目次 ／ 微分積分 ／ 数学II

第9章　定積分と面積

—— 曲線で囲まれた図形の広さを、定積分で測る ——

第8章の定積分は、原始関数の「差」として決まる1つの数でした。この章では、その数が**曲線の下の面積**と結びつくことを確かめ、放物線や3次関数のグラフで囲まれた図形の面積を求めます。x 軸より下にある部分の扱い、2つの曲線ではさまれた部分の「上 − 下」、計算を一瞬で終わらせる **6分の1公式**、接線と囲まれた部分の求め方を順に身につけます。数学IIの微分積分はこの章でひと区切りです。次の第10章からは数学IIIに進み、極限の考え方を広げます。

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定積分と面積

第8章の図 fig01 で、「aa から xx までの定積分」を曲線の下の塗られた部分として描きました。ここで、そのつながりをきちんと確かめます。

aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b でつねに f(x)f(x)≧0{}\geqq 0 とします。曲線 yy=f(x){}= f(x) と xx 軸、直線 xx=a{}= a にはさまれた部分のうち、aa から xx までの面積を S(x)S(x) とおきます。xx を hh だけ増やすと、面積は幅 hh・高さほぼ f(x)f(x) の細い帯の分だけ増えるので

S(x+h)−S(x)h\displaystyle \frac{S(x + h) - S(x)}{h}≒f(x)\displaystyle {}\fallingdotseq f(x)

hh→0{}\to 0 とすると S′(x)S'(x)=f(x){}= f(x) です。つまり S(x)S(x) は f(x)f(x) の原始関数の1つで、S(a)S(a)=0{}= 0 なので S(x)=∫axf(t) dtS(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt となります（第8章 公式4と同じ形です）。xx=b{}= b とおくと、次の公式が得られます。

公式1：曲線と x 軸の間の面積

aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b でつねに f(x)f(x)≧0{}\geqq 0 のとき、曲線 yy=f(x){}= f(x) と xx 軸、2直線 xx=a{}= a，xx=b{}= b で囲まれた部分の面積 SS は

S\displaystyle S=∫abf(x) dx\displaystyle {}= \int_a^b f(x)\,dx
  • 放物線と xx 軸で囲まれた部分なら、xx 軸との交点（f(x)f(x)=0{}= 0 の解）が下端と上端になります。
  • 面積を求める問題では、まずグラフの概形（xx 軸との交点と、どちらが上か）を確かめます。

山小屋の壁で、上の辺が曲線の屋根に沿っている場面を考えましょう。この壁に板を張るとき、細い縦板を1枚ずつ並べていけば、曲がった部分もきれいに覆えます。板1枚の面積は「高さ × 幅」で、高さは屋根の曲線の高さ f(x)f(x) です。縦板をどんどん細くして全部を足し合わせたものが、定積分です。

グラフが xx 軸より上にあれば、曲線と xx 軸の間の面積は、交点や指定された xx を端とする定積分そのものだということです。

例題1：放物線と x 軸で囲まれた部分

放物線 yy=−x2{}= -x^2+2x{}+ 2x+3{}+ 3 と xx 軸で囲まれた部分の面積 SS を求めなさい。

【解答】

−x2-x^2+2x{}+ 2x+3{}+ 3=−(x+1)(x−3){}= -(x + 1)(x - 3) なので、放物線は xx=−1{}= -1，33 で xx 軸と交わり、−1-1≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3 では xx 軸より上にあります（上に凸の放物線です）。

S\displaystyle S=∫−13(−x2+2x+3) dx\displaystyle {}= \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)\,dx=[ −13x3+x2+3x ]−13\displaystyle {}= \Big[\,-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\,\Big]_{-1}^{3}=(−9+9+9)\displaystyle = (-9 + 9 + 9)−(13+1−3)\displaystyle {}- \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right)=9\displaystyle {}= 9+53\displaystyle {}+ \frac{5}{3}=323‾\displaystyle {}= \underline{\frac{32}{3}}

x 軸より下にある部分

f(x)f(x)≦0{}\leqq 0 の区間では、定積分 ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx は負の値になります。高さが負の細い長方形を足し合わせたことになるからです。面積は正の量なので、符号を反対にします。

公式2：x 軸より下にある部分の面積

aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b でつねに f(x)f(x)≦0{}\leqq 0 のとき、曲線 yy=f(x){}= f(x) と xx 軸、2直線 xx=a{}= a，xx=b{}= b で囲まれた部分の面積 SS は

S\displaystyle S=−∫abf(x) dx\displaystyle {}= -\int_a^b f(x)\,dx
  • 途中で f(x)f(x) の符号が変わるときは、xx 軸との交点で区間を分け、上にある部分はそのまま、下にある部分は符号を反対にして足します。
  • まとめて書くと S=∫ab∣f(x)∣ dxS = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx です（第8章で練習した絶対値の定積分と同じ計算です）。

地下にトンネルを掘る工事では、掘る場所の標高は海面より下、つまりマイナスで表されます。それでも、トラックで運び出す土の量をマイナスで数える人はいません。「どれだけ下にあるか」を正の量として数えます。xx 軸より下にある部分の面積も、定積分の値の符号をひっくり返して、正の量として数えます。

面積はいつも正なので、xx 軸より下の部分は定積分にマイナスをつけ、上下が入れかわるときは交点で区間を分けて足すということです。

例題2：符号が変わる場合

曲線 yy=x2{}= x^2−2x{}- 2x と xx 軸、直線 xx=3{}= 3 で囲まれた2つの部分の面積の和 SS を求めなさい。

【解答】

x2x^2−2x{}- 2x=x(x−2){}= x(x - 2) なので、00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では yy≦0{}\leqq 0，22≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3 では yy≧0{}\geqq 0 です。G(x)G(x)=13x3{}= \dfrac{1}{3}x^3−x2{}- x^2 とおくと

G(0)\displaystyle G(0)=0,\displaystyle {}= 0,G(2)\displaystyle G(2)=83\displaystyle {}= \frac{8}{3}−4\displaystyle {}- 4=−43,\displaystyle {}= -\frac{4}{3},G(3)\displaystyle G(3)=9\displaystyle {}= 9−9\displaystyle {}- 9=0\displaystyle {}= 0S\displaystyle S=−∫02(x2−2x) dx\displaystyle {}= -\int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx+∫23(x2−2x) dx\displaystyle {}+ \int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx=−(−43−0)\displaystyle {}= -\left(-\frac{4}{3} - 0\right)+{0−(−43)}\displaystyle {}+ \left\{0 - \left(-\frac{4}{3}\right)\right\}=43\displaystyle {}= \frac{4}{3}+43\displaystyle {}+ \frac{4}{3}=83‾\displaystyle {}= \underline{\frac{8}{3}}

※ 区間を分けずに ∫03(x2−2x) dx\displaystyle \int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx=G(3)\displaystyle {}= G(3)−G(0)\displaystyle {}- G(0)=0\displaystyle {}= 0 と計算すると、上の部分と下の部分が打ち消し合って 00 になってしまいます。第8章 公式3の「奇数次の項は 00」も同じしくみで、∫−11x3 dx\displaystyle \int_{-1}^{1} x^3\,dx=0\displaystyle {}= 0 でも、曲線 yy=x3{}= x^3 と xx 軸ではさまれた部分の面積は 2∫01x3 dx=122\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx = \dfrac{1}{2} です。

