第2章　極形式と積・商

距離と向きで点を表す

第1章では、複素数 $a$${}+ bi$ を「実軸方向に $a$、虚軸方向に $b$」進んだ点として表しました。同じ点は、「原点からどれだけ離れているか」と「どの向きにあるか」の2つでも決められます。距離は第1章の絶対値 $|z|$ です。向きは、三角比と三角関数 第5章の一般角と同じように、実軸の正の向きから反時計回りに測った角で表します。

公式1：偏角と極形式

$0$ でない複素数 $z$${}= a$${}+ bi$ について、$r$${}= |z|$${}= \sqrt{a^2 + b^2}$ とする。実軸の正の部分から、原点 $\mathrm{O}$ と点 $z$ を結ぶ線分まで測った角 $\theta$ を $z$ の偏角といい、$\arg z$ で表す。このとき $a$${}= r\cos\theta$，$b$${}= r\sin\theta$ なので

$\displaystyle z$$\displaystyle {}= r(\cos\theta + i\sin\theta)$

と表せる。これを $z$ の極形式という。

• 偏角の1つを $\theta$ とすると、$\theta$${}+ 2n\pi$（$n$ は整数）もすべて $z$ の偏角である。この分野では、とくに断らない限り $0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$ の範囲で1つ選ぶ。
• $0$ の偏角は定めない。

$\sqrt{3}$${}+ i$ で確かめましょう。まず $r$${}= \sqrt{3 + 1}$${}= 2$ です。偏角 $\theta$ は、$\cos\theta$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\theta$${}= \dfrac{1}{2}$ を満たす角なので $\theta$${}= \dfrac{\pi}{6}$ です。よって

$\displaystyle \sqrt{3}$$\displaystyle {}+ i$$\displaystyle {}= 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$

となります。

$\cos\theta$${}= \dfrac{a}{r}$，$\sin\theta$${}= \dfrac{b}{r}$ という式は、三角関数 第6章で学んだ単位円の点 $\mathrm{P}(\cos\theta,\ \sin\theta)$ を $r$ 倍したものです。点 $z$ を原点に向かって縮め、原点からの距離を $1$ にした点が、単位円の上の点 $\mathrm{P}$ に当たります。極形式は、「単位円の点を $r$ 倍した点」という読み方ができるのです。

偏角を求めるときは、$\tan\theta$${}= \dfrac{b}{a}$ だけで決めないようにします。たとえば $1$${}+ i$ と $-1$${}- i$ はどちらも $\dfrac{b}{a}$${}= 1$ ですが、偏角は $\dfrac{\pi}{4}$ と $\dfrac{5}{4}\pi$ で、向きが正反対です。「点を打つ → $r$ を求める → $\cos\theta$，$\sin\theta$ の値と象限から $\theta$ を決める」の順に進めると迷いません。三角関数 第11章の合成で、点 $(a,\ b)$ から角を読んだのと同じ手順です。

待ち合わせ場所を人に教えるとき、「駅から東へ $300$ m、北へ $400$ m」と言うこともできますし、「駅から北東よりの方向へまっすぐ $500$ m」と言うこともできます。前者が $a$${}+ bi$ の書き方、後者が極形式の書き方です。どちらでも同じ場所にたどり着けますが、この章で見るように、かけ算をするときは後者のほうがずっと便利になります。

極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ は、点を「原点からの距離 $r$」と「実軸から測った角 $\theta$（偏角）」で表す書き方だということです。

例題1：極形式への変換

(1) 偏角 $\theta$ を $0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$ として、次の複素数を極形式で表しなさい。

　① $1$${}- i$　② $-2\sqrt{3}$${}+ 2i$　③ $-3i$

(2) $4\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right)$ を $a$${}+ bi$ の形で表しなさい。

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【解答】

(1)

① $r$${}= \sqrt{1 + 1}$${}= \sqrt{2}$ です。$\cos\theta$${}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin\theta$${}= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で、点 $(1,\ -1)$ は第4象限にあるので $\theta$${}= \dfrac{7}{4}\pi$ です。

