第5章　対数関数とグラフ

対数関数——$y$${}= 2^x$ を直線 $y$${}= x$ で折り返す

第4章の最後の予告から始めます。$y$${}= \log_2 x$ に、いくつか $x$ の値を入れてみましょう。

第2章で作った $y$${}= 2^x$ の表と見比べてください。あちらは「$x$${}= 3$ なら $y$${}= 8$」、こちらは「$x$${}= 8$ なら $y$${}= 3$」。上の段と下の段が、そっくり入れかわっています。$y$${}= 2^x$ のグラフ上の点 $(p,\ 2^p)$ に対して、$y$${}= \log_2 x$ のグラフ上には、座標を入れかえた点 $(2^p,\ p)$ があるわけです。

座標を入れかえた 2 点 $(1,\ 2)$ と $(2,\ 1)$ を方眼紙にとると、2 点を結ぶ線分は直線 $y$${}= x$ と直角に交わり、その中点 $\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$ は $y$${}= x$ の上にあります。つまり 2 点は、直線 $y$${}= x$ について対称です。グラフ全体でこれが起きるので、$y$${}= \log_2 x$ のグラフは、$y$${}= 2^x$ のグラフを直線 $y$${}= x$ で折り返した形になります。

このように、$y$${}= f(x)$ で $y$ の値から $x$ がただ 1 つ決まるとき、「$y$ から $x$ を求める関数」を作り、文字 $x$，$y$ を入れかえたものを、もとの関数の逆関数といいます。$y$${}= 2^x$ なら、対数の定義から $x$${}= \log_2 y$。文字を入れかえて $y$${}= \log_2 x$ です。

公式1：対数関数と逆関数

$a$${}> 0$，$a$${}\neq 1$ とする。$y$${}= \log_a x$ を、$a$ を底とする $x$ の対数関数という。

• 定義域は正の実数全体（$x$${}> 0$）、値域は実数全体
• $y$${}= \log_a x$ は指数関数 $y$${}= a^x$ の逆関数であり、2 つのグラフは直線 $y$${}= x$ について対称である

定義域が $x$${}> 0$ なのは、真数条件そのものです。値域が実数全体なのは、$a^x$ の定義域が実数全体だったからで、逆関数では定義域と値域も入れかわります。

和英辞典と英和辞典の関係を思い浮かべてください。和英辞典は「犬 → dog」、英和辞典は「dog → 犬」。載っている単語の組は同じで、引く向きだけが逆です。$y$${}= 2^x$ が「指数 $3$ → 値 $8$」を引く辞典なら、$y$${}= \log_2 x$ は「値 $8$ → 指数 $3$」を引く辞典です。どちらか一方を作れば、もう一方は見出しと訳を入れかえるだけで手に入ります。

対数関数 $y$${}= \log_a x$ は指数関数 $y$${}= a^x$ の $x$ と $y$ を入れかえた逆関数で、グラフは $y$${}= a^x$ のグラフを直線 $y$${}= x$ で折り返したものだということです。

例題1：逆関数とグラフ上の点

(1) $y$${}= \log_2 x$ のグラフ上で、$x$ 座標が $\dfrac{1}{4}$，$1$，$8$ である点の座標を求めなさい。

(2) (1) の 3 点を直線 $y$${}= x$ について対称移動した点が、どれも $y$${}= 2^x$ のグラフ上にあることを確かめなさい。

(3) $y$${}= 5^x$ の逆関数を求めなさい。

(4) $y$${}= \log_{\frac{1}{3}} x$ の逆関数を求めなさい。

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【解答】

(1) $\log_2 \dfrac{1}{4}$${}= -2$，$\log_2 1$${}= 0$，$\log_2 8$${}= 3$ なので $\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\left(\dfrac{1}{4},\ -2\right),}$$\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ (1,\ 0),}$$\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ (8,\ 3)}$

(2) 直線 $y$${}= x$ について対称移動すると、座標が入れかわって $\left(-2,\ \dfrac{1}{4}\right)$，$(0,\ 1)$，$(3,\ 8)$。$y$${}= 2^x$ に代入すると

$\displaystyle 2^{-2}$$\displaystyle {}= \frac{1}{4},$$\displaystyle 2^0$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle 2^3$$\displaystyle {}= 8$

となり、3 点とも $\underline{y = 2^x \text{ のグラフ上にある}}$ ことが確かめられました。

(3) $y$${}= 5^x$ を $x$ について解くと $x$${}= \log_5 y$。$x$ と $y$ を入れかえて $\underline{y = \log_5 x}$