2つの曲線ではさまれた部分

aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b で f(x)f(x)≧g(x){}\geqq g(x) のとき、2つの曲線 yy=f(x){}= f(x)，yy=g(x){}= g(x) ではさまれた部分を考えます。縦に細く切ると、1本の帯の長さは「上の曲線の高さ − 下の曲線の高さ」です。

y x O −1 2 y = x + 2 y = x² 帯の長さ ＝ 上 − 下 ＝（x + 2）− x²
公式3：2曲線の間の面積

aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b でつねに f(x)f(x)≧g(x){}\geqq g(x) のとき、2曲線 yy=f(x){}= f(x)，yy=g(x){}= g(x) と2直線 xx=a{}= a，xx=b{}= b で囲まれた部分の面積 SS は

S\displaystyle S=∫ab{f(x)−g(x)} dx\displaystyle {}= \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx(上−下)\displaystyle (\text{上} - \text{下})
  • 2曲線だけで囲まれた部分なら、交点の xx 座標（f(x)f(x)=g(x){}= g(x) の解）が下端と上端になります。
  • 2曲線が xx 軸より下にあっても、xx 軸をまたいでいても、この式のままで使えます。
  • 途中で上下が入れかわるときは、交点で区間を分けます。

2人が階段に並んで立っているところを想像してください。兄が1段上に立っても、2人そろって2段上がっても、兄と妹の身長差は変わりません。帯の長さ「上 − 下」も同じで、2つの曲線がどれだけ高い所・低い所にあっても、差だけが問題になります。だから xx 軸の位置を気にせずに使えるのです。

2曲線ではさまれた部分の面積は、「上の式 − 下の式」を交点から交点まで定積分すればよく、xx 軸との位置関係は関係ないということです。

例題3：放物線と直線ではさまれた部分

放物線 yy=x2{}= x^2 と直線 yy=x{}= x+2{}+ 2 で囲まれた部分の面積 SS を求めなさい。

【解答】

交点の xx 座標は、x2x^2=x{}= x+2{}+ 2 より x2x^2−x{}- x−2{}- 2=(x+1)(x−2){}= (x + 1)(x - 2)=0{}= 0 で、xx=−1{}= -1，22 です。−1-1≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では直線が上にあります（xx=0{}= 0 で比べると 22>0{}> 0）。

S\displaystyle S=∫−12{(x+2)−x2} dx\displaystyle {}= \int_{-1}^{2} \{(x + 2) - x^2\}\,dx=[ 12x2+2x−13x3 ]−12\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3\,\Big]_{-1}^{2}=(2+4−83)\displaystyle = \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right)−(12−2+13)\displaystyle {}- \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right)=103\displaystyle {}= \frac{10}{3}+76\displaystyle {}+ \frac{7}{6}=92‾\displaystyle {}= \underline{\frac{9}{2}}

※ どちらが上かは、区間の中の1点（計算しやすい xx=0{}= 0 など）で2つの式の値を比べれば確かめられます。

6分の1公式で面積を求める

例題1・例題3のように、放物線と直線（または放物線どうし）で囲まれた部分では、「上 − 下」がいつも xx の2次式になり、交点の xx 座標 α\alpha，β\beta で 00 になります。そこで第8章 j17 で証明した式

∫αβ(x−α)(x−β) dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x - \beta)\,dx=−(β−α)36\displaystyle {}= -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6}

が、そのまま使えます。

公式4：6分の1公式による面積

放物線と直線、または2つの放物線が、xx=α{}= \alpha，β\beta（α\alpha<β{}< \beta）で交わるとき、それらで囲まれた部分の面積 SS は

S\displaystyle S=∣a∣6(β−α)3\displaystyle {}= \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3

ただし、aa は「上の式 − 下の式」の x2x^2 の係数である。

  • 「上 − 下」は α\alpha と β\beta の間で正なので、aa は負の数で、「上 − 下」=a(x−α)(x−β)= a(x - \alpha)(x - \beta)=−∣a∣(x−α)(x−β){}= -|a|(x - \alpha)(x - \beta) です。これを α\alpha から β\beta まで積分すると ∣a∣⋅(β−α)36|a| \cdot \dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6} になります。
  • 交点が 11±2{}\pm \sqrt{2} のような無理数でも、差 β\beta−α{}- \alpha だけわかれば計算できます。
  • 解答では、交点と上下関係を示してから公式を使いましょう。

電車の運賃は、乗った区間の長さで決まります。どの駅から乗ったかは関係なく、同じ距離なら同じ料金です。放物線と直線で囲まれた部分の面積も、交点の間の幅 β\beta−α{}- \alpha と、放物線の開き具合 ∣a∣|a| だけで決まります。放物線や直線がどこにあっても、この2つの数さえわかれば運賃表を見るように答えが出ます。

放物線と直線（放物線どうし）で囲まれた部分の面積は、「上 − 下」の x2x^2 の係数の絶対値と、交点の xx 座標の差だけで ∣a∣6(β−α)3\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3 と決まるということです。

例題4：2つの放物線で囲まれた部分

2つの放物線 yy=x2{}= x^2−2x{}- 2x，yy=−x2{}= -x^2+4{}+ 4 で囲まれた部分の面積 SS を求めなさい。

【解答】

交点の xx 座標は、x2x^2−2x{}- 2x=−x2{}= -x^2+4{}+ 4 より 2x22x^2−2x{}- 2x−4{}- 4=0{}= 0，つまり (x+1)(x−2)(x + 1)(x - 2)=0{}= 0 で、xx=−1{}= -1，22 です。xx=0{}= 0 で比べると −x2-x^2+4{}+ 4 のほうが大きいので、−1-1≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では yy=−x2{}= -x^2+4{}+ 4 が上にあります。

(上)\displaystyle (\text{上})−(下)\displaystyle {}- (\text{下})=(−x2+4)\displaystyle {}= (-x^2 + 4)−(x2−2x)\displaystyle {}- (x^2 - 2x)=−2x2\displaystyle {}= -2x^2+2x\displaystyle {}+ 2x+4\displaystyle {}+ 4=−2(x+1)(x−2)\displaystyle {}= -2(x + 1)(x - 2)S\displaystyle S=∫−12{−2(x+1)(x−2)} dx\displaystyle {}= \int_{-1}^{2} \{-2(x + 1)(x - 2)\}\,dx=2⋅{2−(−1)}36\displaystyle {}= 2 \cdot \frac{\{2 - (-1)\}^3}{6}=2⋅276\displaystyle {}= 2 \cdot \frac{27}{6}=9‾\displaystyle {}= \underline{9}

※ 例題1も −(x+1)(x−3)-(x + 1)(x - 3) なので 16⋅43\dfrac{1}{6} \cdot 4^3=323{}= \dfrac{32}{3}、例題3も −(x+1)(x−2)-(x + 1)(x - 2) なので 16⋅33\dfrac{1}{6} \cdot 3^3=92{}= \dfrac{9}{2} と、一瞬で確かめられます。

接線と囲まれた部分

放物線と、その接線で囲まれた部分を考えます。放物線 yy=ax2{}= ax^2+⋯{}+ \cdots の xx=α{}= \alpha における接線を引くと、第3章で見たように、「放物線 − 接線」は xx=α{}= \alpha で重解をもち、a(x−α)2a(x - \alpha)^2 の形になります。このときは展開せずに、(x−α)(x - \alpha) のかたまりのまま積分すると楽です。

公式5：(x − α)² の定積分
∫(x−α)2 dx\displaystyle \int (x - \alpha)^2\,dx=13(x−α)3\displaystyle {}= \frac{1}{3}(x - \alpha)^3+C\displaystyle {}+ C

