目次 ／ 数検対策（準2級・2級・準1級） ／ 数検準1級

第26章　準1級 積分法

—— 微分積分 第14〜15章の「置換積分・部分積分と定積分の応用」を、数検準1級の出題形式で ——

数検準1級の「積分法」の類題です。指数・対数・三角関数の不定積分、置換積分法と部分積分法、定積分の置換から、区分求積法、面積・回転体の体積・曲線の長さ、定積分で表された関数、定積分を含む極限までを20問にまとめました。2次（数理技能）では、置換したときの区間の対応を書くこと、面積の前にグラフの上下を確かめること、定積分の値を $a$ や $t$ の関数とみて最小値を求めること、部分積分で式を評価してはさみうちに持ちこむことを練習します。微分法は第25章で扱いました。

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未回答 20× 0○ 01か月定着 0

出題のポイント

この章で使う道具（微分積分 第14〜15章）
  • ∫ex dx\displaystyle \int e^x\,dx=ex\displaystyle {}= e^x+C\displaystyle {}+ C，∫1x dx\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=log⁡∣x∣\displaystyle {}= \log|x|+C\displaystyle {}+ C，∫f′(x)f(x) dx\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=log⁡∣f(x)∣\displaystyle {}= \log|f(x)|+C\displaystyle {}+ C。三角関数の積は、積を和に直す公式や sin⁡2x\sin^2 x=1−cos⁡2x2{}= \dfrac{1 - \cos 2x}{2} で次数を下げてから積分します。
  • 置換積分法：uu=g(x){}= g(x) とおくと g′(x) dxg'(x)\,dx=du{}= du。定積分では区間の対応を表にして、最後まで xx に戻しません。
  • 部分積分法：∫f(x)g′(x) dx\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)\displaystyle {}= f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\displaystyle {}- \int f'(x)g(x)\,dx。log⁡x\log x や xnx^n を微分する側に選びます。
  • 区分求積法：lim⁡n→∞1n∑k=1nf(kn)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=∫01f(x) dx\displaystyle {}= \int_0^1 f(x)\,dx。
  • 回転体の体積 π∫ab{f(x)}2 dx\pi\displaystyle\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx，曲線の長さ ∫ab1+{f′(x)}2 dx\displaystyle\int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx。

この章の問題は、「置換と部分積分を正しく使う計算力」と、「グラフの上下・区間の対応・不等式による評価で、答案の筋を通す記述力」の2本柱です。

類題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝難問です。★から順に取り組みましょう。

問1　★

不定積分 ∫e2x−1ex dx\displaystyle\int \frac{e^{2x} - 1}{e^x}\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

exe^x+e−x{}+ e^{-x}+C{}+ C（CC は積分定数）

解説

分子の各項を exe^x で割ってから積分します。

∫e2x−1ex dx\displaystyle \int \frac{e^{2x} - 1}{e^x}\,dx=∫(ex−e−x)dx\displaystyle {}= \int \left(e^x - e^{-x}\right)dx=ex‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9047em}e^x}+e−x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9047em}{}+ e^{-x}}+C‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9047em}{}+ C}

∫e−x dx\displaystyle \int e^{-x}\,dx=−e−x\displaystyle {}= -e^{-x}+C\displaystyle {}+ C なので、引き算の符号がプラスに変わります。

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問2　★

不定積分 ∫sin⁡5xcos⁡3x dx\displaystyle\int \sin 5x\cos 3x\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−116cos⁡8x-\dfrac{1}{16}\cos 8x−14cos⁡2x{}- \dfrac{1}{4}\cos 2x+C{}+ C（CC は積分定数）

解説

積を和に直す次の公式を使います。

sin⁡αcos⁡β\displaystyle \sin\alpha\cos\beta=12{sin⁡(α+β)\displaystyle {}= \frac{1}{2}\bigl\{\sin(\alpha + \beta)+sin⁡(α−β)}\displaystyle {}\qquad + \sin(\alpha - \beta)\bigr\} ∫sin⁡5xcos⁡3x dx\displaystyle \int \sin 5x\cos 3x\,dx=12∫(sin⁡8x+sin⁡2x) dx\displaystyle {}= \frac{1}{2}\int (\sin 8x + \sin 2x)\,dx=12(−cos⁡8x8−cos⁡2x2)\displaystyle {}= \frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 8x}{8} - \frac{\cos 2x}{2}\right)+C\displaystyle {}+ C=−116cos⁡8x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}-\frac{1}{16}\cos 8x}−14cos⁡2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- \frac{1}{4}\cos 2x}+C‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ C}
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問3　★

