第5章　仮説検定の考え方

表と裏の出る確率はどちらも $\dfrac{1}{2}$ である（偏りはない）

$0.02$${}\leqq 0.05$ なので $\underline{\text{棄却する}}$

$\dfrac{2 + 8 + 49}{1000}$${}= \underline{0.059}$

$0.03$${}> 0.01$ なので $\underline{\text{棄却しない}}$

(イ)（棄却されないのは「証拠が足りない」という意味で、帰無仮説が正しいと示されたわけではない）

相対度数は $0.012$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、A のほうがおいしいと感じられるといえる。

• 対立仮説：A のほうがおいしいと感じられる
• 帰無仮説：A と B は同じ程度においしいと感じられる（各人が A を選ぶ確率は $\frac{1}{2}$）

帰無仮説のもとで、A を選ぶ人数はコインを 10 回投げたときの表の回数と同じように分布すると考えます。9 人以上が A を選ぶ相対度数は

$0.012$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって A のほうが $\underline{\text{おいしいと感じられる}}$ $\underline{\text{といえる}}$。

相対度数は $0.057$ で $0.05$ より大きいので、帰無仮説は棄却されず、A のほうがおいしいと感じられるとは判断できない。

帰無仮説は「A と B は同じ程度においしいと感じられる」です。8 人以上が A を選ぶ相対度数は

$0.057$${}> 0.05$ なので帰無仮説は棄却されません。よって A のほうが $\underline{\text{おいしいと感じられる}}$ $\underline{\text{とは判断できない}}$。

8 人対 2 人は大きな差に見えますが、10 人しか調べていないと、この程度の偏りは $5\%$ を少し超える割合で偶然にも起こります。

対立仮説：当たりを引く確率は $\dfrac{1}{10}$ より小さい。帰無仮説：当たりを引く確率は $\dfrac{1}{10}$ である。

示したい主張がそのまま対立仮説です。

• 対立仮説：当たりを引く確率は $\underline{\frac{1}{10} \text{ より小さい}}$

帰無仮説は、これに反する「表示どおりで、ずれはない」の形にします。

• 帰無仮説：当たりを引く確率は $\underline{\frac{1}{10} \text{ である}}$

「$\frac{1}{10}$ より大きい」を帰無仮説にしないのは、帰無仮説のもとで確率を計算する必要があるからです。「表示どおり」なら $\frac{1}{10}$ という 1 つの値で実験や計算ができます。

相対度数は $0.003$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、このコインは表が出やすいといえる。

• 対立仮説：このコインは表が出やすい
• 帰無仮説：表と裏の出る確率はどちらも $\frac{1}{2}$ である

帰無仮説のもとで、表が 16 回以上出る相対度数は

$0.003$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって このコインは $\underline{\text{表が出やすいといえる}}$。

相対度数は $0.021$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、A のほうが目が覚めると感じられるといえる。

帰無仮説は「A と B は同じ程度に目が覚めると感じられる（各人が A を選ぶ確率は $\frac{1}{2}$）」です。12 人以上が A を選ぶ相対度数は

$0.021$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって A のほうが $\underline{\text{目が覚めると感じられる}}$ $\underline{\text{といえる}}$。

相対度数は $0.012$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、このさいころは 1 の目が出やすいといえる。

• 対立仮説：このさいころは 1 の目が出やすい
• 帰無仮説：1 の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ である

帰無仮説のもとで、1 の目が 10 回以上出る相対度数は

$0.012$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって このさいころは 1 の目が $\underline{\text{出やすいといえる}}$。

30 回投げたとき、1 の目は平均して $30 \times \frac{1}{6}$${}= 5$ 回くらい出るはずなので、10 回はその 2 倍です。

相対度数は $0.042$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、当てずっぽうで答えたのではないといえる。

• 対立仮説：当てずっぽうで答えたのではない（1 問あたりの正解の確率は $\frac{1}{3}$ より大きい）
• 帰無仮説：当てずっぽうで答えた（1 問あたりの正解の確率は $\frac{1}{3}$）

さいころで 1 か 2 の目が出る割合は $\frac{2}{6}$${}= \frac{1}{3}$ なので、この実験は帰無仮説の状況を再現しています。11 問以上正解する相対度数は

$0.042$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって 当てずっぽうで $\underline{\text{答えたのではないといえる}}$。