$\displaystyle 1$$\displaystyle {}- i$$\displaystyle {}= \underline{\sqrt{2}\left(\cos\frac{7}{4}\pi + i\sin\frac{7}{4}\pi\right)}$

② $r$${}= \sqrt{12 + 4}$${}= 4$ です。$\cos\theta$${}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\theta$${}= \dfrac{1}{2}$ なので $\theta$${}= \dfrac{5}{6}\pi$ です。

$\displaystyle -2\sqrt{3}$$\displaystyle {}+ 2i$$\displaystyle {}= \underline{4\left(\cos\frac{5}{6}\pi + i\sin\frac{5}{6}\pi\right)}$

③ $r$${}= 3$ です。$\cos\theta$${}= 0$，$\sin\theta$${}= -1$ なので $\theta$${}= \dfrac{3}{2}\pi$ です。

$\displaystyle -3i$$\displaystyle {}= \underline{3\left(\cos\frac{3}{2}\pi + i\sin\frac{3}{2}\pi\right)}$

① は $-\dfrac{\pi}{4}$ も偏角の1つですが、$0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$ の範囲で答えるので $\dfrac{7}{4}\pi$ にします。③ のように虚軸上の点は、図を思い浮かべれば偏角がすぐに読めます。

(2) $\cos\dfrac{4}{3}\pi$${}= -\dfrac{1}{2}$，$\sin\dfrac{4}{3}\pi$${}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので

$\displaystyle 4\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}-2}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}- 2\sqrt{3}\,i}$

です。

極形式の形にそろえる

極形式には決まった形があります。見た目が似ていても、形がそろっていない式は極形式とは呼びません。

公式2：極形式の形にそろえる

極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ は、次の4つがそろった形である。

① $r$${}> 0$　② 実部が $\cos$、虚部が $\sin$　③ 2か所の角が同じ　④ 間の符号がプラス

そろっていないときは、三角関数の性質を使って直す。

$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle {}- i\sin\theta$$\displaystyle {}= \cos(-\theta)$$\displaystyle {}+ i\sin(-\theta)$$\displaystyle -(\cos\theta + i\sin\theta)$$\displaystyle {}= \cos(\theta + \pi)$$\displaystyle {}+ i\sin(\theta + \pi)$$\displaystyle \sin\theta$$\displaystyle {}+ i\cos\theta$$\displaystyle {}= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$$\displaystyle {}+ i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$

特に $z$${}= r(\cos\theta + i\sin\theta)$ のとき

$\displaystyle \overline{z}$$\displaystyle {}= r\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\},$$\displaystyle -z$$\displaystyle {}= r\{\cos(\theta + \pi) + i\sin(\theta + \pi)\}$

である。

3本の式は、三角関数 第6章の公式4・公式5（$-\theta$，$\theta$${}+ \pi$，$\dfrac{\pi}{2}$${}- \theta$ の公式）を当てはめただけです。たとえば1本目は、$\cos(-\theta)$${}= \cos\theta$，$\sin(-\theta)$${}= -\sin\theta$ から出てきます。

$2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} - i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ は極形式にそっくりですが、④ がマイナスです。値を計算すると $1$${}- \sqrt{3}\,i$ で、この点は第4象限にあります。偏角は $\dfrac{\pi}{3}$ ではなく $-\dfrac{\pi}{3}$（$0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$ で選ぶなら $\dfrac{5}{3}\pi$）です。「見た目の角をそのまま偏角と読まない」ことが大切です。

共役と $-z$ の式は、第1章 公式2 の図と一致します。$\overline{z}$ は実軸に関して対称な点なので、角が上下反対の $-\theta$ になります。$-z$ は原点に関して対称な点なので、ちょうど半周まわった $\theta$${}+ \pi$ の向きです。どちらも原点からの距離 $r$ は変わりません。

