目次 ／ 微分積分 ／ 数学II

第2章　導関数と微分の計算

—— 微分係数を「関数」としてまとめ、公式ですばやく計算する ——

第1章では、微分係数 $f'(a)$ を1点ずつ定義から求めました。この章では、それを「どの $x$ でも使える式」＝導関数としてまとめ、$x^n$ の公式と計算のきまりを使って、多項式の関数を手早く微分できるようにします。

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導関数

第1章では、f(x)f(x)=x2{}= x^2 の微分係数を f′(2)f'(2)=4{}= 4，f′(3)f'(3)=6{}= 6 のように1点ずつ定義から求めました。けれども、aa の値を変えるたびに同じ計算をくり返すのは手間です。そこで、aa のかわりに文字 xx のまま計算してしまいましょう。そうして得られる「xx を入れると、その点の微分係数が出てくる関数」が導関数です。

公式1：導関数の定義

関数 f(x)f(x) の導関数 f′(x)f'(x) は

f′(x)\displaystyle f'(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle {}= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
  • 第1章の微分係数の定義で、aa を xx に置きかえた式です。
  • f(x)f(x) から導関数 f′(x)f'(x) を求めることを、f(x)f(x) を xx で微分するといいます。
  • yy=f(x){}= f(x) の導関数は y′y' とも書きます。また、(x2)′(x^2)'=2x{}= 2x のように、式にそのままプライム記号を付けて表すこともあります。

登山道に立っている「この先、勾配 10%10\%」という看板を思い浮かべてください。1枚の看板が教えてくれるのは、その地点の坂の急さだけです。これが微分係数にあたります。一方、導関数は、登山道のすべての地点の勾配をまとめた一覧表のようなもの。行きたい地点（xx の値）を探せば、そこの坂の急さがすぐに読み取れます。

導関数とは、各点の微分係数（接線の傾き）を xx の式として1つにまとめた関数のことです。

例題1：定義に従って導関数を求める

次の関数の導関数を、定義に従って求めなさい。

(1) f(x)\displaystyle \text{(1)}\ f(x)=x2\displaystyle {}= x^2+3x\displaystyle {}+ 3x(2) f(x)\displaystyle \text{(2)}\ f(x)=x3\displaystyle {}= x^3

【解答】

(1) f(x+h)f(x+h)=(x+h)2{}= (x+h)^2+3(x+h){}+ 3(x+h)=x2{}= x^2+2xh{}+ 2xh+h2{}+ h^2+3x{}+ 3x+3h{}+ 3h なので

f(x+h)−f(x)h\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=2xh+h2+3hh\displaystyle {}= \frac{2xh + h^2 + 3h}{h}=2x\displaystyle {}= 2x+h\displaystyle {}+ h+3\displaystyle {}+ 3

よって

f′(x)\displaystyle f'(x)=lim⁡h→0 (2x+h+3)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(2x + h + 3)=2x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}2x}+3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}+ 3}

(2) (x+h)3(x+h)^3=x3{}= x^3+3x2h{}+ 3x^2h+3xh2{}+ 3xh^2+h3{}+ h^3 を使います。

f(x+h)−f(x)h\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=3x2h+3xh2+h3h\displaystyle {}= \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}=3x2\displaystyle {}= 3x^2+3xh\displaystyle {}+ 3xh+h2\displaystyle {}+ h^2

よって

f′(x)\displaystyle f'(x)=lim⁡h→0 (3x2+3xh+h2)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(3x^2 + 3xh + h^2)=3x2‾\displaystyle {}= \underline{3x^2}

※ (1) の答えに xx=1{}= 1 を代入すると f′(1)f'(1)=5{}= 5 です。導関数を一度求めておけば、どの点の微分係数も代入するだけで求まります。

xnx^n の導関数

いくつかの関数を定義から微分した結果を並べてみます。

f(x)f(x)11xxx2x^2x3x^3
f′(x)f'(x)00112x2x3x23x^2

「肩の指数が前に降りてきて、指数が 11 つ減る」という規則が見えてきます。この規則は x4x^4，x5x^5，…でも成り立ちます。

公式2：xnx^n と定数の導関数

nn を正の整数、cc を定数とするとき

(xn)′\displaystyle (x^n)'=nxn−1\displaystyle {}= n x^{n-1}(c)′\displaystyle (c)'=0\displaystyle {}= 0
  • 例：(x4)′(x^4)'=4x3{}= 4x^3，(x5)′(x^5)'=5x4{}= 5x^4，(x)′(x)'=1{}= 1
  • 定数関数 yy=c{}= c のグラフは横に平らな直線なので、どこでも傾きは 00 です。

なぜ nn が前に出てくるのかは、図で見るとよくわかります。1辺 xx の正方形の面積は x2x^2 です。1辺を hh だけ伸ばすと、面積は細長い帯2本（それぞれ xhxh）と、角の小さな正方形（h2h^2）の分だけ増えます。