とくに

∫αβ(x−α)2 dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \alpha)^2\,dx=(β−α)33,\displaystyle {}= \frac{(\beta - \alpha)^3}{3},∫αβ(x−β)2 dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \beta)^2\,dx=(β−α)33\displaystyle {}= \frac{(\beta - \alpha)^3}{3}
  • 13(x−α)3\dfrac{1}{3}(x - \alpha)^3 を展開して微分すると (x−α)2(x - \alpha)^2 に戻ります（第7章 j10）。
  • 「放物線 − 接線」=a(x−α)2= a(x - \alpha)^2 なので、接点を端とする区間ではこの式が使えます。
  • 2本の接線が出てくるときは、接線どうしの交点で区間を分けます。

巻き尺で長さを測るとき、ゼロの目盛りを端に合わせれば、読んだ値がそのまま答えになります。(x−α)(x - \alpha) のかたまりで積分するのは、巻き尺のゼロを接点 xx=α{}= \alpha に合わせることにあたります。xx=α{}= \alpha を代入すると 00 になるので、下端の計算がまるごと消えます。

放物線と接線の差は a(x−α)2a(x - \alpha)^2 の形になるので、展開せずに a3(x−α)3\dfrac{a}{3}(x - \alpha)^3 と積分し、接点で 00 になることを使えばよいということです。

例題5：放物線と接線で囲まれた部分

放物線 yy=x2{}= x^2 上の点 (2, 4)(2,\ 4) における接線を ℓ\ell とする。放物線と ℓ\ell、yy 軸で囲まれた部分の面積 SS を求めなさい。

【解答】

y′y'=2x{}= 2x より、接線の傾きは 44 です。ℓ\ell の方程式は yy−4{}- 4=4(x−2){}= 4(x - 2)，つまり yy=4x{}= 4x−4{}- 4 です。

x2\displaystyle x^2−(4x−4)\displaystyle {}- (4x - 4)=x2\displaystyle {}= x^2−4x\displaystyle {}- 4x+4\displaystyle {}+ 4=(x−2)2\displaystyle {}= (x - 2)^2≧0\displaystyle {}\geqq 0

なので、放物線が接線より上にあり、囲まれた部分は 00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 の範囲です。

S\displaystyle S=∫02(x−2)2 dx\displaystyle {}= \int_0^2 (x - 2)^2\,dx=[ 13(x−2)3 ]02\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}(x - 2)^3\,\Big]_0^2=0\displaystyle {}= 0−13(−2)3\displaystyle {}- \frac{1}{3}(-2)^3=83‾\displaystyle {}= \underline{\frac{8}{3}}

※ 展開して [ 13x3−2x2+4x ]02\Big[\,\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\,\Big]_0^2=83{}= \dfrac{8}{3}−8{}- 8+8{}+ 8=83{}= \dfrac{8}{3} としても同じですが、かたまりのまま積分すると上端の xx=2{}= 2 で 00 になり、計算が短くなります。

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

放物線 yy=x2{}= x^2 と xx 軸、2直線 xx=1{}= 1，xx=3{}= 3 で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

∫13x2 dx\displaystyle \int_1^3 x^2\,dx=[ 13x3 ]13\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}x^3\,\Big]_1^3=9\displaystyle {}= 9−13\displaystyle {}- \frac{1}{3}=263‾\displaystyle {}= \underline{\frac{26}{3}}

自己採点：
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問2

放物線 yy=−x2{}= -x^2+1{}+ 1 と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

交点は xx=±1{}= \pm 1。∫−11(1−x2) dx\displaystyle \int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx=2[ x−13x3 ]01\displaystyle {}= 2\Big[\,x - \frac{1}{3}x^3\,\Big]_0^1=43‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{3}}

自己採点：
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問3

放物線 yy=x2{}= x^2−4{}- 4 と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx 軸より下なので −∫−22(x2−4) dx\displaystyle -\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\,dx=−2[ 13x3−4x ]02\displaystyle {}= -2\Big[\,\frac{1}{3}x^3 - 4x\,\Big]_0^2=−2(83−8)\displaystyle {}= -2\left(\frac{8}{3} - 8\right)=323‾\displaystyle {}= \underline{\frac{32}{3}}

自己採点：
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問4

放物線 yy=x2{}= x^2 と直線 yy=x{}= x で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

交点は xx=0{}= 0，11 で、直線が上。∫01(x−x2) dx\displaystyle \int_0^1 (x - x^2)\,dx=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}−13\displaystyle {}- \frac{1}{3}=16‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{6}}

自己採点：
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問5

6分の1公式を用いて、放物線 yy=x2{}= x^2−3x{}- 3x と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

交点は xx=0{}= 0，33，x2x^2 の係数の絶対値は 11。16(3−0)3\dfrac{1}{6}(3 - 0)^3=92‾{}= \underline{\dfrac{9}{2}}

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

放物線 yy=x2{}= x^2+2{}+ 2 と xx 軸、2直線 xx=−1{}= -1，xx=2{}= 2 で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

99

解説

x2x^2+2{}+ 2>0{}> 0 なので、放物線はつねに xx 軸より上にあります。

∫−12(x2+2) dx\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 + 2)\,dx=[ 13x3+2x ]−12\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}x^3 + 2x\,\Big]_{-1}^{2}=(83+4)\displaystyle {}= \left(\frac{8}{3} + 4\right)−(−13−2)\displaystyle {}- \left(-\frac{1}{3} - 2\right)=203\displaystyle {}= \frac{20}{3}+73\displaystyle {}+ \frac{7}{3}=9‾\displaystyle {}= \underline{9}
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問2　★

放物線 yy=−x2{}= -x^2+3x{}+ 3x と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

92\dfrac{9}{2}

解説

−x2-x^2+3x{}+ 3x=−x(x−3){}= -x(x - 3) なので、xx 軸との交点は xx=0{}= 0，33 で、その間では xx 軸より上にあります。

∫03(−x2+3x) dx\displaystyle \int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx=[ −13x3+32x2 ]03\displaystyle {}= \Big[\,-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\,\Big]_0^3=−9\displaystyle {}= -9+272\displaystyle {}+ \frac{27}{2}=92‾\displaystyle {}= \underline{\frac{9}{2}}
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問3　★

放物線 yy=x2{}= x^2−4x{}- 4x+3{}+ 3 と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

43\dfrac{4}{3}

解説

x2x^2−4x{}- 4x+3{}+ 3=(x−1)(x−3){}= (x - 1)(x - 3) なので、11≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3 では xx 軸より下にあります。符号を反対にして

−∫13(x2−4x+3) dx\displaystyle {}-\int_1^3 (x^2 - 4x + 3)\,dx=−[ 13x3−2x2+3x ]13\displaystyle {}= -\Big[\,\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\,\Big]_1^3=−{(9−18+9)\displaystyle {}= -\biggl\{(9 - 18 + 9)−(13−2+3)}\displaystyle {}\qquad - \left(\frac{1}{3} - 2 + 3\right)\biggr\}=−(0−43)\displaystyle {}= -\left(0 - \frac{4}{3}\right)=43‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{3}}

（6分の1公式なら 16(3−1)3\dfrac{1}{6}(3 - 1)^3=43{}= \dfrac{4}{3} です。）

自己採点：
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問4　★

曲線 yy=x2{}= x^2−1{}- 1 と xx 軸、2直線 xx=0{}= 0，xx=2{}= 2 で囲まれた2つの部分の面積の和を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

22

解説

x2x^2−1{}- 1 は 00≦x{}\leqq x≦1{}\leqq 1 で 00 以下、11≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 で 00 以上です。G(x)G(x)=13x3{}= \dfrac{1}{3}x^3−x{}- x とおくと