(4) $y$${}= \log_{\frac{1}{3}} x$ を $x$ について解くと $x$${}= \left(\dfrac{1}{3}\right)^y$。$x$ と $y$ を入れかえて $\underline{y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x}$

逆関数を求める手順は、いつも「$x$ について解く → $x$ と $y$ を入れかえる」の 2 段です。

対数関数のグラフ——点 $(1,\ 0)$ を通り、$y$ 軸に近づく

$y$${}= a^x$ のグラフの性質（第2章 公式2）を、直線 $y$${}= x$ で折り返して読みかえてみます。点 $(0,\ 1)$ は点 $(1,\ 0)$ に、点 $(1,\ a)$ は点 $(a,\ 1)$ に移ります。漸近線だった $x$ 軸は、折り返すと $y$ 軸になります。右上がり・右下がりの向きは、折り返しても変わりません。

公式2：対数関数のグラフの性質

$y$${}= \log_a x$ のグラフについて

1. 点 $(1,\ 0)$ と点 $(a,\ 1)$ を通る
2. つねに $y$ 軸より右にあり、$y$ 軸が漸近線である
3. $a$${}> 1$ のとき右上がり、$0$${}< a$${}< 1$ のとき右下がり

また、$y$${}= \log_a x$ と $y$${}= \log_{\frac{1}{a}} x$ のグラフは $x$ 軸について対称である。

点 $(1,\ 0)$ を通るのは、どんな底でも $\log_a 1$${}= 0$ だからです。$x$ 軸について対称になる理由は、底の変換公式で見えます。

$\displaystyle \log_{\frac{1}{a}} x$$\displaystyle {}= \frac{\log_a x}{\log_a \frac{1}{a}}$$\displaystyle {}= \frac{\log_a x}{-1}$$\displaystyle {}= -\log_a x$

$y$ 座標の符号がちょうど逆になっているので、$x$ 軸で折り返した形です。

$a$${}> 1$ のグラフは、右上がりといっても上がり方がとてもゆるやかです。$\log_2 x$ が $10$ になるのは $x$${}= 1024$、$20$ になるのは $x$ が約 $100$ 万のときです。レベルを 1 つ上げるのに必要な経験値が、レベルごとに倍になっていくゲームを想像してください。経験値を $1024$ ためてもレベルは $10$ 止まりで、経験値の伸びに比べてレベルはなかなか上がりません。それでもためれば必ず上がり、上限はありません。対数関数のグラフも同じで、上がり方はどんどん鈍るのに、どこまでも高くなります。反対に $x$ を $0$ に近づけると、$y$ は $-1$，$-2$，$-3$，……と下がり続け、グラフは $y$ 軸に限りなく近づきます。

底の大きさによる違いも、第2章の折り返しです。$x$${}> 1$ の側では、底が大きいほどグラフはゆるやか（$\log_3 x$ は $\log_2 x$ より下）になります。

対数関数のグラフは、点 $(1,\ 0)$ を通り $y$ 軸を漸近線にもつ曲線で、底が 1 より大きければ右上がり、1 より小さければ右下がり、底を逆数にすると $x$ 軸について折り返した形になるということです。

例題2：グラフの特徴

(1) $y$${}= \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフ上で、$x$ 座標が $\dfrac{1}{2}$，$1$，$4$ である点の座標を求めなさい。

(2) (1) の 3 点を $x$ 軸について対称移動した点が、どれも $y$${}= \log_2 x$ のグラフ上にあることを確かめなさい。

(3) $y$${}= \log_a x$ のグラフが点 $\left(27,\ \dfrac{3}{2}\right)$ を通るとき、$a$ の値を定めなさい。

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【解答】

(1) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^1$${}= \dfrac{1}{2}$，$\left(\dfrac{1}{2}\right)^0$${}= 1$，$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$${}= 4$ なので $\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\left(\dfrac{1}{2},\ 1\right),}$$\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ (1,\ 0),}$$\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ (4,\ -2)}$

(2) 対称移動した点は $\left(\dfrac{1}{2},\ -1\right)$，$(1,\ 0)$，$(4,\ 2)$ です。$y$${}= \log_2 x$ に代入すると

$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}$$\displaystyle {}= -1,$$\displaystyle \log_2 1$$\displaystyle {}= 0,$$\displaystyle \log_2 4$$\displaystyle {}= 2$

