第1章　複素数平面

複素数を点で表す

数と式 第11章では、複素数 $a$${}+ bi$（$a$，$b$ は実数）の計算を学びました。実数なら数直線の上に1つの点として並べられますが、複素数には実部 $a$ と虚部 $b$ という2つの実数があります。2つの数で位置が決まるものといえば、座標平面の点 $(a,\ b)$ です。

公式1：複素数平面

座標平面の点 $(a,\ b)$ に複素数 $a$${}+ bi$ を対応させると、すべての複素数を平面上の点で表せる。このように複素数を表した平面を複素数平面（ガウス平面）という。

• $x$ 軸を実軸、$y$ 軸を虚軸という。原点 $\mathrm{O}$ は複素数 $0$ を表す。
• 実数 $a$ は実軸上の点、純虚数 $bi$（$b$${}\neq 0$）は原点を除く虚軸上の点で表される。

点 $\mathrm{P}$ が複素数 $\alpha$ を表すとき $\mathrm{P}(\alpha)$ と書き、点 $\mathrm{P}(\alpha)$ を単に点 $\alpha$ ともいう。

たとえば $3$${}+ 2i$ は、実軸方向に $3$、虚軸方向に $2$ 進んだ点 $(3,\ 2)$ です。$-2$${}+ i$ は点 $(-2,\ 1)$、$-3$${}- 2i$ は点 $(-3,\ -2)$ を表します。虚部が $0$ の複素数、つまり実数は、虚軸方向に進まないので実軸の上に並びます。これまで使ってきた数直線は、複素数平面の実軸そのものです。

数と式 第11章の相等「$a$${}+ bi$${}= c$${}+ di$${}\iff a$${}= c$ かつ $b$${}= d$」は、複素数平面では「同じ点を表す」という意味になります。実部と虚部の組が決まれば点が1つに決まり、逆に点が決まれば複素数が1つに決まるのです。

電車は線路の上しか走れません。前へ進むか後ろへ戻るか、動ける向きは1つだけです。実数は、この線路に並んだ駅のようなものでした。一方、広場を歩く人は、前後に加えて左右にも動けます。複素数平面は、線路（実軸）のまわりに広場を広げ、「横にどれだけ・縦にどれだけ」の2つで場所を決められるようにしたものです。

複素数 $a$${}+ bi$ を座標平面の点 $(a,\ b)$ として表したものが複素数平面で、実数は実軸上、純虚数は虚軸上に並ぶということです。

例題1：点の位置

(1) 次の複素数を表す点が、第何象限にあるか、または実軸上・虚軸上のどちらにあるかを求めなさい。

　① $2$${}- 3i$　② $-4$${}+ i$　③ $5i$　④ $-1$

(2) $a$ を実数とします。複素数 $z$${}= (a - 3)$${}+ (2a + 4)i$ を表す点が虚軸上にあるときと、実軸上にあるときの、$a$ の値と $z$ をそれぞれ求めなさい。

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【解答】

(1) 実部を横の位置、虚部を縦の位置として読みます。

① 点 $(2,\ -3)$ なので $\underline{\text{第4象限}}$ です。

② 点 $(-4,\ 1)$ なので $\underline{\text{第2象限}}$ です。

③ 点 $(0,\ 5)$ なので $\underline{\text{虚軸上}}$ です。

④ 点 $(-1,\ 0)$ なので $\underline{\text{実軸上}}$ です。

(2) $a$ は実数なので、実部は $a$${}- 3$、虚部は $2a$${}+ 4$ です。

虚軸上にあるのは、実部が $0$ のときです。$a$${}- 3$${}= 0$ より $a$${}= 3$ で、このとき $z$${}= 10i$ です。

実軸上にあるのは、虚部が $0$ のときです。$2a$${}+ 4$${}= 0$ より $a$${}= -2$ で、このとき $z$${}= -5$ です。

よって $\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\text{虚軸上は} \ a = 3,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ z = 10i，\ \text{実軸上は} \ a = -2,}$$\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8777em}\ z = -5}$ です。

共役な複素数と対称な点

数と式 第11章で学んだ共役な複素数 $\overline{\alpha}$ や、符号を変えた $-\alpha$ は、複素数平面ではきれいな位置関係になります。