G(0)\displaystyle G(0)=0,\displaystyle {}= 0,G(1)\displaystyle G(1)=−23,\displaystyle {}= -\frac{2}{3},G(2)\displaystyle G(2)=83\displaystyle {}= \frac{8}{3}−2\displaystyle {}- 2=23\displaystyle {}= \frac{2}{3} −∫01(x2−1) dx\displaystyle -\int_0^1 (x^2 - 1)\,dx+∫12(x2−1) dx\displaystyle {}+ \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx=−(−23)\displaystyle {}= -\left(-\frac{2}{3}\right)+{23−(−23)}\displaystyle {}+ \left\{\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right)\right\}=23\displaystyle {}= \frac{2}{3}+43\displaystyle {}+ \frac{4}{3}=2‾\displaystyle {}= \underline{2}
自己採点：
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問5　★

放物線 yy=x2{}= x^2 と直線 yy=4x{}= 4x で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

323\dfrac{32}{3}

解説

x2x^2=4x{}= 4x より交点は xx=0{}= 0，44。xx=1{}= 1 で比べると 44>1{}> 1 なので、直線が上にあります。

∫04(4x−x2) dx\displaystyle \int_0^4 (4x - x^2)\,dx=[ 2x2−13x3 ]04\displaystyle {}= \Big[\,2x^2 - \frac{1}{3}x^3\,\Big]_0^4=32\displaystyle {}= 32−643\displaystyle {}- \frac{64}{3}=323‾\displaystyle {}= \underline{\frac{32}{3}}
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問6　★

放物線 yy=x2{}= x^2 と直線 yy=−x{}= -x+6{}+ 6 で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

1256\dfrac{125}{6}

解説

x2x^2=−x{}= -x+6{}+ 6 より x2x^2+x{}+ x−6{}- 6=(x+3)(x−2){}= (x + 3)(x - 2)=0{}= 0 で、交点は xx=−3{}= -3，22。xx=0{}= 0 で比べると直線が上です。

∫−32(−x2−x+6) dx\displaystyle \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6)\,dx=[ −13x3−12x2+6x ]−32\displaystyle {}= \Big[\,-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6x\,\Big]_{-3}^{2} =(−83−2+12)\displaystyle = \left(-\frac{8}{3} - 2 + 12\right)−(9−92−18)\displaystyle {}- \left(9 - \frac{9}{2} - 18\right)=223\displaystyle {}= \frac{22}{3}+272\displaystyle {}+ \frac{27}{2}=1256‾\displaystyle {}= \underline{\frac{125}{6}}

（6分の1公式なら 16{2−(−3)}3\dfrac{1}{6}\{2 - (-3)\}^3=1256{}= \dfrac{125}{6} です。）

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問7　★

2つの放物線 yy=x2{}= x^2−2x{}- 2x，yy=−x2{}= -x^2+2x{}+ 2x で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

83\dfrac{8}{3}

解説

x2x^2−2x{}- 2x=−x2{}= -x^2+2x{}+ 2x より 2x22x^2−4x{}- 4x=2x(x−2){}= 2x(x - 2)=0{}= 0 で、交点は xx=0{}= 0，22。xx=1{}= 1 で比べると −x2-x^2+2x{}+ 2x=1{}= 1，x2x^2−2x{}- 2x=−1{}= -1 なので、yy=−x2{}= -x^2+2x{}+ 2x が上です。

∫02{(−x2+2x)−(x2−2x)} dx\displaystyle \int_0^2 \{(-x^2 + 2x) - (x^2 - 2x)\}\,dx=∫02(−2x2+4x) dx\displaystyle {}= \int_0^2 (-2x^2 + 4x)\,dx=[ −23x3+2x2 ]02\displaystyle {}= \Big[\,-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2\,\Big]_0^2=−163\displaystyle {}= -\frac{16}{3}+8\displaystyle {}+ 8=83‾\displaystyle {}= \underline{\frac{8}{3}}
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問8　★

放物線 yy=x2{}= x^2+1{}+ 1 上の点 (1, 2)(1,\ 2) における接線と、この放物線、yy 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

13\dfrac{1}{3}

解説

y′y'=2x{}= 2x より接線の傾きは 22 で、接線は yy−2{}- 2=2(x−1){}= 2(x - 1)，つまり yy=2x{}= 2x です。

(x2+1)\displaystyle (x^2 + 1)−2x\displaystyle {}- 2x=(x−1)2\displaystyle {}= (x - 1)^2≧0\displaystyle {}\geqq 0

なので放物線が上にあり、囲まれた部分は 00≦x{}\leqq x≦1{}\leqq 1 です。

∫01(x−1)2 dx\displaystyle \int_0^1 (x - 1)^2\,dx=[ 13(x−1)3 ]01\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}(x - 1)^3\,\Big]_0^1=0\displaystyle {}= 0−(−13)\displaystyle {}- \left(-\frac{1}{3}\right)=13‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{3}}
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問9　★★

曲線 yy=x3{}= x^3−3x2{}- 3x^2+2x{}+ 2x と xx 軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

12\dfrac{1}{2}

解説

x3x^3−3x2{}- 3x^2+2x{}+ 2x=x(x−1)(x−2){}= x(x - 1)(x - 2) なので、xx 軸との交点は xx=0{}= 0，11，22。00≦x{}\leqq x≦1{}\leqq 1 では yy≧0{}\geqq 0，11≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では yy≦0{}\leqq 0 です（xx=12{}= \dfrac{1}{2}，32\dfrac{3}{2} で符号を確かめます）。

G(x)G(x)=14x4{}= \dfrac{1}{4}x^4−x3{}- x^3+x2{}+ x^2 とおくと

G(0)\displaystyle G(0)=0,\displaystyle {}= 0,G(1)\displaystyle G(1)=14\displaystyle {}= \frac{1}{4}−1\displaystyle {}- 1+1\displaystyle {}+ 1=14,\displaystyle {}= \frac{1}{4},G(2)\displaystyle G(2)=4\displaystyle {}= 4−8\displaystyle {}- 8+4\displaystyle {}+ 4=0\displaystyle {}= 0 ∫01y dx\displaystyle \int_0^1 y\,dx−∫12y dx\displaystyle {}- \int_1^2 y\,dx=14\displaystyle {}= \frac{1}{4}−(0−14)\displaystyle {}- \left(0 - \frac{1}{4}\right)=12‾\displaystyle {}= \underline{\frac{1}{2}}

（このグラフは点 (1, 0)(1,\ 0) について対称なので、2つの部分の面積は等しくなっています。第4章 小話3の点対称です。）

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問10　★★

放物線 yy=x2{}= x^2 と直線 yy=2x{}= 2x+1{}+ 1 で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

823\dfrac{8\sqrt{2}}{3}

解説

x2x^2=2x{}= 2x+1{}+ 1 より x2x^2−2x{}- 2x−1{}- 1=0{}= 0，xx=1{}= 1±2{}\pm \sqrt{2} です。α\alpha=1{}= 1−2{}- \sqrt{2}，β\beta=1{}= 1+2{}+ \sqrt{2} とおくと、この間では直線が上で

(2x+1)\displaystyle (2x + 1)−x2\displaystyle {}- x^2=−(x−α)(x−β),\displaystyle {}= -(x - \alpha)(x - \beta),β\displaystyle \beta−α\displaystyle {}- \alpha=22\displaystyle {}= 2\sqrt{2}

6分の1公式より

16(22)3\displaystyle \frac{1}{6}(2\sqrt{2})^3=1626\displaystyle {}= \frac{16\sqrt{2}}{6}=823‾\displaystyle {}= \underline{\frac{8\sqrt{2}}{3}}

（端に 2\sqrt{2} を代入する計算を避けられるのが、この公式の強みです。）

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問11　★★

曲線 yy=x3{}= x^3 と直線 yy=4x{}= 4x で囲まれた2つの部分の面積の和を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