不定積分 ∫sin⁡xcos⁡4x dx\displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

−15cos⁡5x-\dfrac{1}{5}\cos^5 x+C{}+ C（CC は積分定数）

解説

uu=cos⁡x{}= \cos x とおくと dudx\dfrac{du}{dx}=−sin⁡x{}= -\sin x，つまり sin⁡x dx\sin x\,dx=−du{}= -du です。

∫sin⁡xcos⁡4x dx\displaystyle \int \sin x\cos^4 x\,dx=−∫u4 du\displaystyle {}= -\int u^4\,du=−u55\displaystyle {}= -\frac{u^5}{5}+C\displaystyle {}+ C=−15cos⁡5x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}-\frac{1}{5}\cos^5 x}+C‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ C}
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問4　★

不定積分 ∫xcos⁡2x dx\displaystyle\int x\cos 2x\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

12xsin⁡2x\dfrac{1}{2}x\sin 2x+14cos⁡2x{}+ \dfrac{1}{4}\cos 2x+C{}+ C（CC は積分定数）

解説

xx を微分する側、cos⁡2x\cos 2x を積分する側にして部分積分します。∫cos⁡2x dx\displaystyle \int \cos 2x\,dx=12sin⁡2x\displaystyle {}= \frac{1}{2}\sin 2x です。

∫xcos⁡2x dx\displaystyle \int x\cos 2x\,dx=x⋅12sin⁡2x\displaystyle {}= x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x−∫12sin⁡2x dx\displaystyle {}- \int \frac{1}{2}\sin 2x\,dx=12xsin⁡2x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\frac{1}{2}x\sin 2x}+14cos⁡2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ \frac{1}{4}\cos 2x}+C‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}+ C}
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問5　★

定積分 ∫01xx2+1 dx\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

12log⁡2\dfrac{1}{2}\log 2

解説

分子 xx は、分母の微分 2x2x の 12\dfrac{1}{2} 倍です。∫f′(x)f(x) dx\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=log⁡∣f(x)∣\displaystyle {}= \log|f(x)|+C\displaystyle {}+ C を使います。

∫01xx2+1 dx\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx=12∫012xx2+1 dx\displaystyle {}= \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx=12[ log⁡(x2+1) ]01\displaystyle {}= \frac{1}{2}\Big[\,\log(x^2 + 1)\,\Big]_0^1=12log⁡2‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}\log 2}
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問6　★

定積分 ∫1elog⁡xx2 dx\displaystyle\int_1^e \frac{\log x}{x^2}\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

11−2e{}- \dfrac{2}{e}

解説

log⁡x\log x を微分する側、1x2\dfrac{1}{x^2} を積分する側にします。∫1x2 dx\displaystyle \int \frac{1}{x^2}\,dx=−1x\displaystyle {}= -\frac{1}{x} です。

∫1elog⁡xx2 dx\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x^2}\,dx=[ −log⁡xx ]1e\displaystyle {}= \Big[\,-\frac{\log x}{x}\,\Big]_1^e+∫1e1x2 dx\displaystyle {}+ \int_1^e \frac{1}{x^2}\,dx=−1e\displaystyle {}= -\frac{1}{e}+[ −1x ]1e\displaystyle {}+ \Big[\,-\frac{1}{x}\,\Big]_1^e=−1e\displaystyle {}= -\frac{1}{e}−1e\displaystyle {}- \frac{1}{e}+1\displaystyle {}+ 1=1‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}1}−2e‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- \frac{2}{e}}
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問7　★

極限値 lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

π4\dfrac{\pi}{4}

解説

分母・分子を n2n^2 で割って 1n\dfrac{1}{n} をくくり出します。

∑k=1nnn2+k2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}=1n∑k=1n11+(kn)2\displaystyle {}= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}⟶ ∫0111+x2 dx\displaystyle {}\longrightarrow\ \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx

xx=tan⁡θ{}= \tan\theta とおくと dxdx=1cos⁡2θ dθ{}= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta，11+tan⁡2θ{}+ \tan^2\theta=1cos⁡2θ{}= \dfrac{1}{\cos^2\theta} で、xx が 00→1{}\to 1 のとき θ\theta は 00→π4{}\to \dfrac{\pi}{4} です。