公式2：共役な複素数と $-\alpha$ の位置

$\alpha$${}= a$${}+ bi$ とする。複素数平面上で

• 点 $\overline{\alpha}$${}= a$${}- bi$ は、点 $\alpha$ と実軸に関して対称
• 点 $-\alpha$${}= -a$${}- bi$ は、点 $\alpha$ と原点に関して対称
• 点 $-\overline{\alpha}$${}= -a$${}+ bi$ は、点 $\alpha$ と虚軸に関して対称

である。

$\alpha$${}= 3$${}+ 2i$ で確かめましょう。$\overline{\alpha}$${}= 3$${}- 2i$ は点 $(3,\ -2)$ で、点 $(3,\ 2)$ を実軸で折り返した位置です。$-\alpha$${}= -3$${}- 2i$ は点 $(-3,\ -2)$ で、原点をはさんでちょうど反対側にあります。$-\overline{\alpha}$${}= -3$${}+ 2i$ は点 $(-3,\ 2)$、つまり虚軸で折り返した位置です。

実軸上の点は、実軸で折り返しても動きません。これは第11章の「$\alpha$ が実数 $\iff \overline{\alpha}$${}= \alpha$」を、図の上で言いかえたものです。

風のない晴れた朝、富士五湖などの湖面には、富士山が逆さまに映る「逆さ富士」が現れます。湖面を境にして、本物の山頂は上に、映った山頂は下に、同じだけ離れて並びます。複素数平面では実軸が湖面の役で、点 $\alpha$ と点 $\overline{\alpha}$ は「本物と逆さ富士」の関係です。横の位置（実部）はそのままで、高さ（虚部）だけが上下反対になります。

$\overline{\alpha}$ は実軸、$-\alpha$ は原点、$-\overline{\alpha}$ は虚軸に関して、点 $\alpha$ と対称な点を表すということです。

例題2：対称な点を表す複素数

$\alpha$${}= -2$${}+ 5i$ とします。点 $\alpha$ を次の (1)〜(3) に関して対称移動した点を表す複素数を、それぞれ求めなさい。

(1) 実軸　(2) 原点　(3) 虚軸

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【解答】

(1) 実軸に関して対称な点は $\overline{\alpha}$ なので、$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}-2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}- 5i}$ です。

(2) 原点に関して対称な点は $-\alpha$ なので、$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}- 5i}$ です。

(3) 虚軸に関して対称な点は $-\overline{\alpha}$ なので、$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}+ 5i}$ です。

(3) は「実部の符号だけを変える」と覚えてもかまいません。実軸で折り返してから原点に関して対称移動すると、虚軸で折り返したのと同じ位置に来ることも、$-\overline{\alpha}$ という形から読みとれます。

足し算・引き算と平行移動

複素数の足し算は、実部どうし・虚部どうしを足すだけでした。これを複素数平面で見ると、点の「移動」になります。

公式3：加法・減法と点の移動

$\alpha$${}= a$${}+ bi$，$\beta$${}= c$${}+ di$ とする。

• 点 $\alpha$${}+ \beta$${}= (a + c)$${}+ (b + d)i$ は、点 $\alpha$ を実軸方向に $c$、虚軸方向に $d$ だけ平行移動した点である。
• 3点 $\mathrm{O}$，$\alpha$，$\beta$ が一直線上にないとき、4点 $\mathrm{O}$，$\alpha$，$\alpha$${}+ \beta$，$\beta$ は平行四辺形の頂点になる。
• 点 $\alpha$${}- \beta$ は、点 $\beta$ から点 $\alpha$ へ向かう矢印を、始点が原点 $\mathrm{O}$ に来るように平行移動したときの終点である。

$\alpha$${}= 3$${}+ i$，$\beta$${}= 1$${}+ 2i$ で確かめましょう。$\alpha$${}+ \beta$${}= 4$${}+ 3i$ です。原点から点 $\beta$ へは「右へ $1$、上へ $2$」進みます。同じ「右へ $1$、上へ $2$」を点 $\alpha$ から行うと、たどり着くのが点 $\alpha$${}+ \beta$ です。原点 → $\alpha$ → $\alpha$${}+ \beta$ と進んでも、原点 → $\beta$ → $\alpha$${}+ \beta$ と進んでも同じ点に着くので、4点は平行四辺形をつくります。