88

解説

x3x^3=4x{}= 4x より x(x+2)(x−2)x(x + 2)(x - 2)=0{}= 0 で、交点は xx=−2{}= -2，00，22。xx=1{}= 1 では 4x4x=4{}= 4>1{}> 1=x3{}= x^3，xx=−1{}= -1 では x3x^3=−1{}= -1>−4{}> -4=4x{}= 4x なので、00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では直線が上、−2-2≦x{}\leqq x≦0{}\leqq 0 では曲線が上です。

∫−20(x3−4x) dx\displaystyle \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x)\,dx+∫02(4x−x3) dx\displaystyle {}+ \int_0^2 (4x - x^3)\,dx

2つのグラフはどちらも原点について対称なので、2つの部分の面積は等しく

2∫02(4x−x3) dx\displaystyle 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx=2[ 2x2−14x4 ]02\displaystyle {}= 2\Big[\,2x^2 - \frac{1}{4}x^4\,\Big]_0^2=2(8−4)\displaystyle {}= 2(8 - 4)=8‾\displaystyle {}= \underline{8}

（∫−22(4x−x3) dx\displaystyle\int_{-2}^{2} (4x - x^3)\,dx と区間を分けずに計算すると 00 になってしまいます。）

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問12　★★

放物線 yy=x2{}= x^2 上の2点 (−1, 1)(-1,\ 1)，(3, 9)(3,\ 9) における接線をそれぞれ引く。この2本の接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

163\dfrac{16}{3}

解説

y′y'=2x{}= 2x より、2本の接線は

y\displaystyle y=−2x\displaystyle {}= -2x−1\displaystyle {}- 1(x=−1 における),\displaystyle (x = -1 \text{ における}),y\displaystyle y=6x\displaystyle {}= 6x−9\displaystyle {}- 9(x=3 における)\displaystyle (x = 3 \text{ における})

2本の交点は −2x-2x−1{}- 1=6x{}= 6x−9{}- 9 より xx=1{}= 1 です。−1-1≦x{}\leqq x≦1{}\leqq 1 では下の線が yy=−2x{}= -2x−1{}- 1，11≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3 では yy=6x{}= 6x−9{}- 9 で

x2\displaystyle x^2−(−2x−1)\displaystyle {}- (-2x - 1)=(x+1)2,\displaystyle {}= (x + 1)^2,x2\displaystyle x^2−(6x−9)\displaystyle {}- (6x - 9)=(x−3)2\displaystyle {}= (x - 3)^2 ∫−11(x+1)2 dx\displaystyle \int_{-1}^{1} (x + 1)^2\,dx+∫13(x−3)2 dx\displaystyle {}+ \int_1^3 (x - 3)^2\,dx=[ 13(x+1)3 ]−11\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}(x + 1)^3\,\Big]_{-1}^{1}+[ 13(x−3)3 ]13\displaystyle {}+ \Big[\,\frac{1}{3}(x - 3)^3\,\Big]_1^3=83\displaystyle {}= \frac{8}{3}+83\displaystyle {}+ \frac{8}{3}=163‾\displaystyle {}= \underline{\frac{16}{3}}

（接線どうしの交点の xx 座標 11 は、2つの接点の xx 座標 −1-1 と 33 のちょうど真ん中です。放物線ではいつもこうなります。）

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問13　★★

放物線 yy=x2{}= x^2−ax{}- ax（aa>0{}> 0）と xx 軸で囲まれた部分の面積が 3636 となるように、定数 aa の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=6{}= 6

解説

x2x^2−ax{}- ax=x(x−a){}= x(x - a) なので、xx 軸との交点は xx=0{}= 0，aa（aa>0{}> 0）で、その間では xx 軸より下にあります。6分の1公式より面積は

16(a−0)3\displaystyle \frac{1}{6}(a - 0)^3=a36\displaystyle {}= \frac{a^3}{6}

a36\dfrac{a^3}{6}=36{}= 36 より a3a^3=216{}= 216=63{}= 6^3。aa は実数なので a=6‾\underline{a = 6} です。

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問14　★★

曲線 yy=x2{}= x^2−2∣x∣{}- 2|x| と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

83\dfrac{8}{3}

解説

xx≧0{}\geqq 0 では yy=x2{}= x^2−2x{}- 2x=x(x−2){}= x(x - 2)，xx<0{}< 0 では yy=x2{}= x^2+2x{}+ 2x=x(x+2){}= x(x + 2) です。xx を −x-x にしても式が変わらないので、グラフは yy 軸について対称で、−2-2≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 で xx 軸より下にあります。

右半分（00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2）の面積を2倍して

2×{−∫02(x2−2x) dx}\displaystyle 2 \times \left\{-\int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx\right\}=2[ x2−13x3 ]02\displaystyle {}= 2\Big[\,x^2 - \frac{1}{3}x^3\,\Big]_0^2=2(4−83)\displaystyle {}= 2\left(4 - \frac{8}{3}\right)=83‾\displaystyle {}= \underline{\frac{8}{3}}
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問15　★★

曲線 yy=x3{}= x^3 上の点 (1, 1)(1,\ 1) における接線と、この曲線で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

274\dfrac{27}{4}

解説

y′y'=3x2{}= 3x^2 より接線の傾きは 33 で、接線は yy=3x{}= 3x−2{}- 2 です。曲線との共有点は

x3\displaystyle x^3−(3x−2)\displaystyle {}- (3x - 2)=x3\displaystyle {}= x^3−3x\displaystyle {}- 3x+2\displaystyle {}+ 2=(x−1)2(x+2)\displaystyle {}= (x - 1)^2(x + 2)=0\displaystyle {}= 0

より xx=1{}= 1（接点）と xx=−2{}= -2。−2-2≦x{}\leqq x≦1{}\leqq 1 では (x−1)2(x+2)(x - 1)^2(x + 2)≧0{}\geqq 0 なので曲線が上にあります。

∫−21(x3−3x+2) dx\displaystyle \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx=[ 14x4−32x2+2x ]−21\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\,\Big]_{-2}^{1}=(14−32+2)\displaystyle {}= \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right)−(4−6−4)\displaystyle {}- (4 - 6 - 4)=34\displaystyle {}= \frac{3}{4}+6\displaystyle {}+ 6=274‾\displaystyle {}= \underline{\frac{27}{4}}

（接点で重解になるので、xx−1{}- 1 で2回割り切れることを使って因数分解します（第3章）。厳密定義ページの定理3の「12分の1公式」でも 112{1−(−2)}4\dfrac{1}{12}\{1 - (-2)\}^4=8112{}= \dfrac{81}{12}=274{}= \dfrac{27}{4} と確かめられます。）

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問16　★★

2つの放物線 yy=x2{}= x^2，yy=x2{}= x^2−4x{}- 4x+8{}+ 8 の両方に接する直線を求め、この直線と2つの放物線で囲まれた部分の面積を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

直線 yy=2x{}= 2x−1{}- 1，面積 23\dfrac{2}{3}

解説

yy=x2{}= x^2 の xx=t{}= t における接線は yy=2tx{}= 2tx−t2{}- t^2。yy=x2{}= x^2−4x{}- 4x+8{}+ 8 の xx=s{}= s における接線は

y\displaystyle y=(2s−4)(x−s)\displaystyle {}= (2s - 4)(x - s)+s2\displaystyle {}+ s^2−4s\displaystyle {}- 4s+8\displaystyle {}+ 8=(2s−4)x\displaystyle {}= (2s - 4)x−s2\displaystyle {}- s^2+8\displaystyle {}+ 8

