第21章　準1級 数列の極限

$\dfrac{5}{3}$

分母の最高次 $n^2$ で分母・分子を割ります。

分数の極限は、分母・分子の最高次の係数の比で決まります。

$1$

$\infty$${}- \infty$ の形なので、分子を有理化して分数に直します。

分母・分子を $n$ で割ります（$n$${}> 0$ なので $\sqrt{n^2 + 3n}$${}= n\sqrt{1 + \frac{3}{n}}$ です）。

「どちらも $\infty$ だから差は $0$」としてはいけません。

$\dfrac{1}{4}$

いちばん大きい底の累乗 $4^n$ で分母・分子を割ります。$3^{n+1}$${}= 3 \cdot 3^n$，$4^{n+1}$${}= 4 \cdot 4^n$ です。

$-1$${}< \dfrac{3}{4}$${}< 1$ より $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$${}\to 0$ なので

$\dfrac{27}{5}$

初項は $a$${}= 9$，公比は $r$${}= \dfrac{-6}{9}$${}= -\dfrac{2}{3}$ です。$-1$${}< -\dfrac{2}{3}$${}< 1$ なので収束し、

公比が負でも、絶対値が $1$ より小さければ和は求まります。

$\dfrac{27}{110}$

$0.2\dot{4}\dot{5}$${}= 0.2454545\cdots$ は、循環しない $0.2$ と、循環する部分に分けます。循環する部分は初項 $\dfrac{45}{1000}$，公比 $\dfrac{1}{100}$ の無限等比級数です。

循環が小数第2位から始まるので、初項は $\dfrac{45}{100}$ ではなく $\dfrac{45}{1000}$ です。

$3$

$(-1)^n$ は $-1$ と $1$ を行き来しますが、いつも $-1$${}\leqq (-1)^n$${}\leqq 1$ です。分母 $n$${}+ 2$ は正なので

両端はどちらも $3$ に収束するので、はさみうちの原理より

$1$

$\dfrac{1}{n(n + 1)}$${}= \dfrac{1}{n}$${}- \dfrac{1}{n + 1}$ と差に分けると、部分和は次々に打ち消し合います。

$\dfrac{1}{2}$

分子は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k$$\displaystyle {}= \frac{n(n + 1)}{2}$ です。

項の個数が $n$ 個あるので、1項ずつ極限をとって「$0$ の和だから $0$」とするのは誤りです。

$|r|$${}< 1$ のとき $-1$，$|r|$${}= 1$ のとき $0$，$|r|$${}> 1$ のとき $1$

$r^{2n}$${}= (r^2)^n$ で、$r^2$${}\geqq 0$ なので振動は起こりません。$r^2$ と $1$ の大小、つまり $|r|$ と $1$ の大小で場合分けします。

(i) $|r|$${}< 1$ のとき　$0$${}\leqq r^2$${}< 1$ より $r^{2n}$${}\to 0$ なので

(ii) $|r|$${}= 1$ のとき　$r$${}= \pm 1$ で $r^{2n}$${}= 1$ なので、数列の各項が $\dfrac{1 - 1}{1 + 1}$${}= 0$ となり、極限は $0$ です。

(iii) $|r|$${}> 1$ のとき　$r^{2n}$${}\to \infty$ なので、分母・分子を $r^{2n}$ で割ります。

以上より、$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}|r| < 1\ \text{のとき}}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}-1,}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\quad |r| = 1\ \text{のとき}\ 0,}$$\underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\quad |r| > 1\ \text{のとき}\ 1}$ です。

指数が $2n$ なので、$r$ が負でも $r^{2n}$ は正です。$r^n$ のときのような「$r$${}\leqq -1$ で振動」は起こりません。

$a$${}= 3$，$r$${}= \dfrac{1}{2}$

もとの級数が収束するので $a$${}\neq 0$，$-1$${}< r$${}< 1$ です。各項を2乗した級数は、初項 $a^2$，公比 $r^2$ の無限等比級数で、$0$${}\leqq r^2$${}< 1$ なのでこちらも収束します。

$\dfrac{a}{1 - r}$${}= 6$ …①　　$\dfrac{a^2}{1 - r^2}$${}= 12$ …②

② の分母を $1$${}- r^2$${}= (1 - r)(1 + r)$ と分解し、① から $\dfrac{a}{1 - r}$${}= 6$ を代入します。

よって $a$${}= 2(1 + r)$ です。① から $a$${}= 6(1 - r)$ なので

このとき $a$${}= 6\left(1 - \dfrac{1}{2}\right)$${}= 3$ です。$a$${}= 3$${}\neq 0$，$-1$${}< \dfrac{1}{2}$${}< 1$ で条件を満たします。

$0$

$n!$${}= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$，$n^n$${}= n \cdot n \cdot n \cdots n$（どちらも $n$ 個の積）なので、分数を1つずつ対応させます。

右辺の2つめから最後までの分数はどれも $1$ 以下で、全体は正です。したがって

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}$$\displaystyle {}= 0$ なので、はさみうちの原理より

答案では「$\dfrac{2}{n},$$\ \dfrac{3}{n},$$\ \ldots,$$\ \dfrac{n}{n}$ はすべて $1$ 以下」という一言を必ず書きます。ここがはさむ根拠です。