面積 x² xh xh h² x h x h 増えた面積 = 2xh + h²（帯2本 ＋ 角の小さな正方形）

増えた面積を hh で割ると 2x2x+h{}+ h。hh を 00 に近づければ、角の小さな正方形は消えて 2x2x だけが残ります。「帯が2本あるから係数が 22」というわけです。立方体（体積 x3x^3）なら、膨らんだときに薄い板が3枚の面に付くので 3x23x^2 になります。

xnx^n を微分すると、指数 nn が係数として前に出て、指数は 11 つ減る（nxn−1nx^{n-1}）ということです。定数を微分すると 00 になります。

例題2：公式を使って微分する

次の関数を微分しなさい。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=x6\displaystyle {}= x^6(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=x\displaystyle {}= x(3) y\displaystyle \text{(3)}\ y=−8\displaystyle {}= -8

【解答】

(1) 公式2で nn=6{}= 6 とします。y′y'=6x5‾{}= \underline{6x^5}

(2) xx=x1{}= x^1 と見て nn=1{}= 1 とすると、y′y'=1⋅x0{}= 1 \cdot x^0=1‾{}= \underline{1}（x0x^0=1{}= 1 です）

(3) 定数なので y′y'=0‾{}= \underline{0}

※ 例題1(2) で定義から 44 行かけて出した 3x23x^2 も、公式なら一瞬です。

定数倍・和・差の導関数

3x23x^2+5x{}+ 5x のように、項がいくつも並んだ式を微分するときに使うきまりです。

公式3：定数倍・和・差の導関数

kk を定数とするとき

{kf(x)}′\displaystyle \{k f(x)\}'=kf′(x)\displaystyle {}= k f'(x){f(x)+g(x)}′\displaystyle \{f(x) + g(x)\}'=f′(x)\displaystyle {}= f'(x)+g′(x)\displaystyle {}+ g'(x){f(x)−g(x)}′\displaystyle \{f(x) - g(x)\}'=f′(x)\displaystyle {}= f'(x)−g′(x)\displaystyle {}- g'(x)
  • 多項式は、1項ずつ微分してそのまま足し引きすればよいということです。
  • (x+1)(x−2)(x+1)(x-2) のような積の形や、(2x−1)2(2x-1)^2 のような累乗の形は、展開してから微分します。

2つの貯金箱 A，B があるとします。A は1日に 100100 円ずつ、B は1日に 5050 円ずつ増えていくなら、2つを合わせた金額は1日に 150150 円ずつ増えます。「合計の増え方」は「それぞれの増え方の和」です。また、中身をすべて 33 倍の価値の外貨で数えれば、増え方も 33 倍になります。導関数（増え方の割合）にも、これと同じきまりが成り立ちます。

和や差の導関数はそれぞれの導関数の和や差、定数倍の導関数は導関数の定数倍になるので、多項式は項ごとに微分すればよいということです。

例題3：多項式を微分する

次の関数を微分しなさい。

(1) y\displaystyle \text{(1)}\ y=2x3\displaystyle {}= 2x^3−5x2\displaystyle {}- 5x^2+4x\displaystyle {}+ 4x−1\displaystyle {}- 1(2) y\displaystyle \text{(2)}\ y=(2x+1)(x−3)\displaystyle {}= (2x + 1)(x - 3)

【解答】

(1) 1項ずつ微分します。

y′\displaystyle y'=2⋅3x2\displaystyle {}= 2 \cdot 3x^2−5⋅2x\displaystyle {}- 5 \cdot 2x+4⋅1\displaystyle {}+ 4 \cdot 1−0\displaystyle {}- 0=6x2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}6x^2}−10x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 10x}+4‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 4}

(2) まず展開します。(2x+1)(x−3)(2x + 1)(x - 3)=2x2{}= 2x^2−5x{}- 5x−3{}- 3 なので

y′\displaystyle y'=2⋅2x\displaystyle {}= 2 \cdot 2x−5\displaystyle {}- 5=4x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}4x}−5‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 5}

※ (2) を「(2x+1)′×(x−3)′(2x+1)' \times (x-3)'」のように、かっこごとに微分して掛けるのは誤りです（2×12 \times 1=2{}= 2 となり、正しい答えと合いません）。積の形は必ず展開してから微分しましょう。

導関数の使い方：微分係数と、xx 以外の文字

導関数が求まれば、微分係数は代入するだけで求まります。また、変数が xx 以外の文字でも、同じように微分できます。

公式4：導関数から微分係数を求める・xx 以外の文字の関数
  • xx=a{}= a における微分係数 f′(a)f'(a) は、導関数 f′(x)f'(x) に xx=a{}= a を代入した値である。
  • 変数が tt や rr などの文字でも、その文字について同じ公式で微分できる。たとえば
h(t)\displaystyle h(t)=20t\displaystyle {}= 20t−5t2\displaystyle {}- 5t^2のとき\displaystyle \text{のとき}h′(t)\displaystyle h'(t)=20\displaystyle {}= 20−10t\displaystyle {}- 10t

tt で微分するときは、tt 以外の文字（π\pi や、aa などの定数）は数と同じように扱います。

変数の名前は、いわば「呼び名」です。同じ人を本名で呼んでもあだ名で呼んでも、その人自身は変わりませんよね。時刻なら tt（time）、半径なら rr（radius）と、中身に合わせて呼び名を変えているだけで、微分の計算のしかたはまったく同じです。

