第4章　階差数列と和から一般項

差の数列を作る

第3章の最後に、こんな問いを残しました。

$\displaystyle 1,$$\displaystyle \ 2,$$\displaystyle \ 4,$$\displaystyle \ 7,$$\displaystyle \ 11,$$\displaystyle \ 16,$$\displaystyle \ \ldots \text{ の第 } n \text{ 項は？}$

となりどうしの比は $2,$$\ 2,$$\ \dfrac{7}{4},$$\ \ldots$ で一定ではなく、差も一定ではないので、等差数列でも等比数列でもありません。ところが、差を順に並べてみると

$\displaystyle 2$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle 4$$\displaystyle {}- 2$$\displaystyle {}= 2,$$\displaystyle 7$$\displaystyle {}- 4$$\displaystyle {}= 3,$$\displaystyle 11$$\displaystyle {}- 7$$\displaystyle {}= 4,$$\displaystyle 16$$\displaystyle {}- 11$$\displaystyle {}= 5$

で、$1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4,$$\ 5,$$\ \ldots$ というおなじみの数列が現れます。もとの数列には規則が見えなくても、差の並びには規則が見える。この章は、その差の並びを手がかりにする方法から始めます。

公式1：階差数列

数列 $\{a_n\}$ に対し、となり合う 2 項の差

$\displaystyle b_n$$\displaystyle {}= a_{n+1}$$\displaystyle {}- a_n$$\displaystyle (n = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots)$

を第 $n$ 項とする数列 $\{b_n\}$ を、$\{a_n\}$ の階差数列という。

第1章で名前だけ紹介した言葉が、ここで本格的に登場しました。引く順番は「後ろの項 − 前の項」です。$b_1$ は $a_1$ と $a_2$ のあいだ、$b_2$ は $a_2$ と $a_3$ のあいだ……というように、階差数列の項は、もとの数列の項と項の「すき間」に 1 つずつ入っています。

登山道を思い浮かべてください。地図には、地点ごとに標高が書いてあります。1200 m、1235 m、1275 m……と数字だけ見ても、規則はつかみにくいものです。けれども「次の地点まで何 m 登るか」を区間ごとに書き出すと、35 m、40 m、45 m……のように、ずっと分かりやすい並びになることがあります。標高の表がもとの数列 $\{a_n\}$、区間ごとの登りが階差数列 $\{b_n\}$ です。下り坂の区間では、登りがマイナスになります。

第2章で並べた対比表を思い出すと、等差数列は階差数列が一定（公差 $d$ がずっと続く）の数列、ということもできます。

となり合う項の差「後ろ − 前」を順に並べた数列が階差数列で、もとの数列に規則が見えないときの手がかりになるということです。

例題1：階差数列を求める

(1) 数列 $2,$$\ 5,$$\ 10,$$\ 17,$$\ 26,$$\ \ldots$

(2) 数列 $1,$$\ 3,$$\ 9,$$\ 27,$$\ 81,$$\ \ldots$

上の各数列の階差数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めなさい。

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【解答】

(1) 差をとると $3,$$\ 5,$$\ 7,$$\ 9,$$\ \ldots$ で、初項 $3$、公差 $2$ の等差数列です。

$\displaystyle b_n$$\displaystyle {}= 3$$\displaystyle {}+ (n - 1) \cdot 2$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}2n}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}+ 1}$

(2) 差をとると $2,$$\ 6,$$\ 18,$$\ 54,$$\ \ldots$ で、初項 $2$、公比 $3$ の等比数列です。

$\displaystyle b_n$$\displaystyle {}= \underline{2 \cdot 3^{n-1}}$

(2) のように、等比数列の階差数列は、もとと同じ公比の等比数列になります。$a_n$${}= ar^{n-1}$ なら $a_{n+1}$${}- a_n$${}= ar^n$${}- ar^{n-1}$${}= a(r - 1)r^{n-1}$ だからです。

