第4章　n 進法

10 でまとめるという約束

$2748$ という数を、私たちは「二千七百四十八」と読みます。この $4$ つの数字が何を表しているかを書き出すと

$\displaystyle 2748$$\displaystyle {}= 2 \cdot 10^3$$\displaystyle {}+ 7 \cdot 10^2$$\displaystyle {}+ 4 \cdot 10$$\displaystyle {}+ 8$

です。同じ数字 $4$ でも、左から2番目にあれば $700$ を、左から3番目にあれば $40$ を表します。数字の置かれた場所（位）が、そのまま $10$ の累乗を表す約束になっているのです。この書き方を位取り記数法といい、$10$ 個集まったら1つ上の位へ送るこの約束を10 進法といいます。

$10$ でまとめる理由は、人間の指が $10$ 本だからだといわれています（※諸説あり）。つまり $10$ という数に、数学的な必然性はありません。$10$ のかわりに $2$ や $5$ でまとめる約束にしても、数の書き表し方としては何も困らないのです。この章では、そのまとめ方を変えた記数法を考えます。

なお、この分野のこれまでの章と同じく、とくに断らないかぎり文字は整数を表します。

n 進法の表し方

公式1：n 進法

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$0$ 以上の整数 $N$ を

$\displaystyle N$$\displaystyle {}= a_k n^k$$\displaystyle {}+ a_{k-1} n^{k-1}$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ a_1 n$$\displaystyle {}+ a_0$$$(0 \leqq a_i \leqq n - 1, \quad a_k \neq 0)$$

の形に表し、数字を並べて $a_k a_{k-1} \cdots a_1 a_0$ と書く表し方を $n$ 進法という。$n$ を底といい、$n$ 進法で表した数であることを示すために

$\displaystyle 1011_{(2)},$$\displaystyle 233_{(5)}$

のように右下に $(n)$ を添える。$10$ 進法のときは $(10)$ を省略する。$n$ 進法で使う数字は $0,$$\ 1,$$\ \ldots,$$\ n$${}- 1$ の $n$ 種類である。

大事なのは、$n$ 進法では $n$ 以上の数字は使わないということです。$5$ 進法に $5$ という数字は出てきません。$5$ が集まった時点で、1つ上の位へ送ってしまうからです。$2$ 進法にいたっては $0$ と $1$ しか使いません。

鉛筆がたくさんあるとします。ふつうは $10$ 本ずつ輪ゴムで束ね、$10$ 束ずつ箱に入れて数えます。これを「$5$ 本ずつ束ね、$5$ 束ずつ箱に入れる」というルールに変えてみます。$68$ 本の鉛筆なら、箱が $2$ つ（$25$ 本ずつ）、束が $3$ つ（$5$ 本ずつ）、ばらが $3$ 本になります。このとき $68$ 本を「箱 $2$・束 $3$・ばら $3$」と報告するのが $5$ 進法で、$233_{(5)}$ と書くわけです。束が $5$ つそろってしまったら、必ず箱にしなければなりません。だから各位の数字は $4$ 以下になるのです。

底が $10$ より大きいときは、数字が足りなくなります。そこで $16$ 進法では、$10$ から $15$ を表すのに $\mathrm{A},$$\ \mathrm{B},$$\ \mathrm{C},$$\ \mathrm{D},$$\ \mathrm{E},$$\ \mathrm{F}$ の6文字を使う約束になっています。

$n$ 進法とは「$n$ 個集まったら1つ上の位へ送る」という約束であり、位の重みが $n$ の累乗、使える数字が $0$ から $n$${}- 1$ までになるということです。

n 進法から 10 進法へ

$n$ 進法で書かれた数を $10$ 進法に直すのは、公式1 の右辺をそのまま計算するだけです。

公式2：n 進法を 10 進法で表す

$n$ 進法の数 $a_k a_{k-1} \cdots a_0{}_{(n)}$ を $10$ 進法で表すには、各位の数字に位の重み $n^i$ を掛けて足す。

$\displaystyle a_k a_{k-1} \cdots a_0{}_{(n)}$$\displaystyle {}= a_k n^k$$\displaystyle {}+ a_{k-1} n^{k-1}$$\displaystyle {}+ \cdots$$\displaystyle {}+ a_1 n$$\displaystyle {}+ a_0$

