトルでない 2 つのベクトルの内積が $0$ なら、$\cos\theta$${}= 0$ で $\theta$${}= 90^\circ$ です。

公式4：垂直条件

$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$${}\neq \vec{0}$，$\vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$${}\neq \vec{0}$ のとき

$\displaystyle \vec{a}$$\displaystyle {}\perp \vec{b}$$\displaystyle {}\iff \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\iff a_1b_1$$\displaystyle {}+ a_2b_2$$\displaystyle {}= 0$

第2章の平行条件 $a_1b_2$${}- a_2b_1$${}= 0$ と見比べておきましょう。平行は「たすき掛けの差」，垂直は「成分どうしの積の和」です。

$\vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$ に垂直なベクトルは、成分を入れかえて一方の符号を変えた $(-a_2,\ a_1)$ がすぐに見つかります。$a_1 \times (-a_2)$${}+ a_2 \times a_1$${}= 0$ だからです。$(-a_2,\ a_1)$ は $\vec{a}$ を反時計回りに $90^\circ$ 回したベクトルで、複素数平面と二次曲線 第2章の「$i$ をかけると $90^\circ$ 回転」と同じことをしています。

広場の噴水の例に戻ると、噴水の方角とちょうど $90^\circ$ の向きに歩いたときは、噴水に近づきも遠ざかりもしません。内積 $0$ は「相手の向きには少しも進んでいない」ことを表します。

第2章の j17 では、$\vec{a}$${}= (3,\ 1)$，$\vec{b}$${}= (1,\ -2)$ として、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ が $t$${}= -\dfrac{1}{5}$ で最小になることを求めました。このとき $\vec{a}$${}+ t\vec{b}$${}= \left(\dfrac{14}{5},\ \dfrac{7}{5}\right)$ で、

$\displaystyle \left(\vec{a} + t\vec{b}\right) \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}= \frac{14}{5} \times 1$$\displaystyle {}+ \frac{7}{5} \times (-2)$$\displaystyle {}= 0$

となり、たしかに $\vec{b}$ と垂直です。直線の上で、ある点にいちばん近い場所は、その点から直線へ垂直に下ろした足だということが、内積で確かめられました。

零ベクトルでない 2 つのベクトルが垂直であることは、内積が $0$，つまり $a_1b_1$${}+ a_2b_2$${}= 0$ であることと同じだということです。

例題4：垂直条件と垂直な単位ベクトル

(1) $\vec{a}$${}= (x,\ 4)$，$\vec{b}$${}= (6,\ -3)$ が垂直になるような $x$ の値を求めなさい。

(2) $\vec{c}$${}= (2,\ -1)$ に垂直な単位ベクトルを成分で表しなさい。

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【解答】

(1) 垂直条件より

$\displaystyle 6x$$\displaystyle {}+ 4 \times (-3)$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle {}\Longrightarrow\qquad \underline{x = 2}$

(2) 成分を入れかえて一方の符号を変えた $(1,\ 2)$ は、$2 \times 1$${}+ (-1) \times 2$${}= 0$ で $\vec{c}$ に垂直です。$\vec{c}$ に垂直なベクトルは $(1,\ 2)$ と平行なので、その単位ベクトルは $\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,\ 2)$ です。

$\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\ \frac{2\sqrt{5}}{5}\right),}$$\displaystyle \underline{\rule[-1.25em]{0em}{3.0000em}\quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{5},\ -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}$

垂直な向きは 2 つある（反時計回りと時計回り）ので、答えも 2 つです。

内積の計算法則

内積には、数のかけ算とよく似た計算法則があります。

公式5：内積の計算法則

$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ をベクトル、$k$ を実数とするとき

1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$${}= \vec{b} \cdot \vec{a}$（交換法則）
2. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$${}= \vec{a} \cdot \vec{c}$${}+ \vec{b} \cdot \vec{c}$，$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$${}= \vec{a} \cdot \vec{b}$${}+ \vec{a} \cdot \vec{c}$（分配法則）
3. $(k\vec{a}) \cdot \vec{b}$${}= \vec{a} \cdot (k\vec{b})$${}= k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

