第3章　指数方程式・不等式

指数方程式——底をそろえて指数を比べる

$2^x$${}= 8$ を満たす $x$ は何でしょう。$8$${}= 2^3$ なので、$2^x$${}= 2^3$。第2章で見たとおり、指数関数のグラフは右上がりの一本道なので、同じ高さ $8$ になる $x$ はただ 1 つしかありません。したがって $x$${}= 3$ です。このように、指数の部分に未知数を含む方程式を指数方程式といいます。

公式1：底をそろえて解く指数方程式

$a$${}> 0$，$a$${}\neq 1$ のとき

$\displaystyle a^p$$\displaystyle {}= a^q$$\displaystyle {}\iff p$$\displaystyle {}= q$

したがって、両辺を同じ底の累乗に書きかえれば、指数どうしを等しいとおいた方程式に直せる。$1$ は $a^0$、$\sqrt{a}$ は $a^{\frac{1}{2}}$、$\dfrac{1}{a}$ は $a^{-1}$ として書きかえる。

長さを比べるとき、「$1.2$ km」と「$1500$ m」の数字をそのまま並べても意味がありません。どちらかの単位にそろえて、$1200$ m と $1500$ m にしてから比べます。指数方程式も同じで、$4^x$ と $8$ のままでは比べられませんが、単位にあたる底を $2$ にそろえて $2^{2x}$ と $2^3$ にすれば、あとは指数の数字を見比べるだけです。

底の条件 $a$${}\neq 1$ が大事です。$1^5$${}= 1^7$ ですが、$5$${}= 7$ ではありません。底が $1$ だと、指数がいくつでも値が変わらないからです。

指数方程式は、両辺を同じ底の累乗に書きかえてしまえば、指数どうしを等しいとおくだけの方程式になるということです。

例題1：底をそろえる

(1) $3^{x+1}$${}= \dfrac{1}{27}$

(2) $4^x$${}= 8^{x-1}$

(3) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$${}= 4\sqrt{2}$

上の各方程式の解を求めなさい。

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【解答】

(1) $\dfrac{1}{27}$${}= 3^{-3}$ なので $3^{x+1}$${}= 3^{-3}$。指数を比べて $x$${}+ 1$${}= -3$，$\underline{x = -4}$

(2) 底を $2$ にそろえると $4^x$${}= 2^{2x}$，$8^{x-1}$${}= 2^{3(x-1)}$ なので

$\displaystyle 2x$$\displaystyle {}= 3x$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle \text{よって}$$\displaystyle \underline{x = 3}$

(3) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$${}= 2^{-x}$，$4\sqrt{2}$${}= 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$${}= 2^{\frac{5}{2}}$ なので

$\displaystyle -x$$\displaystyle {}= \frac{5}{2}$$\displaystyle \text{よって}$$\displaystyle \underline{x = -\frac{5}{2}}$

(3) の $\dfrac{1}{2}$ を $2^{-1}$ と見るのは、第2章で大小を比べたときと同じ手です。底 $\dfrac{1}{2}$ にそろえても、$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-\frac{5}{2}}$ から同じ答えになります。

置き換え——$t$${}= 2^x$ とおいて 2 次方程式にする

$4^x$${}- 2^{x+1}$${}- 8$${}= 0$ は、項が 3 つあるので、両辺を 1 つの累乗にまとめることができません。ここで第2章の最大・最小で使った置き換えが役に立ちます。$4^x$${}= (2^x)^2$，$2^{x+1}$${}= 2 \cdot 2^x$ なので、$t$${}= 2^x$ とおくと

$\displaystyle t^2$$\displaystyle {}- 2t$$\displaystyle {}- 8$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle \text{すなわち}$$\displaystyle (t - 4)(t + 2)$$\displaystyle {}= 0$

$t$${}= 4$ または $t$${}= -2$。ただし $t$${}= 2^x$ はつねに正なので、$t$${}= -2$ にあたる $x$ はありません。残った $t$${}= 4$ から $2^x$${}= 2^2$，$x$${}= 2$ です。

