第2章　指数関数とグラフ

指数関数——$x$ を動かして $a^x$ を見る

第1章で、$a$${}> 0$ なら、どんな実数 $x$ に対しても $a^x$ の値がただ 1 つ決まることを確かめました。そこで今度は $x$ を変数として自由に動かし、$y$${}= a^x$ を $x$ の関数として眺めます。

まず $y$${}= 2^x$ と $y$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ に、いくつか $x$ の値を入れてみましょう。

$x$ が 1 増えるたびに、$2^x$ は 2 倍に、$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ は半分になっています。1 次関数 $y$${}= 2x$ なら、$x$ が 1 増えると $y$ は $2$ 増えるのでした。指数関数では $y$ が $2$ 倍になる。$x$ は足し算で進み、$y$ は掛け算で進む——これが指数関数の性格です。

公式1：指数関数

$a$${}> 0$，$a$${}\neq 1$ とする。$y$${}= a^x$ を、$a$ を底とする $x$ の指数関数という。

• 定義域（$x$ がとりうる値の範囲）は実数全体
• 値域（$y$ がとる値の範囲）は正の実数全体、すなわち $y$${}> 0$

$a$${}= 1$ のときは $1^x$${}= 1$ と、いつでも同じ値になるので指数関数からは除く。

コピー機の倍率を 200% にして、コピーしたものをまたコピーする……とくり返すと、図の横幅は 1 回ごとに 2 倍になります。$x$ 回コピーした図は元の $2^x$ 倍、倍率 50% の縮小コピーなら $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ 倍です。$x$${}= -1$ は「1 回前の原稿」、$x$${}= \dfrac{1}{2}$ は「2 回くり返すとちょうど 200% になる倍率で 1 回コピーした」ことにあたり、その倍率 $2^{\frac{1}{2}}$${}= \sqrt{2}$${}\approx 1.41$ は、A4 を A3 に拡大するときの「141%」そのものです。倍率 100%（$a$${}= 1$）では何回コピーしても変わらないので、指数関数の仲間から外すわけです。

指数関数 $y$${}= a^x$ は、$x$ が 1 増えるごとに $y$ が $a$ 倍になる関数で、底は $a$${}> 0$，$a$${}\neq 1$、値はいつでも正だということです。

例題1：指数関数の値

$f(x)$${}= 9^x$ とします。

(1) $f(2)$

(2) $f(-1)$

(3) $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$

(4) $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$

上の各式の値を求めなさい。

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【解答】

(1) $9^2$${}= \underline{81}$

(2) $9^{-1}$${}= \underline{\dfrac{1}{9}}$

(3) $9^{\frac{1}{2}}$${}= \sqrt{9}$${}= \underline{3}$

(4) $9^{-\frac{3}{2}}$${}= \dfrac{1}{(\sqrt{9})^3}$${}= \dfrac{1}{3^3}$${}= \underline{\dfrac{1}{27}}$

どの値も正の数です。$x$ が負でも分数でも、$a^x$ が $0$ や負の数になることはありません。

指数関数のグラフ——点 $(0,\ 1)$ を通る曲線

表の点を座標平面にとってなめらかにつなぐと、次のようになります。

$y$${}= 2^x$ のグラフを左へたどると、$y$ は $\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{8}$，……と半分ずつになり、$x$ 軸にいくらでも近づきます。それでも $0$ にはなりません。コップの水を毎回「残りの半分」ずつ飲むと、残りはどんどん減るのに、いつまでたっても空にはならない——グラフの左端では、この状態がずっと続いています。このように、グラフが限りなく近づいていく直線を漸近線（ぜんきんせん）といいます。

公式2：指数関数のグラフの性質

$y$${}= a^x$ のグラフについて

1. 点 $(0,\ 1)$ と点 $(1,\ a)$ を通る
2. つねに $x$ 軸より上にあり、$x$ 軸が漸近線である
3. $a$${}> 1$ のとき右上がり（$x$ が増えると $y$ も増える）、$0$${}< a$${}< 1$ のとき右下がり（$x$ が増えると $y$ は減る）

また、$y$${}= a^x$ と $y$${}= \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$ のグラフは $y$ 軸について対称である。