引き算は $\alpha$${}- \beta$${}= \alpha$${}+ (-\beta)$ と考えます。$\alpha$${}- \beta$${}= 2$${}- i$ は「右へ $2$、下へ $1$」で、これは点 $\beta$ から点 $\alpha$ への移動そのものです。つまり $\alpha$${}- \beta$ は「$\beta$ から見た $\alpha$ の位置」を表します。数直線で「$5$ から $8$ へは $8$${}- 5$${}= 3$ だけ進む」と、「行き先 $-$ 出発点」で計算したのと同じ考え方です。

ボードゲームには「右へ3マス、上へ2マス進む」のような移動カードがあります。同じカードを使えば、どのマスから出発しても、進む向きと道のりは変わりません。複素数 $\beta$${}= c$${}+ di$ を足すことは、「右へ $c$、上へ $d$」のカードを使うことに当たります。どの点に足しても、同じ向きに同じだけずれるのです。

$\beta$ を足すと点は $\beta$ の分だけ平行移動し、$\alpha$${}- \beta$ は点 $\beta$ から点 $\alpha$ への移動を表すということです。

例題3：平行移動と平行四辺形

(1) 点 $z$ を実軸方向に $-3$、虚軸方向に $2$ だけ平行移動すると、点 $1$${}+ 4i$ になりました。$z$ を求めなさい。

(2) 3点 $\mathrm{A}(1 + i)$，$\mathrm{B}(4 + 2i)$，$\mathrm{C}(2 + 5i)$ に対して、四角形 $\mathrm{ABCD}$ が平行四辺形となるような点 $\mathrm{D}$ を表す複素数を求めなさい。

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【解答】

(1) 実軸方向に $-3$、虚軸方向に $2$ の平行移動は、$-3$${}+ 2i$ を足すことです。

$\displaystyle z$$\displaystyle {}+ (-3 + 2i)$$\displaystyle {}= 1$$\displaystyle {}+ 4i$

よって $z$${}= (1 + 4i)$${}- (-3 + 2i)$${}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}4}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}+ 2i}$ です。

(2) 点 $\mathrm{D}$ を表す複素数を $\delta$ とします。四角形 $\mathrm{ABCD}$ が平行四辺形なので、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動と、$\mathrm{D}$ から $\mathrm{C}$ への移動は同じです。

$\displaystyle (4 + 2i)$$\displaystyle {}- (1 + i)$$\displaystyle {}= (2 + 5i)$$\displaystyle {}- \delta$

よって

$\displaystyle \delta$$\displaystyle {}= (2 + 5i)$$\displaystyle {}- (4 + 2i)$$\displaystyle {}+ (1 + i)$$\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}-1}$$\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}+ 4i}$

です。

（確かめ）$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ へは $3$${}+ i$、$\mathrm{D}$ から $\mathrm{C}$ へは $(2 + 5i)$${}- (-1 + 4i)$${}= 3$${}+ i$ で一致します。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ は $\mathrm{A}$${}\to \mathrm{B}$${}\to \mathrm{C}$${}\to \mathrm{D}$ の順に頂点を回ります。向かい合う辺 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{DC}$ で、矢印の向きをそろえて比べるのがコツです。

実数倍と一直線上の点

足し算の次は、実数をかけることを考えます。

公式4：実数倍と、3点が一直線上にある条件

$\alpha$${}\neq 0$ とし、$k$ を実数とする。点 $k\alpha$ は、原点 $\mathrm{O}$ と点 $\alpha$ を通る直線上にある。$k$${}> 0$ なら $\mathrm{O}$ から見て $\alpha$ と同じ側に、$k$${}< 0$ なら反対側にあり、$\mathrm{O}$ からの距離は $\mathrm{O}$ と $\alpha$ の距離の $|k|$ 倍である。

したがって、$\alpha$${}\neq 0$ のとき、3点 $\mathrm{O}$，$\alpha$，$\beta$ が一直線上にあるのは

$\displaystyle \beta$$\displaystyle {}= k\alpha$

となる実数 $k$ があるとき、またそのときに限る。

また、3点 $\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$（$\alpha$${}\neq \beta$）が一直線上にあるのは

$\displaystyle \gamma$$\displaystyle {}- \alpha$$\displaystyle {}= k(\beta - \alpha)$