微分係数は導関数に値を代入して求め、変数が xx 以外の文字でも同じ公式で微分できるということです。

例題4：微分係数を求める・tt の関数を微分する

(1) 関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3−4x{}- 4x について、f′(2)f'(2) と f′(−1)f'(-1) を求めなさい。

(2) ボールを真上に投げ上げたとき、tt 秒後の高さが h(t)h(t)=20t{}= 20t−5t2{}- 5t^2（m）で表されるとします。h′(t)h'(t) と h′(1)h'(1) を求めなさい。

【解答】

(1) f′(x)f'(x)=3x2{}= 3x^2−4{}- 4 なので

f′(2)\displaystyle f'(2)=12\displaystyle {}= 12−4\displaystyle {}- 4=8‾\displaystyle {}= \underline{8}f′(−1)\displaystyle f'(-1)=3\displaystyle {}= 3−4\displaystyle {}- 4=−1‾\displaystyle {}= \underline{-1}

(2) tt について微分します。

h′(t)\displaystyle h'(t)=20‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}20}−10t‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 10t}h′(1)\displaystyle h'(1)=20\displaystyle {}= 20−10\displaystyle {}- 10=10‾\displaystyle {}= \underline{10}

h′(1)h'(1)=10{}= 10 は「11 秒後の高さの瞬間の変化率」、つまり 11 秒後にボールが秒速 1010 m で上がっていることを表します。第1章のスピードメーターと同じ考え方です。

導関数の式がわかっていれば、逆に「微分係数の条件」から元の関数を決めることもできます。

例題5：条件から関数を決定する

2次関数 f(x)f(x)=ax2{}= ax^2+bx{}+ bx+c{}+ c が、f(0)f(0)=1{}= 1，f′(0)f'(0)=2{}= 2，f′(1)f'(1)=6{}= 6 をみたすように、定数 a,a, b,\ b, c\ c の値を定めなさい。

【解答】

f′(x)f'(x)=2ax{}= 2ax+b{}+ b です。条件を順に式にします。

f(0)\displaystyle f(0)=c\displaystyle {}= c=1,\displaystyle {}= 1,f′(0)\displaystyle f'(0)=b\displaystyle {}= b=2,\displaystyle {}= 2,f′(1)\displaystyle f'(1)=2a\displaystyle {}= 2a+b\displaystyle {}+ b=6\displaystyle {}= 6

3つめに bb=2{}= 2 を代入すると 2a2a=4{}= 4 より aa=2{}= 2。

a=2,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 2,}b=2,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad b = 2,}c=1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad c = 1}

（検算：f(x)f(x)=2x2{}= 2x^2+2x{}+ 2x+1{}+ 1，f′(x)f'(x)=4x{}= 4x+2{}+ 2 で、f(0)f(0)=1{}= 1，f′(0)f'(0)=2{}= 2，f′(1)f'(1)=6{}= 6 となり、すべて成り立ちます。）

基礎確認問題（全5問）

まずは公式をそのまま使う、ごく簡単な問題で確認しましょう。

問1

関数 yy=x4{}= x^4 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=4x3‾{}= \underline{4x^3}（公式 (xn)′(x^n)'=nxn−1{}= nx^{n-1} で nn=4{}= 4）

自己採点：
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問2

関数 yy=7{}= 7 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=0‾{}= \underline{0}（定数の導関数は 00）

自己採点：
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問3

関数 yy=3x2{}= 3x^2 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=3⋅2x{}= 3 \cdot 2x=6x‾{}= \underline{6x}

自己採点：
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問4

関数 yy=x2{}= x^2+5x{}+ 5x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2x‾{}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}2x}+5‾\underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}+ 5}（1項ずつ微分）

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問5

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2 について、f′(3)f'(3) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(x)f'(x)=2x{}= 2x より f′(3)f'(3)=6‾{}= \underline{6}

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実践問題（全20問）

難易度マークは ★＝基礎、★★＝標準、★★★＝入試レベルです。★から順に取り組みましょう。

問1　★

関数 f(x)f(x)=3x2{}= 3x^2 の導関数を、定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(x)f'(x)=6x{}= 6x

解説

f(x+h)f(x+h)=3(x+h)2{}= 3(x+h)^2=3x2{}= 3x^2+6xh{}+ 6xh+3h2{}+ 3h^2 なので

f(x+h)−f(x)h\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=6xh+3h2h\displaystyle {}= \frac{6xh + 3h^2}{h}=6x\displaystyle {}= 6x+3h\displaystyle {}+ 3hよって\displaystyle \text{よって}f′(x)\displaystyle f'(x)=lim⁡h→0 (6x+3h)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(6x + 3h)=6x‾\displaystyle {}= \underline{6x}
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問2　★