公式2：置き換えで解く指数方程式

$a^{2x}$ と $a^x$ が混じる方程式は

1. $t$${}= a^x$ とおく。このとき $t$${}> 0$
2. $t$ の 2 次方程式を解く
3. $t$${}> 0$ を満たす解だけを残し、$a^x$${}= t$ から $x$ を求める

身長制限のあるジェットコースターを思い浮かべてください。チケット（2 次方程式の解）を持っていても、入口で身長を測って基準に届かなければ乗れません。$t$${}= 2^x$ のゲートでは、基準は「$t$${}> 0$」です。$t$${}= -2$ はチケットを持っていても、ここで帰ってもらうことになります。この確認を飛ばすと、ありもしない解を答えてしまいます。

$4^x$ と $2^x$ が混じる方程式は $t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおいて 2 次方程式を解き、$t$${}> 0$ の解だけを $x$ に戻せばよいということです。

例題2：置き換えで解く

(1) $4^x$${}- 2^{x+1}$${}- 8$${}= 0$

(2) $9^x$${}- 4 \cdot 3^x$${}+ 3$${}= 0$

上の各方程式の解を求めなさい。

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【解答】

(1) $t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおくと $t^2$${}- 2t$${}- 8$${}= 0$，$(t - 4)(t + 2)$${}= 0$。$t$${}> 0$ より $t$${}= 4$。$2^x$${}= 4$${}= 2^2$ なので $\underline{x = 2}$

(2) $t$${}= 3^x$（$t$${}> 0$）とおくと、$9^x$${}= (3^x)^2$${}= t^2$ なので

$\displaystyle t^2$$\displaystyle {}- 4t$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle (t - 1)(t - 3)$$\displaystyle {}= 0$

$t$${}= 1$，$3$ はどちらも正なので両方残ります。$3^x$${}= 1$${}= 3^0$ から $x$${}= 0$，$3^x$${}= 3$ から $x$${}= 1$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 0,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 1}$

(2) のように、$t$ の解が 2 つとも正なら $x$ の解も 2 つです。$t$ の解の数と $x$ の解の数の関係は、この章の最後でまとめて扱います。

指数不等式——底が 1 より小さいと向きが逆

次は $2^x$${}> 8$ です。$8$${}= 2^3$ なので $2^x$${}> 2^3$。$y$${}= 2^x$ は右上がりなので、値が大きいのは指数が大きいほう、つまり $x$${}> 3$ です。図でいえば、グラフが直線 $y$${}= 8$ より上にある部分です。

では $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$${}> 8$ はどうでしょう。$8$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$ と書けますが、$y$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ は右下がりなので、値が大きいのは指数が小さいほう。答えは $x$${}< -3$ で、不等号の向きが逆になります。

公式3：底をそろえて解く指数不等式

$\displaystyle a$$\displaystyle {}> 1 \text{ のとき}$$\displaystyle a^p$$\displaystyle {}< a^q$$\displaystyle {}\iff p$$\displaystyle {}< q$$\displaystyle (\text{向きはそのまま})$$\displaystyle 0$$\displaystyle {}< a$$\displaystyle {}< 1 \text{ のとき}$$\displaystyle a^p$$\displaystyle {}< a^q$$\displaystyle {}\iff p$$\displaystyle {}> q$$\displaystyle (\text{向きが逆})$

両辺を同じ底の累乗に書きかえ、底と 1 の大小を確かめてから指数の不等式に直す。

ゴルフでは、打った回数（スコア）が少ない人ほど順位が上です。「スコア $70$ と $72$、どちらが上位か」と聞かれて、数の大きい $72$ を選ぶと逆になります。数の大小と順位の上下が反対に対応しているからです。底が 1 より小さい指数不等式もこれと同じで、指数の大小と値の大小が逆向きに対応しています。どちらのルールで順位が決まる競技なのか——底が 1 より大きいか小さいか——を最初に確かめる習慣をつけましょう。

底 $\dfrac{1}{2}$ の不等式は、底を $2$ にそろえ直す手もあります。$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$${}= 2^{-x}$ なので、$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$${}> 8$ は $2^{-x}$${}> 2^3$、$-x$${}> 3$、$x$${}< -3$。向きが逆になるのは、最後に $-1$ で割るところで起きています。どちらの道でも答えは同じです。

