第3章　いろいろな数列の和（Σ）

和を短く書く記号 Σ

第2章の最後に、こんな問いを残しました。

$\displaystyle 1^2$$\displaystyle {}+ 2^2$$\displaystyle {}+ 3^2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ n^2 \text{ はいくつか}$

$1,$$\ 4,$$\ 9,$$\ 16,$$\ \ldots$ は、となりどうしの差が $3,$$\ 5,$$\ 7,$$\ \ldots$、比が $4,$$\ \dfrac{9}{4},$$\ \ldots$ で、等差数列でも等比数列でもありません。答えを出す前に、まず道具を 1 つ用意します。こうした長い和を、毎回「$+ \cdots$${}+$」で書くのは手間がかかるうえ、どこから始まってどこで終わるのかが読み取りにくいからです。

そこで、和を短く書く記号 $\Sigma$（シグマ）を使います。ギリシャ文字の大文字で、アルファベットの S にあたる文字です。英語の Sum（和）の頭文字だと覚えてください。

公式1：Σ 記号

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k$$\displaystyle {}= a_1$$\displaystyle {}+ a_2$$\displaystyle {}+ a_3$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ a_n$

と書き、「シグマ $k$ イコール $1$ から $n$ まで $a_k$」と読む。$k$ に $1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ n$ を順に代入した $a_k$ を、すべて足すという意味である。

たとえば

$\displaystyle \sum_{k=1}^{4} k^2$$\displaystyle {}= 1^2$$\displaystyle {}+ 2^2$$\displaystyle {}+ 3^2$$\displaystyle {}+ 4^2$$\displaystyle {}= 30,$$\displaystyle \sum_{k=3}^{6} (2k + 1)$$\displaystyle {}= 7$$\displaystyle {}+ 9$$\displaystyle {}+ 11$$\displaystyle {}+ 13$$\displaystyle {}= 40$

です。2 つ目のように、始まりの番号は $1$ でなくてもかまいません。このとき足す項の数は、$6$${}- 3$${}+ 1$${}= 4$ 個です（第1章の植木算と同じで、「終わり − 始まり ＋ 1」）。

$k$ は「番号を入れる箱」にすぎないので、ほかの文字に変えても和は変わりません。$\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2$ と $\displaystyle\sum_{i=1}^{4} i^2$ はどちらも $30$ です。足し終わった結果に $k$ は残らず、残るのは上端の $n$ だけです。

表計算ソフトで、B 列の 1 行目から 10 行目までを合計するときは=SUM(B1:B10) と書きます。何を足すか（B 列）と、何行目から何行目までか（1 から 10）だけを指定して、あとの足し算はソフトにまかせる書き方です。$\Sigma$ もまったく同じで、「足すものの式」と「番号の範囲」だけを書いておく、和の命令文なのです。

第1章・第2章の結果も、Σ を使うと 1 行で書けます。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)}{2},$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}$$\displaystyle {}= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$\displaystyle (r \neq 1)$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ は、$k$ に $1$ から $n$ までを順に入れた $a_k$ をすべて足した和を短く書いたものだということです。

例題1：Σ の読み書き

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (3k - 1)$ の値を、項を書き並べて求めなさい。

(2) 和 $1$${}+ 3$${}+ 9$${}+ \cdots$${}+ 3^{n-1}$ を Σ を用いて表し、その値を求めなさい。

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【解答】

(1) $k$${}= 1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4$ を順に代入して足します。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{4} (3k - 1)$$\displaystyle {}= 2$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}+ 8$$\displaystyle {}+ 11$$\displaystyle {}= \underline{26}$

(2) 第 $k$ 項は $3^{k-1}$ で、最後の項は $k$${}= n$ のときです。よって

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}+ 9$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ 3^{n-1}$$\displaystyle {}= \underline{\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}}$

これは初項 $1$、公比 $3$、項数 $n$ の等比数列の和なので、値は $\underline{\dfrac{3^n - 1}{2}}$ です。

(2) の表し方は 1 通りではありません。$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} 3^k$ と書いても同じ和です。どちらも「始まりの番号で最初の項、終わりの番号で最後の項になるか」を代入して確かめれば安心です。