たとえば $1011_{(2)}$ なら

$\displaystyle 1011_{(2)}$$\displaystyle {}= 1 \cdot 2^3$$\displaystyle {}+ 0 \cdot 2^2$$\displaystyle {}+ 1 \cdot 2$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= 8$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= 11$

です。位の重みは、右から順に $1,$$\ n,$$\ n^2,$$\ n^3,$$\ \ldots$ と並びます。$2$ 進法なら $1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 8,$$\ 16,$$\ \ldots$、$5$ 進法なら $1,$$\ 5,$$\ 25,$$\ 125,$$\ \ldots$ です。これを書き出してから、数字が $1$ の位だけを足すようにすると、$2$ 進法の計算は速くなります。

英語圏で使われるヤード・ポンド法では、重さを「$3$ ポンド $5$ オンス」のように書きます。$1$ ポンドは $16$ オンスなので、全部オンスで言い直すと $3 \times 16$${}+ 5$${}= 53$ オンスです。この計算を、私たちは何も特別なことだと思わずにやっています。$n$ 進法を $10$ 進法に直す作業は、これとまったく同じで、位ごとにばらばらだった単位を、いちばん小さい単位にそろえているだけなのです。

$n$ 進法から $10$ 進法への変換は、位の重み $n^i$ を掛けて足すだけ、つまり「単位をそろえる」計算だということです。

例題1：10 進法で表す

次の数を $10$ 進法で表しなさい。

(1) $11010_{(2)}$　　(2) $2304_{(5)}$　　(3) $2\mathrm{B}_{(16)}$

---

【解答】

(1) 位の重みは右から $1,$$\ 2,$$\ 4,$$\ 8,$$\ 16$ です。数字が $1$ の位は $16$ と $8$ と $2$ なので

$\displaystyle 11010_{(2)}$$\displaystyle {}= 16$$\displaystyle {}+ 8$$\displaystyle {}+ 2$$\displaystyle {}= \underline{26}$

(2) 位の重みは右から $1,$$\ 5,$$\ 25,$$\ 125$ です。

$\displaystyle 2304_{(5)}$$\displaystyle {}= 2 \cdot 125$$\displaystyle {}+ 3 \cdot 25$$\displaystyle {}+ 0 \cdot 5$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}= 250$$\displaystyle {}+ 75$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}= \underline{329}$

(3) $\mathrm{B}$ は $11$ を表します。

$\displaystyle 2\mathrm{B}_{(16)}$$\displaystyle {}= 2 \cdot 16$$\displaystyle {}+ 11$$\displaystyle {}= \underline{43}$

10 進法から n 進法へ

逆向きの変換は、割り算をくり返します。

公式3：10 進法を n 進法で表す

$10$ 進法の数 $N$ を $n$ 進法で表すには、$N$ を $n$ で割り、その商をまた $n$ で割る、という操作を商が $0$ になるまでくり返す。得られた余りを下から順に読んだものが、$n$ 進法の表示である。

$100$ を $5$ 進法で表してみます。

$$\begin{array}{r|l r} 5 & 100 & \cdots \ 0 \\ \hline 5 & 20 & \cdots \ 0 \\ \hline 5 & 4 & \cdots \ 4 \\ \hline & 0 & \end{array}$$

余りを下から読んで $100$${}= 400_{(5)}$ です。確かめると $4 \cdot 25$${}= 100$ で、合っています。

なぜ余りを読めばよいのでしょうか。$N$${}= a_k n^k$${}+ \cdots$${}+ a_1 n$${}+ a_0$ のうち、$a_0$ 以外の項はすべて $n$ の倍数です。$0$${}\leqq a_0$${}\leqq n$${}- 1$ ですから、$a_0$ は $N$ を $n$ で割った余りそのものです（第2章 公式1 の割り算の等式で、余りがただ1つに決まることを使っています）。そして商は $a_k n^{k-1}$${}+ \cdots$${}+ a_1$ なので、同じことをくり返せば、次は $a_1$ が余りとして出てきます。こうして下の位から順に数字が決まっていくのです。

$30$ 人のクラスを「$4$ 人ずつの班」に分けると、$7$ 班できて $2$ 人余ります。次に、その $7$ 班を「$4$ 班ずつのグループ」にまとめると、$1$ グループできて $3$ 班余ります。余った人と班を並べて「グループ $1$・班 $3$・人 $2$」、つまり $30$${}= 132_{(4)}$ です。班分けのたびに出る「余り」が、下の位から順に数字になっていきます。