指数不等式は底をそろえて指数の不等式に直せばよく、底が 1 より小さいときだけ不等号の向きを逆にすればよいということです。

例題3：底をそろえる不等式

(1) $2^{x-1}$${}> 8$

(2) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$${}\geqq 9$

(3) $4^x$${}< 2^{3x-2}$

上の各不等式を満たす $x$ の値の範囲を求めなさい。

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【解答】

(1) $2^{x-1}$${}> 2^3$。底 $2$${}> 1$ なので向きはそのままで $x$${}- 1$${}> 3$，$\underline{x > 4}$

(2) $9$${}= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$ なので $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$${}\geqq \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$。底 $\dfrac{1}{3}$${}< 1$ なので向きが逆になり、$\underline{x \leqq -2}$

(3) $4^x$${}= 2^{2x}$ なので $2^{2x}$${}< 2^{3x-2}$。底 $2$${}> 1$ なので $2x$${}< 3x$${}- 2$，$\underline{x > 2}$

(2) で $x$${}= -2$ を入れると $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$${}= 9$、$x$${}= -3$ を入れると $27$ で、どちらも $9$ 以上です。答えの範囲から 1 つ選んで代入してみると、向きの間違いにすぐ気づけます。

置き換えの不等式——$t$ の範囲を求めて $x$ に戻す

$4^x$${}- 5 \cdot 2^x$${}+ 4$${}\leqq 0$ も、$t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおけば $t^2$${}- 5t$${}+ 4$${}\leqq 0$、すなわち $(t - 1)(t - 4)$${}\leqq 0$ という 2 次不等式になります。解は $1$${}\leqq t$${}\leqq 4$。これはどれも正なので、そのまま $1$${}\leqq 2^x$${}\leqq 4$、つまり $2^0$${}\leqq 2^x$${}\leqq 2^2$。底 $2$${}> 1$ なので $0$${}\leqq x$${}\leqq 2$ です。

公式4：置き換えで解く指数不等式

1. $t$${}= a^x$（$t$${}> 0$）とおき、$t$ の 2 次不等式を解く
2. その解と $t$${}> 0$ の共通部分をとる
3. $t$ の範囲を $a^x$ の範囲に戻し、公式3で $x$ の範囲にする（$0$${}< a$${}< 1$ なら向きが逆）

海外の市場で、値段の交渉を現地の言葉でするとします。日本語で考えたことを現地の言葉に訳し、向こうの言葉でやり取りして、決まった値段をまた日本語に訳して持ち帰る。置き換えも同じ往復です。$x$ の世界の不等式を $t$ の言葉に訳し、2 次不等式として解いて、最後に $x$ の言葉へ訳し戻します。訳し戻しを忘れて「$1$${}\leqq t$${}\leqq 4$」で止めると、答えになりません。

2 の「$t$${}> 0$ との共通部分」が効くのは、2 次不等式の解に負の部分が含まれるときです。たとえば $t^2$${}- 2t$${}- 3$${}> 0$ の解は $t$${}< -1$ または $t$${}> 3$ ですが、$t$${}> 0$ と合わせると $t$${}> 3$ だけが残ります。

置き換えた不等式は、$t$ の範囲を $t$${}> 0$ と合わせて求めてから、$x$ の範囲に訳し戻せばよいということです。

例題4：置き換えで解く不等式

(1) $4^x$${}- 5 \cdot 2^x$${}+ 4$${}\leqq 0$

(2) $9^x$${}- 2 \cdot 3^x$${}- 3$${}> 0$

上の各不等式を満たす $x$ の値の範囲を求めなさい。

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【解答】

(1) $t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおくと $(t - 1)(t - 4)$${}\leqq 0$ より $1$${}\leqq t$${}\leqq 4$（すべて $t$${}> 0$ を満たす）。$2^0$${}\leqq 2^x$${}\leqq 2^2$ で、底 $2$${}> 1$ なので $\underline{0 \leqq x \leqq 2}$