階差数列から一般項を求める

今度は逆に、階差数列が分かっているとき、もとの数列を求めます。$a_1$ から始めて、$b$ を 1 つずつ足していくと

$\displaystyle a_2$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ b_1$$\displaystyle a_3$$\displaystyle {}= a_2$$\displaystyle {}+ b_2$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ b_1$$\displaystyle {}+ b_2$$\displaystyle a_4$$\displaystyle {}= a_3$$\displaystyle {}+ b_3$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ b_1$$\displaystyle {}+ b_2$$\displaystyle {}+ b_3$

となり、第 $n$ 項は

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ b_1$$\displaystyle {}+ b_2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ b_{n-1}$

です。足す $b$ は $b_1$ から $b_{n-1}$ までの $n$${}- 1$ 個。$a_1$ から $a_n$ までのあいだに「すき間」は $n$${}- 1$ か所しかないので、足す差も $n$${}- 1$ 個です（第1章の植木算と同じ数え方です）。

子どものころ、誕生日ごとに柱へ背の高さの印を付けた人もいるでしょう。今の背の高さは「最初の印の高さ ＋ 毎年伸びた分の合計」です。$n$ 回目の印までに、伸びは $n$${}- 1$ 回。そして 1 回目の印を付けた時点では、伸びはまだ 1 回も足していません。この「1 回目だけは足すものがない」という事情が、次の公式の $n$${}\geqq 2$ という条件になります。

公式2：階差数列を使った一般項

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$n$${}\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$n$${}\geqq 2$ の断りは必ず書きます。 $n$${}= 1$ を入れると Σ の上端が $0$ になり、「$1$ 番から $0$ 番まで足す」という意味の分からない式になってしまうからです。そこで答案では、

1. $n$${}\geqq 2$ のときの式を公式2で求める
2. 求めた式に $n$${}= 1$ を代入し、$a_1$ と一致するかを確かめる
3. 一致すれば「これは $n$${}= 1$ のときも成り立つ」と書いて 1 つの式にまとめる

という 3 段で書きます。Σ の中の和の公式は、$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k$$\displaystyle {}= \dfrac{(n - 1)n}{2}$ のように、第3章の公式の $n$ を $n$${}- 1$ に置きかえて使います。

実はこの公式、第3章ですでに見たしくみです。$b_k$${}= a_{k+1}$${}- a_k$ を $k$${}= 1$ から $n$${}- 1$ まで足すと

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$$\displaystyle {}= (a_2 - a_1)$$\displaystyle {}+ (a_3 - a_2)$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ (a_n - a_{n-1})$$\displaystyle {}= a_n$$\displaystyle {}- a_1$

と途中がすべて打ち消し合います。これは第3章の公式4（差に分けて打ち消し合う和）そのものです。第3章で $(k + 1)^3$${}- k^3$ を足し並べて 2 乗の和を求めたのも、「数列 $\{k^3\}$ の階差数列 $3k^2$${}+ 3k$${}+ 1$ を足し戻した」と言いかえられます。

もとの数列の第 $n$ 項は、初項に階差数列を $b_1$ から $b_{n-1}$ まで足したもので、$n$${}\geqq 2$ で求めた式が $n$${}= 1$ でも合うかを最後に確かめるということです。

例題2：階差数列が等差数列

数列 $1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 7,$$\ 11,$$\ 16,$$\ \ldots$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。

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【解答】

階差数列は $1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4,$$\ 5,$$\ \ldots$ で、$b_k$${}= k$ です。$n$${}\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \sum_{k=1}^{n-1} k$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \frac{(n - 1)n}{2}$$\displaystyle {}= \frac{n^2 - n + 2}{2}$

$n$${}= 1$ を代入すると $\dfrac{1 - 1 + 2}{2}$${}= 1$ で、$a_1$${}= 1$ と一致します。よって、これは $n$${}= 1$ のときも成り立ち

$$\underline{a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}}$$

（$n$${}= 6$ で $\dfrac{36 - 6 + 2}{2}$${}= 16$ となり、第 6 項と合っています。）

例題3：階差数列が等比数列

数列 $1,$$\ 2,$$\ 5,$$\ 14,$$\ 41,$$\ \ldots$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。