役所に出す書類は、決まった欄に決まった書き方で記入しないと受けつけてもらえません。中身が同じでも、名前の欄に住所を書いたら差し戻されます。極形式も、「$r$ は正、$\cos$ が前で $\sin$ に $i$、角は2か所同じ、間はプラス」という書式を守ってはじめて、$r$ と $\theta$ を「距離」「偏角」として読めるのです。

極形式は「$r$${}> 0$、$\cos$ と $i\sin$、同じ角、プラス」の書式で書き、崩れているときは $-\theta$，$\theta$${}+ \pi$，$\dfrac{\pi}{2}$${}- \theta$ の公式で直すということです。

例題2：極形式の形に直す

$0$${}< \theta$${}< \dfrac{\pi}{2}$ とし、偏角は $\theta$ を用いた式で書くものとします。次の複素数を、それぞれ極形式で表しなさい。

(1) $-\cos\theta$${}+ i\sin\theta$　(2) $-2(\sin\theta + i\cos\theta)$

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【解答】

(1) 実部が $-\cos\theta$、虚部が $\sin\theta$ です。$\cos(\pi - \theta)$${}= -\cos\theta$，$\sin(\pi - \theta)$${}= \sin\theta$ なので

$\displaystyle -\cos\theta$$\displaystyle {}+ i\sin\theta$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}\cos(\pi - \theta)}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.0000em}{}+ i\sin(\pi - \theta)}$

です。点は第2象限にあり、点 $\cos\theta$${}+ i\sin\theta$ と虚軸に関して対称な位置です。

(2) まず $-2$${}= 2 \times (-1)$ と分けて、$r$${}= 2$${}> 0$ にします。かっこの中は公式2の3本目で

$\displaystyle \sin\theta$$\displaystyle {}+ i\cos\theta$$\displaystyle {}= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$$\displaystyle {}+ i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$

です。これに $-1$ をかけると、公式2の2本目より角が $\pi$ だけ増えるので

$\displaystyle {-2}(\sin\theta + i\cos\theta)$$\displaystyle {}= \underline{2\biggl\{\cos\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)}$$\displaystyle \qquad \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}{}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.95em]{0em}{2.4000em}{}+ i\sin\left(\frac{3}{2}\pi - \theta\right)\biggr\}}$

です。

（確かめ）加法定理で $\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi - \theta\right)$${}= -\sin\theta$，$\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi - \theta\right)$${}= -\cos\theta$ となり、元の式と一致します。

直す順番は「$r$ の符号を片づける → $\cos$ と $\sin$ の位置を合わせる → 符号を合わせる」です。1つずつ片づければ、どんな形でも極形式にできます。

かけ算は「長さはかけ算、角は足し算」

極形式のいちばんの使いどころが、かけ算です。

公式3：積の極形式

$z_1$${}= r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2$${}= r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき

$\displaystyle z_1 z_2$$\displaystyle {}= r_1 r_2\bigl\{\cos(\theta_1 + \theta_2)$$\displaystyle {}\qquad + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\bigr\}$

である。したがって

$\displaystyle |z_1 z_2|$$\displaystyle {}= |z_1||z_2|,$$\displaystyle \arg(z_1 z_2)$$\displaystyle {}= \arg z_1$$\displaystyle {}+ \arg z_2$

が成り立つ（偏角の等式は、$2\pi$ の整数倍の違いを除いて成り立つ）。

かっこの部分を展開して、実部と虚部に分けます。

$\displaystyle (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$$\displaystyle {}= (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2)$$\displaystyle {}+ i(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2)$$\displaystyle {}= \cos(\theta_1 + \theta_2)$$\displaystyle {}+ i\sin(\theta_1 + \theta_2)$

2行目は、三角比と三角関数 第9章の加法定理そのものです。$\cos$ は「仲間どうし・逆符号」、$\sin$ は「たすき掛け・同符号」で、展開した形とぴったり重なります。

$z_1$${}= \sqrt{3}$${}+ i$，$z_2$${}= 1$${}+ \sqrt{3}\,i$ で確かめましょう。$z_1$${}= 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$，$z_2$${}= 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ なので、公式3 から