となる実数 $k$ があるとき、またそのときに限る。

$\alpha$${}= a$${}+ bi$ に実数 $k$ をかけると $k\alpha$${}= ka$${}+ kbi$ で、点 $(ka,\ kb)$ になります。たとえば $\alpha$${}= 2$${}+ i$ なら、$2\alpha$${}= 4$${}+ 2i$，$\dfrac{1}{2}\alpha$${}= 1$${}+ \dfrac{1}{2}i$，$-\alpha$${}= -2$${}- i$ は、どれも横と縦の比が $2 : 1$ のままです。そのため、中学で学んだ比例のグラフ $y$${}= \dfrac{1}{2}x$、つまり原点と点 $(2,\ 1)$ を通る直線の上に並びます。

3点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ の場合は、公式3の引き算を使います。$\beta$${}- \alpha$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動、$\gamma$${}- \alpha$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{C}$ への移動です。点 $\mathrm{A}$ を原点まで平行移動して考えれば、「$\mathrm{C}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある」ことは「$\mathrm{A}$ から $\mathrm{C}$ への移動が、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動の実数倍になっている」ことと同じです。

原点に端を留めたゴムひもの先を、点 $\alpha$ に結んだとしましょう。引っぱって伸ばせば $k$${}> 1$、ゆるめて縮めれば $0$${}< k$${}< 1$、原点の反対側へ回して引けば $k$${}< 0$ の点 $k\alpha$ に届きます。どれだけ伸び縮みさせても、ゴムひもは原点と $\alpha$ を通る1本の直線から外れません。実数倍では向きの軸が変わらず、長さと表裏だけが変わるのです。

実数倍 $k\alpha$ は原点と点 $\alpha$ を通る直線上の点で、3点が一直線上にあることは「移動を表す複素数が実数倍になっている」ことで表せるということです。

例題4：3点が一直線上にある条件

次の条件を満たす実数 $a$ の値を、それぞれ求めなさい。

(1) 3点 $\mathrm{O}$，$2$${}- i$，$a$${}+ 3i$ が一直線上にある。

(2) 3点 $\mathrm{A}(1 + 2i)$，$\mathrm{B}(3 + i)$，$\mathrm{C}(a - i)$ が一直線上にある。

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【解答】

(1) $2$${}- i$${}\neq 0$ なので、$a$${}+ 3i$${}= k(2 - i)$ となる実数 $k$ があればよいです。

$\displaystyle a$$\displaystyle {}+ 3i$$\displaystyle {}= 2k$$\displaystyle {}- ki$

$a$，$k$ は実数なので、実部と虚部を比べて $a$${}= 2k$，$3$${}= -k$ です。$k$${}= -3$ より $\underline{a = -6}$ です。

(2) $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{C}$ への移動を表す複素数は

$\displaystyle (3 + i)$$\displaystyle {}- (1 + 2i)$$\displaystyle {}= 2$$\displaystyle {}- i,$$\displaystyle (a - i)$$\displaystyle {}- (1 + 2i)$$\displaystyle {}= (a - 1)$$\displaystyle {}- 3i$

です。$(a - 1)$${}- 3i$${}= k(2 - i)$${}= 2k$${}- ki$ となる実数 $k$ があればよいので、実部と虚部を比べて $a$${}- 1$${}= 2k$，$-3$${}= -k$ です。$k$${}= 3$ より $\underline{a = 7}$ です。

（確かめ）$a$${}= 7$ のとき、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{C}$ への移動は $6$${}- 3i$${}= 3(2 - i)$ で、たしかに $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動の $3$ 倍です。

「$k$ は実数」とおくから、実部と虚部を別々に比べられます。数と式 第11章の相等で確かめた条件と同じです。

絶対値

数と式 第3章では、数直線上で原点からの距離を絶対値 $|a|$ と呼びました。複素数平面でも同じように定めます。

公式5：複素数の絶対値

原点 $\mathrm{O}$ と点 $\alpha$ の距離を、複素数 $\alpha$ の絶対値といい、$|\alpha|$ で表す。$\alpha$${}= a$${}+ bi$ のとき

$\displaystyle |\alpha|$$\displaystyle {}= |a + bi|$$\displaystyle {}= \sqrt{a^2 + b^2}$

である。また、次が成り立つ。

$\displaystyle |\alpha|^2$$\displaystyle {}= \alpha\overline{\alpha},$$\displaystyle |\overline{\alpha}|$$\displaystyle {}= |-\alpha|$$\displaystyle {}= |\alpha|$