けた数も、位の重みから分かります。$n$ 進法で $k$ けたということは、いちばん上の位の重みが $n^{k-1}$ だということなので

$\displaystyle n^{k-1}$$\displaystyle {}\leqq N$$\displaystyle {}< n^k$

が成り立ちます。逆にこの不等式を満たす $k$ を探せば、実際に変換しなくてもけた数が分かります。

$10$ 進法から $n$ 進法への変換は $n$ で割り続けて余りを下から読むこと、けた数は $n^{k-1}$${}\leqq N$${}< n^k$ で決まるということです。

例題2：n 進法で表す

(1) $100$ を $2$ 進法で表しなさい。

(2) $100$ を $7$ 進法で表しなさい。

(3) $500$ を $3$ 進法で表すと何けたになるか求めなさい。

---

【解答】

(1) $2$ で割り続けます。

$$\begin{array}{r|l r} 2 & 100 & \cdots \ 0 \\ \hline 2 & 50 & \cdots \ 0 \\ \hline 2 & 25 & \cdots \ 1 \\ \hline 2 & 12 & \cdots \ 0 \\ \hline 2 & 6 & \cdots \ 0 \\ \hline 2 & 3 & \cdots \ 1 \\ \hline & 1 & \end{array}$$

商が $1$ になったら、その $1$ が最上位です。余りを下から読んで $\underline{1100100_{(2)}}$ です。（確かめ）$64$${}+ 32$${}+ 4$${}= 100$ です。

(2) $100$${}= 7 \cdot 14$${}+ 2$，$14$${}= 7 \cdot 2$${}+ 0$，$2$${}= 7 \cdot 0$${}+ 2$ なので、余りを下から読んで $\underline{202_{(7)}}$ です。（確かめ）$2 \cdot 49$${}+ 2$${}= 100$ です。

(3) $3$ の累乗は $3^4$${}= 81$，$3^5$${}= 243$，$3^6$${}= 729$ です。$243$${}\leqq 500$${}< 729$ なので $k$${}- 1$${}= 5$、すなわち $\underline{6 \ \text{けた}}$ です。（実際に変換すると $200112_{(3)}$ で、確かに $6$ けたです。）

n 進法の小数

$10$ 進法の小数 $0.37$ は、$\dfrac{3}{10}$${}+ \dfrac{7}{100}$ のことでした。小数点から右へ進むと、位の重みが $\dfrac{1}{10}$ 倍ずつ小さくなるという約束です。$n$ 進法でも同じように考えます。

公式4：n 進法の小数

$n$ 進法の小数 $0.b_1 b_2 b_3 \cdots{}_{(n)}$ は

$\displaystyle \dfrac{b_1}{n}$$\displaystyle {}+ \dfrac{b_2}{n^2}$$\displaystyle {}+ \dfrac{b_3}{n^3}$$\displaystyle {}+ \cdots$

を表す。逆に $10$ 進法の小数を $n$ 進法に直すには、小数部分に $n$ を掛け、出てきた整数部分を上の位から順に取り出す操作を、小数部分が $0$ になるまでくり返す。

$0.1101_{(2)}$ を $10$ 進法にしてみます。$2$ 進法の小数の位の重みは $\dfrac{1}{2}$${}= 0.5$，$\dfrac{1}{4}$${}= 0.25$，$\dfrac{1}{8}$${}= 0.125$，$\dfrac{1}{16}$${}= 0.0625$ なので

$\displaystyle 0.1101_{(2)}$$\displaystyle {}= 0.5$$\displaystyle {}+ 0.25$$\displaystyle {}+ 0.0625$$\displaystyle {}= 0.8125$

です。逆に $0.8125$ を $2$ 進法に直すときは、$2$ を掛けていきます。

$$\begin{aligned} 0.8125 \times 2 &= 1.625 &&\rightarrow\ 1 \\ 0.625 \times 2 &= 1.25 &&\rightarrow\ 1 \\ 0.25 \times 2 &= 0.5 &&\rightarrow\ 0 \\ 0.5 \times 2 &= 1.0 &&\rightarrow\ 1 \end{aligned}$$