$\displaystyle z_1 z_2$$\displaystyle {}= 4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$\displaystyle {}= 4i$

です。展開すると $\left(\sqrt{3} + i\right)\left(1 + \sqrt{3}\,i\right)$${}= \sqrt{3}$${}+ 3i$${}+ i$${}- \sqrt{3}$${}= 4i$ で、たしかに一致します。

第1章 公式8 で、$|z_1 z_2|$${}= |z_1||z_2|$（長さはかけ算）を学びました。公式3 は、そこに「角は足し算」を加えて、かけ算の全体像を完成させたものです。

第1章では、写真アプリのズームを重ねると倍率がかけ算になる、という話をしました。写真アプリには「回転」ボタンもあります。$2$ 倍にズームして $30^\circ$ 回し、さらに $3$ 倍にズームして $45^\circ$ 回すと、写真は元の $6$ 倍の大きさで、$75^\circ$ 回った向きになります。倍率はかけ算、回した角は足し算です。複素数 $z_2$ をかけることは、この「ズーム $r_2$ 倍と回転 $\theta_2$」を1回で行う操作なのです。

極形式どうしのかけ算は、絶対値をかけ、偏角を足すだけで済むということです。

例題3：積の極形式

(1) $z_1$${}= 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$，$z_2$${}= 4\left(\cos\dfrac{5}{6}\pi + i\sin\dfrac{5}{6}\pi\right)$ のとき、$z_1 z_2$ を極形式で表しなさい。また、$a$${}+ bi$ の形でも表しなさい。

(2) $\left(\sqrt{3} + i\right)(1 + i)$ を、展開する方法と極形式を使う方法の2通りで計算することにより、$\cos\dfrac{5}{12}\pi$ と $\sin\dfrac{5}{12}\pi$ の値を求めなさい。

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【解答】

(1) 絶対値をかけ、偏角を足します。$2 \times 4$${}= 8$，$\dfrac{\pi}{3}$${}+ \dfrac{5}{6}\pi$${}= \dfrac{7}{6}\pi$ なので

$\displaystyle z_1 z_2$$\displaystyle {}= \underline{8\left(\cos\frac{7}{6}\pi + i\sin\frac{7}{6}\pi\right)}$

です。$\cos\dfrac{7}{6}\pi$${}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{7}{6}\pi$${}= -\dfrac{1}{2}$ より、$z_1 z_2$${}= \underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}-4\sqrt{3}}$$\underline{\rule[-0.1328em]{0em}{1.0400em}{}- 4i}$ です。

（確かめ）$z_1$${}= 1$${}+ \sqrt{3}\,i$，$z_2$${}= -2\sqrt{3}$${}+ 2i$ を展開すると、$-2\sqrt{3}$${}+ 2i$${}- 6i$${}- 2\sqrt{3}$${}= -4\sqrt{3}$${}- 4i$ です。

(2) 展開すると

$\displaystyle \left(\sqrt{3} + i\right)(1 + i)$$\displaystyle {}= \sqrt{3}$$\displaystyle {}+ \sqrt{3}\,i$$\displaystyle {}+ i$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= \left(\sqrt{3} - 1\right)$$\displaystyle {}+ \left(\sqrt{3} + 1\right)i$

です。一方、$\sqrt{3}$${}+ i$${}= 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$，$1$${}+ i$${}= \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ なので、$\dfrac{\pi}{6}$${}+ \dfrac{\pi}{4}$${}= \dfrac{5}{12}\pi$ より

$\displaystyle \left(\sqrt{3} + i\right)(1 + i)$$\displaystyle {}= 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{5}{12}\pi + i\sin\frac{5}{12}\pi\right)$

です。2つの結果の実部と虚部を比べて

$\displaystyle \cos\frac{5}{12}\pi$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}},$$\displaystyle \sin\frac{5}{12}\pi$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$