2つが一致する条件は、傾きと切片が等しいことです。

2t\displaystyle 2t=2s\displaystyle {}= 2s−4,\displaystyle {}- 4,−t2\displaystyle -t^2=−s2\displaystyle {}= -s^2+8\displaystyle {}+ 8

1つめから tt=s{}= s−2{}- 2。2つめに代入して (s−2)2(s - 2)^2=s2{}= s^2−8{}- 8，−4s-4s+4{}+ 4=−8{}= -8 で ss=3{}= 3，tt=1{}= 1。よって共通接線は y=2x‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}y = 2x}−1‾\underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}{}- 1} です。

2つの放物線の交点は x2x^2=x2{}= x^2−4x{}- 4x+8{}+ 8 より xx=2{}= 2。囲まれた部分は、11≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では yy=x2{}= x^2 と接線、22≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3 では yy=x2{}= x^2−4x{}- 4x+8{}+ 8 と接線にはさまれています。

x2\displaystyle x^2−(2x−1)\displaystyle {}- (2x - 1)=(x−1)2,\displaystyle {}= (x - 1)^2,(x2−4x+8)\displaystyle (x^2 - 4x + 8)−(2x−1)\displaystyle {}- (2x - 1)=(x−3)2\displaystyle {}= (x - 3)^2 ∫12(x−1)2 dx\displaystyle \int_1^2 (x - 1)^2\,dx+∫23(x−3)2 dx\displaystyle {}+ \int_2^3 (x - 3)^2\,dx=13\displaystyle {}= \frac{1}{3}+13\displaystyle {}+ \frac{1}{3}=23‾\displaystyle {}= \underline{\frac{2}{3}}
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問17　★★★

放物線 yy=x2{}= x^2 と直線 yy=x{}= x+2{}+ 2 の交点を A\mathrm{A}，B\mathrm{B} とし、放物線上の点で接線が直線 AB\mathrm{AB} に平行になる点を C\mathrm{C} とする。放物線と直線 AB\mathrm{AB} で囲まれた部分の面積を SS，三角形 ABC\mathrm{ABC} の面積を TT とするとき、ST\dfrac{S}{T} の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

43\dfrac{4}{3}

解説

x2x^2=x{}= x+2{}+ 2 より xx=−1{}= -1，22 なので A(−1, 1)\mathrm{A}(-1,\ 1)，B(2, 4)\mathrm{B}(2,\ 4)。6分の1公式より（例題3）

S\displaystyle S=16{2−(−1)}3\displaystyle {}= \frac{1}{6}\{2 - (-1)\}^3=92\displaystyle {}= \frac{9}{2}

直線 AB\mathrm{AB} の傾きは 11 です。y′y'=2x{}= 2x=1{}= 1 より xx=12{}= \dfrac{1}{2} で、C(12, 14)\mathrm{C}\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4}\right)。

C\mathrm{C} を通り yy 軸に平行な直線と AB\mathrm{AB} の交点を D\mathrm{D} とすると D(12, 52)\mathrm{D}\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{5}{2}\right) で、CD\mathrm{CD}=52{}= \dfrac{5}{2}−14{}- \dfrac{1}{4}=94{}= \dfrac{9}{4}。三角形 ABC\mathrm{ABC} を CD\mathrm{CD} で2つに分けると、どちらも底辺 CD\mathrm{CD} で、高さ（横方向の長さ）の和は A\mathrm{A} と B\mathrm{B} の xx 座標の差 33 です。

T\displaystyle T=12⋅94⋅3\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot 3=278\displaystyle {}= \frac{27}{8} ST\displaystyle \frac{S}{T}=92⋅827\displaystyle {}= \frac{9}{2} \cdot \frac{8}{27}=43‾\displaystyle {}= \underline{\frac{4}{3}}

（第8章 小話1で紹介したアルキメデスの「放物線の弦で切った部分は三角形の 43\dfrac{4}{3} 倍」を、定積分で確かめたことになります。）

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問18　★★★

点 (1, 2)(1,\ 2) を通り傾きが mm の直線と、放物線 yy=x2{}= x^2 で囲まれた部分の面積を S(m)S(m) とする。S(m)S(m) の最小値と、そのときの mm の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

mm=2{}= 2 のとき最小値 43\dfrac{4}{3}

解説

直線は yy=m(x−1){}= m(x - 1)+2{}+ 2。放物線との交点の xx 座標は

x2\displaystyle x^2−mx\displaystyle {}- mx+m\displaystyle {}+ m−2\displaystyle {}- 2=0\displaystyle {}= 0

の解です。判別式は DD=m2{}= m^2−4(m−2){}- 4(m - 2)=(m−2)2{}= (m - 2)^2+4{}+ 4>0{}> 0 なので、どんな mm でも異なる2点 α\alpha<β{}< \beta で交わります（点 (1, 2)(1,\ 2) は放物線の内側にあるからです）。

解の公式より β\beta−α{}- \alpha=D{}= \sqrt{D} なので、6分の1公式から

S(m)\displaystyle S(m)=16(D)3\displaystyle {}= \frac{1}{6}(\sqrt{D})^3=16{(m−2)2+4}32\displaystyle {}= \frac{1}{6}\left\{(m - 2)^2 + 4\right\}^{\frac{3}{2}}

(m−2)2(m - 2)^2+4{}+ 4 が最小のとき S(m)S(m) も最小で、それは mm=2{}= 2，DD=4{}= 4 のときです。

m=2 のとき最小値 16⋅23=43‾\underline{m = 2\ \text{のとき最小値}\ \frac{1}{6} \cdot 2^3 = \frac{4}{3}}

（mm=2{}= 2 のとき直線は yy=2x{}= 2x で、確かに ∫02(2x−x2) dx\displaystyle \int_0^2 (2x - x^2)\,dx=43\displaystyle {}= \frac{4}{3} です。）

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問19　★★★

放物線 yy=x2{}= x^2−2x{}- 2x と xx 軸で囲まれた部分の面積を、原点を通る直線 yy=mx{}= mx が2等分するとき、定数 mm の値を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

mm=43{}= \sqrt[3]{4}−2{}- 2

解説

放物線と xx 軸で囲まれた部分は 00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 にあり、面積は 6分の1公式より 16⋅23\dfrac{1}{6} \cdot 2^3=43{}= \dfrac{4}{3} です。

直線 yy=mx{}= mx と放物線の交点は、x2x^2−2x{}- 2x=mx{}= mx より xx=0{}= 0，mm+2{}+ 2。直線がこの部分を2つに分けるには、もう1つの交点が 00<x{}< x<2{}< 2 にあることが必要なので −2-2<m{}< m<0{}< 0 です。このとき、直線と放物線で囲まれた部分の面積は

mx\displaystyle mx−(x2−2x)\displaystyle {}- (x^2 - 2x)=−x{x−(m+2)}\displaystyle {}= -x\{x - (m + 2)\}より\displaystyle \text{より}16(m+2)3\displaystyle \frac{1}{6}(m + 2)^3

これが全体の半分 23\dfrac{2}{3} に等しいので

(m+2)3\displaystyle (m + 2)^3=4,\displaystyle {}= 4,m\displaystyle m+2\displaystyle {}+ 2=43\displaystyle {}= \sqrt[3]{4}

43\sqrt[3]{4} は 11 と 22 の間の数（131^3<4{}< 4<23{}< 2^3）なので、−2-2<m{}< m<0{}< 0 を満たします。

m=43‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}m = \sqrt[3]{4}}−2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0839em]{0em}{1.0400em}{}- 2}
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問20　★★★