特に $|\alpha|$${}= 0$${}\iff \alpha$${}= 0$ である。

点 $(a,\ b)$ と原点の距離は、横の長さ $|a|$、縦の長さ $|b|$ の直角三角形の斜辺です。三平方の定理から $\sqrt{a^2 + b^2}$ になります。$b$${}= 0$ の実数 $a$ なら $\sqrt{a^2}$${}= |a|$ となり、数と式 第3章の絶対値とぴったり一致します。複素数の絶対値は、実数の絶対値をそのまま平面に広げたものです。

$|\alpha|^2$${}= a^2$${}+ b^2$ は、数と式 第11章 公式3 の $\alpha\overline{\alpha}$${}= a^2$${}+ b^2$ と同じ式です。また、$\overline{\alpha}$ と $-\alpha$ は点 $\alpha$ と対称な位置にあるので（公式2）、原点からの距離は変わりません。第11章の小話で、交流回路の $3$${}+ 4j$ の大きさを $5$ Ω と計算したのが、まさにこの絶対値です。

$|3 + 4i|$${}= 5$ は、$3$${}+ 4$${}= 7$ ではありません。実部と虚部の絶対値をそのまま足すのではなく、2乗して足してから $\sqrt{\ }$ をとります。

公園の入口から、東へ $12$ m、北へ $5$ m の場所にベンチがあるとします。歩道に沿って歩けば $17$ m ですが、芝生を斜めに横切れば $13$ m で着きます。絶対値は、この「まっすぐ測った距離」のほうです。

$|a + bi|$${}= \sqrt{a^2 + b^2}$ は原点からのまっすぐな距離で、$|\alpha|^2$${}= \alpha\overline{\alpha}$ として共役な複素数とも結びつくということです。

例題5：絶対値の計算

(1) 次の複素数の絶対値を、それぞれ求めなさい。

　① $-5$${}+ 12i$　② $3$${}- i$　③ $-4i$

(2) $|a + 2i|$${}= 2\sqrt{5}$ を満たす実数 $a$ の値を求めなさい。

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【解答】

(1)

① $|-5 + 12i|$${}= \sqrt{(-5)^2 + 12^2}$${}= \sqrt{169}$${}= \underline{13}$

② $|3 - i|$${}= \sqrt{3^2 + (-1)^2}$${}= \underline{\sqrt{10}}$

③ $|-4i|$${}= \sqrt{0^2 + (-4)^2}$${}= \underline{4}$

③ は虚軸上で原点から $4$ 離れた点なので、図を思い浮かべればすぐに分かります。

(2) $a$ は実数なので $|a + 2i|$${}= \sqrt{a^2 + 4}$ です。両辺を2乗して

$\displaystyle a^2$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}= 20$$\displaystyle \text{より}$$\displaystyle a^2$$\displaystyle {}= 16$

よって $\underline{a = \pm 4}$ です。

絶対値の条件は、両辺を2乗して $\sqrt{\ }$ を外すと扱いやすくなります。

2点間の距離

原点からの距離が絶対値なら、2点の間の距離は引き算を使って表せます。

公式6：2点間の距離

2点 $\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$ の距離は

$\displaystyle \mathrm{AB}$$\displaystyle {}= |\beta - \alpha|$

である。$\alpha$${}= a$${}+ bi$，$\beta$${}= c$${}+ di$ のとき、$\mathrm{AB}$${}= \sqrt{(c - a)^2 + (d - b)^2}$ となる。

公式3で見たように、$\beta$${}- \alpha$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動を表します。2点をそろって $-\alpha$ だけ平行移動すると、$\mathrm{A}$ は原点 $\mathrm{O}$ に、$\mathrm{B}$ は点 $\beta$${}- \alpha$ に移ります。平行移動では2点の距離は変わらないので、$\mathrm{AB}$ は原点と点 $\beta$${}- \alpha$ の距離、つまり $|\beta - \alpha|$ です。$|\alpha - \beta|$${}= |-(\beta - \alpha)|$${}= |\beta - \alpha|$ なので、引く順番はどちらでもかまいません。

物差しで2点の間を測るときは、$0$ の目盛りを片方の点に合わせ、もう一方の点の目盛りを読みます。$-\alpha$ だけ平行移動するのは、点 $\mathrm{A}$ に物差しの $0$、つまり原点を合わせることに当たります。あとは原点からの距離（絶対値）を読めばよいのです。