Σ の性質

Σ を使う計算の中心は、次の 3 つの性質です。

公式2：Σ の性質

$p,$$\ q,$$\ c$ を $k$ に無関係な定数とすると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (pa_k + qb_k)$$\displaystyle {}= p\sum_{k=1}^{n} a_k$$\displaystyle {}+ q\sum_{k=1}^{n} b_k$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c$$\displaystyle {}= nc$

1 つ目は、和の中身が「足し算」や「定数倍」でできていれば、Σ を分けたり定数を外に出したりしてよい、という性質です。$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k)$ を書き並べて、$a$ どうし・$b$ どうしを集め直せば確かめられます。2 つ目の $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c$ は、$c$ を $n$ 個足すという意味なので $nc$ です（$k$ を含まない数を足すときに、$c$ が $1$ 個だけになるわけではない点に注意）。

買い物のレシートで考えてみましょう。商品ごとに「本体価格 ＋ 送料」がかかるとき、全部の合計は「本体価格の合計 ＋ 送料の合計」と分けて計算できます。消費税で全商品が $1.1$ 倍になるなら、税込の合計は税抜の合計の $1.1$ 倍。送料がどれも $500$ 円なら、$n$ 個分の送料は $500n$ 円です。公式2は、この当たり前の計算を Σ で書いたものにすぎません。

ただし、積は分けられません。$a_k$${}= b_k$${}= k$，$n$${}= 2$ とすると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{2} a_kb_k$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}= 5,$$\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{2} a_k\right)\left(\sum_{k=1}^{2} b_k\right)$$\displaystyle {}= 3 \times 3$$\displaystyle {}= 9$

で、等しくありません。積 $k(k + 1)$ などは、まず展開して「足し算と定数倍」の形にしてから、公式2を使います。

Σ の中身が足し算と定数倍でできていれば、項ごとに分けたり定数を外に出したりでき、定数 $c$ の和は $nc$ になる（ただし積は分けられない）ということです。

例題2：Σ の性質を使う

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (6k - 5)$ を求めなさい。

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【解答】

公式2で分けて、第1章の自然数の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k$$\displaystyle {}= \dfrac{n(n + 1)}{2}$ を使います。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (6k - 5)$$\displaystyle {}= 6\sum_{k=1}^{n} k$$\displaystyle {}- \sum_{k=1}^{n} 5$$\displaystyle {}= 6 \cdot \frac{n(n + 1)}{2}$$\displaystyle {}- 5n$$\displaystyle {}= 3n^2$$\displaystyle {}- 2n$$\displaystyle {}= \underline{n(3n - 2)}$

（$n$${}= 1$ で $1$，$n$${}= 2$ で $1$${}+ 7$${}= 8$ となり、どちらも合っています。）

$6k$${}- 5$ は初項 $1$、公差 $6$ の等差数列なので、第1章の公式でも $\dfrac{n\{2 \cdot 1 + (n - 1) \cdot 6\}}{2}$${}= n(3n - 2)$ と同じ答えになります。等差数列の和は、Σ の性質と $\displaystyle\sum k$ だけで出せるということです。

2 乗の和と 3 乗の和

いよいよ $1^2$${}+ 2^2$${}+ \cdots$${}+ n^2$ です。果物屋の店先で、オレンジを四角錐の形に積んだところを思い浮かべてください。いちばん上が $1$ 個、その下の段が $2 \times 2$${}= 4$ 個、次が $3 \times 3$${}= 9$ 個……。$n$ 段積んだときの個数の合計が、ちょうど $1^2$${}+ 2^2$${}+ \cdots$${}+ n^2$ です。

これを求めるのに、少し遠回りに見える式を使います。

$\displaystyle (k + 1)^3$$\displaystyle {}- k^3$$\displaystyle {}= 3k^2$$\displaystyle {}+ 3k$$\displaystyle {}+ 1$

この式の $k$ に $1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ n$ を入れて並べ、上下に全部足します。

$\displaystyle 2^3$$\displaystyle {}- 1^3$$\displaystyle {}= 3 \cdot 1^2$$\displaystyle {}+ 3 \cdot 1$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle 3^3$$\displaystyle {}- 2^3$$\displaystyle {}= 3 \cdot 2^2$$\displaystyle {}+ 3 \cdot 2$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle \ \ \vdots$$\displaystyle (n + 1)^3$$\displaystyle {}- n^3$$\displaystyle {}= 3 \cdot n^2$$\displaystyle {}+ 3 \cdot n$$\displaystyle {}+ 1$