です。三角関数 第9章で加法定理から求めた値と同じになりました。加法定理を覚えていなくても、複素数のかけ算を1回すれば取り出せます。

割り算は「長さは割り算、角は引き算」

かけ算の逆である割り算は、操作も逆になります。

公式4：商の極形式

$z_1$${}= r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2$${}= r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2}$$\displaystyle {}= \frac{r_1}{r_2}\bigl\{\cos(\theta_1 - \theta_2)$$\displaystyle {}\qquad + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\bigr\}$

である。したがって $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$${}= \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$，$\arg\dfrac{z_1}{z_2}$${}= \arg z_1$${}- \arg z_2$ が成り立つ。特に、$z$${}= r(\cos\theta + i\sin\theta)$ のとき

$\displaystyle \frac{1}{z}$$\displaystyle {}= \frac{1}{r}\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\}$

である。

公式3 で $\theta_1$${}= \theta$，$\theta_2$${}= -\theta$ とすると

$\displaystyle (\cos\theta + i\sin\theta)\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\}$$\displaystyle {}= \cos 0$$\displaystyle {}+ i\sin 0$$\displaystyle {}= 1$

です。つまり $\cos\theta$${}+ i\sin\theta$ の逆数は $\cos(-\theta)$${}+ i\sin(-\theta)$ です。$z_2$ で割ることは、$\dfrac{1}{r_2}\{\cos(-\theta_2) + i\sin(-\theta_2)\}$ をかけることと同じなので、公式3 により絶対値は $\dfrac{r_1}{r_2}$、偏角は $\theta_1$${}+ (-\theta_2)$${}= \theta_1$${}- \theta_2$ になります。

$\dfrac{1}{z}$ と $\overline{z}$（公式2）は、どちらも偏角が $-\theta$ で、向きが同じです。違うのは距離だけで、$\overline{z}$ は $r$、$\dfrac{1}{z}$ は $\dfrac{1}{r}$ です。これは第1章の $\dfrac{1}{z}$${}= \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$ を、図で読んだものになっています。

動画を巻き戻すと、進んだ場面が逆の順に戻っていきます。$z_2$ をかけることが「$r_2$ 倍に拡大して $\theta_2$ だけ回す」再生だとすれば、$z_2$ で割ることは、それを巻き戻して「$\dfrac{1}{r_2}$ 倍に縮めて $-\theta_2$ だけ回す」ことです。かけてから割れば、元の場面にぴったり戻ります。

割り算は、絶対値を割り、偏角を引けばよく、$\dfrac{1}{z}$ は $\overline{z}$ と同じ向きで距離が $\dfrac{1}{r}$ の点だということです。

例題4：商の極形式

(1) $\dfrac{1 + \sqrt{3}\,i}{\sqrt{3} + i}$ を極形式で表し、さらに $a$${}+ bi$ の形で表しなさい。

(2) $z$${}= 2\left(\cos\dfrac{2}{5}\pi + i\sin\dfrac{2}{5}\pi\right)$ のとき、$\dfrac{1}{z}$ と $\overline{z}$ を、偏角 $\theta$ を $0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$ として、それぞれ極形式で表しなさい。

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【解答】

(1) $1$${}+ \sqrt{3}\,i$${}= 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$，$\sqrt{3}$${}+ i$${}= 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ です。絶対値は $\dfrac{2}{2}$${}= 1$、偏角は $\dfrac{\pi}{3}$${}- \dfrac{\pi}{6}$${}= \dfrac{\pi}{6}$ なので

$\displaystyle \frac{1 + \sqrt{3}\,i}{\sqrt{3} + i}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}\cos\frac{\pi}{6}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{1.7936em}{}+ i\sin\frac{\pi}{6}}$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.686em]{0em}{2.2702em}{}+ \frac{1}{2}i}$

です。

（確かめ）分母の共役 $\sqrt{3}$${}- i$ を分母・分子にかけると、$\dfrac{\left(1 + \sqrt{3}\,i\right)\left(\sqrt{3} - i\right)}{4}$${}= \dfrac{2\sqrt{3} + 2i}{4}$ で一致します。