2点 $\alpha$，$\beta$ の距離は、差の絶対値 $|\beta - \alpha|$ で計算できるということです。

例題6：三角形の形を調べる

3点 $\mathrm{A}(2 + i)$，$\mathrm{B}(5 + 3i)$，$\mathrm{C}(4i)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{ABC}$ は、どのような三角形かを求めなさい。

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【解答】

3辺の長さを、差の絶対値で求めます。

$\displaystyle \mathrm{AB}$$\displaystyle {}= |(5 + 3i) - (2 + i)|$$\displaystyle {}= |3 + 2i|$$\displaystyle {}= \sqrt{9 + 4}$$\displaystyle {}= \sqrt{13}$$\displaystyle \mathrm{AC}$$\displaystyle {}= |4i - (2 + i)|$$\displaystyle {}= |-2 + 3i|$$\displaystyle {}= \sqrt{4 + 9}$$\displaystyle {}= \sqrt{13}$$\displaystyle \mathrm{BC}$$\displaystyle {}= |4i - (5 + 3i)|$$\displaystyle {}= |-5 + i|$$\displaystyle {}= \sqrt{25 + 1}$$\displaystyle {}= \sqrt{26}$

$\mathrm{AB}$${}= \mathrm{AC}$ で、さらに $\mathrm{AB}^2$${}+ \mathrm{AC}^2$${}= 13$${}+ 13$${}= 26$${}= \mathrm{BC}^2$ です。三平方の定理の逆より $\angle \mathrm{A}$${}= 90^\circ$ なので、三角形 $\mathrm{ABC}$ は $\underline{\angle \mathrm{A} = 90^\circ \ \text{の直角二等辺三角形}}$ です。

3辺の長さが分かれば、二等辺三角形か、直角三角形かを判定できます。2乗の形 $\mathrm{AB}^2$${}= 13$ のまま比べると、根号の計算が省けます。

共役な複素数の性質

共役な複素数は、複素数平面で式を扱うときの便利な道具になります。性質をまとめておきましょう。

公式7：共役な複素数の性質

複素数 $\alpha$，$\beta$ について、次が成り立つ。

(1) $\overline{\alpha \pm \beta}$${}= \overline{\alpha}$${}\pm \overline{\beta}$，$\overline{\alpha\beta}$${}= \overline{\alpha}\,\overline{\beta}$，$\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}$${}= \dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$（$\beta$${}\neq 0$）

(2) $\overline{\overline{\alpha}}$${}= \alpha$

(3) $\alpha$ が実数 $\iff \overline{\alpha}$${}= \alpha$

(4) $\alpha$ が純虚数 $\iff \overline{\alpha}$${}= -\alpha$ かつ $\alpha$${}\neq 0$

(1) の和・差・積は、数と式 第11章の厳密定義（定理3）で証明しました。商は、$\gamma$${}= \dfrac{\alpha}{\beta}$ とおくと $\beta\gamma$${}= \alpha$ なので、両辺の共役をとって $\overline{\beta}\,\overline{\gamma}$${}= \overline{\alpha}$ です。$\beta$${}\neq 0$ なら $\overline{\beta}$${}\neq 0$ なので、$\overline{\gamma}$${}= \dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$ が得られます。

(2) は、実軸で2回折り返すと元に戻ることです。(3)(4) は $\alpha$${}= a$${}+ bi$ で確かめられます。$\overline{\alpha}$${}= \alpha$ は $a$${}- bi$${}= a$${}+ bi$、つまり $b$${}= 0$ のことです。$\overline{\alpha}$${}= -\alpha$ は $a$${}- bi$${}= -a$${}- bi$、つまり $a$${}= 0$ のことで、さらに $\alpha$${}\neq 0$ なら純虚数です。図でいえば、実軸上の点は実軸で折り返しても動かず、虚軸上の点は実軸で折り返すと原点に関して対称な点と重なります。

(3) を使うと、「$z$ が実数であること」を $z$${}= a$${}+ bi$ とおかずに、$\overline{z}$${}= z$ を示すだけで確かめられます。

ワープロの「一括置換」で、文書の中の $i$ をすべて $-i$ に置きかえたとします。共役をとるとは、まさにこの置換のことです。$i$ と $-i$ はどちらも2乗すると $-1$ になるので、計算の決まりは置換の前後で何も変わりません。そのため、計算を終えてから置換しても、先に置換してから計算しても、同じ結果になります。これが (1) の意味です。