左辺では、$2^3$ が 1 行目に $+$、2 行目に $-$ で現れて消え、$3^3$ も同じように消え……と、途中の項がすべて打ち消し合います。残るのは $(n + 1)^3$${}- 1^3$ だけです。右辺は Σ でまとめて

$\displaystyle (n + 1)^3$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= 3\sum_{k=1}^{n} k^2$$\displaystyle {}+ 3 \cdot \frac{n(n + 1)}{2}$$\displaystyle {}+ n$

これを $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$ について解きます。$(n + 1)^3$${}- 1$${}- n$${}= (n + 1)^3$${}- (n + 1)$${}= (n + 1)n(n + 2)$ なので

$\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n} k^2$$\displaystyle {}= n(n + 1)(n + 2)$$\displaystyle {}- \frac{3n(n + 1)}{2}$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}$

両辺を $3$ で割ると、$\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ が得られます。

3 乗の和には、図で見える美しい関係があります。

$T_k$${}= 1$${}+ 2$${}+ \cdots$${}+ k$${}= \dfrac{k(k + 1)}{2}$ とおくと、一辺 $T_k$ の正方形から一辺 $T_{k-1}$ の正方形を取り除いたかぎ形の面積は

$\displaystyle T_k^2$$\displaystyle {}- T_{k-1}^2$$\displaystyle {}= (T_k - T_{k-1})(T_k + T_{k-1})$$\displaystyle {}= k \times k^2$$\displaystyle {}= k^3$

です（$T_k$${}- T_{k-1}$${}= k$，$T_k$${}+ T_{k-1}$${}= \dfrac{k(k + 1) + (k - 1)k}{2}$${}= k^2$）。かぎ形を $k$${}= 1$ から $n$ まで並べると一辺 $T_n$ の正方形になるので、$1^3$${}+ 2^3$${}+ \cdots$${}+ n^3$${}= T_n^2$ です。

公式3：自然数の累乗の和

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)}{2},$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6},$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3$$\displaystyle {}= \left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^2$

3 乗の和は「自然数の和の 2 乗」です。$\displaystyle\sum k$ を覚えていれば、$\displaystyle\sum k^3$ はそれを 2 乗するだけで済みます。

2 乗の和は $(k + 1)^3$${}- k^3$ を足し並べて途中を打ち消すと求まり、3 乗の和は自然数の和をそのまま 2 乗したものになるということです。

例題3：累乗の和の公式を使う

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k - 1)(k + 2)$

(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$

上の各和を求めなさい。

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【解答】

(1) 積のままでは分けられないので、展開して $(k - 1)(k + 2)$${}= k^2$${}+ k$${}- 2$。公式2・公式3より

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2)$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$\displaystyle {}+ \frac{n(n + 1)}{2}$$\displaystyle {}- 2n$

分母を $6$ にそろえ、共通因数 $n$ でくくると

$\displaystyle \frac{n\{(n + 1)(2n + 1) + 3(n + 1) - 12\}}{6}$$\displaystyle {}= \frac{n(2n^2 + 6n - 8)}{6}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{n(n - 1)(n + 4)}{3}}$

(2) 共通因数 $\dfrac{n(n + 1)}{4}$ でくくります。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$$\displaystyle {}= \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$$\displaystyle {}+ \frac{n(n + 1)}{2}$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)\{n(n + 1) + 2\}}{4}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{n(n + 1)(n^2 + n + 2)}{4}}$

公式を足し合わせたあとは、すぐに展開せず、$n$ や $n(n + 1)$ などの共通因数でくくるのがこつです。答えが因数分解された形で出てくるので、$n$${}= 1,$$\ 2$ を代入した確かめも楽になります（(1) は $n$${}= 2$ で $0$${}+ 4$${}= 4$、式でも $\dfrac{2 \cdot 1 \cdot 6}{3}$${}= 4$）。

一般項を k の式で表してから足す

ここまでの例題は、Σ の中身の式が最初から与えられていました。和が「$+ \cdots$${}+$」で与えられたときは、次の段取りで進めます。

1. 第 $k$ 項を $k$ の式で表す
2. 展開して、足し算と定数倍の形にする
3. 公式2・公式3（必要なら等比数列の和）を使う

第1章で、一般項を「$n$ 番の箱の中身のレシピ」にたとえました。Σ の計算でも、まず第 $k$ 項のレシピを書き出せば、あとは公式が全部足してくれます。

もう 1 つ大事な注意があります。Σ の中に $n$ が入っていても、$n$ は $k$ とは無関係な定数です。たとえば $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} n$ は「$n$ を $n$ 個足す」なので $n^2$ です。動くのは $k$ だけ、と意識しておきましょう。