関数 f(x)f(x)=x2{}= x^2−4x{}- 4x+1{}+ 1 の導関数を、定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(x)f'(x)=2x{}= 2x−4{}- 4

解説

f(x+h)f(x+h)=(x+h)2{}= (x+h)^2−4(x+h){}- 4(x+h)+1{}+ 1=x2{}= x^2+2xh{}+ 2xh+h2{}+ h^2−4x{}- 4x−4h{}- 4h+1{}+ 1 なので

f(x+h)−f(x)h\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=2xh+h2−4hh\displaystyle {}= \frac{2xh + h^2 - 4h}{h}=2x\displaystyle {}= 2x+h\displaystyle {}+ h−4\displaystyle {}- 4

よって

f′(x)\displaystyle f'(x)=lim⁡h→0 (2x+h−4)\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\,(2x + h - 4)=2x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}2x}−4‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 4}

定数項の +1+1 は f(x+h)f(x+h)−f(x){}- f(x) で打ち消し合って消えます。これが「定数を微分すると 00」の理由です。

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問3　★

関数 yy=x3{}= x^3−2x2{}- 2x^2+5x{}+ 5x−3{}- 3 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=3x2{}= 3x^2−4x{}- 4x+5{}+ 5

解説

1項ずつ微分します。

y′\displaystyle y'=3x2\displaystyle {}= 3x^2−2⋅2x\displaystyle {}- 2 \cdot 2x+5⋅1\displaystyle {}+ 5 \cdot 1−0\displaystyle {}- 0=3x2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}3x^2}−4x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 4x}+5‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 5}
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問4　★

関数 yy=−2x3{}= -2x^3+6x{}+ 6x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=−6x2{}= -6x^2+6{}+ 6

解説
y′\displaystyle y'=−2⋅3x2\displaystyle {}= -2 \cdot 3x^2+6⋅1\displaystyle {}+ 6 \cdot 1=−6x2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}-6x^2}+6‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 6}
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問5　★

関数 yy=(x+2)(x−5){}= (x + 2)(x - 5) の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
答えを見る
答え

y′y'=2x{}= 2x−3{}- 3

解説

まず展開します。(x+2)(x−5)(x + 2)(x - 5)=x2{}= x^2−3x{}- 3x−10{}- 10 なので

y′\displaystyle y'=2x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}2x}−3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 3}
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問6　★

関数 yy=(2x−1)2{}= (2x - 1)^2 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=8x{}= 8x−4{}- 4

解説

展開すると (2x−1)2(2x - 1)^2=4x2{}= 4x^2−4x{}- 4x+1{}+ 1 なので

y′\displaystyle y'=4⋅2x\displaystyle {}= 4 \cdot 2x−4\displaystyle {}- 4=8x‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}8x}−4‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 4}
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問7　★

関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3−3x2{}- 3x^2+2{}+ 2 について、f′(−1)f'(-1) と f′(2)f'(2) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(−1)f'(-1)=9{}= 9，f′(2)f'(2)=0{}= 0

解説

f′(x)f'(x)=3x2{}= 3x^2−6x{}- 6x なので

f′(−1)\displaystyle f'(-1)=3\displaystyle {}= 3+6\displaystyle {}+ 6=9‾\displaystyle {}= \underline{9}f′(2)\displaystyle f'(2)=12\displaystyle {}= 12−12\displaystyle {}- 12=0‾\displaystyle {}= \underline{0}

f′(2)f'(2)=0{}= 0 は、xx=2{}= 2 で接線が横に平らになっていることを表します。この「傾き 00 の点」は、第4章で山や谷を見つける手がかりになります。

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問8　★

関数 yy=12x4{}= \dfrac{1}{2}x^4−13x3{}- \dfrac{1}{3}x^3+x{}+ x の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=2x3{}= 2x^3−x2{}- x^2+1{}+ 1

解説

係数の分数と、降りてくる指数が約分できます。

y′\displaystyle y'=12⋅4x3\displaystyle {}= \frac{1}{2} \cdot 4x^3−13⋅3x2\displaystyle {}- \frac{1}{3} \cdot 3x^2+1\displaystyle {}+ 1=2x3‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}2x^3}−x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- x^2}+1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 1}
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問9　★★

関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3+x{}+ x の導関数を、定義に従って求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f′(x)f'(x)=3x2{}= 3x^2+1{}+ 1

解説

(x+h)3(x+h)^3=x3{}= x^3+3x2h{}+ 3x^2h+3xh2{}+ 3xh^2+h3{}+ h^3 を使うと

f(x+h)\displaystyle f(x+h)−f(x)\displaystyle {}- f(x)=3x2h\displaystyle {}= 3x^2h+3xh2\displaystyle {}+ 3xh^2+h3\displaystyle {}+ h^3+h\displaystyle {}+ h f(x+h)−f(x)h\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=3x2\displaystyle {}= 3x^2+3xh\displaystyle {}+ 3xh+h2\displaystyle {}+ h^2+1\displaystyle {}+ 1よって\displaystyle \text{よって}f′(x)\displaystyle f'(x)=3x2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}3x^2}+1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 1}
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問10　★★