∫0111+x2 dx\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx=∫0π4dθ\displaystyle {}= \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta=π4‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\pi}{4}}
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問8　★

曲線 yy=ex{}= e^x と xx 軸，yy 軸，直線 xx=1{}= 1 で囲まれた部分を、xx 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

π2(e2−1)\dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)

解説

半径が exe^x の円の面積 πe2x\pi e^{2x} を積分します。

V\displaystyle V=π∫01(ex)2 dx\displaystyle {}= \pi\int_0^1 (e^x)^2\,dx=π∫01e2x dx\displaystyle {}= \pi\int_0^1 e^{2x}\,dx=π[ e2x2 ]01\displaystyle {}= \pi\Big[\,\frac{e^{2x}}{2}\,\Big]_0^1=π2(e2−1)‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\pi}{2}(e^2 - 1)}
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問9　★★

tt=x{}= \sqrt{x} とおくことにより、定積分 ∫1411+x dx\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{1 + \sqrt{x}}\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

22−2log⁡32{}- 2\log\dfrac{3}{2}

解説

tt=x{}= \sqrt{x} とおくと xx=t2{}= t^2 なので dxdx=2t dt{}= 2t\,dt です。

xx1→41 \to 4
tt1→21 \to 2
∫1411+x dx\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{1 + \sqrt{x}}\,dx=∫122t1+t dt\displaystyle {}= \int_1^2 \frac{2t}{1 + t}\,dt=2∫12(1−11+t)dt\displaystyle {}= 2\int_1^2 \left(1 - \frac{1}{1 + t}\right)dt

分子の次数が分母と同じなので、t1+t\dfrac{t}{1 + t}=1{}= 1−11+t{}- \dfrac{1}{1 + t} と分けてから積分しました。

=2[ t−log⁡(1+t) ]12\displaystyle {}= 2\Big[\,t - \log(1 + t)\,\Big]_1^2=2{(2−log⁡3)−(1−log⁡2)}\displaystyle {}= 2\{(2 - \log 3) - (1 - \log 2)\}=2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}2}−2log⁡32‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 2\log\frac{3}{2}}
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問10　★★

定積分 ∫01x2ex dx\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\,dx を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

ee−2{}- 2

解説

x2x^2 を微分する側にして部分積分を2回行います。

∫01x2ex dx\displaystyle \int_0^1 x^2 e^x\,dx=[ x2ex ]01\displaystyle {}= \Big[\,x^2 e^x\,\Big]_0^1−2∫01xex dx\displaystyle {}- 2\int_0^1 x e^x\,dx=e\displaystyle {}= e−2∫01xex dx\displaystyle {}- 2\int_0^1 x e^x\,dx ∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 x e^x\,dx=[ xex ]01\displaystyle {}= \Big[\,x e^x\,\Big]_0^1−∫01ex dx\displaystyle {}- \int_0^1 e^x\,dx=e\displaystyle {}= e−(e−1)\displaystyle {}- (e - 1)=1\displaystyle {}= 1

よって

∫01x2ex dx\displaystyle \int_0^1 x^2 e^x\,dx=e\displaystyle {}= e−2⋅1\displaystyle {}- 2 \cdot 1=e‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7277em}e}−2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7277em}{}- 2}

1回の部分積分で x2x^2 の次数が1つ下がります。2回目の結果を1回目の式に戻すとき、係数 22 を掛け忘れないようにします。

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問11　★★

I=∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dxI = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx，J=∫0π2cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dxJ = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\,dx とします。xx=π2{}= \dfrac{\pi}{2}−t{}- t とおくことにより II=J{}= J を示し、II の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

II=π4{}= \dfrac{\pi}{4}

解説

xx=π2{}= \dfrac{\pi}{2}−t{}- t とおくと dxdx=−dt{}= -dt で、sin⁡x\sin x=cos⁡t{}= \cos t，cos⁡x\cos x=sin⁡t{}= \sin t です。

xx0→π20 \to \dfrac{\pi}{2}
ttπ2→0\dfrac{\pi}{2} \to 0
I\displaystyle I=∫π20cos⁡tcos⁡t+sin⁡t (−dt)\displaystyle {}= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t}\,(-dt)=∫0π2cos⁡tsin⁡t+cos⁡t dt\displaystyle {}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\sin t + \cos t}\,dt=J\displaystyle {}= J