(2) $t$${}= 3^x$（$t$${}> 0$）とおくと

$\displaystyle t^2$$\displaystyle {}- 2t$$\displaystyle {}- 3$$\displaystyle {}> 0$$\displaystyle (t - 3)(t + 1)$$\displaystyle {}> 0$

より $t$${}< -1$ または $t$${}> 3$。$t$${}> 0$ との共通部分は $t$${}> 3$。$3^x$${}> 3^1$ で、底 $3$${}> 1$ なので $\underline{x > 1}$

(2) の $t$${}< -1$ は、方程式のときの「身長制限で帰ってもらう解」と同じで、$3^x$ がとれない値です。

連立方程式と、底がそろわない方程式

$x$ と $y$ の 2 つが未知数の連立方程式でも、考え方は変わりません。たとえば

$$\begin{cases} 2^{x+1} + 3^y = 11 \\ 2^x - 3^{y-1} = 3 \end{cases}$$

は、$2^{x+1}$${}= 2 \cdot 2^x$，$3^{y-1}$${}= \dfrac{3^y}{3}$ と分けると、$2^x$ と $3^y$ の 2 つのかたまりしか出てきません。そこで $X$${}= 2^x$，$Y$${}= 3^y$ と別々の文字を当てると、ただの連立 1 次方程式になります。

また、$3^{x-1}$${}= 2^{x-1}$ のように底がそろわないときは、両辺を片方で割って $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x-1}$${}= 1$ とします。$1$${}= \left(\dfrac{3}{2}\right)^0$ なので、$x$${}- 1$${}= 0$ です。

公式5：連立方程式・底がそろわない方程式

• 連立方程式：$X$${}= 2^x$，$Y$${}= 3^y$（$X$${}> 0$，$Y$${}> 0$）のように、かたまりごとに別の文字でおく。$X$，$Y$ を求めてから $x$，$y$ に戻す
• 指数が同じで底が違う方程式：$a^p$${}= b^p$（$a$，$b$ は正で $a$${}\neq b$）は、両辺を $b^p$ で割って $\left(\dfrac{a}{b}\right)^p$${}= 1$。よって $p$${}= 0$

同じクラスに「田中さん」が 2 人いたら、呼び分けるために名札に下の名前を書いてもらいます。連立方程式に $2^x$ と $3^y$ という 2 種類のかたまりがあるなら、それぞれに $X$，$Y$ という名札を付けて区別すればよいのです。名札を付けたら、中学校で学んだ加減法・代入法がそのまま使えます。

連立の指数方程式は、かたまりごとに $X$，$Y$ と名前を付けて連立 1 次方程式にし、底が違う方程式は割り算で 1 つの底にまとめればよいということです。

例題5：連立方程式と底が違う方程式

(1) 連立方程式 $2^{x+1}$${}+ 3^y$${}= 11$，$2^x$${}- 3^{y-1}$${}= 3$ の解を求めなさい。

(2) 方程式 $3^{x-1}$${}= 2^{x-1}$ の解を求めなさい。

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【解答】

(1) $X$${}= 2^x$，$Y$${}= 3^y$（$X$${}> 0$，$Y$${}> 0$）とおくと

$\displaystyle 2X$$\displaystyle {}+ Y$$\displaystyle {}= 11,$$\displaystyle X$$\displaystyle {}- \frac{Y}{3}$$\displaystyle {}= 3$

2 つ目の式を 3 倍して $3X$${}- Y$${}= 9$。1 つ目と足すと $5X$${}= 20$，$X$${}= 4$。すると $Y$${}= 11$${}- 8$${}= 3$。どちらも正です。$2^x$${}= 4$ から $x$${}= 2$、$3^y$${}= 3$ から $y$${}= 1$。

$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 2,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ y = 1}$

(2) $2^{x-1}$${}> 0$ で両辺を割ると

$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{x-1}$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}= \left(\frac{3}{2}\right)^0$

よって $x$${}- 1$${}= 0$，$\underline{x = 1}$

(1) は、答えを元の式に入れて $2^3$${}+ 3^1$${}= 11$，$2^2$${}- 3^0$${}= 3$ と確かめておくと安心です。

解の個数——$x$ と $t$ は一対一

最後に、文字（定数）$a$ を含む方程式 $4^x$${}- 2^{x+2}$${}+ a$${}= 0$ が、いくつ実数解をもつかを考えます。$t$${}= 2^x$ とおくと