関数 yy=(x+1)3{}= (x + 1)^3 の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=3x2{}= 3x^2+6x{}+ 6x+3{}+ 3（=3(x+1)2= 3(x+1)^2）

解説

展開すると (x+1)3(x + 1)^3=x3{}= x^3+3x2{}+ 3x^2+3x{}+ 3x+1{}+ 1 なので

y′\displaystyle y'=3x2\displaystyle {}= 3x^2+6x\displaystyle {}+ 6x+3\displaystyle {}+ 3=3(x+1)2‾\displaystyle {}= \underline{3(x + 1)^2}

答えは 3x23x^2+6x{}+ 6x+3{}+ 3 のままでもかまいません。

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問11　★★

関数 yy=(x2−3)(2x+1){}= (x^2 - 3)(2x + 1) の導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

y′y'=6x2{}= 6x^2+2x{}+ 2x−6{}- 6

解説

展開すると

(x2−3)(2x+1)\displaystyle (x^2 - 3)(2x + 1)=2x3\displaystyle {}= 2x^3+x2\displaystyle {}+ x^2−6x\displaystyle {}- 6x−3\displaystyle {}- 3

なので

y′\displaystyle y'=6x2‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}6x^2}+2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}+ 2x}−6‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.9474em}{}- 6}
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問12　★★

tt の関数 h(t)h(t)=30t{}= 30t−5t2{}- 5t^2 について、導関数 h′(t)h'(t) と h′(2)h'(2) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

h′(t)h'(t)=30{}= 30−10t{}- 10t，h′(2)h'(2)=10{}= 10

解説

tt について微分します。

h′(t)\displaystyle h'(t)=30‾\displaystyle {}= \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}30}−10t‾\displaystyle \underline{\rule[-0.0833em]{0em}{0.7278em}{}- 10t}h′(2)\displaystyle h'(2)=30\displaystyle {}= 30−20\displaystyle {}- 20=10‾\displaystyle {}= \underline{10}

h(t)h(t) が投げ上げたボールの高さ（m）なら、22 秒後には秒速 1010 m で上昇中、という意味になります。

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問13　★★

半径 rr の球の体積 VV=43πr3{}= \dfrac{4}{3}\pi r^3 を rr の関数と考えるとき、VV の rr についての導関数を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

V′V'=4πr2{}= 4\pi r^2

解説

π\pi は定数なので、数と同じように扱います。

V′\displaystyle V'=43π⋅3r2\displaystyle {}= \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2=4πr2‾\displaystyle {}= \underline{4\pi r^2}

これは半径 rr の球の表面積と同じ式です。理由は小話「円の面積を微分すると円周になる」で紹介しています。

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問14　★★

関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3−6x2{}- 6x^2+9x{}+ 9x について、f′(x)f'(x)=0{}= 0 となる xx の値をすべて求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

xx=1,{}= 1, 3\ 3

解説

f′(x)f'(x)=3x2{}= 3x^2−12x{}- 12x+9{}+ 9=3(x2−4x+3){}= 3(x^2 - 4x + 3)=3(x−1)(x−3){}= 3(x - 1)(x - 3) なので

f′(x)\displaystyle f'(x)=0\displaystyle {}= 0⟺x=1,‾\displaystyle {}\Longleftrightarrow\quad \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}x = 1,} 3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8389em}\ 3}
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問15　★★

関数 f(x)f(x)=ax2{}= ax^2+3x{}+ 3x+1{}+ 1 について、f′(2)f'(2)=11{}= 11 となるように定数 aa の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=2{}= 2

解説

f′(x)f'(x)=2ax{}= 2ax+3{}+ 3 なので f′(2)f'(2)=4a{}= 4a+3{}+ 3。これが 1111 に等しいので

4a\displaystyle 4a+3\displaystyle {}+ 3=11\displaystyle {}= 11より\displaystyle \text{より}a=2‾\displaystyle \underline{a = 2}
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問16　★★

関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3 について、xx が 00 から 33 まで変わるときの平均変化率と、微分係数 f′(c)f'(c) が等しくなるような cc の値を、00<c{}< c<3{}< 3 の範囲で求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

cc=3{}= \sqrt{3}

解説

平均変化率は

f(3)−f(0)3−0\displaystyle \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0}=27−03\displaystyle {}= \frac{27 - 0}{3}=9\displaystyle {}= 9

f′(x)f'(x)=3x2{}= 3x^2 より f′(c)f'(c)=3c2{}= 3c^2 なので、3c23c^2=9{}= 9，c2c^2=3{}= 3。00<c{}< c<3{}< 3 より

c=3‾\underline{c = \sqrt{3}}

（3\sqrt{3}≒1.73{}\fallingdotseq 1.73 で、たしかに 00 と 33 の間にあります。）2点を結ぶ直線と平行な接線が、区間の途中のどこかで引ける——という関係を式で確かめる問題でした。