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【解答】

階差数列は $1,$$\ 3,$$\ 9,$$\ 27,$$\ \ldots$ で、初項 $1$、公比 $3$ の等比数列なので $b_k$${}= 3^{k-1}$ です。$n$${}\geqq 2$ のとき、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$ は項数 $n$${}- 1$ の等比数列の和なので

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \frac{3^{n-1} - 1}{3 - 1}$$\displaystyle {}= \frac{3^{n-1} + 1}{2}$

$n$${}= 1$ を代入すると $\dfrac{1 + 1}{2}$${}= 1$ で、$a_1$ と一致します。よって

$$\underline{a_n = \frac{3^{n-1} + 1}{2}}$$

（$n$${}= 5$ で $\dfrac{81 + 1}{2}$${}= 41$。）

等比数列の和の公式を使うときは、項数が $n$ ではなく $n$${}- 1$ になる点に気をつけましょう。$3^{n-1}$ の指数は、この「項数 $n$${}- 1$」から来ています。

階差数列の階差数列

1 回差をとっても規則が見えないときは、階差数列の階差数列をとってみます。登山道の例なら、「区間ごとの登りが、区間ごとにどれだけ増えるか」を見るということです。規則が見えたら、足し戻しを 2 回行います。まず階差数列 $\{b_n\}$ を求め、それを使って $\{a_n\}$ を求めます。

1 回の差で規則が見えなければもう 1 回差をとり、分かった数列から順に公式2で足し戻すということです。

例題4：2 回差をとる

数列 $1,$$\ 2,$$\ 5,$$\ 12,$$\ 25,$$\ 46,$$\ \ldots$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。

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【解答】

差をとると $1,$$\ 3,$$\ 7,$$\ 13,$$\ 21,$$\ \ldots$（これを $\{b_n\}$ とする）、さらに差をとると $2,$$\ 4,$$\ 6,$$\ 8,$$\ \ldots$ で、$2k$ です。

まず $\{b_n\}$ を求めます。$n$${}\geqq 2$ のとき

$\displaystyle b_n$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \sum_{k=1}^{n-1} 2k$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ (n - 1)n$$\displaystyle {}= n^2$$\displaystyle {}- n$$\displaystyle {}+ 1$

これは $n$${}= 1$ のとき $1$ で、$b_1$ と一致するので、すべての $n$ で $b_n$${}= n^2$${}- n$${}+ 1$ です。

次に $\{a_n\}$ です。$n$${}\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k + 1)$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}$$\displaystyle {}- \frac{(n - 1)n}{2}$$\displaystyle {}+ (n - 1)$

2 項目以降を $\dfrac{n - 1}{6}$ でくくると

$\displaystyle \frac{n - 1}{6}\{n(2n - 1) - 3n + 6\}$$\displaystyle {}= \frac{(n - 1)(2n^2 - 4n + 6)}{6}$$\displaystyle {}= \frac{(n - 1)(n^2 - 2n + 3)}{3}$

なので

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \frac{(n - 1)(n^2 - 2n + 3)}{3}$$\displaystyle {}= \frac{n^3 - 3n^2 + 5n}{3}$

$n$${}= 1$ を代入すると $\dfrac{1 - 3 + 5}{3}$${}= 1$ で、$a_1$ と一致します。よって

$$\underline{a_n = \frac{n(n^2 - 3n + 5)}{3}}$$

（$n$${}= 4$ で $\dfrac{4 \cdot 9}{3}$${}= 12$、$n$${}= 6$ で $\dfrac{6 \cdot 23}{3}$${}= 46$。）

この数列は、差をとるたびに「番号の式」の次数が 1 つずつ下がっていきます。$a_n$ は $n$ の 3 次式、$b_n$ は 2 次式、その差 $2n$ は 1 次式、もう 1 回差をとると $2$ で一定になります。「何回差をとると一定になるか」と「何次式か」の関係は、厳密定義のページで確かめます。

和から一般項を求める

ここまでは「差」から数列を求めました。今度は「和」から求めます。第3章の厳密定義の最後で予告した内容です。

初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。

$\displaystyle S_n$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ a_2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ a_{n-1}$$\displaystyle {}+ a_n$$\displaystyle S_{n-1}$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ a_2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ a_{n-1}$