曲線 yy=∣x2−2x∣{}= |x^2 - 2x| と直線 yy=x{}= x で囲まれた2つの部分の面積の和を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

136\dfrac{13}{6}

解説

00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では yy=−x2{}= -x^2+2x{}+ 2x，xx≦0{}\leqq 0 と xx≧2{}\geqq 2 では yy=x2{}= x^2−2x{}- 2x です（xx 軸より下の部分を折り返したグラフ）。

共有点を求めます。00≦x{}\leqq x≦2{}\leqq 2 では −x2-x^2+2x{}+ 2x=x{}= x より xx=0{}= 0，11。xx≧2{}\geqq 2 では x2x^2−2x{}- 2x=x{}= x より xx=3{}= 3（xx=0{}= 0 は範囲外）。xx<0{}< 0 では曲線は yy>0{}> 0，直線は yy<0{}< 0 なので共有点はありません。

  • 00≦x{}\leqq x≦1{}\leqq 1：(−x2+2x)(-x^2 + 2x)−x{}- x=x(1−x){}= x(1 - x)≧0{}\geqq 0 で曲線が上
  • 11≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3：直線が上（曲線は xx=2{}= 2 で xx 軸に触れる）
∫01(x−x2) dx\displaystyle \int_0^1 (x - x^2)\,dx=12\displaystyle {}= \frac{1}{2}−13\displaystyle {}- \frac{1}{3}=16\displaystyle {}= \frac{1}{6}

11≦x{}\leqq x≦3{}\leqq 3 の部分は、曲線の式が変わる xx=2{}= 2 で分けます。

∫12{x−(−x2+2x)} dx\displaystyle \int_1^2 \{x - (-x^2 + 2x)\}\,dx=∫12(x2−x) dx\displaystyle {}= \int_1^2 (x^2 - x)\,dx=[ 13x3−12x2 ]12\displaystyle {}= \Big[\,\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\,\Big]_1^2=23\displaystyle {}= \frac{2}{3}−(−16)\displaystyle {}- \left(-\frac{1}{6}\right)=56\displaystyle {}= \frac{5}{6} ∫23{x−(x2−2x)} dx\displaystyle \int_2^3 \{x - (x^2 - 2x)\}\,dx=∫23(3x−x2) dx\displaystyle {}= \int_2^3 (3x - x^2)\,dx=[ 32x2−13x3 ]23\displaystyle {}= \Big[\,\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\,\Big]_2^3=92\displaystyle {}= \frac{9}{2}−103\displaystyle {}- \frac{10}{3}=76\displaystyle {}= \frac{7}{6} 16\displaystyle \frac{1}{6}+56\displaystyle {}+ \frac{5}{6}+76\displaystyle {}+ \frac{7}{6}=136‾\displaystyle {}= \underline{\frac{13}{6}}

（上下が入れかわる点 xx=1{}= 1 と、曲線の式が変わる点 xx=2{}= 2 の両方で区間を分けるのがポイントです。）

自己採点：
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数学小話コーナー

切り口が同じなら面積も同じ — カヴァリエリの原理

17世紀のイタリアに、ガリレオの弟子のボナヴェントゥーラ・カヴァリエリという数学者がいました。1635年の著書で、彼は図形を「無数の平行な線の集まり」とみなす考え方を広めます。そこから導かれるのが、次のカヴァリエリの原理です。

2つの図形を、ある方向の平行な直線で切ったとき、切り口の長さがいつも等しければ、2つの図形の面積は等しい。

トランプの束を横から押して斜めにずらしても、カードの枚数と大きさが同じなら、束の体積は変わりません。本文の公式3「上 − 下」も同じ発想です。2つの曲線をそろって上下に動かしても、縦の切り口の長さは変わらないので、面積も変わりません。放物線と直線で囲まれた部分の面積が、交点の幅と x2x^2 の係数だけで決まる（6分の1公式）のも、この見方をすると納得しやすくなります。

豆知識

同じ考え方は、カヴァリエリより1000年以上前の中国にもありました。5〜6世紀の数学者祖暅（そこう）は、球の体積を求めるときに「高さごとの切り口の面積が等しければ、体積も等しい」という原理を使ったと伝えられており、中国ではこれを祖暅の原理と呼ぶことがあります。数学IIIの第15章では、この「切り口を積分する」考え方で立体の体積を求めます。

周をなぞるだけで面積がわかる機械

地図の上で、湖や森のような形の決まっていない場所の面積を知りたいとき、どうすればよいでしょうか。方眼紙を重ねてマス目を数える方法もありますが、もっとスマートな道具があります。プラニメーター（面積計）です。

プラニメーターは、腕の先についた針で図形のふちを一周なぞるだけで、面積が目盛りに表示される機械です。1854年にスイスのヤコブ・アムスラーが作った形のものが広く普及し、土木や建築の設計図、地図の面積を測るのに長く使われてきました。なぞっている間に小さな車輪が回り、その回転の量が面積になるしくみです。「周の情報だけで内側の面積がわかる」ことの裏には、大学で学ぶグリーンの定理という、積分の定理が隠れています。

豆知識

今では土地の面積も、境界の点の座標からコンピューターで計算するのがふつうです。頂点の座標 (x1, y1)(x_1,\ y_1)，(x2, y2)(x_2,\ y_2)，… を順にたすきがけして足し引きする座標法（形から「靴ひもの公式」とも呼ばれます）を使います。不動産の登記で使う図面にも、この方法で計算した面積が載っています。

どこまでも続くのに、面積は1

曲線 yy=1x2{}= \dfrac{1}{x^2}（xx≧1{}\geqq 1）と xx 軸ではさまれた部分を考えます。右へ行くほど細くなりますが、どこまで行っても xx 軸にはくっつかず、図形は無限に続きます。この面積は無限大でしょうか。

数学IIIで学ぶ方法で、xx=1{}= 1 から xx=N{}= N までの面積を計算すると 11−1N{}- \dfrac{1}{N} になります。NN を 1010，100100，10001000 と大きくすると 0.90.9，0.990.99，0.9990.999 と 11 に近づき、決して 11 を超えません。無限に長い図形の面積が、ちょうど 11 なのです。

ところが、少しだけ太い yy=1x{}= \dfrac{1}{x} にすると、面積は NN を大きくするといくらでも大きくなってしまいます。細くなる速さのわずかな違いで、有限と無限が分かれます。こうした「無限に続く部分の面積」は、数学IIIで広義積分として扱います。

豆知識

17世紀のイタリアのトリチェリは、yy=1x{}= \dfrac{1}{x}（xx≧1{}\geqq 1）を xx 軸のまわりに回してできるラッパのような立体の体積が、無限に長いのに有限（π\pi）になることを示して人々を驚かせました。このラッパは表面積が無限大なので、「中を満たすペンキは有限なのに、表面を塗るには無限のペンキがいる」という逆説でも知られています。後に「ガブリエルのラッパ」と呼ばれるようになりました。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、面積を公式1〜3の定積分で求められれば十分です。本文では「面積」をわかっているものとして使いましたが、曲線で囲まれた図形の面積とはそもそも何かを定め、定積分との関係、6分の1公式の仲間をまとめます。

定義1：縦線図形の面積

関数 f(x)f(x)，g(x)g(x) が aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b で連続で、つねに g(x)g(x)≦f(x){}\leqq f(x) であるとする。平面の部分

D={(x, y)∣\displaystyle D = \{(x,\ y) \mid{}a≦x≦b,\displaystyle a \leqq x \leqq b,g(x)≦y≦f(x)}\displaystyle g(x) \leqq y \leqq f(x)\}