点 $(0,\ 1)$ を通るのは、どんな底でも $a^0$${}= 1$ だからです。$y$ 軸について対称になる理由は、$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$${}= 2^{-x}$ と書きかえると見えてきます。$y$${}= 2^x$ 上の点 $(p,\ 2^p)$ を $y$ 軸で折り返した点は $(-p,\ 2^p)$。$y$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ に $x$${}= -p$ を入れると $2^{-(-p)}$${}= 2^p$ なので、折り返した点はちゃんと相手のグラフの上にあります。図の点 $(1,\ 2)$ と点 $(-1,\ 2)$ が、そのひと組です。

底の大きさによる違いも見ておきましょう。$y$${}= 3^x$ は $y$${}= 2^x$ と同じく点 $(0,\ 1)$ を通る右上がりの曲線ですが、$x$${}> 0$ の側では $3^x$ のほうが上（$3^1$${}= 3$${}> 2^1$${}= 2$）、$x$${}< 0$ の側では下（$3^{-1}$${}= \dfrac{1}{3}$${}< 2^{-1}$${}= \dfrac{1}{2}$）にあります。底が大きいほど、点 $(0,\ 1)$ を境に急な坂になるのです。

指数関数のグラフは、点 $(0,\ 1)$ を通り $x$ 軸を漸近線にもつ曲線で、底が 1 より大きければ右上がり、1 より小さければ右下がり、底を逆数にすると $y$ 軸について折り返した形になるということです。

例題2：グラフの特徴

(1) $y$${}= 3^x$ のグラフ上で、$x$ 座標が $-1$，$0$，$2$ である点の座標を求めなさい。

(2) (1) の 3 点を $y$ 軸について対称移動した点が、どれも $y$${}= \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ のグラフ上にあることを確かめなさい。

(3) $y$${}= a^x$ のグラフが点 $(2,\ 16)$ を通るとき、$a$ の値を定めなさい。

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【解答】

(1) $3^{-1}$${}= \dfrac{1}{3}$，$3^0$${}= 1$，$3^2$${}= 9$ なので $\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\left(-1,\ \dfrac{1}{3}\right),}$$\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ (0,\ 1),}$$\underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}\ (2,\ 9)}$

(2) 対称移動した点は $\left(1,\ \dfrac{1}{3}\right)$，$(0,\ 1)$，$(-2,\ 9)$ です。$y$${}= \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ に代入すると

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^1$$\displaystyle {}= \frac{1}{3},$$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^0$$\displaystyle {}= 1,$$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$$\displaystyle {}= 3^2$$\displaystyle {}= 9$

となり、3 点とも $\underline{y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x \text{ のグラフ上にある}}$ ことが確かめられました。

(3) $a^2$${}= 16$ で、底は $a$${}> 0$ なので $\underline{a = 4}$

(3) で $a$${}= -4$ を答えに含めないのは、指数関数の底は正と決めているからです。

単調性——指数の大小がそのまま値の大小になる

$a$${}> 1$ のグラフは、左から右へ上り続ける一本道でした。途中で平らになったり、下がったりすることはありません。すると、「$x$ 座標が右にあるほうが、$y$ 座標も大きい」と言い切れます。$0$${}< a$${}< 1$ なら、その逆です。このように、ずっと増え続ける（またはずっと減り続ける）性質を単調性といいます。

公式3：指数関数の単調性

$\displaystyle a$$\displaystyle {}> 1 \text{ のとき}$$\displaystyle p$$\displaystyle {}< q$$\displaystyle {}\iff a^p$$\displaystyle {}< a^q$$\displaystyle 0$$\displaystyle {}< a$$\displaystyle {}< 1 \text{ のとき}$$\displaystyle p$$\displaystyle {}< q$$\displaystyle {}\iff a^p$$\displaystyle {}> a^q$

したがって、底をそろえれば、数の大小は指数の大小で判定できる。底が 1 より小さいときは、不等号の向きが逆になる。

上りのエスカレーターでは、先へ進んだ人ほど高い所にいます。下りのエスカレーターでは、先へ進んだ人ほど低い所にいます。どちらでも「どちらが先にいるか（指数の大小）」さえ分かれば「どちらが高いか（値の大小）」は決まります。ただし、乗っているのが上りか下りか——底が 1 より大きいか小さいか——を確かめ忘れると、答えがまるごと逆になります。

第1章では、累乗根の大小を「同じ回数だけ累乗して根号を外す」ことで比べました。底が同じ数の累乗に直せるなら、もっと楽な道があります。すべてを同じ底の指数の形に書きかえ、指数だけを比べればよいのです。