定積分の値は積分変数の文字によらないので、最後の式は JJ そのものです。一方、足し合わせると分母と分子が一致します。

I\displaystyle I+J\displaystyle {}+ J=∫0π2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\displaystyle {}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}\,dx=∫0π2dx\displaystyle {}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx=π2\displaystyle {}= \frac{\pi}{2}

II=J{}= J なので 2I2I=π2{}= \dfrac{\pi}{2}，よって I=π4‾\underline{I = \dfrac{\pi}{4}} です。

II の原始関数を直接求めなくても、置換で「相棒」の JJ と結びつければ値が出ます。

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問12　★★

等式 f(x)=ex−∫01tf(t) dtf(x) = e^x - \displaystyle\int_0^1 t f(t)\,dt を満たす関数 f(x)f(x) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f(x)f(x)=ex{}= e^x−23{}- \dfrac{2}{3}

解説

∫01tf(t) dt\displaystyle\int_0^1 t f(t)\,dt は定数なので、kk とおきます。すると f(x)f(x)=ex{}= e^x−k{}- k です。これを kk の定義に戻します。

k\displaystyle k=∫01t(et−k) dt\displaystyle {}= \int_0^1 t(e^t - k)\,dt=∫01tet dt\displaystyle {}= \int_0^1 t e^t\,dt−k∫01t dt\displaystyle {}- k\int_0^1 t\,dt

部分積分で

∫01tet dt\displaystyle \int_0^1 t e^t\,dt=[ tet ]01\displaystyle {}= \Big[\,t e^t\,\Big]_0^1−∫01et dt\displaystyle {}- \int_0^1 e^t\,dt=e\displaystyle {}= e−(e−1)\displaystyle {}- (e - 1)=1\displaystyle {}= 1

また ∫01t dt\displaystyle \int_0^1 t\,dt=12\displaystyle {}= \frac{1}{2} なので、kk=1{}= 1−k2{}- \dfrac{k}{2}，つまり kk=23{}= \dfrac{2}{3} です。

f(x)=ex‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}f(x) = e^x}−23‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- \frac{2}{3}}
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問13　★★

原点から曲線 yy=log⁡x{}= \log x に引いた接線を ℓ\ell とします。ℓ\ell の方程式を求め、曲線 yy=log⁡x{}= \log x と ℓ\ell および xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

ℓ\ell：yy=1ex{}= \dfrac{1}{e}x，面積 e2\dfrac{e}{2}−1{}- 1

解説

接点を (t, log⁡t)(t,\ \log t) とします。(log⁡x)′(\log x)'=1x{}= \dfrac{1}{x} なので、接線は

y\displaystyle y−log⁡t\displaystyle {}- \log t=1t(x−t)\displaystyle {}= \frac{1}{t}(x - t)

これが原点を通るので −log⁡t-\log t=−1{}= -1，つまり tt=e{}= e です。接点は (e, 1)(e,\ 1)，ℓ\ell は y=1ex‾\underline{y = \dfrac{1}{e}x} です。

yy=log⁡x{}= \log x は y′′y''=−1x2{}= -\dfrac{1}{x^2}<0{}< 0 で上に凸なので、グラフは接線 ℓ\ell の下側にあります。囲まれた部分は、00≦x{}\leqq x≦e{}\leqq e で ℓ\ell と xx 軸の間の三角形から、11≦x{}\leqq x≦e{}\leqq e で yy=log⁡x{}= \log x と xx 軸の間の部分を除いたものです。

S\displaystyle S=12⋅e⋅1\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot e \cdot 1−∫1elog⁡x dx\displaystyle {}- \int_1^e \log x\,dx=e2\displaystyle {}= \frac{e}{2}−[ xlog⁡x−x ]1e\displaystyle {}- \Big[\,x\log x - x\,\Big]_1^e=e2\displaystyle {}= \frac{e}{2}−{(e−e)−(0−1)}\displaystyle {}- \{(e - e) - (0 - 1)\}=e2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}\frac{e}{2}}−1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}{}- 1}
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問14　★★