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問17　★★★

2次関数 f(x)f(x)=ax2{}= ax^2+bx{}+ bx+c{}+ c が、f(1)f(1)=2{}= 2，f′(1)f'(1)=1{}= 1，f′(−1)f'(-1)=−3{}= -3 をみたすように、定数 a,a, b,\ b, c\ c の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=1,{}= 1,bb=−1,{}= -1,cc=2{}= 2

解説

f′(x)f'(x)=2ax{}= 2ax+b{}+ b なので、導関数の条件から

f′(1)\displaystyle f'(1)=2a\displaystyle {}= 2a+b\displaystyle {}+ b=1,\displaystyle {}= 1,f′(−1)\displaystyle f'(-1)=−2a\displaystyle {}= -2a+b\displaystyle {}+ b=−3\displaystyle {}= -3

2式を足すと 2b2b=−2{}= -2 より bb=−1{}= -1，これを代入して aa=1{}= 1。さらに

f(1)\displaystyle f(1)=a\displaystyle {}= a+b\displaystyle {}+ b+c\displaystyle {}+ c=1\displaystyle {}= 1−1\displaystyle {}- 1+c\displaystyle {}+ c=2\displaystyle {}= 2より\displaystyle \text{より}c\displaystyle c=2\displaystyle {}= 2 a=1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 1,}b=−1,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad b = -1,}c=2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad c = 2}

（検算：f(x)f(x)=x2{}= x^2−x{}- x+2{}+ 2，f′(x)f'(x)=2x{}= 2x−1{}- 1 で、f(1)f(1)=2{}= 2，f′(1)f'(1)=1{}= 1，f′(−1)f'(-1)=−3{}= -3。）

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問18　★★★

関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3+ax2{}+ ax^2+bx{}+ bx+c{}+ c が、f′(1)f'(1)=0{}= 0，f′(−3)f'(-3)=0{}= 0，f(0)f(0)=1{}= 1 をみたすように、定数 a,a, b,\ b, c\ c の値を定めなさい。

つまずいたときは：
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答え

aa=3,{}= 3,bb=−9,{}= -9,cc=1{}= 1

解説

f′(x)f'(x)=3x2{}= 3x^2+2ax{}+ 2ax+b{}+ b なので

f′(1)\displaystyle f'(1)=3\displaystyle {}= 3+2a\displaystyle {}+ 2a+b\displaystyle {}+ b=0,\displaystyle {}= 0,f′(−3)\displaystyle f'(-3)=27\displaystyle {}= 27−6a\displaystyle {}- 6a+b\displaystyle {}+ b=0\displaystyle {}= 0

上の式から下の式を引くと −24-24+8a{}+ 8a=0{}= 0 より aa=3{}= 3，そして bb=−3{}= -3−2a{}- 2a=−9{}= -9。また f(0)f(0)=c{}= c=1{}= 1。

a=3,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}a = 3,}b=−9,‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad b = -9,}c=1‾\displaystyle \underline{\rule[-0.1944em]{0em}{0.8889em}\quad c = 1}

別解：f′(x)f'(x) は x2x^2 の係数が 33 の2次式で、xx=1,{}= 1, −3{}\ -3 で 00 になるので f′(x)f'(x)=3(x−1)(x+3){}= 3(x - 1)(x + 3)=3x2{}= 3x^2+6x{}+ 6x−9{}- 9。係数を比べて 2a2a=6{}= 6，bb=−9{}= -9 としても求まります。

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問19　★★★

2次関数 f(x)f(x) が、すべての xx について (x−1)f′(x)(x - 1)f'(x)=2f(x){}= 2f(x)−4{}- 4 をみたし、さらに f(0)f(0)=3{}= 3 であるとき、f(x)f(x) を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

f(x)f(x)=x2{}= x^2−2x{}- 2x+3{}+ 3

解説

f(x)f(x)=ax2{}= ax^2+bx{}+ bx+c{}+ c（aa≠0{}\neq 0）とおくと f′(x)f'(x)=2ax{}= 2ax+b{}+ b です。左辺と右辺をそれぞれ展開します。

(x−1)f′(x)\displaystyle (x - 1)f'(x)=(x−1)(2ax+b)\displaystyle {}= (x - 1)(2ax + b)=2ax2\displaystyle {}= 2ax^2+(b−2a)x\displaystyle {}+ (b - 2a)x−b\displaystyle {}- b2f(x)\displaystyle 2f(x)−4\displaystyle {}- 4=2ax2\displaystyle {}= 2ax^2+2bx\displaystyle {}+ 2bx+2c\displaystyle {}+ 2c−4\displaystyle {}- 4