上から下を引くと、$a_1$ から $a_{n-1}$ までが消えて、$a_n$ だけが残ります。ただし $S_{n-1}$ が意味を持つのは $n$${}- 1$${}\geqq 1$、つまり $n$${}\geqq 2$ のときです。$a_1$ だけは、$S_1$${}= a_1$ から別に求めます。

スマートフォンの歩数計には、旅行の 1 日目からの累計歩数を表示するものがあります。5 日目に歩いた歩数は、「5 日目までの累計 − 4 日目までの累計」で分かります。けれども 1 日目には「前日までの累計」がありません。1 日目の歩数は、1 日目の累計そのものです。

公式3：和から一般項

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると

$\displaystyle a_1$$\displaystyle {}= S_1,$$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= S_n$$\displaystyle {}- S_{n-1}$$\displaystyle (n \geqq 2)$

公式2と同じく、$n$${}\geqq 2$ で求めた式が $n$${}= 1$ でも使えるとは限りません。$a_1$${}= S_1$ と比べて、一致すれば 1 つの式にまとめ、一致しなければ $a_1$ と $n$${}\geqq 2$ の式を分けて答えます。

$S_{n+1}$${}- S_n$${}= a_{n+1}$ なので、$\{a_n\}$ は「和の数列 $\{S_n\}$ の階差数列」を 1 つずらしたものです。Σ で足すことと、差をとることは、互いに元へ戻す操作になっているのです。

第 $n$ 項は「$n$ 項までの和 − $n$${}- 1$ 項までの和」で求まり、それが使えるのは $n$${}\geqq 2$ だけなので、$a_1$ は $S_1$ から別に求めて比べるということです。

例題5：和から一般項

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、次の式で表されます。

(1) $S_n$${}= n^2$${}+ 2n$

(2) $S_n$${}= n^2$${}+ 2n$${}+ 1$

それぞれの場合について、一般項 $a_n$ を求めなさい。

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【解答】

(1) $a_1$${}= S_1$${}= 3$。$n$${}\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_n$$\displaystyle {}= (n^2 + 2n)$$\displaystyle {}- \{(n - 1)^2 + 2(n - 1)\}$$\displaystyle {}= (2n - 1)$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= 2n$$\displaystyle {}+ 1$

$n$${}= 1$ を代入すると $3$ で、$a_1$${}= 3$ と一致します。よって $\underline{\rule[-0.15em]{0em}{0.7945em}a_n = 2n}$$\underline{\rule[-0.15em]{0em}{0.7945em}{}+ 1}$。

(2) $a_1$${}= S_1$${}= 4$。$n$${}\geqq 2$ のときは、定数項の $1$ が引き算で消えるので、(1) と同じく $a_n$${}= 2n$${}+ 1$ です。ところが $n$${}= 1$ を代入すると $3$ で、$a_1$${}= 4$ と一致しません。よって

$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}a_1 = 4,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\quad a_n = 2n}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}{}+ 1 \ (n \geqq 2)}$

(2) の数列は $4,$$\ 5,$$\ 7,$$\ 9,$$\ 11,$$\ \ldots$ で、第 2 項からは公差 $2$ の等差数列ですが、全体では等差数列ではありません。第1章の厳密定義で「等差数列の和は定数項 $0$ の 2 次式」と書きました。$S_n$ に定数項があると、初項だけが仲間はずれになるのです。和の式を見たら、まず定数項に目を向けると、答えを 1 つの式にまとめられるかどうかの見当がつきます。

この章のまとめと次の章

一般項を求める手がかりと道具をまとめておきます。

次の第5章では、数列をいくつかのまとまりに区切って考える群数列を学びます。たとえば

$\displaystyle 1 \;\big|\; 2,\ 3 \;\big|\; 4,$$\displaystyle \ 5,$$\displaystyle \ 6 \;\big|\; 7,\ 8,\ 9,\ 10 \;\big|\; \cdots$

と、$1$ 個、$2$ 個、$3$ 個……ずつ区切ったとき、各まとまりの最初の数を並べると $1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 7,$$\ \ldots$。この章の例題2の数列が、ここにもう一度現れます。