$\displaystyle t^2$$\displaystyle {}- 4t$$\displaystyle {}+ a$$\displaystyle {}= 0$$\displaystyle (t > 0)$

ここで大事なのが、$x$ と $t$ の対応です。$y$${}= 2^x$ は右上がりの一本道で、値は正の数全体をとります（第2章 厳密定義の補足）。ですから、正の数 $t$ を 1 つ決めると、$2^x$${}= t$ となる $x$ がちょうど 1 つ決まり、$t$${}\leqq 0$ には $x$ がありません。

公式6：解の個数の対応

$t$${}= a^x$ とおくと、$t$${}> 0$ の 1 つの値に $x$ の値がちょうど 1 つ対応する。したがって、$x$ の方程式の実数解の個数は、$t$ の方程式の正の解の個数に等しい。

$t$ の方程式を $f(t)$${}= k$ の形に直し、$y$${}= f(t)$（$t$${}> 0$）のグラフと直線 $y$${}= k$ の共有点を数えると分かりやすい。

映画館の指定席では、1 枚のチケットに座席が 1 つずつ決まっています。チケットが 2 枚あれば座る人も 2 人、番号の存在しない「$-3$ 番」のチケットでは誰も座れません。$t$ の正の解がチケット、$x$ の解が座る人です。だから $x$ の解を数えたいときは、$t$ の正の解を数えれば済みます。

$x$ の解は $t$ の正の解と一対一に対応するので、$t$ の方程式の正の解を、グラフと直線の共有点として数えればよいということです。

例題6：解の個数

$a$ を定数とします。方程式 $4^x$${}- 2^{x+2}$${}+ a$${}= 0$ の異なる実数解の個数を、$a$ の値によって分類した結果を求めなさい。

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【解答】

$t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおくと $t^2$${}- 4t$${}+ a$${}= 0$、すなわち

$\displaystyle t^2$$\displaystyle {}- 4t$$\displaystyle {}= -a$

$f(t)$${}= t^2$${}- 4t$${}= (t - 2)^2$${}- 4$ とすると、$t$${}> 0$ での $y$${}= f(t)$ のグラフは、$t$${}= 0$ の端（値 $0$、ただし含まない）から下がり、頂点 $(2,\ -4)$ を通って上がっていく曲線です。これと直線 $y$${}= -a$ の共有点の個数が、正の解 $t$ の個数、つまり $x$ の解の個数です。

• $-a$${}< -4$，すなわち $a$${}> 4$ のとき：共有点なし
• $-a$${}= -4$，すなわち $a$${}= 4$ のとき：頂点で 1 点
• $-4$${}< -a$${}< 0$，すなわち $0$${}< a$${}< 4$ のとき：2 点
• $-a$${}\geqq 0$，すなわち $a$${}\leqq 0$ のとき：1 点（$t$${}= 0$ は含まないので、$-a$${}= 0$ でも左側の共有点はない）

$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}a > 4 \text{ のとき } 0 \text{ 個},}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\quad 0 < a < 4 \text{ のとき } 2 \text{ 個},}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\quad a = 4,}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.2558em]{0em}{1.0117em}\ a \leqq 0 \text{ のとき } 1 \text{ 個}}$

$a$${}= 0$ のとき、$t$ の方程式は $t(t - 4)$${}= 0$ で $t$${}= 0$，$4$ ですが、$t$${}= 0$ はゲートを通れません。$x$ の解は $t$${}= 4$ からの $x$${}= 2$ の 1 個だけです。

この章のまとめ——3 つの作業

どの作業も、指数関数が「右上がり（右下がり）の一本道で、値は正の数全体をとる」という第2章の性質に支えられています。ただし、ここで解けたのは、$8$${}= 2^3$ のように両辺がうまく同じ底にそろう場合だけでした。$2^x$${}= 5$ の解は、$2^2$${}= 4$ と $2^3$${}= 8$ の間にあるはずですが、いまの道具では書き表せません。この「書き表せない指数」に名前を付けるのが、第4章の対数です。