整数部分を上から読んで $0.1101_{(2)}$ に戻りました。整数部分を取り出したら、残った小数部分だけに次の $2$ を掛けるのがこつです。

正方形の紙を半分に折ると $\dfrac{1}{2}$、もう一度折ると $\dfrac{1}{4}$、その次は $\dfrac{1}{8}$ の大きさになります。$2$ 進法の小数は、「半分に折った紙を使うか、使わないか」を順に $1$ と $0$ で答えたものです。$0.8125$ なら、半分（$0.5$）を使い、その半分（$0.25$）も使い、次（$0.125$）は使わず、その次（$0.0625$）を使う、と答えていることになります。$10$ 進法で小数第4位まで必要だった数が、$2$ 進法では $4$ けたできれいに終わるのは、$0.8125$ がちょうど「折った紙の組み合わせ」で作れる数だからです。

ただし、どんな小数でもぴたりと終わるわけではありません。$10$ 進法では有限小数の $0.1$ も、$2$ 進法では $0.000110011\ldots_{(2)}$ と無限に続きます。どんなときに有限小数になるかは、この章の厳密定義で扱います。

$n$ 進法の小数も位の重みが $\dfrac{1}{n}$ 倍ずつになるだけで、整数のときと考え方は同じだということです。

例題3：小数の変換

(1) $0.203_{(5)}$ を $10$ 進法で表しなさい。

(2) $0.3125$ を $2$ 進法で表しなさい。

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【解答】

(1) 位の重みは $\dfrac{1}{5},$$\ \dfrac{1}{25},$$\ \dfrac{1}{125}$ です。

$\displaystyle 0.203_{(5)}$$\displaystyle {}= \dfrac{2}{5}$$\displaystyle {}+ \dfrac{0}{25}$$\displaystyle {}+ \dfrac{3}{125}$$\displaystyle {}= \dfrac{50 + 0 + 3}{125}$$\displaystyle {}= \dfrac{53}{125}$$\displaystyle {}= \underline{0.424}$

(2) 小数部分に $2$ を掛けていきます。

$$\begin{aligned} 0.3125 \times 2 &= 0.625 &&\rightarrow\ 0 \\ 0.625 \times 2 &= 1.25 &&\rightarrow\ 1 \\ 0.25 \times 2 &= 0.5 &&\rightarrow\ 0 \\ 0.5 \times 2 &= 1.0 &&\rightarrow\ 1 \end{aligned}$$

上から読んで $\underline{0.0101_{(2)}}$ です。（確かめ）$\dfrac{1}{4}$${}+ \dfrac{1}{16}$${}= 0.25$${}+ 0.0625$${}= 0.3125$ です。

n 進法のままで計算する

$10$ 進法に直さずに、$n$ 進法のまま筆算することもできます。やり方は $10$ 進法の筆算と同じで、「くり上がる（くり下がる）タイミング」だけが変わります。

公式5：n 進法の四則計算

$n$ 進法の筆算では、各位の計算結果が $n$ 以上になったら $n$ を引いて上の位へ $1$ くり上げ、引き算で足りないときは上の位から $1$ を借りて $n$ を足す。

たとえば $2$ 進法では

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= 10_{(2)},$$\displaystyle 1$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= 11_{(2)}$

となる。

$1011_{(2)}$${}+ 1101_{(2)}$ を筆算でやってみます。右の位から $1$${}+ 1$${}= 10_{(2)}$ なので $0$ を書いて $1$ くり上がり、次の位は $1$${}+ 0$${}+ 1$${}= 10_{(2)}$ でまた $0$ を書いて $1$ くり上がり……と進みます。

$$\begin{array}{r} 1011 \\ +\ 1101 \\ \hline 11000 \end{array}$$

$10$ 進法で確かめると $11$${}+ 13$${}= 24$ で、$11000_{(2)}$${}= 16$${}+ 8$${}= 24$ です。合っています。

車の走行距離計は、いちばん右の数字が $9$ から $1$ 進むと $0$ に戻り、左どなりの数字が $1$ 増えます。これが $10$ 進法のくり上がりです。もし数字が $0$ から $4$ までしか書かれていない計器があれば、$4$ の次で $0$ に戻って左が $1$ 増える、つまり $5$ 進法の計器になります。くり上がりの位置が変わるだけで、計算のしくみは何も変わりません。

$n$ 進法のまま計算するか、$10$ 進法に直してから計算して最後に戻すかは、どちらでもかまいません。けたの多い掛け算は、$10$ 進法に直したほうが速いことが多いです。