00≦x{}\leqq x≦π4{}\leqq \dfrac{\pi}{4} の範囲で、2曲線 yy=cos⁡x{}= \cos x，yy=sin⁡x{}= \sin x と yy 軸で囲まれた部分を、xx 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

π2\dfrac{\pi}{2}

解説

00≦x{}\leqq x≦π4{}\leqq \dfrac{\pi}{4} では cos⁡x\cos x≧sin⁡x{}\geqq \sin x≧0{}\geqq 0 です（等号は xx=π4{}= \dfrac{\pi}{4} で、そこで2曲線が交わります）。

回転させると、半径 cos⁡x\cos x の円から半径 sin⁡x\sin x の円を除いたドーナツ形の断面ができます。断面積は π(cos⁡2x−sin⁡2x)\pi(\cos^2 x - \sin^2 x) です。

V\displaystyle V=π∫0π4(cos⁡2x−sin⁡2x) dx\displaystyle {}= \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x - \sin^2 x)\,dx=π∫0π4cos⁡2x dx\displaystyle {}= \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x\,dx=π[ sin⁡2x2 ]0π4\displaystyle {}= \pi\Big[\,\frac{\sin 2x}{2}\,\Big]_0^{\frac{\pi}{4}}=π2‾\displaystyle {}= \underline{\frac{\pi}{2}}

π∫0π4(cos⁡x−sin⁡x)2 dx\pi\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x)^2\,dx としてしまうと、別の立体（半径 cos⁡x\cos x−sin⁡x{}- \sin x の円）の体積になります。

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問15　★★

曲線 yy=x24{}= \dfrac{x^2}{4}−12log⁡x (1≦x≦e){}- \dfrac{1}{2}\log x\ (1 \leqq x \leqq e) の長さを求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

e2+14\dfrac{e^2 + 1}{4}

解説

y′y'=x2{}= \dfrac{x}{2}−12x{}- \dfrac{1}{2x} なので

1\displaystyle 1+(y′)2\displaystyle {}+ (y')^2=1\displaystyle {}= 1+x24\displaystyle {}+ \frac{x^2}{4}−12\displaystyle {}- \frac{1}{2}+14x2\displaystyle {}+ \frac{1}{4x^2}=x24\displaystyle {}= \frac{x^2}{4}+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}+14x2\displaystyle {}+ \frac{1}{4x^2}=(x2+12x)2\displaystyle {}= \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right)^2

xx>0{}> 0 では x2\dfrac{x}{2}+12x{}+ \dfrac{1}{2x}>0{}> 0 なので、根号がそのまま外れます。

L\displaystyle L=∫1e(x2+12x)dx\displaystyle {}= \int_1^e \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right)dx=[ x24+12log⁡x ]1e\displaystyle {}= \Big[\,\frac{x^2}{4} + \frac{1}{2}\log x\,\Big]_1^e=e24\displaystyle {}= \frac{e^2}{4}+12\displaystyle {}+ \frac{1}{2}−14\displaystyle {}- \frac{1}{4}=e2+14‾\displaystyle {}= \underline{\frac{e^2 + 1}{4}}

「11+(y′)2{}+ (y')^2 が完全平方式になる」ように作られた曲線です。−12-\dfrac{1}{2} が +12+\dfrac{1}{2} に変わるところがポイントです。

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問16　★★

極限値 lim⁡n→∞1n∑k=1nlog⁡(1+kn)\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \log\left(1 + \frac{k}{n}\right) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

2log⁡22\log 2−1{}- 1

解説

f(x)f(x)=log⁡(1+x){}= \log(1 + x) として区分求積法を使うと

lim⁡n→∞1n∑k=1nlog⁡(1+kn)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \log\left(1 + \frac{k}{n}\right)=∫01log⁡(1+x) dx\displaystyle {}= \int_0^1 \log(1 + x)\,dx

log⁡(1+x)⋅1\log(1 + x) \cdot 1 とみて部分積分します。積分する側 11 の原始関数を 11+x{}+ x に選ぶと、後の計算が楽になります。