すべての xx で等しい（恒等式）ので、係数を比べて

x の係数： b\displaystyle x \text{ の係数：}\ b−2a\displaystyle {}- 2a=2b,\displaystyle {}= 2b,定数項：\displaystyle \text{定数項：} −b\displaystyle {}\ -b=2c\displaystyle {}= 2c−4\displaystyle {}- 4

f(0)f(0)=c{}= c=3{}= 3 より、定数項の式から −b-b=2{}= 2，bb=−2{}= -2。xx の係数の式から −2a-2a=b{}= b=−2{}= -2，aa=1{}= 1。

f(x)=x2‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}f(x) = x^2}−2x‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}- 2x}+3‾\displaystyle \underline{\rule[-0.25em]{0em}{1.1141em}{}+ 3}

（検算：(x−1)(2x−2)(x - 1)(2x - 2)=2x2{}= 2x^2−4x{}- 4x+2{}+ 2，2(x2−2x+3)2(x^2 - 2x + 3)−4{}- 4=2x2{}= 2x^2−4x{}- 4x+2{}+ 2 で一致します。）

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問20　★★★

関数 f(x)f(x)=x3{}= x^3+2x{}+ 2x について、lim⁡h→0f(1+3h)−f(1)h\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(1 + 3h) - f(1)}{h} を求めなさい。

つまずいたときは：
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答え

1515

解説

分母が 3h3h なら、微分係数 f′(1)f'(1) の定義式そのものです。そこで分母と分子に 33 を掛けて形をそろえます。

f(1+3h)−f(1)h\displaystyle \frac{f(1 + 3h) - f(1)}{h}=3⋅f(1+3h)−f(1)3h\displaystyle {}= 3 \cdot \frac{f(1 + 3h) - f(1)}{3h}

hh→0{}\to 0 のとき 3h3h→0{}\to 0 なので、右側の分数は f′(1)f'(1) に近づきます。f′(x)f'(x)=3x2{}= 3x^2+2{}+ 2 より f′(1)f'(1)=5{}= 5 なので

lim⁡h→0f(1+3h)−f(1)h\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(1 + 3h) - f(1)}{h}=3f′(1)\displaystyle {}= 3f'(1)=15‾\displaystyle {}= \underline{15}

（確認：直接計算すると f(1+3h)f(1 + 3h)−f(1){}- f(1)=15h{}= 15h+27h2{}+ 27h^2+27h3{}+ 27h^3 なので、hh で割って 1515+27h{}+ 27h+27h2{}+ 27h^2→15{}\to 15 となり一致します。）

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数学小話コーナー

円の面積を微分すると円周になる

半径 rr の円の面積は SS=πr2{}= \pi r^2 です。これを rr で微分してみると S′S'=2πr{}= 2\pi r。なんと円周の長さが出てきます。

偶然ではありません。半径をほんの少し hh だけ伸ばすと、円のまわりに細い輪がくっつきます。バウムクーヘンのいちばん外側の一層のようなものです。この輪の面積は「円周 ×\times 幅」、つまり約 2πr×h2\pi r \times h。増えた面積を幅 hh で割って hh を 00 に近づければ、残るのは円周 2πr2\pi r というわけです。解説で見た「正方形に帯が2本くっつく」話と、まったく同じしくみですね。

豆知識

球でも同じことが起こります。体積 VV=43πr3{}= \dfrac{4}{3}\pi r^3 を rr で微分すると 4πr24\pi r^2 で、これは球の表面積です（実践問題 問13）。玉ねぎに薄皮を1枚かぶせると、増える体積は「表面積 ×\times 皮の厚さ」になる、と考えると納得できます。

「微分」という言葉はどこから来た？

英語の calculus（微積分）、differential（微分）を「微分」「積分」と訳したのは、19世紀中国の数学者 李善蘭（り・ぜんらん）だといわれています。1859年、アメリカの教科書を中国語に訳した『代微積拾級』の中で使ったのが始まりで、この訳語が日本にも伝わって定着しました（※諸説あり）。「微分」は「細かく分ける」、「積分」は「分けたものを積み重ねる」。第1章で見た「区間を細かく刻む」考え方が、そのまま漢字2文字に込められています。

豆知識

この章で使った f′(x)f'(x) のプライム記号を広めたのは、18世紀の数学者 ラグランジュ です。第1章で紹介したライプニッツの dydx\dfrac{dy}{dx} に比べて書くのが速く、「ff から作られた、ff の仲間の関数」という感じが出るのが長所です。f′′(x)f''(x) のように点を増やしていく書き方も、彼の本から広まりました。

経済学の「限界」は微分のこと

経済学の教科書を開くと、「限界費用」「限界効用」という言葉がよく出てきます。この「限界」は「もう限界だ」の意味ではなく、英語の marginal（ふち、ぎりぎりの）の訳です。

限界費用とは「あと1個よけいに作ると、費用がいくら増えるか」。たとえば、パン屋さんが1日に xx 個のパンを焼く費用を C(x)C(x) とすると、限界費用はほぼ C′(x)C'(x) にあたります。たくさん焼くほどオーブンの効率が上がって1個あたりのコストが下がるのか、それとも人手が足りなくなってかえって上がるのか——それを教えてくれるのが導関数です。企業が「あと何個作るのが得か」を考えるとき、その裏では微分が働いています。