$n$ 進法の筆算は $10$ 進法とまったく同じ手順で、くり上がりが「$10$ で」ではなく「$n$ で」起こるだけだということです。

例題4：n 進法の計算

次の計算をしなさい。答えもその $n$ 進法で表すこと。

(1) $1101_{(2)}$${}- 110_{(2)}$　　(2) $101_{(2)} \times 11_{(2)}$　　(3) $234_{(5)}$${}+ 143_{(5)}$

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【解答】

(1) $10$ 進法では $13$${}- 6$${}= 7$ です。$7$${}= 4$${}+ 2$${}+ 1$ なので

$$\underline{111_{(2)}}$$

です。筆算でも、右から2番目の位で $0$${}- 1$ ができないので上の位から $1$ を借り、$10_{(2)}$${}- 1$${}= 1$ として同じ答えになります。

(2) $11_{(2)}$${}= 1 \cdot 2$${}+ 1$ なので、$101_{(2)} \times 11_{(2)}$${}= 101_{(2)} \times 2$${}+ 101_{(2)}$ です。$2$ 倍は $10$ 進法で $10$ 倍するのと同じく、右に $0$ を1つ付けて $1010_{(2)}$ ですから

$\displaystyle 1010_{(2)}$$\displaystyle {}+ 101_{(2)}$$\displaystyle {}= \underline{1111_{(2)}}$

です。（確かめ）$5 \times 3$${}= 15$ で、$1111_{(2)}$${}= 8$${}+ 4$${}+ 2$${}+ 1$${}= 15$ です。

(3) 右の位から $4$${}+ 3$${}= 7$${}= 5$${}+ 2$ なので $2$ を書いて $1$ くり上がります。次の位は $3$${}+ 4$${}+ 1$${}= 8$${}= 5$${}+ 3$ で $3$ を書いて $1$ くり上がり、最上位は $2$${}+ 1$${}+ 1$${}= 4$ です。よって

$$\underline{432_{(5)}}$$

です。（確かめ）$234_{(5)}$${}= 69$，$143_{(5)}$${}= 48$ で $69$${}+ 48$${}= 117$、$432_{(5)}$${}= 4 \cdot 25$${}+ 3 \cdot 5$${}+ 2$${}= 117$ です。

底や数字を求める問題

最後に、底 $n$ や各位の数字のほうが分からない問題を考えます。公式1 の形に書き下して、方程式として解くのが基本です。このとき、各位の数字は $0$ 以上 $n$${}- 1$ 以下という条件を忘れないことが大切です。この条件が、答えを1つにしぼる決め手になります。

例題5：底や数字を求める

(1) $34_{(n)}$${}= 25$ となる底 $n$ を求めなさい。

(2) ある自然数を $7$ 進法で表すと $ab_{(7)}$ となり、$9$ 進法で表すと数字の順が入れかわって $ba_{(9)}$ となる。この自然数を求めなさい。

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【解答】

(1) $34_{(n)}$${}= 3n$${}+ 4$ なので

$\displaystyle 3n$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}= 25,$$\displaystyle n$$\displaystyle {}= 7$

です。数字 $4$ を使っているので $n$${}\geqq 5$ でなければなりませんが、$n$${}= 7$ はこれを満たします。よって $\underline{n = 7}$ です。

(2) $7$ 進法でも $9$ 進法でも数字として使えるので、$a$，$b$ は $0$ 以上 $6$ 以下の整数です。どちらも $2$ けたなので $a$${}\neq 0$，$b$${}\neq 0$ です。

$\displaystyle 7a$$\displaystyle {}+ b$$\displaystyle {}= 9b$$\displaystyle {}+ a$

より $6a$${}= 8b$、すなわち $3a$${}= 4b$ です。$3$ と $4$ は互いに素なので、$a$ は $4$ の倍数です（第1章 厳密定義 定理5(2)）。$1$${}\leqq a$${}\leqq 6$ より $a$${}= 4$ で、このとき $b$${}= 3$ です。求める自然数は

$\displaystyle 7 \cdot 4$$\displaystyle {}+ 3$$\displaystyle {}= \underline{31}$

です。（確かめ）$31$${}= 9 \cdot 3$${}+ 4$ なので $9$ 進法では $34_{(9)}$ となり、確かに数字が入れかわっています。

この章では、数の書き表し方が $10$ 進法だけではないこと、そしてどの底を選んでも同じ数を過不足なく表せることを見てきました。とくに $n$ で割った余りが最下位の数字になるという関係は、公式3 の土台であり、次の第5章で学ぶ「余りに注目して整数を分類する」考え方へまっすぐつながります。