和が「$+ \cdots$${}+$」で与えられたら、第 $k$ 項を $k$ の式で表し、展開してから公式で足すということです。

例題4：第 k 項を求めてから足す

数列 $1,$$\ 1$${}+ 2,$$\ 1$${}+ 2$${}+ 3,$$\ 1$${}+ 2$${}+ 3$${}+ 4,$$\ \ldots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めなさい。

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【解答】

第 $k$ 項は $1$ から $k$ までの自然数の和なので、$\dfrac{k(k + 1)}{2}$${}= \dfrac{1}{2}(k^2 + k)$ です。よって求める和は

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(k^2 + k)$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\biggl\{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$\displaystyle {}\qquad + \frac{n(n + 1)}{2}\biggr\}$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)}{12}\{(2n + 1) + 3\}$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{12}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}}$

（$n$${}= 3$ で $1$${}+ 3$${}+ 6$${}= 10$、式でも $\dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6}$${}= 10$。）

この数列 $1,$$\ 3,$$\ 6,$$\ 10,$$\ \ldots$ は、第1章の豆知識に出てきた三角数です。ボウリングのピンのように三角形に並べた数を、さらに積み重ねると三角錐になります。その個数が $\dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ です。

差に分けて打ち消し合う和

次は分数の和です。

$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}$$\displaystyle {}+ \frac{1}{2 \cdot 3}$$\displaystyle {}+ \frac{1}{3 \cdot 4}$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ \frac{1}{n(n + 1)}$

分母が積なので、公式3は使えません。そこで、各項を 2 つの分数の差に分けます。

$\displaystyle \frac{1}{k(k + 1)}$$\displaystyle {}= \frac{1}{k}$$\displaystyle {}- \frac{1}{k + 1}$

右辺を通分すると $\dfrac{(k + 1) - k}{k(k + 1)}$ で、確かに左辺になります。これを並べると

$\displaystyle \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right)$$\displaystyle {}+ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)$$\displaystyle {}+ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right)$

となり、$-\dfrac{1}{2}$ と $+\dfrac{1}{2}$、$-\dfrac{1}{3}$ と $+\dfrac{1}{3}$……と、となりのかっこどうしで次々に消えていきます。残るのは最初の $1$ と最後の $-\dfrac{1}{n + 1}$ だけです。

リレーを思い浮かべてください。第 2 走者はバトンを受け取り、すぐに第 3 走者へ渡します。途中の走者の手には、受け取った分と渡した分が同じだけ出入りして、何も残りません。記録に残るのは、第 1 走者のスタートと最終走者のゴールだけ。$\dfrac{1}{k}$ を受け取って $\dfrac{1}{k + 1}$ を渡す、この和も同じつくりです。2 乗の和で $(k + 1)^3$${}- k^3$ を足し並べたときに途中が消えたのも、実は同じしくみでした。

公式4：差に分けて打ち消し合う和

第 $k$ 項が $f(k)$${}- f(k + 1)$ の形に書けるとき

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{f(k) - f(k + 1)\}$$\displaystyle {}= f(1)$$\displaystyle {}- f(n + 1)$

特に、$\dfrac{1}{k(k + 1)}$${}= \dfrac{1}{k}$${}- \dfrac{1}{k + 1}$ より

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)}$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}- \frac{1}{n + 1}$$\displaystyle {}= \frac{n}{n + 1}$

分母の 2 つの因数の差が $1$ でないときは、係数で調整します。たとえば差が $2$ なら $\dfrac{1}{k(k + 2)}$${}= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2}\right)$ です。この場合は 2 つ先の項と消し合うので、最初に 2 個、最後に 2 個の項が残ります。

各項を「となりどうしで消し合う差」に分けておくと、足したときに途中がすべて消えて、最初と最後だけが残るということです。

例題5：分数の和

和 $\dfrac{1}{1 \cdot 4}$${}+ \dfrac{1}{4 \cdot 7}$${}+ \dfrac{1}{7 \cdot 10}$${}+ \cdots$${}+ \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)}$ を求めなさい。