指数関数は右上がり（または右下がり）の一本道なので、底をそろえた数どうしは指数を比べれば大小が分かり、底が 1 より小さいときだけ向きを逆にすればよいということです。

例題3：底をそろえて比べる

(1) $\sqrt[3]{4}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt[5]{8}$ を小さい順に並べた結果を求めなさい。

(2) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$，$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$\sqrt[3]{9}$ を小さい順に並べた結果を求めなさい。

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【解答】

(1) すべて底 $2$ の指数で書きます。

$\displaystyle \sqrt[3]{4}$$\displaystyle {}= 2^{\frac{2}{3}},$$\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle {}= 2^{\frac{1}{2}},$$\displaystyle \sqrt[5]{8}$$\displaystyle {}= 2^{\frac{3}{5}}$

指数を通分すると $\dfrac{2}{3}$${}= \dfrac{20}{30}$，$\dfrac{1}{2}$${}= \dfrac{15}{30}$，$\dfrac{3}{5}$${}= \dfrac{18}{30}$ なので、$\dfrac{1}{2}$${}< \dfrac{3}{5}$${}< \dfrac{2}{3}$。底 $2$${}> 1$ なので、値も同じ順です。

$$\underline{\sqrt{2} < \sqrt[5]{8} < \sqrt[3]{4}}$$

(2) すべて底 $\dfrac{1}{3}$ の指数で書きます。$\sqrt[3]{9}$${}= 3^{\frac{2}{3}}$${}= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-\frac{2}{3}}$ に注意すると

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^2,$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$$\displaystyle {}= \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}},$$\displaystyle \sqrt[3]{9}$$\displaystyle {}= \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{2}{3}}$

指数は $-\dfrac{2}{3}$${}< \dfrac{1}{2}$${}< 2$。底 $\dfrac{1}{3}$${}< 1$ なので、値の大小は逆になります。

$$\underline{\left(\frac{1}{3}\right)^2 < \frac{1}{\sqrt{3}} < \sqrt[3]{9}}$$

(2) は底 $3$ にそろえて $3^{-2}$，$3^{-\frac{1}{2}}$，$3^{\frac{2}{3}}$ としても解けます。この場合は底が 1 より大きいので、向きを逆にする必要はありません。どちらの底を選んでも、答えは同じです。

底がそろわないとき——指数をそろえて底で比べる

$2^{30}$ と $3^{20}$ はどちらが大きいでしょう。$2$ と $3$ は、どちらも相手の累乗では書けないので、底をそろえる作戦は使えません。そこで発想を逆にして、指数のほうをそろえます。$30$ と $20$ はどちらも $10$ の倍数なので

$\displaystyle 2^{30}$$\displaystyle {}= (2^3)^{10}$$\displaystyle {}= 8^{10},$$\displaystyle 3^{20}$$\displaystyle {}= (3^2)^{10}$$\displaystyle {}= 9^{10}$

$8$${}< 9$ で、どちらも正の数なので、10 乗しても大小は変わりません（第1章 公式6）。したがって $2^{30}$${}< 3^{20}$ です。

公式4：大小比較の 2 つの方針

• 底がそろえられるとき：同じ底の指数で書き、指数の大小で比べる（公式3）。$1$${}= a^0$ も同じ底の仲間として比べられる
• 底がそろえられないとき：指数をそろえて、底の大小で比べる。$0$${}< A$${}< B$，$n$ が正の数なら

$\displaystyle A^n$$\displaystyle {}< B^n$

お菓子の値段を比べるとき、8 個入りと 12 個入りでは袋ごとの値段を並べても意味がないので、「1 個あたり」にそろえます。ここでも同じで、$2^{30}$ を「$8$ が 10 個掛けてある袋」、$3^{20}$ を「$9$ が 10 個掛けてある袋」と、同じ 10 個入りにそろえてしまえば、中身 1 個の大きいほうが勝ちです。

公式4の $A^n$${}< B^n$ は、$n$ が正の整数なら第1章で確かめたとおりです。$n$ が正の実数でも、$\dfrac{B^n}{A^n}$${}= \left(\dfrac{B}{A}\right)^n$ の底 $\dfrac{B}{A}$ が 1 より大きいので、公式3から $\left(\dfrac{B}{A}\right)^n$${}> \left(\dfrac{B}{A}\right)^0$${}= 1$ となり、成り立ちます。