これらから、数の展開公式と同じ形の式が導けます。

$\displaystyle |\vec{a} + \vec{b}|^2$$\displaystyle {}= |\vec{a}|^2$$\displaystyle {}+ 2\,\vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}+ |\vec{b}|^2,$$\displaystyle |\vec{a} - \vec{b}|^2$$\displaystyle {}= |\vec{a}|^2$$\displaystyle {}- 2\,\vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}+ |\vec{b}|^2$$\displaystyle (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$$\displaystyle {}= |\vec{a}|^2$$\displaystyle {}- |\vec{b}|^2$

どれも成分で確かめられます。たとえば分配法則は、$\vec{c}$${}= (c_1,\ c_2)$ として

$\displaystyle (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$$\displaystyle {}= (a_1 + b_1)c_1$$\displaystyle {}+ (a_2 + b_2)c_2$$\displaystyle {}= (a_1c_1 + a_2c_2)$$\displaystyle {}+ (b_1c_1 + b_2c_2)$$\displaystyle {}= \vec{a} \cdot \vec{c}$$\displaystyle {}+ \vec{b} \cdot \vec{c}$

です。展開公式は、$|\vec{a} + \vec{b}|^2$${}= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ を分配法則でばらし、$\vec{a} \cdot \vec{a}$${}= |\vec{a}|^2$ と交換法則を使えば出てきます。この展開を使うと、成分が分からなくても、大きさと内積だけから $|\vec{a} + \vec{b}|$ などが求められます。

ただし、数のかけ算と違うところもあります。

• 内積の答えは実数です。$\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}$ のように 3 つ続けて内積をとることはできません（$(\vec{a} \cdot \vec{b})\,\vec{c}$ なら、実数 × ベクトルで意味があります）。
• $\vec{a} \cdot \vec{b}$${}= 0$ でも、$\vec{a}$${}= \vec{0}$ または $\vec{b}$${}= \vec{0}$ とは限りません。垂直なら $0$ になります。
• 同じ理由で、$\vec{a} \cdot \vec{b}$${}= \vec{a} \cdot \vec{c}$ から両辺を $\vec{a}$ で「割って」$\vec{b}$${}= \vec{c}$ とすることはできません。

左ハンドルの車に初めて乗る場面に似ています。アクセル・ブレーキ・ハンドルの使い方は日本の車と同じなので、運転の基本はそのまま通用します。けれども、ウインカーとワイパーのレバーが左右逆だったりして、いつもの癖で操作すると思わぬことが起きます。内積も、展開はいつもどおりにできますが、「答えが数になる」「$0$ になっても片方が $0$ とは限らない」ところだけは、数のかけ算の癖を持ちこまないように注意します。

内積は交換法則・分配法則が成り立つので、$|\vec{a} + \vec{b}|^2$ などを数の式と同じように展開でき、大きさと内積だけから新しいベクトルの大きさが求められるということです。

例題5：内積の計算法則を使う

$|\vec{a}|$${}= 2$，$|\vec{b}|$${}= \sqrt{3}$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $30^\circ$ のとき、次の値を求めなさい。

(1) $|\vec{a} + \vec{b}|$　(2) $(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

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【解答】

まず内積を求めておきます。

$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}= 2 \times \sqrt{3} \times \cos 30^\circ$$\displaystyle {}= 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle {}= 3$

(1) 2 乗して展開します。

$\displaystyle |\vec{a} + \vec{b}|^2$$\displaystyle {}= |\vec{a}|^2$$\displaystyle {}+ 2\,\vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}+ |\vec{b}|^2$$\displaystyle {}= 4$$\displaystyle {}+ 6$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= 13$

$|\vec{a} + \vec{b}|$${}\geqq 0$ なので $\underline{|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}}$。

(2) 文字式の $(x + 2y)(x - y)$${}= x^2$${}+ xy$${}- 2y^2$ と同じように展開します。

$\displaystyle (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$$\displaystyle {}= |\vec{a}|^2$$\displaystyle {}+ \vec{a} \cdot \vec{b}$$\displaystyle {}- 2|\vec{b}|^2$$\displaystyle {}= 4$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}- 6$$\displaystyle {}= \underline{1}$