共役をとる操作は和・差・積・商と順番を入れかえてよく、$\overline{\alpha}$${}= \alpha$ なら実数、$\overline{\alpha}$${}= -\alpha$（$\alpha$${}\neq 0$）なら純虚数と判定できるということです。

例題7：共役な複素数の利用

(1) $z$${}+ \overline{z}$${}= 4$，$z\overline{z}$${}= 13$ を満たす複素数 $z$ を求めなさい。

(2) $|z|$${}= 1$ のとき、$z$${}+ \dfrac{1}{z}$ は実数であることを示しなさい。

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【解答】

(1) $z$${}= a$${}+ bi$（$a$，$b$ は実数）とおくと、$z$${}+ \overline{z}$${}= 2a$，$z\overline{z}$${}= a^2$${}+ b^2$ です。

$\displaystyle 2a$$\displaystyle {}= 4,$$\displaystyle a^2$$\displaystyle {}+ b^2$$\displaystyle {}= 13$

より $a$${}= 2$，$b^2$${}= 9$ で、$b$${}= \pm 3$ です。よって $\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}z = 2}$$\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7428em}{}\pm 3i}$ です。

別の見方もできます。$z$ と $\overline{z}$ は、和が $4$、積が $13$ の2数なので、数と式 第11章 公式8 より $t^2$${}- 4t$${}+ 13$${}= 0$ の2つの解です。これを解くと $t$${}= 2$${}\pm 3i$ となり、同じ答えになります。

(2) $|z|$${}= 1$ より $z\overline{z}$${}= |z|^2$${}= 1$ です。$z$${}\neq 0$ なので、両辺を $z$ で割って

$\displaystyle \frac{1}{z}$$\displaystyle {}= \overline{z}$

です。よって $z$${}+ \dfrac{1}{z}$${}= z$${}+ \overline{z}$ となります。この共役をとると

$\displaystyle \overline{z + \overline{z}}$$\displaystyle {}= \overline{z}$$\displaystyle {}+ \overline{\overline{z}}$$\displaystyle {}= \overline{z}$$\displaystyle {}+ z$

で、元の数と等しいので、公式7 (3) より $z$${}+ \dfrac{1}{z}$ は実数です。（証明終）

「$|z|$${}= 1$ のとき $\dfrac{1}{z}$${}= \overline{z}$」は、この先の章でもくり返し使います。

積と商の絶対値

最後に、かけ算・割り算と絶対値の関係を調べます。

公式8：積と商の絶対値

複素数 $\alpha$，$\beta$ と正の整数 $n$ について

$\displaystyle |\alpha\beta|$$\displaystyle {}= |\alpha||\beta|,$$\displaystyle \left|\frac{\alpha}{\beta}\right|$$\displaystyle {}= \frac{|\alpha|}{|\beta|} \ \ (\beta \neq 0),$$\displaystyle |\alpha^n|$$\displaystyle {}= |\alpha|^n$

が成り立つ。一方、和については、一般に $|\alpha + \beta|$${}= |\alpha|$${}+ |\beta|$ は成り立たない。和や差の絶対値は、2乗して

$\displaystyle |\alpha + \beta|^2$$\displaystyle {}= (\alpha + \beta)\left(\overline{\alpha} + \overline{\beta}\right)$

のように計算する。

公式5と公式7を組み合わせると

$\displaystyle |\alpha\beta|^2$$\displaystyle {}= (\alpha\beta)\overline{(\alpha\beta)}$$\displaystyle {}= \alpha\beta\,\overline{\alpha}\,\overline{\beta}$$\displaystyle {}= (\alpha\overline{\alpha})(\beta\overline{\beta})$$\displaystyle {}= |\alpha|^2|\beta|^2$

です。$|\alpha\beta|$ も $|\alpha||\beta|$ も $0$ 以上なので、$|\alpha\beta|$${}= |\alpha||\beta|$ が得られます。商は $\beta \cdot \dfrac{\alpha}{\beta}$${}= \alpha$ にこの式を使えば $|\beta|\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|$${}= |\alpha|$ となり、累乗は積をくり返せば分かります。