(2) 公式4 より、$\dfrac{1}{z}$ の絶対値は $\dfrac{1}{2}$、偏角は $-\dfrac{2}{5}\pi$ です。$0$${}\leqq \theta$${}< 2\pi$ に入れるため $2\pi$ を足すと $\dfrac{8}{5}\pi$ なので

$\displaystyle \frac{1}{z}$$\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}\left(\cos\frac{8}{5}\pi + i\sin\frac{8}{5}\pi\right)}$

です。公式2 より、$\overline{z}$ は絶対値 $2$、偏角 $-\dfrac{2}{5}\pi$ なので

$\displaystyle \overline{z}$$\displaystyle {}= \underline{2\left(\cos\frac{8}{5}\pi + i\sin\frac{8}{5}\pi\right)}$

です。

$\dfrac{2}{5}\pi$ のように $\cos$，$\sin$ の値がすぐに分からない角でも、極形式なら偏角の計算だけで答えが出せます。

複素数をかけると点が回る

公式3 を「点の動き」として読み直します。

公式5：原点を中心とする回転

$w$${}= r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とする。点 $z$ に $w$ をかけた点 $wz$ は、点 $z$ を原点のまわりに $\theta$ だけ回転し、原点からの距離を $r$ 倍した点である。特に

• $\cos\theta$${}+ i\sin\theta$ をかけると、原点のまわりに $\theta$ だけ回転する（距離は変わらない）
• $i$ をかけると $\dfrac{\pi}{2}$，$-1$ をかけると $\pi$，$-i$ をかけると $-\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転する

$z$${}= \rho(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ とすると、公式3 から $wz$${}= r\rho\{\cos(\varphi + \theta) + i\sin(\varphi + \theta)\}$ です。距離が $\rho$ から $r\rho$ に、偏角が $\varphi$ から $\varphi$${}+ \theta$ に変わります。これが「$\theta$ 回して $r$ 倍」の意味です。$\theta$${}> 0$ なら反時計回り、$\theta$${}< 0$ なら時計回りに回ります（三角関数 第5章の一般角と同じ向きの約束です）。

$i$${}= \cos\dfrac{\pi}{2}$${}+ i\sin\dfrac{\pi}{2}$ なので、$i$ をかけると $\dfrac{\pi}{2}$ 回ります。たとえば $2$${}+ i$ に $i$ をかけると $-1$${}+ 2i$ で、点 $(2,\ 1)$ が点 $(-1,\ 2)$ に移ります。$i$ を2回かけると $\dfrac{\pi}{2}$ の回転を2回、つまり $\pi$ の回転で、これは第1章 公式2 の「$-\alpha$ は原点に関して対称」と同じです。$i^2$${}= -1$ という式は、「4分の1回転を2回すると半回転」と言いかえられるのです。

三角関数 第9章 j18 で、点 $(x,\ y)$ を原点のまわりに $\theta$ だけ回転した点が $(x\cos\theta - y\sin\theta,\ x\sin\theta + y\cos\theta)$ になることを示しました。$(x + yi)(\cos\theta + i\sin\theta)$ を展開すると、実部と虚部がちょうどこの2つになります。複素数を使うと、あの回転の公式が「かけ算1回」で書けてしまいます。

体育の授業の号令を思い出してください。「左向け左」で体の向きが $90^\circ$ 左（反時計回り）に回り、「回れ右」で $180^\circ$ 回ります。$i$ をかけるのは「左向け左」、$-1$ をかけるのは「回れ右」です。「左向け左」を2回続けると、「回れ右」と同じ向きになります。これが $i \times i$${}= -1$ です。

絶対値 $1$ の複素数 $\cos\theta$${}+ i\sin\theta$ をかけることは、原点のまわりに $\theta$ だけ回すことで、$i$ をかけると $\dfrac{\pi}{2}$ 回るということです。

例題5：原点のまわりの回転

(1) 点 $4$${}+ 2i$ を、原点のまわりに $\dfrac{\pi}{6}$ だけ回転した点を表す複素数を求めなさい。

(2) 原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{A}(2 + 2i)$ に対して、三角形 $\mathrm{OAB}$ が正三角形となるような点 $\mathrm{B}$ を表す複素数をすべて求めなさい。