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【解答】

分母の 2 つの因数の差は $(3k + 1)$${}- (3k - 2)$${}= 3$ なので

$\displaystyle \frac{1}{(3k - 2)(3k + 1)}$$\displaystyle {}= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1}\right)$

$k$${}= 1,$$\ 2,$$\ \ldots,$$\ n$ を並べると、$\dfrac{1}{4},$$\ \dfrac{1}{7},$$\ \ldots$ がとなりどうしで消え

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k - 2)(3k + 1)}$$\displaystyle {}= \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{3n + 1}\right)$$\displaystyle {}= \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{3n + 1}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{n}{3n + 1}}$

（$n$${}= 1$ で $\dfrac{1}{4}$ となり、第 1 項と合っています。）

差に分けたら、必ず通分して元に戻るかを確かめましょう。係数 $\dfrac{1}{3}$ を付け忘れるのが、いちばん多い失敗です。

（等差）×（等比）の和

第2章の実践 j18 で、$1$${}+ 2 \cdot 3$${}+ 3 \cdot 3^2$${}+ \cdots$${}+ n \cdot 3^{n-1}$ を「公比を掛けてずらして引く」方法で求めました。各項が「等差数列 × 等比数列」の形の和です。Σ で書くと $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^{k-1}$ で、$k$ と $3^{k-1}$ の積なので、公式2で分けることはできません。

この形には、公式2・公式3ではなく、第2章の「ずらして引く」を使います。Σ で書くと、何が起きているかがはっきりします。$S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k r^{k-1}$ に $r$ を掛けると

$\displaystyle rS$$\displaystyle {}= \sum_{k=1}^{n} k r^{k}$$\displaystyle {}= \sum_{k=2}^{n+1} (k - 1) r^{k-1}$

2 つ目の等号は、番号を $1$ ずらして書き直しただけです（$k$ を $k$${}- 1$ に置きかえると、範囲も $2$ から $n$${}+ 1$ に変わる）。こうすると $S$ と $rS$ で「$r^{k-1}$ の係数」を同じ番号どうしで比べられ、$k$${}- (k - 1)$${}= 1$ となって、差が等比数列の和になります。

（等差）×（等比）の和は Σ の性質では分けられないので、公比を掛けて番号を 1 つずらし、引き算で等比数列の和に変えるということです。

例題6：（等差）×（等比）の和

$S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$ を求めなさい。

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【解答】

$S$ と $2S$ を、同じ累乗が上下にそろうように書きます。

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 2 \cdot 2$$\displaystyle {}+ 3 \cdot 2^2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ n \cdot 2^{n-1}$$\displaystyle 2S$$\displaystyle {}= \phantom{1 + {}} 1 \cdot 2$$\displaystyle {}+ 2 \cdot 2^2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ (n - 1) \cdot 2^{n-1}$$\displaystyle {}+ n \cdot 2^n$

上から下を引くと、同じ累乗の係数の差はどれも $1$ なので

$\displaystyle S$$\displaystyle {}- 2S$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ 2^2$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ 2^{n-1}$$\displaystyle {}- n \cdot 2^n$$\displaystyle {}= (2^n - 1)$$\displaystyle {}- n \cdot 2^n$

$-S$${}= (1 - n) \cdot 2^n$${}- 1$ より

$\displaystyle S$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}(n - 1) \cdot 2^n}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}+ 1}$

（$n$${}= 3$ で $1$${}+ 4$${}+ 12$${}= 17$、式でも $2 \cdot 8$${}+ 1$${}= 17$。）

「$-S$${}=$」で終わらせず、符号をひっくり返すところまで気を抜かないようにしましょう。最後に $n$${}= 1,$$\ 2,$$\ 3$ のどれかを代入して、項を書き並べた値と比べれば、符号や係数の誤りはほぼ見つかります。

この章のまとめと次の章

Σ は長い和を短く書く記号で、中身が足し算と定数倍なら分けて計算できました。和の形ごとに、使う道具をまとめておきます。

では、$1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 7,$$\ 11,$$\ 16,$$\ \ldots$ という数列の第 $n$ 項はどう表せるでしょうか。となりどうしの差を並べると $1,$$\ 2,$$\ 3,$$\ 4,$$\ 5,$$\ \ldots$ で、差のほうは簡単な数列です。次の第4章では、この「差の数列」——階差数列——を Σ で足し戻して、もとの数列の一般項を求めます。