相対度数は $0.051$ で $0.05$ より大きいので、帰無仮説は棄却されず、当てずっぽうではないとは判断できない。

帰無仮説は「当てずっぽうで答えた（1 問あたりの正解の確率は $\frac{1}{4}$）」です。6 問以上正解する相対度数は

$0.051$${}> 0.05$ なので帰無仮説は棄却されません。よって 当てずっぽうで $\underline{\text{答えたのではない}}$ $\underline{\text{とは判断できない}}$。

ほんのわずかの差で基準を超えていますが、有意水準は前もって決めた線なので、「ほぼ $0.05$ だから棄却する」と後から緩めてはいけません。

$14$ 人

帰無仮説は「A と B は同じ程度に好まれる」です。B を選ぶ人数が $k$ 人のとき、「$k$ 人以上」の相対度数が $0.05$ 以下になれば棄却されます。多いほうから順に足していきます。

$k$${}= 14$ のとき相対度数は $0.050$ で、$0.050$${}\leqq 0.05$ なので棄却されます（「以下」なので等しい場合も含みます）。$k$${}= 13$ では $0.130$${}> 0.05$ で棄却されません。

人数が多いほど相対度数は小さくなるので、少なくとも $\underline{14 \text{ 人}}$ が B を選べばよいことになります。

※この結論は 1000 セットの実験による見積もりです。境目にごく近いので、実験をやり直すと結論が変わることもあります（厳密定義 定理3）。

$22$ 人

「$k$ 人以上」の相対度数を、多いほうから順に求めます。

有意水準 $0.01$ 以下になるのは $k$${}\geqq 22$ のときです（$k$${}= 21$ では $0.019$${}> 0.01$）。よって少なくとも $\underline{22 \text{ 人}}$ です。

有意水準 $0.05$ なら 21 人で足ります（解説の例題6）。基準を厳しくすると、より大きな差が必要になります。

相対度数は $0.013$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、A は B より選ばれにくいといえる。

• 対立仮説：A は B より選ばれにくい（各人が A を選ぶ確率は $\frac{1}{2}$ より小さい）
• 帰無仮説：A と B は同じ程度に選ばれる（各人が A を選ぶ確率は $\frac{1}{2}$）

今回は「A を選ぶ人が少ない」ほど対立仮説に有利なので、「3 人以下」の相対度数を求めます。

$0.013$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって A は B より $\underline{\text{選ばれにくいといえる}}$。

「以上」を足すか「以下」を足すかは、どちらが対立仮説に有利かで決まります。

(1) 相対度数 $0.043$${}\leqq 0.05$ なので、1 の目が出やすいといえる。(2) $0.043$${}> 0.01$ なので、1 の目が出やすいとは判断できない。

帰無仮説は「1 の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ である」です。1 の目が 9 回以上出る相対度数は

(1) $0.043$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却され、1 の目が $\underline{\text{出やすいといえる}}$。

(2) $0.043$${}> 0.01$ なので帰無仮説は棄却されず、1 の目が $\underline{\text{出やすいとは判断できない}}$。

※この結論は 1000 セットの実験による見積もりです。境目にごく近いので、実験をやり直すと結論が変わることもあります（厳密定義 定理3）。

(イ)、(ウ)

(ア) 示したい主張「点が上がる」に反する「変わらない」を帰無仮説にしているので、適切です。

(イ) 棄却されないのは「効果があるといえるほどの証拠がなかった」という意味で、効果がないことを示したわけではありません。適切でない。

(ウ) 結果を見てから有意水準を緩めると、望む結論に合わせて基準を動かせてしまいます。有意水準は調べる前に決めるものなので、適切でない。

(エ) 棄却して対立仮説を選んでも、たまたま珍しいことが起こっただけという可能性は残ります。その注意を添えているので適切です。

よって $\underline{(イ)、(ウ)}$ です。

$11$ 問

帰無仮説は「当てずっぽうで答えた（正解の確率は $\frac{1}{3}$）」です。「$k$ 問以上」の相対度数を多いほうから求めます。

$k$${}= 11$ で $0.042$${}\leqq 0.05$、$k$${}= 10$ で $0.098$${}> 0.05$ です。よって少なくとも $\underline{11 \text{ 問}}$ です。

当てずっぽうでも平均して $20 \times \frac{1}{3}$${}\fallingdotseq 6.7$ 問は正解するので、その 1.5 倍以上を取ってはじめて「実力」と認められることになります。

確率は $\dfrac{1}{32}$${}= 0.03125$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、このコインは表が出やすいといえる。