大小比較は、底がそろえられるなら指数で、そろえられないなら指数をそろえて底で比べる、という 2 本立てで考えればよいということです。

例題4：指数をそろえる・1 と比べる

(1) $2^{30}$，$3^{20}$，$5^{10}$ を小さい順に並べた結果を求めなさい。

(2) $0.8^{-\frac{1}{2}}$ と $1$ の大小を比べた結果を求めなさい。

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【解答】

(1) 指数 $30$，$20$，$10$ の最大公約数 $10$ にそろえます。

$\displaystyle 2^{30}$$\displaystyle {}= 8^{10},$$\displaystyle 3^{20}$$\displaystyle {}= 9^{10},$$\displaystyle 5^{10}$

底を比べると $5$${}< 8$${}< 9$ なので

$$\underline{5^{10} < 2^{30} < 3^{20}}$$

(2) $1$${}= 0.8^0$ と見ます。指数は $-\dfrac{1}{2}$${}< 0$ で、底 $0.8$${}< 1$ なので大小は逆になり、$0.8^{-\frac{1}{2}}$${}> 0.8^0$。

$$\underline{0.8^{-\frac{1}{2}} > 1}$$

(2) は「1 より小さい数を、マイナス乗すると 1 より大きくなる」ということです。実際 $0.8^{-\frac{1}{2}}$${}= \dfrac{1}{\sqrt{0.8}}$ で、分母が 1 より小さいので値は 1 を超えます。

グラフの移動——形はそのまま、置き場所を変える

2 次関数で学んだとおり、$y$${}= f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの式は $y$${}- q$${}= f(x - p)$ でした。指数関数でもそのまま使えます。

公式5：指数関数のグラフの移動

$y$${}= a^x$ のグラフを

• $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると　$y$${}= a^{x-p}$${}+ q$（漸近線は直線 $y$${}= q$）
• $y$ 軸について対称移動すると　$y$${}= a^{-x}$
• $x$ 軸について対称移動すると　$y$${}= -a^x$
• 原点について対称移動すると　$y$${}= -a^{-x}$

グラフの形を彫ったハンコを、紙の別の場所に押し直す——平行移動はそんな操作です。形そのものは変わらず、変わるのは押した位置だけ。指数関数では、目印になる点 $(0,\ 1)$ の行き先と漸近線の高さの 2 つを追いかければ、移動後のグラフが描けます。平行移動すると、点 $(0,\ 1)$ は点 $(p,\ 1 + q)$ に、漸近線 $y$${}= 0$ は $y$${}= q$ に移ります。

指数関数ならではの見方も 1 つあります。$y$${}= 2^{x+1}$ は $x$ 軸方向に $-1$ の平行移動ですが、指数法則で $2^{x+1}$${}= 2 \cdot 2^x$ とも書けるので、「$y$${}= 2^x$ を縦に 2 倍に伸ばしたもの」でもあります。逆に、$y$${}= 8 \cdot 2^x$ のような「定数倍」は、$8$${}= 2^3$ と見て $y$${}= 2^{x+3}$ と書けば平行移動として扱えます。

$y$${}= a^{x-p}$${}+ q$ のグラフは $y$${}= a^x$ を平行移動したもので、点 $(0,\ 1)$ の行き先 $(p,\ 1 + q)$ と漸近線 $y$${}= q$ を押さえれば描けるということです。

例題5：平行移動したグラフ

関数 $y$${}= 2^{x+1}$${}- 4$ について

(1) グラフは $y$${}= 2^x$ のグラフをどのように平行移動したものかを求めなさい。

(2) グラフの漸近線の方程式を求めなさい。

(3) グラフと $y$ 軸，$x$ 軸との交点の座標を求めなさい。

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【解答】

(1) $y$${}- (-4)$${}= 2^{x - (-1)}$ と見て、$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}x \text{ 軸方向に }}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}-1,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}\ y \text{ 軸方向に }}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8778em}{}-4}$

(2) $y$${}= 2^x$ の漸近線 $y$${}= 0$ が $-4$ だけ下がって $\underline{y = -4}$

(3) $x$${}= 0$ のとき $y$${}= 2^1$${}- 4$${}= -2$。$y$${}= 0$ のとき $2^{x+1}$${}= 4$${}= 2^2$ で、公式3（単調性）から指数どうしが等しく $x$${}+ 1$${}= 2$，$x$${}= 1$。

$\displaystyle y \text{ 軸との交点 } \underline{(0,\ -2)},$$\displaystyle x \text{ 軸との交点 } \underline{(1,\ 0)}$