厳密定義（発展）

※ここは発展ページです。高校の範囲では、公式を正しく使えれば十分です。「公式はなぜどんな nn でも成り立つの？」「和の微分が和になるのはなぜ？」が気になる人のために、きちんとした定義と証明を紹介します。

定義1：区間で微分可能・導関数

関数 f(x)f(x) が、区間 II のすべての点 xx で微分可能であるとき、f(x)f(x) は区間 II で微分可能であるという。このとき、II の各点 xx にその点での微分係数を対応させる関数

f′(x)\displaystyle f'(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}

を f(x)f(x) の導関数という。

微分係数 f′(a)f'(a) は「1つの数」、導関数 f′(x)f'(x) は「関数」です。定義の式は同じ形ですが、aa を固定するか、xx を動かすかという見方の違いがあります。なお、多項式の関数は実数全体で微分可能です。

定理1：定数倍・和・差の微分法則

f(x)f(x)，g(x)g(x) が微分可能で、kk が定数のとき

{kf(x)}′\displaystyle \{k f(x)\}'=kf′(x),\displaystyle {}= k f'(x),{f(x)±g(x)}′\displaystyle \{f(x) \pm g(x)\}'=f′(x)\displaystyle {}= f'(x)±g′(x)\displaystyle {}\pm g'(x)（複号同順）\displaystyle \text{（複号同順）}

証明　和について示す。F(x)F(x)=f(x){}= f(x)+g(x){}+ g(x) とおくと、

F(x+h)\displaystyle F(x+h)−F(x)\displaystyle {}- F(x)={f(x+h)−f(x)}\displaystyle {}= \{f(x+h) - f(x)\}+{g(x+h)−g(x)}\displaystyle {}+ \{g(x+h) - g(x)\}

であるから、

F(x+h)−F(x)h\displaystyle \frac{F(x+h) - F(x)}{h}=f(x+h)−f(x)h\displaystyle {}= \frac{f(x+h) - f(x)}{h}+g(x+h)−g(x)h\displaystyle {}+ \frac{g(x+h) - g(x)}{h}

hh→0{}\to 0 のとき、右辺の2つの分数はそれぞれ f′(x)f'(x)，g′(x)g'(x) に近づく。第1章 定理1（和の極限は極限の和）より、左辺は f′(x)f'(x)+g′(x){}+ g'(x) に近づく。すなわち F′(x)F'(x)=f′(x){}= f'(x)+g′(x){}+ g'(x) である。差・定数倍も、同じ第1章 定理1の差・定数倍の性質から同様に示せる。（証明終）

この定理は、微分という操作が「足し算と定数倍を崩さない」ことを言っています。大学ではこの性質を線形性と呼び、微分を「関数を関数に移す写像」として調べる出発点になります。

定理2：xnx^n の導関数

nn を正の整数とするとき、(xn)′(x^n)'=nxn−1{}= n x^{n-1} である。

証明　二項定理より

(x+h)n\displaystyle (x+h)^n=xn\displaystyle {}= x^n+nC1 xn−1h\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_1\, x^{n-1} h+nC2 xn−2h2\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_2\, x^{n-2} h^2+⋯\displaystyle {}+ \cdots+hn\displaystyle {}+ h^n

nC1{}_n\mathrm{C}_1=n{}= n であるから

(x+h)n−xnh\displaystyle \frac{(x+h)^n - x^n}{h}=nxn−1\displaystyle {}= n x^{n-1}+nC2 xn−2h\displaystyle {}+ {}_n\mathrm{C}_2\, x^{n-2} h+⋯\displaystyle {}+ \cdots+hn−1\displaystyle {}+ h^{n-1}

右辺の第2項以降はすべて hh を因数にもつので、hh→0{}\to 0 のとき 00 に近づく（nn=1{}= 1 のときは第2項以降がない）。よって

(xn)′\displaystyle (x^n)'=lim⁡h→0(x+h)n−xnh\displaystyle {}= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - x^n}{h}=nxn−1\displaystyle {}= n x^{n-1}

（証明終）

解説の図で「帯が nn 本」と数えたものが、二項定理の nC1{}_n\mathrm{C}_1=n{}= n にあたります。h2h^2 以上の項（角の小さな正方形など）は、hh で割ってもまだ hh が残るので消えていく——これが公式の正体です。

注意：「導関数が 00 なら定数関数」は、この章の道具だけでは証明できません。定数関数の導関数が 00 であることは定義からすぐにわかります（f(x+h)f(x+h)−f(x){}- f(x)=0{}= 0）。しかし逆向きの「区間のどこでも f′(x)f'(x)=0{}= 0 ならば f(x)f(x) は定数」は、直観的には当たり前に見えても、証明には平均値の定理（数学IIIで学ぶ）が必要です。区間が途切れていると成り立たない例もあり、たとえば xx<0{}< 0 で f(x)f(x)=0{}= 0，xx>0{}> 0 で f(x)f(x)=1{}= 1 とした関数は、定義されているどの点でも f′(x)f'(x)=0{}= 0 ですが、定数ではありません。

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