• 対立仮説：このコインは表が出やすい
• 帰無仮説：表と裏の出る確率はどちらも $\frac{1}{2}$ である

「5 回とも表」より表が多い結果はないので、5 回とも表になる確率だけを考えます。32 通りの出方のうち、5 回とも表は 1 通りなので

$0.03125$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって このコインは $\underline{\text{表が出やすいといえる}}$。

このように、出方をすべて数えられるときは、実験をしなくても確率を求められます。

相対度数は $0.010$ で $0.01$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、このコインは表が出にくいといえる。

表が少ないほど「表が出にくい」に有利なので、「表が 1 回以下」の相対度数を求めます。

$0.010$${}\leqq 0.01$ なので、帰無仮説「表と裏の出る確率はどちらも $\frac{1}{2}$」は棄却されます。よって このコインは $\underline{\text{表が出にくいといえる}}$。

ちょうど基準と等しい場合も、「以下」なので棄却するほうに入ります。

※この結論は 1000 セットの実験による見積もりです。境目にごく近いので、実験をやり直すと結論が変わることもあります（厳密定義 定理3）。

(1) 相対度数 $0.164$${}> 0.05$ なので、B のほうが好まれるとは判断できない。(2) 相対度数 $0.019$${}\leqq 0.05$ なので、B のほうが好まれるといえる。

どちらも帰無仮説は「A と B は同じ程度に好まれる」です。

(1) 10 人中 7 人以上が B を選ぶ相対度数は

$0.164$${}> 0.05$ なので棄却されず、B のほうが $\underline{\text{好まれるとは判断できない}}$。

(2) 30 人中 21 人以上が B を選ぶ相対度数は

$0.019$${}\leqq 0.05$ なので棄却され、B のほうが $\underline{\text{好まれるといえる}}$。

同じ $70\%$ でも、調べた人数が多いほど「たまたま」では説明しにくくなります。人数が少ないうちの「棄却しない」は、証拠が足りないだけのことが多いのです。

(1) $n$${}= 5$　(2) $n$${}= 7$

帰無仮説「表と裏の出る確率はどちらも $\frac{1}{2}$」のもとで、$n$ 回とも表になる確率は $\dfrac{1}{2^n}$ です。「$n$ 回とも表」より極端な結果はないので、この確率を有意水準と比べます。

(1) $\dfrac{1}{2^n}$${}\leqq 0.05$、つまり $2^n$${}\geqq 20$ となる最小の $n$ です。$2^4$${}= 16$${}< 20$、$2^5$${}= 32$${}\geqq 20$ なので $\underline{n = 5}$。

(2) $\dfrac{1}{2^n}$${}\leqq 0.01$、つまり $2^n$${}\geqq 100$ となる最小の $n$ です。$2^6$${}= 64$${}< 100$、$2^7$${}= 128$${}\geqq 100$ なので $\underline{n = 7}$。

厳しい基準で判断するには、それだけ多くの証拠（回数）が必要になることが分かります。

およそ $1$ 種類

どのサプリメントも本当は効き目がないので、帰無仮説「効き目はない」はすべて正しい状況です。それでも 1 つの検定につき $0.05$ の割合で、たまたま珍しい結果が出て帰無仮説が棄却されてしまいます。

20 種類調べると、誤って棄却されるのは平均して

より $\underline{\text{およそ 1 種類}}$ です。

たくさんの検定を行い、棄却されたものだけを「効き目が見つかった」と発表すると、実際には偶然の結果を報告してしまうおそれがあります。調べた数と結果をすべて示すことが大切です。

表が 15 回以上または 5 回以下となる相対度数は $0.041$ で $0.05$ 以下なので、帰無仮説は棄却され、表と裏の出やすさが違うといえる。

• 対立仮説：表と裏の出やすさが違う（表に偏っていても、裏に偏っていてもよい）
• 帰無仮説：表と裏の出る確率はどちらも $\frac{1}{2}$ である

帰無仮説どおりなら、表は 10 回くらい出るはずです。今回は 10 回から 5 回ずれています。対立仮説は向きを問わないので、「表が 5 回以上多い」だけでなく「表が 5 回以上少ない」も、今回と同じかそれより極端な結果になります。つまり、表が 15 回以上または 5 回以下の場合を合わせて考えます。

合わせて

$0.041$${}\leqq 0.05$ なので帰無仮説は棄却されます。よって 表と裏の出やすさが $\underline{\text{違うといえる}}$。

「表が出やすい」を調べるとき（片側）は $0.019$ だけでしたが、向きを問わない主張（両側）では、反対側の端も数えるので確率が大きくなり、棄却されにくくなります。