となり、3 点とも $\underline{y = \log_2 x \text{ のグラフ上にある}}$ ことが確かめられました。

(3) $\dfrac{3}{2}$${}= \log_a 27$ なので $a^{\frac{3}{2}}$${}= 27$。両辺を $\dfrac{2}{3}$ 乗して

$\displaystyle a$$\displaystyle {}= 27^{\frac{2}{3}}$$\displaystyle {}= (\sqrt[3]{27})^2$$\displaystyle {}= \underline{9}$

(3) で得た $a$${}= 9$ は、底の条件 $a$${}> 0$，$a$${}\neq 1$ を満たしています。

単調性——真数の大小がそのまま対数の大小になる

$a$${}> 1$ のグラフは右上がりの一本道なので、真数が大きいほど対数も大きくなります。$0$${}< a$${}< 1$ なら逆です。指数関数の単調性（第2章 公式3）を、折り返して言いかえたものです。

公式3：対数関数の単調性

$\displaystyle a$$\displaystyle {}> 1 \text{ のとき}$$\displaystyle 0$$\displaystyle {}< p$$\displaystyle {}< q$$\displaystyle {}\iff \log_a p$$\displaystyle {}< \log_a q$$\displaystyle 0$$\displaystyle {}< a$$\displaystyle {}< 1 \text{ のとき}$$\displaystyle 0$$\displaystyle {}< p$$\displaystyle {}< q$$\displaystyle {}\iff \log_a p$$\displaystyle {}> \log_a q$

したがって、底をそろえれば、対数の大小は真数の大小で判定できる。底が 1 より小さいときは、不等号の向きが逆になる。

底がそろわない $\log_2 5$ と $\log_3 7$ はどうでしょう。底の変換公式でそろえると $\dfrac{\log_2 7}{\log_2 3}$ のような分数になり、かえって比べにくくなります。こういうときは、間に目安の数をはさむのが近道です。$\log_2 5$${}> \log_2 4$${}= 2$、$\log_3 7$${}< \log_3 9$${}= 2$ なので、$2$ をはさんで $\log_3 7$${}< 2$${}< \log_2 5$ と決着します。

別々の教室にいる 2 人の背比べを考えてみてください。2 人を並ばせることはできなくても、柱に 150 cm の印をつけておき、A さんは印より高く、B さんは印より低いと分かれば、A さんのほうが高いと言えます。目安の数 $k$ は、$k$${}= \log_a a^k$ と書けば、どの底の対数とも同じ底で比べられる「柱の印」になります。$1$${}= \log_2 2$${}= \log_3 3$，$2$${}= \log_2 4$${}= \log_3 9$ のように、底ごとに印を付け直せばよいのです。

対数の大小は、底をそろえられるなら真数で比べ（底が 1 より小さければ向きを逆に）、そろえにくいなら $1$ や $2$ のような目安の数をはさんで比べればよいということです。

例題3：対数の大小

(1) $\log_{\frac{1}{3}} 2$，$\log_{\frac{1}{3}} 5$，$-1$ を小さい順に並べた結果を求めなさい。

(2) $\log_2 3$ と $\log_4 7$ の大小を比べた結果を求めなさい。

(3) $\log_2 5$ と $\log_3 7$ の大小を比べた結果を求めなさい。

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【解答】

(1) $-1$${}= \log_{\frac{1}{3}} 3$ と、同じ底の対数で書きます。真数は $2$${}< 3$${}< 5$ で、底 $\dfrac{1}{3}$${}< 1$ なので大小は逆になります。

$$\underline{\log_{\frac{1}{3}} 5 < -1 < \log_{\frac{1}{3}} 2}$$

(2) 底を $2$ にそろえると

$\displaystyle \log_4 7$$\displaystyle {}= \frac{\log_2 7}{\log_2 4}$$\displaystyle {}= \frac{1}{2}\log_2 7$$\displaystyle {}= \log_2 \sqrt{7}$

$\sqrt{7}$${}< \sqrt{9}$${}= 3$ で、底 $2$${}> 1$ なので $\underline{\log_4 7 < \log_2 3}$

(3) $2$ をはさみます。$5$${}> 4$ より $\log_2 5$${}> \log_2 4$${}= 2$、$7$${}< 9$ より $\log_3 7$${}< \log_3 9$${}= 2$。

$$\underline{\log_3 7 < \log_2 5}$$

(2) のように底が同じ数の累乗ならそろえ、(3) のように $2$ と $3$ でそろわなければ目安の数を探す、と使い分けます。

グラフの移動——目印の点と漸近線を追いかける

指数関数のときと同じく、$y$${}= f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの式は $y$${}- q$${}= f(x - p)$ です。