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【解答】

(1) $\cos\dfrac{\pi}{6}$${}+ i\sin\dfrac{\pi}{6}$${}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$${}+ \dfrac{1}{2}i$ をかけます。

$\displaystyle (4 + 2i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)$$\displaystyle {}= 2\sqrt{3}$$\displaystyle {}+ 2i$$\displaystyle {}+ \sqrt{3}\,i$$\displaystyle {}- 1$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.65em]{0em}{1.8000em}\left(2\sqrt{3} - 1\right)}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.65em]{0em}{1.8000em}{}+ \left(2 + \sqrt{3}\right)i}$

(2) 正三角形なので $\mathrm{OB}$${}= \mathrm{OA}$，$\angle \mathrm{AOB}$${}= \dfrac{\pi}{3}$ です。点 $\mathrm{B}$ は、点 $\mathrm{A}$ を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{3}$ または $-\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転した点です。

$\dfrac{\pi}{3}$ 回転するときは

$\displaystyle (2 + 2i)\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ \sqrt{3}\,i$$\displaystyle {}+ i$$\displaystyle {}- \sqrt{3}$$\displaystyle {}= \left(1 - \sqrt{3}\right)$$\displaystyle {}+ \left(1 + \sqrt{3}\right)i$

$-\dfrac{\pi}{3}$ 回転するときは

$\displaystyle (2 + 2i)\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}- \sqrt{3}\,i$$\displaystyle {}+ i$$\displaystyle {}+ \sqrt{3}$$\displaystyle {}= \left(1 + \sqrt{3}\right)$$\displaystyle {}+ \left(1 - \sqrt{3}\right)i$

よって $\underline{\rule[-0.35em]{0em}{1.2572em}\mathrm{B} = \left(1 - \sqrt{3}\right)}$$\underline{\rule[-0.35em]{0em}{1.2572em}{}+ \left(1 + \sqrt{3}\right)i,}$$\underline{\rule[-0.35em]{0em}{1.2572em}\ \left(1 + \sqrt{3}\right)}$$\underline{\rule[-0.35em]{0em}{1.2572em}{}+ \left(1 - \sqrt{3}\right)i}$ です。

正三角形の問題は「回転の向きが2通り」あることを忘れないようにします。2つの答えは、直線 $\mathrm{OA}$ をはさんで反対側にあります。

原点以外の点を中心とする回転

公式5 の回転の中心は原点でした。中心が別の点のときは、第1章の平行移動と組み合わせます。

公式6：点 $\alpha$ を中心とする回転

点 $\mathrm{A}(\alpha)$ を中心として、点 $\mathrm{B}(\beta)$ を $\theta$ だけ回転した点を $\mathrm{C}(\gamma)$ とすると

$\displaystyle \gamma$$\displaystyle {}- \alpha$$\displaystyle {}= (\beta - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)$

すなわち

$\displaystyle \gamma$$\displaystyle {}= (\beta - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)$$\displaystyle {}+ \alpha$

である。

3つの手順に分けると分かりやすくなります。

1. 全体を $-\alpha$ だけ平行移動して、中心 $\mathrm{A}$ を原点に運ぶ。点 $\mathrm{B}$ は点 $\beta$${}- \alpha$ に移る。
2. 原点のまわりに $\theta$ だけ回す（公式5）。点 $\beta$${}- \alpha$ は点 $(\beta - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)$ に移る。
3. 全体を $+\alpha$ だけ平行移動して、中心を元の位置に戻す。

平行移動では点どうしの位置関係が変わらないので、この3つの手順で「$\mathrm{A}$ を中心とする回転」ができあがります。第1章 公式3 で見たように、$\beta$${}- \alpha$ は「$\mathrm{A}$ から見た $\mathrm{B}$ の位置」、$\gamma$${}- \alpha$ は「$\mathrm{A}$ から見た $\mathrm{C}$ の位置」です。公式6 は「$\mathrm{A}$ から見た位置を $\theta$ だけ回す」と読むこともできます。