漸近線が $y$${}= -4$ なので、グラフはどこまで左へ行っても $-4$ より下には下がりません。図と見比べてください。

最大値・最小値——端を見る、2 次関数に化けたら置きかえる

$y$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ で、$x$ の範囲が $-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ に限られているとします。グラフは右下がりの一本道なので、いちばん高いのは左端、いちばん低いのは右端です。$x$${}= -1$ で最大値 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$${}= 2$、$x$${}= 2$ で最小値 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$${}= \dfrac{1}{4}$。途中の値を調べる必要はありません。

少し手ごわいのが $y$${}= 4^x$${}- 2^{x+2}$${}+ 5$ のような式です。一見ややこしいのですが、$4^x$${}= (2^2)^x$${}= (2^x)^2$，$2^{x+2}$${}= 4 \cdot 2^x$ なので、$2^x$ を 1 つの文字 $t$ で表すと

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= t^2$$\displaystyle {}- 4t$$\displaystyle {}+ 5$

という、ただの 2 次関数になります。複雑に見えた式は、2 次関数が「$2^x$」という着ぐるみを着ていただけでした。着ぐるみを脱がせたら、平方完成で最大・最小を調べれば済みます。

公式6：最大値・最小値の求め方

1. $y$${}= a^x$ やその平行移動は単調なので、定義域が $p$${}\leqq x$${}\leqq q$ のとき、最大値・最小値は両端 $x$${}= p$，$x$${}= q$ でとる
2. $4^x$ や $2^{x+1}$ などが混じる式は、$t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおいて $t$ の 2 次関数にする。このとき $t$ の範囲を $x$ の範囲から求めておく

2 で大事なのは $t$ の範囲です。$t$${}= 2^x$ はつねに正なので、$x$ に制限がなくても $t$${}> 0$。$-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ なら、$2^x$ は右上がりなので $2^{-1}$${}\leqq t$${}\leqq 2^2$、すなわち $\dfrac{1}{2}$${}\leqq t$${}\leqq 4$ です。この範囲を忘れて 2 次関数の頂点だけを見ると、実際にはとれない値を答えてしまいます。

指数関数の最大・最小は、単調なら定義域の両端を見ればよく、$4^x$ と $2^x$ が混じる式は $t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおいて、$t$ の範囲に気をつけながら 2 次関数として扱えばよいということです。

例題6：最大値と最小値

(1) $y$${}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$（$-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$）の最大値と最小値を求めなさい。

(2) $y$${}= 4^x$${}- 2^{x+2}$${}+ 5$（$-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$）の最大値と最小値を求めなさい。

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【解答】

(1) 底 $\dfrac{1}{2}$${}< 1$ で右下がりなので、左端で最大、右端で最小です。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= -1 \text{ で最大値 } \underline{2},$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 2 \text{ で最小値 } \underline{\frac{1}{4}}$

(2) $t$${}= 2^x$（$t$${}> 0$）とおくと、$-1$${}\leqq x$${}\leqq 2$ より $\dfrac{1}{2}$${}\leqq t$${}\leqq 4$。

$\displaystyle y$$\displaystyle {}= t^2$$\displaystyle {}- 4t$$\displaystyle {}+ 5$$\displaystyle {}= (t - 2)^2$$\displaystyle {}+ 1$

$t$${}= 2$（範囲内）で最小値 $1$。最大値は、軸 $t$${}= 2$ から遠い端 $t$${}= 4$ でとり、$y$${}= 16$${}- 16$${}+ 5$${}= 5$（もう一方の端 $t$${}= \dfrac{1}{2}$ では $y$${}= \dfrac{13}{4}$）。$t$${}= 2$ は $x$${}= 1$、$t$${}= 4$ は $x$${}= 2$ にあたります。

$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 2 \text{ で最大値 } \underline{5},$$\displaystyle x$$\displaystyle {}= 1 \text{ で最小値 } \underline{1}$

答えには、そのときの $x$ の値も添えます。$t$ の値のままにしないよう、最後に $x$ へ戻すのを忘れないでください。

この章のまとめ——$y$${}= a^x$ を見る 4 つの目

この章の道具はほとんどすべて、「グラフが右上がり（右下がり）の一本道である」という 1 つの性質から出てきました。第3章では、この性質を使って $2^x$${}= 8$ や $2^x$${}> 8$ のような方程式・不等式を解きます。「底をそろえる → 底が 1 より大きいか小さいかで向きを判断」という流れは、そのまま引き継がれます。