を縦線図形という。その面積を

∣D∣\displaystyle |D|=∫ab{f(x)−g(x)} dx\displaystyle {}= \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx

と定める。

長方形の面積「縦 × 横」は、図形の面積の出発点です。曲線で囲まれた図形は、内側に入る長方形の集まりと、外側から覆う長方形の集まりではさみます。長方形を細くしていったとき、内側の合計と外側の合計が同じ値に近づけば、その値を面積と呼ぶのが自然です。f(x)f(x)−g(x){}- g(x) が連続なら、この2つの合計はどちらも第8章 定義1のリーマン和の特別な場合（ckc_k を各小区間で最小・最大になる点にとったもの）なので、同じ定積分に近づきます。定義1は、この結果を面積の定義として採用したものです。

定理1：面積は正

f(x)f(x) が aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b（aa<b{}< b）で連続で、つねに f(x)f(x)≧0{}\geqq 0 ならば

∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx≧0\displaystyle {}\geqq 0

であり、等号が成り立つのは、区間全体で f(x)f(x)=0{}= 0 のときに限る。

証明　前半は第8章 定理1で mm=0{}= 0 とすればよい。

後半を示す。ある点 cc で f(c)f(c)>0{}> 0 であったとする。ff は連続なので、cc を含むある小区間 pp≦x{}\leqq x≦q{}\leqq q（pp<q{}< q）で f(x)f(x)≧f(c)2{}\geqq \dfrac{f(c)}{2} となる（第1章の ε\varepsilon-δ\delta 論法で ε\varepsilon=f(c)2{}= \dfrac{f(c)}{2} とする）。区間の加法性と前半より

∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=∫apf(x) dx\displaystyle {}= \int_a^p f(x)\,dx+∫pqf(x) dx\displaystyle {}+ \int_p^q f(x)\,dx+∫qbf(x) dx\displaystyle {}+ \int_q^b f(x)\,dx≧0\displaystyle {}\geqq 0+f(c)2(q−p)\displaystyle {}+ \frac{f(c)}{2}(q - p)+0\displaystyle {}+ 0>0\displaystyle {}> 0

したがって、定積分が 00 ならば、f(c)f(c)>0{}> 0 となる点はない。（証明終）

定理1から、f(x)f(x)≦g(x){}\leqq g(x) なら ∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx≦∫abg(x) dx\displaystyle {}\leqq \int_a^b g(x)\,dx も出ます（gg−f{}- f に定理1を使う）。定義1の面積が、図形が「つぶれていない」限りきちんと正になることも、定理1が保証しています。

定理2：定積分の絶対値と面積

f(x)f(x) が aa≦x{}\leqq x≦b{}\leqq b（aa<b{}< b）で連続ならば

∣∫abf(x) dx∣\displaystyle \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|≦∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle {}\leqq \int_a^b |f(x)|\,dx

が成り立つ。等号が成り立つのは、区間全体で f(x)f(x)≧0{}\geqq 0 であるか、区間全体で f(x)f(x)≦0{}\leqq 0 であるときに限る。

証明　−∣f(x)∣-|f(x)|≦f(x){}\leqq f(x)≦∣f(x)∣{}\leqq |f(x)| を積分すると、定理1のあとの注意より

−∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle -\int_a^b |f(x)|\,dx≦∫abf(x) dx\displaystyle {}\leqq \int_a^b f(x)\,dx≦∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle {}\leqq \int_a^b |f(x)|\,dx

これが示すべき不等式である。

等号が成り立ち、∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx≧0\displaystyle {}\geqq 0 の場合を考える。このとき ∫ab{∣f(x)∣−f(x)} dx\displaystyle \int_a^b \{|f(x)| - f(x)\}\,dx=0\displaystyle {}= 0 で、中身 ∣f(x)∣|f(x)|−f(x){}- f(x) は連続かつ 00 以上なので、定理1より区間全体で ∣f(x)∣|f(x)|=f(x){}= f(x)，つまり f(x)f(x)≧0{}\geqq 0 である。∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx<0\displaystyle {}< 0 の場合も、∣f(x)∣|f(x)|+f(x){}+ f(x) で同様にして f(x)f(x)≦0{}\leqq 0 を得る。逆に ff の符号が一定なら、等号は明らかに成り立つ。（証明終）

右辺 ∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx は、曲線と xx 軸ではさまれた部分の面積（公式2）です。例題2で ∫03(x2−2x) dx\displaystyle \int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx=0\displaystyle {}= 0 なのに面積が 83\dfrac{8}{3} だったのは、x2x^2−2x{}- 2x が区間の途中で符号を変えるので、定理2の等号が成り立たなかったからです。

定理3：12分の1公式

α\alpha<β{}< \beta のとき

∫αβ(x−α)2(β−x) dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \alpha)^2(\beta - x)\,dx=(β−α)412\displaystyle {}= \frac{(\beta - \alpha)^4}{12}

証明　β\beta−x{}- x=(β−α){}= (\beta - \alpha)−(x−α){}- (x - \alpha) と書きかえると

(x−α)2(β−x)\displaystyle (x - \alpha)^2(\beta - x)=(β−α)(x−α)2\displaystyle {}= (\beta - \alpha)(x - \alpha)^2−(x−α)3\displaystyle {}- (x - \alpha)^3

13(x−α)3\dfrac{1}{3}(x - \alpha)^3，14(x−α)4\dfrac{1}{4}(x - \alpha)^4 はそれぞれ (x−α)2(x - \alpha)^2，(x−α)3(x - \alpha)^3 の原始関数である（展開して微分すれば確かめられる）。よって

∫αβ(x−α)2(β−x) dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \alpha)^2(\beta - x)\,dx=(β−α)⋅(β−α)33\displaystyle {}= (\beta - \alpha) \cdot \frac{(\beta - \alpha)^3}{3}−(β−α)44\displaystyle {}- \frac{(\beta - \alpha)^4}{4}=(β−α)412\displaystyle {}= \frac{(\beta - \alpha)^4}{12}

（証明終）

3次関数 yy=f(x){}= f(x)（x3x^3 の係数 aa）と、xx=α{}= \alpha で接して xx=β{}= \beta で交わる直線 yy=ℓ(x){}= \ell(x) があると、第3章の考え方から f(x)f(x)−ℓ(x){}- \ell(x)=a(x−α)2(x−β){}= a(x - \alpha)^2(x - \beta) です。したがって、囲まれた部分の面積は ∣a∣12∣β−α∣4\dfrac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4 となります。実践問題 j15 は aa=1{}= 1，α\alpha=1{}= 1，β\beta=−2{}= -2 で 8112\dfrac{81}{12}=274{}= \dfrac{27}{4} です。

じつは、本文の公式4・公式5とこの定理3は、1つの式の仲間です。mm，nn を 00 以上の整数とすると

∫αβ(x−α)m(β−x)n dx\displaystyle \int_\alpha^\beta (x - \alpha)^m(\beta - x)^n\,dx=m! n!(m+n+1)!(β−α)m+n+1\displaystyle {}= \frac{m!\,n!}{(m + n + 1)!}(\beta - \alpha)^{m + n + 1}

が成り立ちます（m!m!=1⋅2⋅⋯⋅m{}= 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot m，0!0!=1{}= 1）。mm=n{}= n=1{}= 1 なら 16\dfrac{1}{6}（6分の1公式）、mm=2{}= 2，nn=0{}= 0 なら 13\dfrac{1}{3}（公式5）、mm=2{}= 2，nn=1{}= 1 なら 112\dfrac{1}{12}（定理3）です。一般の場合の証明には数学IIIの部分積分（第14章）を使います。大学ではこの式をベータ関数という関数の特別な値として学びます。

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