$a_n$${}= \dfrac{n}{2^{n-1}}$，極限は $0$

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ が邪魔なので、両辺に $2^{n+1}$ を掛けます。

$b_n$${}= 2^n a_n$ とおくと $b_{n+1}$${}= b_n$${}+ 2$，$b_1$${}= 2 \cdot 1$${}= 2$ なので、$\{b_n\}$ は初項 $2$，公差 $2$ の等差数列です。

次に極限です。$n$${}\geqq 3$ のとき、二項定理より

（$(1 + 1)^{n-1}$ の展開のうち $_{n-1}\mathrm{C}_2$ の項だけを残しました。）よって $n$${}\geqq 3$ で

右辺は分母の次数が高いので $0$ に収束します。はさみうちの原理より $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$$\displaystyle {}= \underline{0}$ です。

「$2^{n-1}$ は $n$ より速く大きくなる」ことは、このように二項定理で不等式を作って示します。

部分和が $S_n$${}= \sqrt{n + 1}$${}- 1$${}\to \infty$ となるので発散する

各項を有理化すると、差の形になります。分母と分子に $\sqrt{n + 1}$${}- \sqrt{n}$ を掛けると、分母は $\left(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right)$${}= (n + 1)$${}- n$ になるので

部分和は次々に打ち消し合って

$n$${}\to \infty$ のとき $\sqrt{n + 1}$${}- 1$${}\to \infty$ なので、部分和は収束しません。したがって、この無限級数は発散します。（証明終）

各項は $\sqrt{n+1}$${}- \sqrt{n}$${}\to 0$ と $0$ に近づきますが、それでも和は発散します。「各項が $0$ に近づく」は収束の保証にならない、という例です。

$a$${}= 6$

$\infty$${}- \infty$ の形なので、分子を有理化します。

分母・分子を $n$ で割ります（$n$${}> 0$ です）。

これが $3$ に等しいので $\dfrac{a}{2}$${}= 3$，すなわち $\underline{a = 6}$ です。

有理化する前に「$a$ の値で場合分け」と考える必要はありません。有理化してしまえば、どんな $a$ でも極限は $\dfrac{a}{2}$ になります。

面積の総和 $32$，周の長さの総和 $32$${}+ 16\sqrt{2}$

$S_n$ の一辺の長さを $\ell_n$ とします。一辺 $\ell$ の正方形の各辺の中点を結ぶと、できる正方形の一辺は直角をはさむ2辺が $\dfrac{\ell}{2}$ の直角三角形の斜辺なので

よって $\{\ell_n\}$ は初項 $4$，公比 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の等比数列です。

面積　$S_n$ の面積は $\ell_n^{\,2}$ なので、初項 $16$，公比 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$${}= \dfrac{1}{2}$ の無限等比級数になります。

周の長さ　$S_n$ の周は $4\ell_n$ なので、初項 $16$，公比 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$${}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の無限等比級数です。

どちらも公比の絶対値が $1$ より小さいので収束します。面積と周で公比が違う（面積は長さの比の2乗）ことに注意します。

$40\ \mathrm{m}$

最初の落下は $10\ \mathrm{m}$ です。その後は、はね上がりと落下が同じ高さで対になるので、$k$ 回目のはね上がりの高さを2倍ずつ足します。$k$ 回目のはね上がりの高さは $10\left(\dfrac{3}{5}\right)^k$ です。

この無限等比級数は初項 $10 \cdot \dfrac{3}{5}$${}= 6$，公比 $\dfrac{3}{5}$ で、$-1$${}< \dfrac{3}{5}$${}< 1$ より収束します。

最初の落下だけは対になる相手がいないので、$2$ 倍する部分から外します。ここを $2$ 倍してしまうのがよくある誤りです。

$a_n$${}= \dfrac{5}{3}$${}- \dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$，極限は $\dfrac{5}{3}$

漸化式は $a_{n+2}$${}= \dfrac{a_{n+1} + a_n}{2}$，つまり「次の項は前2項の平均」です。両辺から $a_{n+1}$ を引くと、階差が等比数列になります。

$b_n$${}= a_{n+1}$${}- a_n$ とおくと、$\{b_n\}$ は初項 $b_1$${}= a_2$${}- a_1$${}= 1$，公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列なので

$n$${}\geqq 2$ のとき、階差数列の公式から

$n$${}= 1$ を代入すると $\dfrac{5}{3}$${}- \dfrac{2}{3}$${}= 1$${}= a_1$ となり、$n$${}= 1$ でも成り立ちます。

$\left|-\dfrac{1}{2}\right|$${}< 1$ より $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$${}\to 0$ なので

前2項の平均をとり続けると、最初の2項 $1$ と $2$ を $1 : 2$ に内分する点 $\dfrac{5}{3}$ に落ち着きます。

$0$

$3^n$${}= (1 + 2)^n$ と見て、二項定理で展開します。$n$${}\geqq 3$ のとき、展開した各項はすべて正なので、$_n\mathrm{C}_3 \cdot 2^3$ の項だけを残した式より大きいか等しくなります。