たとえば $(1 + 2i)(2 - i)$${}= 4$${}+ 3i$ で、$|4 + 3i|$${}= 5$ です。一方、$|1 + 2i|$${}= |2 - i|$${}= \sqrt{5}$ なので、$|1 + 2i||2 - i|$${}= 5$ で一致します。

和のほうは、$\alpha$${}= 1$，$\beta$${}= i$ なら $|\alpha + \beta|$${}= |1 + i|$${}= \sqrt{2}$ ですが、$|\alpha|$${}+ |\beta|$${}= 2$ で、等しくありません。そこで2乗の形を展開します。

$\displaystyle |\alpha + \beta|^2$$\displaystyle {}= (\alpha + \beta)\left(\overline{\alpha} + \overline{\beta}\right)$$\displaystyle {}= |\alpha|^2$$\displaystyle {}+ |\beta|^2$$\displaystyle {}+ \left(\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta\right)$

最後のかっこは $\alpha\overline{\beta}$ とその共役 $\overline{\alpha}\beta$ の和なので、実数です。

写真アプリで画面を $2$ 倍にズームし、そこからさらに $3$ 倍にズームすると、元の $6$ 倍の大きさで見えます。倍率は、かけ算で重なっていきます。複素数のかけ算でも、大きさ（絶対値）はかけ算で重なります。$\alpha$ をかけると大きさが $|\alpha|$ 倍になり、$\beta$ をかけると $|\beta|$ 倍になるので、$\alpha\beta$ をかけると $|\alpha||\beta|$ 倍です。かけ算で点がどの向きに動くかは、第2章で学びます。

積の絶対値は絶対値の積、商の絶対値は絶対値の商なので、かけ算を実行しなくても大きさが分かり、和の絶対値は2乗して共役を使って計算するということです。

例題8：積と商の絶対値

(1) 次の値を、それぞれ求めなさい。

　① $|(3 + 4i)(1 - 2i)|$　② $|(1 + i)^6|$　③ $\left|\dfrac{2 - i}{1 + 3i}\right|$

(2) $|\alpha|$${}= 3$，$|\beta|$${}= 2$，$\alpha\overline{\beta}$${}+ \overline{\alpha}\beta$${}= 4$ のとき、$|\alpha + \beta|$ を求めなさい。

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【解答】

(1)

① $|(3 + 4i)(1 - 2i)|$${}= |3 + 4i||1 - 2i|$${}= 5 \times \sqrt{5}$${}= \underline{5\sqrt{5}}$

② $|(1 + i)^6|$${}= |1 + i|^6$${}= \left(\sqrt{2}\right)^6$${}= \underline{8}$

③ $\left|\dfrac{2 - i}{1 + 3i}\right|$${}= \dfrac{|2 - i|}{|1 + 3i|}$${}= \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$${}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$${}= \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

（確かめ）① を先に計算すると $(3 + 4i)(1 - 2i)$${}= 11$${}- 2i$ で、$|11 - 2i|$${}= \sqrt{125}$${}= 5\sqrt{5}$ です。② は $(1 + i)^2$${}= 2i$ より $(1 + i)^6$${}= (2i)^3$${}= -8i$ で、絶対値は $8$ です。

(2) 公式8 の2乗の形を使います。

$\displaystyle |\alpha + \beta|^2$$\displaystyle {}= |\alpha|^2$$\displaystyle {}+ |\beta|^2$$\displaystyle {}+ \left(\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta\right)$$\displaystyle {}= 9$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}+ 4$$\displaystyle {}= 17$

$|\alpha + \beta|$${}\geqq 0$ なので $\underline{|\alpha + \beta| = \sqrt{17}}$ です。

$\alpha$，$\beta$ そのものが分からなくても、絶対値と $\alpha\overline{\beta}$${}+ \overline{\alpha}\beta$ が分かれば、和の大きさが決まります。

この章のまとめ

複素数の計算と、複素数平面での意味を並べておきます。

足し算・引き算・実数倍は、点を「ずらす」「伸ばす」動きでした。まだ調べていないのは、複素数どうしのかけ算です。第2章では、点の位置を「原点からの距離（絶対値）」と「向き（偏角）」の2つで表す極形式を学び、かけ算が平面上でどんな動きになるかを明らかにします。公式8 の $|\alpha\beta|$${}= |\alpha||\beta|$ は、そこで「長さはかけ算、角は足し算」という形で完成します。