三角形の面積

三角比と三角関数 第4章では、三角形の面積を「2 辺とその間の角」から $S$${}= \dfrac{1}{2}bc\sin A$ で求めました。三角形 OAB で $\overrightarrow{OA}$${}= \vec{a}$，$\overrightarrow{OB}$${}= \vec{b}$ とすると、底辺 OA に対する高さが $|\vec{b}|\sin\theta$ なので、$S$${}= \dfrac{1}{2}|\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\theta$ です（fig03 の点線）。

$0^\circ$${}< \theta$${}< 180^\circ$ では $\sin\theta$${}> 0$ なので、$\sin\theta$${}= \sqrt{1 - \cos^2\theta}$ です。これを代入して根号の中に $|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$ を入れると、$|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$${}= \vec{a} \cdot \vec{b}$ から

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\cos^2\theta}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

となります。さらに成分で表すと、根号の中は

$\displaystyle (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$$\displaystyle {}- (a_1b_1 + a_2b_2)^2$$\displaystyle {}= a_1^2b_2^2$$\displaystyle {}- 2a_1a_2b_1b_2$$\displaystyle {}+ a_2^2b_1^2$$\displaystyle {}= (a_1b_2 - a_2b_1)^2$

と、きれいな 2 乗になります（数と式 第9章 例題5(1) の等式と同じ形です）。

公式6：三角形の面積

三角形 OAB で $\overrightarrow{OA}$${}= \vec{a}$${}= (a_1,\ a_2)$，$\overrightarrow{OB}$${}= \vec{b}$${}= (b_1,\ b_2)$ とすると、面積 $S$ は

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left|a_1b_2 - a_2b_1\right|$

2 つ目の式の $a_1b_2$${}- a_2b_1$ は、第2章の平行条件に出てきた「たすき掛けの差」です。第2章の厳密定義で予告したとおり、この値の絶対値は $\vec{a}$，$\vec{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積で、三角形はその半分です。平行なら $0$ になるのは、三角形がつぶれて面積がなくなるからです。

段ボール箱の側面を横から押すと、長方形だった面が平行四辺形にひしゃげていきます。辺の長さは変わらないのに、傾くほど高さが減って面積は小さくなり、最後にぺしゃんこになると面積は $0$ です。2 辺の長さが同じでも、間の角（向きの関係）によって面積が決まるので、長さだけでなく内積や成分の情報が必要になるのです。

2 つのベクトルが作る三角形の面積は、大きさと内積からは $\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$，成分からは $\dfrac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|$ で求められるということです。

例題6：三角形の面積

(1) 原点 O と 2 点 A$(4,\ 1)$，B$(2,\ 3)$ を頂点とする三角形 OAB の面積を求めなさい。

(2) 3 点 A$(1,\ -1)$，B$(3,\ 2)$，C$(-1,\ 4)$ を頂点とする三角形 ABC の面積を求めなさい。

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【解答】

(1) $\vec{a}$${}= (4,\ 1)$，$\vec{b}$${}= (2,\ 3)$ として、成分の式を使います。

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}|4 \times 3 - 1 \times 2|$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \times 10$$\displaystyle {}= \underline{5}$

大きさと内積の式でも確かめます。$|\vec{a}|^2$${}= 17$，$|\vec{b}|^2$${}= 13$，$\vec{a} \cdot \vec{b}$${}= 8$${}+ 3$${}= 11$ なので

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\sqrt{17 \times 13 - 11^2}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\sqrt{221 - 121}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\sqrt{100}$$\displaystyle {}= 5$

(2) 頂点の 1 つ A を始点にそろえます。

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$$\displaystyle {}= (2,\ 3),$$\displaystyle \overrightarrow{AC}$$\displaystyle {}= (-2,\ 5)$$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}|2 \times 5 - 3 \times (-2)|$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \times 16$$\displaystyle {}= \underline{8}$

原点が頂点になくても、1 つの頂点を始点にして 2 辺をベクトルで表せば、同じ公式が使えます。

第4章では、始点を 1 つに決めて点をベクトルで表す「位置ベクトル」を学び、線分を分ける点（内分点・外分点）や三角形の重心をベクトルで表します。この章の内積と組み合わせると、図形の長さや角の問題もベクトルで解けるようになります。