∫01log⁡(1+x) dx\displaystyle \int_0^1 \log(1 + x)\,dx=[ (1+x)log⁡(1+x) ]01\displaystyle {}= \Big[\,(1 + x)\log(1 + x)\,\Big]_0^1−∫01(1+x)⋅11+x dx\displaystyle {}- \int_0^1 (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}\,dx=2log⁡2\displaystyle {}= 2\log 2−1\displaystyle {}- 1 2log⁡2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}2\log 2}−1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}{}- 1}
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問17　★★★

aa を実数の定数とします。定積分 I(a)=∫0π(sin⁡x−ax)2 dxI(a) = \displaystyle\int_0^\pi (\sin x - ax)^2\,dx を最小にする aa の値と、I(a)I(a) の最小値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=3π2{}= \dfrac{3}{\pi^2} のとき、最小値 π2\dfrac{\pi}{2}−3π{}- \dfrac{3}{\pi}

解説

展開して aa について整理します。

I(a)\displaystyle I(a)=∫0πsin⁡2x dx\displaystyle {}= \int_0^\pi \sin^2 x\,dx−2a∫0πxsin⁡x dx\displaystyle {}- 2a\int_0^\pi x\sin x\,dx+a2∫0πx2 dx\displaystyle {}+ a^2\int_0^\pi x^2\,dx

3つの定積分をそれぞれ求めます。

∫0πsin⁡2x dx\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 x\,dx=∫0π1−cos⁡2x2 dx\displaystyle {}= \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx=π2\displaystyle {}= \frac{\pi}{2} ∫0πxsin⁡x dx\displaystyle \int_0^\pi x\sin x\,dx=[ −xcos⁡x ]0π\displaystyle {}= \Big[\,-x\cos x\,\Big]_0^\pi+∫0πcos⁡x dx\displaystyle {}+ \int_0^\pi \cos x\,dx=π\displaystyle {}= \pi+0\displaystyle {}+ 0=π\displaystyle {}= \pi ∫0πx2 dx\displaystyle \int_0^\pi x^2\,dx=π33\displaystyle {}= \frac{\pi^3}{3}

よって I(a)I(a) は aa の2次関数です。

I(a)\displaystyle I(a)=π33a2\displaystyle {}= \frac{\pi^3}{3}a^2−2πa\displaystyle {}- 2\pi a+π2\displaystyle {}+ \frac{\pi}{2}=π33(a−3π2)2\displaystyle {}= \frac{\pi^3}{3}\left(a - \frac{3}{\pi^2}\right)^2−3π\displaystyle {}- \frac{3}{\pi}+π2\displaystyle {}+ \frac{\pi}{2}

a2a^2 の係数は正なので、a=3π2‾\underline{a = \dfrac{3}{\pi^2}} のとき最小値 π2‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\dfrac{\pi}{2}}−3π‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- \dfrac{3}{\pi}} をとります。

積分する変数は xx で、aa は定数として外に出せます。定積分を済ませると、aa だけの関数が残ります。

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問18　★★★

11≦t{}\leqq t≦e{}\leqq e とし、曲線 yy=log⁡x{}= \log x 上の点 (t, log⁡t)(t,\ \log t) における接線を ℓ\ell とします。曲線 yy=log⁡x{}= \log x と ℓ\ell，および2直線 xx=1{}= 1，xx=e{}= e で囲まれた部分の面積を S(t)S(t) とします。S(t)S(t) を最小にする tt の値と、その最小値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

tt=e+12{}= \dfrac{e + 1}{2} のとき、最小値 (e−1)log⁡e+12(e - 1)\log\dfrac{e + 1}{2}−1{}- 1

解説

ℓ\ell の方程式は yy=xt{}= \dfrac{x}{t}−1{}- 1+log⁡t{}+ \log t です。yy=log⁡x{}= \log x は上に凸（y′′y''=−1x2{}= -\dfrac{1}{x^2}<0{}< 0）なので、11≦x{}\leqq x≦e{}\leqq e で曲線は ℓ\ell の下側にあります。

S(t)\displaystyle S(t)=∫1e(xt−1+log⁡t)dx\displaystyle {}= \int_1^e \left(\frac{x}{t} - 1 + \log t\right)dx−∫1elog⁡x dx\displaystyle {}- \int_1^e \log x\,dx

∫1elog⁡x dx\displaystyle \int_1^e \log x\,dx=[ xlog⁡x−x ]1e\displaystyle {}= \Big[\,x\log x - x\,\Big]_1^e=1\displaystyle {}= 1 なので