公式4：対数関数のグラフの移動

$y$${}= \log_a x$ のグラフを

• $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると　$y$${}= \log_a (x - p)$${}+ q$（漸近線は直線 $x$${}= p$、定義域は $x$${}> p$）
• $x$ 軸について対称移動すると　$y$${}= -\log_a x$（$= \log_{\frac{1}{a}} x$）
• $y$ 軸について対称移動すると　$y$${}= \log_a (-x)$
• 原点について対称移動すると　$y$${}= -\log_a (-x)$
• 直線 $y$${}= x$ について対称移動すると　$y$${}= a^x$

平行移動では、目印の点 $(1,\ 0)$ が点 $(p + 1,\ q)$ に、漸近線の $y$ 軸（$x$${}= 0$）が直線 $x$${}= p$ に移ります。この 2 つを押さえれば、グラフの置き場所が決まります。

地図アプリで地図を指でドラッグすると、駅も道も川も、全部がいっしょに同じだけずれます。駅の位置が 2 cm 左へ動いたなら、川も 2 cm 左です。グラフの平行移動も、曲線だけでなく目印の点や漸近線がまとめて同じだけ動きます。だから目印の点がどこへ行ったか、漸近線がどこへ行ったかを見れば、全体の動きが分かります。

式が $y$${}= \log_2 (2x + 4)$ のように、真数に定数が掛かった形で与えられることもあります。このときは積の対数で定数を外へ出します。

$\displaystyle \log_2 (2x + 4)$$\displaystyle {}= \log_2 2(x + 2)$$\displaystyle {}= \log_2 2$$\displaystyle {}+ \log_2 (x + 2)$$\displaystyle {}= \log_2 (x + 2)$$\displaystyle {}+ 1$

真数の定数倍は、$y$ 軸方向の平行移動になるわけです。第2章で、指数関数の定数倍 $8 \cdot 2^x$${}= 2^{x+3}$ が $x$ 軸方向の平行移動になったことと、ちょうど向きが入れかわっています。

$y$${}= \log_a (x - p)$${}+ q$ のグラフは $y$${}= \log_a x$ を平行移動したもので、点 $(1,\ 0)$ の行き先 $(p + 1,\ q)$ と漸近線 $x$${}= p$ を押さえれば描け、真数の定数倍は対数の和に分けて $y$ 軸方向の移動として読めばよいということです。

例題4：平行移動したグラフ

関数 $y$${}= \log_2 (2x + 4)$ について

(1) グラフは $y$${}= \log_2 x$ のグラフをどのように平行移動したものかを求めなさい。

(2) グラフの漸近線の方程式と、関数の定義域を求めなさい。

(3) グラフと $x$ 軸，$y$ 軸との交点の座標を求めなさい。

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【解答】

(1) $y$${}= \log_2 (x + 2)$${}+ 1$ と変形できるので、$y$${}- 1$${}= \log_2 \{x - (-2)\}$ と見て、$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x \text{ 軸方向に }}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}-2,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ y \text{ 軸方向に } 1}$

(2) 漸近線は $y$ 軸が $-2$ だけずれて $\underline{x = -2}$。定義域は真数条件 $2x$${}+ 4$${}> 0$ から $\underline{x > -2}$

(3) $y$${}= 0$ のとき $\log_2 (2x + 4)$${}= 0$ なので、$2x$${}+ 4$${}= 2^0$${}= 1$，$x$${}= -\dfrac{3}{2}$。$x$${}= 0$ のとき $y$${}= \log_2 4$${}= 2$。

$\displaystyle x \text{ 軸との交点 } \underline{\left(-\frac{3}{2},\ 0\right)},$$\displaystyle y \text{ 軸との交点 } \underline{(0,\ 2)}$

$x$${}= -\dfrac{3}{2}$ は定義域 $x$${}> -2$ に入っています。図と見比べてください。

最大値・最小値——端を見る、$\log$ の 2 次式は置きかえる

$y$${}= \log_{\frac{1}{2}} x$ で $x$ の範囲が $\dfrac{1}{2}$${}\leqq x$${}\leqq 8$ に限られていれば、グラフは右下がりの一本道なので、左端で最大、右端で最小です。ここまでは第2章と同じ考え方です。