分度器で角を測るときは、まず分度器の中心の印を角の頂点にぴったり合わせます。中心がずれていると、目盛りを正しく読めません。点 $\alpha$ を中心に回すときに $-\alpha$ の平行移動をするのは、回転の「分度器」の中心である原点を、点 $\alpha$ に合わせる作業に当たります。

点 $\alpha$ を中心とする回転は、「$\alpha$ を原点に運ぶ → 原点のまわりに回す → 元に戻す」の3手順で、式は $\gamma$${}- \alpha$${}= (\beta - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)$ になるということです。

例題6：点を中心とする回転

(1) 正方形 $\mathrm{ABCD}$ の頂点は、この順に反時計回りに並んでいます。$\mathrm{A}(1 + i)$，$\mathrm{B}(4 + 2i)$ のとき、頂点 $\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ を表す複素数を、それぞれ求めなさい。

(2) 点 $2$${}+ 3i$ を、点 $1$ を中心として $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転した点を表す複素数を求めなさい。

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【解答】

(1) 頂点が反時計回りに並ぶので、点 $\mathrm{D}$ は、点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心として $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転した点です。$\mathrm{D}(\delta)$ とすると、公式6 で $\cos\dfrac{\pi}{2}$${}+ i\sin\dfrac{\pi}{2}$${}= i$ なので

$\displaystyle \delta$$\displaystyle {}- (1 + i)$$\displaystyle {}= \{(4 + 2i) - (1 + i)\}\,i$$\displaystyle {}= (3 + i)i$$\displaystyle {}= -1$$\displaystyle {}+ 3i$

よって $\delta$${}= (1 + i)$${}+ (-1 + 3i)$${}= \underline{4i}$ です。

点 $\mathrm{C}$ は、点 $\mathrm{D}$ を $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動と同じだけ平行移動した点です（第1章 公式3）。

$\displaystyle 4i$$\displaystyle {}+ (3 + i)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}3}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}+ 5i}$

（確かめ）点 $\mathrm{A}$ を点 $\mathrm{B}$ を中心として $-\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転しても、$\{(1 + i) - (4 + 2i)\}(-i)$${}+ (4 + 2i)$${}= (-3 - i)(-i)$${}+ 4$${}+ 2i$${}= 3$${}+ 5i$ となり、同じ点 $\mathrm{C}$ が得られます。

(2) 中心は $\alpha$${}= 1$ です。$\cos\dfrac{\pi}{4}$${}+ i\sin\dfrac{\pi}{4}$${}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$ なので、公式6 より

$\displaystyle \gamma$$\displaystyle {}= \{(2 + 3i) - 1\} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + 3i)(1 + i)$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= \frac{\sqrt{2}}{2}(-2 + 4i)$$\displaystyle {}+ 1$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.65em]{0em}{1.8000em}\left(1 - \sqrt{2}\right)}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.65em]{0em}{1.8000em}{}+ 2\sqrt{2}\,i}$

です。

最後の「$+1$」を忘れると、原点のまわりの回転と区別がつかなくなります。中心を戻すところまでが1セットです。

この章のまとめ

極形式で見た複素数の計算と、複素数平面での意味を並べておきます。$z$${}= r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とします。

同じ数を何回もかけるとどうなるでしょうか。公式3 をくり返すと、$z$ を $n$ 回かけた $z^n$ は、絶対値が $r^n$、偏角が $n\theta$ になりそうです。第3章では、これをド・モアブルの定理として確かめ、$z^n$${}= 1$ を満たす複素数（1 の $n$ 乗根）が、単位円の上に正多角形の頂点として並ぶことを見ていきます。第1章 j18 に出てきた $w$${}= \dfrac{1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ は $\cos\dfrac{\pi}{3}$${}+ i\sin\dfrac{\pi}{3}$ なので、$w^3$ は「$\dfrac{\pi}{3}$ 回転を3回」で $-1$ になります。