S(t)\displaystyle S(t)=e2−12t\displaystyle {}= \frac{e^2 - 1}{2t}+(e−1)(log⁡t−1)\displaystyle {}+ (e - 1)(\log t - 1)−1\displaystyle {}- 1

tt で微分します。

S′(t)\displaystyle S'(t)=−e2−12t2\displaystyle {}= -\frac{e^2 - 1}{2t^2}+e−1t\displaystyle {}+ \frac{e - 1}{t}=(e−1){2t−(e+1)}2t2\displaystyle {}= \frac{(e - 1)\{2t - (e + 1)\}}{2t^2}

11<e+12{}< \dfrac{e + 1}{2}<e{}< e なので、増減表は次のとおりです。

tt11⋯\cdotse+12\dfrac{e + 1}{2}⋯\cdotsee
S′(t)S'(t)−-00++
S(t)S(t)↘\searrow極小↗\nearrow

tt=e+12{}= \dfrac{e + 1}{2} のとき e2−12t\dfrac{e^2 - 1}{2t}=(e−1)(e+1)e+1{}= \dfrac{(e - 1)(e + 1)}{e + 1}=e{}= e−1{}- 1 なので

S(e+12)\displaystyle S\left(\frac{e + 1}{2}\right)=(e−1)\displaystyle {}= (e - 1)+(e−1)(log⁡e+12−1)\displaystyle {}+ (e - 1)\left(\log\frac{e + 1}{2} - 1\right)−1\displaystyle {}- 1=(e−1)log⁡e+12\displaystyle {}= (e - 1)\log\frac{e + 1}{2}−1\displaystyle {}- 1

よって t=e+12‾\underline{t = \dfrac{e + 1}{2}} のとき最小値 (e−1)log⁡e+12‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}(e - 1)\log\dfrac{e + 1}{2}}−1‾\underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}{}- 1} です。

最小にする接点は、区間 11≦x{}\leqq x≦e{}\leqq e のちょうど真ん中です。上に凸な曲線では、区間の中点で接線を引くと、すき間の面積がいちばん小さくなります。

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問19　★★★

aa を正の定数とします。2曲線 yy=log⁡x{}= \log x，yy=ax{}= a\sqrt{x} が接しています。aa の値と接点の座標を求め、2曲線と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=2e{}= \dfrac{2}{e}，接点 (e2, 2)(e^2,\ 2)，面積 e23\dfrac{e^2}{3}−1{}- 1

解説

xx=t (t>0){}= t\ (t > 0) の点で接するとすると、yy 座標と傾きが一致します。(ax)′(a\sqrt{x})'=a2x{}= \dfrac{a}{2\sqrt{x}} なので

log⁡t\log t=at{}= a\sqrt{t} …①，1t\dfrac{1}{t}=a2t{}= \dfrac{a}{2\sqrt{t}} …②

②より ata\sqrt{t}=2{}= 2。①に代入して log⁡t\log t=2{}= 2，つまり tt=e2{}= e^2，aa=2t{}= \dfrac{2}{\sqrt{t}}=2e{}= \dfrac{2}{e} です。

a=2e,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}a = \frac{2}{e},}接点 (e2, 2)‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.0074em}\quad \text{接点}\ (e^2,\ 2)}

次に上下を確かめます。h(x)h(x)=2ex{}= \dfrac{2}{e}\sqrt{x}−log⁡x (x>0){}- \log x\ (x > 0) とおくと

h′(x)\displaystyle h'(x)=1ex\displaystyle {}= \frac{1}{e\sqrt{x}}−1x\displaystyle {}- \frac{1}{x}=x−eex\displaystyle {}= \frac{\sqrt{x} - e}{ex}

h(x)h(x) は 00<x{}< x<e2{}< e^2 で減少、xx>e2{}> e^2 で増加し、最小値は h(e2)h(e^2)=2{}= 2−2{}- 2=0{}= 0 です。よって yy=2ex{}= \dfrac{2}{e}\sqrt{x} はつねに yy=log⁡x{}= \log x の上側にあり、共有点は接点だけです。

囲まれた部分は、00≦x{}\leqq x≦e2{}\leqq e^2 で yy=2ex{}= \dfrac{2}{e}\sqrt{x} と xx 軸の間から、11≦x{}\leqq x≦e2{}\leqq e^2 で yy=log⁡x{}= \log x と xx 軸の間を除いたものです（log⁡x\log x は xx≧1{}\geqq 1 で 00 以上）。