$y$${}= (\log_2 x)^2$${}- \log_2 x^2$${}+ 2$ のような式はどうでしょう。$x$${}> 0$ なので $\log_2 x^2$${}= 2\log_2 x$ と書けて、$\log_2 x$ を 1 つの文字 $t$ で表すと

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= t^2$$\displaystyle {}- 2t$$\displaystyle {}+ 2$

という 2 次関数になります。

公式5：最大値・最小値の求め方

1. $y$${}= \log_a x$ やその平行移動は単調なので、定義域が $p$${}\leqq x$${}\leqq q$ のとき、最大値・最小値は両端 $x$${}= p$，$x$${}= q$ でとる
2. $(\log_a x)^2$ などが混じる式は、$t$${}= \log_a x$ とおいて $t$ の 2 次関数にする。このとき $t$ の範囲を $x$ の範囲から求めておく

第2章の置きかえ $t$${}= 2^x$ では、いつでも $t$${}> 0$ という制限がつきました。$t$${}= \log_2 x$ は値域が実数全体なので、$t$ は負にもなれます。そのかわり、$x$ の範囲から $t$ の範囲をきちんと出す作業は同じように必要です。$\dfrac{1}{2}$${}\leqq x$${}\leqq 16$ なら、$\log_2 x$ は右上がりなので $-1$${}\leqq t$${}\leqq 4$ です。

方眼紙のふつうの目盛りを、$1$，$2$，$4$，$8$，…… が等間隔に並ぶ目盛りに取り替える、と考えてもよいでしょう。新しい目盛りで測った値が $t$${}= \log_2 x$ です。ふつうの目盛りでは見慣れない形だった式も、目盛りを取り替えると、おなじみの放物線として見えてきます。最後に目盛りを元に戻して、$t$ を $x$ に直すのを忘れないようにします。

対数関数の最大・最小は、単調なら定義域の両端を見ればよく、$\log_a x$ の 2 次式は $t$${}= \log_a x$ とおいて、$x$ の範囲から出した $t$ の範囲で 2 次関数として扱えばよいということです。

例題5：最大値と最小値

(1) $y$${}= \log_{\frac{1}{2}} x$（$\dfrac{1}{2}$${}\leqq x$${}\leqq 8$）の最大値と最小値を求めなさい。

(2) $y$${}= (\log_2 x)^2$${}- \log_2 x^2$${}+ 2$（$\dfrac{1}{2}$${}\leqq x$${}\leqq 16$）の最大値と最小値を求めなさい。

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【解答】

(1) 底 $\dfrac{1}{2}$${}< 1$ で右下がりなので、左端で最大、右端で最小です。$\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2}$${}= 1$，$\log_{\frac{1}{2}} 8$${}= -3$ より

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= \frac{1}{2} \text{ で最大値 } \underline{1},$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 8 \text{ で最小値 } \underline{-3}$

(2) $x$${}> 0$ なので $\log_2 x^2$${}= 2\log_2 x$。$t$${}= \log_2 x$ とおくと、$\dfrac{1}{2}$${}\leqq x$${}\leqq 16$ より $-1$${}\leqq t$${}\leqq 4$。

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= t^2$$\displaystyle {}- 2t$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= (t - 1)^2$$\displaystyle {}+ 1$

$t$${}= 1$（範囲内）で最小値 $1$。最大値は、軸 $t$${}= 1$ から遠い端 $t$${}= 4$ でとり、$y$${}= 9$${}+ 1$${}= 10$（もう一方の端 $t$${}= -1$ では $y$${}= 5$）。$t$${}= 1$ は $x$${}= 2$、$t$${}= 4$ は $x$${}= 16$ にあたります。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 16 \text{ で最大値 } \underline{10},$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 2 \text{ で最小値 } \underline{1}$

$t$${}= 1$ から $x$ に戻すときは、$\log_2 x$${}= 1$ より $x$${}= 2^1$${}= 2$ と、対数の定義を使います。

この章のまとめ——$y$${}= a^x$ と $y$${}= \log_a x$ を並べる

右の列は、左の列の $x$ と $y$ を入れかえたものです。忘れたときは、第2章の性質を直線 $y$${}= x$ で折り返して思い出せば十分です。次の第6章では、この単調性と真数条件を使って、$\log_2 (x - 1)$${}= 3$ や $\log_2 x$${}< 3$ のような対数の方程式・不等式を解きます。