∫0e22ex dx\displaystyle \int_0^{e^2} \frac{2}{e}\sqrt{x}\,dx=2e[ 23x32 ]0e2\displaystyle {}= \frac{2}{e}\Big[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\,\Big]_0^{e^2}=2e⋅23e3\displaystyle {}= \frac{2}{e} \cdot \frac{2}{3}e^3=43e2\displaystyle {}= \frac{4}{3}e^2 ∫1e2log⁡x dx\displaystyle \int_1^{e^2} \log x\,dx=[ xlog⁡x−x ]1e2\displaystyle {}= \Big[\,x\log x - x\,\Big]_1^{e^2}=(2e2−e2)\displaystyle {}= (2e^2 - e^2)−(0−1)\displaystyle {}- (0 - 1)=e2\displaystyle {}= e^2+1\displaystyle {}+ 1 S\displaystyle S=43e2\displaystyle {}= \frac{4}{3}e^2−(e2+1)\displaystyle {}- (e^2 + 1)=e23‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}\frac{e^2}{3}}−1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.1771em}{}- 1}
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問20　★★★

正の整数 nn に対して In=∫01xn1+x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}\,dx とします。部分積分法により In\displaystyle I_n=12(n+1)\displaystyle {}= \frac{1}{2(n + 1)}+1n+1∫01xn+1(1+x)2 dx\displaystyle {}+ \frac{1}{n + 1}\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{(1 + x)^2}\,dx を示し、極限値 lim⁡n→∞nIn\displaystyle\lim_{n \to \infty} nI_n を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

lim⁡n→∞nIn\displaystyle \lim_{n \to \infty} nI_n=12\displaystyle {}= \dfrac{1}{2}

解説

xnx^n を積分する側、11+x\dfrac{1}{1 + x} を微分する側にします。(11+x)′\left(\dfrac{1}{1 + x}\right)'=−1(1+x)2{}= -\dfrac{1}{(1 + x)^2} です。

In\displaystyle I_n=[ xn+1n+1⋅11+x ]01\displaystyle {}= \Big[\,\frac{x^{n+1}}{n + 1} \cdot \frac{1}{1 + x}\,\Big]_0^1+1n+1∫01xn+1(1+x)2 dx\displaystyle {}+ \frac{1}{n + 1}\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{(1 + x)^2}\,dx=12(n+1)\displaystyle {}= \frac{1}{2(n + 1)}+1n+1Jn\displaystyle {}+ \frac{1}{n + 1}J_n

ここで Jn=∫01xn+1(1+x)2 dxJ_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{(1 + x)^2}\,dx とおきました。これで等式が示せました。

次に JnJ_n を評価します。00<x{}< x<1{}< 1 では 11<(1+x)2{}< (1 + x)^2 なので 00<xn+1(1+x)2{}< \dfrac{x^{n+1}}{(1 + x)^2}<xn+1{}< x^{n+1} で、

0\displaystyle 0<Jn\displaystyle {}< J_n<∫01xn+1 dx\displaystyle {}< \int_0^1 x^{n+1}\,dx=1n+2\displaystyle {}= \frac{1}{n + 2}

1n+2\dfrac{1}{n + 2}→0{}\to 0 なので、はさみうちの原理より lim⁡n→∞Jn\displaystyle \lim_{n \to \infty} J_n=0\displaystyle {}= 0 です。等式の両辺に nn を掛けると

nIn\displaystyle nI_n=n2(n+1)\displaystyle {}= \frac{n}{2(n + 1)}+nn+1Jn\displaystyle {}+ \frac{n}{n + 1}J_n⟶ 12\displaystyle {}\longrightarrow\ \frac{1}{2}+1⋅0\displaystyle {}+ 1 \cdot 0 lim⁡n→∞nIn=12‾\underline{\lim_{n \to \infty} nI_n = \frac{1}{2}}

InI_n 自体は 00 に近づきますが、nn を掛けても 00 にならず 12\dfrac{1}{2} に落ち着きます。xx=1{}= 1 の近くの値 11+1\dfrac{1}{1 + 1} だけが効いてくる、というのが直感的な意味です。

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